2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷09(解析版)

2020年高考江苏（专用）全真模拟试题数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：高中全部内容。

一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．定义一种集合运算(){|AB x x A B =∈⋃，且()}x A B ∉⋂}，设{}|22M x x =-<<，{}|13N x x =<<，则MN 所表示的集合是________.2．已知复数z 满足(1)13i z i +=+，则z =________.3．已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则28sin()a a +=________ 4．函数()f x =的定义域为_______. 5．已知sin cos 11cos 2ααα=-，1tan()3αβ-=，则tan β=________.6．如图，在ABC V 中，若AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v，线段AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP ma nb =+u u u v v v，则m n +=_____．7．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被2或5整除的概率是___________.8．设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的方差是4，若y i ＝x i －1(i ＝1，2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为______．9．在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，若其外接球的表面积为16π，则异面直线1BD 与1CC 所成的角的余弦值为__________．10．曲线()x f x xe =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距是_______. 11．定义在R 上的奇函数()f x ，若()1f x +为偶函数，且()12f -=，则()()1213f f +的值等于______.12．根据如图所示算法流程图，则输出S 的值是__．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，圆222:O x y a +=与双曲线的渐近线在第二象限相交于点M （O 为坐标原点），若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的离心率为______. 14．已知偶函数满足，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围_________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos sin 0b A a B -=. （1）求角A 的大小； （2）已知b =ABC ∆的面积为1，求边a .16．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，1PA AB ==，AD =，F 是PB 中点，点E在BC 边上．()f x []2(2)(),1,0()f x f x x f x x -=∈-=且当时，[]13-，()()()log 2a g x f x x =-+a（1）求三棱锥E PAD -的体积； （2）求证：AF PE ⊥；（3）若//EF 平面PAC ，试确定E 点的位置．17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，右焦点为F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过定点(2,0)P 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：PFM PFB ∠=∠.18．已知函数()2ln 1f x x x kx =+--.（I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <，求证：()()210f x f x <<. 19．已知数列{}n a 中，11a =, 且()21232,1n n n na a n n n N n -*-=+≥∈-g . （1）求23,a a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）令()13n n nb n N a -*=∈, 数列{}n b 的前n 项和为n S , 试比较2nS 与n 的大小；（3）令()11n n a c n N n *+=∈+, 数列()221n n c c ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T , 求证: 对任意n N *∈, 都有2n T <. 20．如图所示，某镇有一块空地OAB ∆，其中3OA km =，OB =，AOB 90∠=o 。

2020届高考应用题模拟试题选编（十）1、（省如皋市2019—2020学年高三年级第二学期语数英学科模拟（二）数学试题）现有一块废弃的半圆形钢板，其右下角一小部分因生锈无法使用，其形状如图所示，已知该钢板的圆心为O，线段AOB为其下沿，且OA＝2m，OB＝2m．现欲从中截取一个四边形AMPQ，其要求如下：点P，Q均在圆弧上，AP平分∠QAB，且PM⊥OB，垂足M在边OB 上．设∠QAB＝θ，四边形AMPQ的面积为S(θ)m2．（1）求S(θ)关于θ的函数解析式，并写出其定义域；（2）当cosθ为何值时，四边形AMPQ的面积最大?（第1题）（第2题）2、（省合作联盟学校2020届高三阶段性调研测试）如图，某校打算在长为1千米的主干道AB一侧的一片区域临时搭建一个强基计划高校咨询和宣传台，该区域由直角三角形区域ACB(∠ACB为直角)和以BC为直径的半圆形区域组成，点P(异于B，C）为半圆弧上一点，点H在线段AB上，且满足CH⊥AB．已知∠PBA＝60°，设∠ABC＝θ，且θ∈[18π，3π)．初步设想把咨询台安排在线段CH，CP上，把宣传海报悬挂在弧CP和线段CH上．（1）若为了让学生获得更多的咨询机会，让更多的省高校参展，打算让CH＋CP最大，求该最大值；（2）若为了让学生了解更多的省外高校，贴出更多高校的海报，打算让弧CP和线段CH的长度之和最大，求此时的θ的值．3、（省2020年高考数学全真模拟试卷(六(教研室)）为了打击海盗犯罪,甲、乙、丙三国海军进行联合军事演习,分别派出一艘军舰A,B,C.演习要求: 任何时刻军舰A,B,C均不得在同一条直线上.(1) 如图1, 若演习过程中,A,B间的距离始终保持 3 n mile, B,C间的距离始终保持2 n mile,求∠ACB的最大值.（第3题）ACDB（图2）（图1）B CA(2) 如图2, 若演习过程中,A ,C 间的距离始终保持1n mile ,B ,C 间的距离始终保持 2 nmile .且当∠ACB 变化时, 模拟海盗船D 始终保持: 到B 的距离与A ,B 间的距离相等,∠ABD = 90°, 与C 在直线AB 的两侧,求C 与D 间的最大距离.4、（省2020年高考数学全真模拟试卷四 (教研室)）图1是某高架桥箱梁的横截面,它由上部路面和下部支撑箱两部分组成.如图2,路面宽度AB =10m,下部支撑箱CDEF 为等腰梯形(CD >EF ),且AC =BD .为了保证承重能力与稳定性,需下部支撑箱的面积为8m 2,高度为2m 且2m ≤EF ≤3m 若路面AB 、侧边CF 和DE 、底部EF 的造价分别为4a 千元/m,5a 千元/m,6a 千元/m (a 为正常数),∠DCF = θ. (1) 试用θ表示箱梁的总造价y (千元);(2) 试确定cos θ的值,使总造价最低?并求最低总造价.5、（省2020年高考原创卷数学试题）图1是某公司计划开发的一级方程式汽车赛道的规划图纸．其中一段赛道AB ，是“S 型弯道”，在平面直角坐标系xOy 中，该段赛道的图象拟用函数的一段图象(如图2)来表示，其中 A (0,0), B(2,4) ．注：“S 型弯道”是指该段函数(不包括端点)既有极大值点又有极小值点．(1) 数a 的取值围； (2) 记函数图象上任意一点处的切线斜率为g(x),曲率为()()1()g x Q x g x '=+.为为比赛安全，官方要求赛道每一点处曲率的绝对值都小于4．问：是否存在整数，使该“S 型弯道”符合官方要求？若存在，求整数a 的值；若不存在，请说明理由．（第4题）（图1）（图2）A CFBD Eθ（第5题图1） （第5题图2）6、（省2020年高考数学全真模拟试卷七 (教研室)）如图,为了保卫祖国海疆、我军在某海岸线(近似地看成直线)上相距20nmle 的A ,B 两处设立海防哨所.记某外轮所在位置为P ,在A 处测得∠BAP ＝α,在B 处测得∠ABP ＝β.按照《联合国海洋法公约》规定:领海宽度不超过12nmile ,外国船只除特许外,不得私自进入我国领海.（1）若α＝45°, β＝60°,则该外轮是否已进入我国领海?请说明理由.（2）若该外轮航行至点P 处(距海岸线 403n mile ,且此时tan α＝－2)请求靠岸补给,我军立刻同意并要求其继续保持到B 处的距离是到A 处距离的2倍航行直至靠岸,求该外轮从 发出请求到靠岸所航行的里程(π取3.14,结果保留1位小数).（第7题）7、（省市十校2020届高三下学期5月调研试题数学）疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形OABC 与扇形OCD 组成，省市十校2020届高三下学期5月调研试题数学含OA ＝30米，AB ＝50米，∠COD ＝6π，经营者决定在O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角∠EOF ＝3π，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E 在弧CD 上，点F （第6题） A 海岸线领海线P在线段AB 上．设∠FOC ＝θ．（1）求该监控摄像头所能监控到的区域面积S 关于θ的函数关系式，并求出tan θ的取值围；（2）求监控区域面积S 最大时，角θ的正切值．8、（省2020年高考数学全真模拟试卷八 (教研室)）如图1,某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2 m 的圆柱形花柱, 四周斑马线的侧连线构成边长为20 m 的正方形. 因工程需要, 测量员将使用仪器沿斑马线的侧进行测量, 其中仪器P 的移动速度为1.5 m/s, 仪器Q 的移动速度为1 m/s. 若仪器P 与仪器Q 的对视光线被花柱阻挡, 则称仪器Q 在仪器P 的“盲区”中.（1）如图2, 斑马线的侧连线构成正方形ABCD ,仪器P 在点A 处,仪器Q 在BC 上距离点 C4 m 处,试判断仪器Q 是否在仪器P 的“盲区”中,并说明理由;（2）如图3,斑马线的侧连线构成正方形ABCD ,仪器P 从点A 出发向点D 移动,同时仪器Q 从点C 出发向点B 移动,在这个移动过程中,仪器Q 在仪器P 的“盲区”中的时长为多少?9、（省2020届数学最后一卷8）某市准备开发一个边界近似为半圆的城市休闲广场，半圆的直径在一条东西走向的公路上，，半圆边界上点处是娱乐休闲区域，且圆心在正北方向.（1）若在圆心北偏西某一方向的圆周上设立另一个休闲点，问当点在何处时，四边形观赏区域的面积最大？（2）若计划修建一条从点出发，经过点到达点处的栈道（其中点在半径上，为直线段），已知段每千米修建费用为万元，段每千米修建费用为万元，设，问当为何值时，修建栈道的费用最少？最少是多少万元？（第8题）（图2）・ A DBC QP ADBC Q（图3）（图1）（第9题）（第10题）10、（省2020届数学最后一卷4）在《折纸中的数学》课外兴趣小组的一次活动中，指导老师要求同学们将带来的长，宽（）的矩形纸片（如图所示）按下列要求进行折叠：沿折痕进行翻折，使点和点与边上的点重合. 设，，其中和均为锐角.（1）若在学生中甲折好的图中测得，，，求学生甲的这矩形纸片的面积；（2）若在指导老师要求矩形纸片折好后的图形恰好满足，试判断学生乙用一长与宽的比值为的矩形纸片能否完成这次折叠？并说明理由.1、2、3、4、5、6、7、8、10、。

2020届江苏省高三高考全真模拟（九）数学试题一、填空题1．已知集合{}20A x x =-<，{}1,2,3B =，则A B =I __________． 【答案】{1}【解析】由题意{}2A x x =<，由交集的概念即可得解. 【详解】Q {}{}202A x x x x =-<=<，∴{}{}{}21,2,31A B x x ⋂=<⋂=.故答案为：{1}. 【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题. 2．复数1z ii=+(其中i 为虚数单位)的虚部是________． 【答案】12【解析】根据复数除法计算原理，化简即可得到虚部． 【详解】根据导数除法运算，化简()()()1111i i iz i i i -==++-111222i i +==+ 所以虚部为12【点睛】本题考查了复数的除法运算和简单的概念，属于简单题．3．如图，这是一个算法流程图，则输出的a 的值是____________．【答案】3【解析】模拟执行程序框图，注意变量的取值，逐步计算即可得解. 【详解】模拟执行该程序框图，可得： 1a =，221210a a -=-=-<；112a =+=，22440a a -=-=；213a =+=，229630a a -=-=>，输出3a =.故答案为：3. 【点睛】本题考查了程序框图的应用，属于基础题. 4．函数()()ln 1f x x =-__________．【答案】[2,)+∞【解析】由二次根式的概念可得()ln 10x -≥，解对数不等式即可得解. 【详解】由题意()ln 10x -≥即11x -≥，解得2x ≥， 所以函数()()ln 1f x x =-[2,)+∞.故答案为：[2,)+∞. 【点睛】本题考查了复合函数定义域的求解，考查了对数不等式的求解，属于基础题. 5．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则甲获胜的概率是_____【答案】【解析】试题分析：因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，所以甲获胜概1111236--=，应填16.【考点】概率的求法.6．若函数()()cos 202f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭图象的一条对称轴方程为6x π=，则ϕ的值为________． 【答案】3π【解析】由题意结合余弦函数的图象与性质可得2()6⨯-=∈k k Z πϕπ，即可得解.【详解】 由题意得2()6⨯-=∈k k Z πϕπ，解得()3=-∈k k Z πϕπ，因为02πϕ<<，所以3πϕ=．故答案为：3π. 【点睛】本题考查了余弦函数图象与性质的应用，属于基础题.7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，568a a =，则数列{}2log n a 的前10项和等于______． 【答案】15【解析】由题意结合等比数列的性质可得110293847568a a a a a a a a a a =====，再由对数运算的性质即可得解. 【详解】Q 数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，且568a a =，∴110293847568a a a a a a a a a a =====， ∴21222329210log log log log log a a a a a +++++L 21102292382472562562log log log log log 5log 5log 185a a a a a a a a a a a a =++++===．故答案为：15. 【点睛】本题考查了等比数列的性质及对数运算性质的综合应用，属于基础题. 8．设正三棱锥A BCD -的底面边长和侧棱长均为4，点,,,E F G H 分别为棱AB ,BC ,CD ,BD 的中点，则三棱锥E FGH -的体积为___________．【答案】3【解析】先求正三棱锥A BCD -体积，再比较三棱锥E FGH -与正三棱锥A BCD -高与底面积的关系得结果. 【详解】：∵正三棱锥A ﹣BCD 的底面边长和侧棱长均为4， 点E ，F ，G ，H 分别为棱AB ，BC ，CD ，BD 的中点，连结DF ，则DF ==过A 作AO ⊥平面BCD ，交DF 于O ，则DO 23DF ==，∴AO 3==，∴正三棱锥的A ﹣BCD 的体积为：V A ﹣BCD 111433233BCD S AO =⨯=⨯⨯⨯=V ， ∵三棱锥E ﹣FGH 的底面积是正三棱锥A ﹣BCD 的底面积的14， 三棱锥E ﹣FGH 的高是正三棱锥A ﹣BCD 的高的12， ∴三棱锥E ﹣FGH 的体积：V E ﹣FGH 11124833A BCD V -=⨯⨯=⨯=．故答案为：3．【点睛】求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到.9．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=无交点，则C 的离心率的取值范围为__________．【答案】233⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】分析：根据圆心到直线的距离大于半径，列不等式，结合222c b a =+可得离心率的取值范围.详解：Q 曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=无交点，∴圆心()2,0到直线by x a=的距离大于半径1， 221a b>+，2224b a b >+，()22222233,34b c a a c a =->>， 22423,3c e a >>， 即C 的离心率的取值范围为233⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为3,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭.点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围.本题是利用点到直线的距离大于圆半径构造出关于e 的不等式，最后解出e 的范围. 10．已知24tan tan 122αα+=，()sin 2sin 2βαβ=+，则()tan αβ+=________．【答案】32-【解析】由二倍角正切公式可得1tan 2α=，转化条件得sin[()]2sin[()]αβααβα+-=++，化简即可得tan()3tan +=-αβα，即可得解.【详解】将24tantan 122αα+=变形为22tan1221tan 2αα=-，即1tan 2α=， 因为sin 2sin(2)βαβ=+，即sin[()]2sin[()]αβααβα+-=++，所以sin()cos cos()sin 2sin()cos 2cos()sin αβααβααβααβα+-+=+++， 整理得tan()3tan +=-αβα，所以3tan()2+=-αβ． 故答案为：32-. 【点睛】本题考查了三角恒等变换和同角三角函数商数关系的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.11．在四边形ABCD 中，若AB DC =u u u r u u u r ，5AC AD AC BD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，则边AC 的长为_________．【解析】由平面向量数量积的运算法则可得()0AC AD BD ⋅-=u u u r u u u r u u u r r 即0AC AB ⋅=u u u r u u u r r，可得AC AB ⊥u u u r u u u r 即AC CD ⊥u u u r u u u r，则由平面向量数量积的定义可得25AC AD AC ⋅==u u u r u u u r u u u r ，即可得解. 【详解】因为AB DC =u u u r u u u r，所以四边形ABCD 为平行四边形，因为AC AD AC BD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，移项得()0AC AD BD ⋅-=u u u r u u u r u u u r r ，整理得0AC AB ⋅=u u u r u u u r r ，所以AC AB ⊥u u u r u u u r 即AC CD ⊥u u u r u u u r，在Rt ACD △中，25AC AD AC ⋅==u u u r u u u r u u u r ，所以AC =【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及运算法则的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.12．在平简直角坐标系xOy 中，直线1y kx k =+-（k 为常数）与曲线1xy x =-相交于点A ，B ，平面上一点P 满足2PA PB +=u u u r u u u r ，则点P 到原点的最远距离为________．1【解析】由题意可知直线恒过定点(1,1)M 、曲线的对称中心为(1,1)M ，则由平面向量线性运算法则可得|||2|2+==PA PB PM u u u r u u u r u u u u r，进而可得点P 在以点M 为圆心、1为半径的圆上，由圆的性质即可得解. 【详解】因为直线1y kx k =+-恒过定点(1,1)M ，曲线1xy x =-可变为111y x =--，可知该曲线的对称中心为(1,1)M ，所以AB 的中点为M ，从而|||2|2+==PA PB PM u u u r u u u r u u u u r ，即||1=PM u u u u r，所以点P 在以点M 为圆心、1为半径的圆上，又OM ==所以点max 1PO ．1. 【点睛】本题考查了直线过定点、曲线对称中心的确定，考查了平面向量线性运算法则和圆的性质的应用，属于中档题. 13．已知x ，y 为正实数，则33y xx y y++的最小值为________．【答案】53【解析】转化条件得311113333y x x x x y yy y ⎛⎫+=++-⎪+⎝⎭+，由基本不等式即可得解. 【详解】由题意311111133333y x x x x x x y yy y y y ⎛⎫+=+=++-⎪+⎝⎭++1152333≥=-=， 当且仅当23x y =时等号成立，故33y x x y y ++的最小值为53． 故答案为：53. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化化归思想和运算求解能力，属于中档题.14．已知直线l 与曲线244x y e=-（e 为自然对数的底数）和曲线ln y x =都相切，则直线l 的斜率为______． 【答案】21e【解析】设直线l 与两曲线的切点分别为2114,4x A x e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()22,ln B x x ，由题意结合导数的几何意义可得直线l 的方程可表示为2114424x x y x e e =-+和221ln 1y x x x =+-，进而可得142212412ln 14x e x x x e ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即可得解.【详解】对244x y e=-求导得42x y e '=-，对ln y x =求导得1y x '=，设直线l 与两曲线的切点分别为2114,4x A x e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()22,ln B x x ，则切线l 的方程可表示为()221111144442424=---=-+x x x x y x x x e e e e；切线l 的方程也可表示为()2222211ln ln 1y x x x x x x x =-+=+-， 所以142212412ln 14x e x x x e ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去2x 整理得241412ln 14⎛⎫=-- ⎪⎝⎭x e e x 即()2114ln ln 234x x e +-=+，令()()()24ln 04x f x x x e=+-<，易知函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()()422442ln 2ln 234e f e e e-=+=+，所以()2114ln ln 234x x e+-=+的解为212=-x e ，所以直线l 的斜率242212l e k e e-=-=．故答案为：21e. 【点睛】本题考查了导数的几何意义及导数的运算，考查了运算能力，属于中档题.二、解答题15．在ABC V 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos cos a B b A C +. （1）求角C 的大小；（2）若1c =，1a b +=ABC V 的面积. 【答案】（1）4C π=（2）12【解析】（1）由题意结合正弦定理和三角恒等变换得sin()cos +=A B C C ，进而可得sin sin =C C C ，即可得解；（2）由余弦定理结合题意可得22()22cos4+--=⋅a b ab c ab π，解得2ab =后，利用1sin 2ABC S ab C =V 即可得解. 【详解】（1）因为cos cos 2cos a B b A c C +=， 由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos +=A B B A C C ，即sin()2sin cos +=A B C C ．因为A B C π++=，所以sin()sin A B C +=， 所以sin 2cos sin =C C C又因为()0C π∈，，所以sin 0C >，所以2cos C =即4C π=；（2）由余弦定理得2222cos a b c ab C +-=， 所以22()22cos4+--=⋅a b ab c ab π，即2(21)1(22)+-=+ab ，解得2ab =，所以1121sin 22222ABC S ab C ==⨯⨯=△． 【点睛】本题考查了三角恒等变换、正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题.16．如图，在四棱锥P -ABCD 中，已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 是棱PB 的中点，且过AE 和AD 的平面α与棱PC 交于点F .（1）求证：//AD EF ；（2）若平面α⊥平面PBC ，求线段PA 的长.【答案】（1）见解析（2）2PA =【解析】（1）由题意结合线面平行的判定可得//AD 平面PBC ，再由线面平行的性质即可得证；（2）由线面垂直的判定和性质可得AD PB ⊥，进而可得PB EF ⊥，由面面垂直的性质可得PB ⊥平面α，即可得PB AE ⊥，再由平面几何的知识即可得解. 【详解】（1）证明：由题意得直线AE 和AD 确定的平面α即为平面AEFD ． 因为四边形ABCD 为正方形，所以//AD BC ． 又因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以//AD 平面PBC ，又因为AD ⊂平面α，平面αI 平面PBC EF =， 所以//AD EF ．（2）因为四边形ABCD 为正方形，所以AD AB ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥， 又因为PA AB A =I ，,PA AB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ， 又因为PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥， 由（1）知//AD EF ，所以PB EF ⊥，又因为平面α⊥平面PBC ，平面αI 平面PBC EF =，PB ⊂平面PBC ， 所以PB ⊥平面α，又因为AE ⊂平面α，所以PB AE ⊥，在Rt PAB V 中，因为E 是PB 的中点，PB AE ⊥， 所以2PA AB ==. 【点睛】本题考查了线线、线面、面面位置关系的判定和性质，考查了空间思维能力，属于中档题.17．如图，某地有一条宽为10m 的公路,该公路在A 处为直角弯道现有一辆“斯太尔”型大货车要通过该弯道,已知该货车的宽为2.5m ，长为 m l .（1）假设该货车刚好能通过该弯道，且CBA θ∠=，试求货车长l 关于θ的函数关系式，并写出定义域；（2）若该货车的长为16 m ，则它能否顺利通过该弯道？请说明理由. 【答案】（1）20(sin cos )5,0,2sin cos 2l θθπθθθ+-⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭．（2）该货车不能顺利通过该弯道．见解析【解析】（1）延长ED ，交AC 于点G ，过点G 作⊥GH FH ，H 为垂足，由题意可求得10cos =FG θ、5tan 2=GD θ，进而可表示105tan cos 2=-DF θθ，同理可得105sin 2tan =-FE θθ，即可得解；（2）令sin cos 2sin (1,2]4t πθθθ⎛⎫+=+=∈ ⎪⎝⎭，则可转化条件得方程2205161-=-t t 在(1,2]上是否有解，令2()162011=--f t t t ，由二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）如图，延长ED ，交AC 于点G ，过点G 作⊥GH FH ，H 为垂足，在Rt FHG V 中，FGH θ∠=，10GH =，所以10cos =FG θ， 在Rt GDC V 中，GCD θ∠=，52CD =，所以5tan 2=GD θ， 所以105tan cos 2=-DF θθ；同理可得105sin 2tan =-FE θθ； 所以105105tan cos 2sin 2tan l DF FE θθθθ=+=-+-20(sin cos )5,0,2sin cos 2θθπθθθ+-⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭；（2）令sin cos 2sin (1,2]4t πθθθ⎛⎫+=+=∈ ⎪⎝⎭，则()222sin cos sin cos 11t θθθθ=+-=-，所以22051-=-t l t ， 令16=l ，问题即转化为关于t 的方程2205161-=-t t 在(1,2]上是否有解， 方程整理得21620110--=t t ．令2()162011=--f t t t ，则其图象的对称轴方程为518=<t ， 所以()f t 在(1,2]上单调递增．又因为(2)212020=-<f ，所以方程2205161-=-t t 在(1,2]上无解， 因此该货车不能顺利通过该弯道． 【点睛】本题考查了函数与三角函数性质、辅助角公式的综合应用，考查了换元法和转化化归思想，属于中档题.18．如图，已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A 右焦点为()1,0F ，右准线l 的方程为4x =，过焦点F 的直线与椭圆C 相交于点A ，B （不与点12,A A 重合）.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当直线AB 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长；（3）设直线1A A 交l 于点M ，求证：B ，2A ，M 三点共线.【答案】（1）22143x y +=（2）247（3）见解析【解析】（1）由题意结合椭圆性质可得1c =、24a c=，即可得解；（2）由题意直线:1AB y x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组可得1287x x +=，1287x x =-，再利用弦长公式即可得解；（3）设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，易得1164,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭，转化结论为证明()1212320+-=y y my y 成立，联立方程组即可得122634my y m +=-+，122934y y m =-+，进而可得()12122218183203434-+-=+=++m my y my y m m ，即可得证. 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c ．由题意得1c =．又右准线l 的方程为4x =，所以24a c=，所以24a =，2223b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=，（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，因为直线AB 的倾斜角为45︒且过点(1,0)F ， 所以直线:1AB y x =-，联立221143y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得27880x x --=，>0∆，所以1287x x +=，1287x x =-，所以12247AB x x =-===；（3）由题意可得()12,0A -，()22,0A ，因为直线AB 的斜率不为0，所以设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 则直线111:(2)2=++y AA y x x ，令4x =，得1162=+y y x ，所以1164,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭； 要证B ，2A ，M 三点共线，只需证22=A B A M k k ， 即证2121322=-+y y x x ，即证()1212320+-=y y my y ； 联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2234690m y my ++-=，>0∆，所以122634m y y m +=-+，122934y y m =-+， 所以()12122218183203434-+-=+=++m my y my y m m ， 所以B ，2A ，M 三点共线． 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的确定及直线与椭圆的位置关系，考查了计算能力与转化化归思想，属于中档题.19．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，111,2n n n a a a S +=⋅=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记12n n n na ab +⋅=，若集合{}*,n n b n N λ>∈中恰好有3个元素，求实数λ的取值范围；（3）若12n n n a c c +=+，且2341c c -=，求证：数列{}n c 为等差数列. 【答案】（1）n a n =（2）51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦（3）见解析【解析】（1）利用数列n a 与n S 的关系可转化条件得112(2)n n a a n +--=≥，由11a =、22a =即可得解；（2）由题意11(1)(2)2+++--=-n n n n n b b ，根据2n <、2n =、2n >分类讨论，求得数列{}n b 最大的四项即可得解；（3）转化条件得1121222n n n n n n c c c c c c +-++-+-+=-，结合12320-+=c c c 即可得证.【详解】（1）由题意得1112,12,2n n n n nn a a S n a a S n +--⋅=≥⎧⎨⋅=≥⎩，两式相减得()112(2)n n n n a a a a n +--=≥，由0n a >可得112(2)n n a a n +--=≥， 所以数列{}n a 隔项成等差数列，公差为2， 由11a =得121122a a S a ⋅==即22a =， 所以n a n =，即数列{}n a 的通项公式为n a n =； （2）由题意得(1)2+=n n n n b ，从而11(1)(2)2+++--=-n nn n n b b ， 所以当2n <时，10n n b b +->，1n n b b +>，即12<b b ； 当2n =时，10n n b b +-=，1n n b b +=，即23b b =；当2n >时，10n n b b +-<，1n n b b +<，即345n b b b b >>>>L ； 所以12345n b b b b b b <=>>>>L ， 而1234535151,,,,2416=====b b b b b 又因为n b λ≥的解仅有3个，所以51,4⎛⎤∈ ⎥⎝⎦λ，因此实数λ的取值范围为51,4⎛⎤⎥⎝⎦； （3）证明：由题意得12++=n n c c n ，所以121(2)n n c c n n -+=-≥， 两式相减得1121(2)n n n c c c n +---=≥，① 所以2121(1)n n n c c c n ++--=≥，② ②一①得211230(2)n n n c c c n ++--+=≥， 整理得()21112220+++--++-+=n n n n n n c c c c c c 即1121222n n n n n n c c c c c c +-++-+-+=-，由1221+=c c 和2341c c -=，得12320-+=c c c ， 所以1120+--+=n n n c c c ，即数列{}n c 为等差数列.【点睛】本题考查了数列n a与n S的关系的应用和等差数列的证明，考查了数列单调性的应用和运算能力，属于中档题.20．已知函数.（1）若函数在处的切线方程为，求实数，的值；（2）若函数在和两处取得极值，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由题意得：，，解得，.（2）由题意知：有两个零点，，令，而.对时和时分类讨论，解得：.经检验，合题；（3）由题意得，，即.所以，令，即，令，求导，得在上单调递减，即.，.令，求导得在上单调递减，得的取值范围. 【详解】（1），由题意得：，即，即，所以，.（2）由题意知：有两个零点，，令，而.①当时，恒成立所以单调递减，此时至多1个零点（舍）.②当时，令，解得：，在上单调递减，在上单调递增，所以，因为有两个零点，所以，解得：.因为，，且，而在上单调递减，所以在上有1个零点；又因为（易证），则且，而在上单调递增，所以在上有1个零点.综上：.（3）由题意得，，即.所以，令，即，令，，令，而，所以在上单调递减，即，所以在上单调递减，即.因为，.令，而恒成立，所以在上单调递减，又，所以.【点睛】根据函数的极值情况求参数的要领：1.列式，根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；2.验证，求解后验证根的合理性，含参数时，要讨论参数的大小21．在平面直角坐标系xOy 中，点(),5P x 在矩阵1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应的变换作用下得到点()2,Q y y -，求1x y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦M. 【答案】11610x y -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦M 【解析】由矩阵乘法的性质可转化条件为102320x y x y +=-⎧⎨+=⎩，即可得48x y =-⎧⎨=⎩，求出1-M 后再利用矩阵乘法的性质即可得解. 【详解】 依题意知122345x y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即102320x y x y+=-⎧⎨+=⎩， 解得48x y =-⎧⎨=⎩．因为det()462=-=-M ，所以矩阵1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的逆矩阵1213122--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦M ， 所以1214163181022x y --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦M ． 【点睛】本题考查了矩阵乘法的性质及逆矩阵的求解，考查了运算能力，属于中档题. 22．在极坐标系中，设直线l过点A ，)6π，(3,0)B ，且直线l 与曲线:cos (0)C a a ρθ=>有且只有一个公共点，求实数a 的值．【答案】2a =【解析】先求得直线l 的普通方程，把曲线:cos (0)C a a ρθ=>的极坐标方程化为直角坐标方程．因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，可得圆心到直线的距离|3|222aa -=，由此解得a 的值． 【详解】依题意，点A ，)6π、(3,0)B 的直角坐标为3(2A，(3,0)B ， 从而直线l的普通方程为30x +-=．曲线:cos (0)C a a ρθ=>的直角坐标方程为222()24a a x y -+=．因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以|3|222aa -=，解得2a =（负值已舍）． 【点睛】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．23．已知正实数a 、b 、c 满足3a b c ++≤，求证11131112a b c ++≥+++. 【答案】见解析【解析】由题意可得(1)(1)(1)6a b c +++++≤，再由柯西不等式可得111[(1)(1)(1)]9111a b c a b c ⎛⎫+++++++≥ ⎪+++⎝⎭，即可得证.【详解】证明：Q 3a b c ++≤，∴(1)(1)(1)6a b c +++++≤， 由柯西不等式得111[(1)(1)(1)]111a b c a b c ⎛⎫+++++++≥⎪+++⎝⎭223=，∴111993111(1)(1)(1)62a b c a b c ++≥≥=++++++++． 【点睛】本题考查了利用柯西不等式证明不等式，考查了推理能力，属于中档题.24．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，且112PA AB BC AD ====，PA ⊥平面ABCD ．（1）求PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）棱PD 上是否存在一点E 满足90AEC ∠=︒?若存在，求AE 的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）36（2）不存在 【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，借助空间向量数量积的坐标形式进行求解；（2）依据题设条件90AEC ∠=︒，运用向量的坐标形式建立方程()()222110AE CE λλλ⋅=-+-=u u u v u u u v ，即判定方程25410λλ-+=是否有解：解：（1）依题意，以A 为坐标原点，分别以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()()()()0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,2,0P B C D ，从而()()()1,0,1,1,1,1,0,2,1PB PC PD =-=-=-u u u v u u u v u u u v.设平面PCD 的法向量为(),,n a b c =v,则0n PC ⋅=u u u v v ，且0n PD ⋅=u u uv v ， 即0a b c +-=，且20b c -=，不妨取2c =，则1,1b a ==， 所以平面PCD 的一个法向量()1,1,2n =v, 此时3cos ,626PB n ==-⨯u u u v v，所以PB 与平面PCD 所成角的正弦值为36；（2）设()01PE PD λλ=≤≤u u u v u u u v，则()0,2,1E λλ- 则()()1,21,1,0,2,1CE AE λλλλ=---=-u u u v u u u v，由90AEC ∠=︒得()()222110AE CE λλλ⋅=-+-=u u u v u u u v ，化简得，25410λλ-+=，该方程无解， 所以，棱PD 上不存在一点E 满足90AEC ∠=︒. 25．已知数列{}n a 满足11n n a a n+-≤. （1）求证：n k n k a a n+-≤. （2）求证：()22112m i mi m m a a =--≤∑. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】（1）由绝对值三角不等式可得n k n a a +-1121n k n k n k n k n n a a a a a a ++-+-+-+≤-+-++-L 即可得证；（2）由题意1m =、2m =时，不等式成立，假设当(2=>m k k 且*)k N ∈时结论成立，再证明当1m k =+时不等式依然成立，即可得证. 【详解】证明：（1）()()()1121+++-+-+-+-=-+-++-n k n n k n k n k n k n n a a a a a a a a L1121n k n k n k n k n n a a a a a a ++-+-+-+≤-+-++-L 11112kn k n k n n≤++⋯+≤+-+-．（2）用数学归纳法证明：当1m =时，左边220=-==a a 右边．当2m =时，由（1）得左边4244222212a a a a a a +=-+-=-≤==右边． 假设当(2=>m k k 且*)k N ∈时结论成立，即有221(1)2ki ki k k aa =--≤∑， 则当1m k =+时，1111122222211+++++==-=-+-∑∑k i k i k k k k i i aa a a a a 122221+==-+-∑k k k i ki aa a a1222211i k k k k ki i a a a a +==≤-+-∑∑由（1）得122222212k k k k kkk a a a a ++-=-≤=，所以1221k k ki a a k +=-≤∑， 故11222211(1)(1)[(1)1]22k i k i k ki i k k k k aa k a a k ++==-++--≤+-≤+=∑∑，所以当1m k =+时结论成立． 综上，221(1)2m i mi m m a a =--≤∑． 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用及数学归纳法的应用，考查了运算能力和转化化归思想，属于中档题.。

2020年江苏高考仿真模拟卷数学 2020.4满分：150分 考试时间：120分钟一、填空题1．（5分）已知集合M ＝{x |x ＞2}，集合N ＝{x |x ≤1}，则M ∪N ＝__________． 2．（5分）已知复数z 满足z +2z =6+i ，则z 的实部为__________．3．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是__________． 4．（5分）函数f （x ）＝lg （4x ﹣2x +1）的定义域为__________．5．（5分）将100粒大小一样的豆子随机撒入图中长3cm ，宽2cm 的长方形内，恰有30粒豆子落在阴影区域内，则阴影区域的面积约为__________cm 26．（5分）如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为__________．7．（5分）已知双曲线x 23−y 2b =1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，则双曲线的离心率为__________．8．（5分）公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3是a 2与a 6的等比中项，S 3＝3，则S 9的值为__________．9．（5分）下面四个命题：其中所有正确命题的序号是__________． ①函数y ＝sin|x |的最小正周期为π；②在△ABC 中，若AB →⋅BC →＞0，则△ABC 一定是钝角三角形； ③函数y ＝2+log a （x ﹣2）（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点（3，2）；④若命题“∃x ∈R ，x 2+x +a ＜0”是假命题，则实数a 的取值范围为[14，+∞)；⑤y ＝cos x ﹣sin x 的图象向左平移π4个单位，所得图象关于y 轴对称．10．（5分）四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，若∠SAB ∈[π3，2π3]，则四棱锥S ﹣ABCD 的体积的取值范围为__________．11．（5分）若直线y ＝ax +b 与曲线y ＝lnx +1相切，则ab 的最大值为__________． 12．（5分）设关于x 的不等式ax +b ＞0的解集为{x |x ＜2}，则关于x 的不等式ax+bx −5x−6≥0的解集为__________．13．（5分）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝3，D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点，且DN →•ME →=−1，则cos A ＝__________．14．（5分）函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2.1，2]，其图象如图所示，且f （﹣2.1）＝﹣0.96． （1）若函数y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点，则k ＝__________．（2）已知函数g （x ）={2x +1，x ≤0x 3+2x −16，x ＞0，y ＝g [f （x ）]有__________个不同的零点．二、解答题15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别是AD，PB的中点．（1）求证：PE⊥CD；（2）求证：EF∥平面PCD；（3）求证：平面P AB⊥平面PCD．16．（14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S2＝2a2﹣2，a3＝a4﹣2a2．（1）求等比数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为递增数列，数列{b n}是等差数列，且b2＝2，b4＝4；数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．17．（14分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强．现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统．设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为p（0＜p ＜1），且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立．（Ⅰ）当p=12时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；（Ⅱ）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元．现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计算）？并说明理由．18．（16分）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1、F 2，左右顶点分别为A 、B ，上顶点为T ，且△TF 1F 2为等边三角形． （1）求此椭圆的离心率e ；（2）若直线y ＝kx +m （k ＞0）与椭圆交与C 、D 两点（点D 在x 轴上方），且与线段F 1F 2及椭圆短轴分别交于点M 、N （其中M 、N 不重合），且|CM |＝|DN |． ①求k 的值；②设AD 、BC 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1k 2的取值范围．19．（16分）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=12•f '（1）•e 2x ﹣2f （0）•x +x 2，g （x ）＝e x ﹣a （x ﹣1）．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）求函数g （x ）的单调区间；（3）给出定义：若s ，t ，r 满足|s ﹣r |＜|t ﹣r |，则称s 比t 更接近于r ，当x ≥1时，试比较ex和e x﹣1+3哪个更接近Inx ，并说明理由．20．（16分）设数列{a n }，{b n }，{c n }的前n 项和分别为A n ，B n ，∁n ，且对任意的都有A n ＝B n +∁n ，已知A n =n2（a n +1）（n ∈N *），数列{b n }和{c n }是公差不为0的等差数列，且各项均为非负整数． （1）求证：数列{a n }是等差数列；（2）若数列{a n }的前4项删去1项后按原来顺序成等比数列，求所有满足条件的数列{a n }； （3）若a 2＝4，且B n ＞∁n ，n ∈N *，求数列{b n }，{c n }的通项公式．21．（10分）已知a ，b ∈R ，向量α→=[−12]是矩阵A =[a 1−1b ]的属于特征值﹣1的一个特征向量．（1）求a ，b 的值；（2）若曲线C 1：x ﹣2y +3＝0在矩阵A 对应变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值．23．（选做题）已知a ，b ，c ∈（0，+∞），且1a+2b+3c=2，求a +2b +3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．24．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD =12AB ＝1，点E 、M 分别在线段AB 、PC 上，且AE AB=PM PC=λ，其中0＜λ＜1，连接CE ，延长CE 与DA 的延长线交于点F ，连接PE ，PF ，ME ． （Ⅰ）求证：ME ∥平面PFD ；（Ⅱ）若λ=12时，求二面角A ﹣PE ﹣F 的正弦值；（Ⅲ）若直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值为√55时，求λ值．25．（10分）一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为P n，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出奇数点，则棋子向前跳动一站；若掷出偶数点，则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6）．（1）求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用P n﹣2和P n﹣1表示P n；（2）求证：{P n﹣P n﹣1}（n＝1，2…，100）是等比数列；（3）求玩该游戏获胜的概率．2020年江苏高考仿真模拟卷数学2020.4满分：150分考试时间：120分钟一、填空题1．（5分）已知集合M＝{x|x＞2}，集合N＝{x|x≤1}，则M∪N＝__________．【解析】∵M＝{x|x＞2}，N＝{x|x≤1}，∴M∪N＝{x|x≤1或x＞2}．故答案为：{x|x≤1或x＞2}．2．（5分）已知复数z满足z+2z=6+i，则z的实部为__________．【解析】设z＝a+bi，（a，b∈R）．∵复数z满足z+2z=6+i，∴3a﹣bi＝6+i，可得：3a＝6，﹣b＝1，解得a＝2，b＝1．则z的实部为2．故答案为：2．3．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是__________．【解析】数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为：x=15×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）＝5.2，∴该组数据的方差为：S2=15×[（4.8﹣5.2）2+（4.9﹣5.2）2+（5.2﹣5.2）2+（5.5﹣5.2）2+（5.6﹣5.2）2]＝0.1．故答案为：0.1．4．（5分）函数f（x）＝lg（4x﹣2x+1）的定义域为__________．【解析】函数f（x）＝lg（4x﹣2x+1），令4x﹣2x+1＞0，即（2x）2﹣2•2x＞0，解得2x＞2，即x＞1，所以f（x）的定义域为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．5．（5分）将100粒大小一样的豆子随机撒入图中长3cm，宽2cm的长方形内，恰有30粒豆子落在阴影区域内，则阴影区域的面积约为__________cm2【解析】设阴影部分的面积为x，由概率的几何概型知，30100=x2×3，解得x＝1.8．故答案为：1.8．6．（5分）如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为__________．【解析】模拟执行伪代码，可得：S ＝0+11×2+12×3+⋯+110×11=（1−12）+（12−13）+…+（110−111）＝1−111=1011．故答案为：1011．7．（5分）已知双曲线x 23−y 2b =1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，则双曲线的离心率为__________． 【解析】双曲线x 23−y 2b =1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，所以双曲线的渐近线的倾斜角为30°和150°，所以√3=√33，所以b ＝1，所以双曲线的离心率为：e =ca =3=2√33． 故答案为：2√33． 8．（5分）公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3是a 2与a 6的等比中项，S 3＝3，则S 9的值为__________．【解析】公差d 不为零的等差数列{a n }，若a 3是a 2与a 6的等比中项， 可得a 2a 6＝a 32，即（a 1+d ）（a 1+5d ）＝（a 1+2d ）2，化为d ＝﹣2a 1，又S 3＝3，可得3a 1+3d ＝3，解得a 1＝﹣1，d ＝2，则S 9＝9a 1+36d ＝﹣9+72＝63， 故答案为：63．9．（5分）下面四个命题：其中所有正确命题的序号是__________． ①函数y ＝sin|x |的最小正周期为π；②在△ABC 中，若AB →⋅BC →＞0，则△ABC 一定是钝角三角形； ③函数y ＝2+log a （x ﹣2）（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点（3，2）；④若命题“∃x ∈R ，x 2+x +a ＜0”是假命题，则实数a 的取值范围为[14，+∞)； ⑤y ＝cos x ﹣sin x 的图象向左平移π4个单位，所得图象关于y 轴对称．【解析】对于①，函数y ＝sin|x |={sinx ，x ≥0−sinx ，x ＜0，该函数不是周期函数，①错误；对于②，△ABC 中，若AB →⋅BC →＞0，则∠ABC 的外角是锐角， 所以∠ABC 是钝角，△ABC 是钝角三角形，②正确； 对于③，令x ﹣2＝1，解得x ＝3，此时y ＝2+log a 1＝2；所以函数y ＝2+log a （x ﹣2）（a ＞0且a ≠1）的图象必过点（3，2），③正确； 对于④，命题“∃x ∈R ，x 2+x +a ＜0”是假命题时，它的否命题“∀x ∈R ，x 2+x +a ≥0”是真命题，所以△＝1﹣4a ≤0，解得a ≥14， 所以实数a 的取值范围是[14，+∞），④正确；对于⑤，y ＝cos x ﹣sin x =√2cos （x +π4），y 的图象向左平移π4个单位，得y =√2cos （x +π2）=−√2sin x 的图象，所得图象不关于y 轴对称，⑤错误． 综上知，正确的命题序号是②③④． 故答案为：②③④．10．（5分）四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，若∠SAB ∈[π3，2π3]，则四棱锥S ﹣ABCD 的体积的取值范围为__________．【解析】如图，分别取AD 与BC 的中点M 、N ，连接MS ，MN ． 由题意知AD ⊥平面SMN ，作SO ⊥MN ，垂足为O ．则SO ⊥AD ． 由AD ∩MN ＝M ，∴SO ⊥平面ABCD ，即四棱锥S ﹣ABCD 的高为SO ，过O 作OE ∥AD 交AB 于点E ，连接SE ．由题意知∠SEA ＝90°，其中SA =√2． 当∠SAB ∈[π3，2π3]时，sin ∠SAB ∈[√32，1]，SE ＝SA ，sin ∠SAB ∈[√62，√2]，EO ＝1． ∴SO =√SE 2−1∈[√22，1]，∴V S ﹣ABCD =13×4×SO∈[2√23，43]．故答案为：[2√23，43]．11．（5分）若直线y ＝ax +b 与曲线y ＝lnx +1相切，则ab 的最大值为__________．【解析】设切点为（x 0，lnx 0+1），则切线为y =1x 0(x −x 0)+lnx 0+1=1x 0x +lnx 0，所以1x 0=a ，lnx 0＝b ，则ab =lnx 0x 0，令g （x ）=lnx x ，所以g ′（x ）=1−lnxx 2， 所以g （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减， 则g(x)max =g(e)=1e ，即ab 的最大值为1e，故答案为：1e．12．（5分）设关于x 的不等式ax +b ＞0的解集为{x |x ＜2}，则关于x 的不等式ax+bx 2−5x−6≥0的解集为__________．【解析】∵不等式ax +b ＞0的解集为{x |x ＜2}，∴2是方程ax +b ＝0的解，且a ＜0， ∴2a +b ＝0（a ＜0），ax+b x 2−5x−6≥0⇒ax−2ax 2−5x−6≥0⇒a （x ﹣2）（x ﹣6）（x +1）≥0且x ≠6，x ≠﹣1由标根法得x ＜﹣1或2≤x ＜6．∴原不等式的解集为：{x |x ＜﹣1或2≤x ＜6}． 故答案为：{x |x ＜﹣1或2≤x ＜6}．13．（5分）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝3，D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点，且DN →•ME →=−1，则cos A ＝__________．【解析】以边BC 所在直线为x 轴，以边BC 的中垂线为y 轴，建立如图所示平面直角坐标系， 设A （0，b ），B （﹣a ，0），C （a ，0），且D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点， ∴D(−a 3，2b 3)，E(−2a 3，b 3)，M(a 3，2b 3)，N(2a 3，b3)，∴DN →=(a ，−b 3)，ME →=(−a ，−b3)，且DN →⋅ME →=−1， ∴−a 2+b29=−1①，又AC ＝3，∴a 2+b 2＝9②，联立①②得，a 2=95，在△ABC 中，由余弦定理得，cosA =9+9−4a 22×3×3=18−36518=35．故答案为：35．14．（5分）函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2.1，2]，其图象如图所示，且f （﹣2.1）＝﹣0.96． （1）若函数y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点，则k ＝__________．（2）已知函数g （x ）={2x +1，x ≤0x 3+2x −16，x ＞0，y ＝g [f （x ）]有__________个不同的零点．【解析】（1）∵y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点，∴y ＝f （x ）和y ＝k 图象有两个不同的交点． y ＝f （x ）的图象如图：∴k ＝4或k ＝0． （2）∵g （x ）={2x +1，x ≤0x 3+2x −16，x ＞0，当x ≤0时，2x +1＝0，得x =−12；此时f （x ）=−12，由图可知有一个解；当x ＞0时，g （x ）＝x 3+2x ﹣16单调递增， ∵g （2）＝﹣4，g （3）＝17，∴g （x ）在（2，3）有一个零点x 0，即f （x ）＝x 0∈（2，3） 由图可知有三个解，∴共有四个解． 故答案为4或0；4．二．解答题15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别是AD，PB的中点．（1）求证：PE⊥CD；（2）求证：EF∥平面PCD；（3）求证：平面P AB⊥平面PCD．【解析】（1）∵P A＝PD，E是AD的中点，∴PE⊥AD，∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴PE⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴PE⊥CD．（2）取BC中点G，连结EG，FG，∵E，F分别是AD，PB的中点，∴FG∥PC，EF∥DC，∵FG∩EG＝G，∴平面EFG∥平面PCD，∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面PCD．（3）∵底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD，由（1）得CD⊥PE，又AD∩PE＝E，∴CD⊥平面P AD，∵AP⊂平面P AD，∴CD⊥AP，∵P A⊥PD，PD∩CD＝D，∴P A⊥平面PCD，∵P A⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面PCD．16．（14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S2＝2a2﹣2，a3＝a4﹣2a2．（1）求等比数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为递增数列，数列{b n}是等差数列，且b2＝2，b4＝4；数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．【解析】（1）等比数列{a n}中有a3＝a4﹣2a2，则q2﹣q﹣2＝0，所以q＝2或﹣1，因为S2＝2a2﹣2，所以a1+a2＝2a2﹣2，所以a1＝a1q﹣2，当q＝2时，a1＝2，此时a n=2n；当q＝﹣1时，a1＝﹣1，此时a n=(−1)n；（2）因为数列{a n}为递增数列，所以a n=2n，数列{b n}是等差数列，且b2＝2，b4＝4，公差设为d，则有b4﹣b2＝2d＝4﹣2＝2，所以d＝1，所以b n＝b2+（n﹣2）d＝2+（n﹣2）×1＝n，即b n＝n，所以a n b n=n⋅2n，所以T n=1×2+2×22+3×23+⋯+n×2n，2T n=1×22+2×23+3×24+⋯+n×2n+1，两式相减得−T n=2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1，−T n=2−2n+11−2−n⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2，即T n=(n−1)⋅2n+1+2．17．（14分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强．现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统．设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为p（0＜p ＜1），且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立．（Ⅰ）当p=12时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；（Ⅱ）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元．现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计算）？并说明理由．【解析】（Ⅰ）∵某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为C 32(12)3+C 33(12)3=12，某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为C 31(12)3[1−(12)2]=932，∴某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为12+932=2532；（Ⅱ）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500，∵P(X =1500)=C 31p(1−p)2，P(X =900)=1−C 31p(1−p)2，∴E(X)=900×[1−C 31p(1−p)2]+1500×C 31p(1−p)2=900+1800p （1﹣p ）2，令g （p ）＝p （1﹣p ）2，p ∈（0，1），则g '（p ）＝（1﹣p ）2﹣2p （1﹣p ）＝（3p ﹣1）（p ﹣1）， 当p ∈(0，13)时，g '（p ）＞0，g （p ）在(0，13)上单调递增； 当p ∈(13，1)时，g '（p ）＜0，g （p ）在上(13，1)单调递减， ∴g （p ）的最大值为g(13)=427，∴实施此方案，最高费用为100+9000×(900+1800×427)×10−4=1150（万元）， ∵1150＜1200，故不会超过预算． 18．（16分）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1、F 2，左右顶点分别为A 、B ，上顶点为T ，且△TF 1F 2为等边三角形． （1）求此椭圆的离心率e ；（2）若直线y ＝kx +m （k ＞0）与椭圆交与C 、D 两点（点D 在x 轴上方），且与线段F 1F 2及椭圆短轴分别交于点M 、N （其中M 、N 不重合），且|CM |＝|DN |． ①求k 的值；②设AD 、BC 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1k 2的取值范围．【解析】（1）设x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，由△TF 1F 2为等边三角形．得a ＝2c ，即椭圆的离心率e =ca =12；（2）①设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），由y ＝kx +m ，可知M(−mk ，0)，N （0，m ）， 联立y ＝kx +m 与x 2a 2+y 2b 2=1，整理得（a 2k 2+b 2）x 2+2kma 2x +a 2m 2﹣a 2b 2＝0，其中△＝4a 2b 2（a 2k 2+b 2﹣m 2）＞0， 易值，x 1+x 2＝x M +x N ，即−2kma 2a 2k 2+b2=−mk，解得k 2=b 2a2=1−e 2=34，因为，k ＞0，所以k =√32，②由M 在线段F 1F 2，且M ，N 不重合， 可知，x M =−m k =−amb ∈[−c ，0)∪(0，c]， 从而m ∈[−bc a ，0)∪(0，bca ]， 即k 1=y 2x 2+a ，k 1=y1x 1−a，并结合在曲线上，则有， 所以k 12k 22=y 22y 12⋅(x 1−a)2(x 2+a)2=a 2−x 22a−x 12⋅(x 1−a)2(x 2+a)2=(x 1−a )(x 2−a )(x 1+a )(x 2+a )=x 1x 2−a (x 1+x 2)+a 2x 1x 2+a (x 1+x 2)+a 2=(m+b)2(m−b)2，从而可得，k 1k 2=−m+b m−b =−1−2b m−b∈[a−c a+c ，1)∪(1，a+ca−c]， 所以k 1k 2的取值范围为[13，1)∪(1，3]．19．（16分）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=12e2•f '（1）•e 2x ﹣2f （0）•x +x 2，g （x ）＝e x ﹣a （x ﹣1）．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）求函数g （x ）的单调区间；（3）给出定义：若s ，t ，r 满足|s ﹣r |＜|t ﹣r |，则称s 比t 更接近于r ，当x ≥1时，试比较ex和e x﹣1+3哪个更接近Inx ，并说明理由．【解析】（1）∵f （x ）=12e2•f '（1）•e 2x ﹣2f （0）•x +x 2， ∴f ′（x ）＝f '（1）•e 2x ﹣2﹣2f （0）+2x ，令x ＝1可得，f ′（1）＝f '（1）﹣2f （0）+2，可得f （0）＝1， 由f （x ）=12e 2•f '（1）•e 2x ﹣2f （0）•x +x 2，可得f （0）=12e 2•f '（1）＝1， ∴f ′（1）＝2e 2，∴f （x ）＝e 2x ﹣2x +x 2，（2）∵g （x ）＝e x ﹣a （x ﹣1）．∴g ′（x ）＝e x ﹣a ，①当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，②当a＞0时，当x＞lna，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x＜lna，g′（x）＜0，g（x）单调递减，（3）设p（x）=ex−lnx，q（x）＝e x﹣1﹣lnx+3，易得p（x）在[1，+∞）上单调递减，故当e≥x≥1时，p（x）≥p（e）＝0，当x＞e时，p（x）＜0，而q′（x）=e x−1−1 x，q′′（x）=e x−1+12＞0，故q′（x）在[1，+∞）单调递增，q′（x）≥q′（1）＝0，则q（x）在[1，+∞）上单调递增，q（x）≥q（1）＝4＞0，①1≤x≤e时，|p（x）|﹣|q（x）|＝p（x）﹣q（x）=e x−e x−1−3=m（x），∴m′（x）=−ex2−e x−1＜0，故m（x）单调递减，m（x）≤m（1）＝e﹣4＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|即ex比e x﹣1+3更接近lnx，②x＞e时，|p（x）|﹣|q（x）|＝﹣p（x）﹣q（x）=−e x−e x−1−3+2lnx＜﹣e x﹣1+2lnx﹣3＝n（x），∴n′（x）＝﹣e x﹣1+2x，n′′（x）＝﹣e x﹣1−2x2＜0，∴n′（x）单调递减，n′（x）＜n′（e）＜0，故n（x）单调递减，n（x）＜n（e）＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，即ex比e x﹣1+3更接近lnx，综上可得，当x≥1时，ex比e x﹣1+3更接近lnx，20．（16分）设数列{a n}，{b n}，{c n}的前n项和分别为A n，B n，∁n，且对任意的都有A n＝B n+∁n，已知A n=n2（a n+1）（n∈N*），数列{b n}和{c n}是公差不为0的等差数列，且各项均为非负整数．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若数列{a n}的前4项删去1项后按原来顺序成等比数列，求所有满足条件的数列{a n}；（3）若a2＝4，且B n＞∁n，n∈N*，求数列{b n}，{c n}的通项公式．【解析】（1）∵A n=n2（a n+1），①∴A n+1=n+12(a n+1+1)，②②﹣①得：2a n+1＝（n+1）a n+1﹣na n+1，即（n﹣1）a n+1＝na n﹣1，③na n+2＝（n+1）a n+1﹣1，④④﹣③得：2na n+1＝na n+2+na n，即2a n+1＝a n+2+a n，∵n∈N*，∴数列{a n }是等差数列；（2）解：在A n =n 2（a n +1）中，令n ＝1，得a 1＝1， 设数列{a n }的公差为d ，则a n ＝1+（n ﹣1）d ，∵数列{a n }的前4项删去1项后按原来顺序成等比数列，∴有：①若删去a 1或a 4，剩下的三项连续，若成等比数列，则d ＝0，则数列的通项公式为a n ＝1；②若删去a 2，即a 1，a 3，a 4成等比数列，则（1+2d ）2＝1×（1+3d ），解得d ＝0或d =−14， 则数列{a n }的通项公式为a n ＝1或a n =5−n4； ③若删去a 3，即a 1，a 2，a 4成等比数列，则（1+d ）2＝1×（1+3d ），解得d ＝0或d ＝1． 则数列{a n }的通项公式为a n ＝1或a n ＝n ． 综上所述，满足条件的数列{a n }有a n ＝1或a n =5−n4或a n ＝n ； （3）解：A 2=a 1+a 2=a 1+4=22×(4+1)，则a 1＝1，a n ＝3n ﹣2， ∵对任意n ∈N *，都有A n ＝B n +∁n ，∴对任意n ∈N *，都有a n ＝b n +c n ， 设数列{b n }，{c n }的公差分别为d 1，d 2，则 b 1+（n ﹣1）d 1+c 1+（n ﹣1）d 2＝3n ﹣2，n ∈N *， ∴{d 1+d 2=3b 1+c 1−d 1−d 2=−2，即{d 1+d 2=3b 1+c 1=1，① ∵对任意n ∈N *，都有B n ＞∁n ，∴nb 1+n(n−1)2d 1＞nc 1+n(n−1)2d 2， 整理得：d 1−d 22n 2+(b 1−c 1−d 1−d 22)n ＞0，n ∈N *，∴d 1−d 22≥0，且由n ＝1可得b 1﹣c 1＞0，②由数列{b n }和{c n }的各项均为非负整数， ∴由②得d 1≥d 2＞0，b 1＞c 1≥0，③ 由①③得{b 1=1c 1=0且{d 1=2d 2=1．∴b n ＝2n ﹣1，c n ＝n ﹣1．21．（10分）已知a ，b ∈R ，向量α→=[−12]是矩阵A =[a 1−1b ]的属于特征值﹣1的一个特征向量．（1）求a ，b 的值；（2）若曲线C 1：x ﹣2y +3＝0在矩阵A 对应变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．【解析】（1）由向量α→=[−12]是矩阵A =[a 1−1b ]的属于特征值﹣1的一个特征向量，得[a 1−1b ] [−12]=−1×[−12]，所以﹣a +2＝1，1+2b ＝﹣2，解得a ＝1，b =−32； （2）由（1）得A =[11−1−32]， 设点P （x ，y ）为曲线C 1的任意一点，点P 在矩阵A 的变换下得到点P ′（x 0，y 0）， 则[11−1−32] [x y ]=[x +y −x −32y ]=[x 0y 0]，所以x ＝3x 0+2y 0，y ＝﹣2x 0﹣2y 0，代入C 1得7x 0+6y 0+3＝0， 即有C 2：7x +6y +3＝022．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 【解析】（Ⅰ）直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），转换为直角坐标方程为y =k(x +√3)①．直线l 2的参数方程为{x =√3−m y =m3k（m 为参数）．转换为直角坐标方程为y =13k (√3−x)②． 所以①×②得到x 23+y 2=1（y ≠0）．（Ⅱ）直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x +y ﹣6＝0． 设曲线C 1的上的点Q （√3cosθ，sinθ）到直线x +y ﹣8＝0的距离d =|√3cosθ+sinθ−6|2=|2sin(θ+π3)−6|√2，当sin(θ+π3)=−1时，d max =82=4√2． 23．（选做题）已知a ，b ，c ∈（0，+∞），且1a+2b +3c=2，求a +2b +3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．【解析】由于(1a +2b +3c )(a +2b +3c )=[(√1a)2+(√2b)2+(√3c)2][(√a)2+(√2b)2+(√3c)2]≥(√1a √a +√2b √2b +√3c √3c)2=36（5分） 又1a +2b +3c=2，∴a +2b +3c ≥18，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时等号成立当a ＝b ＝c ＝3时，a +2b +3c 取得最小值18 （10分）24．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD =12AB ＝1，点E 、M 分别在线段AB 、PC 上，且AEAB=PM PC=λ，其中0＜λ＜1，连接CE ，延长CE 与DA 的延长线交于点F ，连接PE ，PF ，ME ． （Ⅰ）求证：ME ∥平面PFD ；（Ⅱ）若λ=12时，求二面角A ﹣PE ﹣F 的正弦值； （Ⅲ）若直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值为√55时，求λ值．【解析】（Ⅰ）在线段PD 上取一点N ，使得PN PD=λ，∵PN PD=λ=PM PC，∴MN ∥DC 且MN =1λDC ，∵AEAB=λ，∴AE =1λAB ，AB ∥DC 且AB ＝DC ，∴且AE ＝MN ，∴四边形为平行四边形，∴ME ∥AN ， 又∵AN ⊂平面PFD ，ME ⊄平面PFD ，∴ME ∥平面PFD ．（Ⅱ）以A 为坐标原点，分别以AF ，AB ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A （0，0，0），P （0，0，1），B （0，2，0），C （﹣1，2，0），D （﹣1，0，0）， ∵λ=12，∴E （0，1，0），F （1，0，0）设平面PEA 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)， PE →=(0，1，−1)，AP →=(0，0，1)，{n →⋅PE →=y −z =0n →⋅AP →=z =0，令z ＝1，∴y ＝1，∴m →=(0，1，1)， 设平面PEF 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，PE →=(0，1，−1)，PF →=(1，0，−1)，{m →⋅PE →=y −z =0m →⋅PF →=x −z =0， 令z ＝1，∴x ＝1，y ＝1，∴m →=(1，1，1)，∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=2⋅3=√33，sin ＜m →，n →＞=√1−cos 2＜m →，n →＞=√63，二面角A ﹣PE ﹣F 的正弦值为√63．（ III ）令E （0，h ，0），0≤h ≤2，PE →=(0，ℎ，−1)，设平面PEA 的一个法向量为n 1→=(x ，y ，z)，PB →=(0，2，−1)，BC →=(−1，0，0)，{n 1→⋅PB →=2y −z =0n 1→⋅PB →=−x =0，令y ＝1，∴z ＝1，∴n 1→=(0，1，2)由题意可得：|cos ＜PE →，n 1→＞|=|PE →⋅n 1→||PE →|⋅|n 1→|=|ℎ−2|√ℎ+1⋅√5=√55，∴ℎ=34，∴AE =34，λ=AE AB =38．25．（10分）一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为P n ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出奇数点，则棋子向前跳动一站；若掷出偶数点，则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6）．（1）求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用P n﹣2和P n﹣1表示P n；（2）求证：{P n﹣P n﹣1}（n＝1，2…，100）是等比数列；（3）求玩该游戏获胜的概率．【解析】（1）根据题意，棋子跳到第n站的概率为p n，则p0即棋子跳到第0站的概率，则p0＝1，p1即棋子跳到第1站的概率，则p1=1 2，p2即棋子跳到第2站的概率，有两种情况，即抛出2次奇数或1次偶数，则p2=12p0+12p1=34；故跳到第n站p n有两种情况，①在第n﹣2站抛出偶数，②在第n﹣1站抛出奇数；所以p n=12p n−1+12p n−2；（2）证明：∵p n=12p n−1+12p n−2，∴p n−p n−1=−12(p n−1−p n−2)，又∵p1−p0=−1 2；∴数列{P n﹣P n﹣1}（n＝1，2…，100）是以−12为首项，−−12为公比的等比数列．（3）玩游戏获胜即跳到第99站，由（2）可得p n−p n−1=(−12)n（1≤n≤100），∴p1−p0=−1 2，p2−p1=14，p3−p2=−18，p99−p98=(−12)99，∴p99−p0=(−12)×[1−(−12)99]1−(−12)，∴p99=23[1−(12)100]．。

2020届江苏省高三高考全真模拟（二）数学试题一、填空题1．已知集合{}1U x x =>，{}2A x x =>，则U A =ð________． 【答案】{}12x x <≤【解析】直接根据补集的定义进行计算，即可得答案； 【详解】Q {}1U x x =>，{}2A x x =>，∴{}12U A x x =<?ð，故答案为：{}12x x <?. 【点睛】本题考查集合的补运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2．已知复数z 满足2020(1)i z i +=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限． 【答案】四【解析】根据复数的次幂运算和除法运算，化简复数，再根据复数的几何意义，即可得答案； 【详解】Q 20202(111)1iz i i z i -⇒==++=， ∴z 在复平面内对应的点位于第四象限，故答案为：四. 【点睛】本题考查复数的次幂运算和除法运算，考查运算求解能力，属于基础题. 3．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为________ 【答案】53【解析】先计算平均数,再利用方差公式求解即可. 【详解】该组数据平均数46587666x +++++==.故方差()()()()()()222222214666568676666s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦ ()1540141063=+++++=. 故答案为：53【点睛】本题主要考查了方差的计算,属于基础题型.4．已知向量(1,2)a =r， (2,1)b =-r ，则()a ab ⋅-r r r 的值为________．【答案】5【解析】利用向量数量积的坐标运算，即可得答案； 【详解】Q (1,3)a b -=-r r，∴()(1,2)(1,3)5a a b ⋅-=⋅-=r r r，故答案为：5. 【点睛】本题考查向量减法和数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题. 5．执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为________．【答案】27【解析】根据程序语言所表示的当型循环，直接模拟程序运行，即可得答案； 【详解】3,3S i ==，6,5S i ==， 11,7S i ==， 18,9S i ==，27,11S i==，输出27S=，故答案为：27.【点睛】本题考查算法语言的当型循环，考查阅读理解能力，属于基础题.6．在一个不透明的口袋中装有形状、大小都相同的红球和黄球共5个，从中随机取出1个球，该球是红球的概率是25．现从中一次随机取出2个球，则这2个球的颜色相同的概率为________．【答案】25【解析】先求出红球和白球的个数，再利用古典概型计算概率，即可得答案；【详解】易得：红球2个，白球3个，∴22232525C CPC+==，故答案为：25.【点睛】本题考查古典概型概率计算，求解时注意利用计数原理进行计算，属于基础题.7．已知x，y满足约束条件221x yy xy+≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则3yzx-=的最大值为________．【答案】23-【解析】作出约束条件所表示的可域，再根据目标函数的几何意义为两点连线斜率的最大值，即可得答案；【详解】约束条件所表示的可行域，如图所示：目标式3yzx-=的几何意义是可行域内的点(,)x y与点(0,3)连线的斜率，由图可知过点（1，1）时，max 23z =-． 故答案为：23-. 【点睛】本题考查线性约束条件下非线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意目标函数几何意义的运用. 8．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =是偶函数，则ω的最小值为________． 【答案】3【解析】求出()y g x =的解析式，再利用函数为偶函数，则(0)1g =±从而得到ω的表达式，进而得到其最小值. 【详解】由题意得()sin 6g x x πω⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为()y g x =是偶函数，所以(0)sin 16g πω⎛⎫=-=± ⎪⎝⎭， ∴()62k k Z ππωπ-=+∈，解得63()k k Z ω=--∈．因为0>ω，所以ω的最小值为3． 故答案为：3. 【点睛】本题考查三角函数的平移变换及偶函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9．已知一个圆柱的高为3cm ，体积为312cm π，则该圆柱的外接球的表面积为________2cm ． 【答案】25π【解析】设圆柱的底面半径为rcm ，求出圆柱的外接球的直径，再代入球的表面积公式，即可得答案； 【详解】设圆柱的底面半径为rcm ．由2312r ππ⨯=，得2r =（负值舍去），所以圆柱的外接球的直径为5cm ，故外接球的表面积为2254252cm ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭． 故答案为：225cm π. 【点睛】本题考查圆柱的外接球表面积，考查空间想象能力、运算求解能力.10．已知函数22()4x f x x =+，21()2x g x a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若对任意[)11,x ∈+∞，都存在[)21x ∈+∞,，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是________．【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【解析】根据题意可得函数()f x 的值域为函数()g x 值域的子集，从而得到关于a 的不等式组，解不等式组即可得答案； 【详解】Q222()44x f x x x x==++当[)11,x ∈+∞时，1144x x +…，当且仅当12x =时取等号，所以()1f x 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦． 当[)21x ∈+∞,时，[)22x -∈+∞0,，所以221()2x -∈(]0,1，∴()2g x 的取值范围为(],1a a +．由题意知(]10,,12a a ⎛⎤⊆+ ⎥⎝⎦，所以0a …且112a +…，解得102a -剟． 综上，实数a 的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查全称量词与存在量词的运用、函数值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用子集关系解题.11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点F 作倾斜角为30°的直线，与圆222:C x y b '+=交于点A ，B ．若60AOB ∠=︒，则双曲线C 的离心率为________．【答案】2【解析】过双曲线C 的左焦点F 作倾斜角为30°的直线l的方程为0x c -+=（c为双曲线C 的半焦距），易得22c =，再结合222c a b =+，即可得答案； 【详解】过双曲线C 的左焦点F 作倾斜角为30°的直线l的方程为0x c +=（c 为双曲线C的半焦距），由题意知圆心O 到直线l，所以22c b =． 因为222c a b =+，所以双曲线C的离心率c e a =．【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线离心率的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1，n a ，n S 成等差数列，则1210a a a +++L 的值为________． 【答案】1023【解析】根据等差中项的性质得12n n S a +=，再利用临差法可得12n na a +=，从而得到数列为等比数列，再利用等比数列的前n 项和公式，即可得答案； 【详解】由题意得12n n S a +=，所以1112a a +=，解得11a =．由12n n S a +=，得1112n n S a ++=+， 两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n na a +=， 所以数列{}n a 是等比数列．因为11a =，所以12n n a -=，故10121012102312a a a -++⋯+==-．故答案为：1023. 【点睛】本题考查数列的n S 与n a 的关系、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.13．如图在等腰三角形ABC 中，2AB =，5AC BC ==．若D 是ABC V 所在平面内一点，且0DB DC ⋅=u u u r u u u r，设AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的最大值为________．【答案】138． 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B ，(0,2)C ，求得点D 的轨迹方程，再利用三角函数的有界性，即可得答案； 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B ，(0,2)C ．由0DB DC ⋅=u u u r u u u r知DB DC ⊥，所以点D 在以BC 为直径的圆上．以BC 为直径的圆的方程为2215(1)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，所以可设1,12D θθ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，则3,12AD θθ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ．因为(2,0)AB u u u r =，(1,2)AC =u u u r，AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ．所以3cos 22212θλμθμ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得1212λθθμθ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩所以511sin )1sin()8λμθθθθθϕ+=++=++=++， 其中tan 2ϕ=， 所以λμ+的最大值为138． 故答案为：138． 【点睛】本题考查平面向量基本定理的坐标运算、参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意辅助角公式和三角函数有界性的运用.14．已知函数323,0()31,0x x t x f x x x ⎧-++≤=⎨->⎩，若函数(())y f f x =恰好有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是________．【答案】3|42t t ⎧⎪-<⎨⎪⎩…或}0t =【解析】令()s f x =，则()y f s =，将函数的零点问题分解成两个步骤完成，先求s 的值，再求x 的值，对t 分5种情况进行讨论，结合函数图象，即可得答案； 【详解】因为2()360f x x x '=-+≤在0x ≤上恒成立，所以()f x 在(],0-∞上单减，令()s f x =，则()y f s =．（ⅰ）当0t >时，只有13s =，显然不成立（ⅱ）当0t =时，10s =，213s =，此时如图：有四个交点，∴满足题意．（ⅲ）当10t -<<时，如图1，由()0f s =得10s <，213s =． 由213s =得3x x =或4x ， 由10s <且321130s s t -++=，知32113t s s =-．要使()y f s =有4个不同的零点，必须由1()f x s =得1x x =或2x ， 此时321113t s s s =-…，解得1313s -…，133s +…（舍去）， 又211360t s s '=->在313,2⎛⎤--∞ ⎥ ⎝⎦恒成立， 所以()2113t s s =-在313,2⎛⎤--∞ ⎥ ⎝⎦上为增函数，所以31312t --<…．（ⅳ）当1t =-时，由(1)0f ->，(0)0f <，得110s -<<，此时满足题意． （ⅴ）当1t <-时，如图2，由()0f s =得10s <，213s =． 要使()y f s =有4个不同的零点，必须110s -<<，此时32113(4,0)t s s =-∈-，所以41t -<<-．综上，实数t 的取值范围是3134t t ⎧-⎪-<⎨⎪⎩…或}0t =．【点睛】本题考查分段复合函数的零点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，BA AD ⊥，CD AD ⊥，E 是棱D 上一点，AE PD ⊥，AE AB ⊥．（1）求证：//AB 平面PCD ； （2）求证：平面ADP ⊥平面PCD ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）证明AB CD ∥，再根据线面平行的判定定理，即可证得结论； （2）证明AE ⊥平面PCD ，再利用面面垂直的判定定理，即可证得结论； 【详解】（1）在四边形ABCD 内，因为BA AD ⊥，CD AD ⊥，所以AB CD ∥． 又因为AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//AB 平面PCD ． （2）因为AE AB ⊥，//AB CD ，所以AE CD ⊥．又因为AE PD ⊥，CD ，PD ⊂平面PCD ，CD PD D =I ，所以AE ⊥平面PCD ． 又因为AE ⊂平面ADP ，所以平面ADP ⊥平面PCD ． 【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直判定定理的应用，考查空间想象能力. 16．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos 212sin 2AA +=． （1）求角A 的大小；（2）若4b =，5c =，求sin 3B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）3A π=；（2 【解析】（1）利用余弦的二倍角公式化简，可得关于cos A 的一元二次方程，即可得答案；（2）利用余弦定理求出a 的值，再利用正弦定理求得sin B ，进而利用同角三角函数的基本关系求得cos B ，最后代入两角和的正弦公式，即可得答案； 【详解】（1）因为2cos 212sin2AA +=， 所以cos2cos 0A A +=，故22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-． 又因为0A π<<，所以3A π=．（2）由余弦定理知2222cos a b c bc A =+-．因为4b =，5c =，3A π=，所以222145245212a =+-⨯⨯⨯=，即a =由正弦定理知sin sin a b A B=，即4sin sin 3B π=．所以sin B =．因为b c <，所以B C <，即B 为锐角，故cos 7B =．所以1sin sin cos cos sin 33327B B B πππ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查二倍角公式、同角三角函数基本关系、正余弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.17．某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子，它是由半圆1O 、半圆2O 和正方形ABCD 组成的，且8AB cm =．设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH ，标签的其中两个顶点E ，F 在AM 上，另外两个顶点G ，H 在CN 上（M ，N分别是AB ，CB 的中点）．设EF 的中点为P ，1FO P θ∠=，矩形EFGH 的面积为2Scm ．（1）写出S 关于θ的函数关系式()S θ （2）当θ为何值时矩形EFGH 的面积最大？ 【答案】（1）()32sin (2cos 2)S θθθ=+，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；（2）当θ为4π时，矩形EFGH 的面积最大，为264cm ． 【解析】（1）由题意知0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，可得8sin EF θ=，8cos 42EH θ=+，利用矩形的面积公式，即可得答案； （2）利用导数可得：当0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0S θ'>恒成立，所以()S θ在0,4E π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，即可得答案； 【详解】（1）由题意知0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，8sin EF θ=，8cos 42EH θ=+，则()8sin (8cos 42)S EF EH θθθ=⋅=+， 即()32sin (2cos 2)S θθθ=+，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（2）()32[cos (2cos 2)sin (2sin )]S θθθθθ'=+⋅-()22322cos 2sin 2θθθ=-()2324cos 22θθ=+-．因为0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以224cos 4θ<…，122θ<…，所以24cos 2cos 20θθ+->，故当0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0S θ'>恒成立，所以()S θ在0,4E π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增． 故当4πθ=时，[]max ()32sin2cos 26444S ππθ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭． 答：当θ为4π时，矩形EFGH 的面积最大，为264cm ． 【点睛】本题考查导数在实际问题中的运用，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的短轴长为2，离心率为22．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆E 相切于点P （点P 在第一象限内），与圆2212x y +=相交于点A ，B ，且2AP PB =u u u r u u u r，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）162y x =-+．【解析】（1）直接根据短轴和离心率的值，求出,a b ，即可得椭圆的方程；（2）由题意可设直线l 的方程为(0,0)y kx m k m =+<>，与椭圆22:12+=x E y 联立并消去y 得()222214220k x kmx m +++-=，根据三角形相似可得12333OP OD ==，再利用点P 的坐标标可得,k m 的关系，从而得到直线的方程. 【详解】（1）设椭圆E 的焦距为2c ，则2222222b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=．（2）由题意可设直线l 的方程为(0,0)y kx m k m =+<>，与椭圆22:12+=x E y 联立并消去y 得()222214220k x kmx m +++-=．因为直线l 与椭圆E 相切，所以()()222216422210k m m k ∆=--+=，整理得2221m k =+．设点P 的坐标为()00,x y ，则022221km k x k m -==-+，01y m=． 设直线OP 交圆2212x y +=于点C ，D ，则AP CPBP DP=．又因为2AP PB =u u u r u u u r ，所以1233OP OD ==2224143k m m +=，与2221m k =+联立解得12k =-（正值舍去），6=m 所以直线l 的方程为162y x =-+． 【点睛】本题考查椭圆方程的求解、直线方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解的关键是利用向量关系得到长度的比例关系.19．已知各项均为正数的两个数列{}n a ，{}n b 满足11121n nn n a a a a +++=+-，2212log log 1n n n a b b +=++．且111a b ==．（1）求证数列{}n a 为等差数列； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，求使得等式236m m i S a T +-=成立的有序数对()(,),*m i m i N ∈． 【答案】（1）证明见解析；（2）12n nb -=；（3）见解析.【解析】（1）根据递推关系可得()2211n n a a +=+，从而得到数列{}n a 是等差数列；（2）分别求出数列{}n b 的奇数项和偶数项的通项公式，进而整合数列{}n b 的通项公式；（3）求出n S ，n T ，代入236m m l S a T +-=中，则存在*,s t N ∈，使得27s m =+，25t m =-，从而2212s t -=，再证明5s …不成立，从而得到4s =，9m =，6l =． 【详解】（1）由11121n nn n a a a a +++=+-得()()()11112n n n n a a a a +++-=+，即()2221211n n n n a a a a +=++=+．因为数列{}n a 各项均为正数，所以11n n a a +=+，即11n n a a +-=， 故数列{}n a 是公差为1的等差数列． （2）由（1）及11a =知n a n =．由2212log log 1n n n a b b +=++，得2112n n n b b -+=．所以21122n n n b b +++=，上面两式相除得24n nb b +=， 所以数列{}n b 的奇数项和偶数项都是公比为4的等比数列．由11b =及2112n n n b b -+=知22b =，所以1(21)121142k k k b ----=⨯=，()121*2242k k k b k N --=⨯=∈，所以12n nb -=．综上，数列{}n b 的通项公式为12n nb -=．（3）由（1）和（2）知(1)2n n n S +=，122112nn n T -==--．由236m m l S a T +-=，得(1)236212l m m m +⨯+-=-，即(7)(5)2l m m +-=． 则必存在*,s t N ∈，使得27s m =+，25t m =-，从而2212s t -=．若5s …，则221220t s =-…，故5t …． 又因为s t >，所以12222232s t t t t +--=厖．这与2212s t -=矛盾，所以4s …．由于2212s t -=，则只能4s =，2t = 此时9m =，6l =． 【点睛】本题考查数列递推关系、等差、等比数列基本量运算、及数论的相关知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力.20．已知函数()(1)x f x x e =-，()ln g x a x =+，其中e 是自然对数的底数． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与曲线()y g x =也相切． ①求实数a 的值；②求函数()()()x f x e g x ϕ=+的单调区间； （2）设()()()h x bf x g x a =-+，求证：当10b e<<时，()h x 恰好有2个零点． 【答案】（1）①2a e =-，②函数()x ϕ的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+∞；（2）证明见解析【解析】（1）①利用导数的几何意义求出在1x =处的切线方程，再利用切线与曲线()g x 也相切，可求得a 的值；②由①知()(1)2ln xx x e e e x ϕ=-+-+，对绝对值内的数进行分类讨论，再利用导数分别研究分段函数的单调性.（2）由()(1)ln xh x b x e x =--，得211()x xbx e h x bxe x x-'=-=，令2()1x m x bx e =-，0x >，当10b e<<时，()2()20xm x bx bx e '=+>，故()m x 在(0,)+∞上单调递增，再利用零点存在定理证明函数()h x 的极小值小于0，及1ln0h b ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证得结论；【详解】（1）①由()(1)x f x x e =-得()x f x xe '=，所以切线的斜率(1)k f e '==． 因为切点坐标为(1,0)，所以切线的方程为(1)y e x =-． 设曲线()y g x =的切点坐标为()11,x y ． 由()ln g x a x =+得1()g x x'=， 所以()111g x e x '==，得11x e =． 所以切点坐标为1,1a e⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为点1,1a e ⎛⎫- ⎪⎝⎭也在直线(1)y e x =-上．所以2a e =-． ②由①知()(1)2ln xx x e e e x ϕ=-+-+． 当2e x e -…时，()(1)(2ln )xx x e e e x ϕ=-+-+， 因为()0xe x xe xϕ'=+>恒成立，所以()x ϕ在)2,e e -⎡+∞⎣上单调递增． 当20e x e -<<时，()(1)(2ln )xx x e e e x ϕ=---+． 所以()xex xe xϕ'=-． 因为[]2()(1)0xex x e xϕ''=++>恒成立，所以()x ϕ'在()20,e e -上单调递增． 注意到(1)0ϕ'=，所以当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'<；当()21,e x e -∈时，()0x ϕ'>． 所以()x ϕ在(0,1)上单调递减，在()21,e e -上单调递增．综上，函数()x ϕ的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+∞．（2）由()(1)ln xh x b x e x =--，得211()x xbx e h x bxe x x-'=-=．令2()1xm x bx e =-，0x >，当10b e<<时，()2()20xm x bx bx e '=+>， 故()m x 在(0,)+∞上单调递增．又因为(1)10m be =-<，且221111ln ln 1ln 10m b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()0m x =在(0,)+∞上有唯一解，从而()0h x '=在(0,)+∞上有唯一解．不妨设为0x ，则011lnx b<<． 当()00,x x ∈时，()0()()0m x m x h x x x '=<=，所以()h x 在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0()()0m x m x h x x x'=>=，所以()h x 在()0,x +∞上单调递增． 故0x 是()h x 的唯一极值点．令()ln 1t x x x =-+，则当1x >时，1()10t x x'=-<，所以()t x 在(1,)+∞上单调递减， 从而当1x >时，()(1)0t x t <=，即ln 1x x <-，所以1ln 111111ln ln 1ln ln ln 1ln ln ln 0b h b e t b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为()0(1)0h x h <=，所以()h x 在()0,x +∞上有唯一零点． 又因为()h x 在()00,x 上有唯一零点，为1， 所以()h x 在(0,)+∞上恰好有2个零点． 【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程、导数研究函数的零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意函数构造法的应用.21．换T :22x x x y y x y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试写出变换T 对应的矩阵A ，并求出其逆矩阵1A -． 【答案】110112A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦． 【解析】设1a b c d A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，利用11001AA -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，可得方程组，解方程组即可得答案； 【详解】由1022x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得1022A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，设1a b c d A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则1101022222201a b ab AAcd a c b d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以10220221a b a c b d =⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得10112a b c d =⎧⎪=⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩，所以110112A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦． 【点睛】本题考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力，求解时注意待定系数法的应用. 22．直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程13x ty t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为222x m y m ⎧=⎨=⎩（m 为参数）．若直线l 与曲线C 相交于点A ，B ．求OAB V 的面积．． 【解析】将直线的参数方程化为普通方程，再利用直线过定点，得到三角形的面积12112S y y =⨯⨯-，求出直线与抛物线交点的纵坐标，即可得答案；【详解】由13x t y t =+⎧⎨=⎩，消去参数t 得3(1)y x =-，由222x m y m ⎧=⎨=⎩消去参数m 得22y x =． 联立方程组23(1)2y x y x =-⎧⎨=⎩，消去x 得23260y y --=，解得y =或y =． 因为直线l 过定点(1,0)．所以OAB V的面积12112S y y =⨯⨯-=． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化、直线与抛物线的位置关系、三角形面积求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.23．已知,,a b c ∈R ，且3a b c ++=，22226a b c ++=，求实数a 的取值范围． 【答案】120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】利用柯西不等式可得关于a 的不等式，解不等式可得实数a 的取值范围． 【详解】因为()222222221226221()(3)3233a b c b c b c a ⎛⎫-=+=+++=- ⎪⎝⎭… 所以25120a a -…，解得1205a 剟． 综上，实数a 的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查柯西不等式求参数的取值范围，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 24．在直三校柱111ABC A B C -中，ABC V 是等直角三角形，90ACB ∠=︒，42AB =，M 是AB 的中点，且11A M B C ⊥．（1）求1A A 的长；（2）已知点N 在棱1CC 上，若平面1B AN 与平面11BCC B 所成锐二面角的平面角的余10N 的位置． 【答案】（1）22（2）N 在棱1CC 的中点处．【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设1A A a =，利用直线垂直向量的数量积为0，可得关于a 的方程，解方程即可得答案；（2）由（1）知1(0,0,22)C ，设(0,0,)(02)N λλ剟，所以1(4,4,22)B A =--u u u r ，1(0,4,22)BN λ=--u u u u r ，求出平面1B AN 的一个法向量12241,1,n λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u r ，平面11BCC B 的一个法向量为2(1,0,0)n =u u r ，再代入向量的夹角公式，即可得答案；【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系．设1A A a =．由42AB =4AC BC ==，则(4,0,0)A ，(0,0,0)C ，1(4,0,)A a ，1(0,4,)B a ，(2,2,0)M所以1(2,2,)AM a =--u u u u r ，1(0,4,)=--u u u r B C a ． 因为11A M B C ⊥，所以(2)02(4)()()0a a -⨯+⨯-+-⨯-=，解得22a =1A A 的长为22（2）由（1）知1(0,0,22)C设(0,0,)(02)N λλ剟，所以1(4,4,22)B A =--u u u r ，1(0,4,22)B N λ=--u u u u r ．设平面1B AN 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r ．由1111n B A n B N ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u v u u u v u v u u v r ，得1111144204(2)0x y z y z λ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩，取12241,1n λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u r ． 易知平面11BCC B 的一个法向量为2(1,0,0)n =u u r ，设平面1B AN 与平面11BCC B 所成锐二面角的平面角为θ，1212122210cos cos ,22411n n n n n n θλλ⋅====⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u r u u r u r u u r u r u u r ．解得λ=2λ=-（舍去） 所以N 在棱1CC 的中点处．【点睛】本题考查空间中线段的长度、向量法求二面角的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.25．整数2n …，集合{}1,P x x n x N =∈剟，A ，B ，C 是集合P 的3个非空子集，记n a ，为所有满足A B ，A B C P ⋃⋃=的有序集合对(,,)A B C 的个数．（1）求2a ；（2）求n a ．【答案】（1）26a =；（2）52323n n n -⋅-+． 【解析】（1）由题意得{1}A =，{}1,2B =，{}1C =，{}2，{}1,2或{}2A =，{}1,2B =，{}1C =，{}2，{}1,2，即可得到2a 的值；（2）当B 中的元素个数为(21)k k n -剟时，集合A 的种数为22k -，集合C 的种数为2k ；当B 中的元素个数为n 时，集合A 的种数为22n -，集合C 的种数为21n -，即可得到n a 的值；【详解】（1）当2n =时，集合{}1,2P =，非空子集为{1}，{2}，{1,2}，因为A B ，A B C P ⋃⋃=，所以当{1}A =时，{}1,2B =，则{}1C =，{}2，{}1,2；当{}2A =时，{}1,2B =，则{}1C =，{}2，{}1,2．综上，26a =．（2）当B 中的元素个数为(21)k k n -剟时，集合A 的种数为22k -，集合C 的种数为2k ；当B 中的元素个数为n 时，集合A 的种数为22n -，集合C 的种数为21n -． 所以()()()12C 222C 2221n kk k n n n n nn k a -==-+--∑()()()()()()00011102222221222222222nk k n n n n k n nn n n k C C C C ==-+--------∑()0C 42223n kk k n n k ==-⋅-+∑0042223n nkkk k n n n k k C C ===-⋅-+∑∑ (14)2(12)23n n n =+-⋅+-+52323n n n =-⋅-+．【点睛】本题考查集合的新定义、二项式定理的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑思维能力、运算求解能力，难度较大.。

2020年江苏高考数学试题解析1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 【答案】{}0,2【解析】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B = ∴{}0,2A B =故答案为：{}0,2.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z=+-的实部是_____. 【答案】3【解析】∵复数()()12z i i =+-∴2223z i i i i =-+-=+∴复数的实部为3.故答案为：3.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.【答案】2根据平均数的公式进行求解即可．【解析】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4∴4235620a a ++-++=，即2a=. 故答案为：2.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】19【解析】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为41369P==. 故答案为：19. 5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.【答案】3-根据指数函数的性质，判断出1y x =+，由此求得x 的值.【解析】由于20x>，所以12y x =+=-，解得3x =-.故答案为：3- 6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为5，则该双曲线的离心率是____.【答案】32根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率.【解析】双曲线22215x y a -=，故5b =.由于双曲线的一条渐近线方程为52y x =，即52b a a =⇒=，所以22453c a b =++=，所以双曲线的离心率为32c a =. 故答案为：327.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____. 【答案】4-先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【解析】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-8.已知2sin()4πα+ =23，则sin 2α的值是____. 【答案】13直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+ 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴= 故答案为：139.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】1232π先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【解析】正六棱柱体积为23622=1234⨯⨯⨯ 圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为2π 故答案为：2π10.将函数y =πsin(2)43x﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】524x π=- 先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈ 当1k =-时524x π=- 故答案为：524x π=- 11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．【答案】4结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意1q ≠.等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 等比数列{}n b 的前n 项和公式为()1111111n n n b q b b Q q q q q-==-+---， 依题意n n n S P Q =+，即22111212211n n b b d d n n n a n q q q ⎛⎫-+-=+--+ ⎪--⎝⎭，通过对比系数可知111212211d d a q b q ⎧=⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪-⎩⇒112021d a q b =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故4d q +=.故答案为：412.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．【答案】45根据题设条件可得42215y x y -=，可得4222222114+555y y x y y y y-+=+=，利用基本不等式即可求解. 【解析】∵22451x y y += ∴0y ≠且42215y x y -= ∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y -+=+=≥⋅=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号.∴22x y +的最小值为45. 故答案为：45. 13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185根据题设条件可设()0PA PD λλ=>，结合32PA mPB m PC ⎛⎫=+-⎪⎝⎭与,,B D C 三点共线，可求得λ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解.【解析】∵,,A D P 三点共线，∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =， ∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒，∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC x AD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-， ∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =， ∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去. 故答案为：0或185. 14.在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．【答案】105 根据条件得PC AB ⊥,再用圆心到直线距离表示三角形PAB 面积，最后利用导数求最大值. 【解析】PA PB PC AB =∴⊥设圆心C 到直线AB 距离为d ，则231||=236,||144AB d PC -=+= 所以2221236(1)(36)(1)2PAB Sd d d d ≤⋅-+=-+ 令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去）当04d≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PAB S 取最大值为105，故答案为：105 15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.（1）通过证明1//EF AB ，来证得//EF 平面11AB C . （2）通过证明AB ⊥平面1AB C ，来证得平面1AB C ⊥平面1ABB .【解析】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB .由于EF ⊂/平面11AB C ,1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C .（2）由于1B C⊥平面ABC ，AB 平面ABC ，所以1B C AB ⊥. 由于1,AB AC AC B C C ⊥⋂=，所以AB ⊥平面1AB C , 由于AB 平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值． 【答案】（1）5sin 5C =；（2）2tan 11DAC ∠=. （1）利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin C .（2）根据cos ADC ∠的值，求得sin ADC ∠的值，由（1）求得cos C 的值，从而求得sin ,cos DAC DAC ∠∠的值，进而求得tan DAC ∠的值.【解析】（1）由余弦定理得22222cos 922325b a c ac B =+-=+-⨯=，所以5b =由正弦定理得sin 5sin sin sin 5c b c B C C B b =⇒==. （2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=. 由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin 5C C =-= 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅3254525555525⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2115cos 1sin 25DAC DAC ∠=-∠=. 所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?【答案】（1）120米（2）20O E '=米（1）根据A,B 高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.【解析】（1）由题意得2311||40640||8040800O A O A ''=-⨯+⨯∴= ||||||8040120AB O A O B ''∴=+=+=米（2）设总造价为()f x 万元，21||8016040O O '=⨯=，设||O E x '=， 32131()(1606)[160(80)],(040)800240f x k x x k x x =+-+--<< 3221336()(160),()()0208008080080f x k x x f x k x x x '∴=+-∴=-=∴=(0舍去) 当020x <<时，()0f x '<；当2040x <<时，()0f x '>，因此当20x时，()f x 取最小值， 答：当20O E'=米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低. 18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．【答案】（1）6；（2）-4；（3）()2,0M或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（1）根据椭圆定义可得124AF AF +=，从而可求出12AF F △的周长；（2）设()0,0P x ，根据点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥，求出31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，根据准线方程得Q 点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值； （3）设出设()11,Mx y ，点M 到直线AB 的距离为d ，由点O 到直线AB 的距离与213S S =，可推出95d =，根据点到直线的距离公式，以及()11,M x y 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标. 【解析】（1）∵椭圆E 的方程为22143x y +=∴()11,0F -,()21,0F由椭圆定义可得：124AF AF +=.∴12AF F △的周长为426+= （2）设()0,0P x ，根据题意可得01x ≠.∵点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥∴31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭∵准线方程为4x =∴()4,QQy∴()()()()200000,04,4244Q OP QP x x y x x x ⋅=⋅--=-=--≥-，当且仅当02x =时取等号.∴OP QP ⋅的最小值为4-. （3）设()11,Mx y ，点M 到直线AB 的距离为d .∵31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,0F - ∴直线1AF 的方程为()314y x =+ ∵点O 到直线AB 的距离为35，213S S =∴2113133252S S AB AB d ==⨯⨯⨯=⋅∴95d =∴113439x y -+=①∵2211143x y +=② ∴联立①②解得1120x y =⎧⎨=⎩，1127127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∴()2,0M或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； （2）若21ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围； （3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤【答案】（1）()2h x x =；（2）[]0,3k ∈；（3）证明详见解析 （1）求得()f x 与()g x 的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得()h x 的表达式.（2）先由()()0hx g x -≥，求得k 的一个取值范围，再由()()0f x h x -≥，求得k 的另一个取值范围，从而求得k 的取值范围. （3）先由()()f x h x ≥，求得t的取值范围，由方程()()0gx h x -=的两个根，求得n m -的表达式，利用导数证得不等式成立. 【解析】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立.令0x=，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =.故()2hx x =.（2）令()()()()()1ln 0F x h x g x k x x x =-=-->，()01F =.又()1x F x k x-'=⋅. 若k0<，则()F x 在0,1上递增，在1,上递减，则()()10Fx F ≤=，即()()0h x g x -≤，不符合题意.当0k =时，()()()()()0,F x h x g x h x g x =-==，符合题意. 当0k >时， ()F x 在0,1上递减，在1,上递增，则()()10Fx F ≥=，即()()0hx g x -≥，符合题意.综上所述，0k ≥.由()()()21f x h x x x kx k -=-+--()()2110x k x k =-+++≥当102k x +=<，即1k <-时，()211y x k x k =-+++在0,为增函数，因为()()0010f h k -=+<，故存在()00,x ∈+∞，使()()0f x h x -<，不符合题意.当102k x+==，即1k =-时，()()20f x h x x -=≥，符合题意.当102k x +=>，即1k >-时，则需()()21410k k ∆=+-+≤，解得13k -<≤. 综上所述，k 的取值范围是[]0,3k ∈.（3）因为()423422243248xx t t x t t x -≥--+≥-对任意[,][x m n ∈⊂恒成立，()423422432x x t t x t t -≥--+对任意[,][x m n ∈⊂恒成立，等价于()222()2320x t xtx t -++-≥对任意[,][x m n ∈⊂恒成立.故222320x tx t ++-≥对任意[,][x m n ∈⊂恒成立令22()232M x x tx t =++-，当201t <<，2880,11t t ∆=-+>-<-<，此时1n m t -≤<，当212t ≤≤，2880t ∆=-+≤，但()234248432xt t x t t -≥--+对任意的[,][x m n ∈⊂恒成立.等价于()()()2322443420xt t x t t --++-≤对任意的[,][x m n ∈⊂恒成立.()()()2322443420x t t x t t --++-=的两根为12,x x ，则4231212328,4t t x x t t x x --+=-⋅=，所以12=n m x x --==.令[]2,1,2tλλ=∈，则n m -=构造函数()[]()325381,2P λλλλλ=-++∈，()()()23103331P λλλλλ'=-+=--，所以[]1,2λ∈时，()0P λ'<，()P λ递减，()()max 17P P λ==.所以()max n m -=n m -≤.20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111kkkn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 2-”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由， 【答案】（1）1（2）21,134,2nn n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩ （3）01λ<<（1）根据定义得+11n n n S S a λ+-=，再根据和项与通项关系化简得11n n a a λ++=，最后根据数列不为零数列得结果；（2）根据定义得111222+1+1)n nn n S S S S -=-，根据平方差公式化简得+1=4n n S S ，求得n S ，即得n a ；（3）根据定义得111333+11n n n SS a λ+-=，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果 【解析】（1）+111111101n n n n n n S S a a a a a λλλ++++-=∴==∴≡∴=/（2）11221100n n n n n a S S S S ++>∴>∴->111222+1+1)n nn n S S S S -=-1111112222222+1+1+11()()()3n n n n n n S S S S S S ∴-=-+1111111222222+1+1+1+11()=2=443n n nn n n n n n n S S S S S S S S S -∴-=+∴∴∴= 111S a ==，14n n S -=1224434,2n n n n a n ---∴=-=⋅≥21,134,2n n n a n -=⎧∴=⎨⋅≥⎩（3）假设存在三个不同的数列{}n a 为"3"λ-数列.111113333333+11+1+1()()n n n n n n n S S a S S S S λλ+-=∴-=- 1133+1n nS S ∴=或11221123333333+1+1+1()()n n n n n n SS S S S S λ-=+++1n n S S ∴=或22113333333+1+1(1)(1)(2)0n n n n SS S S λλλ-+-++=∵对于给定的λ，存在三个不同的数列{}n a 为"3"λ-数列，且0n a ≥1,10,2n n a n =⎧∴=⎨≥⎩或()22113333333+1+1(1)(1)(2)01n n n n S S S S λλλλ-+-++=≠有两个不等的正根.()22113333333+1+1(1)(1)(2)01n n n n S S SS λλλλ-+-++=≠可转化为()2133333+1+12133(1)(2)(1)01n n nnS S S S λλλλ-++-+=≠，不妨设()1310n n S x x S +⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则()3233(1)(2)(1)01x x λλλλ-+++-=≠有两个不等正根，设()()3233(1)(2)(1)01f x x x λλλλ=-+++-=≠.① 当1λ<时，32323(2)4(1)004λλλ∆=+-->⇒<<，即01λ<<，此时()3010f λ=-<，33(2)02(1)x λλ+=->-对，满足题意.② 当1λ>时，32323(2)4(1)004λλλ∆=+-->⇒<<，即1λ<<()3010f λ=->，33(2)02(1)x λλ+=-<-对，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去. 综上，01λ<<21.平面上点(2,1)A -在矩阵11ab ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．【答案】（1）22a b =⎧⎨=⎩；（2）121 5512 55M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数,a b 的值； （2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解.【解析】（1）∵平面上点()2,1A -在矩阵 11 a M b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下得到点()3,4B -∴ 1 2 31 14a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴21324a b -=⎧⎨--=-⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩（2）设1 m n M c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则12 2 1 0=2 20 1m c n d MM m c n d -++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦∴21202021m c n d m c n d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解得25151525m n c d ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩∴121 5512 55M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【迁移】本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法，解题时要认真审题，属于基础题． 22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．（1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． 【答案】（1）1242ρρ==，（2）)4π(1)将A,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果. 【解析】（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，11cos2,43πρρ=∴=，因为点B为直线6πθ=上，故其直角坐标方程为y x =， 又4sin ρθ=对应的圆的直角坐标方程为：2240x y y +-=，由2240y x x y y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩解得00xy ==⎧⎨⎩或1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩对应的点为())0,0,，故对应的极径为20ρ=或22ρ=.（2）cos 2,4sin ,4sin cos 2,sin 21ρθρθθθθ==∴=∴=，5[0,2),,44ππθπθ∈∴=，当4πθ=时ρ=当54πθ=时0ρ=-<，舍；即所求交点坐标为当),4π【迁移】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题. 23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【解析】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤所以解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【迁移】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题. 24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =5,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值； （2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值． 【答案】（1）15（2）239（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.解析】（1）连,CO BC CD BO OD CO BD ==∴⊥以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1) A B C D E-∴(1,0,2),(1,1,1)cos,AB DE AB DE∴=-=∴<>==从而直线AB与DE（2）设平面DEC一个法向量为1(,,),n x y z=1120(1,2,0),x yn DCDCx y zn DE⎧+=⋅=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩令112,1(2,1,1)y x z n=∴=-=∴=-设平面DEF一个法向量为2111(,,),n x y z=112211171171(,,0),424420x yn DFDF DB BF DB BCn DE x y z⎧⎧+=⋅=⎪⎪=+=+=∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪++=⎩令111272,5(2,7,5)y xz n=-∴==∴=-12cos,n n∴<>==因此sin13θ==25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n，恰有2个黑球的概率为p n，恰有1个黑球的概率为q n．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2p n+q n与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示) ．【答案】（1）112212716,,332727p q p q====；；（2）()111222+33n n n np q p q--+=+（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求n n p q ，，即得递推关系，构造等比数列求得2n n p q +，最后根据数学期望公式求结果.【解析】（1）11131232,333333p q ⨯⨯====⨯⨯， 211131211227++3333333927p p q ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯， 211231122222516+0+3333333927q p q ⨯⨯+⨯=⨯⨯+=⨯⨯=⨯⨯ （2）1111131212++333339n n n n n p p q p q ----⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯，111112*********+(1)+33333393n n n n n n q p q p q q -----⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+--⨯=-⨯⨯⨯，因此112122+333n n n n p q p q --+=+，从而11111212(2+),21(2+1)333n n n n n n n n p q p q p q p q ----+=+∴+-=-，即1111121(2+1),2133n n n n n n p q p q p q -+-=-∴+=+.又n X 的分布列为故1()213n n n nE X p q =+=+.2020江苏卷高考数学试题及答案1．已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = ．2．已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z=+-的实部是 ．3．已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是 ．4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 ．5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是 ．6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为5y x =，则该双曲线的离心率是 ．7．已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则()8f -的值是 ．8．已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是 ．9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm.10．将函数πsin(32)4y x=﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ．11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是 ．12．已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ．13．在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是 ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知3(0)P ，，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是 ．15．（本小题满分14分）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点． （1）求证：EF ∥平面AB 1C 1； （2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．17．（本小题满分14分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上)．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米． （1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点)．.桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0)，问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．19．（本小题满分16分）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； （2）若21ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围； （3）若()422342() 2() (48 () 4 3 02 2f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<≤，，，[] , 2,2D m n =⊆-⎡⎣，求证：7n m -≤20．（本小题满分16分）已知数列{}()n a n ∈*N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111kk k n nn S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ～k ”数列． （1）若等差数列{}n a 是“λ～1”数列，求λ的值； （2）若数列{}n a 3”数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ～3”数列，且0n a ≥？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由． 1．{0,2}2．33．24．195．3-6．327．4-8．139．1232π- 10．524x π=-11．412．4513．185或014．10515证明：因为,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1EF AB ∥. 又/EF ⊂平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ， 所以EF ∥平面11AB C .（2）因为1B C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC , 所以1B C AB ⊥.又AB AC ⊥,1B C ⊂平面11AB C ,AC ⊂平面1AB C ,1,B CAC C =所以AB ⊥平面1AB C . 又因为AB ⊂平面1ABB ,所以平面1AB C ⊥平面1ABB .16．解：（1）在ABC △中，因为3,45a c B ==︒，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得292235b =+-⨯︒=，所以b =在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，，所以sin C （2）在ADC △中，因为4cos 5ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角， 而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒,所以C ∠为锐角.故cos C 则sin 1tan cos 2C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠=，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠. 从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯. 17．解：（1）设1111,,,AA BB CD EF 都与MN 垂直，1111,,,A B D F 是相应垂足. 由条件知，当40O'B =时，31140640160,800BB =-⨯+⨯= 则1160AA =. 由21160,40O'A =得80.O'A =所以8040120AB O'A O'B =+=+=（米）.（2）以O 为原点，OO'为y 轴建立平面直角坐标系xOy （如图所示）. 设2(,),(0,40),F x y x ∈则3216,800y x x =-+3211601606800EF y x x =-=+-. 因为80,CE =所以80O'C x =-. 设1(80,),D x y -则211(80),40y x =- 所以22111160160(80)4.4040CD y x x x =-=--=-+ 记桥墩CD 和EF 的总造价为()f x ，则3232131()=(1606)(4)80024013(160)(040).80080f x k x x k x x k x x x +-+-+=-+<<2333()=(160)(20)80040800k f x k x x x x '-+=-， 令()=0f x '， 得20.x =所以当20x =时，()f x 取得最小值. 答：（1）桥AB 的长度为120米；（2）当O'E 为20米时，桥墩CD 和EF 的总造价最低. 18解：（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=. （2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--，2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -. 所以直线:3430.AB x y -+=设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯， 则34120x y -+=或3460x y --=.由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解； 由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-. 代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--. 19．解:（1）由条件()()()f x h x g x ≥≥，得222 2x x kx b x x +≥+≥-+， 取0x =，得00b ≥≥，所以0b =．由22x x kx +≥，得22 ()0x k x +-≥，此式对一切(,)x ∈-∞+∞恒成立，所以22 0()k -≤，则2k =，此时222x x x ≥-+恒成立， 所以()2h x x =．（2） 1 ln ,()()()()0,h g x k x x x x -=--∈+∞. 令() 1ln u x x x =--，则1()1,u'x x=-令()=0u'x ，得1x =.所以min () 0(1)u x u ==.则1ln x x -≥恒成立， 所以当且仅当0k ≥时，()()f x g x ≥恒成立．另一方面，()()f x h x ≥恒成立，即21x x kx k -+≥-恒成立， 也即2()1 1 +0x k x k -++≥恒成立． 因为0k ≥，对称轴为102kx +=>， 所以2141)0(()k k +-+≤，解得13k -≤≤．因此，k 的取值范围是0 3.k ≤≤ （3）①当1t ≤≤由()()g x h x ≤，得2342484()32x t t x t t -≤--+，整理得4223328()0.()4t t x t t x ----+≤*令3242=()(328),t t t t ∆---- 则642=538t t t ∆-++．记64253()18(t t t t t ϕ-++=≤≤则53222062(31)(3())06t t t t t t 't ϕ-+=--<=恒成立，所以()t ϕ在[1,上是减函数，则()(1)t ϕϕϕ≤≤，即2()7t ϕ≤≤． 所以不等式()*有解，设解为12x x x ≤≤，因此21n m x x -≤-=②当01t <<时，432()()11 34241f h t t t t ---=+---．设432= 342(41)t t t t v t +---，322()=1212444(1)(31),v't t t t t t +--=+-令()0v t '=，得t =．当(0t ∈时，()0v t '<，()v t 是减函数；当1)t ∈时，()0v t '>，()v t 是增函数． (0)1v =-，(1)0v =，则当01t <<时，()0v t <．（或证：2()(1)(31)(1)0v t t t t =++-<．） 则(1)(1)0f h ---<，因此1()m n -∉，．因为m n ⊆［］［，，所以1n m -≤<③当0t <时，因为()f x ，()g x 均为偶函数，因此n m -综上所述，n m -≤20．解：（1）因为等差数列{}n a 是“λ～1”数列，则11n n n S S a λ++-=，即11n n a a λ++=， 也即1(1)0n a λ+-=，此式对一切正整数n 均成立．若1λ≠，则10n a +=恒成立，故320a a -=，而211a a -=-， 这与{}n a 是等差数列矛盾．所以1λ=．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列） （2）因为数列*{}()n a n ∈N”数列，． 因为0n a >，所以10n n S S +>>1=．n b，则1n b -221(1)(1)(1)3n n n b b b -=->． 解得2n b =2，也即14n n S S +=， 所以数列{}n S 是公比为4的等比数列．因为111S a ==，所以14n n S -=．则21(1),34(2).n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩ （3）设各项非负的数列*{}()n a n ∈N 为“~3λ”数列， 则11133311n n n S S a λ++-=-=因为0n a ≥，而11a =，所以10n n S S +≥>1=-n c，则1 1)n n c c -=≥，即333(1)(1)( 1)n n n c c c λ-=-≥．（*） ①若0λ≤或=1λ，则（*）只有一解为=1n c ，即符合条件的数列{}n a 只有一个． （此数列为1，0，0，0，…）②若1λ>，则（*）化为3232(1)(1)01n nnc c c λλ+-++=-，因为1n c ≥，所以3232101n n c c λλ+++>-，则（*）只有一解为=1n c ，即符合条件的数列{}n a 只有一个．（此数列为1，0，0，0，…）③若01λ<<，则3232101nnc c λλ+++=-的两根分别在（0，1）与（1，+∞）内，则方程（*）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为t ）．所以1n n S S +=或31n n S t S +=．由于数列{}n S 从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列{}n S 有无数多个，则对应的{}n a 有无数多个．综上所述，能存在三个各项非负的数列{}n a 为“~3λ”数列，λ的取值范围是01λ<<．数学Ⅱ(附加题)21．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值； （2）求矩阵M 的逆矩阵1-M ．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θ≤<π）．（1）求1ρ，2ρ的值；（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<．22．（本小题满分10分）在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =5,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值； （2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．23．（本小题满分10分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ． （1）求p 1，q 1和p 2，q 2；（2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示) ．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4-2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为123=114a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，所以213,24,a b -=⎧⎨--=-⎩解得2a b ==，所以2112⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ．（2）因为2112⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ M ，det 221150=⨯-⨯-=≠（）（）M ，所以M 可逆， 从而121551255-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ - M． B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]解：（1）由1cos 23ρπ=，得14ρ=；24sin 26ρπ==，又（0，0）（即（0，6π））也在圆C 上，因此22ρ=或0．（2）由cos 2,4sin ,ρθρθ=⎧⎨=⎩得4sin cos 2θθ=，所以sin 21θ=．因为0ρ≥，0 2θ≤<π，所以4θπ=，ρ所以公共点的极坐标为)4π． C ．[选修4-5：不等式选讲]解：当x >0时，原不等式可化为224x x ++<，解得203x <<； 当10x -≤≤时，原不等式可化为224x x +-<，解得10x -≤≤； 当1x <-时，原不等式可化为224x x ---<，解得 2 1x -<<-． 综上，原不等式的解集为2|2}3{x x -<<． 22．解：（1）连结OC ，因为CB =CD ，O 为BD 中点，所以CO ⊥B D ． 又AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥OB ，AO ⊥O C ．以{}OBOC OA ，，为基底，建立空间直角坐标系O –xyz ． 因为BD =2，CB CD =，AO =2，所以B （1，0，0），D （–1，0，0），C （0，2，0），A （0，0，2）． 因为E 为AC 的中点，所以E （0，1，1）．则AB =（1，0，–2），DE =（1，1，1），所以||||||||5cos AB DE AB DE AB DE =⋅⋅=<>，．因此，直线AB 与DE ． （2）因为点F 在BC 上，14BF BC =，BC =（–1，2，0）． 所以111(,,0)442BF BC ==-． 又20,0DB =（,）， 故71(,,0)42DF DB BF =+=．设1111()x y z =，，n 为平面DEF 的一个法向量，则1100,DE DF ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=，n n 即111110710,42x y z x y +⎧+=⎪+=⎪⎨⎩， 取12x =，得1–7y =，15z =，所以1(275)n =-，，． 设2222()x y z =，，n 为平面DEC 的一个法向量，又DC =（1，2，0），则2200,DE DC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=，n n 即22222020,x y z x y ++=+=⎧⎨⎩，取22x =，得2–1y =，2–1z =，所以2(211)n =--，，． 故2112|||||||co |s θ⋅===⋅n n n n ．所以s n i θ==23．解：（1）113111133C C 1C C 3p =⋅=，113211133C C 2C C 3q =⋅=，11113121211111*********C C C C 1270(1)C C C C 3927p p q p q p q =⋅⋅+⋅⋅+⋅--=+=，1111111133222112211111111111133333333C C C C C C C C ()(1)C C C C C C C C q p q p q =⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅--11216=9327q -+=．（2）当2n ≥时，1111312111111111113333C C C C 120(1)C C C C 39n n n n n n n p p q p q p q ------=⋅⋅+⋅⋅+⋅--=+，①111111113322211211111111111133333333C C C C C C C C ()(1)C C C C C C C C n n n n n q p q p q ----=⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅--112=93n q --+，②2⨯+①②，得()1111124121222399333n n n n n n n p q p q q p q -----+=+-+=++． 从而1112(211)3n n n n p q p q ---+-+=，又111312p q -+=， 所以11112()1()3331n n n n p q -+++==，*n ∈N ．③ 由②，有1313()595n n q q --=--，又135115q -=，所以1113()1595n n q -=-+，*n ∈N ． 由③，有13111()210111()()33925nn n n n p q =+=-+-+［］，*n ∈N ． 故311111()()109235n n n n p q --=--+，*n ∈N ． n X 的概率分布则*1()0(1)121(),3n n n n n n E X p q q p n =⨯--+⨯+⨯=+∈N ．。

高考数学模拟试题注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生必须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；2．本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

满分150分, 考试时间120分钟。

参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 柱体的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =13Sh 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式 台体的体积公式S = 4πR 2 1()11223V h S S S S =+球的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积,V =43πR 3h 表示台体的高 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．已知全集=R U ,集合{}0|>=x x A ，{}10|<<=x x B ，则()=B A C U ( ▲ ) A ．{}1|<x x B ． {}10|<<x x C ．{}0|≤x x D ．R 2．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则(12)z i ⋅+的共轭复数为( ▲ ) A ．2i + B ．43i + C ．43i - D ．43i -- 3．已知直线,,a b m ,其中,a b 在平面α内．则“,m a m b ⊥⊥”是“m α⊥”的( ▲ )A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ▲ ) A ． 3π B ．83π C ． 103π D ． 113π 5．记()()()77017211x a a x a x -=+++++，则0126a a a a +++的值为( ▲ )A ． 1B ． 2C ． 129D ． 21886．已知不等式组210,2,10,x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域为D ，若函数|1|y x m =-+的图象上存在区域D 上的点，则实数m 的取值范围是( ▲ )A ． [2,1]-B ． 1[2,]2-C ． 1[0,]2D ． 3[1,]2-7．甲、乙、丙、丁四个人到A ，B ，C 三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A 景点的方案有( ▲ ) A ． 18种 B ． 12种 C ． 36种 D ． 24种8．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ,椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是( ▲ )1]1,1)A B C D9．已知函数()()1ln 1,1{21,1x x x f x x -->=+≤，则方程()()()3204f f x f x ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦的实根个数为( ▲ )A ． 3B ． 4C ． 5D ． 610．已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱1AA , 1BB , 1CC 分别交于三点M , N , Q ,若MNQ ∆为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为( ▲ )A ． 2B ． 4C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题, 多空题每小题6分，单空题每小题4分, 共36分．11．双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为___▲__，设双曲线过点(4,1),且与C 具有相同渐近线,则C 的方程为 ▲ ． 12． 设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=．{}n a 的通项n a = ▲ ，数列的21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭前n 项和是 ▲ ． 13．随机变量X 的分布列如下：MA BCQDX －10 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝ ▲ ，方差的最大值是 ▲ ．14． 函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,π0)A ωϕ>>-<<的部分图像如图所示，则ϕ= ▲ ，为了得到()cos g x A x ω=的图像，需将函数()y f x =的图象最少向左平移 ▲ 个单位． 15．若实数,x y 满足114422xy xy ，则22xy S的取值范围是 ▲ ．16．已知24y x =抛物线，焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点，则2AF BF-的最小值为 ▲ ． 17．如图，在四边形ABCD 中， 1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则()·PQ AB DC -的值为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题, 共74分。

江苏省2020届高三第三次调研测试1. 已知集合” ={一1,0,2,3}, A = {0,3},则C Z M= A ・2. 已知复数z =(i 是虚数单位)是纯虚数•则实数a 的值为 ▲・1 + 31---------3. 右图是一个算法流程图・若输岀y 的值为4,则输入*的值为 ▲・4. 已知一组数据6, 6, 9, x, y 的平均数是8,且= 90,则该组数据的方差 为▲.5. 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球.从 中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为 ▲・6.已知函数f(x) = \x2；2Xt“左①则不等式f(x) >f(-x)的解集为 ▲一疋 一 2x,x<0,»7. 已知{①}是等比数列，前畀项和为S”.若@-冬=4, 5=16,则S,的值为 ▲& 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线4-4 = 1(“>0">0)的右准线与两条渐近线分别交于A,B / lr 两点.若△川阳的而积为晋，则该双曲线的离心率为 ▲.9. 已知直角梯形個S 中，AB// CD, ABA.BC,月灰3 cm, BOX cm, CX2 cm.将此直角梯形绕曲边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 A cm\10. 在平而直角坐标系x6>y 中，若曲线y = sin2x 与y = |tan.r12. 如图，有一壁画，最髙点A 处离地而6 m,最低点3处离地而m.若从离地髙2 m 的C 处观赏它，则离墙▲ m 时,视角8最大.13. C 知函数 f(x) = x 2 -2x + 3a , ^(x) = —|-r ・若对任意 e [0,3] t 总存在x 2 e [2,3],使得 |/(xj| Wg(xJ)•X 1成立，则实数d 的值为▲・值为 ▲ ・11.如图，正六边形 中，若 7L D = AAC^^AE (2, “ e R ),则人+ “的值 为▲・ (第11题)(第12題)在倚，兀)上交点的横坐标为a ,贝ijsin2a 的(第3题)14 •在平而四边形個S 中，ZBAD = 90。

2020届江苏省高三高考全真模拟考试（九）数学试卷★祝考试顺利★(解析版)数学I 试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本试卷共2页,均为非选择题（第1题~第20题,共20题）.本卷满分为160分,考试时间为120分钟考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米色水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4.作答试题必须用0.5毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其他位置作答律无效.5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合{}20A x x =-<,{}1,2,3B =,则A B =__________．【答案】{1}【解析】 由题意{}2A x x =<,由交集概念即可得解. 【详解】{}{}202A x x x x =-<=<, ∴{}{}{}21,2,31A B x x ⋂=<⋂=.故答案为：{1}.2.复数1z i i =+(其中i 为虚数单位)的虚部是________． 【答案】12【解析】 根据复数除法计算原理,化简即可得到虚部．【详解】根据导数除法运算,化简()()()1111i i i z i i i -==++- 111222i i +==+ 所以虚部为12 3.如图,这是一个算法流程图,则输出的a 的值是____________．【答案】3【解析】模拟执行程序框图,注意变量的取值,逐步计算即可得解.【详解】模拟执行该程序框图,可得：1a =,221210a a -=-=-<；112a =+=,22440a a -=-=；213a =+=,229630a a -=-=>,输出3a =.故答案为：3.4.函数()()ln 1f x x =-__________．【答案】[2,)+∞【解析】。

2020届江苏省南通市高三下学期高考考前模拟卷(九)数学试题（南通数学学科基地命题）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1. 已知集合{}1x A x e =≤，{}2,0,2,4B =-，则集合A B 的子集的个数为________．【答案】4【解析】【分析】先化简集合A ，再求出交集，即可得出结果. 【详解】因为{}{}10x A x e x x =≤=≤，{}2,0,2,4B =-， 所以{}2,0A B =-，因此其子集个数为224=.故答案为：4.【点睛】本题主要考查集合子集的个数，考查交集的概念，以及指数不等式的解法，属于基础题型. 2. 某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比为9:8:8，教务处为了解学生“停课不停学”期间在家的网络学习情况，现采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取容量为100的样本进行调查，则应从高三年级抽取________名学生．【答案】32【解析】【分析】先计算高三学生占的比例，再计算高三年级抽取的学生人数即可.【详解】解：因为高一、高二、高三年级的学生人数之比为9:8:8， 所以高三年级学生占比为：8898825=++， 所以根据分层抽样的方法，高三年级抽取81003225⨯=名学生. 故答案为：32.【点睛】本题考查分层抽样的知识，是基础题.3. 已知复数z 满足()14i z a i +=+（i 为虚数单位），且z =，则实数a =________． 【答案】0【解析】【分析】先化简4422a a z i +-=+，再利用z ==，最后解得实数a 的值.【详解】解：∵ ()14i z a i +=+，∴ ()()4(1)4(4)(4)4411(1)222a i i a i a a i a a z i i i i +-+++-+-====+++-∵z =，∴ z ==解得：0a =，故答案为：0.【点睛】本题考查复数的运算，复数的几何意义求参数，是基础题.4. 若从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出2个球，则所取2个球颜色相同的概率是______． 【答案】15【解析】【分析】列举所有的基本事件，从中找出符合条件的基本事件，根据古典概型概率计算即可.【详解】从5个球中随机取出2个球，共有10种基本事件，其中取出2球颜色相同的只有2种，所以取出两个颜色相同球的概率为15. 故答案为：15. 【点睛】本题注意考查古典概型的概率.5. 在平面直角坐标系中，抛物线24y x =的焦点F 在双曲线()222104x y a a -=>上，则焦点F 到该双曲线的渐近线的距离为________．. 【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，代入双曲线方程，求出双曲线方程，进而求出渐近线方程和距离.【详解】抛物线24y x =焦点坐标为(1,0)F ，(1,0)F 在双曲线上2222110114-=⇒-=⇒=x y a a a 2214∴-=y x ，渐近线为2y x =±，(1,0)F 到2y x =±距离为2555d == 故答案为：25 【点睛】本题考查了抛物线和双曲线标准方程，点到直线距离，考查了运算求解能力，属于一般题目. 6. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．【答案】19【解析】【分析】根据程序框图，我们知I 从1开始在1至9中每次间隔3取值，故I 的取值为1,4,7，所以循环体执行3次；将I 的取值分别代入，最后算出正确答案即可.【详解】解：根据程序框图可知，循环体要执行三次循环，第一次，11I =，10121S S I =+=，第二次，24I =，21222146S S I =+=⨯+=，第三次，37I =，323226719S S I =+=⨯+=，4109I =>，故循环体结束，最后输出19S =.故答案为：19.【点睛】本题主要考查程序框图、循环体相关知识，考查运算求解能力，属于基础题型.7. 函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，若函数()y f x =在区间[],m n 上的值域为[]1,2-，则n m -的最小值是________．【答案】83【解析】【分析】由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，求得()2sin()4f x x π=．根据函数在[2，14]3上是减函数，f （2）2=，1413f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由此求得n m -的最小值． 【详解】由函数的最大值为2，可得2A =．由126242πω=-=，可得4πω=． 由五点法作图可得242ππϕ⨯+=，0ϕ∴=， 函数()2sin()4f x x π=． 由于函数在[2，14]3上是减函数， 2x =时，f （2）2=，143x =时，1413f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以，若函数()y f x =在区间[],m n 上的值域为[]1,2-，则n m -的最小值是148233-=， 故答案为：83． 【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，正弦函数的单调性的应用，属于中档题．8. 已知正六棱柱的侧面积为236cm ，高为3cm ，则它的外接球的体积为________3cm ．【答案】1256π 【解析】【分析】由侧面积求其底面的边长，根据正六棱柱的外接球的直径2R 是其对角线的长，从而可得外接球的半径，利用外接球体积公式计算即可得到答案.【详解】设正六棱柱的底面正六边形的边长为a ,则根据侧面积为6336a ⨯=，可得边长为2，正六棱柱的外接球的直径2R 是其对角线的长，则25R ===， 得52R =，故外接球的体积为3441251253386V R πππ==⨯=（cm 3）， 故答案为：1256π. 【点睛】本题考查正六棱柱的结构特征，考查棱柱的外接球的体积问题，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.9. 已知函数()||3f x x x x =+,若()2()20f a f a +-<,则实数a 的取值范围为_____. 【答案】(2,1)-【解析】【分析】首先判断函数()f x 为奇函数，然后判断出()f x 的单调性，由此化简不等式()2()20f a f a +-<，求得实数a 的取值范围.【详解】f (﹣x )=﹣x |﹣x |﹣3x =﹣x |x |﹣3x =﹣f (x ),即函数f (x )为奇函数, 当x >0时,f (x )=x 2+3x 在(0,+∞)上为增函数, 故函数f (x )在R 上为增函数,∴f (a )+f (a 2﹣2)<0等价于a <2﹣a 2,解得﹣2<a <1. 故答案为:(2,1)-.【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性和奇偶性解不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.10. 已知实数,x y 满足约束条件20202x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2242 2x x y m x ++-=+的最大值是________． 【答案】92 【解析】【分析】先将22422x x y m x ++-=+变形为()22242y m x x -=++-+，令22y z x -=+，再根据其几何意义可得当2,4x y ==时，()22x +和22y z x -=+同时取得最大值，进而计算可得答案. 【详解】解：()()()22224222422224222x x y x x y y m x x x x +-++-++--===++-+++令22y z x -=+，则z 表示可行域中的点(),x y 与点()2,2D -所在直线的斜率， 如图，当点(),x y 为()2,4B 时，22y z x -=+有最大值max 421222z -=+=， 且此时2x =，()22x +也取得最大值8，故当2,4x y ==时，()22242y m x x -=++-+取最大值()4292224222m -=++-=+. 故答案为： 92.【点睛】本题考查线性规划的斜率型问题的最值求解，是中档题.11. 已知等比数列{}n a 的公比2q，且123301a a a a ⋅⋅⋅⋅=，则36930a a a a ⋅⋅⋅⋅=________．【答案】1024【解析】【分析】利用等比数列的通项公式11n n a a q -=化简可得． 【详解】123301a a a a ⋅⋅=，所以229301232911111a a q a q a q a q +++⋅=⋅=3043512a =1，所以1014512a -=， 所以10155369301a a a a a q ⋅⋅==1015512a ,所以1451553693022a a a a -==1021024=.故答案为：1024. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式11n n a a q -=及等差数列{}n a 的通项公式1(1)n a a n d =+-及指数运算，计算量较大，属于中档题．12. 在平面四边形ABCD 中，已知点E ，F 分別在边AD ，BC 上，3AD AE =，3BC BF =，3AB =，2EF =，3DC =，则向量AB 与DC 的夹角的余弦值为________． 【答案】53 【解析】【分析】 连结AC ，取点G ，使得AC=3AG ，连结EG ,FG ，利用余弦定理求出角EGF ∠的余弦值，即可得出结果.【详解】 如图，连结AC ，取点G ，使得AC=3AG ，连结EG ,FG ， 则EGF ∠为AB 与DC 所成交的补角，在EGF △中，231,23===EG FG EF 由余弦定理可得, 222231)233cos 122321+-∠==-⨯⨯EGF ，所以AB 与DC 所成交角的余弦值为5312. 53. 【点睛】本题考查了余弦定理，考查解决问题能力和数学运算能力，属于一般题目.13. 若在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，2AB =，3BC =．在ABD △中，45ADB ∠=︒，则CD 的取值范围是________．【答案】52,172⎡⎣【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设(,)D x y ，D 在第一象限或第二象限，根据=45︒∠ADB ，求出D 的轨迹方程为圆，进而求出圆上的点到C 的距离的最大最小值.【详解】以点B 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，A （0，2），C （3，0），设(,)D x y ，点D 在y 轴右侧和左侧=45︒∠ADB ，2,-==AD BD y y k k x x， 点D 在y 轴右侧时，22tan 4512(2)1+1︒---====--⋅+⋅+BD ADBD AD y y k k x x y y y y k k x x x x化简可得，22(1)(1)2,0x y x -+-=> 22min (31)(01)252=-+-=CDD 在第二象限时，22tan 4512(2)1+1︒----====--⋅+⋅+AD BDBD ADy y k k x x y y y y k k x x x x 化简可得，22(+1)(1)2,0x y x +-=<， 22max (3+1)(01)2172=+-=CD 所以CD 的取值范围为：52,172] 故答案为：[52,172]【点睛】本题考查了用坐标法求距离的取值范围，考查了数学运算能力和转化的数学思想，属于难题. 14. 已知0x >，0y >，4311522x y y x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，则x y -的最小值为________． 【答案】-1【解析】【分析】 由已知可得15314222x y x y x y ⎛⎫-⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（关键转化），进而利用基本不等式求解.【详解】15314314·2?·2?·72222x yx y x yx y x y⎛⎫-⎛⎫+=+++≥+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当1,2x y==时取“=”，1522x y-∴+最小值为7，x y∴-最小值为1-.故答案为：1-.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，关键在于化归与转化，属较难试题.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在如图所示的空间几何体中，ABC是以BC为底边的等腰三角形，M是BC的中点，DA、EB都垂直于平面ABC．求证：（1）AM⊥平面EBC；（2）//DA平面EBC．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分别证明AM BC⊥，EB AM⊥即可；（2）证明//DA EB即可.【详解】（1）因为ABC是以BC为底边的等腰三角形，M是BC的中点，所以AM BC⊥，因为EB⊥平面ABC，AM⊂平面ABC，所以EB AM⊥，又因为,BC EB⊂平面EBC，EB BC B=，×2×√x.+2√y.=7所以AM ⊥平面EBC ;（2）因为DA 、EB 都垂直于平面ABC ，所以//DA EB ，因为EB ⊂平面EBC ，DA ⊄平面EBC ，所以//DA 平面EBC ．【点睛】本题主要考查线面垂直的证明以及线面平行的证明，证明线线之间的垂直平行是关键.16. 已知cos 0,32ππαα⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求cos α的值；（2）若()tan 0,112παββ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，求β的值．【答案】（1）7；（2）6πβ=． 【解析】【分析】（1）根据0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得到5,336πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭利用平方关系求得13sin 314πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，然后由cos cos cos cos sin sin 333333ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求解.（2）由（1）知tan α=，然后由()()()tan tan tan tan 1tan tan αβαβαβααβα+-=+-=++⋅求解. 【详解】（1）因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5,336πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又cos 314πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以13sin 314πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以cos cos cos cos sin sin 333333ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，113214=+=（2）由（1）知tan 12α=， 所以()()()tan tan tan tan 1tan tan 1112αβαβαβααβα+-=+-===++⋅，因为0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6πβ=【点睛】本题主要考查两角和与差的三角恒等变换的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 17. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且11a =，4a ，6a ，9a 成等比数列，数列{}n b 满足()1121nni i i a b n ==-+∑．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：数列{}n b 是等比数列； （3）若数列{}n c 满足n n na cb =，且()*m c m ∈N 为整数，求m 的值． 【答案】（1）n a n =；（2）证明见解析；（3）1m =或2m =. 【解析】 【分析】（1）根据4a ，6a ，9a 成等比数列可求出等差数列公差，即可求出通项公式； （2）根据()1121nni i i a b n ==-+∑及n a n =可求出{}n b 的通项公式，即可求证；（3）由nn na cb =，分析出3n ≥时1n c <，1,2n =符合题意. 【详解】（1）因为11a =，4a ，6a ，9a 成等比数列，设公差为d ， 所以2649a a a =⋅即()()2(15)1318d d d +=++,解得：1d =或0d =（舍去）所以11n a n n =+-=， （2）因为()1121nni i i a b n ==-+∑，所以()1122121n n n a b a b a b n +++=-⋅+，①()1112211221n n n a b a b a b n ---+++=-⋅+(2)n ≥②①-②得：()()1112222nn n n n a b n n n --=-⋅--⋅=⋅(2)n ≥,又n a n =， 所以n b =2n-1(n ≥2)，当1n =时，111a b =，即11b =，也适合12n nb -=，所以12()n n b n N -*=∈,由11222nn n n b b +-==知数列{}n b 是公比为2的等比数列. （3）12n n n n a nc b -==， 当1n =时，11c =，2n =时，21c =，当3n ≥时，由12n n -<知1n c <，不是整数， 所以()*m c m ∈N 为整数则1m =或2m =.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比中项，等比数列的定义，数列的递推关系，考查了运算能力，属于中档题.18. 如图，某湖有一半径为1百米的半圆形岸边，现决定在圆心O 处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2百米的点A 处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及湖中的点C 处，再分別安装一套监测设备，且满足AB AC =，90BAC ∠=︒．定义：四边形OACB 及其内部区城为“直接监测覆盖区域”；OC 的长为“最远直接监测距离”设AOB θ∠=．（1）求“直接监测覆盖区城”的面积的最大值； （2）试确定θ的值，使得“最远直接监测距离”最大．【答案】（1）552+；（2）221+． 【解析】 【分析】（1）先用θ表示54cos AB θ=-⋅，再用θ表示出S 四边形OACB =sin θ-2cos θ+，最后运用两角和差的正余弦公式求最值即可；（2）先建立直角坐标系表示出各点坐标，再用θ表示出点C 的坐标，最后表示出942sin()4OC πθ=+-，最后再求最值.【详解】解：（1）在OAB 中，∵AOB θ∠=，1OB =，2OA =， ∴ 2222cos OA OB OA AOB +-⋅⋅∠即54cos AB θ=-⋅， ∴ 211sin 22OACBOAB ABCS S SOA OB AB θ=+=⋅⋅⋅+⋅， ∴ 5sin 2cos 2OACB S θθ-+ tan 2ϕ=，则55)2OACBS θϕ=-+， ∴ 552+. （2）以O 点为坐标原点，以OA 方向为x 轴正方向，以垂直于OA 的正北方向为y 轴正方向，建立直角坐标系如图：则O(0,0)，(cos ,sin )B θθ，(2,0)A ，设点(,)C x y ，S 四边形OACB S 四边形OACB S 四边形OACB由题意有：1AB ACAB ACk k⎧=⎨⋅=-⎩，即2222(2)(2cos)sinsin12cos2x yyxθθθθ⎧-+=-+⎪⎨⋅=-⎪--⎩解得：2sin2cosxyθθ=+⎧⎨=-⎩，∴22(2sin)(2cos)94sin4cos942sin()4 OCπθθθθθ=++-=+-=+-，∴当sin()14πθ-=，即34πθ=时，OC取得最大值：max942OC=+，∴()()222max9422222211221221OC=+=+⨯⨯+=+=+（百米）.∴ 当34πθ=时，使得“最远直接监测距离”最大为：221+.【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式、求sin cosa bθθ+的最值，是偏难题.19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的离心率为12，右准线的方程为4x=，点A为椭圆C的左顶点，点1F、2F分别为椭圆C的左，右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点()(),0T t t a>作斜率为()0k k<的直线l交椭圆C于M，N两点（点M在点N的左侧），且12//F M F N．若MA MT=，求t的值．【答案】（1）22143x y+=；（2）3t=或5t=．【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率和准线方程可解出,a c 的值，再利用222b a c =-可求出2b 的值，从而求出椭圆方程；（2）设直线MN 的方程()y k x t =-，与椭圆联立可求出1212,x x x x +，由12F M F N ∥，可得12x x -，利用两根的关系建立等式22121212(=-4x x x x x x -+）（），可求出()22449kt-=；又因为MA MT =，可得MA k k =-，设直线MA 的方程与椭圆联立可解M x ，又22M t x -=，可以得到224432k t =-+，联立两个方程可以解出t 的值.【详解】解：（1）由条件可知：2124c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：12c a =⎧⎨=⎩，又2223b a c =-=，所以方程为：22143x y +=.（2）设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN ：()y k x t =-联立方程可得：()22143y k x t x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，即()222223484120k x k tx k t +-+-=， ()2222122221221234083441234k t k k t x x k k t x x k ⎧∆=+->⎪⎪⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩， 12F M F N ，()()121,0,1,0F F -，121211y yx x ∴=+-，代入()y k x t =-，有122634x x k--=+, 22121212(=-4x x x x x x -+）（），()22449k t ∴-= ①MA MT =，0MA MT k k ∴+=，即MA k k =-，则直线MA 的方程为：(2)y k x =-+联立直线和椭圆方程22(2)143y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2222341616120k x k x k +++-=,直线和椭圆均过()2,0-，所以22161234A M k x x k -=+，解得：226834M k x k -=+,又M 为直线AT 的中垂线，所以22268234M t k x k--==+，解得：224432k t =-+ ②由①②解得：28150t t -+=，即3t =或5t =，经检验，当3t =或5t =时，都成立. 所以3t =或5t =.【点睛】本题考查由椭圆的性质求方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查学生的计算能力和转化能力，属于难题.20. 已知函数()()(),xf x x a e b a b =-+∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）对给定的a ，函数()f x 有零点，求b 的取值范围；（3）当2a =，0b =时，()()ln F x f x x x -=+，记()y F x =在区间1,14⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值为m ，且[),1,m n n n ∈+∈Z ，求n 的值．【答案】（1）(),1x a ∈-∞-，函数()f x 单调递减；()1,x a ∈-+∞，函数()f x 单调递增； （2）当1a b e -≤时，函数()f x 有零点； （3）4n =-． 【解析】 【分析】（1）函数的定义域为R ，求导得()()'1xf x x a e =-+，再根据()'0f x >和()'0f x <求单调区间即可；（2）结合（1）得函数()f x 在1x a =-时取得最小值，且当x →+∞时，()f x →+∞，故满足题意需满足()()min 10f x f a =-≤，进而求得b 的取值范围；（3）根据题意得()()2ln xF x x e x x =-+-，研究函数的单调性得函数()F x 在01,4x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，001xx e =，故()000212m F x x x --==，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再令()212h x x x --=，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可求得43m -<<-，进而得4n =-.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()()()1'x x x x a e e e f a x x -+=-=+，令()'0f x >得1x a >-，所以函数()f x 在()1,x a ∈-+∞上单调递增； 令()'0f x <得1x a <-，所以函数()f x 在(),1x a ∈-∞-上单调递减. （2）对给定的a ，当x →+∞时，()f x →+∞，又因为函数()f x 在(),1x a ∈-∞-上单调递减，在()1,x a ∈-+∞上单调递增 所以函数()f x 在1x a =-时取得最小值，故函数()f x 要有零点，则需有()()min 10f x f a =-≤， 即：10a e b --+≤，故1a b e -≤，所以对给定的a ，函数()f x 有零点，b 的取值范围为(1,a e -⎤-∞⎦（3）当2a =，0b =时，()()2xf x x e =-，所以()()()ln 2ln xF x f x x x x e x x =+=+---，所以()()()()111'1111x xxx xe F x x e x e x x x x--=--+=-+=-， 令()1xg x xe =-，则()()'10xg x x e =+>在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上成立， 所以()1xg x xe =-在1,14⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 由于111ln 222211111=2=02222g e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()110g e =->，所以存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00g x =，即001x x e =. 所以存在01,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()g x 在01,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上满足()0g x <，在()0,1x 上满足()0g x > 所以()'F x 在01,4x ⎛⎫⎪⎝⎭上满足()'0F x >，在()0,1x 上满足()F'0x <， 所以函数()F x 在01,4x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减，所以()()()000000max 022ln 12x F x e m F x x x x x x ===---=-+，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭令()212h x x x --=，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()2222222'0x h x x x--=>=在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立， 所以()212h x x x --=在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增， 由于114142h ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭，()11223h =--=-， 所以43m -<<-， 因为[),1,m n n n ∈+∈Z 所以4n =-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点，函数的最值，考查数学运算求解能力，属于较难题.南通市2020届高考考前模拟卷（九）数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【选修4－2：矩阵与变换】A. 已知矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所对应的变换M T 将直线:23l x y -=变换为自身，求实数a ，b 的值．【答案】10a b =⎧⎨=⎩．【解析】 【分析】设p (x ,y )为直线:23l x y -=上任意一点其在M 的作用下变为(),x y ''，再利用矩阵变换求解. 【详解】设p (x ,y )为直线:23l x y -=上任意一点，其在矩阵M 的作用下变为(),x y ''由矩阵的乘法可得：3x x ayy bx y =+⎧⎨=+''⎩，代入直线:23l x y -=整理得：()()2233b x a y -+-=， 因为与:23l x y -=完全一样，所以22231b a -=⎧⎨-=-⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩【点睛】本题主要考查矩阵变换，属于基础题.B.【选修4－4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，已知曲线:2C cos ρθ=，直线2:12x l t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 是参数），且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设定点()0,1P -，求()()11PA PB ++的值． 【答案】（1）()2211x y -+=；（2）3． 【解析】 【分析】(1)曲线C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，再化简求解即可.(2)联立直线的参数方程与曲线C 的直角坐标方程， 设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，再利用韦达定理求解即可.【详解】（1）曲线22o :c s C ρρθ=，化简得直角坐标方程为：2220x y x +-=；即22(1)1x y -+=．（2）因为(0,1)P -，所以直线l 过P 点.将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程22(1)1x y -+=中， 得2211)(1+)12t -+-=，即)210t t -+=. 设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，所以12t t +=，121t t =，所以()()1212++3111t t t PA B t P ⋅++=+=．【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化以及直线参数方程的几何意义，属于中档题.C.【选修4－5：不等式选讲】已知222x y +=，且x y ≠，求()()2211x y x y ++-的最小值．【答案】1 【解析】 【分析】令,u x y v x y =+=-，得224u v ，利用柯西不等式可以求出.【详解】令,u x y v x y =+=-，则,22u vu vxy ， 222x y +=，22()()8u v u v ∴++-=，得224u v ，由柯西不等式可得+)(u 2+v 2)≥4,即+)≥1，当且仅当222u v ==，即x=±√2,y=0或x=0,y=±√2时，等号成立， 故()()2211x y x y ++-的最小值为1.【点睛】本题考查柯西不等式的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知抛物线()2:20C y px p =>（1）若抛物线C 经过点()1,2，求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线交抛物线C 于M 、N 两点，直线2px =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过x 轴上的两个定点． 【答案】（1）24y x =，1x =-；（2）,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭或3,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线C 经过点()1,2，代入抛物线方程求解得到p ，进而求得抛物线方程及准线方程.（2）抛物线C 的焦点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,0k ≠，与抛物线方程联立，由直线OM的方程为11y y x x =，令2p x =-，得112A pyy x =-，同理222B py y x =-，设(),0D a ，然后由0AD BD ⋅=，结合韦达定理求解.【详解】（1）因为抛物线C 经过点()1,2， 所以p =2，所以抛物线C 的方程24y x =及其准线方程为1x =-； （2）抛物线C 的焦点()1,0，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭0k ≠，()()1122,,,M x y N x y ， 由222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得()22222420k k p p x p k x +-=+， 所以2124p x x =，y 1y 2=-p 2,直线OM 的方程为11y y x x =， 令2p x =-，得112A py y x =-，同理222B py y x =-， 设(),0D a ，则11,22py p AD a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，22,22py p BD a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2222212121202422p y y p p p AD BD a a y y a p x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=++=++=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2p a =，32pa =-所以AB 为直径的圆经过x 轴上的两个定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭或3,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2p x =， 则,,,22p p M p N p ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,,,22p p A p B p ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以,2p AD a⎛=+⎝,2p BD a ⎛=+ ⎝22p AD BD a ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭=0,解得2p a =，32p a =-，所以AB 为直径的圆经过x 轴上的两个定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭或3,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 综上：AB 为直径的圆经过x 轴上的两个定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭或3,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题主要考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系以及圆过定点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23. 数列{}n a 的前n 项和为n R ，记11nn i S i ==∑，数列{}n b 满足11b a =，()12n n n n R b S a n n-=+≥，且数列{}n b 的前n 项和为n T ．（1）请写出n R ，n S ，n T 满足的关系式，并加以证明； （2）若数列{}n a 通项公式为112n n a -=，证明：22ln n T n <+． 【答案】（1）n n n T S R =⋅，证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由已知猜想出关系式n n n T S R =⋅，运用数学归纳法证明，验证当1n =时， 关系式成立，再假设当n k =时，关系式成立，运用假设证当+1n k =时，关系式成立. （2）由（1）得n n n T S R =⋅，得出121111++++3222nn T n ⎡⎤⎛⎫-⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎛⎫= ⎝⎭⎦⎪，再用数学归纳法分两个步骤证明不等式成立.先验证当1n =时，不等式成立；再假设当n k =时，22ln k T k <+成立，证明当+1n k =时，不等式成立.【详解】（1）n R ，n S ，n T 之间满足的关系式是：n n n T S R =⋅，证明如下： 当1n =时， 1111110S b T a R -⋅=-⨯=，所以111T S R =⋅成立，假设当n k =时，k k k T S R =⋅成立，即()123123111++++1++++++++23k k b b b a a k b a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当+1n k =时，()123+1123+1111+++++1+++++++++23k k k k b a b b b b a a a b k ⎛⎫= ⎪⎝⎭()12+113+1111++++++++++231k kk k R a a a a k a S k +⎛⎫= ⎪⎝⎭()+1+1213123++++1111+++++++++23+1kk k k a a S a a a a a a k a k ⎛⎫= +⎪⎝⎭()123+1111111111++++++++++1+++++23+123+1k k a a a k k k a k a ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1123+1+11111++++++++++23k k a a a a a k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以+1+1+1k k k T R S =⋅成立，所以n n n T S R =⋅成立. （2）由（1）得n n n T S R =⋅，即()1231111++++++++23n n T a a a n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因112n n a -=，所以121111++++3222nnT n ⎡⎤⎛⎫-⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎛⎫= ⎝⎭⎦⎪， 当1n =时，112+2ln12T =<=，成立；假设当n k =时，22ln k T k <+成立，1111++++22ln 132222k kT k k ⎡⎤⎛⎫-⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫=<+ ⎪⎝⎭， 当+1n k =时，1+11111++++31221221k k k T k +⎛⎫⎡⎤⎛⎫-⋅⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣=+ ⎪⎝⎦⎭ 11111111++++1+++11122221++232223kkk k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎭⎦()1ln 1122ln ++22+2ln 11122kk k k k k ⎡⎤+⎛⎫<+-<+⎢⎥ ⎪-+⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以当+1n k =时，不等式()122ln 1k T k +<++成立， 所以22ln n T n <+,证毕.【点睛】本题考查归纳猜想，运用数学归纳法证明等式和不等式，关键在于利用假设，证明当+1n k =时成立，属于较难题.。