《数学实验》实验报告——定积分的近似求解

[整理]定积分的近似计算实验⼆定积分的近似计算⼀、问题背景与实验⽬的利⽤⽜顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适⽤于被积函数的原函数能⽤初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的⽅法．在定积分的很多应⽤问题中，被积函数甚⾄没有解析表达式，可能只是⼀条实验记录曲线，或者是⼀组离散的采样值，这时只能应⽤近似⽅法去计算相应的定积分．本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法．对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可⽤．⼆、相关函数（命令）及简介1．sum(a)：求数组a的和．2．format long：长格式，即屏幕显⽰15位有效数字．（注：由于本实验要⽐较近似解法和精确求解间的误差，需要更⾼的精度）．3．double()：若输⼊的是字符则转化为相应的ASCII码；若输⼊的是整型数值则转化为相应的实型数值．4．quad()：抛物线法求数值积分．格式：quad(fun,a,b) ，注意此处的fun是函数，并且为数值形式的，所以使⽤*、/、^等运算时要在其前加上⼩数点，即.*、./、.^等．例：Q = quad('1./(x.^3-2*x-5)',0,2);5．trapz()：梯形法求数值积分．格式：trapz(x,y)其中x为带有步长的积分区间；y为数值形式的运算（相当于上⾯介绍的函数fun）例：计算0sin()dx xπx=0:pi/100:pi;y=sin(x);trapz(x,y)6．dblquad()：抛物线法求⼆重数值积分．格式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，fun可以⽤inline定义，也可以通过某个函数⽂件的句柄传递．例1：Q1 = dblquad(inline('y*sin(x)'), pi, 2*pi, 0, pi)顺便计算下⾯的Q2，通过计算，⽐较Q1 与Q2结果（或加上⼿⼯验算），找出积分变量x、y的上下限的函数代⼊⽅法．Q2 = dblquad(inline('y*sin(x)'), 0, pi, pi, 2*pi)例2：Q3 = dblquad(@integrnd, pi, 2*pi, 0, pi)这时必须存在⼀个函数⽂件integrnd.m：function z = integrnd(x, y)z = y*sin(x);7．fprintf （⽂件地址，格式，写⼊的变量）：把数据写⼊指定⽂件．例：x = 0:.1:1;y = [x; exp(x)];fid = fopen('exp.txt','w'); %打开⽂件fprintf(fid,'%6.2f %12.8f\n',y); %写⼊fclose(fid) %关闭⽂件8．syms 变量1 变量2 …：定义变量为符号．9．sym('表达式')：将表达式定义为符号．解释：Matlab 中的符号运算事实上是借⽤了Maple 的软件包，所以当在Matlab 中要对符号进⾏运算时，必须先把要⽤到的变量定义为符号．10．int(f,v,a,b)：求f 关于v 积分，积分区间由a 到b ．11．subs(f ，'x'，a)：将 a 的值赋给符号表达式 f 中的 x ，并计算出值．若简单地使⽤subs(f)，则将f 的所有符号变量⽤可能的数值代⼊，并计算出值．三、实验内容1．矩形法根据定积分的定义，每⼀个积分和都可以看作是定积分的⼀个近似值，即1()d ()nbi i a i f x x f x ?==?∑?在⼏何意义上，这是⽤⼀系列⼩矩形⾯积近似⼩曲边梯形的结果，所以把这个近似计算⽅法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有⼀定的精确度．针对不同i ?的取法，计算结果会有不同，我们以 120d 1x x +?为例（取100=n ），（1）左点法：对等分区间b x i na b a x x a x n i =<<-+=<<<= 10，在区间],[1i i x x -上取左端点，即取1-=i i x ?，12 01d ()1n i i i x f x x ?==?≈+∑?0.78789399673078，理论值 12 0d 14x x π=+?，此时计算的相对误差 0.7878939967307840.0031784ππ-=≈（2）右点法：同（1）中划分区间，在区间],[1i i x x -上取右端点，即取i i x =?，12 01d ()1n i i i x f x x ?==?≈+∑0.78289399673078，理论值 12 0d 14x x π=+?，此时计算的相对误差 0.7828939967307840.0031884ππ-=≈（3）中点法：同（1）中划分区间，在区间1[,]i i x x -上取中点，即取12i i i x x ?-+=， 12 01d ()1n i i i x f x x ?==?≈+∑0.78540024673078，理论值 12 0d 14x x π=+?，此时计算的相对误差 60.785400246730784 2.653104ππ--=≈? 如果在分割的每个⼩区间上采⽤⼀次或⼆次多项式来近似代替被积函数，那么可以期望得到⽐矩形法效果好得多的近似计算公式．下⾯介绍的梯形法和抛物线法就是这⼀指导思想的产物．2．梯形法等分区间b x i n a b a x x a x n i =<<-+=<<<= 10，na b x -=? 相应函数值为n y y y ,,,10 （n i x f y i i ,,1,0),( ==）．曲线)(x f y =上相应的点为n P P P ,,,10 （n i y x P i i i ,,1,0),,( ==）将曲线的每⼀段弧i i P P 1-⽤过点1-i P ，i P 的弦i i P P 1-（线性函数）来代替，这使得每个],[1i i x x -上的曲边梯形成为真正的梯形，其⾯积为x y y i i ??+-21，n i ,,2,1 =．于是各个⼩梯形⾯积之和就是曲边梯形⾯积的近似值，11 11()d ()22n n b i i i i a i i y y x f x x x y y --==+?≈??=+∑∑?，即 011 ()d ()22bn n a y y b a f x x y y n --≈++++?，称此式为梯形公式．仍⽤ 120d 1x x +?的近似计算为例，取100=n ， 10112 0d ()122n n y y x b a y y x n --≈++++=+?0.78539399673078，理论值 12 0d 14x x π=+?，此时计算的相对误差 60.785393996730784 5.305104ππ--=≈? 很显然，这个误差要⽐简单的矩形左点法和右点法的计算误差⼩得多．3．抛物线法由梯形法求近似值，当)(x f y =为凹曲线时，它就偏⼩；当)(x f y =为凸曲线时，它就偏⼤．若每段改⽤与它凸性相接近的抛物线来近似时，就可减少上述缺点，这就是抛物线法．将积分区间],[b a 作n 2等分，分点依次为b x i n a b a x x a x n i =<<-+=<<<=2102 ，na b x 2-=?，对应函数值为n y y y 210,,, （n i x f y i i 2,,1,0),( ==），曲线上相应点为n P P P 210,,, （n i y x P i i i 2,,1,0),,( ==）．现把区间],[20x x 上的曲线段)(x f y =⽤通过三点),(000y x P ，),(111y x P ，),(222y x P 的抛物线)(12x p x x y =++=γβα来近似代替，然后求函数)(1x p 从0x 到2x 的定积分：20 1 ()d x x p x x =?20 2 ()d x x x x x αβγ++=?)()(2)(30220223032x x x x x x -+-+-γβα]4)(2)()()[(62022022202002γβαγβαγβα++++++++++-=x x x x x x x x x x 由于2201x x x +=，代⼊上式整理后得 20 1 ()d x x p x x ?)](4)()[(612122202002γβαγβαγβα++++++++-=x x x x x x x x )4(621002y y y x x ++-=)4(6210y y y na b ++-= 同样也有 42 2 ()d x x p x x ?)4(6432y y y na b ++-=……222 ()d n n x n x p x x -?)4(621222n n n y y y na b ++-=-- 将这n 个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值： 222 22212 11()d ()d (4)6i i n n b x i i i i a x i i b a f x x p x x y y y n ---==-≈=++∑∑?，即021******* ()d [4()2()]6b n n n a b a f x x y y y y y y y y n---≈++++++++? 这就是抛物线法公式，也称为⾟⼘⽣（Simpson ）公式．仍⽤ 120d 1x x +?的近似计算为例，取100=n ， 102132124222 0d [4()2()]16n n n x b a y y y y y y y y x n ---≈+++++++++?=0.78539816339745，理论值 12 0d 14x x π=+?，此时计算的相对误差 160.785398163397454 2.827104ππ--=≈?4. 直接应⽤Matlab 命令计算结果（1）数值计算 120d .1x x +? ⽅法1：int('1/(1+x^2)','x',0,1) (符号求积分)⽅法2：quad('1./(1+x.^2)',0,1) （抛物线法求数值积分）⽅法3：x=0:0.001:1;y=1./(1+x.^2);trapz(x,y) （梯形法求数值积分）（2）数值计算 2 12 0 1d d x x y y -+?? ⽅法1：int(int('x+y^2','y',-1,1),'x',0,2) （符号求积分）⽅法2：dblquad(inline('x+y^2'),0,2,-1,1) （抛物线法⼆重数值积分）四、⾃⼰动⼿1．实现实验内容中的例⼦，即分别采⽤矩形法、梯形法、抛物线法计算 12 0d 1x x +?，取258=n ，并⽐较三种⽅法的精确程度．2．分别⽤梯形法与抛物线法，计算 2 1d x x，取120=n ．并尝试直接使⽤函数trapz()、quad()进⾏计算求解，⽐较结果的差异．3．试计算定积分 0sin d x x x+∞?．（注意：可以运⽤trapz()、quad()或附录程序求解吗？为什么？）4．将 120d 1x x +?的近似计算结果与Matlab 中各命令的计算结果相⽐较，试猜测Matlab 中的数值积分命令最可能采⽤了哪⼀种近似计算⽅法？并找出其他例⼦⽀持你的观点．5．通过整个实验内容及练习，你能否作出⼀些理论上的⼩结，即针对什么类型的函数（具有某种单调特性或凹凸特性），⽤某种近似计算⽅法所得结果更接近于实际值？6．学习fulu2sum.m 的程序设计⽅法，尝试⽤函数 sum 改写附录1和附录3的程序，避免for 循环．五、附录附录1：矩形法（左点法、右点法、中点法）（fulu1.m ）format longn=100;a=0;b=1;inum1=0;inum2=0;inum3=0;syms x fxfx=1/(1+x^2);for i=1:nxj=a+(i-1)*(b-a)/n; %左点xi=a+i*(b-a)/n; %右点fxj=subs(fx,'x',xj); %左点值fxi=subs(fx,'x',xi); %右点值fxij=subs(fx,'x',(xi+xj)/2); %中点值inum1=inum1+fxj*(b-a)/n;inum2=inum2+fxi*(b-a)/n;inum3=inum3+fxij*(b-a)/n;endinum1inum2inum3integrate=int(fx,0,1)integrate=double(integrate)fprintf('The relative error between inum1 and real-value is about: %d\n\n',...abs((inum1-integrate)/integrate))fprintf('The relative error between inum2 and real-value is about: %d\n\n',...abs((inum2-integrate)/integrate))fprintf('The relative error between inum3 and real-value is about: %d\n\n',...abs((inum3-integrate)/integrate))附录2：梯形法（fulu2.m）format longn=100;a=0;b=1;inum=0;syms x fxfx=1/(1+x^2);for i=1:nxj=a+(i-1)*(b-a)/n;xi=a+i*(b-a)/n;fxj=subs(fx,'x',xj);fxi=subs(fx,'x',xi);inum=inum+(fxj+fxi)*(b-a)/(2*n);endinumintegrate=int(fx,0,1)integrate=double(integrate)fprintf('The relative error between inum and real-value is about: %d\n\n',... abs((inum-integrate)/integrate))附录2sum：梯形法（fulu2sum.m），利⽤求和函数，避免for 循环format long n=100;a=0;b=1;syms x fxfx=1/(1+x^2);i=1:n;xj=a+(i-1)*(b-a)/n; %所有左点的数组xi=a+i*(b-a)/n; %所有右点的数组fxj=subs(fx,'x',xj); %所有左点值fxi=subs(fx,'x',xi); %所有右点值f=(fxi+fxj)/2*(b-a)/n; %梯形⾯积inum=sum(f) %加和梯形⾯积求解integrate=int(fx,0,1)integrate=double(integrate)fprintf('The relative error between inum and real-value is about: %d\n\n',... abs((inum-integrate)/integrate))附录3：抛物线法（fulu3.m）format longn=100;a=0;b=1;inum=0;syms x fxfx=1/(1+x^2);for i=1:nxj=a+(i-1)*(b-a)/n; %左点xi=a+i*(b-a)/n; %右点xk=(xi+xj)/2; %中点fxj=subs(fx,'x',xj);fxi=subs(fx,'x',xi);fxk=subs(fx,'x',xk);inum=inum+(fxj+4*fxk+fxi)*(b-a)/(6*n);endinumintegrate=int(fx,0,1)integrate=double(integrate)fprintf('The relative error between inum and real-value is about: %d\n\n',...。

数学实验报告实验序号：4 日期：2012 年12 月13 日实验名称定积分的近似计算问题背景描述：利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分．实验目的：本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法。

对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用。

实验原理与数学模型：1．矩形法根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度．针对不同的取法，计算结果会有不同。

（1）左点法：对等分区间，在区间上取左端点，即取。

（2）右点法：同（1）中划分区间，在区间上取右端点，即取。

（3）中点法：同（1）中划分区间，在区间上取中点，即取。

2．梯形法等分区间，相应函数值为（）．曲线上相应的点为（）将曲线的每一段弧用过点，的弦（线性函数）来代替，这使得每个上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为，．于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，，即，称此式为梯形公式。

3．抛物线法将积分区间作等分，分点依次为，，对应函数值为（），曲线上相应点为（）．现把区间上的曲线段用通过三点，，的抛物线来近似代替，然后求函数从到的定积分：由于，代入上式整理后得同样也有……将这个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：，即这就是抛物线法公式，也称为辛卜生（Simpson）公式．实验所用软件及版本：Matlab 7.0主要内容（要点）：1．分别用梯形法与抛物线法，计算，取．并尝试直接使用函数trapz()、quad()进行计算求解，比较结果的差异．2．试计算定积分．（注意：可以运用trapz()、quad()或附录程序求解吗？为什么？）3．学习fulu2sum.m的程序设计方法，尝试用函数sum 改写附录1和附录3的程序，避免for 循环。

定积分的近似计算实验项目： 定积分的三种近似计算算法一、实验目的学习定积分的三种近似计算算法：符号法（矩形法）、梯形法和抛物线法。

二、实验内容及要求1.对于定积分的近似计算matlab 有专门函数可用。

int （）符号法求积分；quad （）抛物线法求数值积分；trapz （）梯形法求数值积分；dblquad （）抛物线法求二重数值积分。

2.注意：matlab 的符号运算事实上是借用了maple 的软件包，所以当在matlab 中进行符号运算时，必须先把要用到的变量定义为符号。

例如求1201d x x +⎰的值，程序如下：sym x; int('1/(1+x^2)','x',0,1)3.实验内容（1）分别用符号法、梯形法和抛物线法求1201d x x +⎰（2）计算0sin x d x x +∞⎰，能用quad （）和trapz （）求解吗？（3）用符号法和抛物线法求21201()d x x y d y -+⎰⎰三、实验结果和程序（1） 程序：符号法：syms x yy=1./(1+x.^2);f=int (y,x,0,1)结果：f = 1/4*pi梯形法：x=0:0.001:1;y=1./(1+x.^2);format long ;trapz(x,y)结果：ans = 0.785398121730782抛物线法：format long ;quad('1./(1+x.^2)',0,1)结果：ans = 0.785398149243260（2）程序：符号法：syms x;f=int('sin(x)/x','x',0,inf)结果：f =1/2*pi梯形法：x=0:0.001:100;y=sin(x)./x;format long;f=trapz(x,y)结果：f = NaN抛物线法：syms x;format long;ff=@(x)(sin(x)./x);f=quad(ff,0,inf)结果：f = NaN（3）程序：符号法：syms x ys=vpa(int(int(x+y.^2,y,-1,1),x,0,2))抛物线法：z=inline('x+y.^2','x','y')s=dblquad(z,0,2,-1,1)结果：s =5.333333333333333。

第1篇一、实验目的1. 理解定积分的概念，掌握定积分的计算方法。

2. 熟悉数值积分的方法，提高数值计算能力。

3. 通过实验，验证定积分的计算结果，加深对定积分理论的理解。

二、实验原理定积分是数学分析中的一个基本概念，它表示函数在某一区间上的累积效果。

对于给定的函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分可以表示为：∫[a, b] f(x) dx其中，dx表示无穷小的区间宽度。

在实际计算中，定积分往往采用数值积分的方法进行近似计算。

三、实验仪器与软件1. 仪器：计算机2. 软件：MATLAB四、实验步骤1. 输入函数表达式：在MATLAB中输入待积分函数的表达式，例如f(x) = x^2。

2. 设置积分区间：设定积分的上下限a和b。

3. 选择数值积分方法：MATLAB提供了多种数值积分方法，如梯形法、辛普森法、高斯法等。

根据需要选择合适的方法。

4. 进行数值积分计算：调用MATLAB的数值积分函数，如quad函数，进行积分计算。

5. 结果分析：观察计算结果，与理论值进行对比，分析误差来源。

五、实验数据及结果1. 函数表达式：f(x) = x^22. 积分区间：[0, 1]3. 数值积分方法：辛普森法4. 计算结果：I ≈ 1.1666666667六、误差分析1. 理论值：∫[0, 1] x^2 dx = [x^3/3] |[0, 1] = 1/32. 误差来源：a. 数值积分方法的误差：由于数值积分方法是一种近似计算方法，其计算结果与真实值存在一定的误差。

b. 计算过程中的舍入误差：在计算过程中，由于计算机的浮点数表示，可能导致舍入误差。

3. 误差分析：计算结果与理论值相差较大，说明数值积分方法的误差较大。

在实际应用中，可以根据需要选择合适的数值积分方法，以减小误差。

七、实验结论1. 通过本次实验，掌握了定积分的计算方法，了解了数值积分的方法及其优缺点。

2. 了解了数值积分方法在计算过程中的误差来源，为实际应用提供了参考。

概率统计定积分近似计算实验报告
实验五、定积分的近似计算实验序号：5
日期：xxx 年 5 月 15 日班级
学号
姓名
实验名称定积分的近似计算
问题的背景和目的：
加深对大数定律的理解，学会用 o Monte Carlo 方法近
似计算定积分的值．掌握利用随机投点法和平均值法近似计算定积分的方法．：
实验内容：
（随机投点法）
估计定积分11011xeJ dxe．(当 0 1 x
时，10 ( ) 11xef xe).随机投点法的具体步骤为：
(1) 独立地产生 2n 个服从(0，1)上均匀分布的随机数，
1 2 1 2, , , ; , , ,n nx x x y y y ； (2) 统计 ( )i iy
f x 的次数 k ； (3) 用kn来估计1J ．
（平均值法）
估计定积分1101.1xeJ dxe(当 0 1 x
时，10 ( ) 11xef xe).平均值法的具体步骤为：
(1) 独立地产生 n 个服从 (0,1) 区间上的均匀分布的随机数1 2, , ,nx x x ； (2) 计算 ( )if x ； (3) 用
11( )niif xn来估计1J ．（4）自己从《数学分析》教材中找一个“积不出来”的定积分，利用上述方法近似计算积分。

实验所用软件及版本：
Excel 2003 实验过程：
实验结果总结：
教师评语与成绩：
挺有创意的！
范文自然，朴实。

很受用的一篇范文，谢谢分享！。

大学实验报告定积分与定积分的近似计算学院：理学院班级：数师153班学号： 1502012072：顾阳第一部分实验报告书解读一、实验目的实验主要是分析用矩阵公式，梯形公式，辛普森公式求定积分的近似值，并比较它们与定积分的近似情况。

可以先学习定积分的数值计算方法，理解定积分的定义，掌握牛顿-莱布尼茨公式。

二、实验材料1.1定积分的数值计算程序为或也可用梯形公式近似计算如果要准确些，可用辛普森公式Mathematica程序为a=0;b=1;k=10;f[x_]:=Sin[x];d=N[Integrate[f[x],{x,a,b}],k];（计算精确值）s1[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k];（取小区间左端点的矩形公式）s2[m_]:=N[Sum[f[a+(i+1/2)*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]（取小区间中点的矩形公式）s3[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,1,m}],k]; （取小区间右端点的矩形公式）s4[m_]:=N[Sum[(f[a+i*(b-a)/m]+f[a+(i+1)*(b-a)/m])/2*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]; （梯形公式）s5[m_]:=N[(b-a)/m/6*((f[a]+f[b])+2*Sum[f[a+i*(b-a)/m],{i,1,m-1}] +4*Sum[f[a+(i-1/2)*(b-a)/m],{i,1,m}]),k];（辛普森公式）t=Table[{s1[m],r1[m],s2[m],r2[m],s3[m],r3[m],s4[m],r4[m],s5[m],r 5[m]}, {m,100,1000,100}]1.2可积的条件设f(x)=sinx,取a=0,b=1Mathematica程序为a=0;b=1;k=10;f[x_]:=Sin[x];d=N[Integrate[f[x],{x,a,b}],k];（计算精确值）s1[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k];（取小区间左端点的矩形公式）s2[m_]:=N[Sum[f[a+(i+1/2)*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]（取小区间中点的矩形公式）s3[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,1,m}],k]; （取小区间右端点的矩形公式）s4[m_]:=N[Sum[(f[a+i*(b-a)/m]+f[a+(i+1)*(b-a)/m])/2*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]; （梯形公式）s5[m_]:=N[(b-a)/m/6*((f[a]+f[b])+2*Sum[f[a+i*(b-a)/m],{i,1,m-1}] +4*Sum[f[a+(i-1/2)*(b-a)/m],{i,1,m}]),k];（辛普森公式）r1[m_]:=d-s1[m];r2[m_]:=d-s2[m];r3[m_]:=d-s3[m];r4[m_]:=t=Table[{s1[m],r1[m],s2[m],r2[m],s3[m],r3[m],s4[m],r4[m],s5[m],r 5[m]}, {m,100,1000,100}]1.3牛顿-莱布尼茨公式-莱布不存在原函数，函数(长度大于0)上不可积。