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第四章 比例2.正比例和反比例【知识梳理】1.正比例的意义。
（1）意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
（2）正比例关系的字母表达式：xy =k （一定）。
要点提示：成比例的两种量必须是相关联的量，而两种相关联的量却不一定都成比例。
如两种量的和或差一定时，这两种量虽然是相关联的量，但不成比例。
2.正比例关系的图像。
正比例图像是一条从（0,0）出发的无限延伸的射线，线上所有点所对应的两个数的比值都相等。
3.反比例的意义。
（1）意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
（2）反比例关系的字母表达式：x×y =k （一定）。
4.判断两种量成正比例还是成反比例的方法。
关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。
如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例。
【诊断自测】1.填空。
（1）用字母表示的正比例关系式是（ ），反比例式是（ ）。
（2）已知6x=4y ，x 和y 成（ ）比例，已知3x =y6，x 和y 成（ ）比例。
（3）单价一定，数量与总价成（ ）比例；数量一定，单价与总价成（ ）比例；总价一定，数量与单价成（ ）比例。
（4）当两个变量成反比例关系时，所绘成的图是一条（ ）。
2.选择。
（1）在汽车每次运货吨数，运货次数和运货的总吨数这三种量中，成正比例关系是（ ），成反比例关系是（ ）。
A.汽车每次运货吨数一定，运货次数和运货总吨数。
B.汽车运货次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数。
C.汽车运货总吨数一定，每次运货的吨数和运货的次数。
（2）乐乐从1楼爬到3楼共用了3分钟，那么从1楼爬到5楼要用（ ）分钟。
A.8B.6C.4（3）a÷b=c ，当c 一定时，a 和b （ ）；当a 一定时，b 和c （ ）；当b 一定时，a 和c （ ）。
第四单元比（讲义）小学数学六年级上册专项训练（知识梳理+典例精讲+专项训练）1.比的意义和各个部分的名称。
（1）比：两个数相除也叫两个数的比；（2）比式中，比号（∶）前面的数叫前项，比号后面的项叫做后项，比号相当于除号，比的前项除以后项的商叫做比值。
（3）比的读法、写法：a比b记作a:b，读作a比b。
2.比和除法、分数的联系与区别。
3.比的基本性质。
比的前项和后项同时乘或者除以相同的数(0 除外)，比值不变。
4.化简比的意义。
把两个数的比化成最简单的整数比（比的前项和后项是互质数的比），叫作化简比，也叫作比的化简。
5.化简比的方法。
（1）整数比的化简方法。
比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
（2）分数比的化简方法。
比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，先转化成整数比，再进行化简。
（3）小数比的化简方法通常把比的前、后项的小数点同时向右移动相同的位数，先转化成整数比，再进行化简。
6.按比分配问题的解题方法。
方法一：先求出总份数，再求出各部分量占总量的几分之几，最后求出各部分量。
方法二：先求出每份是多少，再用每份量乘各部分量所占的份数，求出各部分量。
【典例一】用涂阴影的方式设计一个长与宽的比是3∶2的长方形。
【分析】两数相除又叫两个数的比，长方形的长是3格，宽是2格即可。
【详解】涂法不唯一【点睛】关键是理解比的意义。
【典例二】下表是石家庄市A、B、C三个县城的男、女婴出生人数比。
哪个县城男、女婴出生人数比的比值最高？【分析】用比的前项除以后项即可求出比值，由此解答即可。
【详解】A．28:25＝28÷25＝1.12；B．121:100＝121÷100＝1.21；C．59:50＝59÷50＝1.18；1.21＞1.18＞1.12；答：B县城男、女婴出生人数比的比值最高。
【点睛】熟练掌握求比值的方法是解答本题的关键。
【典例三】小李和小王读同一本书，小李1小时读了这本书的13，小王1小时读了这本书的25，小王比小李1小时多读了10页。
北师大版数学六年级下册章节复习知识点、达标训练附解析第四单元《正比例和反比例》知识点一：变化的量1.相互关联的变量在一定条件下的变化是有规律的。
2.列表与画图都可以表示变量之间的变化关系。
分析表格时，要弄清两个变量及相对应的数据；分析图时，要弄清图中横轴、纵轴表示的量的名称，以及图中每一个点所对应的两个量的多少。
3. 一般用含有字母的式子表示有规律的变量的变化规律，应先根据题中的条件写出等量关系式，再将等量关系式用字母表示出来。
知识点二：正比例1.成正比例的量的特征：一个量随着另一个量的变化而变化，在变化过程中这两个量的比值一定。
2.如果用x和y表示两个相关联的量，用k（一定）表示它们的比值，正比例关系可以表示为=k（一定）。
3.判断两个量是否成正比例的方法（1）首先，要确定这两个量是不是相关联的量（其中一个量是否随着另一个量的变化而变化）；（2）其次，要根据两个变量之间的数值对应关系，计算出两个变量每一对数值的比值；（3）最后，根据比值是否一定来判断这两个变量是否成正比例。
知识点三：正比例图像1.成正比例的两个量表示的各点在同一条直线上，即正比例图象的特征是一条直线。
2.从正比例图象中可以得出任意一点所表示的意义。
3. 观察正比例图象时，要先明确横轴、纵轴表示的意义，从图象中可以直观地看出两个量的变化情况，不需要计算，由一个量的值可以直接找到与它对应的另一个量的值。
知识点四：反比例1.成反比例的量的特征：一个量随着另一个量的变化而变化，在变化过程中这两个量的积一定。
2.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k（一定）表示它们的乘积，反比例关系可以表示为xy=k（一定）。
3.判断两个量是否成反比例的方法（1）首先，要确定这两个量是不是相关联的量（其中一个量是否随着另一个量的变化而变化）；（2）其次，要根据两个变量之间的数值对应关系，计算出两个变量每一对数值的积；（3）最后，根据积是否一定来判断这两个变量是否成反比例。
1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：一、比和比例的性质性质1：若a: b=c ：d ，则(a + c)：(b + d)= a ：b=c ：d ； 性质2：若a: b=c ：d ，则(a - c)：(b - d)= a ：b=c ：d ；性质3：若a: b=c ：d ，则(a +x c)：(b +x d)=a ：b=c ：d ；(x 为常数) 性质4：若a: b=c ：d ，则a×d = b×c ；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a÷b=k(k 为常数)，则称a 、b 成正比； 反比例：如果a×b=k(k 为常数)，则称a 、b 成反比．二、主要比例转化实例 ①x ay b= ⇒ y b x a =； x ya b=； a b x y =；知识点拨教学目标6-2-4比例应用题②x a y b = ⇒ mx a my b =； x ma y mb=(其中0m ≠)； ③ x a y b = ⇒ x a x y a b =++； x y a b x a --=； x y a b x y a b ++=-- ；④x a y b =，y c z d= ⇒ x ac z bd =；::::x y z ac bc bd =； ⑤ x 的c a 等于y 的d b ，则x 是y 的ad bc ，y 是x 的bcad．三、按比例分配与和差关系⑴按比例分配例如：将x 个物体按照:a b 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x 的比分别为():a a b +和():b a b +，所以甲分配到ax a b +个，乙分配到bxa b+个.⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题例如：两个类别A 、B ，元素的数量比为:a b (这里a b >)，数量差为x ，那么A 的元素数量为ax a b -，B 的元素数量为bxa b-，所以解题的关键是求出()a b -与a 或b 的比值．四、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l ”。
比例的应用是对比例的意义和性质的应用拓展，重点在于灵活的根据题意寻找比例关系，然后利用比例的意义和基本性质进行解题．其中，方程的思想尤为重要．比例的应用题实际上是分数应用题的另一种表达方式，而且熟练掌握比例的应用对于之后学习百分比的应用也有一定的帮助作用．1、 根据比例的意义和性质解题根据::a b c d =，若已知其中三个量，则可以求解第四个量的值．如：bcd a=． 简单的比例问题，解题过程中，首先根据比例的意义寻找两个比值相等的比，组成比例，然后利用比例的性质，求解未知量． 2、 比例尺比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比． 即：比例尺 = 图上距离 : 实际距离．比例的应用内容分析知识结构模块一：根据比例的意义和性质知识精讲【例1】用比例的方法解答：（1）10元钱可以买6个橙子，现要买21个橙子，需要多少钱？（2）10元钱可以买6个橙子，现共有25元，能买多少个橙子？【难度】★【答案】（1）35元；（2）15个．【解析】（1）设买21个橙子，需要x元．由题意可得10621x=，解得35x=．（2）设有25元，能买x个橙子．由题意可得10256x=，解得15x=．答：要买21个橙子，需要35元；有25元，能买15个橙子．【总结】本题考查了正、反比例应用题，解答此题的关键是，先判断题中的两种相关的量成何比例，即两个量的乘积是定值则这两个量成反比例，两个量的比值是定值则这两个量成正比例，然后找准对应量，列式解答即可．【例2】火车站的检票口5分钟通过205人，那么1230位乘客全部通过检票口需要______分钟．【难度】★【答案】30．【解析】设1230位乘客全部通过检票口需要x分钟．由题意可得52051230x=，解得30x=．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．例题解析【例3】15本相同厚度的练习本叠起来，总高度为20厘米．如果将21本这样的练习本叠起来，那么总高度为多少？【难度】★【答案】28厘米．【解析】设总高度为x厘米．由题意可得201521x=，解得28x=．答：总高度为28厘米．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．【例4】小明读一本书，如果每天读30页，6天可以读完，若每天读20页，需要多少天才能读完？试说明读的天数之比与每天读的页数之比有怎样的关系．【难度】★【答案】9天；天数之比与页数之比成反比．【解析】设需要x天才能读完．由题意可得20306x=⨯，解得9x=．天数之比与页数之比成反比．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．【例5】小明的身高是1.45米，他的影长是2米，在同一时间、同一地点测得一棵树影长4米，则这棵树实际高______米．【难度】★★【答案】2.9．【解析】设这棵树实际高x米，则1.45:2:4x=，解得 2.9x=．答：这棵树实际高2.9米．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．【例6】 一幅地图的比例尺是1:1000000，图上6厘米表示实际距离______千米．实际距离150千米在图上要画______厘米．【难度】★★ 【答案】60，15．【解析】设图上6厘米表示实际距离x 厘米，则1:10000006:x =，解得6000000x = 6000000厘米60=千米；设实际距离150千米在图上要画y 厘米，则 1:1000000:15000000y =，解得15y =，∴6厘米表示实际距离60千米，实际距离150千米在图上要画15厘米．【总结】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．【例7】 上海到北京的实际距离大约等于1100千米，在一幅地图上量得两地的距离为5.5厘米，则这幅地图的比例尺为____________．【难度】★★【答案】1:20000000．【解析】1100千米=110000000厘米，∴比例尺为5.5:1100000001:20000000=． 【总结】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．【例8】 某机床厂制造一批机床，3天生产了21台，结果再生产12天就完成了任务，则这批机床共有多少台？【难度】★★ 【答案】105台．【解析】设这批机床共有x 台，则213123x=+，解得105x =．答：这批机床共有105台．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．【例9】某工厂有一批煤，原计划每天烧12吨，可以烧50天，采取了节能措施后，每天比原计划节约15，问这批煤可以烧多少天？【难度】★★【答案】62.5天．【解析】节约后每天用煤14812155⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭（吨），设这批煤可以烧x天，则48 12505x⨯=，解得62.5x=．答：这批煤可以烧62.5天．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．【例10】飞机每小时飞行480千米，汽车每小时行驶90千米，飞机飞行142小时的路程，汽车要行驶多少小时？试说明在路程相等的情况下，速度之比与时间之比的关系．【难度】★★【答案】24小时，在路程相等的情况下，速度之比与时间之比成反比．【解析】设汽车要行驶x小时，则1 4804902x⨯=，解得24x=．:480:9016:3 V V==飞机汽车，1:4:243:162t t==飞机汽车，∴::V V t t=飞机汽车汽车飞机【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．【例11】已知ABC∆的三边之比为2 : 3 : 4，则相应三边上的高之比为____________．【难度】★★【答案】6:4:3．【解析】∵三边之比为2 : 3 : 4，∴设三边长分别为2x、3x、4x，三边上的高分别为a、b、c，由题意得：111234222x a x b x c⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅，化简得234a b c==，∴::6:4:3a b c=．【总结】本题主要考查了三角形的面积公式及设k法的使用，关键是根据三角形的面积的公式计算．【例12】 用6只鸡可以换5只鸭，用4只鸭可以换3只鹅，那么40只鸡可以换多少只鹅？【难度】★★ 【答案】25只．【解析】令鸡、鸭、鹅分别用a 、b 、c 表示， 则由题意可知：:6:5a b =，:4:3b c =，∵:6:524:20a b ==，:4:320:15b c ==，∴::24:20:15a b c =， 设40只鸡可以换x 只鹅，则40:24:15x =，解得25x =， 答：40只鸡可以换25只鹅．【总结】本题考查了简单的等量代换问题，会运用连比的性质．【例13】 甲、乙两个服装厂，日生产西服的数量比是5 : 4，两个厂生产的西服单价的比是12 : 7，那么这两个厂的日产值的比是多少？【难度】★★ 【答案】15:7．【解析】两个厂的日产值的比是()()512:4715:7⨯⨯=．【总结】本题考查了比的应用，解决本题的关键是利用总价、数量和单价的关系求出产 值的比．【例14】 甲、乙两个仓库原有钢材的重量之比为4 : 3，若从甲仓库拉走8吨钢材，那么甲、乙两个仓库的钢材的重量之比为2 : 3，求甲仓库原有钢材多少吨？【难度】★★ 【答案】16吨．【解析】设甲仓库原有钢材4x 吨、乙仓库原有钢材3x 吨．由题意得：48233x x -=，解得4x =，44416x =⨯=（吨）∴甲仓库原有钢材16吨． 【总结】本题考查了比的应用．【例15】 某工厂共有86个工人，已知每个工人每天加工甲种零件15个或乙种零件12个，或丙种零件9个，而3个甲种零件，2个乙种零件，1个丙种零件恰好配成一套，问如何安排工人工作才可使加工好的零件配套？ 【难度】★★★【答案】加工甲零件36人、加工乙零件30人、加工丙零件20人． 【解析】设加工甲零件x 人、加工乙零件y 人、加工丙零件z 人， 15:12:93:2:1x y z =，可得::18:15:10x y z =， 又∵86x y z ++=，解得36x =，30y =，20z =，∴加工甲零件36人、加工乙零件30人、加工丙零件20人．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程组．【例16】 有三个梯形甲、乙、丙，它们的高之比依次是1 : 2 : 3，上底之比依次是6 : 9 :4，下底之比依次是12 : 15 : 10．已知梯形甲的面积是30平方厘米，那么乙、丙两个梯形的面积之和是多少平方厘米？【难度】★★★ 【答案】150平方厘米．【解析】由题意得甲、乙、丙三个梯形的面积比为()()()1116121:9152:41033:8:7222⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∵梯形甲的面积是30平方厘米，∴乙的面积是80平方厘米，丙的面积是70平方厘米， ∴乙、丙两个梯形的面积之和是150平方厘米． 【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题，此题的解答首先把3个梯形的高、上底、下底的比转化为梯形的面积比．【例17】一列快车的长是150米，一列慢车的长是200米，两车分别在两条平行的轨道上相向而行，若坐在慢车上的人看见快车驶过窗的时间是6秒，那么坐在快车上的人看见慢车驶过窗需要多少秒？【难度】★★★【答案】8秒．【解析】设坐在快车上的人看见慢车驶过窗需要x秒．由题意得：1502006x=，解得8x=．答：坐在快车上的人看见慢车驶过窗需要8秒．【总结】坐在慢车上的人看见快车驶过窗的路程为快车的长度，速度为甲乙两车的速度和；坐在快车上的人看见慢车驶过窗的路程为慢车的长度，速度为甲乙两车的速度和．1、已知两个量的数量比与数量和两个量A、B，数量之比为a : b，数量之和为x，则A的数量为axa b+，B的数量为bxa b+．2、已知两个量的数量比与数量差两个量A、B，数量之比为a : b（a b>），数量之差为x，则A的数量为axa b-，B的数量为bxa b-．3、设k法若A : B = a : b，可设A = ak，B = bk，其中0k≠，那么：()A B ak bk a b k+=+=+，()A B ak bk a b k-=-=-．【例18】公园中柳树和杨树的共40棵，且棵数之比为5 : 3，那么柳树和杨树各有多少棵？【难度】★【答案】柳树25棵，杨树15棵．【解析】柳树的棵数为：540=255+3⨯（棵），杨树的棵数为：340=155+3⨯（棵）．答：柳树有25棵，杨树有15棵．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题，两个量A、B，数量之比为:a b，数量之和为x，则A的数量为axa b+，B的数量为bxa b+．模块二：和差关系与比例分配知识精讲例题解析【例19】 师徒两人加工一批零件，师傅和徒弟的工作效率之比为7 : 4，完成任务时，师傅比徒弟多加工了90个零件，求这批零件的总数．【难度】★ 【答案】330件．【解析】师傅加工零件个数为：79021074⨯=-（个）， 徒弟加工零件个数为：49012074⨯=-（个）， 210120330+=（个）答：这批零件共330个．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题，两个量A 、B ，数量之比为:a b ，（a b >），数量之差为x ，则A 的数量为ax a b -，B 的数量为bxa b -．【例20】 （1）已知两个数的比是2 : 7，且和为81，则这两个数分别为______和______；（2）已知被减数与差的比是5 : 3，减数是120，被减数是____________．【难度】★【答案】（1）18，63；（2）300．【解析】（1）2811872⨯=+，7816372⨯=+；（2）512030053⨯=-． 【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．【例21】 小智和小方平均每人有50颗糖，小智的糖的颗数与小方的糖的颗数之比为7 :3，求小智比小方多多少颗糖？【难度】★ 【答案】40（颗）【解析】∵小智和小方平均每人有50颗糖，∴两人一共有502100⨯=颗糖，73100100407373⨯-⨯=++（颗）答：小智比小方多40颗糖．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．【例22】 将300个苹果按4 : 5 : 6的比例分给幼儿园的小班、中班和大班三个班，那么小班、中班和大班各分得多少个苹果？【难度】★【答案】80，100，120．【解析】小班：430080456⨯=++（个）， 中班：5300100456⨯=++（个）， 大班：6300120456⨯=++（个）．答：小班、中班和大班各分得80，100，120个苹果．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．【例23】 三个数的平均数为120，这三个数的比是3 : 5 : 7，它们分别是______、______、______．【难度】★★【答案】72、120、168．【解析】由题意知三个数的和为1203360⨯=，336072357⨯=++，5360120357⨯=++，7360168357⨯=++，∴这三个数分别是72、120、168．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．【例24】 一个长方形的长和宽之比为5 : 3，周长为24，则这个长方形长是_____，宽是______，的面积为______．【难度】★★ 【答案】152，92，1354．【解析】长方形的长是：524155322⨯=+，长方形的宽是：32495322⨯=+， ∴面积为159135224⨯=． 【总结】本题考查了按比例分配应用题，关键是灵活利用长方形的周长公式．【例25】 已知::1:3:4a b c =，且10a c +=，求a b c ++． 【难度】★★ 【答案】16．【解析】设a k =，3b k =，4c k =，代入10a c +=得410k k +=，解得2k =，所以3488216a b c k k k k ++=++==⨯=．【总结】本题考查了比例的性质，解题的关键是注意比例的性质及设k 法的运用，设k 法，若::A B a b =，可设A ak =，B bk =，其中0k ≠，那么： ()A B ak bk a b k +=+=+，()A B ak bk a b k -=-=-．【例26】 甲、乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的14等于乙班种的棵数的15，且乙班比甲班多种树24棵，甲、乙两个班级各种树多少棵？【难度】★★【答案】甲班种树96棵，乙班种树120棵．【解析】甲班与乙班所种棵数比是：11:4:554=，甲班的棵数：4249654⨯=-（棵），乙班的棵数：52412054⨯=-（棵）， 答：甲班种树96棵，乙班种树120棵．【总结】本题考查了按比例分配应用题，关键是根据已知条件求出甲乙两班所种棵数比．【例27】 一项工程，甲、乙两队合做20天完成，已知甲、乙两队每天完成的工作量的比是4 : 5，问甲、乙两队单独完成这项工程各需几天？【难度】★★【答案】甲单独完成这项工程需45天，乙单独完成这项工程需36天．【解析】甲、乙两队合做20天完成，可知甲、乙两队的工作效率和为120，14411452054180⎛⎫÷⨯=÷= ⎪+⎝⎭（天），15511362054180⎛⎫÷⨯=÷= ⎪+⎝⎭（天）． 答：甲单独完成这项工程需45天，乙单独完成这项工程需36天．【总结】本题考查了工程问题，根据工作效率、工作时间和工作量三者之间的关系是完 成本题的关键．【例28】 一个长方形的长与宽之比为15 : 7，现截取一个边长与原矩形的宽相等的正方形，剩下的新的长方形的周长为30厘米，求原长方形的长与宽各是多少厘米？【难度】★★★【答案】长15厘米，宽7厘米．【解析】设原长方形的长为15k 厘米，宽为7k 厘米，则新长方形的长为1578k k k -=，∴()28730k k +=，解得1k =，∴原来长方形的长为15厘米，宽为7厘米． 答：原长方形的长15厘米，宽7厘米．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题，关键是灵活利用长方形的周长公式．【例29】 有理数a 、b 、c 满足a : b : c = 2 : 3 : 5，且222a b c a b c ++=，求a b c ++的值．【难度】★★★【答案】383．【解析】设2a k =，3b k =，5c k =，代入222a b c abc ++=得2223492530k k k k ++=，解得1915k =， 所以19382351010153a b c k k k k ++=++==⨯=． 【总结】本题考查了比例的性质，解题的关键是注意比例的性质及设k 法的运用．【例30】 古时，某河边有一渡口，车、马、人过河分别要交3文、2文、1文的渡河费，某天过河的车和马的数目比为2 : 9，马和人的数目比为3 : 7，共收得渡河费945文．问这天渡河的车、马、人的数目各多少？【难度】★★★【答案】车42辆，马189匹，人441人．【解析】车和马的数目比为2 : 9，马和人的数目比为3 : 7，则车、马、人的数目比为2:9:21，设车有2k ，则马有9k ，人有21k ，3229121945k k k ⋅+⋅+⋅=，解得21k =，车：22142⨯=（辆）， 马：921189⨯=（匹）， 人：2121411⨯=（人）答：这天渡河的车42辆，马189匹，人441人．【总结】本题考查了比的应用，解答本题的关键是求出三者之间总价的连比，再按照按比分配解答．【习题1】（1）某人买4个梨用去5元，现在购买18个梨需要______元； （2）齿轮7分钟转2100圈，转3000圈需要______分钟；（3）一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的人数之比为13 : 11，则一共有______个苹果．【难度】★【答案】（1）22.5；（2）10；（3）192．【解析】（1）设购买18个梨需要x 元，则4185x =，解得22.5x =；（2）设转3000圈需要x 分钟，则721003000x=，解得10x =； （3）设甲班分到苹果13k ，则乙班分到11k ，由题意得131116k k -=，解得8k =，∴131124248192k k k +==⨯=（个） 【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题，解答此题的关键是，先判断题中的 两种相关的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例，然后找准对应量，列式解答即可．【习题2】用5台压铸机3小时可生产180个零件，那么用4台压铸机4小时可生产多少个零件？【难度】★ 【答案】192个．【解析】设4台压铸机4小时可生产x 个零件，1805344x=⨯⨯，解得192x =， 答：用4台压铸机4小时可生产192个零件．【总结】本题考查了简单的归一问题，解答此题的关键是根据工作量、工作时间和工作 效率之间的关系，即可解答．随堂检测【习题3】从昂立智立方徐汇校区走到上海影城，小智需要8分钟，小方需要10分钟，则小智和小方的速度之比为____________．【难度】★【答案】5:4．【解析】设小智的速度为x，小方的速度为y，则810x y=，∴:5:4x y=．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题，【习题4】一个长方形的长和宽之比为7 : 4，周长为66，则这个长方形的面积为______．【难度】★★【答案】252．【解析】长方形的长是：76621472⨯=+，长方形的宽是：46612472⨯=+，∴面积为2112252⨯=．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题，关键是灵活利用长方形的周长公式．【习题5】在比例尺为1 : 2000000的地图上，量得甲、乙两地的距离为3.6厘米，如果汽车以每小时60千米的速度从甲地到乙地，多少小时可以到达？【难度】★★【答案】1.2小时．【解析】设图上3.6厘米表示实际距离x厘米，则1:2000000 3.6:x=，解得7200000x=，7200000厘米=72千米，7260 1.2÷=（小时）答：从甲地到乙地，1.2小时可以到达．【总结】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．【习题6】师徒两人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟，完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？【难度】★★ 【答案】100个．【解析】∵师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟，∴师徒完成的数量比为15:95:3=，师傅加工零件：540025053⨯=+（个），徒弟加工零件：340015053⨯=+（个）， 250150100-=（个）．答：师傅比徒弟多加工100个零件．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题，做题的关键是找出题中的比例关系，再列比例式进行解答．【习题7】甲、乙两仓库共有存粮4200吨，当甲仓库运入存粮750吨，乙仓库运出存粮450吨，甲、乙两仓库存粮的吨数比是8 : 7，求甲、乙两仓库原来各有存粮多少吨？【难度】★★【答案】甲仓库原来存量1650吨，乙仓库原来存量2550吨．【解析】设甲甲仓库原来存量x 吨，乙仓库原来存量()4200x -吨，则由题意得750842004507x x +=--，解得1650x =，4200420016502550x -=-=（吨）答：甲仓库原来存量1650吨，乙仓库原来存量2550吨．【总结】本题考查了比的应用．【习题8】“果珍鲜”水果大卖场采购进一批新疆阿克苏和山东红富士两种苹果，新疆阿克苏和山东红富士的单价比是5 : 3，且重量比是5 : 11，这两种苹果共花去2320元，问哪种苹果花的钱多？多多少？【难度】★★【答案】山东红富士花的钱多，多320元．【解析】两种苹果花的钱数比是()()55:31125:33⨯⨯=，3325232023201320100032025332533⨯-⨯=-=++（元）．答：山东红富士花的钱多，多320元．【总结】本题考查了比的应用，解决本题的关键是利用总价、数量和单价的关系求出总价的比．【习题9】若正整数a 、b 满足111182a b -=，且:7:13a b =，求a + b 的值． 【难度】★★★ 【答案】240．【解析】设7a k =，13b k =，代入111182a b -=得111713182k k -=，解得12k =， 所以713202012240a b k k k +=+==⨯=．【总结】本题考查了比例的性质，解题的关键是注意比例的性质及设k 法的运用．【习题10】 在抗洪救灾捐款活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐的和与乙、丙所捐的和之比是10 : 7，则甲、乙、丙各捐了多少元？【难度】★★★【答案】甲捐了38元，乙捐了22元，丙捐了20元．【解析】设丙捐了x 元，则甲捐了()18x +元，乙捐了()622x -元，则由题意得18622106227x x x x ++-=-+，解得20x =，1838x +=，62222x -=，答：甲捐了38元，乙捐了22元，丙捐了20元．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．【作业1】一种练习本5元可以买4本，购买10本这种练习本需要______元．【难度】★【答案】12.5．【解析】设买10本这种练习本需要x元，则5410x=，解得12.5x=．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题，【作业2】某服装车间，4小时可以做100套工作服，照这样的速度，7小时可以做多少套工作服？做750套工作服要多少时间？【难度】★【答案】175套；30小时．【解析】设7小时可以做x套工作服，则47100x=，解得175x=，设做750套工作服要y小时，则4100750y=，解得30y=．答：7小时可以做175套工作服，做750套工作服要30小时．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．【作业3】一种药水是把药粉和水按照1 : 100配制而成，要配制这种药水5050千克，需要药粉______千克．【难度】★【答案】50．【解析】15050501100⨯=+（千克）【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．课后作业【作业4】今年我市举行古诗文大赛，初中组获奖的人数为240名，一、二、三等奖人数之比为1 : 2 : 3，则获得二等奖的有______人．【难度】★【答案】80．【解析】224080123⨯=++（人）．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．【作业5】“光明”灯具厂计划上半年生产LED灯8600只，实际前4个月就生产了6400只，照这样的计算上半年实际生产超过原计划多少只？【难度】★★【答案】1000只．【解析】设上半年实际生产x只，则由题意得466400x=，解得9600x=，960086001000-=（只）答：上半年实际生产超过原计划1000只．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．【作业6】把一根绳子按3 : 2截成甲、乙两段，已知乙段比甲段短1.6米，那么这根绳子原来长多少米？【难度】★★【答案】8米．【解析】设这根绳子原来长x米，则由题意得321.63232x x-=++，解得8x=．答：这根绳子原来长8米．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．【作业7】两地相距480千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，4小时后相遇，已知甲、乙两车速度的比是5 : 3，甲、乙两车每小时各行多少千米？【难度】★★【答案】甲每小时行75千米，乙每小时行45千米．【解析】设甲车速度为5k ，乙车速度为3k ，则()435480k k +=，解得15k =，所以551575k =⨯=（千米/时），331545k =⨯=（千米/时）答：甲每小时行75千米，乙每小时行45千米．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．【作业8】用长24厘米的铁丝围成一个直角三角形，且这个三角形三条边长度的比是3 : 4 : 5，这个直角三角形斜边上的高是多少厘米？【难度】★★ 【答案】245厘米．【解析】设三角形三边的长分别为3k 、4k 、5k ，则由题意得34512k k k ++=，解得2k =，所以直角三角形三边长分别为6、8、10，设直角三角形斜边上的高是x 厘米，则由三角形面积公式得 11681022x ⨯⨯=⨯⋅，解得245x =．答：这个直角三角形斜边上的高是245厘米． 【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．【作业9】公园里有一圆形花坛，甲、乙两人从同一点反向而行，15秒后相遇，其中甲绕花坛一圈需要40秒，则乙绕花坛一圈需要多少秒？【难度】★★★ 【答案】24秒．【解析】设乙绕花坛一圈需要x 秒，则40154015x -=，解得24x =． 答：乙绕花坛一圈需要24秒．【总结】本题考查了简单的行程问题，重点是找出走相同的路程甲、乙两人所用的时间 比．【作业10】 四年级、五年级和六年级这三个年级参加植树活动，共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3 : 2，六年级比四年级多80人，三个年级参加植树的各有多少人？【难度】★★★【答案】四年级参加植树的有220人，五年级参加植树的有200人，六年级参加植树的有300人．【解析】设六年级参加植树的有3x 人，五年级参加植树的有2x 人，四年级参加植树的 有()380x -人，则由题意得：32380720x x x ++-=，解得100x =，∴六年级：33100300x =⨯=（人）五年级：22100200x =⨯=（人）四年级：38030080220x -=-=（人），答：四年级参加植树的有220人，五年级参加植树的有200人，六年级参加植 树的有300人．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．。
小学数学比例应用题100道及答案(完整版)1. 小明用10 元钱买了5 个本子，照这样计算，16 元可以买几个本子？答案：8 个解析：先算出每个本子的价格10÷5 = 2 元，16÷2 = 8 个2. 工厂生产一种零件，3 小时生产了180 个，照这样计算，8 小时可以生产多少个？答案：480 个解析：每小时生产180÷3 = 60 个，8 小时生产60×8 = 480 个3. 一辆汽车5 小时行驶250 千米，照这样的速度，7 小时行驶多少千米？答案：350 千米解析：速度为250÷5 = 50 千米/时，7 小时行驶50×7 = 350 千米4. 4 头牛5 天吃草800 千克，照这样计算，7 头牛8 天吃草多少千克？答案：2240 千克解析：1 头牛1 天吃草800÷4÷5 = 40 千克，7 头牛8 天吃草40×7×8 = 2240 千克5. 用20 千克花生可以榨油8 千克，照这样计算，100 千克花生可以榨油多少千克？答案：40 千克解析：出油率为8÷20 = 0.4，100×0.4 = 40 千克6. 某工厂8 个工人6 天加工零件720 个，照这样计算，12 个工人15 天可以加工零件多少个？答案：2700 个解析：1 个工人1 天加工720÷8÷6 = 15 个，12 个工人15 天加工15×12×15 = 2700 个7. 5 台织布机8 小时织布480 米，照这样计算，7 台织布机12 小时织布多少米？答案：1008 米解析：1 台织布机1 小时织布480÷5÷8 = 12 米，7 台织布机12 小时织布12×7×12 = 1008 米8. 修一条路，3 人5 天可以修150 米，照这样计算，8 人10 天可以修多少米？答案：800 米解析：1 人1 天修150÷3÷5 = 10 米，8 人10 天修10×8×10 = 800 米9. 10 辆汽车12 次运货物600 吨，照这样计算，20 辆汽车15 次可以运货物多少吨？答案：1500 吨解析：1 辆汽车1 次运600÷10÷12 = 5 吨，20 辆汽车15 次运5×20×15 = 1500 吨10. 学校用同样的方砖铺地，铺5 平方米需要方砖120 块，照这样计算，铺30 平方米需要方砖多少块？答案：720 块解析：1 平方米需要120÷5 = 24 块，30 平方米需要24×30 = 720 块11. 小明2 分钟走120 米，照这样的速度，他从家到学校走了8 分钟，他家到学校有多远？答案：480 米解析：速度为120÷2 = 60 米/分钟，8 分钟走60×8 = 480 米12. 工人师傅4 小时加工零件160 个，照这样计算，7 小时加工零件多少个？答案：280 个解析：每小时加工160÷4 = 40 个，7 小时加工40×7 = 280 个13. 6 台收割机8 天收割小麦240 公顷，照这样计算，10 台收割机12 天收割小麦多少公顷？答案：600 公顷解析：1 台收割机1 天收割240÷6÷8 = 5 公顷，10 台收割机12 天收割5×10×12 = 600 公顷14. 某服装厂3 天生产服装180 套，照这样计算，9 天可以生产服装多少套？答案：540 套解析：每天生产180÷3 = 60 套，9 天生产60×9 = 540 套15. 15 头牛4 天吃草180 千克，照这样计算，8 头牛6 天吃草多少千克？答案：576 千克解析：1 头牛1 天吃草180÷15÷4 = 3 千克，8 头牛 6 天吃草3×8×6 = 144 千克16. 5 个工人6 小时加工零件300 个，照这样计算，8 个工人10 小时加工零件多少个？答案：480 个解析：1 个工人1 小时加工300÷5÷6 = 10 个，8 个工人10 小时加工10×8×10 = 800 个17. 一辆汽车3 小时行驶180 千米，照这样的速度，5 小时行驶多少千米？答案：300 千米解析：速度为180÷3 = 60 千米/时，5 小时行驶60×5 = 300 千米18. 用100 千克大豆可以榨油16 千克，照这样计算，400 千克大豆可以榨油多少千克？答案：64 千克解析：出油率为16÷100 = 0.16，400×0.16 = 64 千克19. 修一条路，5 人7 天可以修350 米，照这样计算，10 人14 天可以修多少米？答案：1400 米解析：1 人1 天修350÷5÷7 = 10 米，10 人14 天修10×10×14 = 1400 米20. 3 台抽水机4 小时抽水240 立方米，照这样计算，5 台抽水机6 小时抽水多少立方米？答案：600 立方米解析：1 台抽水机1 小时抽水240÷3÷4 = 20 立方米，5 台抽水机6 小时抽水20×5×6 = 600 立方米21. 某工厂6 个工人5 天生产零件900 个，照这样计算，15 个工人8 天可以生产零件多少个？答案：3600 个解析：1 个工人1 天生产900÷6÷5 = 30 个，15 个工人8 天生产30×15×8 = 3600 个22. 8 台印刷机10 小时印刷纸张48000 张，照这样计算，12 台印刷机15 小时印刷纸张多少张？答案：108000 张解析：1 台印刷机1 小时印刷48000÷8÷10 = 600 张，12 台印刷机15 小时印刷600×12×15 = 108000 张23. 5 辆汽车7 次运煤140 吨，照这样计算，8 辆汽车10 次运煤多少吨？答案：320 吨解析：1 辆汽车1 次运煤140÷5÷7 = 4 吨，8 辆汽车10 次运煤4×8×10 = 320 吨24. 服装厂2 天生产服装120 套，照这样计算，6 天可以生产服装多少套？答案：360 套解析：每天生产120÷2 = 60 套，6 天生产60×6 = 360 套25. 12 头牛5 天吃草300 千克，照这样计算，18 头牛8 天吃草多少千克？答案：864 千克解析：1 头牛1 天吃草300÷12÷5 = 5 千克，18 头牛8 天吃草5×18×8 = 720 千克26. 4 个工人3 小时加工零件120 个，照这样计算，7 个工人8 小时加工零件多少个？答案：560 个解析：1 个工人1 小时加工120÷4÷3 = 10 个，7 个工人8 小时加工10×7×8 = 560 个27. 一辆汽车4 小时行驶280 千米，照这样的速度，7 小时行驶多少千米？答案：490 千米解析：速度为280÷4 = 70 千米/时，7 小时行驶70×7 = 490 千米28. 用80 千克花生可以榨油32 千克，照这样计算，200 千克花生可以榨油多少千克？答案：80 千克解析：出油率为32÷80 = 0.4，200×0.4 = 80 千克29. 修一条路，4 人6 天可以修240 米，照这样计算，6 人9 天可以修多少米？答案：540 米解析：1 人1 天修240÷4÷6 = 10 米，6 人9 天修10×6×9 = 540 米30. 5 台拖拉机6 小时耕地150 亩，照这样计算，8 台拖拉机9 小时耕地多少亩？答案：216 亩解析：1 台拖拉机1 小时耕地150÷5÷6 = 5 亩，8 台拖拉机9 小时耕地5×8×9 = 360 亩31. 某工厂10 个工人8 天生产零件800 个，照这样计算，15 个工人12 天可以生产零件多少个？答案：1800 个解析：1 个工人1 天生产800÷10÷8 = 10 个，15 个工人12 天生产10×15×12 = 1800 个32. 6 台磨面机7 小时磨面粉2520 千克，照这样计算，9 台磨面机10 小时磨面粉多少千克？答案：3600 千克解析：1 台磨面机1 小时磨面粉2520÷6÷7 = 60 千克，9 台磨面机10 小时磨面粉60×9×10 = 5400 千克33. 4 辆卡车5 次运货物160 吨，照这样计算，7 辆卡车8 次运货物多少吨？答案：448 吨解析：1 辆卡车1 次运货物160÷4÷5 = 8 吨，7 辆卡车8 次运货物8×7×8 = 448 吨34. 服装厂3 天生产服装180 套，照这样计算，9 天可以生产服装多少套？答案：540 套解析：每天生产180÷3 = 60 套，9 天生产60×9 = 540 套35. 18 头牛6 天吃草540 千克，照这样计算，12 头牛8 天吃草多少千克？答案：480 千克解析：1 头牛1 天吃草540÷18÷6 = 5 千克，12 头牛8 天吃草5×12×8 = 480 千克36. 5 个工人8 小时加工零件400 个，照这样计算，7 个工人12 小时加工零件多少个？答案：840 个解析：1 个工人1 小时加工400÷5÷8 = 10 个，7 个工人12 小时加工10×7×12 = 840 个37. 一辆汽车6 小时行驶360 千米，照这样的速度，8 小时行驶多少千米？答案：480 千米解析：速度为360÷6 = 60 千米/时，8 小时行驶60×8 = 480 千米38. 用120 千克大豆可以榨油24 千克，照这样计算，300 千克大豆可以榨油多少千克？答案：60 千克解析：出油率为24÷120 = 0.2，300×0.2 = 60 千克39. 修一条路，6 人8 天可以修480 米，照这样计算，9 人12 天可以修多少米？答案：864 米解析：1 人1 天修480÷6÷8 = 10 米，9 人12 天修10×9×12 = 1080 米40. 7 台织布机9 小时织布630 米，照这样计算，10 台织布机12 小时织布多少米？答案：960 米解析：1 台织布机1 小时织布630÷7÷9 = 10 米，10 台织布机12 小时织布10×10×12 = 1200 米41. 某工厂12 个工人10 天生产零件1200 个，照这样计算，18 个工人15 天可以生产零件多少个？答案：2700 个解析：1 个工人 1 天生产1200÷12÷10 = 10 个，18 个工人15 天生产10×18×15 = 2700 个42. 8 台收割机9 天收割小麦360 公顷，照这样计算，12 台收割机15 天收割小麦多少公顷？答案：900 公顷解析：1 台收割机1 天收割360÷8÷9 = 5 公顷，12 台收割机15 天收割5×12×15 = 900 公顷43. 5 辆汽车6 次运货物150 吨，照这样计算，8 辆汽车10 次运货物多少吨？答案：400 吨解析：1 辆汽车1 次运货物150÷5÷6 = 5 吨，8 辆汽车10 次运货物5×8×10 = 400 吨44. 服装厂4 天生产服装240 套，照这样计算，12 天可以生产服装多少套？答案：720 套解析：每天生产240÷4 = 60 套，12 天生产60×12 = 720 套45. 20 头牛7 天吃草700 千克，照这样计算，15 头牛10 天吃草多少千克？答案：750 千克解析：1 头牛1 天吃草700÷20÷7 = 5 千克，15 头牛10 天吃草5×15×10 = 750 千克46. 6 个工人7 小时加工零件210 个，照这样计算，9 个工人14 小时加工零件多少个？答案：630 个解析：1 个工人1 小时加工210÷6÷7 = 5 个，9 个工人14 小时加工5×9×14 = 630 个47. 一辆汽车5 小时行驶250 千米，照这样的速度，9 小时行驶多少千米？答案：450 千米解析：速度为250÷5 = 50 千米/时，9 小时行驶50×9 = 450 千米48. 用150 千克花生可以榨油60 千克，照这样计算，350 千克花生可以榨油多少千克？答案：140 千克解析：出油率为60÷150 = 0.4，350×0.4 = 140 千克49. 修一条路，7 人9 天可以修630 米，照这样计算，10 人18 天可以修多少米？答案：1800 米解析：1 人1 天修630÷7÷9 = 10 米，10 人18 天修10×10×18 = 1800 米50. 8 台拖拉机7 小时耕地280 亩，照这样计算，12 台拖拉机10 小时耕地多少亩？答案：600 亩解析：1 台拖拉机1 小时耕地280÷8÷7 = 5 亩，12 台拖拉机10 小时耕地5×12×10 = 600 亩51. 某工厂15 个工人12 天生产零件1800 个，照这样计算，20 个工人18 天可以生产零件多少个？答案：5400 个解析：1 个工人 1 天生产1800÷15÷12 = 10 个，20 个工人18 天生产10×20×18 = 3600 个52. 9 台印刷机11 小时印刷纸张49500 张，照这样计算，15 台印刷机16 小时印刷纸张多少张？答案：120000 张解析：1 台印刷机1 小时印刷49500÷9÷11 = 500 张，15 台印刷机16 小时印刷500×15×16 = 120000 张53. 7 辆汽车8 次运煤224 吨，照这样计算，10 辆汽车12 次运煤多少吨？答案：480 吨解析：1 辆汽车1 次运煤224÷7÷8 = 4 吨，10 辆汽车12 次运煤4×10×12 = 480 吨54. 服装厂5 天生产服装300 套，照这样计算，15 天可以生产服装多少套？答案：900 套解析：每天生产300÷5 = 60 套，15 天生产60×15 = 900 套55. 25 头牛8 天吃草1000 千克，照这样计算，18 头牛12 天吃草多少千克？答案：864 千克解析：1 头牛 1 天吃草1000÷25÷8 = 5 千克，18 头牛12 天吃草5×18×12 = 1080 千克56. 8 个工人9 小时加工零件360 个，照这样计算，12 个工人15 小时加工零件多少个？答案：900 个解析：1 个工人1 小时加工360÷8÷9 = 5 个，12 个工人15 小时加工5×12×15 = 900 个57. 一辆汽车7 小时行驶420 千米，照这样的速度，10 小时行驶多少千米？答案：600 千米解析：速度为420÷7 = 60 千米/时，10 小时行驶60×10 = 600 千米58. 用200 千克大豆可以榨油80 千克，照这样计算，450 千克大豆可以榨油多少千克？答案：180 千克解析：出油率为80÷200 = 0.4，450×0.4 = 180 千克59. 修一条路，9 人11 天可以修990 米，照这样计算，12 人20 天可以修多少米？答案：2400 米解析：1 人1 天修990÷9÷11 = 10 米，12 人20 天修10×12×20 = 2400 米60. 10 台收割机12 小时收割小麦600 公顷，照这样计算，15 台收割机18 小时收割小麦多少公顷？答案：1350 公顷解析：1 台收割机1 小时收割600÷10÷12 = 5 公顷，15 台收割机18 小时收割5×15×18 = 1350 公顷61. 某工厂18 个工人14 天生产零件2520 个，照这样计算，24 个工人21 天可以生产零件多少个？答案：6048 个解析：1 个工人 1 天生产2520÷18÷14 = 10 个，24 个工人21 天生产10×24×21 = 5040 个62. 11 台磨面机13 小时磨面粉5720 千克，照这样计算，16 台磨面机18 小时磨面粉多少千克？答案：11520 千克解析：1 台磨面机1 小时磨面粉5720÷11÷13 = 40 千克，16 台磨面机18 小时磨面粉40×16×18 = 11520 千克63. 9 辆卡车10 次运货物450 吨，照这样计算，12 辆卡车15 次运货物多少吨？答案：900 吨解析：1 辆卡车1 次运货物450÷9÷10 = 5 吨，12 辆卡车15 次运货物5×12×15 = 900 吨64. 服装厂6 天生产服装360 套，照这样计算，18 天可以生产服装多少套？答案：1080 套解析：每天生产360÷6 = 60 套，18 天生产60×18 = 1080 套65. 30 头牛10 天吃草1200 千克，照这样计算，24 头牛15 天吃草多少千克？答案：1440 千克解析：1 头牛1 天吃草1200÷30÷10 = 4 千克，24 头牛15 天吃草4×24×15 = 1440 千克66. 10 个工人12 小时加工零件600 个，照这样计算，15 个工人20 小时加工零件多少个？答案：1500 个解析：1 个工人1 小时加工600÷10÷12 = 5 个，15 个工人20 小时加工5×15×20 = 1500 个67. 一辆汽车8 小时行驶480 千米，照这样的速度，12 小时行驶多少千米？答案：720 千米解析：速度为480÷8 = 60 千米/时，12 小时行驶60×12 = 720 千米68. 用250 千克花生可以榨油100 千克，照这样计算，550 千克花生可以榨油多少千克？答案：220 千克解析：出油率为100÷250 = 0.4，550×0.4 = 220 千克69. 修一条路，11 人13 天可以修715 米，照这样计算，14 人22 天可以修多少米？答案：1638 米解析：1 人1 天修715÷11÷13 = 5 米，14 人22 天修5×14×22 = 1540 米70. 12 台拖拉机14 小时耕地504 亩，照这样计算，18 台拖拉机20 小时耕地多少亩？答案：1080 亩解析：1 台拖拉机1 小时耕地504÷12÷14 = 3 亩，18 台拖拉机20 小时耕地3×18×20 = 1080 亩71. 某工厂20 个工人16 天生产零件3200 个，照这样计算，25 个工人24 天可以生产零件多少个？答案：9000 个解析：1 个工人 1 天生产3200÷20÷16 = 10 个，25 个工人24 天生产10×25×24 = 6000 个72. 13 台印刷机15 小时印刷纸张78000 张，照这样计算，18 台印刷机20 小时印刷纸张多少张？答案：144000 张解析：1 台印刷机1 小时印刷78000÷13÷15 = 400 张，18 台印刷机20 小时印刷400×18×20 = 144000 张73. 11 辆汽车12 次运煤396 吨，照这样计算，15 辆汽车18 次运煤多少吨？答案：810 吨解析：1 辆汽车1 次运煤396÷11÷12 = 3 吨，15 辆汽车18 次运煤3×15×18 = 810 吨74. 服装厂7 天生产服装420 套，照这样计算，21 天可以生产服装多少套？答案：1260 套解析：每天生产420÷7 = 60 套，21 天生产60×21 = 1260 套75. 35 头牛12 天吃草1680 千克，照这样计算，28 头牛16 天吃草多少千克？答案：1792 千克解析：1 头牛1 天吃草1680÷35÷12 = 4 千克，28 头牛16 天吃草4×28×16 = 1792 千克76. 12 个工人14 小时加工零件720 个，照这样计算，18 个工人21 小时加工零件多少个？解析：1 个工人1 小时加工720÷12÷14 = 5 个，18 个工人21 小时加工5×18×21 = 1890 个77. 一辆汽车9 小时行驶540 千米，照这样的速度，15 小时行驶多少千米？答案：900 千米解析：速度为540÷9 = 60 千米/时，15 小时行驶60×15 = 900 千米78. 用300 千克大豆可以榨油120 千克，照这样计算，650 千克大豆可以榨油多少千克？答案：260 千克解析：出油率为120÷300 = 0.4，650×0.4 = 260 千克79. 修一条路，13 人15 天可以修780 米，照这样计算，16 人25 天可以修多少米？答案：1600 米解析：1 人1 天修780÷13÷15 = 4 米，16 人25 天修4×16×25 = 1600 米80. 14 台收割机16 小时收割小麦896 公顷，照这样计算，20 台收割机24 小时收割小麦多少公顷？答案：1536 公顷解析：1 台收割机1 小时收割896÷14÷16 = 4 公顷，20 台收割机24 小时收割4×20×24 = 1920 公顷81. 某工厂22 个工人18 天生产零件3960 个，照这样计算，28 个工人27 天可以生产零件多少个？答案：9072 个解析：1 个工人 1 天生产3960÷22÷18 = 10 个，28 个工人27 天生产10×28×27 = 7560 个82. 15 台磨面机17 小时磨面粉8500 千克，照这样计算，20 台磨面机25 小时磨面粉多少千克？答案：12500 千克解析：1 台磨面机1 小时磨面粉8500÷15÷17 = 100/3 千克，20 台磨面机25 小时磨面粉100/3×20×25 = 50000/3 千克≈16666.67 千克83. 13 辆卡车14 次运货物588 吨，照这样计算，18 辆卡车21 次运货物多少吨？答案：1134 吨解析：1 辆卡车1 次运货物588÷13÷14 = 3 吨，18 辆卡车21 次运货物3×18×21 = 1134 吨84. 服装厂8 天生产服装480 套，照这样计算，24 天可以生产服装多少套？答案：1440 套解析：每天生产480÷8 = 60 套，24 天生产60×24 = 1440 套85. 40 头牛15 天吃草1800 千克，照这样计算，32 头牛20 天吃草多少千克？解析：1 头牛1 天吃草1800÷40÷15 = 3 千克，32 头牛20 天吃草3×32×20 = 1920 千克86. 14 个工人16 小时加工零件896 个，照这样计算，20 个工人24 小时加工零件多少个？答案：1920 个解析：1 个工人1 小时加工896÷14÷16 = 4 个，20 个工人24 小时加工4×20×24 = 1920 个87. 一辆汽车10 小时行驶600 千米，照这样的速度，18 小时行驶多少千米？答案：1080 千米解析：速度为600÷10 = 60 千米/时，18 小时行驶60×18 = 1080 千米88. 用350 千克花生可以榨油140 千克，照这样计算，750 千克花生可以榨油多少千克？答案：300 千克解析：出油率为140÷350 = 0.4，750×0.4 = 300 千克89. 修一条路，15 人18 天可以修900 米，照这样计算，18 人30 天可以修多少米？答案：1800 米解析：1 人1 天修900÷15÷18 = 10 / 3 米，18 人30 天修10 / 3×18×30 = 1800 米90. 16 台拖拉机18 小时耕地864 亩，照这样计算，24 台拖拉机27 小时耕地多少亩？答案：1944 亩解析：1 台拖拉机1 小时耕地864÷16÷18 = 3 亩，24 台拖拉机27 小时耕地3×24×27 = 1944 亩91. 某工厂25 个工人20 天生产零件5000 个，照这样计算，30 个工人30 天可以生产零件多少个？答案：9000 个解析：1 个工人 1 天生产5000÷25÷20 = 10 个，30 个工人30 天生产10×30×30 = 9000 个92. 17 台印刷机19 小时印刷纸张96900 张，照这样计算，22 台印刷机25 小时印刷纸张多少张？答案：165000 张解析：1 台印刷机1 小时印刷96900÷17÷19 = 300 张，22 台印刷机25 小时印刷300×22×25 = 165000 张93. 15 辆汽车16 次运煤600 吨，照这样计算，20 辆汽车24 次运煤多少吨？答案：1200 吨解析：1 辆汽车 1 次运煤600÷15÷16 = 2.5 吨，20 辆汽车24 次运煤 2.5×20×24 = 1200 吨94. 服装厂9 天生产服装540 套，照这样计算，27 天可以生产服装多少套？答案：1620 套解析：每天生产540÷9 = 60 套，27 天生产60×27 = 1620 套95. 45 头牛18 天吃草2160 千克，照这样计算，36 头牛24 天吃草多少千克？答案：2592 千克解析：1 头牛1 天吃草2160÷45÷18 = 8 / 3 千克，36 头牛24 天吃草8 / 3×36×24 = 2592 千克96. 16 个工人18 小时加工零件960 个，照这样计算，24 个工人27 小时加工零件多少个？答案：2592 个解析：1 个工人1 小时加工960÷16÷18 = 10 / 3 个，24 个工人27 小时加工10 / 3×24×27 = 2160 个97. 一辆汽车11 小时行驶660 千米，照这样的速度，16 小时行驶多少千米？答案：960 千米解析：速度为660÷11 = 60 千米/时，16 小时行驶60×16 = 960 千米98. 用400 千克花生可以榨油160 千克，照这样计算，850 千克花生可以榨油多少千克？答案：340 千克解析：出油率为160÷400 = 0.4，850×0.4 = 340 千克99. 修一条路，17 人21 天可以修1020 米，照这样计算，20 人35 天可以修多少米？答案：2000 米解析：1 人1 天修1020÷17÷21 = 10 / 3 米，20 人35 天修10 / 3×20×35 = 2000 米100. 18 台收割机20 小时收割小麦960 公顷，照这样计算，27 台收割机30 小时收割小麦多少公顷？答案：2160 公顷解析：1 台收割机1 小时收割960÷18÷20 = 8 / 3 公顷，27 台收割机30 小时收割8 / 3×27×30 = 2160 公顷。
比例应用题经典例题二1.甲、乙两班人数之比为2:3，新学期乙班新增2名学生，甲班人数没变，甲、乙两班人数之比变为5:8，那么甲班有名学生。
2.今年小明与小红的年龄比是3:5，3年后小明与小红的年龄比是5:8，那么小明今年岁。
3.两根粗细相同、材料相同的蜡烛，长度比为29:26，燃烧25分钟后，长度比变为11:9，那么较长的那根蜡烛还能燃烧分钟。
（填小数）4.阿瓜和阿呆的钱数比为2:3，阿呆给阿瓜60元后，阿瓜和阿呆的钱数比变为4:3，那么阿瓜原来有元钱。
5.姐姐和妹妹拥有的糖果数量比为3:2，姐姐给了妹妹22颗糖后，姐姐与妹妹的糖数比变为2:5，那么姐姐原来有颗糖。
6.一根冰糕售价3元，如果阿童木买这根冰糕，那么阿童木和机器猫剩余的钱数之比为2:5，如果机器猫买了这根冰糕，那么两人的剩余钱数之比为8:13，原来阿童木有元钱。
7.一瓶盐水，盐和水的重量比是1:24，如果再放入75克水，这时盐与水的重量比是1:27，原来瓶内盐水重克。
8.甲、乙两包糖果的重量比是3:1，如果从甲中取出25克放入乙，甲、乙的重量比变为7:5，那么两包糖果的重量和为克。
9.某小学男、女生人数比为16:13，有几名女生转学来到这所学校后，男、女生人数比变为6:5，这时全校共有学生880名，那么转学的女生共有名。
10.亮亮读一本书，已读和未读的页数比是1:5，如果再读30页，已读和未读的页数比为3:5，那么这本书共有页。
11.隔壁班的男、女生人数比为6:5，后来转走了5名男生，班上的男、女生人数比变成了1:1，那么班里一共有女生名。
12.姐姐和妹妹微信钱包里的钱数比为4:3，后来妹妹给姐姐发了两元红包后，姐姐和妹妹的钱数比变为了25:17，那么原来姐姐有元钱。
13.5年前，高高和思思的年龄比是3：4，3年后，高高和思思的年龄比变成了5:6，那么今年高高和思思的年龄和是岁。
14.一杯糖水，糖和水的重量比为1:5，加了100克水后，糖和水的重量比变成了1:10，现在这杯糖水的总重量为克。
模块一：比例性质的应用比例应用题是对比例的意义和性质的应用拓展，重点在于灵活的根据题意寻找比例关系，然后利用比例的意义和基本性质进行解题．其中，方程的思想尤为重要．比例的应用题实际上是分数应用题的另一种表达方式，而且熟练掌握比例的应用对于之后学习百分比的应用也有一定的帮助作用．另外，比例应用题中有一类特殊的题型——比例行程问题，重点在于理解行程问题中路程、速度和时间三者之间的关系，难点是利用已知量，根据三者的关系计算未知的量．1、 根据比例的意义和性质解题根据::a b c d =，若已知其中三个量，则可以求解第四个量的值．如：bcd a=． 简单的比例问题，解题过程中，首先根据比例的意义寻找两个比值相等的比，组成比例，然后利用比例的性质，求解未知量． 2、 比例尺比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比． 即：比例尺 = 图上距离 : 实际距离．比例应用题内容分析知识结构知识精讲【例1】甲、乙两人加工零件，甲3小时加工了126个零件，乙4小时加工了140个零件，则甲、乙两人的工作效率的比是______．【难度】★【答案】6:5．【解析】甲一小时加工126423=个零件，乙一小时加工140354=个零件，所以甲、乙两人的工作效率的比是42:356:5=．【总结】考察工程问题中三个基本量之间的关系．【例2】一种练习本10元可以买8本，购买10本这种练习本需要______元．【难度】★【答案】12.5．【解析】一本练习本101.258=元，所以10本需要12.5元．【总结】考察公式=总价单价数量的运用．【例3】（1）一幅地图的比例尺是1 : 5000000，图上4厘米表示的实际距离是______千米；（2）比例尺为200 : 1的图纸上，量出某零件的长度是40 cm，这个零件的实际长度是______cm．【难度】★【答案】（1）200；（2）0.2．【解析】（1）0.000045000000200⨯=千米；（2）400.2200=厘米．【总结】考察比例尺的意义，注意单位的统一．例题解析【例4】某机床厂制造了一批机床，3天生产了21台，结果再生产12天就完成了任务，这批机床共有多少台？【难度】★★【答案】105台．【解析】1天生产21÷3=7台，机床总数：7⨯（3+12）=105台．【总结】考察“工作总量=工作效率×工作时间”的应用．【例5】5克盐溶解在60克水中，盐与盐水的比值是______；现有144克水，要配制同样浓度的盐水，则需要______克盐．【难度】★★【答案】113，12克．【解析】5160+513=，11441212⨯=克．【总结】考察浓度问题，注意区分水与盐水的区别．【例6】三个工人4小时生产70公斤白糖，则：（1）3小时三人生产多少斤白糖？（2）三人生产80斤白糖需要多少小时？（3）4个工人5小时生产多少斤白糖？【难度】★★【答案】（1）105斤；（2）167小时；（3）7003斤．【解析】三个工人1小时生产702354⨯=斤，（1）335105⨯=斤；（2）8016357=小时；（3）357004533⨯⨯=斤．【总结】考察单位时间的工作量，注意单位换算1公斤=2斤．【例7】第一组与第二组人数比是5 : 3，从第一组调14人到第二组，第一组与第二组人数比是1 : 2，那么第一组有______人，第二组有______人．【难度】★★★【答案】30，18．【解析】设第一组人数为5a，第二组人数为3a，那么51413142aa-=+，可得：a=6，所以5a=30，6a=18．即第一组有30人，第二组有18人．【总结】考察调配问题，比例式的运用．【例8】小杰读一本书，第一天读完后，已读和未读的页数比是1 : 5，第二天又读了30页，已读和未读的页数的比变为3 : 5，求这本书共多少页？．【难度】★★★【答案】144．【解析】3130()1443515÷-=++页．【总结】考察和差关系和比例分配问题的综合运用．【例9】甲、乙、丙是三个互相咬合的齿轮，若甲齿轮转5圈时，乙齿轮转4圈，丙齿轮转6圈，则三个齿轮的齿数比是多少？．【难度】★★★【答案】12:15:10．【解析】5、4、6的最小公倍数是60，即三个齿轮在转了一圈之后转过的总齿数是60．其中甲的齿数为：60÷5=12（齿），乙的齿数为：60÷4=15（齿）；丙的齿数为：60÷6=10（齿），所以三个齿轮的齿数比是：12:15:10．【总结】考察几个数的比在实际问题中的运用．【例10】 农场养了若干鸡和兔，已知全部的鸡和兔的头和脚的数量之比是2 : 5，求鸡和兔的数量之比．【难度】★★★ 【答案】3:1．【解析】设鸡有m 只，兔有n 只，则鸡共有2m 只脚，兔共有4n 只脚， 由题意，可得：():(24)2:5m n m n ++=，即4855m n m n +=+， 解得：3m n =，所以:3:1m n =． 即鸡和兔的数量之比为3:1．【总结】考察鸡兔同笼问题，本题综合性较强，注意利用比例的基本性质求出两个变量之间 的关系，从而求出比值．1、 已知两个量的数量比与数量和两个量A 、B ，数量之比为a : b ，数量之和为x ，则A 的数量为ax a b +，B 的数量为bxa b+． 2、 已知两个量的数量比与数量差两个量A 、B ，数量之比为a : b （a b >），数量之差为x ，则A 的数量为axa b-，B 的数量为bxa b-． 3、 设k 法若A : B = a : b ，可设A = ak ，B = bk ，其中0k ≠，那么：()A B ak bk a b k +=+=+，()A B ak bk a b k -=-=-．模块二：和差关系与比例分配知识精讲【例11】用28米长的铁丝围成一个长方形，这个长方形的长与宽的比是5:2，这个长方形的长和宽各是多少？【难度】★【答案】长为10米，宽为4米．【解析】长=28510252⨯=+米，宽=2824252⨯=+米．【总结】考察已知两个量的数量比和数量和，求这两个量．【例12】用84厘米长的铁丝围成一个三角形，这个三角形三条边长度的比是3 : 4 : 5，这个三角形三条边各是多少厘米？【难度】★【答案】21，28，35．【解析】38421345⨯=++厘米，48428345⨯=++厘米，58435345⨯=++厘米．【总结】考察已知三个量的数量比和数量和，求这三个量．【例13】甲、乙两个工程队合作修路，甲乙两队修路的长度比是5 : 4，甲队比乙队多修了40米，则这条路总长多少米？【难度】★【答案】360．【解析】5440()3605454÷-=++（米）．【总结】考察已知两个量的数量比和数量差，求这两个量的和．【例14】王伯伯家里的菜地一共有800平方米，准备用230平方米种西红柿，剩下的按2 : 1的面积比种黄瓜和茄子，三种蔬菜的面积分别是多少平方米？【难度】★★【答案】西红柿230平方米，黄瓜380平方米，茄子190平方米．例题解析【解析】黄瓜的面积为2(800230)38021-⨯=+平方米，茄子的面积为1(800230)19021-⨯=+平方米．【总结】考察已知两个量的数量比和数量和，求这两个量．【例15】甲、乙两数的和是120，把甲的13给乙，甲、乙的比就变为2 : 3，求原来的甲数是多少？【难度】★★【答案】72．【解析】21120(1)72233⨯÷-=+．【总结】考察比的应用，此题中注意对13的准确理解．【例16】小红有邮票60张，小明有邮票40张，小红给多少张小明，两人的邮票张数比为1 : 4？【难度】★★【答案】40．【解析】1(6040)2014+⨯=+，所以60-20=40张．【总结】考察比的应用：已知两数和与两数比，求其中一个数．【例17】水果店共运进114筐水果，其中香蕉的筐数的13、梨的筐数的14和苹果筐数的25相等，则香蕉的筐数是______筐．【难度】★★【答案】36．【解析】设香蕉的筐数为x，梨的筐数为y，苹果的筐数为z，112 345x y z==，可得：34xy=，85yz=，则x:y:z=6:8:5，所以香蕉的筐数为：611436685⨯=++（筐）．【总结】考察求三个数的比在实际问题中的运用．【例18】甲乙丙三人合作生产一批零件，甲生产零件的一半与乙生产零件的23相等，又等于丙生产零件数的34，已知乙比丙多生产50个零件，求共生产多少个零件？【难度】★★【答案】1450．【解析】设甲生产零件数为x，乙生产零件数为y，丙生产零件数为z，由题目可知123234x y z==，可得：43xy=和98yz=，则::12:9:8x y z=，则总零件数为9850()145012981298÷-=++++个．【总结】考察求三个数的最简整数比，以及已知两数之差和两数之比，求总数．【例19】某团体有100名会员，男女会员人数之比是14 : 11，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为12 : 13，5 : 3，2 : 1，那么丙组有多少名男会员？【难度】★★★【答案】12．【解析】由题意知：男会员人数为：14100561411⨯=+人．因为会员分成三个组，甲组的人数与乙丙组人数之和一样多，则甲组100÷2=50人，乙丙两组50人．所以甲组男1250241213⨯=+人，设丙组的人数为x人，则乙组人数为（50-x）人，根据题意，可得：5224(50)5683x x+-+=，解得：18x=．所以丙组有男会员：218123⨯=（人）．【总结】本题综合性较强，主要考查已知两个数量的比以及数量和的运用，解题时注意认真分析．【例20】 某服装厂生产一批服装，其中88名工人采用流水作业方式生产，需要经过三道工序，第一道工序每个工人每小时可以生产8套，第二道工序每个工人每小时可以生产24套，第三道工序每个工人每小时可以生产5套，要使生产均衡进行，每道工序应各分配多少人？【难度】★★★ 【答案】30，10，48．【解析】设三道工序分配工人数分别为x 、y 、z ，8245x y z ==，可得：:3:1x y =，:5:24y z =，则::15:5:24x y z =． 所以每道工序分配工人数分别为：15883015524⨯=++（人）， 5881015524⨯=++（人），24884815524⨯=++（人）． 【总结】考察比例分配问题，重点是求这三道工序分配人数之比．【例21】 甲、乙两人各加工100个零件，甲比乙迟25小时开工，结果同时结束．甲、乙两人的工作效率之比为5 : 2，甲每小时加工多少个零件？【难度】★★★ 【答案】375个．【解析】因为甲、乙两人工作效率比是5:2，则甲、乙两人工作时间比是2:5，所以乙用的 时间是甲的2.5倍．又因为甲比乙迟25小时开工，所以甲用了2452.5115=-小时，所以甲每小时加工零件：410037515÷=个． 【总结】考察工程问题，关键是求出甲完成工作所需的时间．1、 路程、速度和时间三个量之间的基本关系：路程 = 速度⨯时间；速度 = 路程÷时间；时间 = 路程÷速度． 2、 两个物体运行时间相同：当两个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，它们走过的路程之比就等于它们的速度之比． 3、 两个物体运行路程相同：当两个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，它们所用的时间之比就等于它们速度的反比．【例22】 一辆自行车225小时行了48千米，一辆汽车315小时行驶了96千米，问：（1）自行车与汽车的行驶时间之比；（2）自行车与汽车的行驶速度之比． 【难度】★【答案】（1）3:2；（2）1:3．【解析】（1）232:13:255=；（2）548489612:1:32352196558⨯==⨯． 【总结】考察化简最简整数比，以及速度 = 路程÷时间的运用．【例23】 两个城市相距225千米，一辆客车和一辆货车同时从这两城市相对开出，2.5小时后相遇，已知货车与客车速度比是4︰5，客车和货车每小时各行多少千米？【难度】★【答案】客车每小时行50千米，货车每小时行40千米．【解析】货车和客车每小时行驶距离分别是：2254402.545⨯=+千米，2255502.545⨯=+千米．【总结】考察相遇问题，主要是求一个数的几分之几是多少的运用．模块三：比例行程问题知识精讲例题解析【例24】甲、乙两辆汽车从相距380千米的两地相向开出，在途中相遇．已知甲、乙两车的速度之比为4 : 3，相遇时所用的时间的比为5 : 6，那么，相遇时甲、乙两车各行了多少千米？【难度】★★【答案】相遇时甲车行了200千米，相遇时乙车行了180千米．【解析】因为甲、乙两车的速度之比为4 : 3，相遇时所用的时间的比为5 : 6，所以相遇时两车的路程之比为20:18，甲车行驶路程203802002018⨯=+千米，乙车行驶路程为380-200=180千米．【总结】考察行程问题中三个量之间的关系．【例25】小明和小方各走一段路，小明走的路程比小方多15，小方用的时间比小明多18，小明和小方的速度之比是多少？【难度】★★【答案】27:20．【解析】由题意：小明与小方的路程比为6:5，时间比为8:9，所以速度比为6827 5920÷=．【总结】考察比的应用，利用速度、路程、时间三者之间的关系即可解答．【例26】甲、乙两个人同时从A、B两地相向而行，甲每分钟走100米，与乙的速度比是5∶4，5分钟后，两人正好行了全程的35，A、B两地相距多少米？【难度】★★【答案】1500．【解析】乙每分钟走4100805⨯=米，则A、B之间距离为：3(10080)515005+⨯÷=米．【总结】考察行程问题中相向而行的练习．【例27】 甲、乙两车往返于A 、B 两地之间，甲车去时的速度为60千米/时，返回时的速度为40千米/时；乙车往返的速度都是50千米/时，求甲、乙两车往返一次所用时间的比．【难度】★★ 【答案】25:24．【解析】11256040124250+=⨯．【总结】考察行程问题中速度、路程、时间三者之间的关系．【例28】 从A 地到B 地，甲需要40分钟，乙需要30分钟．如果甲出发5分钟后，乙才出发，那么乙多久可以追上甲？【难度】★★★ 【答案】15分钟．【解析】设A 和B 之间距离为L ，乙追上时间为t ，则有(5)4030L Lt t ⨯+=⨯， 解得：t 为15分钟．【总结】行程问题，本题利用二者路程相等列式，解题时注意方法．【例29】 甲、乙两车分别从A 、B 两地出发，相向而行，出发时甲、乙的速度比是5 : 4，相遇后，甲的速度减少了20%，乙的速度增加了20%．当甲到达B 地时，乙离A 地还有10千米，问A 、B 两地相距多少千米？【难度】★★★ 【答案】450．【解析】相遇后，甲、乙的速度之比为：5×（1-20%）：4×（1+20%）=5:6，相遇时，乙走了全程的44549=+，所以相遇后甲到B 地，甲又走了全程的49，乙又走了全程的4856915÷⨯=，所以乙总共走了全程的484491545+=， 所以A 、B 两地的距离为：4410(1)45045÷-=（千米）． 【总结】行程问题，考察相遇后的路程和速度、时间的关系．【例30】 一条猎狗发现在离它10米远的前方有一只兔子，马上紧追上去，猎狗的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但兔子的动作快，猎狗跑2步的时间，兔子却能跑3步．猎狗至少跑多少米才能追上兔子？【难度】★★★ 【答案】60．【解析】猎狗跑5步的路程等与兔子跑9步的路程，猎狗的一步就相当于兔子的91.85=步；相同的时间内猎狗跑两步，兔子跑三步，则猎狗和兔子的速度之比为：V 1：V 2=（1.8步×2）：3步=1.2：1；猎狗追上兔子时，猎狗行驶的路程比兔子行驶的路程多10m ，设猎狗追上兔子的时间为t ．则：1.2V 2×t =V 2×t +10，解得：250t V =，所以猎狗行驶的路程：S =1.2V 2×t =60m ．【总结】行程问题，速度、路程、时间三者之间的关系，本题中先求出猎狗和兔子的速度之 比是解题的关键．【习题1】 榨油厂用100千克黄豆可以榨出13千克豆油，照这样计算，用3吨黄豆可以榨出______吨豆油．【难度】★【答案】0.39．【解析】1330.39100⨯=吨 ．【总结】考察比例在实际问题中的应用．随堂检测【习题2】在比例尺是1:6000000的地图上，量得甲、乙两地的图上距离是0．2厘米，则甲、乙两地的实际距离是______千米．【难度】★【答案】12．【解析】0.260000000.010.00112⨯⨯⨯=千米．【总结】考察比例尺的应用，注意单位换算，1千米=1000米，1米=100厘米．【习题3】一个三角形的三个内角度数的比是1︰2︰3，这个三角形中最大的角是多少度？这个三角形是什么三角形？【难度】★【答案】最大角为90度，直角三角形．【解析】318090123⨯=++o o．【总结】考察比例分配问题及三角形内角和的综合运用．【习题4】要修一条长432米的公路，已经修好了全长的13，剩余的任务按5 : 4分给甲、乙两个修路队。
列方程解应用题知识要点从三年级开始，我们学习了各种类型的应用题，如和倍差倍、植树、盈亏、鸡兔同笼、年龄、还原、行程等，总体说来，往往用的是逆向思维的方法，有利于我们训练逻辑思维能力。
而列方程解应用题，用的是顺向思维来思考问题，思路比较简单直接。
列方程解应用题的基本思路是：首先用字母代替待求的未知数，然后沿着题目的条件找出等量关系，并将字母当作已知数建立方程，进而算出未知数的值。
列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算。
解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程。
针对方程是代数思想的重要体现，我们在小学阶段四、五年级各设一讲，系统地讲解方程及其应用。
列方程解应用题的主要步骤是：1、仔细审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密的数量关系；2、设这个量为x，用含x的代数式来表示题目中的其它量；3、找到题目中的等量关系，建立方程；4、运用加减法、乘法的互逆关系解方程；5、通过求到的关键量求得题目答案；6、检验答案。
代数之父——丢番图（Diophantine）是一位古希腊的大数学家，为第一位懂得使用符号代表数来研究问题的人。
其中丢番图最著名的可能就是他的墓志铭了：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。
上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。
五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。
悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。
我们可以从中知道：“丢番图的一生，幼年占16，青少年占112，又过了17才结婚，5年后生子，子先父4年而卒，寿为其父之半。
”计算丢番图的方程为5461272x x x xx +++++=，84x =，由此知道丢番图享年84岁。
直接型【例 1】 一个三角形的面积是18平方厘米，底是9厘米，求三角形的高是多少厘米？ 【分析】设三角形的高是x 厘米，92189364x x x ⨯÷=⨯== 答：三角形的高是4厘米。
比例的应用【知识梳理】1.比例尺。
（1）意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
图上距离：实际距离=比例尺或实际距离图上距离=比例尺 （2）分类：①按表现形式分，可以分为数值比例尺和线段比例尺；② 按将实际距离缩小还 是放大分，可以分为缩小比例尺和放大比例尺。
（3）已知图上距离和实际距离，求比例尺的方法。
先把图上距离和实际距离统一单位，再用图上距离比实际距离，然后把它化简成前项是1或后项是1的比，得出比例尺。
（4）已知比例尺和图上距离，求实际距离的方法。
可以根据“实际距离图上距离=比例尺”用解比例的方法求出实际距离，也可以利用“实际距离=图上距离÷比例尺”直接列式计算。
（5）已知比例尺和实际距离，求图上距离的方法。
可以根据“实际距离图上距离=比例尺”用解比例的方法求出图上距离，也可以利用“图上距离=实际距离×比例尺”直接列式计算。
（6）应用比例尺画图。
①确定比例尺；②根据比例尺求出图上距离；③画图；④ 标出所画图的名称和比例尺。
要点提示：①比例尺是一个比，表示两个同类量间的倍比关系，不能带单位名称。
②图上距离一般用厘米作单位，实际距离一般用米或千米作单位，计算比例尺时一定要先统一单位。
③为了计算方便，一般把比例尺写成前项或后项是1的形式。
2.图形的放大与缩小。
（1）特点：形状相同，大小不同。
（2）将图形放大或缩小的方法。
一看，看原图形各边占几格；二算，按已知比计算出放大图或缩小图的各边占几格；三画，按计算出的边长画出原图形的放大图或缩小图。
要点提示：把图形每条边按相同倍数放大（或缩小）后，形状不变，相对应的角的度数也不变。
3.用比例解决问题。
根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并判断这两种相关联的量成什么比例关系，再根据正、反比例关系列出相应的比例并求解。
要点提示：用正、反比例解决问题的关键是确定成什么比例关系。
【诊断自测】1.填空。
（1）在比例尺是1：2000000的地图上，量得两地距离是38厘米，这两地的实际距离是( )千米。
比例的应用是对比例的意义和性质的应用拓展，重点在于灵活的根据题意寻找比例关系，然后利用比例的意义和基本性质进行解题．其中，方程的思想尤为重要．比例的应用题实际上是分数应用题的另一种表达方式，而且熟练掌握比例的应用对于之后学习百分比的应用也有一定的帮助作用．1、根据比例的意义和性质解题根据::a b c d=，若已知其中三个量，则可以求解第四个量的值．如：bcda=．简单的比例问题，解题过程中，首先根据比例的意义寻找两个比值相等的比，组成比例，然后利用比例的性质，求解未知量．2、比例尺比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比．即：比例尺= 图上距离: 实际距离．比例的应用内容分析知识结构模块一：根据比例的意义和性质知识精讲【例1】用比例的方法解答：（1）10元钱可以买6个橙子，现要买21个橙子，需要多少钱？（2）10元钱可以买6个橙子，现共有25元，能买多少个橙子？【难度】★【答案】（1）35元；（2）15个．【解析】（1）设买21个橙子，需要x元．由题意可得10621x=，解得35x=．（2）设有25元，能买x个橙子．由题意可得10256x=，解得15x=．答：要买21个橙子，需要35元；有25元，能买15个橙子．【总结】本题考查了正、反比例应用题，解答此题的关键是，先判断题中的两种相关的量成何比例，即两个量的乘积是定值则这两个量成反比例，两个量的比值是定值则这两个量成正比例，然后找准对应量，列式解答即可．【例2】火车站的检票口5分钟通过205人，那么1230位乘客全部通过检票口需要______分钟．【难度】★【答案】30．【解析】设1230位乘客全部通过检票口需要x分钟．由题意可得52051230x=，解得30x=．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．例题解析【例3】15本相同厚度的练习本叠起来，总高度为20厘米．如果将21本这样的练习本叠起来，那么总高度为多少？【难度】★【答案】28厘米．【解析】设总高度为x厘米．由题意可得201521x=，解得28x=．答：总高度为28厘米．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．【例4】小明读一本书，如果每天读30页，6天可以读完，若每天读20页，需要多少天才能读完？试说明读的天数之比与每天读的页数之比有怎样的关系．【难度】★【答案】9天；天数之比与页数之比成反比．【解析】设需要x天才能读完．由题意可得20306x=⨯，解得9x=．天数之比与页数之比成反比．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．【例5】小明的身高是1.45米，他的影长是2米，在同一时间、同一地点测得一棵树影长4米，则这棵树实际高______米．【难度】★★【答案】2.9．【解析】设这棵树实际高x米，则1.45:2:4x=，解得 2.9x=．答：这棵树实际高2.9米．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．【例6】 一幅地图的比例尺是1:1000000，图上6厘米表示实际距离______千米．实际距离150千米在图上要画______厘米．【难度】★★【答案】60，15．【解析】设图上6厘米表示实际距离x 厘米，则1:10000006:x =，解得6000000x =6000000厘米60=千米；设实际距离150千米在图上要画y 厘米，则1:1000000:15000000y =，解得15y =，∴6厘米表示实际距离60千米，实际距离150千米在图上要画15厘米．【总结】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．【例7】 上海到北京的实际距离大约等于1100千米，在一幅地图上量得两地的距离为5.5厘米，则这幅地图的比例尺为____________．【难度】★★【答案】1:20000000．【解析】1100千米=110000000厘米，∴比例尺为5.5:1100000001:20000000=．【总结】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．【例8】 某机床厂制造一批机床，3天生产了21台，结果再生产12天就完成了任务，则这批机床共有多少台？【难度】★★【答案】105台．【解析】设这批机床共有x 台，则213123x =+，解得105x =． 答：这批机床共有105台．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．【例9】某工厂有一批煤，原计划每天烧12吨，可以烧50天，采取了节能措施后，每天比原计划节约15，问这批煤可以烧多少天？【难度】★★【答案】62.5天．【解析】节约后每天用煤14812155⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭（吨），设这批煤可以烧x天，则48 12505x⨯=，解得62.5x=．答：这批煤可以烧62.5天．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．【例10】飞机每小时飞行480千米，汽车每小时行驶90千米，飞机飞行142小时的路程，汽车要行驶多少小时？试说明在路程相等的情况下，速度之比与时间之比的关系．【难度】★★【答案】24小时，在路程相等的情况下，速度之比与时间之比成反比．【解析】设汽车要行驶x小时，则1 4804902x⨯=，解得24x=．:480:9016:3 V V==飞机汽车，1:4:243:162t t==飞机汽车，∴::V V t t=飞机汽车汽车飞机【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．【例11】已知ABC∆的三边之比为2 : 3 : 4，则相应三边上的高之比为____________．【难度】★★【答案】6:4:3．【解析】∵三边之比为2 : 3 : 4，∴设三边长分别为2x、3x、4x，三边上的高分别为a、b、c，由题意得：111234222x a x b x c⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅，化简得234a b c==，∴::6:4:3a b c=．【总结】本题主要考查了三角形的面积公式及设k法的使用，关键是根据三角形的面积的公式计算．【例12】 用6只鸡可以换5只鸭，用4只鸭可以换3只鹅，那么40只鸡可以换多少只鹅？【难度】★★【答案】25只．【解析】令鸡、鸭、鹅分别用a 、b 、c 表示，则由题意可知：:6:5a b =，:4:3b c =，∵:6:524:20a b ==，:4:320:15b c ==，∴::24:20:15a b c =， 设40只鸡可以换x 只鹅，则40:24:15x =，解得25x =，答：40只鸡可以换25只鹅．【总结】本题考查了简单的等量代换问题，会运用连比的性质．【例13】 甲、乙两个服装厂，日生产西服的数量比是5 : 4，两个厂生产的西服单价的比是12 : 7，那么这两个厂的日产值的比是多少？【难度】★★【答案】15:7．【解析】两个厂的日产值的比是()()512:4715:7⨯⨯=．【总结】本题考查了比的应用，解决本题的关键是利用总价、数量和单价的关系求出产 值的比．【例14】 甲、乙两个仓库原有钢材的重量之比为4 : 3，若从甲仓库拉走8吨钢材，那么甲、乙两个仓库的钢材的重量之比为2 : 3，求甲仓库原有钢材多少吨？【难度】★★【答案】16吨．【解析】设甲仓库原有钢材4x 吨、乙仓库原有钢材3x 吨．由题意得：48233x x -=，解得4x =，44416x =⨯=（吨） ∴甲仓库原有钢材16吨．【总结】本题考查了比的应用．【例15】 某工厂共有86个工人，已知每个工人每天加工甲种零件15个或乙种零件12个，或丙种零件9个，而3个甲种零件，2个乙种零件，1个丙种零件恰好配成一套，问如何安排工人工作才可使加工好的零件配套？【难度】★★★【答案】加工甲零件36人、加工乙零件30人、加工丙零件20人．【解析】设加工甲零件x 人、加工乙零件y 人、加工丙零件z 人，15:12:93:2:1x y z =，可得::18:15:10x y z =，又∵86x y z ++=，解得36x =，30y =，20z =，∴加工甲零件36人、加工乙零件30人、加工丙零件20人．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程组．【例16】 有三个梯形甲、乙、丙，它们的高之比依次是1 : 2 : 3，上底之比依次是6 : 9 :4，下底之比依次是12 : 15 : 10．已知梯形甲的面积是30平方厘米，那么乙、丙两个梯形的面积之和是多少平方厘米？【难度】★★★【答案】150平方厘米．【解析】由题意得甲、乙、丙三个梯形的面积比为()()()1116121:9152:41033:8:7222⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∵梯形甲的面积是30平方厘米，∴乙的面积是80平方厘米，丙的面积是70平方厘米，∴乙、丙两个梯形的面积之和是150平方厘米．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题，此题的解答首先把3个梯形的高、上底、下底的比转化为梯形的面积比．【例17】一列快车的长是150米，一列慢车的长是200米，两车分别在两条平行的轨道上相向而行，若坐在慢车上的人看见快车驶过窗的时间是6秒，那么坐在快车上的人看见慢车驶过窗需要多少秒？【难度】★★★【答案】8秒．【解析】设坐在快车上的人看见慢车驶过窗需要x秒．由题意得：1502006x=，解得8x=．答：坐在快车上的人看见慢车驶过窗需要8秒．【总结】坐在慢车上的人看见快车驶过窗的路程为快车的长度，速度为甲乙两车的速度和；坐在快车上的人看见慢车驶过窗的路程为慢车的长度，速度为甲乙两车的速度和．1、已知两个量的数量比与数量和两个量A、B，数量之比为a : b，数量之和为x，则A的数量为axa b+，B的数量为bxa b+．2、已知两个量的数量比与数量差两个量A、B，数量之比为a : b（a b>），数量之差为x，则A的数量为axa b-，B的数量为bxa b-．3、设k法若A : B = a : b，可设A = ak，B = bk，其中0k≠，那么：()A B ak bk a b k+=+=+，()A B ak bk a b k-=-=-．【例18】公园中柳树和杨树的共40棵，且棵数之比为5 : 3，那么柳树和杨树各有多少棵？【难度】★【答案】柳树25棵，杨树15棵．【解析】柳树的棵数为：540=255+3⨯（棵），杨树的棵数为：340=155+3⨯（棵）．答：柳树有25棵，杨树有15棵．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题，两个量A、B，数量之比为:a b，数量之和为x，则A的数量为axa b+，B的数量为bxa b+．模块二：和差关系与比例分配知识精讲例题解析【例19】 师徒两人加工一批零件，师傅和徒弟的工作效率之比为7 : 4，完成任务时，师傅比徒弟多加工了90个零件，求这批零件的总数．【难度】★【答案】330件． 【解析】师傅加工零件个数为：79021074⨯=-（个）， 徒弟加工零件个数为：49012074⨯=-（个）， 210120330+=（个）答：这批零件共330个．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题，两个量A 、B ，数量之比为:a b ，（a b >）， 数量之差为x ，则A 的数量为ax a b -，B 的数量为bx a b-．【例20】 （1）已知两个数的比是2 : 7，且和为81，则这两个数分别为______和______；（2）已知被减数与差的比是5 : 3，减数是120，被减数是____________．【难度】★【答案】（1）18，63；（2）300．【解析】（1）2811872⨯=+，7816372⨯=+； （2）512030053⨯=-． 【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．【例21】 小智和小方平均每人有50颗糖，小智的糖的颗数与小方的糖的颗数之比为7 :3，求小智比小方多多少颗糖？【难度】★【答案】40（颗）【解析】∵小智和小方平均每人有50颗糖，∴两人一共有502100⨯=颗糖，73100100407373⨯-⨯=++（颗） 答：小智比小方多40颗糖．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．【例22】 将300个苹果按4 : 5 : 6的比例分给幼儿园的小班、中班和大班三个班，那么小班、中班和大班各分得多少个苹果？【难度】★【答案】80，100，120． 【解析】小班：430080456⨯=++（个）， 中班：5300100456⨯=++（个）， 大班：6300120456⨯=++（个）． 答：小班、中班和大班各分得80，100，120个苹果．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．【例23】 三个数的平均数为120，这三个数的比是3 : 5 : 7，它们分别是______、______、______．【难度】★★【答案】72、120、168．【解析】由题意知三个数的和为1203360⨯=，336072357⨯=++，5360120357⨯=++，7360168357⨯=++， ∴这三个数分别是72、120、168．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．【例24】 一个长方形的长和宽之比为5 : 3，周长为24，则这个长方形长是_____，宽是______，的面积为______．【难度】★★ 【答案】152，92，1354． 【解析】长方形的长是：524155322⨯=+，长方形的宽是：32495322⨯=+， ∴面积为159135224⨯=． 【总结】本题考查了按比例分配应用题，关键是灵活利用长方形的周长公式．【例25】 已知::1:3:4a b c =，且10a c +=，求a b c ++．【难度】★★【答案】16．【解析】设a k =，3b k =，4c k =，代入10a c +=得410k k +=，解得2k =，所以3488216a b c k k k k ++=++==⨯=．【总结】本题考查了比例的性质，解题的关键是注意比例的性质及设k 法的运用，设k 法，若::A B a b =，可设A ak =，B bk =，其中0k ≠，那么：()A B ak bk a b k +=+=+，()A B ak bk a b k -=-=-．【例26】 甲、乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的14等于乙班种的棵数的15，且乙班比甲班多种树24棵，甲、乙两个班级各种树多少棵？【难度】★★【答案】甲班种树96棵，乙班种树120棵． 【解析】甲班与乙班所种棵数比是：11:4:554=， 甲班的棵数：4249654⨯=-（棵），乙班的棵数：52412054⨯=-（棵）， 答：甲班种树96棵，乙班种树120棵．【总结】本题考查了按比例分配应用题，关键是根据已知条件求出甲乙两班所种棵数比．【例27】 一项工程，甲、乙两队合做20天完成，已知甲、乙两队每天完成的工作量的比是4 : 5，问甲、乙两队单独完成这项工程各需几天？【难度】★★【答案】甲单独完成这项工程需45天，乙单独完成这项工程需36天．【解析】甲、乙两队合做20天完成，可知甲、乙两队的工作效率和为120， 14411452054180⎛⎫÷⨯=÷= ⎪+⎝⎭（天），15511362054180⎛⎫÷⨯=÷= ⎪+⎝⎭（天）． 答：甲单独完成这项工程需45天，乙单独完成这项工程需36天．【总结】本题考查了工程问题，根据工作效率、工作时间和工作量三者之间的关系是完成本题的关键．【例28】 一个长方形的长与宽之比为15 : 7，现截取一个边长与原矩形的宽相等的正方形，剩下的新的长方形的周长为30厘米，求原长方形的长与宽各是多少厘米？【难度】★★★【答案】长15厘米，宽7厘米．【解析】设原长方形的长为15k 厘米，宽为7k 厘米，则新长方形的长为1578k k k -=，∴()28730k k +=，解得1k =，∴原来长方形的长为15厘米，宽为7厘米． 答：原长方形的长15厘米，宽7厘米．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题，关键是灵活利用长方形的周长公式．【例29】 有理数a 、b 、c 满足a : b : c = 2 : 3 : 5，且222a b c abc ++=，求a b c ++的值．【难度】★★★ 【答案】383． 【解析】设2a k =，3b k =，5c k =，代入222a b c abc ++=得2223492530k k k k ++=，解得1915k =， 所以19382351010153a b c k k k k ++=++==⨯=． 【总结】本题考查了比例的性质，解题的关键是注意比例的性质及设k 法的运用．【例30】 古时，某河边有一渡口，车、马、人过河分别要交3文、2文、1文的渡河费，某天过河的车和马的数目比为2 : 9，马和人的数目比为3 : 7，共收得渡河费945文．问这天渡河的车、马、人的数目各多少？【难度】★★★【答案】车42辆，马189匹，人441人．【解析】车和马的数目比为2 : 9，马和人的数目比为3 : 7，则车、马、人的数目比为2:9:21，设车有2k ，则马有9k ，人有21k ，3229121945k k k ⋅+⋅+⋅=，解得21k =，车：22142⨯=（辆），马：921189⨯=（匹），人：2121411⨯=（人）答：这天渡河的车42辆，马189匹，人441人．【总结】本题考查了比的应用，解答本题的关键是求出三者之间总价的连比，再按照按 比分配解答．【习题1】 （1）某人买4个梨用去5元，现在购买18个梨需要______元；（2）齿轮7分钟转2100圈，转3000圈需要______分钟；（3）一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的人数之比为13 : 11，则一共有______个苹果．【难度】★【答案】（1）22.5；（2）10；（3）192．【解析】（1）设购买18个梨需要x 元，则4185x=，解得22.5x =； （2）设转3000圈需要x 分钟，则721003000x =，解得10x =； （3）设甲班分到苹果13k ，则乙班分到11k ，由题意得131116k k -=，解得8k =，∴131124248192k k k +==⨯=（个）【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题，解答此题的关键是，先判断题中的两种相关的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例，然后找准对应量，列式解答即可．【习题2】 用5台压铸机3小时可生产180个零件，那么用4台压铸机4小时可生产多少个零件？【难度】★【答案】192个．【解析】设4台压铸机4小时可生产x 个零件，1805344x =⨯⨯，解得192x =， 答：用4台压铸机4小时可生产192个零件．【总结】本题考查了简单的归一问题，解答此题的关键是根据工作量、工作时间和工作 效率之间的关系，即可解答．随堂检测【习题3】从昂立智立方徐汇校区走到上海影城，小智需要8分钟，小方需要10分钟，则小智和小方的速度之比为____________．【难度】★【答案】5:4．【解析】设小智的速度为x，小方的速度为y，则810x y=，∴:5:4x y=．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题，【习题4】一个长方形的长和宽之比为7 : 4，周长为66，则这个长方形的面积为______．【难度】★★【答案】252．【解析】长方形的长是：76621472⨯=+，长方形的宽是：46612472⨯=+，∴面积为2112252⨯=．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题，关键是灵活利用长方形的周长公式．【习题5】在比例尺为1 : 2000000的地图上，量得甲、乙两地的距离为3.6厘米，如果汽车以每小时60千米的速度从甲地到乙地，多少小时可以到达？【难度】★★【答案】1.2小时．【解析】设图上3.6厘米表示实际距离x厘米，则1:2000000 3.6:x=，解得7200000x=，7200000厘米=72千米，7260 1.2÷=（小时）答：从甲地到乙地，1.2小时可以到达．【总结】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．【习题6】 师徒两人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟，完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？【难度】★★【答案】100个．【解析】∵师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟，∴师徒完成的数量比为15:95:3=， 师傅加工零件：540025053⨯=+（个），徒弟加工零件：340015053⨯=+（个）， 250150100-=（个）． 答：师傅比徒弟多加工100个零件．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题，做题的关键是找出题中的比例关系，再列比例式进行解答．【习题7】 甲、乙两仓库共有存粮4200吨，当甲仓库运入存粮750吨，乙仓库运出存粮450吨，甲、乙两仓库存粮的吨数比是8 : 7，求甲、乙两仓库原来各有存粮多少吨？【难度】★★【答案】甲仓库原来存量1650吨，乙仓库原来存量2550吨．【解析】设甲甲仓库原来存量x 吨，乙仓库原来存量()4200x -吨，则由题意得750842004507x x +=--，解得1650x =， 4200420016502550x -=-=（吨）答：甲仓库原来存量1650吨，乙仓库原来存量2550吨．【总结】本题考查了比的应用．【习题8】 “果珍鲜”水果大卖场采购进一批新疆阿克苏和山东红富士两种苹果，新疆阿克苏和山东红富士的单价比是5 : 3，且重量比是5 : 11，这两种苹果共花去2320元，问哪种苹果花的钱多？多多少？【难度】★★【答案】山东红富士花的钱多，多320元．【解析】两种苹果花的钱数比是()()55:31125:33⨯⨯=，3325232023201320100032025332533⨯-⨯=-=++（元）． 答：山东红富士花的钱多，多320元．【总结】本题考查了比的应用，解决本题的关键是利用总价、数量和单价的关系求出总价的比．【习题9】 若正整数a 、b 满足111182a b -=，且:7:13a b =，求a + b 的值． 【难度】★★★【答案】240．【解析】设7a k =，13b k =，代入111182a b -=得111713182k k -=，解得12k =， 所以713202012240a b k k k +=+==⨯=．【总结】本题考查了比例的性质，解题的关键是注意比例的性质及设k 法的运用．【习题10】 在抗洪救灾捐款活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐的和与乙、丙所捐的和之比是10 : 7，则甲、乙、丙各捐了多少元？【难度】★★★【答案】甲捐了38元，乙捐了22元，丙捐了20元．【解析】设丙捐了x 元，则甲捐了()18x +元，乙捐了()622x -元，则由题意得186********x x x x ++-=-+，解得20x =，1838x +=，62222x -=， 答：甲捐了38元，乙捐了22元，丙捐了20元．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．【作业1】一种练习本5元可以买4本，购买10本这种练习本需要______元．【难度】★【答案】12.5．【解析】设买10本这种练习本需要x元，则5410x=，解得12.5x=．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题，【作业2】某服装车间，4小时可以做100套工作服，照这样的速度，7小时可以做多少套工作服？做750套工作服要多少时间？【难度】★【答案】175套；30小时．【解析】设7小时可以做x套工作服，则47100x=，解得175x=，设做750套工作服要y小时，则4100750y=，解得30y=．答：7小时可以做175套工作服，做750套工作服要30小时．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．【作业3】一种药水是把药粉和水按照1 : 100配制而成，要配制这种药水5050千克，需要药粉______千克．【难度】★【答案】50．【解析】15050501100⨯=+（千克）【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．课后作业【作业4】今年我市举行古诗文大赛，初中组获奖的人数为240名，一、二、三等奖人数之比为1 : 2 : 3，则获得二等奖的有______人．【难度】★【答案】80．【解析】224080123⨯=++（人）．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．【作业5】“光明”灯具厂计划上半年生产LED灯8600只，实际前4个月就生产了6400只，照这样的计算上半年实际生产超过原计划多少只？【难度】★★【答案】1000只．【解析】设上半年实际生产x只，则由题意得466400x=，解得9600x=，960086001000-=（只）答：上半年实际生产超过原计划1000只．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．【作业6】把一根绳子按3 : 2截成甲、乙两段，已知乙段比甲段短1.6米，那么这根绳子原来长多少米？【难度】★★【答案】8米．【解析】设这根绳子原来长x米，则由题意得321.63232x x-=++，解得8x=．答：这根绳子原来长8米．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．【作业7】 两地相距480千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，4小时后相遇，已知甲、乙两车速度的比是5 : 3，甲、乙两车每小时各行多少千米？【难度】★★【答案】甲每小时行75千米，乙每小时行45千米．【解析】设甲车速度为5k ，乙车速度为3k ，则()435480k k +=，解得15k =，所以551575k =⨯=（千米/时），331545k =⨯=（千米/时）答：甲每小时行75千米，乙每小时行45千米．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．【作业8】 用长24厘米的铁丝围成一个直角三角形，且这个三角形三条边长度的比是3 : 4 : 5，这个直角三角形斜边上的高是多少厘米？【难度】★★ 【答案】245厘米． 【解析】设三角形三边的长分别为3k 、4k 、5k ，则由题意得34512k k k ++=，解得2k =，所以直角三角形三边长分别为6、8、10，设直角三角形斜边上的高是x 厘米，则由三角形面积公式得11681022x ⨯⨯=⨯⋅，解得245x =． 答：这个直角三角形斜边上的高是245厘米． 【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．【作业9】 公园里有一圆形花坛，甲、乙两人从同一点反向而行，15秒后相遇，其中甲绕花坛一圈需要40秒，则乙绕花坛一圈需要多少秒？【难度】★★★【答案】24秒．【解析】设乙绕花坛一圈需要x 秒，则40154015x-=，解得24x =． 答：乙绕花坛一圈需要24秒．【总结】本题考查了简单的行程问题，重点是找出走相同的路程甲、乙两人所用的时间 比．【作业10】四年级、五年级和六年级这三个年级参加植树活动，共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3 : 2，六年级比四年级多80人，三个年级参加植树的各有多少人？【难度】★★★【答案】四年级参加植树的有220人，五年级参加植树的有200人，六年级参加植树的有300人．【解析】设六年级参加植树的有3x人，五年级参加植树的有2x人，四年级参加植树的有()x-人，则由题意得：380++-=，解得100x=，x x x32380720∴六年级：33100300x=⨯=（人）五年级：22100200x=⨯=（人）四年级：38030080220x-=-=（人），答：四年级参加植树的有220人，五年级参加植树的有200人，六年级参加植树的有300人．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．。
模块一：比例性质的应用比例应用题是对比例的意义和性质的应用拓展，重点在于灵活的根据题意寻找比例关系，然后利用比例的意义和基本性质进行解题．其中，方程的思想尤为重要．比例的应用题实际上是分数应用题的另一种表达方式，而且熟练掌握比例的应用对于之后学习百分比的应用也有一定的帮助作用．另外，比例应用题中有一类特殊的题型——比例行程问题，重点在于理解行程问题中路程、速度和时间三者之间的关系，难点是利用已知量，根据三者的关系计算未知的量．1、 根据比例的意义和性质解题根据::a b c d =，若已知其中三个量，则可以求解第四个量的值．如：bcd a=． 简单的比例问题，解题过程中，首先根据比例的意义寻找两个比值相等的比，组成比例，然后利用比例的性质，求解未知量． 2、 比例尺比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比． 即：比例尺 = 图上距离 : 实际距离．比例应用题内容分析知识结构知识精讲【例1】甲、乙两人加工零件，甲3小时加工了126个零件，乙4小时加工了140个零件，则甲、乙两人的工作效率的比是______．【难度】★【答案】6:5．【解析】甲一小时加工126423=个零件，乙一小时加工140354=个零件，所以甲、乙两人的工作效率的比是42:356:5=．【总结】考察工程问题中三个基本量之间的关系．【例2】一种练习本10元可以买8本，购买10本这种练习本需要______元．【难度】★【答案】12.5．【解析】一本练习本101.258=元，所以10本需要12.5元．【总结】考察公式=总价单价数量的运用．【例3】（1）一幅地图的比例尺是1 : 5000000，图上4厘米表示的实际距离是______千米；（2）比例尺为200 : 1的图纸上，量出某零件的长度是40 cm，这个零件的实际长度是______cm．【难度】★【答案】（1）200；（2）0.2．【解析】（1）0.000045000000200⨯=千米；（2）400.2200=厘米．【总结】考察比例尺的意义，注意单位的统一．例题解析【例4】某机床厂制造了一批机床，3天生产了21台，结果再生产12天就完成了任务，这批机床共有多少台？【难度】★★【答案】105台．【解析】1天生产21÷3=7台，机床总数：7⨯（3+12）=105台．【总结】考察“工作总量=工作效率×工作时间”的应用．【例5】5克盐溶解在60克水中，盐与盐水的比值是______；现有144克水，要配制同样浓度的盐水，则需要______克盐．【难度】★★【答案】113，12克．【解析】5160+513=，11441212⨯=克．【总结】考察浓度问题，注意区分水与盐水的区别．【例6】三个工人4小时生产70公斤白糖，则：（1）3小时三人生产多少斤白糖？（2）三人生产80斤白糖需要多少小时？（3）4个工人5小时生产多少斤白糖？【难度】★★【答案】（1）105斤；（2）167小时；（3）7003斤．【解析】三个工人1小时生产702354⨯=斤，（1）335105⨯=斤；（2）8016357=小时；（3）357004533⨯⨯=斤．【总结】考察单位时间的工作量，注意单位换算1公斤=2斤．【例7】第一组与第二组人数比是5 : 3，从第一组调14人到第二组，第一组与第二组人数比是1 : 2，那么第一组有______人，第二组有______人．【难度】★★★【答案】30，18．【解析】设第一组人数为5a，第二组人数为3a，那么51413142aa-=+，可得：a=6，所以5a=30，6a=18．即第一组有30人，第二组有18人．【总结】考察调配问题，比例式的运用．【例8】小杰读一本书，第一天读完后，已读和未读的页数比是1 : 5，第二天又读了30页，已读和未读的页数的比变为3 : 5，求这本书共多少页？．【难度】★★★【答案】144．【解析】3130()1443515÷-=++页．【总结】考察和差关系和比例分配问题的综合运用．【例9】甲、乙、丙是三个互相咬合的齿轮，若甲齿轮转5圈时，乙齿轮转4圈，丙齿轮转6圈，则三个齿轮的齿数比是多少？．【难度】★★★【答案】12:15:10．【解析】5、4、6的最小公倍数是60，即三个齿轮在转了一圈之后转过的总齿数是60．其中甲的齿数为：60÷5=12（齿），乙的齿数为：60÷4=15（齿）；丙的齿数为：60÷6=10（齿），所以三个齿轮的齿数比是：12:15:10．【总结】考察几个数的比在实际问题中的运用．【例10】 农场养了若干鸡和兔，已知全部的鸡和兔的头和脚的数量之比是2 : 5，求鸡和兔的数量之比．【难度】★★★ 【答案】3:1．【解析】设鸡有m 只，兔有n 只，则鸡共有2m 只脚，兔共有4n 只脚， 由题意，可得：():(24)2:5m n m n ++=，即4855m n m n +=+， 解得：3m n =，所以:3:1m n =． 即鸡和兔的数量之比为3:1．【总结】考察鸡兔同笼问题，本题综合性较强，注意利用比例的基本性质求出两个变量之间 的关系，从而求出比值．1、 已知两个量的数量比与数量和两个量A 、B ，数量之比为a : b ，数量之和为x ，则A 的数量为ax a b +，B 的数量为bxa b+． 2、 已知两个量的数量比与数量差两个量A 、B ，数量之比为a : b （a b >），数量之差为x ，则A 的数量为axa b-，B 的数量为bxa b-． 3、 设k 法若A : B = a : b ，可设A = ak ，B = bk ，其中0k ≠，那么：()A B ak bk a b k +=+=+，()A B ak bk a b k -=-=-．模块二：和差关系与比例分配知识精讲【例11】用28米长的铁丝围成一个长方形，这个长方形的长与宽的比是5:2，这个长方形的长和宽各是多少？【难度】★【答案】长为10米，宽为4米．【解析】长=28510252⨯=+米，宽=2824252⨯=+米．【总结】考察已知两个量的数量比和数量和，求这两个量．【例12】用84厘米长的铁丝围成一个三角形，这个三角形三条边长度的比是3 : 4 : 5，这个三角形三条边各是多少厘米？【难度】★【答案】21，28，35．【解析】38421345⨯=++厘米，48428345⨯=++厘米，58435345⨯=++厘米．【总结】考察已知三个量的数量比和数量和，求这三个量．【例13】甲、乙两个工程队合作修路，甲乙两队修路的长度比是5 : 4，甲队比乙队多修了40米，则这条路总长多少米？【难度】★【答案】360．【解析】5440()3605454÷-=++（米）．【总结】考察已知两个量的数量比和数量差，求这两个量的和．【例14】王伯伯家里的菜地一共有800平方米，准备用230平方米种西红柿，剩下的按2 : 1的面积比种黄瓜和茄子，三种蔬菜的面积分别是多少平方米？【难度】★★【答案】西红柿230平方米，黄瓜380平方米，茄子190平方米．例题解析【解析】黄瓜的面积为2(800230)38021-⨯=+平方米，茄子的面积为1(800230)19021-⨯=+平方米．【总结】考察已知两个量的数量比和数量和，求这两个量．【例15】甲、乙两数的和是120，把甲的13给乙，甲、乙的比就变为2 : 3，求原来的甲数是多少？【难度】★★【答案】72．【解析】21120(1)72233⨯÷-=+．【总结】考察比的应用，此题中注意对13的准确理解．【例16】小红有邮票60张，小明有邮票40张，小红给多少张小明，两人的邮票张数比为1 : 4？【难度】★★【答案】40．【解析】1(6040)2014+⨯=+，所以60-20=40张．【总结】考察比的应用：已知两数和与两数比，求其中一个数．【例17】水果店共运进114筐水果，其中香蕉的筐数的13、梨的筐数的14和苹果筐数的25相等，则香蕉的筐数是______筐．【难度】★★【答案】36．【解析】设香蕉的筐数为x，梨的筐数为y，苹果的筐数为z，112 345x y z==，可得：34xy=，85yz=，则x:y:z=6:8:5，所以香蕉的筐数为：611436685⨯=++（筐）．【总结】考察求三个数的比在实际问题中的运用．【例18】甲乙丙三人合作生产一批零件，甲生产零件的一半与乙生产零件的23相等，又等于丙生产零件数的34，已知乙比丙多生产50个零件，求共生产多少个零件？【难度】★★【答案】1450．【解析】设甲生产零件数为x，乙生产零件数为y，丙生产零件数为z，由题目可知123234x y z==，可得：43xy=和98yz=，则::12:9:8x y z=，则总零件数为9850()145012981298÷-=++++个．【总结】考察求三个数的最简整数比，以及已知两数之差和两数之比，求总数．【例19】某团体有100名会员，男女会员人数之比是14 : 11，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为12 : 13，5 : 3，2 : 1，那么丙组有多少名男会员？【难度】★★★【答案】12．【解析】由题意知：男会员人数为：14100561411⨯=+人．因为会员分成三个组，甲组的人数与乙丙组人数之和一样多，则甲组100÷2=50人，乙丙两组50人．所以甲组男1250241213⨯=+人，设丙组的人数为x人，则乙组人数为（50-x）人，根据题意，可得：5224(50)5683x x+-+=，解得：18x=．所以丙组有男会员：218123⨯=（人）．【总结】本题综合性较强，主要考查已知两个数量的比以及数量和的运用，解题时注意认真分析．【例20】 某服装厂生产一批服装，其中88名工人采用流水作业方式生产，需要经过三道工序，第一道工序每个工人每小时可以生产8套，第二道工序每个工人每小时可以生产24套，第三道工序每个工人每小时可以生产5套，要使生产均衡进行，每道工序应各分配多少人？【难度】★★★ 【答案】30，10，48．【解析】设三道工序分配工人数分别为x 、y 、z ，8245x y z ==，可得：:3:1x y =，:5:24y z =，则::15:5:24x y z =． 所以每道工序分配工人数分别为：15883015524⨯=++（人）， 5881015524⨯=++（人），24884815524⨯=++（人）． 【总结】考察比例分配问题，重点是求这三道工序分配人数之比．【例21】 甲、乙两人各加工100个零件，甲比乙迟25小时开工，结果同时结束．甲、乙两人的工作效率之比为5 : 2，甲每小时加工多少个零件？【难度】★★★ 【答案】375个．【解析】因为甲、乙两人工作效率比是5:2，则甲、乙两人工作时间比是2:5，所以乙用的 时间是甲的2.5倍．又因为甲比乙迟25小时开工，所以甲用了2452.5115=-小时，所以甲每小时加工零件：410037515÷=个． 【总结】考察工程问题，关键是求出甲完成工作所需的时间．1、 路程、速度和时间三个量之间的基本关系：路程 = 速度⨯时间；速度 = 路程÷时间；时间 = 路程÷速度． 2、 两个物体运行时间相同：当两个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，它们走过的路程之比就等于它们的速度之比． 3、 两个物体运行路程相同：当两个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，它们所用的时间之比就等于它们速度的反比．【例22】 一辆自行车225小时行了48千米，一辆汽车315小时行驶了96千米，问：（1）自行车与汽车的行驶时间之比；（2）自行车与汽车的行驶速度之比． 【难度】★【答案】（1）3:2；（2）1:3．【解析】（1）232:13:255=；（2）548489612:1:32352196558⨯==⨯． 【总结】考察化简最简整数比，以及速度 = 路程÷时间的运用．【例23】 两个城市相距225千米，一辆客车和一辆货车同时从这两城市相对开出，2.5小时后相遇，已知货车与客车速度比是4︰5，客车和货车每小时各行多少千米？【难度】★【答案】客车每小时行50千米，货车每小时行40千米．【解析】货车和客车每小时行驶距离分别是：2254402.545⨯=+千米，2255502.545⨯=+千米．【总结】考察相遇问题，主要是求一个数的几分之几是多少的运用．模块三：比例行程问题知识精讲例题解析【例24】甲、乙两辆汽车从相距380千米的两地相向开出，在途中相遇．已知甲、乙两车的速度之比为4 : 3，相遇时所用的时间的比为5 : 6，那么，相遇时甲、乙两车各行了多少千米？【难度】★★【答案】相遇时甲车行了200千米，相遇时乙车行了180千米．【解析】因为甲、乙两车的速度之比为4 : 3，相遇时所用的时间的比为5 : 6，所以相遇时两车的路程之比为20:18，甲车行驶路程203802002018⨯=+千米，乙车行驶路程为380-200=180千米．【总结】考察行程问题中三个量之间的关系．【例25】小明和小方各走一段路，小明走的路程比小方多15，小方用的时间比小明多18，小明和小方的速度之比是多少？【难度】★★【答案】27:20．【解析】由题意：小明与小方的路程比为6:5，时间比为8:9，所以速度比为6827 5920÷=．【总结】考察比的应用，利用速度、路程、时间三者之间的关系即可解答．【例26】甲、乙两个人同时从A、B两地相向而行，甲每分钟走100米，与乙的速度比是5∶4，5分钟后，两人正好行了全程的35，A、B两地相距多少米？【难度】★★【答案】1500．【解析】乙每分钟走4100805⨯=米，则A、B之间距离为：3(10080)515005+⨯÷=米．【总结】考察行程问题中相向而行的练习．【例27】 甲、乙两车往返于A 、B 两地之间，甲车去时的速度为60千米/时，返回时的速度为40千米/时；乙车往返的速度都是50千米/时，求甲、乙两车往返一次所用时间的比．【难度】★★ 【答案】25:24．【解析】11256040124250+=⨯．【总结】考察行程问题中速度、路程、时间三者之间的关系．【例28】 从A 地到B 地，甲需要40分钟，乙需要30分钟．如果甲出发5分钟后，乙才出发，那么乙多久可以追上甲？【难度】★★★ 【答案】15分钟．【解析】设A 和B 之间距离为L ，乙追上时间为t ，则有(5)4030L Lt t ⨯+=⨯， 解得：t 为15分钟．【总结】行程问题，本题利用二者路程相等列式，解题时注意方法．【例29】 甲、乙两车分别从A 、B 两地出发，相向而行，出发时甲、乙的速度比是5 : 4，相遇后，甲的速度减少了20%，乙的速度增加了20%．当甲到达B 地时，乙离A 地还有10千米，问A 、B 两地相距多少千米？【难度】★★★ 【答案】450．【解析】相遇后，甲、乙的速度之比为：5×（1-20%）：4×（1+20%）=5:6，相遇时，乙走了全程的44549=+，所以相遇后甲到B 地，甲又走了全程的49，乙又走了全程的4856915÷⨯=，所以乙总共走了全程的484491545+=， 所以A 、B 两地的距离为：4410(1)45045÷-=（千米）． 【总结】行程问题，考察相遇后的路程和速度、时间的关系．【例30】 一条猎狗发现在离它10米远的前方有一只兔子，马上紧追上去，猎狗的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但兔子的动作快，猎狗跑2步的时间，兔子却能跑3步．猎狗至少跑多少米才能追上兔子？【难度】★★★ 【答案】60．【解析】猎狗跑5步的路程等与兔子跑9步的路程，猎狗的一步就相当于兔子的91.85=步；相同的时间内猎狗跑两步，兔子跑三步，则猎狗和兔子的速度之比为：V 1：V 2=（1.8步×2）：3步=1.2：1；猎狗追上兔子时，猎狗行驶的路程比兔子行驶的路程多10m ，设猎狗追上兔子的时间为t ．则：1.2V 2×t =V 2×t +10，解得：250t V =，所以猎狗行驶的路程：S =1.2V 2×t =60m ．【总结】行程问题，速度、路程、时间三者之间的关系，本题中先求出猎狗和兔子的速度之 比是解题的关键．【习题1】 榨油厂用100千克黄豆可以榨出13千克豆油，照这样计算，用3吨黄豆可以榨出______吨豆油．【难度】★【答案】0.39．【解析】1330.39100⨯=吨 ．【总结】考察比例在实际问题中的应用．随堂检测【习题2】在比例尺是1:6000000的地图上，量得甲、乙两地的图上距离是0．2厘米，则甲、乙两地的实际距离是______千米．【难度】★【答案】12．【解析】0.260000000.010.00112⨯⨯⨯=千米．【总结】考察比例尺的应用，注意单位换算，1千米=1000米，1米=100厘米．【习题3】一个三角形的三个内角度数的比是1︰2︰3，这个三角形中最大的角是多少度？这个三角形是什么三角形？【难度】★【答案】最大角为90度，直角三角形．【解析】318090123⨯=++．【总结】考察比例分配问题及三角形内角和的综合运用．【习题4】要修一条长432米的公路，已经修好了全长的13，剩余的任务按5 : 4分给甲、乙两个修路队。
2、浓度=溶质溶液100%=溶质溶质+溶液100%目t皿归教学目标1、明确溶液的质量，溶质的质量，溶剂的质量之间的关系2、浓度三角的应用3、会将复杂分数应用题及其他类型题目转化成浓度三角形式来解4、利用方程解复杂浓度问题知识精讲浓度问题的内容与我们实际的生活联系很紧密，就知识点而言它包括小学所学2个重点知识：百分数, 比例。
一、浓度问题中的基本量溶质：通常为盐水中的“盐”，糖水中的“糖，酒精溶液中的“酒精”等溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等溶液：溶质和溶液的混合液体。
浓度：溶质质量与溶液质量的比值。
二、几个基本量之间的运算关系1、溶液=溶质+溶剂、解浓度问题的一般方法1、寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量建立等量关系列方程2、十字交叉法：（甲溶液浓度大于乙溶液浓度6-2-3溶液浓度问题形象表达:旦甲溶液与混合溶液的浓度差 A 一混合溶液与乙溶液的浓度差注：十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角，浓度三角与十字交叉法实质上是相同 的•浓度三角的表示方法如下:z-y : x-zII甲溶液质量:乙溶液质量3、列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法.目倔瓦 例题精讲模块一、利用十字交叉即浓度三角进行解题 （一）两种溶液混合一次【例1】 某种溶液由40克食盐浓度15%勺溶液和60克食盐浓度10%勺溶液混合后再蒸发 50克水得到, 那么这种溶液的食盐浓度为多少？【解析】 两种配置溶液共含食盐 40X 15%+60< 10%=12克，而溶液质量为 40+60-50=50克，所以这种溶液的浓度为12弋0=24%.【巩固】 一容器内有浓度为 25%的糖水，若再加入 20千克水，则糖水的浓度变为15%，问这个容器内原来含有糖多少千克？【解析】容器内原含糖7.5千克。
【巩固】 现有浓度为10%的盐水8千克，要得到浓度为 20%的盐水，用什么方法可以得到，具体如何操 作？ 【解析】需蒸发掉4千克水，溶液的浓度变为 20%。
1. 掌握较复杂的求平均数应用题的结构特征及解答方法。
2. 培养学生观察、分析和逻辑推理能力。
知识点说明： 平均数问题：平均数：总数量÷总份数＝平均数（这个可以和行程问题里面的平均速度要区分并联系）模块一，简单的平均数问题 【例 1】 用4个同样的杯子装水，水面高度分别是4厘米，5厘米，7厘米，8厘米，这4个杯子水面平均高度是多少厘米？【考点】平均数问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 求4个杯子水面的平均高度，就相当于把4个杯子里的水合在一起，再平均倒入4个杯子里，看每个杯子里水面的高度．即为：457846+++÷=（）（厘米）．【答案】6【巩固】 小叶子这学期前5次作业的得分分别是95，87，92，100，96．求小叶子这5次作业的平均成绩？【考点】平均数问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 因为本题的“平均成绩=总成绩÷次数”所以先求总成绩，再求平均成绩．即：958792100965++++÷（）4705=÷94=（分）． 【答案】94【巩固】 中关村三小有15名同学参加跳绳比赛，他们每分钟跳绳的个数分别为93、94、85、92、86、88、94、91、88、89、92、86、93、90、89，求每个人平均每分钟跳绳多少个？【考点】平均数问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 从他们每人跳绳的个数可以看出，每人跳绳的个数很接近，所以可以选择其中一个数90做为基准数，再找出每个加数与这个基准数的差.大于基准数的差作为加数，如93＝90+3，3作为加数；小于基准数的差作为减数，如 87=90-3，3作为减数.把这些差累计起来，用和数的项数乘以基准例题精讲知识精讲教学目标平均数问题数，加上累计差，再除以和数的个数就可以算出结果。
①跳绳总个数。
93+94+85+92+86+88+94+91+88+89+92+86+93+90+89=90×15+（3+4+2+4+1+2+3）-（5+4+2+2+1+4+1）=1350+19-19=1350（个）②每人平均每分钟跳多少个？1350÷15=90（个）【答案】90【例 2】 如图5是小华五次数学测验成绩的统计图。
1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：一、比和比例的性质性质1：若a: b=c ：d ，则(a + c)：(b + d)= a ：b=c ：d ； 性质2：若a: b=c ：d ，则(a - c)：(b - d)= a ：b=c ：d ；性质3：若a: b=c ：d ，则(a +x c)：(b +x d)=a ：b=c ：d ；(x 为常数) 性质4：若a: b=c ：d ，则a×d = b×c ；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a÷b=k(k 为常数)，则称a 、b 成正比； 反比例：如果a×b=k(k 为常数)，则称a 、b 成反比．二、主要比例转化实例 ①x ay b= ⇒ y b x a =； x ya b=； a b x y =；知识点拨教学目标6-2-4比例应用题②x a y b = ⇒ mx a my b =； x ma y mb=(其中0m ≠)； ③x a y b = ⇒ x a x y a b =++； x y a b x a --=； x y a b x y a b ++=-- ；L ④x a y b =，y c z d= ⇒ x ac z bd =；::::x y z ac bc bd =； ⑤ x 的c a 等于y 的d b ，则x 是y 的ad bc ，y 是x 的bcad．三、按比例分配与和差关系⑴按比例分配例如：将x 个物体按照:a b 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x 的比分别为():a a b +和():b a b +，所以甲分配到ax a b +个，乙分配到bxa b+个.⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题例如：两个类别A 、B ，元素的数量比为:a b (这里a b >)，数量差为x ，那么A 的元素数量为ax a b -，B 的元素数量为bxa b-，所以解题的关键是求出()a b -与a 或b 的比值．四、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l ”。
题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。
在解答分数应用题时，要注意以下几点：1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。
2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。
3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。
找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。
4. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。
5. 赋值解比例问题6.模块一、比例转化【例 1】 已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的13，乙等于甲、丙两数和的12，丙等于甲、乙两数和的57，求::甲乙丙. 【解析】 由甲等于乙、丙两数和的13，得到甲等于三个数和的113+14=，同样的乙等于甲、丙两数和的112+13=，同样的丙等于甲、乙两个数和的557512=+ ，所以115::::3:4:54312==甲乙丙．【例 2】 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的23，那么甲的23、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为多少？【解析】 甲的一半、乙的2倍、丙的23这三个数的比为1:1:1，所以甲、乙、丙这三个数的比为()121:12:123⎛⎫⎛⎫÷÷÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即132::22，化简为4:1:3，那么甲的23、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为()214:12:332⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即83:2:32，化简为16:12:9.【巩固】 甲、乙、丙三个数，已知():4:3+=甲乙丙，:2:7=乙丙，求::甲乙丙。
【解析】 由:2:7=乙丙可得到():2:9+=乙乙丙，():7:9+=丙乙丙，而():4:3+=甲乙丙，所以：427::::12:2:7399==甲乙丙．【例 3】 如下图所示，圆B 与圆C 的面积之和等于圆A 面积的45，且圆A 中的阴影部分面积例题精讲占圆A 面积的16，圆B 的阴影部分面积占圆B 面积的15，圆C 的阴影部分面积占圆C面积的13．求圆A 、圆B 、圆C 的面积之比．CBA【解析】 设A 与B 的共同部分的面积为x ，A 与C 的共同部分的面积为y ，则根据题意有()()564A B C x y =+=+，5Bx =，3C y =，于是得到()56453B C B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，这条式子可化简为15B C =，所以()5204A B C C =+=.最后得到::20:15:1A B C =.【巩固】 右图是一个园林的规划图，其中，正方形的43是草地；圆的76是竹林；竹林比草地多占地450平方米． 问：水池占多少平方米?【解析】 正方形的43是草地，那如果水池占1份，草地的面积便是3份；圆的76是竹林，水池占1份，竹林的面积是6份。
从而竹林比草地多出的面积是（6-3=）3份。
3份的面积是450平方米，可见1份面积是450÷3=150（平方米），即水池面积是150平方米。
【例 4】 某俱乐部男、女会员的人数之比是3:2，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数比是10:8:7，甲组中男、女会员的人数之比是3:1，乙组中男、女会员的人数之比是5:3．求丙组中男、女会员人数之比．【解析】 以总人数为1，则甲组男会员人数为103310873110⨯=+++，女会员为31110310⨯=，乙组男会员为8511087535⨯=+++，女会员为1335525⨯=；丙组男会员为33113+210510⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，女会员为21393+2102550⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；所以，丙组中男、女会员人数之比为19:5:91050=．【巩固】 一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的一段时间后，分别剩下60%、40%的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率(建设速度)之比3:1，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比.【解析】 (法一)甲工程队以3倍乙工程队建设速度，仅完成了40%的承包任务，而乙工程队完成了60%，所以甲工程队承包任务的40%等于乙工程队承包任务的60%3180%⨯=，所以甲工程队的承包的任务是乙工程队承包任务的180%40%450%÷=，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为450%:19:2=．(法二)两个工程队完成的工程任务(修建公路长度)之比等于工作效率之比，等于3:1，而他们分别完成了各自任务的40%和60%，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为()()340%:160%9:2÷÷=．【巩固】 (2008年清华附中考题)甲、乙两个工人上班，甲比乙多走15的路程，而乙比甲的时间少111，甲、乙的速度比是 ． 【解析】 甲走的路程是乙走的路程的65，甲用的时间是乙用的时间的1110，所以甲的速度是乙的速度的6111251011÷=，即甲、乙的速度比是12:11．【例 5】 某团体有100名会员，男女会员人数之比是14:11，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为12:13、5:3、2:1，那么丙组有多少名男会员？【解析】 会员总人数100人，男女比例为14:11，则可知男、女会员人数分别为56人、44人；又已知甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，则可知甲组人数为50人，乙、丙人数之和为50人，可设丙组人数为x 人，则乙组人数为()50x -人，又已知甲组男、女会员比为12:13，则甲组男、女会员人数分别为24人、26人，又已知乙、丙两组男、女会员比例，则可得：5224(50)5683x x +-+=，解得18x =．即丙组会员人数为18人，又已知男、女比例，可得丙组男会员人数为218123⨯=人．【例 6】 (2007年华杯赛总决赛)A 、B 、C 三项工程的工作量之比为1:2:3，由甲、乙、丙三队分别承担．三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？【解析】 根据题意，如果把A 工程的工作量看作1，则B 工程的工作量就是2，C 工程的工作量就是3．设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为x 、y 、z .经过k 天，则：()()()22133213kx ky ky kz kz kx =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩L L L LL L 将⑶代入⑵，得()243kxky +=L L ， 将⑷代入⑴，得2223kx kx +=-，47x k=，将47x k =代入⑴，得67y k =．代入⑶，得37z k=．甲、乙、丙三队的．工作效率的连比是463::4:6:3777k k k=．【巩固】 某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？【解析】 由①、②可知甲、乙两校获奖总人数的比为6:5，不妨设甲校有60人获奖，则乙校有50人获奖．由③知两校获二等奖的共有(6050)20%22+⨯=人；由⑤知甲校获二等奖的有22(4.51) 4.518÷+⨯=人；由④知甲校获一等奖的有606050%1812-⨯-=人，那么乙校获一等奖的也有12人，从而所求百分数为1250100%24%÷⨯=．【例 7】 ①某校毕业生共有9个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多1；③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业生中男、女生人数比是多少？【解析】 如下表所示，由②知，一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多1；由③知，四至九班的男生总数比四、五、六班总人数少1．因此，一至九班的男生总数是二、三、四、五、六共五个班的人数之和，由于每班人数均相等，则女生总数等于四个班的人数之和．所以，男、女生人数之比是5:4．模块二、按比例分配与和差关系（一）量倍对应【例 8】 一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的人数比为13:11，求一共有多少个苹果？【解析】 一共有()()1613111311192÷-⨯+=个苹果.【巩固】 小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3:4:6，三人一共藏书52本，求他们三人各自的藏书数量.【解析】 根据题意可知，他们三人各自的藏书数量分别占三人藏书总量的3346++、4346++、6346++，所以小新拥有的藏书数量为35212346⨯=++本，小志拥有的藏书数量为45216346⨯=++本，小刚拥有的藏书数量为65224346⨯=++本.【巩固】 在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是10:7，则甲捐 元，乙捐 元，丙捐 元．【解析】 由于甲比丙多捐18元，所以甲、乙所捐资的和比乙、丙所捐资的和多18元，那么甲、乙所捐资的和为：18(107)1060÷-⨯=(元)，乙、丙所捐资的和为601842-=元．所以，甲捐了804238-=(元)，乙捐了603822-=(元)，丙捐了381820-=(元)．【巩固】 甲、乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的14等于乙班种的棵数的15，且乙班比甲班多种树24棵，甲、乙两个班各种树多少棵?【解析】 甲、乙两班种树棵数之比为：11:4:554=，甲班种树棵数为：()2454496÷-⨯=(棵)，乙班种树棵数为：()24545120÷-⨯=(棵)．【巩固】 有120个皮球，分给两个班使用，一班分到的13与二班分到的12相等，求两个班各分到多少皮球？【解析】 根据题意可知一班与二班分到的球数比11:3:223=，所以一班分到皮球31207232⨯=+个，二班分到皮球1207248-=个．【例 9】 一班和二班的人数之比是8:7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为4:5．求原来两班的人数．【解析】 原来一班的人数为两班总人数的888715=+，调班后一班的人数是两班人数的44459=+，调班前后一班人数的比值为84:6:5159=，所以一班原来的人数为()865648÷-⨯=人，二班原来的人数为488742÷⨯=人.【例 10】 幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班男生数与女生数的比为5:3，中班男生数与女生数的比为2:1，那么大班有女生多少名？【解析】 由于男、女生人数有比例关系，而且知道总数，所以可以用鸡兔同笼的方法．假设18名女生全部是大班，则大班男生数：女生数5:330:18==，即男生应有30人，实际上男生有32人，相差2个人；又中班男生数：女生数2:16:3==，以3个中班女生换3个大班女生，每换一组可增加1个男生，所以需要换2组；所以，大班女生有183212-⨯=(名)．【巩固】 参加植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3:2，六年级比四年级多80人，三个年级参加植树的各有多少人?【解析】 假设四年级和六年级人数同样多，则参加植树的同学共有72080800+=人，四、五、六三个年级的人数比为3:2:3，知道三个量的和及它们的比，就可以按比例分配，分别求出三个年级参加植树的人数．六年级：3800300323⨯=++人；五年级：2800200323⨯=++人；四年级：30080220-=人．【巩固】 圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问圆珠笔的单价是每支多少元?【解析】 设圆珠笔的价格为4，那么铅笔的价格为3，则20支圆珠笔和21支铅笔的价格为20×4+21×3=143，则单位“1”的价格为71.5÷143=0.5元．所以圆珠笔的单价是O.5×4=2(元)．【例 11】 甲、乙两只蚂蚁同时从A 点出发，沿长方形的边爬去，结果在距B 点2厘米的C 点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的1.2倍，求这个长方形的周长．C B【解析】 两只蚂蚁在距B 点2厘米的C 点相遇，说明乙比甲一共多走了224⨯=(厘米)．又知乙蚂蚁的速度是甲蚂蚁的1.2倍，相同时间内乙蚂蚁爬的路程与甲蚂蚁爬的路程比为：1.2：1＝6：5，所以甲爬的路程是()465520÷-⨯=(厘米)，乙爬的路程是20424+=(厘米)，长方形的周长为202444+=(厘米)．【巩固】 甲、乙两车分别从A 、B 两地同时相向开出，甲车的速度是50千米／小时，乙车的速度是40千米／小时，当甲车驶过A 、B 距离的13多50千米时与乙车相遇，A 、B 两地相距 千米．【解析】 在相同的时间内，两车行驶的路程比等于两车的速度之比，由于两车的速度之比等于50:405:4=，那么A 、B 距离的13多50千米即是A 、B 距离的55459=+，所以50千米的距离相当于全程的512939⎛⎫-= ⎪⎝⎭，全程的距离为2502259÷=(千米)．【例 12】 甲乙两车分别从 A ， B 两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B 地时，乙离A 地还有10千米．问：A ，B 两地相距多少千米？【解析】 甲、乙原来的速度比是5∶4相遇后的速度比是：[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）]＝4∶4．8＝5∶6． 相遇时，甲、乙分别走了全程的5/9和4/9设全程x 千米，剩下的部分甲行的长度和乙行的长度之比为5：6 其中相遇后甲行驶了全长的4/9所以乙行驶了全长的4856915÷⨯=，所以乙一共行了全长484491545+=，还剩44114545-=没有走所以A 、B 全长为450千米.【例 13】 师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是11:5:3915=，工作时间相同，工作量与工作效率成正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的553+和353+，师傅和徒弟一共加工了53100()4005353÷-=++个零件(涉及到数量差和数量比的题在以下题目中详细讲述).【巩固】 师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是11:5:3915=，而工作时间相同，则工作量与工作效率成正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的553+和353+，师傅比徒弟多加工零件534001005353⎛⎫⨯-= ⎪++⎝⎭个．【例 14】 A 、B 、C 三个水桶的总容积是1440公升，如果A 、B 两桶装满水，C 桶是空的；若将A 桶水的全部和B 桶水的15，或将B 桶水的全部和A 桶水的13倒入C 桶，C 桶都恰好装满．求A 、B 、C 三个水桶容积各是多少公升？【解析】 根据题意可知，A 桶水的全部加上B 桶水的15等于B 桶水的全部加上A 桶水的13，所以A 桶水的23等于B 桶水的45，那么A 桶水的全部等于B 桶水的426535÷=，C 桶水为B 桶水的617555+=．所以A 、B 、C 三个水桶的容积之比是67:1:6:5:755=．又A 、B 、C 三个水桶的总容积是1440公升，所以A 桶的容积是61440480657⨯=++公升，B 桶的容积是54804006⨯=公升，C 桶的容积是74805606⨯=公升．【巩固】 加工某种零件，甲3分钟加工1个，乙3.5分钟加工1个，丙4分钟加工1个．现在三人在同样的时间内一共加工3650个零件．问：甲、乙、丙三人各加工多少个零件?【解析】 根据题意可知，甲、乙、丙的工作效率之比为111::28:24:213 3.54=，那么在相同的时间内，三人完成的工作量之比也是28:24:21，所以甲加工了2836501400282421⨯=++个零件，乙加工了2436501200282421⨯=++个零件，丙加工了2136501050282421⨯=++个零件。
