数学建模 航空公司的预订票策略

概率模型三航空公司的预订票策略问题重述:在激烈的市场竞争中，航空公司为了争取更多的客源开展了预订票业务。

公司承诺，预先订购机票的乘客如果没有按时登机，可以不加任何费用乘坐下一班机或者退票;也可以订票时只定座位，到登机时才付款。

这里我们考虑预订票的费用在登机前支付的情形。

开展预订票业务时，对于一次航班，若公司限制预订票的数量恰好等于飞机的容量，可能会有一些定了机票的乘客不能按时到达致使飞机不满员飞行而利润降低甚至亏本;而如果不限制预订票的数量，当持票按时前来登机的乘客超过飞机的容量时，必然会引起那些不能飞走的乘客的抱怨，公司不论什么方式补救，也会导致声誉受损和议定的经济损失，如客源减少、公司无偿提供食宿、付给一定的赔偿金等。

所以航空公司需要综合考虑经济利益和社会声誉，确定预订票数量的最佳限额。

问题分析:关键的问题是如何度量公司的经济利益，社会声誉。

收益=机票收入-飞行费用-赔偿金;社会声誉用持票按时前来登机，但因为满员不能飞走的乘客限制在一定数量为标准。

在这两个指标中，预订票的乘客是否按时前来登机是随机的。

因此决策目标是两个指标的平均值，决策变量是预订票数量的险恶。

模型假设:rrn(1) 飞机的容量是常数，机票的价格为常数，飞行费用为常数，与乘客数量无关，g机票的价格按照g,r/,n制订，其中称为利润调节因子，如表示飞机,,1,,0.6 60%的满员率就不会亏本。

(2) 预订票数量的限额为常数m(m,n)，每位乘客不能按时前来登机的概率为，每位乘p客是否按时前来登机是相互独立的。

(3) 每位被挤掉的乘客获得的赔偿金为常数。

b模型建立:m(1) 公司的经济利益用公司的平均利润来衡量。

当个预订机票的乘客中有位乘客不Gk能按时前来登机时的收益为，(m,k)g,rm,k,n, G,,ng,r,(m,k,n)bm,k,n,B(m,p)而按照假设2，不按时前来登机的乘客数服从二项分布: Kkkm,kp,P(K,k),Cp(1,p) km,,mn1mG(m),[(ng,r),(m,k,n)b]p，[(m,k)g,r]p因此平均利润为 ,,kk,,,k0kmn mm,n,1kp,mpG(m),qmg,r,(g，b)(m,k,n)p注意到，因此有。

数学建模航空公司的预订票策略书上作业：P317“取β=0.75，t=50,100,150，其他参数同上，计算结果表明，当t 增加时)(m J 和)(m P j 均有所减少”写出程序及结果。

模型求解求解()J m 的程序如下：n=300;lambda=0.6; p=0.05; bg=0.2; beta=0.75; t=50; nn=50;for m=n:n+nnj(m-n+1)=jm(m,n,lambda,p,bg,beta,t); end j'其中函数程序为:function y=jm(m,n,lambda,p,bg,beta,t) q=1-p;bb=0:m-n-1;pk=pdf('bino',bb,m-t,p); temp=sum((m-n-bb).*pk);y=(q*m-(q-beta)*t-(1+bg)*temp)/(lambda* (n-((1-beta)*t)))-1; 求解)(m P j 的程序如下：n=300; nn=50; p=0.1; j=10;for m=n:n+nnpp(m-n+1)=pj(m,n,j,p); end pp'其中函数程序为:function y=pj(m,n,j,p) bb=0:m-n-j-1; t=50;pk=pdf('bino',bb,m-t,p);y=sum(pk);取p=0.05，0.1；t=50,100,150；bg=0.2，0.4；j=5，10，得到计算结果。

（对照书本上可将计算结果制定成表格）实验结果：结果分析：参考书上例题，综合考虑经济效益和社会声誉，得出：()5P m ＜0.2，()10Pm ＜0.05， 则由表1、2可知，当n=300时，若估计p=0.05,取m=311;若估计p=0.1,取m=318.。

航空公司的预订票策略
在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务。

公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用。

当然也可以订票时只订座，登机时再付款，这两种办法对下面的讨论是等价的。

设飞机容量为n，若公司限制只预订n张机票，那么由于总会有一些订了机票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本。

如果不限制订票数量，则当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时，将会引起那些不能登机的乘客（以下称被挤掉者）的抱怨，导致公司声誉受损和一定的经济损失（如付给赔偿金）。

这样，综合考虑公司的经济利益和社会声誉，必然存在一个恰当的预订票数量的限额。

假设已经知道飞行费用（可设与乘客人数无关）、机票价格（一般飞机满员50%~60%时不亏本，由飞行费用可确定价格）、每位被挤掉者的赔偿金等数据，以及由统计资料估计的每位乘客不按时前来登机的概率（不妨认为乘客间是相互独立的），建立一个数学模型，综合考虑公司经济利益（飞行费用、赔偿金与机票收入等）和社会声誉（被挤掉者不要太多，被挤掉的概率不要太大等），确定最佳的预订票数量。

数学建模竞赛承诺书我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B我们的队号为：11参赛队员：1. 电子0903 徐路源2. 数学0901 王璐璐3. 数学0901 张乐孝指导教师或指导教师组负责人：数模组日期： 2010 年 8 月 10 日评阅编号（由评阅老师评阅前进行编号）：.数学建模竞赛编号专用页评阅编号：预测机票价格和预定数量限额最优问题摘要本文所要讨论的问题可以归结为一个趋势拟合和基于二项分布求最优决策的问题。

建立了两个模型：分别用来预测机票的未来价格和求机票的预定限额。

首先我们根据所给的2005年10月～2010年3月期间，每月经济舱机票平均价格(单位:元)数据，通过Matlab 软件用函数去拟合，所得函数即为机票预订价格的数学模型。

可表示为：f(x)=a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)+a2*exp(-((x-b2)/c2)^2)+a3*exp(-((x-b3)/c3)^2)+a4*exp(-((x-b4)/c4)^2) +a5*exp(-((x-b5)/c5)^2) + a6*exp(-((x-b6)/c6)^2)但在预测中发现，由模型所得参考价格不合实际。

单方面拟合出的模型并不具有实际价值。

之后我们采用趋势外推法中最小二乘法的周期波动模型来解题。

通过与实际价格的比较，发现其误差较小且置信度较高。

所以我们得到的机票预定价格的数学模型即为)122sin(*4632.0)122cos(*9938.0)122sin(0239.58)122cos(*9355.492690.73877.638~xx x x xx ytππππ-+-++=价格随时间呈周期性变化，每过一个周期价格略有上升。

主讲：薛震中北大学数学系全国大学生数学建模竞赛系列讲座随机因素影响必须考虑,随机模型随机性模型:随机因素可以忽略,或随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现.确定性模型:主要包括概率模型、统计回归模型和马氏链模型.1.概率模型:概率论的基本理论是建立随机性模型的基础,主要思路是在随机变量的概率分布已知或已经被估计出来的情况下,运用相关的定义和性质,计算某些事件的概率,或者得到有用的数字特征,按照研究对象的目的以及客观规律来建立模型.例如:报童的诀窍,随机存储策略等.2.统计回归模型:如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制,无法分析实际对象内在的因果关系,建立合乎机理规律的模型,那么通常要搜集大量的数据,通过对数据的统计分析,找出与数据拟合最好的回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型.例如:牙膏的销售量,基金或股票的投资等.3.马氏链模型:随机过程研究客观世界中随机演变过程的规律性.马氏链是时间、状态均为离散的马氏过程,其特点为:①系统在每个时期所处的状态是随机的;②从一时期到下时期的状态按一定概率转移;③时期状态只取决于本时期状态和转移概率.马氏过程是一种特殊的随机过程,建模中应用非常广泛.它在数学例如:健康与疾病,基因遗传等.p =0.9,m =323,max( / f )=0.45/S fmp =1,m =300,max( / f )=0.53p =0.95,m =311,max( / f )=0.493003103203300.350.450.55S S Sb /g =0.2,m =314,max( / f )=0.494b /g =0.5,m =312,max( / f )=0.490b /g =0.8,m =311,max( / f )=0.487/S f m 3000.410.503103203300.45S S S谢谢! NORTH UNIVERSITY OF CHINA大学。

书上作业：P317“取β=0.75，t=50,100,150，其他参数同上，计算结果表明，当t 增加时)(m J 和)(m P j 均有所减少”写出程序及结果。

模型求解求解()J m 的程序如下：n=300;lambda=0.6; p=0.05; bg=0.2; beta=0.75; t=50; nn=50;for m=n:n+nnj(m-n+1)=jm(m,n,lambda,p,bg,beta,t); end j'其中函数程序为:function y=jm(m,n,lambda,p,bg,beta,t) q=1-p;bb=0:m-n-1;pk=pdf('bino',bb,m-t,p); temp=sum((m-n-bb).*pk);y=(q*m-(q-beta)*t-(1+bg)*temp)/(lambda* (n-((1-beta)*t)))-1; 求解)(m P j 的程序如下：n=300; nn=50; p=0.1; j=10;for m=n:n+nnpp(m-n+1)=pj(m,n,j,p); end pp'其中函数程序为: function y=pj(m,n,j,p) bb=0:m-n-j-1; t=50;pk=pdf('bino',bb,m-t,p); y=sum(pk);取p=0.05，0.1；t=50,100,150；bg=0.2，0.4；j=5，10，得到计算结果。

（对照书本上可将计算结果制定成表格）实验结果：表1 p=0,05时的计算结果表2 p=0.1时的计算结果结果分析：参考书上例题，综合考虑经济效益和社会声誉，得出：()5P m ＜0.2，()10Pm ＜0.05， 则由表1、2可知，当n=300时，若估计p=0.05,取m=311;若估计p=0.1,取m=318.。

航空公司的预订票策略(数学建模)航空公司的预订票策略一、模型假设：1、飞行容量为常数n ，机票价格为常数g ，飞行费用为常数r ，r 与乘客数量无关，机票价格按照/g r n λ=来制定，其中(1)λ<是利润调节因子。

2、预订票数量的限额为常数m （>n ）,每位乘客不按时来登机的概率为p ，各位乘客是否按时前来登机是相互独立的。

3、每位乘客被挤掉者获得的赔偿金为常数b 。

二、模型建立：当m 位乘客中有k 位不按时前来登机时，每次航班的利润s 为：()(),,m k g r m k n s ng r m k n b m k n ---≤⎧⎪=⎨----->⎪⎩（1） 不按时前来登机的乘客数k 服从二项分布，其概率为：(),1k k m k k m p p K k C p q q p -====- （2）平均利润S(即s 的期望)为：[][][]()110()()()m n m k k k k m n m n k k S ng r m k n b pm k g r p qmg r g b m k n p --==---=----+--=--+--∑∑∑（m)= （3）被挤掉的乘客数超过j 人的概率为： 10()m n j j k k p m p ---==∑ （4）三、模型求解：为了减少S（m)中的参数，取S （m)除以飞行费用r 为新的目标函数J （m)，其含义是单位费用获得的平均利润： 101(1)()1m n k k S b J qm m k n p r n g λ--=⎡⎤=-+---⎢⎥⎣⎦∑（m)（m)= （5） 约束条件为：10()m n j j k k p m p α---==≤∑ （6）四、程序及结果：程序：lambda=0.6;n=300;p=0.05;bg=0.2;M=300:2:330;J=zeros(length(M),1);p5=zeros(length(M),1);p10=zeros(length(M),1);for i=1:length(M)m=M(i);k=0:m-n-1;J(i)=1/lambda/n*((1-p)*m-(1+bg)*(sum((m-k-n).*binopdf(k,m,p))))-1;k=0:m-n-5-1;p5=sum(binopdf(k,m,p));k=0:m-n-10-1;p10=sum(binopdf(k,m,p));end运行结果：感谢您使用本店文档您的满意是我们的永恒的追求！（本句可删）------------------------------------------------------------------------------------------------------------。

《数学建模》航空公司的预订票策略摘要1、研究目的：本文研究针对预订票业务，既考虑航空公司的利润最大化，又尽可能减少乘客订票而飞机满员无法登机的抱怨，从而赢得社会美誉的问题。

2、建立模型思路：首先，本文通过对航空公司预订票问题，综合考虑公司经济利益（飞行费用、赔偿金与机票收入等）和社会声誉（被挤掉者不要太多、被挤掉的概率不要太大等）确定最佳的预订票数量的问题，进行了充分的分析和思考后，得出如下建模思路：针对第一问对上述飞机容量、费用、迟到概率等参数给出一些具体数据，按你的模型计算，对结果进行分析的问题，本文建立模型：已知当n很大（>500），p很小（<0.05）时，以n，p作为参数的二项分布可以用泊松分布来逼近。

在第一个条件的模型中，本文对飞机容量、费用、迟到概率等问题进行简化，利用非线性规划知识建立了非线性规划模型在第二个条件的模型中，本文对增设某类旅客（学生、旅游者）的减价票，迟到则机票作废的问题进行简化，利用非线性规划知识建立了非线性规划模型3、求解思路，使用的方法、程序针对模型的求解，本文使用非线性规划方法，计算航空公司的平均利润S（m）和被挤掉的乘客数超过j人的概率Pj(m)之间的平衡关系结果，并用LINGO软件工具求解出最优计划问题，进一步求解出最优结果。

4、建模特点（模型优点，建模思想或方法，算法特点，结果检验，灵敏度分析，模型检验等）模型优点：有统一的算法，为最优设计提供了有力的工具。

建模思想：规划问题就是最优解问题，基本思路是尽可能的通过各种方式构建最优化目标，分析这些模型中有没有好解的。

算法特点：运用二次规划5、在模型的检验模型中，本文分别讨论了以上模型的精度和稳定性6、最后，本文通过改变，得出非线性规划模型。

关键词：二项分布、约束条件、泊松分布、最大利润一、问题重述1、问题背景：在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务。

公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用。

航空公司的预订票策略
1. 动态定价：航空公司根据旅客需求和航班的空余座位数量，对票价进行动态调整。

比如，在需求高峰期，航空公司可以提高票价，而在需求较低期，可以降低票价以吸引更多乘客。

2. 预售折扣：航空公司会提供一些早鸟优惠，即在出发日期前提前几个月或几周购买机票的旅客，可以享受较大的折扣。

3. 打包销售：航空公司会将机票和酒店、租车等旅游产品打包销售，旅客购买套餐会获得更多的折扣。

4. 联盟优惠：航空公司间会建立联盟合作，旅客通过某个航空公司购买机票时，可以享受其他联盟合作的航空公司的优惠。

5. 超前订票：一些特殊的节假日和旅游旺季，航空公司会提前开放票务预订，而且会设置一些优惠政策以吸引早订票的旅客。

6. 购票返利：一些航空公司会开设积分计划，旅客购买机票时获得一定积分，可以兑换航空公司内部服务或是其他旅游产品。

大作业《二》航空公司的预订票策略摘要针对航空公司预订票问题，本文研究航空公司不能完全预料乘客在订票后能否登机，问题，为了追求最大利润，往往预订给乘客某次航班的票数要适当多余该航班所能容纳的乘客数，这样就导致一些乘客可能被挤掉而无法搭乘这个预订航班，另一方面，为了争取更多的客源、提高客乘率，航空公司在提高服务质量的同时，对被挤掉的乘客进行经济补偿以减少由此造成的不利影响。

影响航空公司受益的主要因素有航班的客座率、飞机飞行费用、公司对被挤掉订票乘客的赔偿费用、公司信誉、飞机场安全管理费用等。

关键字：预订票收益管理公司信誉一、问题重述1.1 基本情况：如今的航空公司都面临着订座决策，我们总结了其面临的风险：超售风险，以航班客座容量为临界点，如果决策结果多于航班容量，造成有些旅客被拒绝登机，从而带来超售风险，合理的超售可以减少空位损失。

对于被挤掉的乘客航空公司应给与合理的经济补偿减少不利影响提高公司信誉。

所以确定合理的数额是十分必要的。

1.2需要解决的问题：问题：考虑经济利益，又考虑社会声誉问题，去确定该航班的预订票数量以及被挤掉的乘客的经济补偿。

二、问题分析2.2 问题二的分析从长远利益来看，由于航空公司订票业务的开展，需要在二者辨证关系中，找到一个最佳订票数额点。

公司的经济利益可以用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量，声誉可以用按时前来登记但被挤下飞机的乘客限制在一定数量为标准。

由于我们假定预订票的乘客是否前来登机是随机的，因此我们要讨论利润和声誉的平均期望值。

三、模型假设1、预订机票的乘客出现与否是相互独立的。

2、预定票数量都大于实际座位数。

3、飞行费用不变。

4、以低价得到机票的乘客若错过本次航班则机票作废。

5、每位被挤掉者获得的赔偿金为常数。

四、符号说明m ：预订票数量的限额n ：飞机容量g ：机票价格r ：飞行费用λ：利润调节因子s ：每次航班的利润S ：平均利润b ：被挤掉者获得的赔偿金（为常数）p ：每位乘客不按时前来登机的概率q ： 每位乘客出现的概率五、名词解释二项分布：未到乘客人数X 服从参数为m 、p 二项分布，即 p k =P （X=k ）=C m k p k q m-k，k=1,2,3…m 六、模型的建立与求解由于超定额情况的存在，到达机场的已订票的乘客存在被挤掉的可能性。