高考数学二轮专题概率、随机变量及其分布列训练试题

制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日

制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日 卢氏一中2021届高考数学二轮?概率、随机变量及其分布列?专题训练

制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日

一、选择题

1．(2021·高考)甲乙两人一起去游“2021世园会〞，他们约定，各自HY地从1到6号景点中任选4个进展游览，每个景点参观1小时，那么最后一小时他们同在一个景点的概率是( )

A.136 B.19

C.536 D.16

解析：假设用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人选择结果为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，一共36种；其中满足题意的“同一景点相遇〞包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，一共6个根本领件，所以所求的概率值为16.

答案：D

2．(2021·高考)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．K、A1、A2正常工作的概率依次为、、，那么系统正常工作的概率为( )

A．0.960 B．

C．0.720 D． 制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日

制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日 解析：可知K、A1、A2三类元件正常工作互相HY．所以当A1，A2至少有一个能正常工作的概率为P＝1－(1－0.8)2＝，所以系统能正常工作的概率为PK·P＝×＝0.864.

答案：B

3．(2021·高考)甲、乙两队进展排球决赛，如今的情形是甲队只要再赢一局就获冠HY，乙队需要再赢两局才能得冠HY．假设两队胜每局的概率一样，那么甲队获得冠HY的概率为

( )

A.34 B.23

C.35 D.12

解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝12×12＝14.故甲队获得冠HY的概率为P1＋P2＝34.

答案：A

4．随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，那么P(X>4)＝( )

A．0.158 8 B．0.158 7

C．0.158 6 D．0.158 5

解析：P (X>4)＝12[1－P (2≤X≤4)]

＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7.

答案：B

5．(2021·模拟)如图，圆O：x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影局部)，随机往圆O内投一个点A，那么点A落在区域M内的概率是( ) 制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日

制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日 A.4π2

B.4π3

C.2π2 D.2π3

解析：依题意得，区域M的面积等于2∫π0sinxdx＝－2cosx|π0＝4，圆O的面积等于π×π2＝π3，因此点A落在区域M内的概率是4π3.

答案：B

6．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，假设P(ξ≥1)＝59，那么P(η≥2)的值是( )

A.3281 B.1127

C.6581 D.1681

解析：由P(ξ≥1)＝59，得C12p(1－p)＋C22p2＝59，即9p2－18p＋5＝0，解得p＝13或者p＝53(舍去)，∴P(η≥2)＝C24p2(1－p)2＋C34p3(1－p)＋C44p4＝6×(13)2×(23)2＋4×(13)3×23＋(13)4＝1127.

答案：B

二、填空题

7.(2021·高考)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内〞，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影局部)内〞，那么

(1)P(A)＝______；(2)P(B|A)＝______.

解析：圆的面积是π，正方形的面积是2，扇形的面积是π4，根据几何概型的概率计算公制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日

制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日 式得P(A)＝2π，根据条件概率的公式得P(B|A)＝PABPA＝12π2π＝14.

答案：2π 14

8．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：

ξ 7 8 9 10

P x y

ξ的期望E(ξ)＝，那么y的值是________．

解析：依题意得 x＋＋＋y＝1，7x＋＋＋10y＝8.9.即



x＋y＝，7x＋10y＝，由此解得y＝0.4.

答案：

9．某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)服从正态分布N(100,102)，P(90≤ξ≤100)＝，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．

解析：由题意知，P(ξ＞110)＝1－2P90≤ξ≤1002＝，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为×50＝10.

答案：10

三、解答题

10．(2021·全国高考)根据以往统计资料，某地车主购置甲种保险的概率为，购置乙种保险但不购置甲种保险的概率为，设各车主购置保险互相HY． 制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日

制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日 (1)求该地1位车主至少购置甲、乙两种保险中的1种的概率；

(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购置的车主数．求X的期望．

解：记A表示事件：该地的1位车主购置甲种保险；

B表示事件：该地的1位车主购置乙种保险但不购置甲种保险；

C表示事件：该地的1位车主至少购置甲、乙两种保险中的1种；

D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购置．

(1)P(A)＝，P(B)＝，C＝A＋B，

P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.

(2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－＝，

X～B(100,0.2)，即X服从二项分布，

所以期望E(X)＝100×＝20.

11．(2021·西城区模拟)甲、乙、丙三人HY破译同一份密码，甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为12，13，p，且他们是否破译出密码互不影响．假设三人中只有甲破译出密码的概率为14.

(1)求甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率；

(2)求p的值；

(3)设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X，求X的分布列和数学期望 E(X)．

解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码〞分别为事件A1，A2，A3，依题意有P(A1)＝12，P(A2)＝13，P(A3)＝p，且A1，A2，A3互相HY． 制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日

制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日 (1)甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为

1－P(A1·A2)＝1－12×23＝23.

(2)设“三人中只有甲破译出密码〞为事件B，那么有

P(B)＝P(A1·A2·A3)＝12×23×(1－p)＝1－p3，

所以1－p3＝14，p＝14.

(3)X的所有可能取值为0,1,2,3.

P(X＝0)＝P(A1·A2·A3)＝14，

P(X＝1)＝P(A1·A2·A3)＋P(A1·A2·A3)＋P(A1·A2·A3)＝14＋12×13×34＋12×23×14＝1124，

P(X＝2)＝P(A1·A2·A3)＋P(A1·A2·A3)＋P(A1·A2·A3)＝12×13×34＋12×23×14＋12×13×14＝14，

P(X＝3)＝P(A1·A2·A3)＝12×13×14＝124.

所以X的分布列为：

X 0 1 2 3

P 14 1124 14 124

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制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日 所以，E(X)＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.

12．(2021·模拟)2021年3月，HY发生了级地震，地震引发了海啸及核泄漏．某国际组织方案派出12名心理专家和18名核专家赴HY工作，临行前对这30名专家进展了总分为1000分的综合素质测评，测评成绩用茎叶图进展了记录，如图(单位：分)．规定测评成绩在976分以上(包括976分)为“尖端专家〞，测评成绩在976分以下为“高级专家〞，且只有核专家中的“尖端专家〞才可以HY开展工作．这些专家先飞抵HY的城E，再分乘三辆汽车到达工作地点福岛县．从城E到福岛县有三条公路，因地震破坏了道路，汽车可能受阻．据理解：汽车走公路Ⅰ或者Ⅱ顺利到达的概率都为910；走公路Ⅲ顺利到达的概率为25，甲、乙、丙三辆车分别走公路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，且三辆汽车是否顺利到达互相之间没有影响．

心理专家 核专家

9 9 8 96 0 1 1 2 4 5 8 9

8 4 0 97 2 3 3 4 4 4 4

7 4 2 1 98 1

6 1 99 0 6

(1)假如用分层抽样的方法从“尖端专家〞和“高级专家〞中选取6人，再从这6人中选2人，那么至少有一人是“尖端专家〞的概率是多少？

(2)求至少有两辆汽车顺利到达福岛县的概率；

(3)假设从所有“尖端专家〞中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能HY开展工作的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

解：(1)根据茎叶图，有“尖端专家〞10人，“高级专家〞20人，

每个人被抽中的概率是630＝15， 制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日

制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日 所以用分层抽样的方法，选出的“尖端专家〞有10×15＝2人，

“高级专家〞有20×15＝4人．

用事件A表示“至少有一名‘尖端专家’被选中〞，那么它的对立事件A表示 “没有一名‘尖端专家’被选中〞，

那么P(A)＝1－C24C26＝1－615＝35.

因此，至少有一人是“尖端专家〞的概率是35.

(2)记“汽车甲走公路Ⅰ顺利到达〞为事件A，“汽车乙走公路Ⅱ顺利到达〞为事件B，“汽车丙走公路Ⅲ顺利到达〞为事件C.

那么至少有两辆汽车顺利到达福岛县的概率

P＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)

＝910×910×35＋910×110×25＋110×910×25＋910×910×25＝441500.

(3)由茎叶图知，心理专家中的“尖端专家〞为7人，核专家中的“尖端专家〞为3人，

依题意，ξ的取值为0,1,2,3.

P(ξ＝0)＝C37C310＝724，P(ξ＝1)＝C13C27C310＝2140，P(ξ＝2)＝C23C17C310＝740，P(ξ＝3)＝C33C310＝1120.

因此ξ的分布列如下：

ξ 0 1 2 3