2.2.1 对数的运算性质(2)

2.2.1对数的运算性质导学案课前预习学案一、预习目标初步了解对数的运算性质，知道推导这些法则的依据和过程； 二、预习内容1．对数的定义 b N a =log 其中 a ∈),1()1,0(+∞ 与 N ∈,0(+∞2．指数式与对数式的互化3.重要公式：⑴负数与零没有对数；⑵=1log a ，=a a log⑶对数恒等式=Na alog 3．指数运算法则 )_______()(),______()(),_____(R n ab R n m a R n m a a n nm n m ∈=∈=∈=⋅ 三、提出疑惑课内探究学案一、 学习目标1．掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程； 2．能较熟练地运用法则解决问题； 学习重点、对数运算性质学习难点：对数运算性质的证明方法.二、 学习过程 （一）合作探究探究一：积、商、幂的对数运算法则：如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log NM log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+=解析：利用对数的性质与对数式与指数式的关系证明． 点评：知道公式的推倒过程有利于学生掌握公式．例1 计算（1）5log 25， （2）4.0log 1， （3）2log （74×52）， （4）lg 5100 解析：用对数的运算性质进行计算．解：变式：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg6、.点评：本题主要考察了对数性质的应用，有助于学生掌握性质．例2 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：32log )2(;(1)log zyx zxyaa解析：利用对数的性质化简． 解：点评：熟悉对数的运算性质．变式练习：计算： (1)lg14-2lg 37+lg7-lg18 (2)9lg 243lg (3)2.1lg 10lg 38lg 27lg -+探究二：根据对数的定义推导换底公式log log log c a c bb a=（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）．※ 动手试试练1. 设lg 2a =,lg3b =，试用a 、b 表示5log 12.练2. 运用换底公式推导下列结论.（1）log log m n a a nb b m =；（2）1log log a b b a =.（二）反思总结 ※ 知识拓展在给定区间内，若函数()f x 的图象向上凸出，则函数()f x 在该区间上为凸函数，结合图象易得到1212()()()22x x f x f x f ++≥； 在给定区间内，若函数()f x 的图象向下凹进，则函数()f x 在该区间上为凹函数，结合图象易得到1212()()()2x x f x f x f ++≤.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差（三）当堂检测 1.求下列各式的值：（１）2log ６－2log ３ （２）lg ５＋lg ２2. 用lg ｘ，lg ｙ，lg ｚ表示下列各式：(1) lg （xyz ）； （２）lg zxy 2；课后练习与提高1．若3a=2,则log 38-2log 36用a 的代数式可表示为（ ）（A ）a-2 （B ）3a-(1+a)2 （C ）5a-2 （D ）3a-a 2２、已知lga ，lgb 是方程2x 2－4x ＋1 = 0的两个根，则(lg ba )2的值是( )． (A)．4 (B)．3 (C)．2 (D)．1 ３、下列各式中正确的个数是 ( )．① ② ③（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 ４．已知，，那么______．５、若lg2 = a ，lg3 = b ，则lg 54=_____________． ６. 用lg ｘ，lg ｙ，lg ｚ表示下列各式： （１）zxy 3lg ； （２）zy x 2lg7. 设a 、b 、c 为正数，且346a b c ==，求证： 1112c a b -=.8. 化简：（1）222lg5lg8lg5lg20(lg2)3+++；（2）()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5.9. 若()()lg lg 2lg2lg lg x y x y x y -++=++，求xy的值．。

§2.2.1 对数的运算性质及换底公式三维目的：（1）理解对数的运算性质；（2）会用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。

教学重点：对数的运算性质； 难点：对数的运算性质和换底公式的熟练运用． 一、【复习回顾】、（预习教材P 64~ P 68，找出疑惑之处） 1、对数的定义：2．指数运算法则：)_______()(),______()(),_____(R n ab R n m a R n m a a n n m n m ∈=∈=∈=⋅ )()(),()(),(R n b a ab R n m a a R n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+3．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m －n＝__________.解：43 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3.∴a 2m －n＝a 2m a n ＝(a m )2a n ＝223＝43.二、【讲授新课】：1、对数的运算性质：(a>0，a≠1，M>0，N>0) （1）log a (MN)＝log a M ＋log a N ，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．（2）log a MN＝log a M －log a N ，即两个正数的商的对数，等于同一底数被除数的对数减去除数的对数．（3）log a M n＝n·log a M ，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数． 证明：①设a log M=p, a log N=q 由对数的定义可以得：M=p a ，N=q a∴MN= p a q a =qp a+ ∴a log MN=p+q ，∴ a log MN=a log M + a log②设a log M=p ，a log 由对数的定义可以得M=p a ，N=q a∴q p q pa aa N M -== ∴q p N M a -=log ∴N M N M a a a log log log -= ③设a l o g M=P 由对数定义可以得M=p a ,∴n M ＝np a ∴alog n M =np ，∴ a log n M =n a log M说明：1、上述证明是运用转化的思想，先将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式 2、对数的运算性质中必须注意适用条件：M>0，N>0，3、防止出现以下错误：log a (M±N)＝log a M±log a N ，log a (M·N)＝log a M·log a N ，log a M N ＝log a M log a N，log a M n ＝(log a M)n .4、 运算性质的正用和逆用：（1）对于同底的对数的化简常用方法是：(a )“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (b )“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．（2）对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题．（3）对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．（4）利用对数的运算性质,可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算,降级运算，加快计算速度.（5）对数的运算性质主要用于化简与求值,它只适用于同底的对数的化简. 探究问题1：换底公式的推导 思考：2、换底公式：abb c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．证明：当a ＞0，且a ≠1时，设a b =N ， ① 则log a N=b. ② 在①的两边取以c （c ＞0，且c ≠1）为底的对数，则log c a b =log c N ， 即blog c a=log c N .∴b=a N c a log log . ③ 由②③得log a N=aNc c log log （c ＞0，且c ≠1）. 一般地，log a N=aNc c log log （a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；N ＞0），这个公式称为换底公式.利用换底公式推导下面的结论：（1）b mnb a n a m log log =； （2）ab b a log 1log =即：1log log =⋅a b b a， 推广：1log log log =⋅⋅a c b c b a换底公式的主要用途在于将一般的对数转化为常用对数或自然对数或其他同一底数的对数,这在计算和求值方面很有用处. 6．对换底公式的两点说明（1）作用：换底公式的主要用途在于将一般的对数转化为常用对数或自然对数或其他同一底数的对数,这在计算和求值方面很有用处. （2）利用换底公式计算、化简、求值问题的两种思路一是先利用对数的运算性质进行部分运算,最后再换成统一底计算. 二是一次性地统一换为常用对数(或自然对数),再化简、通分、求值. 例1计算：（1）9log 27； （2）827log 9log 32⋅242log 16log 16log 4求与的值由242log 16log 16log 4= 抽象推广到一般情况可得重要的对数换底公式 ()()238272..1log 3log 22log 9log 32⋅⋅例利用对数的换底公式求下列各式的值练习：例3 已知 log 2 3 = a ， log 3 7 = b ,用 a, b 表示log 4256例4 计算4219432log 2log 3log -⋅练习三、例1 、用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：log )2(;(1)log z xya a 解：（1）zxya log =a log （xy ）-a log z=a log x+a log y- a log z（2）32log zyx a =a log （2x 3log )zy a -= a log 2x +a log 3log z y a -=2a log x+z y a a log 31log 21-例2、计算（1）5log 25， （2）4.0log 1， （3）2log （74×52）， （4）lg 5100解：（1）5log 25= 5log 25 （2）4.0log 1=0（3）2log （74×25）= 2log 74+ 2log 52= 2log 722⨯+2log 52= 2×7+5=19（4）lg 5100=52lg1052log10512==变式训练、计算：(1)lg14-2lg 37+lg7-lg18 (2)9lg 243lg (3)2.1lg 10lg 38lg 27lg -+(1)解法一：lg14-2lg 37+lg7-lg18=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(23×2)=lg2+lg 7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0解法二：lg14-2lg 37+lg7-lg18=lg14-lg 2)37(+lg7-lg18=lg01lg 18)37(7142==⨯⨯ 23lg 23lg 53lg 3lg 9lg 243lg )2(25===1023lg)10lg(32lg )3lg(2.1lg 10lg 38lg 27lg )3(2213213⨯=+=-+212lg 23lg )12lg 23(lg 23=-+-+=例3、20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M=lgA-lgA 0，其中，A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）。

2.2.1对数与对数运算（二）教学目标（一） 教学知识点对数的运算性质．（二） 能力训练要求1．进一步熟悉对数定义与幂的运算性质； 2. 理解对数运算性质的推倒过程；3．熟悉对数运算性质的内容； 4．熟练运用对数的运算性质进行化简求值；5．明确对数运算性质与幂的运算性质的区别．（三）德育渗透目标1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题．教学重点证明对数的运算性质．教学难点对数运算性质的证明方法与对数定义的联系．教学过程一、复习引入：1．对数的定义 b N a =l o g 其中 ),1()1,0(+∞∈ a 与 ),0(+∞∈N2．指数式与对数式的互化)10( log ≠>=⇔=a a b N N a a b 且3.重要公式：⑴负数与零没有对数； ⑵01log =a ，1log =a a ⑶对数恒等式N a N a =log4．指数运算法则 )()(),()(),(R n b a ab R n m a a R n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+二、新授内容：1．积、商、幂的对数运算法则：如果 a ＞ 0，a ≠ 1，M ＞ 0， N ＞ 0 有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 证明：①设a log M =p , a log N =q ． 由对数的定义可以得：M =p a ，N =q a ．∴MN = p a q a =q p a + ∴a log MN =p +q ， 即证得a log MN =a log M + a log N ．②设a log M =p ，a log N =q ． 由对数的定义可以得M =p a ，N =q a ．∴q p q pa aa N M -== ∴q p N M a -=log 即证得N M N M a a a log log log -=． ③设a log M =P 由对数定义可以得M =pa ,∴n M ＝np a ∴a log n M =np ， 即证得a log n M =n a log M ． 说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式．①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……②有时逆向运用公式：如110log 2log 5log 101010==+．③真数的取值范围必须是),0(+∞：)5(log )3(log )5)(3(log 222-+-=-- 是不成立的．)10(log 2)10(log 10210-=-是不成立的．④对公式容易错误记忆，要特别注意：N M MN a a a log log )(log ⋅≠，N M N M a a a log log )(log ±≠±．2．讲授范例：例1． 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：32log )2(;(1)log z y x zxy a a ． 解：（1）zxy a log =a log （xy ）-a log z=a log x+a log y- a log z （2）32log zy x a =a log （2x 3log )z y a - = a log 2x +alog 3log z y a -=2a log x+z y a a log 31log 21-． 例2． 计算 （1）25log 5， （2）1log 4.0， （3）)24(log 572⨯， （4）5100lg解：（1）5log 25= 5log 25=2 （2）4.0log 1=0． （3）2log （74×25）= 2log 74+ 2log 52= 2log 722⨯+ 2log 52 = 2×7+5=19． （4）lg 5100=52lg1052log10512==． 例3．计算： (1);50lg 2lg )5(lg 2⋅+ (2) ;25log 20lg 100+(3) .18lg 7lg 37lg 214lg -+- 说明：此例题可讲练结合.解：(1) 50lg 2lg )5(lg 2⋅+＝)15(lg 2lg )5(lg 2+⋅+＝2lg 5lg 2lg )5(lg 2+⋅+＝2lg )2lg 5(lg 5lg ++＝2lg 5lg +＝1；(2) 25log 20lg 100+＝5lg 20lg +＝100lg ＝2；(3)解法一：lg14-2lg 37+lg7-lg18=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(23×2) =lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0．解法二： lg14-2lg 37+lg7-lg18=lg14-lg 2)37(+lg7-lg18=lg 01lg 18)37(7142==⨯⨯ 评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质.例4．已知3010.02lg =，4771.03lg =， 求45lg例5．课本P66面例5.20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为 M ＝lg A －lg A 0.其中，A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1).例6．已知a =9log 18，518=b ，求45log 36 （备用题）评述：此题体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视.3．课堂练习：教材第68页练习题1、2、3题．4．课堂小结对数的运算法则，公式的逆向使用．5、课后作业：（1）阅读教材第64～65页；（2）《习案》作业二十一．。