《导学教程》高三数学二轮复习教案 专题六 第2讲 概率、随机变量及其分布列

随机变量及其分布教案本教案以"随机变量及其分布"为主题，旨在帮助初学者理解随机变量的概念、特征和分布。

本文将介绍随机变量的基本概念、离散与连续随机变量的特征以及常见的概率分布模型。

通过教师引导和学生参与，帮助学生掌握随机变量及其分布的概念和基本性质。

一、引入随机变量是概率论中的重要概念，它可以看作是试验结果的函数。

为了更好地理解随机变量，我们可以先从试验和事件的概念入手。

试验是指具有不确定性的过程或现象，而事件是试验的某一结果或一组结果组成的集合。

随机变量则是将试验结果映射到数轴上的变量。

二、随机变量的定义随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量。

离散随机变量是取有限个或可列个数值的随机变量，例如掷一个骰子的结果。

连续随机变量则是可以取连续数值的随机变量，例如人们身高的测量值。

三、离散随机变量的特征离散随机变量有其特征，主要包括概率质量函数、期望和方差等。

概率质量函数描述了随机变量在各个取值上的概率分布情况，期望则是对随机变量取值的加权平均值，方差则衡量了随机变量取值的分散程度。

四、连续随机变量的特征连续随机变量的特征与离散随机变量类似，不同之处在于连续随机变量使用概率密度函数来描述其概率分布情况。

期望和方差的计算方法也有所不同。

五、常见的概率分布模型在概率论和统计学中，有许多常见的概率分布模型可以用来描述随机变量的分布情况。

例如，离散型随机变量的概率分布模型有伯努利分布、二项分布和泊松分布等；连续型随机变量的概率分布模型有均匀分布、正态分布和指数分布等。

本教案将对其中部分常用的概率分布进行简要介绍，并通过实例演示如何应用这些分布模型进行概率计算。

六、总结与延伸通过本节课的学习，我们了解到随机变量及其分布的基本概念和特征，以及常见的概率分布模型。

随机变量在概率论和统计学中具有广泛的应用，对于我们理解和解决实际问题有着重要的作用。

在以后的学习中，我们将进一步深入研究随机变量及其分布的性质和应用，为进一步理解概率论和统计学打下坚实基础。

课题概率、随机变量及其分布列课时共 3课时本节第1 课时选用教材专题七知识模块概率与统计课型复习教学目标熟练掌握概率、随机变量及其分布列重点熟练掌握概率、随机变量及其分布列难点熟练掌握概率、随机变量及其分布列关键熟练掌握概率、随机变量及其分布列教学方法及课前准备多媒体辅助教学学生自主探究讲练结合教学流程多媒体辅助教学内容网络构建考点溯源[思考1] 若事件A、B是相互独立事件，则P(B|A)＝P(B)．正确吗？提示：正确．[思考2] 若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x n P p1p2…p i…p n 试写出计算X的数学期望E(X)，方差D(X)的公式．复习知识点，用多媒体展示，带领学生对相关知识进行回忆与记忆又事件发生的概率P ＝P 1P 3CD ＝12，则P 1P 3＝12CD ， 根据对称性知，DP 1＝14CD ，P 1C ＝34CD ＝34AB ，此时AB ＝BP 1，则AB 2＝AD 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34AB 2，∴AD 2＝716AB 2，则AD AB ＝74.答案 D[探究提升] (1)本题求解的关键：①点P 1、P 3位置的探求．②等量关系AB ＝BP 1的确定．(2)几何概型中的基本事件是无限的，但其构成的区域却是有限的，因此可用“比例法”求概率．在利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的确定．【变式训练1】 (2013·某某高考)盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个小球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________(结果用最简分数表示)． 解析 从9个小球中，任取两个，有n ＝C 29＝36种方法，设A 表示“两球编号之积为偶数”，则A 表示“取出两球编号之积为奇数”． 由P (A )＝C 2536＝518，得P (A )＝1－P (A )＝1318.答案1318考向二 互斥事件与相互独立事件的概率互斥事件、相互独立事件的概率在求随机变量的分布列时往往起工具性作用，试题素材贴近生活，考查阅读理解能力及对概率知识的应用能力．【例2】 某居民小区有两个相互独立的安全防X 系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意∵事件A 与B 相互独立，A 与B 相互独立．则A ·B 表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”． ∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝23×25＝415，(2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”， 则P (C )＝C 24C 35＝35，依题意，A 、B 、C 相互独立，A ，B ，C 相互独立，且AB C ，A B C ，A BC ，ABC 彼此互斥． 又P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC ) ＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875，∴P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3375＋1875＝1725.课堂同步练习：1．(2013·新课标全国Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )． A.12B.13 C.14D.16解析 从4个数字中任取2个不同数字，有C 24＝6种取法．构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2.所以，所求概率P ＝26＝13.答案 B2．(2013·某某高考) 如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信 基站，假设其信号的覆盖X 围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )．考点探究突破典型例题讲解，先让学生自己思考，老师再给出思路，最后用多媒体展示解答A ．1－π4B.π2－1C ．2－π2D.π4解析 无信号的区域面积S ＝2×1－2×14π·12＝2－π2，∴由几何概型，所求事件概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2÷2＝1－π4. 答案 A过程，要求学生自己做题时要规X 。

高二年级数学（选修2-3）导学案
例4 某地数学考试的成绩X 服从正态分布，某密度函数曲线如右图所示，成绩X 位于区间(52,68]的概率为多少？
解 设成绩X ～N (μ，σ2)， 则正态分布的密度函数
()22
()21e
,2πx x μσμσϕσ
--⋅，＝由图可知，μ＝60，σ＝8.
∴P (52<X ≤68)＝P (60－8<x ≤60＋8)＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6. 跟踪演练4 已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如图所示．
(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；
(2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数百分比． 解 设农民工年均收入ξ～N (μ，σ2)， 结合图象可知μ＝8 000，σ＝500.
(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式为
()22
()21
e 2πx P x μσσ
--
＝
22
(8000)25001
e
,5002π
x --
⨯=
x ∈(－∞，＋∞)．
(2)∵P (7 500＜ξ≤8 500)＝P (8 000－500＜ξ≤8 000＋500)＝0.682 6. ∴P (8 000＜ξ≤8 500)＝1
2
P (7 500＜ξ≤8 500)＝0.341 3.
即农民工年均收入在8 000～8 500之间的人数占总体的34.13%. 作业布置：
教学反思。

第6讲 随机变量及其分布题型1 相互独立事件的概率与条件概率(对应学生用书第18页)■核心知识储备………………………………………………………………………· 1．条件概率在A 发生的条件下B 发生的概率为P (B |A )＝P AB P A ＝n ABn A.2．相互独立事件同时发生的概率P (AB )＝P (A )P (B )．3．独立重复试验的概率如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k·(1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n .■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题1】 (考查条件概率)如图6­1，△ABC 和△DEF 是同一个圆的内接正三角形，且BC ∥EF .将一颗豆子随机地扔到该圆内，用M 表示事件“豆子落在△ABC 内”，N 表示事件“豆子落在△DEF 内”，则P (N |M )＝( )图6­1A.334π B.32π C.13 D.23[解析] 如图，作三条辅助线，根据已知条件得这些小三角形都全等，△ABC 包含9个小三角形，满足事件N M 的有3个小三角形，所以P (N |M )＝nN M n M＝39＝13，故选C. [答案] C【典题2】 (考查相互独立事件的概率)(2017·福州五校联考)为了检验某大型乒乓球赛男子单打参赛队员的训练成果，某校乒乓球队举行了热身赛，热身赛采取7局4胜制(即一场比赛先胜4局者为胜)的规则．在队员甲与乙的比赛中，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在5局以内(含5局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和数学期望.【导学号：07804040】[解] (1)由题意得，甲在5局以内(含5局)赢得比赛的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫234×13＝112243. (2)由题意知，X 的所有可能取值为4,5,6,7，且P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1781，P (X ＝5)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫234×13＋C 14×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝72243＝827， P (X ＝6)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫234×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝200729， P (X ＝7)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫234×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝160729. 所以X 的分布列为E (X )＝4×81＋5×27＋6×729＋7×729＝729. [类题通法]1.解决条件概率的关键是明确“既定条件”.2.求相互独立事件和独立重复试验的概率的方法直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解.间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解.对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解.■对点即时训练………………………………………………………………………·1．某同学用计算器产生了两个[0,1]之间的均匀随机数，分别记作x ，y .当y <x 2时，x >12的概率是( ) A.724 B ．12 C.712D ．78D [记“y <x 2”为事件A ，“x >12”为事件B ，所以(x ，y )构成的区域如图所示，所以S 1＝＝124，S 2＝⎠⎛01x 2d x－S 1＝，则所求概率为＝S 2S 1＋S 2＝724124＋724＝78，故选D.]2．如图6­2，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为()图6­2A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576B [法一：(直接法)由题意知K ，A 1，A 2正常工作的概率分别为P (K )＝0.9，P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.8，因为K ，A 1，A 2相互独立，所以A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96.所以系统正常工作的概率为P (K )[P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)]＝0.9×0.96＝0.864.法二：(间接法)A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P(A1A2)＝1－(1－0.8)(1－0.8)＝0.96，故系统正常工作的概率为P(K)[1－P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.]■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T1、T3、T4、T6、T12)题型2 离散型随机变量的分布列、期望和方差的应用(答题模板)(对应学生用书第19页)离散型随机变量的分布列问题是高考的热点，常以实际生活为背景，涉及事件的相互独立性、互斥事件的概率等，综合性强，难度中等．(2017·全国Ⅱ卷T13、2017·全国Ⅲ卷T18、2016·全国Ⅰ卷T19、2016·全国Ⅱ卷T18、2013·全国Ⅰ卷T19、2013·全国Ⅱ卷T19)■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题】(本小题满分12分)(2016·全国Ⅰ卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．在三年使用期内更换的易损零件数，得下面如图6­3所示的柱状图：②图6­3以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，③n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P X≤n，④确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？【导学号：07804041】[审题指导][零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2. 1分由题意可知X的所有可能取值为16，17，18，19，20，21，22.⑤从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04. 4分所以X的分布列为(2)由(1)知P X＝0.44，P X＝0.68，⑥故n的最小值为19. 7分(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，⑦E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040；9分当n＝20时，⑧E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.11分可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.12分[阅卷者说]解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：明确随机变量可能取哪些值.结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值.根据分布列和期望、方差公式求解.提醒：明确离散型随机变量的取值及事件间的相互关系是求解此类问题的关键.■对点即时训练………………………………………………………………………·(2016·湖南益阳4月调研)某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测．检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂．现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：(1)试分别估计甲，乙两种产品下生产线时为合格品的概率；(2)生产一件甲种产品，若是合格品，可盈利100元，若是不合格品，则亏损20元；生产一件乙种产品，若是合格品，可盈利90元，若是不合格品，则亏损15元．在(1)的前提下：①记X 为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；②求生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元的概率． [解] (1)甲种产品为合格品的概率约为4560＝34 ，乙种产品为合格品的概率约为4060＝23.(2)①随机变量X 的所有可能取值为190,85,70，－35， 且P (X ＝190)＝34×23＝12，P (X ＝85)＝34×13＝14， P (X ＝70)＝14×23＝16， P (X ＝－35)＝14×13＝112.所以随机变量X 的分布列为所以E (X )＝2＋4＋6－12＝125.②设生产的5件乙种产品中合格品有n 件，则不合格品有(5－n )件， 依题意得，90n －15(5－n )≥300，解得n ≥257，又因为0≤n ≤5，且n 为整数，所以n ＝4或n ＝5，设“生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元”为事件A ，则P (A )＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝112243. ■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 2、T 7、T 8、T 11、T 13)题型3 正态分布问题 (对应学生用书第21页)■核心知识储备………………………………………………………………………·正态分布的性质(1)正态曲线与x 轴之间面积为1.(2)正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相同． (3)P (X ≤a )＝1－P (X ≥a )，P (X ≤μ－a )＝P (X ≥μ＋a )． (4)求概率时充分利用3σ原则．■典题试解寻法………………………………………………………………………· 【典题】 (2017·全国Ⅰ卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： x i －＝116∑16i ＝1x 2i －16x 2)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).【导学号：07804042】附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z ＜μ＋3σ)＝0.997 4,0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.[思路分析] (1)先由对立事件的概率公式求出P (X ≥1)的值，再利用数学期望的公式求解．(2)利用独立性检验的思想判断监控生产过程方法的合理性；确定μ^－3σ^，μ^＋3σ^的取值，以剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，再用剩下的数据估计μ和σ. [解] (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16,0.002 6)． 因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.X 的数学期望E (X )＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.∑16i ＝1x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008， 因此σ的估计值为0.008≈0.09. [类题通法]由于正态分布与频率分布直方图有极大的相似性，故最近五年比较受命题人青睐. 解决正态分布问题有三个关键点：对称轴x ＝μ；标准差σ；分布区间.利用对称性求指定范围内的概率值；由μ，σ分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.■对点即时训练………………………………………………………………………·1．设X ～N (1，σ2) ，其正态分布密度曲线如图6­4所示，且P (X ≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )图6­4(附：随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝95.44%) A ．6 038 B ．6 587 C ．7 028D ．7 539B [由题意得，P (X ≤－1)＝P (X ≥3)＝0.022 8，∴P (－1<X <3)＝1－0.022 8×2＝0.954 4，∴1－2σ＝－1，σ＝1，∴P (0≤X ≤1)＝12P (0≤X ≤2)＝0.341 3，故估计的个数为10 000×(1－0.341 3)＝6 587，故选B.] 2．从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如6­5的频率分布直方图．图6­5(1)求这100份数学试卷的样本平均分x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．(2)由直方图可以认为，这批学生的数学总分Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2. ①利用该正态分布，求P (81＜Z ＜119)；②记X 表示2400名学生的数学总分位于区间(81,119)的人数，利用①的结果，求E(X)(用样本的分布区估计总体的分布).【导学号：07804043】附：366≈19，326≈18，若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.9544.[解](1)x＝60×0.02＋70×0.08＋80×0.14＋90×0.15＋100×0.24＋110×0.15＋120×0.1＋130×0.08＋140×0.04＝100.s2＝(60－100)2×0.02＋(70－100)2×0.08＋(80－100)2×0.14＋(90－100)2×0.15＋(110－100)2×0.15＋(120－100)2×0.1＋(130－100)2×0.08＋(140－100)2×0.04＝366.(2)①由题意可知Z～N(100,366)．又σ＝366≈19，故P(81＜Z＜119)＝P(100－19＜Z＜100＋19)＝0.6826.②由①可知一名学生总分落在(81,119)的概率为0.6826.因为X～B(2400,0.6826)，所以E(X)＝2400×0.6826＝1638.24.■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T5、T9、T10、T14)三年真题| 验收复习效果(对应学生用书第22页)1．(2015·全国Ⅰ卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312A[3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.]2．(2017·全国Ⅱ卷)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX＝________.1.96 [由题意得X～B(100,0.02)，∴DX＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.]3．(2016·全国Ⅱ卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． [解] (1)设A 表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P (A )＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.(2)设B 表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P (B )＝0.1＋0.05＝0.15.又P (AB )＝P (B )，故P (B |A )＝P AB P A ＝P B P A ＝0.150.55＝311. 因此所求概率为311. (3)记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为＋2a ×0.05＝1.23a .因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.4．(2017·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【导学号：07804044】[解] (1)由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P (X ＝200)＝2＋1690＝0.2，P (X ＝300)＝3690＝0.4， P (X ＝500)＝25＋7＋490＝0.4. 因此X 的分布列为(2)200≤n ≤500.当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(n －300)－4n ＝1 200－2n ； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n .因此EY ＝2n ×0.4＋(1 200－2n )×0.4＋(800－2n )×0.2＝640－0.4n .当200≤n <300时，若最高气温不低于20，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n ，因此EY ＝2n ×(0.4＋0.4)＋(800－2n )×0.2＝160＋1.2n .所以n ＝300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．。