第四次习题课答案

汽车维修业（中级）证书培训课程-第四次形成性考核复习题（带答案）
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【题号】
正温度系数热敏电阻随温度升高阻值（）。

A. 不变
B. 不确定
C. 下降
D. 上升
[认真学习课本知识，并分析作答上述题号]
参考答案：上升
【题号】
汽车空调压缩机由（）驱动。

A. 发电机
B. 发动机
C. 起动机
D. 电动机
[认真学习课本知识，并分析作答上述题号]
参考答案：发动机
【题号】
为了防止水分的凝结，需要对汽车风窗玻璃加热，采用（）。

A. 风窗除霜装置
B. 电动刮水器
C. 风窗玻璃洗涤装置
D. 电动天线
[认真学习课本知识，并分析作答上述题号]
参考答案：风窗除霜装置
【题号】
起动机不转的原因之一是（）。

A. 起动机负荷过大
B. 起动电路短路或断路
C. 起动机电源开关接合过早
D. 起动传动装置失灵
[认真学习课本知识，并分析作答上述题号]
参考答案：起动电路短路或断路
【题号】
调整点火正时时，摇转发动机曲轴，使一缸活塞处于（?）上止点。

??
A. 压缩冲程??
B. 排气冲程??。

《机械制造技术基础》部分习题参考解答第四章机械加工质量及其控制4-1什么是主轴回转精度？为什么外圆磨床头夹中的顶尖不随工件一起回转，而车床主轴箱中的顶尖则是随工件一起回转的？解：主轴回转精度——主轴实际回转轴线与理想回转轴线的差值表示主轴回转精度，它分为主轴径向圆跳动、轴向圆跳动和角度摆动。

车床主轴顶尖随工件回转是因为车床加工精度比磨床要求低，随工件回转可减小摩擦力；外圆磨床头夹中的顶尖不随工件一起回转是因为磨床加工精度要求高，顶尖不转可消除主轴回转产生的误差。

4-2 在镗床上镗孔时（刀具作旋转主运动，工件作进给运动），试分析加工表面产生椭圆形误差的原因。

答：在镗床上镗孔时，由于切削力F的作用方向随主轴的回转而回转，在F作用下，主轴总是以支承轴颈某一部位与轴承内表面接触，轴承内表面圆度误差将反映为主轴径向圆跳动，轴承内表面若为椭圆则镗削的工件表面就会产生椭圆误差。

4-3为什么卧式车床床身导轨在水平面内的直线度要求高于垂直面内的直线度要求？答：导轨在水平面方向是误差敏感方向，导轨垂直面是误差不敏感方向，故水平面内的直线度要求高于垂直面内的直线度要求。

4-4某车床导轨在水平面内的直线度误差为0.015/1000mm，在垂直面内的直线度误差为0.025/1000mm，欲在此车床上车削直径为φ60mm、长度为150mm的工件，试计算被加工工件由导轨几何误差引起的圆柱度误差。

解：根据p152关于机床导轨误差的分析，可知在机床导轨水平面是误差敏感方向，导轨垂直面是误差不敏感方向。

水平面内：0.0151500.002251000R y∆=∆=⨯=mm；垂直面内：227()0.025150/60 2.341021000zRR-∆⎛⎫∆==⨯=⨯⎪⎝⎭mm，非常小可忽略不计。

所以，该工件由导轨几何误差引起的圆柱度误差0.00225R∆=mm。

4-5 在车床上精车一批直径为φ60mm 、长为1200mm 的长轴外圆。

实验一阳离子第一组（银组）的分析思考题：1.沉淀第一组阳离子为什么要在酸性溶液中进行？若在碱性条件下进行，将会发生什么后果？答：在系统分析中，为了防止易水解离子的水解生成沉淀而进入第一组，所以沉淀第一组阳离子时要在酸性溶液中进行。

若在碱性条件下进行，第一组以后的大部分阳离子将生成沉淀，这样就不到分离的目的。

2.向未知溶液中加入第一组组试剂HCl时，未生成沉淀，是否表示第一组阳离子都不存在？答：向未知试液中加入第一组组试剂时，未生成沉淀，只能说明Ag+,Hg22+不存在，而不能说明Pb2+不存在，因为当试液中Pb2+的浓度小于1mg•ml-1,或温度较高时，Pb2+将不在第一组沉淀，而进入第二组。

3.如果以KI代替HCl作为第一组组试剂，将产生哪些后果？答：如果以KI代替HCl作为第一组组试剂时，酸度太小，第二组易水解的阳离子将水解进入第一组，达不到分离的目的。

另外具有氧化性阳离子将与I-发生氧化还原反应，使这些离子的浓度降低不能鉴出。

实验二阳离子第二组（铜锡组）的分析思考题：1.沉淀本组硫化物时，在调节酸度上发生了偏高或偏低现象，将会引起哪些后果？答：沉淀本组硫化物，若酸度偏低时，第三组阳离子Zn2+将生成ZnS 沉淀进入第二组。

若酸度偏高时，本组的Cd2+不生成硫化物沉淀而进入第三组。

2.在本实验中为沉淀硫化物而调节酸度时，为什么先调至0.6mol·L-1HCl酸度，然后再稀释一倍，使最后的酸度为0.2 mol·L-1?答：因As(III)的硫化物完全沉淀需在0.6 mol·L-1HCl酸度下,Cd2+的硫化物完全沉淀需在0.2 mol·L-1HCl酸度下。

因此为了使本组离子完全生成硫化物沉淀而与第三组阳离子分离，所以在调节酸度时,先调至0.6 mol·L-1HCl酸度，然后再稀释一倍，使最后的酸度为0.2 mol·L-1。

3.以TAA代替H2S作为第二组组试剂时，为什么可以不加H2O2和NH4I?答：以TAA代替H2S作为第二组组试剂时，因TAA在90℃及酸性溶液中，可在沉淀时间内将As(V)还原为As(III)，故不需另加NH4I。

六年级下册道德与法治同步课后练习题第四课《地球-我们的家园》一、填空题。

1.地球是一个蓝色球体，为人类生活提供了所需要的__ 、__ 和__ 等。

2地球孕育了人类，提供了人类生存的__ 。

自古以来，人类就在用自己特有的方式与自然。

3. 的增长和人类的增加，使地球母亲的压力越来越大，不堪重负。

4.影响人类可持续发展的原因包括：、和等问题。

5.如果人类不能自然，随意破坏默默奉献的地球，就必然会受到大自然的。

6.为了保护地球，世界各国通过签订、制定等方式来限制人类对地球的伤害。

7.为了保护地球家园，人类不断，运用聪明才智，大力发展，实现可持续发展8.由175个国家签署的《巴黎协定》于年月日正式生效。

9.《中华人民共和国环境保护法》于年月日起实施。

二、判断题。

1.近百年来，地球上的森林、湖泊、湿地正在迅速增多。

（）2.天然气和地热都属于可再生能源。

（）3.全球气候变暖与人们的生活方式没有关系。

（）4.地球植被的破坏，导致沙漠面积不断扩大。

（）5.离开地球，人类一样可以找到适合居住的星球。

（）6.现在，煤炭、石油、天然气等不可再生能源因过度开发已面临枯竭。

（）三、选择题。

1.近百年以来，地球上的人口( )。

A.在不断增加B.在不断减少C.没有变化2.近年来，出现了不少关于灾难的电影，表明人类已经逐渐意识到地球生态环境的)。

A.好转B.恶化C.永恒不变3.下列选项中，属于清洁能源的是( )。

A.生物能B.石油C.煤炭4.关于地球与人类的关系，下列说法错误的是( )。

A.地球孕育了人类，为人类生存提供了自然环境B.环境问题与人类活动有关C.地球的环境问题与人类活动无关5.世界环境日是每年的( )。

A.6月5日B.7月5日C.8月5日6.化石燃料燃烧排放的大量温室气体会导致（）。

A.全球气候变冷B.全球气候突变C.全球气候变暖四、简答题。

1.什么是循环经济?发展循环经济的好处是什么?2.请列举至少三种清洁能源，说说为什么清洁能源的利用和开发越来越受到重视?2.请写出三个为保护环境而设立的节日。

第四章课后习题复习思考题1.会计科目就是对会计要素的具体内容进行科学分类的项目为了准确的记录每一项经济业务发生后引起的会计要素中个别数量发生的数量变动必须对会计要素包括的具体内容进行科学分类并赋予每个类别一个特定的名称这个名称就是会计科目所以会计科目就是对会计要素的具体内容进行科学分类的项目2.第一必须结合会计要素的特点全面反映会计要素的内容第二既要符合企业内部经济管理的要求又要符合对外报告满足宏观经济管理的要求第三会计科目的设置既要保持统一性又要考虑灵活性第四会计科目的设置既要适应社会发展的需要又要保障持相应的稳定性第五会计科目的设置应保持会计科目总体上的完整性和会计科目之间的互斥性3.可将其分为资产类会计科目所有者权益类会计科目负债类会计科目共同类会计科目损益类会计科目成本类会计科目4.账户是对会计要素的具体内容进行科学分类反应和监督并具有一定格式的工具它是用来分类连续系统的记录和反映各种会计要素增减变化情况及其结果的一种手段如果把企业发生的经济业务连续系统全面的反映和监督下来提供各种会计信息就需要一个记录的载体这个载体就是按照会计科目所规范的内容而设置的会计账户5.会计账户与会计科目二者既有区别又有联系二者都是对会计要素具体内容的分类会计科目是账户的名称两者分类的口径和反映的经济内容一致区别表现在会计科目只有名称仅说明反映的经济内容是什么而账户既有名称又有结构具有一定的格式既能说明账户反映的经济内容是什么又系统的监督和反映经济业务的增减变化会计科目主要是为了开设账户和填制会计凭证之用而账户则是系统的提供某一个具体会计要素的会计资料是为了编制会计报表和经济管理之用6.账户的经济内容是指会计核算和核算的具体内容按经济内容可以分为资产类账户所有者权益类账户负债类账户成本费用类账户收入类账户利润类账户7.账户的用途是指通过在账户中的记录能够提供哪些会计核算指标也是设置和运用账户的目的账户的结构是指在账户中怎样记录经济业务如何取得所需的会计核算资料也就是账户的借方登记什么贷方登记什么期末账户有没有余额在一般情况下余额在哪一方描述什么样的经济内容意义为了正确的运用账户来记录经济业务掌握账户在提供核算指标方面的规律性有必要在账户按会计要素分类的基础上进一步对账户按用途和结构分类8.账户按用途和结构可以分为盘存类账户财务成果类账户计价对比类账户成本呢计算类账户调整类账户跨期摊提类账户资本类账户结算类账户练习题一填空题1.会计科目格式会计科目企业实际2.账户性质3.会计要素4.财政部资产类负债类共同类所有者权益类成本类损益类5.会计科目增加减少增加额减少额6.财务成果形成财务成果计算7.债权结算债务结算债权债务结算8.是截至到本月至的利润或亏损“本年利润” “利润分配”9.抵减附加抵减附加10.借二单项选择题1.D2.D3.B4.A （5700+800-5600=900）5.B6.B7.A8.A9.A10.B11.C12.D13.A14.D三多项选择题1.A B C D2.A C3.A C E4.A B C D E5.A B C D E6.A D E7.A B C8.A B C9.B C10.A B D11.A C12.A C13.A B C四判断改错题1.错2.错3.对4.错（会计科目没有格式）5.错6.错7.对8.错（可以编多借多贷的会计分录尽量不编多借多贷会计分录）9.对10.对11.错12.错13.对14.对15.错（年终结转后。

第一次作业(2010cdut)1、粮食价格提高对猪肉的供给曲线有何影响猪肉价格提高对猪肉销售量和猪肉供给曲线是否会发生影响答：粮食价格的提高将使猪肉的供给曲线向左移动。

因为粮价提高将使猪的饲养成本上升，进而在任一价格水平下生产者愿意并且能够提供的猪肉量随之减少。

猪肉价格提高将增加猪肉的销售量。

因为在其他因素不变的情况下，猪肉价格提高意味着增加猪肉这种商品的供应量将变得更加有利可图．因此生产和销售者将提供更多的猪肉上市，这表现为猪肉供给曲线上点的位置的移动。

但猪肉价格提高本身并不会对供给曲线的变动产生影响。

2、指出发生下列几种情况时某种蘑菇的需求曲线的影响，为什么(1)卫生组织发布一份报告，称这种蘑菇会致癌；(2)另一种蘑菇的价格上涨了；(3)消费者的收入增加了；(4)培育蘑菇的工人工资增加了。

答：(1)对此蘑菇的需求曲线会向左移。

因为卫生组织发布的该蘑菇会致癌的报告会使得人们普遍产生对食用此种蘑菇的恐惧心理，从而在任一价格水平下大大减少对它的需求量。

(2)此蘑菇的需求曲线会向右移。

因为各个品种的蘑菇属于互替商品，当另一种蘑菇的价格上涨后人们会减少对那种蘑菇的需求量，并通过多消费此种蘑菇来实现替代。

因而在任一价格水平下增加了对此种蘑菇的需求量。

(3)此种蘑菇的需求曲线会向右移。

因为消费者收入的增加意味着他们购买力的增强，这将使他们增加对这种蘑菇在内的正常商品的需求量，并且在任一价格水平下都是如此。

(4)此种蘑菇的需求曲线不变，如果不考虑培育蘑菇的工人作为消费者对此种蘑菇的需求的话。

因为培育蘑菇的工人工资增加只影响蘑菇的供给成本进而影响其供给曲线，对需求曲线则不发生影响。

第二次作业1.下面说法是否正确,并说明原因经济学家认为，降低价格一定会使供给量下降是一条规律。

可是这个规律也有例外。

例如，2000年电脑的价格才8000元一台，但到2005年为4000元一台，然而销售量却增加3倍。

可见，降低价格不一定会使供给量下降。

《中学教育学》教师资格考试考试第四次练习题含答案一、单项选择题（共30题，每题1分，每题的备选项中，只有一个最正确或最符合题意。

选对每题得一分，没选或选错均不得分）。

1、1939年，明确提出以马克思主义为指导，主编《教育学》的教育家是（）。

A、凯洛夫B、赞可夫C、布鲁纳D、维果斯基【参考答案】：A【解析】：苏联教育理论家凯洛夫将马克思主义与教育学结合起来，主编了《教育学》。

2、循序渐进的教学原则，主要决定于个体身心发展的（）A、顺序性B、阶段性C、不平衡性D、互补性【参考答案】：A【解析】：循序渐进的教学原则，主要决定于个体身心发展的顺序性。

3、（）是教师备课和上课的主要依据。

A、教学大纲B、教科书C、参考书D、教学进度计划【参考答案】：B【解析】：钻研教材包括钻研大纲、教科书、参考书，其中教科书是教师备课上课的依据。

4、知识经济时代，教师应该成为（）A、熟练型教师B、科研型教师C、奉献型教师D、勤奋型教师【参考答案】：B【解析】：知识经济时代，教师应该成为科研型教师。

5、转化后进生，首先要做的是（）A、帮助后进生树立自信心B、帮助后进生搞好学习C、做好家访，争取家长配合D、帮助后进生改正缺点【参考答案】：A【解析】：转化后进生，首先要做的是帮助后进生树立自信心。

6、打乱传统的按年龄编班的做法，而按学生的能力或学习成绩编班，这是（）。

A、外部分组B、内部分组C、设计教学法D、道尔顿制【参考答案】：A【解析】：分组教学也是集体教学的一种形式，可分为：外部分组和内部分组。

外部分组是打乱传统的按年龄编班的做法，而按学生的能力或学习成绩编班。

7、（）是制度化教育建立的典型表现特征。

A、定型的教育组织形式出现B、教育实体的出现C、学校的产生D、学制的建立；【参考答案】：D【解析】：学校教育制度简称学制，是指一个国家各级各类学校的系统及其管理规则，它规定着各级各类学校的性质、任务、入学条件、修业年限以及他们之间的关系。

《弹性力学简明教程》习题提示和参考答案第二章习题的提示与答案2－1 是2－2 是2－3 按习题2－1分析。

2－4 按习题2－2分析。

2－5 在的条件中,将出现2、3阶微量。

当略去3阶微量后,得出的切应力互等定理完全相同。

2－6 同上题。

在平面问题中,考虑到3阶微量的精度时,所得出的平衡微分方程都相同。

其区别只是在3阶微量〔即更高阶微量〕上,可以略去不计。

2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形,物理方程─理想弹性体。

2－8 在大边界上,应分别列出两个精确的边界条件；在小边界〔即次要边界〕上,按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。

2－9 在小边界OA边上,对于图2－15〔a〕、〔b〕问题的三个积分边界条件相同,因此,这两个问题为静力等效。

2－10 参见本章小结。

2－11 参见本章小结。

2－12 参见本章小结。

2－13 注意按应力求解时,在单连体中应力分量必须满足〔1〕平衡微分方程,〔2〕相容方程,〔3〕应力边界条件〔假设>。

2－14 见教科书。

2－15 见教科书。

2－16 见教科书。

2－17 取它们均满足平衡微分方程,相容方程与x=0和的应力边界条件,因此,它们是该问题的正确解答。

2－18 见教科书。

2－19 提示：求出任一点的位移分量和,与转动量,再令,便可得出。

第三章习题的提示与答案3－1 本题属于逆解法,已经给出了应力函数,可按逆解法步骤求解：〔1〕校核相容条件是否满足,〔2〕求应力,〔3〕推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。

3－2 用逆解法求解。

由于本题中l>>h,x=0,l属于次要边界〔小边界〕,可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。

3－3 见3-1例题。

3－4 本题也属于逆解法的问题。

首先校核是否满足相容方程。

再由求出应力后,并求对应的面力。

本题的应力解答如习题3-10所示。

应力对应的面力是：主要边界：所以在边界上无剪切面力作用。

广东省二级注册建造师第四周期继续教育市政工程（选修课）练习题库一、单选题1、PPP项目付费机制中的（）是指由政府直接付费购买公共产品或服务A、政府付费；B、使用者付费；C、可行性缺口补贴；D、发行公共债券参考答案是A2、综合管廊的建设最主要的目的是（）A、便于管线的安装、维护等；B、节约成本、减少投资；C、提高政府收益；D、给企业节约成本等参考答案是A3、一般情况下污水管道也是重力流管道。

本次修订强调了纳入综合管廊时应采用管道排水方式，污水管道宜设置在综合管廊的（）部A、底；B、上；C、中；D、侧参考答案是A4、本次修订增加了热力管道纳入综合管廊内的技术规定。

热力管道采用蒸汽介质时应在独立舱室内敷设。

热力管道不应与电力电缆同舱敷设。

热力管道应采用()、保温层及外护管紧密结合成一体的预制管A、无缝钢管；B、球墨铸铁管；C、塑料管；D、PE管参考答案是A5、为了综合管廊的安全，对燃气管道纳入综合管廊给予了比较明确和严格的技术规定，如：限定为压力级别不大于（）的天然气管道A、1.6Mpa；B、1.2Mpa；C、1Mpa；D、0.8Mpa参考答案是A6、BIM可以在设计评估与成果审查中发挥如下作用（）。

A、快速寻找和评估替代方案；B、模块化设计；C、施工图及深化设计；D、施工工序模拟优化参考答案是A7、如果应用得宜，BIM可以促进策划、设计、（）、运营各阶段之间的衔接，从而降低成本，缩短工期，获得高品质、可持续的建筑物。

A、施工；B、招投标；C、业主；D、项目参考答案是A8、《建筑法》规定，建筑工程依法实行招标发包，对不适于招标发包的可以（）A、直接发包；B、肢解发包；C、直接分包；D、甲方分包参考答案是A9、《建筑法》规定，大型建筑工程或者结构复杂的建筑工程，可以由（）以上的承包单位联合共同承包A、两个；B、三个；C、四个；D、五个参考答案是A10、某施工承包合同中约定由施工单位采购建筑材料。

施工期间，建设单位要求施工单位购买某采石场的石料，理由是该石料物美价廉。

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第 1 章绪论课后习题讲解1。

填空⑴（）是数据的基本单位，在计算机程序中通常作为一个整体进行考虑和处理。

【解答】数据元素⑵( ）是数据的最小单位，（）是讨论数据结构时涉及的最小数据单位。

【解答】数据项，数据元素【分析】数据结构指的是数据元素以及数据元素之间的关系。

⑶ 从逻辑关系上讲，数据结构主要分为（ )、（ )、（）和（）。

【解答】集合,线性结构，树结构，图结构⑷ 数据的存储结构主要有（）和（ )两种基本方法，不论哪种存储结构,都要存储两方面的内容：（）和（）。

【解答】顺序存储结构,链接存储结构，数据元素，数据元素之间的关系⑸ 算法具有五个特性，分别是（）、（）、（）、（）、（）.【解答】有零个或多个输入，有一个或多个输出，有穷性，确定性，可行性⑹ 算法的描述方法通常有（）、（）、（）和（）四种，其中，（ )被称为算法语言。

【解答】自然语言，程序设计语言,流程图，伪代码,伪代码⑺ 在一般情况下，一个算法的时间复杂度是（ )的函数。

【解答】问题规模⑻ 设待处理问题的规模为n，若一个算法的时间复杂度为一个常数，则表示成数量级的形式为（）,若为n＊log25n，则表示成数量级的形式为（）。

【解答】Ο(1)，Ο（nlog2n）【分析】用大O记号表示算法的时间复杂度，需要将低次幂去掉，将最高次幂的系数去掉。

高等数学课后习题及参考答案（第四章）习题4-11. 求下列不定积分:(1)⎰dx x 21;解 C x C x dx x dx x +-=++-==+--⎰⎰112111222.(2)⎰dx x x ; 解 C x x C x dx x dx x x +=++==+⎰⎰212323521231. (3)⎰dx x1;解C x C x dx xdx x+=++-==+--⎰⎰21211112121. (4)⎰dx x x 32; 解 C x x C x dx x dx x x+=++==+⎰⎰3313737321031371. (5)⎰dx xx 21;解C x x C x dx xdx xx +⋅-=++-==+--⎰⎰12312511125252. (6)dx x m n ⎰; 解C x m n m C x mn dx x dx x mn m m nm nmn++=++==++⎰⎰111.(7)⎰dx x 35;解 C x dx x dx x +==⎰⎰4334555.(8)⎰+-dx x x )23(2;解 C x x x dx dx x dx x dx x x ++-=+-=+-⎰⎰⎰⎰2233123)23(2322.(9)⎰ghdh 2(g 是常数);解C ghC h gdh hgghdh +=+⋅==⎰⎰-22212122121. (10)⎰-dx x 2)2(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰423144)44()2(23222.(11)⎰+dx x 22)1(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x +++=++=++=+⎰⎰⎰⎰⎰3524242232512)12()1(.(12)dx x x ⎰-+)1)(1(3;解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-+-=-+dx dx x dx x dx x dx x x x dx x x 23212323)1()1)(1(C x x x x +-+-=25233523231.(13)⎰-dx xx 2)1(;解C x x x dx x x xdx xx x dx xx ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰-2523212321212252342)2(21)1(. (14)⎰+++dx x x x 1133224; 解C x x dx x x dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan )113(1133322224.(15)⎰+dx x x 221;解⎰⎰⎰+-=+-=+-+=+C x x dx xdx xx dx x x arctan )111(111122222.(16)⎰+dx xe x )32(;解 C x e dx xdx e dx x e x x x ++=+=+⎰⎰⎰||ln 32132)32(.(17)⎰--+dx xx )1213(22;解 ⎰⎰⎰+-=--+=--+C x x dx xdx x dx xx arcsin 2arctan 3112113)1213(2222.(18)dx xe e x x⎰--)1(;解 C x edx xe dx xe e xxx x+-=-=-⎰⎰--21212)()1(.(19)⎰dx e x x 3;解 C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰13ln 3)3ln()3()3(3.(20)⎰⋅-⋅dx xxx 32532; 解 C x C x dx dx x xx xxx+--=+-=-=⋅-⋅⎰⎰)32(3ln 2ln 5232ln )32(52])32(52[32532. (21)⎰-dx x x x )tan (sec sec ;解 ⎰⎰+-=-=-C x x dx x x x dx x x x sec tan )tan sec (sec )tan (sec sec 2.(22)⎰dx x2cos 2;解 C x x dx x dx x dx x ++=+=+=⎰⎰⎰)sin (21)cos 1(212cos 12cos 2.(23)⎰+dx x 2cos 11;解 ⎰⎰+==+C x dx xdx x tan 21cos 212cos 112.(24)⎰-dx xx xsin cos 2cos ;解 ⎰⎰⎰+-=+=--=-C x x dx x x dx xx xx dx x x x cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22.(25)⎰dx x x x22sin cos 2cos ;解 ⎰⎰⎰+--=-=-=C x x dx xx dx x x x x dx x x x tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222.(26)⎰-dx x x x)11(2;解 ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-dx x x x 211⎰++=-=--C x x dx x x 41474543474)(.2. 一曲线通过点(e 2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.解 设该曲线的方程为y =f (x ), 则由题意得xx f y 1)(='=',所以 C x dx xy +==⎰||ln 1.又因为曲线通过点(e 2, 3), 所以有=3-2=1 3=f (e 2)=ln|e 2|C =2C ,C =3-2=1. 于是所求曲线的方程为 y =ln|x | 1.3. 一物体由静止开始运动, 经t 秒后的速度是3t 2(m/s ), 问 (1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ (2)物体走完360m 需要多少时间？解 设位移函数为s =s (t ), 则s '=v =3 t 2, C t dt t s +==⎰323. 因为当t =0时, s =0, 所以C =0. 因此位移函数为s =t 3. (1)在3秒后物体离开出发点的距离是s =s (3)=33=27.(2)由t 3=360, 得物体走完360m 所需的时间11.73603≈=t s. 4. 证明函数x e 221, e x sh x 和e x ch x 都是x x e xsh ch -的原函数.证明 x x xx x x x x x e ee e e e e e x x e 222sh ch ==--+=----. 因为x x e e 22)21(=', 所以x e 221是x x e xsh ch -的原函数.因为(e x sh x )'=e x sh x e x ch x =e x (sh x ch x )x xx x x x e e e e e e 2)22(=++-=--, 所以e x sh x 是xx e xsh ch -的原函数.因为(e x ch x )'=e x ch x e x sh x =e x (ch x sh x )x xx x x x e e e e e e 2)22(=-++=--, 所以e xch x 是xx e x sh ch -的原函数.习题4-21. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: )74(41+=x d dx :(1) dx = d (ax );解dx = a 1d (ax ).(2) dx = d (7x -3);解dx = 71d (7x -3).(3) xdx = d (x 2); 解xdx = 21 d (x 2).(4) x d x = d (5x 2);解x d x = 101d (5x 2).(5))1( 2x d xdx -=;解 )1( 212x d xdx --=.(6)x 3dx = d (3x 4-2);解x 3dx = 121d (3x 4-2).(7)e 2x dx = d (e 2x ); 解e 2x dx = 21 d (e 2x ).(8))1( 22x x ed dxe --+=;解 )1( 2 22x xe d dx e --+-=.(9))23(cos 23sin x d xdx =;解 )23(cos 32 23sin x d xdx -=.(10)|)|ln 5( x d xdx=; 解 |)|ln 5( 51x d x dx =. (11)|)|ln 53( x d xdx-=; 解|)|ln 53( 51x d x dx --=. (12))3(arctan 912x d x dx=+; 解 )3(arctan 31912x d x dx =+. (13))arctan 1( 12x d xdx -=-;解)arctan 1( )1( 12x d xdx --=-.(14))1( 122x d x xdx -=-.解)1( )1( 122x d x xdx --=-.2. 求下列不定积分(其中a , b , ω, ϕ均为常数): (1)⎰dt e t 5; 解 C e x d e dt e xx t +==⎰⎰55551551. (2)⎰-dx x 3)23(; 解 C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰433)23(81)23()23(21)23(. (3)⎰-dx x 211; 解C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰|21|ln 21)21(21121211.(4)⎰-332xdx ;解C x C x x d x xdx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)32(21)32(2331)32()32(3132. (5)⎰-dx e ax bx)(sin ;解C be ax ab x d e b ax d ax a dx e ax b xb xbx+--=-=-⎰⎰⎰cos 1)()(sin 1)(sin .(6)⎰dt tt sin ;解⎰⎰+-==C t t d t dt tt cos 2sin 2sin .(7)⎰⋅xdx x 210sec tan ;解 ⎰⋅xdx x 210sec tan C x x xd +==⎰1110tan 111tan tan . (8)⎰xx x dxln ln ln ;解C x x d x x d x x x x x dx +===⎰⎰⎰|ln ln |ln ln ln ln ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln .(9)⎰+⋅+dx xx x 2211tan ;解 ⎰+⋅+dx x x x 2211tan 2222211cos 1sin 11tan x d x x x d x +++=++=⎰⎰C x x d x ++-=++-=⎰|1cos |ln 1cos 1cos 1222.(10)⎰xx dxcos sin ;解 C x x d xdx x x x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan 1tan sec cos sin 2. (11)⎰-+dx e e xx 1;解 ⎰-+dx e e xx 1C e de edx e e x x xx x +=+=+=⎰⎰arctan 11122.(12)⎰-dx xe x 2; 解 .21)(212222C e x d e dx xe x x x +-=--=---⎰⎰ (13)⎰⋅dx x x )cos(2;解 C x x d x dx x x +==⋅⎰⎰)sin(21)()cos(21)cos(2222. (14)⎰-dx xx 232;解C x C x x d x dx x x+--=+--=---=-⎰⎰-2212221223231)32(31)32()32(6132.(15)⎰-dx xx 4313; 解⎰⎰+--=---=-C x x d x dx x x |1|ln 43)1(11431344443.(16)⎰++dt t t ))sin((cos 2ϕωϕω; 解 C t t d t dt t t ++-=++-=++⎰⎰)(cos 31)cos()(cos 1)sin()(cos 322ϕωωϕωϕωωϕωϕω. (17)⎰dx x x3cos sin ; 解 C x C x x xd dx xx +=+=-=--⎰⎰2233sec 21cos 21cos cos cos sin . (18)⎰-+dx x x xx 3cos sin cos sin ; 解 )sin cos (cos sin 1cos sin cos sin 33x x d x x dx x x x x +--=-+⎰⎰ C x x x x d x x +-=--=⎰-3231)cos (sin 23)cos (sin )cos (sin .(19)⎰--dx xx 2491;解dx xx dx xdx xx ⎰⎰⎰---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰C x x +-+=2494132arcsin 21.(20)⎰+dx xx 239; 解 C x x x d xx d x x dx x x ++-=+-=+=+⎰⎰⎰)]9ln(9[21)()991(21)(9219222222223. (21)⎰-dx x 1212;解⎰⎰⎰+--=+-=-dx x x dx x x dx x )121121(21)12)(12(11212 ⎰⎰++---=)12(121221)12(121221x d x x d x C x x C x x ++-=++--=|1212|ln 221|12|ln 221|12|ln 221.(22)⎰-+dx x x )2)(1(1;解C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1.(23)⎰xdx 3cos ;解 C x x x d x x d x xdx +-=-==⎰⎰⎰3223sin 31sin sin )sin 1(sin cos cos .(24)⎰+dt t )(cos 2ϕω; 解 C t t dt t dt t +++=++=+⎰⎰)(2sin 4121)](2cos 1[21)(cos 2ϕωωϕωϕω. (25)⎰xdx x 3cos 2sin ; 解 ⎰xdx x 3cos 2sin C x x dx x x ++-=-=⎰cos 215cos 101)sin 5(sin 21. (26)⎰dx xx 2cos cos ;解 C x x dx x x dx x x ++=+=⎰⎰21sin 23sin 31)21cos 23(cos 212cos cos .(27)⎰xdx x 7sin 5sin ; 解 C x x dx x x xdx x ++-=--=⎰⎰2sin 4112sin 241)2cos 12(cos 217sin 5sin . (28)⎰xdx x sec tan 3;解 x d x xdx x x xdx x sec tan tan sec tan sec tan 223⎰⎰⎰=⋅=C x x x d x +-=-=⎰sec sec 31sec )1(sec 32.(29)⎰-dx xx2arccos 2110;解C x d x d dx xx xxx+-=-=-=-⎰⎰⎰10ln 210)arccos 2(1021arccos 10110arccos 2arccos 2arccos 22arccos 2.(30)⎰+dx x x x )1(arctan ;解C x x d x x d x xdx x x x +==+=+⎰⎰⎰2)(arctan arctan arctan 2)1(arctan 2)1(arctan .(31)⎰-221)(arcsin xx dx;解C xx d x x x dx+-==-⎰⎰arcsin 1arcsin )(arcsin 11)(arcsin 222.(32)⎰+dx x x x 2)ln (ln 1; 解C xx x x d x x dx x x x+-==+⎰⎰ln 1)ln ()ln (1)ln (ln 122. (33)⎰dx xx xsin cos tan ln ;解⎰⎰⎰=⋅=x d x x xdx x x dx x x x tan tan tan ln sec tan tan ln sin cos tan ln 2C x x d x +==⎰2)tan (ln 21tan ln tan ln .(34)⎰-dx x a x 222(a >0);解⎰⎰⎰⎰-===-dt t a dt t a tdt a t a t a t a x dx xa x 22cos 1sin cos cos sin sin 22222222令, C x a xa x a C t a t a +--=+-=222222arcsin 22sin 421. (35)⎰-12x x dx ;解C x C t dt tdt t t t tx x x dx +=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec 1sec 12令.或C x x d x dx xx x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰1arccos 111111112222.(36)⎰+32)1(x dx ;解C t tdt t d t tx x dx +==+=+⎰⎰⎰sin cos tan )1(tan 1tan )1(3232令C x x ++=12.(37)⎰-dx xx 92; 解⎰⎰⎰=-=-tdt t d tt t x dx x x 222tan 3)sec 3(sec 39sec 9sec 39令 C x x C t t dt t+--=+-=-=⎰3arccos 393tan 3)1cos 1(322.(38)⎰+xdx 21;解C x x C t t dt t tdt t t x xdx ++-=++-=+-=+=+⎰⎰⎰)21ln(2)1ln()111(11221令.(39)⎰-+211x dx ;解⎰⎰⎰⎰-=+-=+=-+dt tdt t tdt t tx x dx)2sec211()cos 111(cos cos 11sin 1122令 C xxx C t t t C t t +-+-=++-=+-=211arcsin cos 1sin 2tan . (40)⎰-+21x x dx .解⎰⎰⎰+-++=⋅+=-+dt tt tt t t tdt t t tx x x dx cos sin sin cos sin cos 21cos cos sin 1sin 12令C t t t t t d t t dt +++=+++=⎰⎰|cos sin |ln 2121)cos (sin cos sin 12121 C x x x ++-+=|1|ln 21arcsin 212.习题4-3求下列不定积分: 1. ⎰xdx x sin ; 解C x x x xdx x x x xd xdx x ++-=+-=-=⎰⎰⎰sin cos cos cos cos sin .2. ⎰xdx ln ;解 C x x x dx x x x xd x x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰ln ln ln ln ln . 3. ⎰xdx arcsin ;解 ⎰⎰-=x xd x x xdx arcsin arcsin arcsin ⎰--=dx xx x x 21arcsinC x x x +-+=21arcsin . 4. ⎰-dx xe x ;解 ⎰⎰⎰----+-=-=dx e xe xde dx xe x x x x C x e C e xe x x x ++-=+--=---)1(. 5. ⎰xdx x ln 2; 解 ⎰⎰⎰-==x d x x x xdx xdx x ln 31ln 31ln 31ln 3332 C x x x dx x x x +-=-=⎰332391ln 3131ln 31.6. ⎰-xdx e x cos ; 解 因为⎰⎰⎰⎰------+=-==xdx e x e xde x e x d e xdx e x x x x x x sin sin sin sin sin cos ⎰⎰-----+-=-=x x x x x xde x e x e x d e x e cos cos sin cos sin⎰-----=xdx e x e x e x x x cos cos sin ,所以 C x x e C x e x e xdx e x x x x +-=+-=----⎰)cos (sin 21)cos sin (21cos .7. ⎰-dx xe x 2sin 2;解 因为⎰⎰⎰-----==x x x x de xx e x d e dx x e 22222cos 22cos 22cos 22sin⎰⎰----+=+=2sin 82cos 22cos 42cos 22222xd e x e dx x e x e x x x x⎰----+=x x x de xx e x e 2222sin 82sin 82cos 2⎰---++=dx xe x e x e x x x 2sin 162sin 82cos 2222,所以 C xx e dx x e x x ++-=--⎰)2sin 42(cos 1722sin 22.8. ⎰dx xx 2cos ;解 C xx x dx x x x x xd dx x x ++=-==⎰⎰⎰2cos 42sin 22sin 22sin 22sin 22cos .9. ⎰xdx x arctan 2; 解 ⎰⎰⎰+⋅-==dx x x x x xdx xdx x 233321131arctan 31arctan 31arctan ⎰⎰+--=+-=2232223)111(61arctan 31161arctan 31dx xx x dx x x x x C x x x x +++-=)1ln(6161arctan 31223.10. ⎰xdx x 2tan解 ⎰⎰⎰⎰⎰+-=-=-=x xd x xdx xdx x dx x x xdx x tan 21sec )1(sec tan 2222C x x x x xdx x x x +++-=-+-=⎰|cos |ln tan 21tan tan 2122.11. ⎰xdx x cos 2;解 ⎰⎰⎰⎰+=⋅-==x xd x x xdx x x x x d x xdx x cos 2sin 2sin sin sin cos 2222C x x x x x xdx x x x x +-+=-+=⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin 22. 12. ⎰-dt te t 2;解 ⎰⎰⎰----+-=-=dt e te tde dt te t t tt 2222212121 C t e C e te t t t ++-=+--=---)21(214121222.13. ⎰xdx 2ln ;解 ⎰⎰⎰-=⋅⋅-=xdx x x dx xx x x x xdx ln 2ln 1ln 2ln ln 222C x x x x x dx x x x x x x ++-=⋅+-=⎰2ln 2ln 12ln 2ln 22.14. ⎰xdx x x cos sin ; 解 ⎰⎰⎰⎰+-=-==xdx x x x xd xdx x xdx x x 2cos 412cos 412cos 412sin 21cos sin C x x x ++-=2sin 812cos 41.15. ⎰dx xx 2cos 22; 解 ⎰⎰⎰⎰-+=+=+=xdx x x x x x d x x dx x x dx x x sin sin 2161sin 2161)cos 1(212cos 2323222⎰⎰-++=++=xdx x x x x x x xd x x x cos cos sin 2161cos sin 21612323C x x x x x x +-++=sin cos sin 216123.16. ⎰-dx x x )1ln(; 解 ⎰⎰⎰-⋅--=-=-dx x x x x dx x dx x x 1121)1ln(21)1ln(21)1ln(222 ⎰-⋅++--=dx x x x x )111(21)1ln(212C x x x x x +-----=)1ln(212141)1ln(2122.17. ⎰-xdx x 2sin )1(2;解 ⎰⎰⎰⋅+--=--=-xdx x x x x d x xdx x 22cos 212cos )1(212cos )1(212sin )1(222 ⎰+--=x xd x x 2sin 212cos )1(212⎰-+--=xdx x x x x 2sin 212sin 212cos )1(212C x x x x x +++--=2cos 412sin 212cos )1(212.18. ⎰dx x x 23ln ;解⎰⎰⎰⎰+-=+-=-=xdx xx x x d x x x x xd dx x x22333323ln 13ln 1ln 1ln 11ln ln⎰⎰+--=--=x d xx x x x x xd x x 22323ln 13ln 3ln 11ln 3ln 1⎰⎰---=+--=x xd x x x x dx x x x x x x 1ln 6ln 3ln 1ln 16ln 3ln 123223⎰+---=dx xx x x x x x 22316ln 6ln 3ln 1C x x x x x x x +----=6ln 6ln 3ln 123.19. ⎰dx e x3;解 ⎰⎰⎰==t t xde t dt e t t x dx e223333令⎰⎰-=-=t t t t tde e t dt te e t 636322 ⎰+-=dt e te e t t t t 6632 C e te e t t t t ++-=6632 C x x ex ++-=)22(33323.20. ⎰xdx ln cos ; 解 因为⎰⎰⋅⋅+=dx xx x x x xdx 1ln sin ln cos ln cosdx xx x x x x x xdx x x 1ln cos ln sin ln cos ln sin ln cos ⋅⋅-+=+=⎰⎰⎰-+=xdx x x x x ln cos ln sin ln cos , 所以 C x x xxdx ++=⎰)ln sin ln (cos 2ln cos .21. ⎰dx x 2)(arcsin ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=dx xx x x x dx x 22211arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰--+=dx x x x x 2arcsin 12)(arcsin 22 C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22. 22. ⎰xdx e x 2sin . 解 ⎰⎰⎰-=-=xdx e e dx x e xdx e xx x x 2cos 2121)2cos 1(21sin 2, 而 dx x e x e xde xdx e x x x x ⎰⎰⎰+==2sin 22cos 2cos 2cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e de x x e x x x x x 2cos 42sin 22cos 2sin 22cos ,C x x e xdx e x x ++=⎰)2sin 22(cos 512cos ,所以 C x x e e xdx e x x x ++-=⎰)2sin 22(cos 10121sin 2.习题4-4求下列不定积分:1. dx x x ⎰+33;解 dx x x x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰+-+-+=+-+=+327)93)(3(327273233 ⎰⎰+-+-=dx x dx x x 3127)93(2 C x x x x ++-+-=|3|ln 279233123.2. ⎰-++dx x x x 103322;解 C x x x x d x x dx x x x +-+=-+-+=-++⎰⎰|103|ln )103(1031103322222.3. ⎰--+dx xx x x 3458; 解 ⎰⎰⎰--++++=--+dx xx x x dx x x dx x x x x 3223458)1(8 ⎰⎰⎰--+-+++=dx x dx x dx x x x x 13148213123C x x x x x x +--+-+++=|1|ln 3|1|ln 4||ln 8213123.4. ⎰+dx x 133;解 ⎰⎰⎰+-⋅++--⋅-+=+-+-++=+dx x x x x x x dx x x x x dx x )11231122111()1211(132223⎰⎰-+-++-+--+=)21()23()21(123)1(1121|1|ln 2222x d x x x d x x xC x x x x +-++-+=312arctan31|1|ln2. 5. ⎰+++)3)(2)(1(x x x xdx;解dx x x x x x x xdx )331124(21)3)(2)(1(+-+-+=+++⎰⎰C x x x ++-+-+=|)1|ln |3|ln 3|2|(ln 21.6. ⎰-++dx x x x )1()1(122;解 ⎰⎰+--⋅++⋅=-++dx x x x dx x x x ])1(111211121[)1()1(1222 C x x x +++-+-=11|1|ln 21|1|ln 21C x x +++-=11|1|ln 212.7. dx x x )1(12+⎰; 解 C xx dx x x x dx x x ++-=+-=+⎰⎰)1ln(21||ln )11()1(1222.8. ⎰++))(1(22x x x dx;解⎰⎰+⋅-++⋅-=++dx x x x x x x x dx )112111211())(1(222⎰++-+-=dx x x x x 1121|1|ln 21||ln 2⎰⎰+-+-+-=dx x dx x x x x 11211241|1|ln 21||ln 22C x x x x +-+-+-=arctan 21)1ln(41|1|ln 21||ln 2.9. ⎰+++)1)(1(22x x x dx; 解dx x xx x x x x x dx )111()1)(1(2222⎰⎰+-+++=+++)1ln(21112111221222+-++++++=⎰⎰x dx x x x x x ⎰++++-++=dx x x x x x 1121)1ln(21|1|ln 21222C x x x x ++++-++=312arctan 33)1ln(21|1|ln 2122. 10. ⎰+dx x 114;解dx x x x x dx x ⎰⎰+-++=+)12)(12(111224⎰⎰+-+-++++=dx x x x dx x x x 12214212214222⎰⎰+----++++=dx x x x dx x x x 1222)22(21421222)22(214222 )1212(41]12)12(12)12([82222222⎰⎰⎰⎰+-+++++-+--++++=x x dxx x dx x x x x d x x x x d C x x x x x x +-++++-++=)12arctan(42)12arctan(42|1212|ln 8222. 11. ⎰++--dx x x x 222)1(2; 解 ⎰⎰⎰++-++-=++--dx x x dx x x x dx x x x 11)1(1)1(2222222 ⎰⎰⎰++-++-+++=dx x x dx x x dx x x x 11)1(123)1(122122222 ⎰⎰++-++-++⋅-=dx x x dx x x x x 11)1(12311212222, 因为)312arctan(32)312()312(11321122+=+++=++⎰⎰x x d x dx x x , 而⎰⎰++=++dx x dx x x 22222])23()21[(1)1(1由递推公式 ⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dxn a x x n a a x dx ,得⎰⎰++=++dx x dx x x 22222])23()21[(1)1(1312arctan 323211231)1121()23(212222+⋅++++⋅=++++++=⎰x x x x x x dx x x x , 所以 ⎰++--dx x x x 222)1(2C x x x x x x x ++-+-+++-++⋅-=312arctan 32312arctan 3211221112122C x x x x ++-+++-=312arctan34112.12. ⎰+x dx2sin 3;解⎰⎰⎰+=-=+x d x dx x x dx tan 3tan 41cos 41sin 3222C x x d x +=+=⎰3tan 2arctan321tan )23(tan 14122.13.⎰+dx x cos 31;解 ⎰⎰⎰+=+=+)2sec 1(2cos )2(2cos 121cos 31222x x x d x dx dx x ⎰+=+=C x x x d 22tanarctan 212tan 22tan 2. 或⎰⎰+⋅++=+du u u u xu dx x221212312tancos 31令 C xC u du u +=+=+=⎰22tan arctan212arctan21)2(122. 14.⎰+dx x sin 21;解 ⎰⎰⎰+=+=+)2cot 2(csc 2sin )2(2cos 2sin 22sin 2122x x x x d x x dx dx x⎰⎰+++-=++-=222)23()212(cot )212(cot 12cot 2cot )2(cot x x d x x x dC x ++-=312cot 2arctan 32. 或⎰⎰+⋅++=+du u u u xu dx x221212212tansin 21令 ⎰⎰++=++=du u du u u 222)23()21(111C xC u ++=++=312tan 2arctan 32312arctan 32. 15.⎰++x x dxcos sin 1;解 ⎰⎰⎰+=+=+=++C x x xd x x dx x x dx |2tan |ln 2tan1)2(tan )2tan 1(2cos 21cos sin 12. 或⎰⎰+⋅+-+++=++du u u u u ux u xx dx2222121112112tancos sin 1令C xC u du u ++=++=+=⎰|12tan |ln |1|ln 11. 16.⎰+-5cos sin 2x x dx; 解⎰⎰⎰++=+⋅++--+=+-du u u du u u u u ux u x x dx2231125111412tan5cos sin 222222令C xC u du u ++=++=++=⎰512tan 3arctan 51513arctan 51)35()31(13122. 或⎰⎰+⋅++--+=+-du uu uu u x u x x dx2222125111412tan5cos sin 2令⎰⎰++=++=du u du u u 222)35()31(1312231C xC u ++=++=512tan 3arctan 51513arctan 51. 17.⎰++dx x 3111;解⎰⎰⎰++-=⋅+=+=++du uu du uu ux dx x )111(33111111233令 C x x x C u u u +++++-+=+++-=)11ln(313)1(23|1|ln 332333322.18.⎰++dx x x 11)(3;解C x x x dx x x dx x x ++-=+-=++⎰⎰232233221]1)[(11)(.19.⎰++-+dx x x 1111;解⎰⎰⎰++-=⋅+-=+++-+du u u udu u u u x dx x x )122(221111111令 C u u u +++-=|)1|ln 2221(22C x x x +++++-+=)11ln(414)1(. 20.⎰+4xx dx ;解⎰⎰⋅+=+du uu u u x xx dx 324441令C u u u du uu +++-=++-=⎰|1|ln 442)111(42 C x x x +++-=)1ln(4244.21.⎰+-xdxx x 11;解 令u x x=+-11, 则2211u u x +-=, du u u dx 22)1(4+-=,⎰⎰⎰++-=+-⋅-+⋅=+-du uu du u u u u u x dx x x )1111(2)1(41111222222 C u u u +++-=arctan 2|11|ln C xxxx x x ++-+++-+--=11arctan2|1111|ln . 22.⎰-+342)1()1(x x dx .解 令u x x =-+311, 则1133-+=u u x , 232)1(6--=u udx , 代入得C x x C u du x x dx +-+-=+-=-=-+⎰⎰334211232323)1()1(.总习题四求下列不定积分(其中a , b 为常数):1. ⎰--x x e e dx;解 C e e de e dx e e e e dxx x xx x xxx ++-=---=-⎰⎰⎰-|11|ln 2111122.2. dx x x ⎰-3)1(; 解C x x dx x dx x dx x x+-⋅+-=----=-⎰⎰⎰2323)1(12111)1(1)1(1)1(. 3. ⎰-dx xa x 662(a >0);解 C ax a x a x d x a dx x a x +-+=-=-⎰⎰||ln 61)()()(1313333332323662.4. ⎰++dx x x xsin cos 1;解 C x x x x d x x dx x x x ++=++=++⎰⎰|sin |ln )sin (sin 1sin cos 1.5. ⎰dx xxln ln ; 解 C x x x dx x x x x x x xd dx x x +-⋅=⋅⋅-⋅==⎰⎰⎰ln ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln ln ln ln ln ln .6.⎰+dx x xx 4sin 1cos sin ; 解 C x x d x x d xx dx x x x +=+=+=+⎰⎰⎰222244sin arctan 21)(sin )(sin 1121sin sin 1sin sin 1cos sin . 7. ⎰xdx 4tan ; 解 xxd x x d xx xdx tan sin tan tan cos sin tan 22244⎰⎰⎰==⎰⎰++-=+=x d x x x d x x tan )1tan 11(tan tan 1tan tan 2224c x x x c x x x ++-=++-=tan tan 31tan arctan tan tan 3133.8. ⎰xdx x x 3sin 2sin sin ; 解 ⎰⎰--=xdx x x xdx x x 3sin )cos 3(cos 213sin 2sin sin ⎰⎰+-=xdx x xdx x 3sin cos 213sin 3cos 21 ⎰⎰++=dx x x x xd )2sin 4(sin 41)3(cos 3cos 61 C x x x +--=2cos 814cos 1613cos 1212. 9.⎰+)4(6x x dx;解 C x x dx x x x x x dx++-=+-=+⎰⎰)4ln(241||ln 41)41(41)4(6656.10.)0(>-+⎰a dx xa xa ; 解⎰⎰⎰⎰-+-=-+=-+dx xa xdx x a a du x a x a dx x a x a 2222221C x a a xa +--=22arcsin .11.⎰+)1(x x dx ;解C x x C x x x d x x x dx +++=+++=+=+⎰⎰)1ln(2))(1ln(2)(112)1(22.12. ⎰xdx x 2cos ; 解 ⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x x xdx x 2sin 4141)2cos (21cos 22 C x x x x xdx x x x +++=-+=⎰2cos 812sin 41412sin 412sin 414122.13. ⎰bxdx e ax cos ; 解 因为dx bx e a b bx e a bxde a bxdx e ax axax ax ⎰⎰⎰+==sin cos 1cos 1cos dx bx e ab bx e a b bx e a de bx a b bx e a ax ax ax axax ⎰⎰-+=+=cos sin cos 1sin cos 12222,所以 C bx e ab bx e a b a a bxdx e axax ax+++=⎰)sin cos 1(cos 2222C bx b bx a e ba ax +++=)sin cos (122.14.⎰+xedx 1;解⎰⎰⎰⎰+--=-=-=++du u u du u u d u u e edx xx)1111(112)1ln(11122令.c e e c u u x x +++-+=++-=1111ln |11|ln .15.⎰-122x xdx ;解C t tdt tdt t t t tx x x dx+==⋅⋅=-⎰⎰⎰sin cos tan sec tan sec 1sec 1222令C xx +-=12.16.⎰-2/522)(x a dx;解⎰⎰⋅=-tdt a t a ta x x a dx cos )cos (1sin )(52/522令⎰⎰+==t d t adt ta tan )1(tan1cos 112444C t at a++=tan 1tan 31434C xa x ax a x a+-+-⋅=224322341)(31.17.⎰+241xxdx;解tdt t t tx x xdx 2424secsec tan 1tan 1⋅⋅=+⎰⎰令⎰⎰==t d t tdt t tsin sin cos sin cos 4243 C t tt d t t ++-=-=⎰sin 1sin 31sin )sin 1sin 1(324 C xx x x ++++-=233213)1(.18.⎰dx x x sin ;解⎰⎰⎰=⋅=tdt t tdt t t t x dx x x sin 22sin sin 2令⎰⎰⋅+-=-=tdt t t t t d t 2cos 2cos 2cos 222⎰⎰-+-=+-=tdt t t t t t td t t sin 4sin 4cos 2sin 4cos 222 C t t t t t +++-=cos 4sin 4cos 22C x x x x x +++-=cos 4sin 4cos 2. 19. ⎰+dx x )1ln(2;解 ⎰⎰+⋅-+=+dx xx x x x dx x 22212)1ln()1ln(⎰+--+=dx x x x )111(2)1ln(22C x x x x ++-+=arctan 22)1ln(2. 20.⎰dx x x32cos sin ;解 x d x xx x d x x dx x xtan )1tan tan (tan tan cos sin cos sin 2232⎰⎰⎰+-== C x x ++-=)1ln(tan 21tan 2122.21. ⎰dx x arctan ;解 x d xx x x dx x ⎰⎰+⋅-=11arctan arctan x d xx x ⎰+⋅--=)111(arctan C x x x x ++-=arctan arctan C x x x +-+=arctan )1(. 22.dx xx⎰+sin cos 1;解C x x x d x dx x x xdx x x +-===+⎰⎰⎰|2cot 2csc |ln 222csc 22cos2sin 22cos2sin cos 1. 23.⎰+dx x x 283)1(;解 C x x x dx x dx x x +++⋅=+=+⎰⎰]arctan 1[2141)1(141)1(484428283. 提示: 已知递推公式⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dxn a x x n a a x dx . 24. ⎰++dx x x x 234811; 解 ⎰⎰⎰++=++=++dt t t t t x dx x x x dx x x x 234123412322444884811令 ⎰⎰+++-=+++-=dt t t dt t t t )11241(41)23231(412 C t t t ++++-=|1|ln 41|2|ln 41C x x x ++++=21ln 414444.25.⎰-416x dx;解⎰⎰⎰++-=+-=-dx x x dx x x x dx)4141(81)4)(4(11622224C xx x ++-+=)2arctan 21|22|ln 41(81C x x x ++-+=2arctan 161|22|ln 321. 26.dx x x⎰+sin 1sin ;解 ⎰⎰⎰-=--=+dx xxx dx x x x dx x x 222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sinC x x x dx x x x++-=+-=⎰tan sec )cos 11cos sin (22.27. dx xxx ⎰++cos 1sin ;解⎰⎰⎰⎰+=+=++dx x xdx x x dx x x x dx x x x 2cossin 212cos 212cos 2sin cos 1sin 222 ⎰⎰+=dx xx xd 2tan 2tanC xx dx x dx x x x +=+-=⎰⎰2tan 2tan 2tan 2tan .28. ⎰-dx x x x x e x23sin cos sin cos ;解 ⎰⎰⎰⋅⋅-⋅⋅=-xdx x e xdx e x dx xx x x ex x xsec tan cos cos sin cos sin sin 23sin⎰⎰-=x d e x d xe x x sec sin sin sin ⎰⎰+⋅-=x x x xde e x xde sin sin sin sec sec⎰⎰⋅⋅+⋅--=xdx e x e x dx e xe x x x x cos sec sec sin sin sin sin C e x xe x x +⋅-=sin sin sec .29.⎰+dx x x x x)(33;解dt t t dt t t t t t t x dx x x x x)111(66)()(52362633+-=⋅+=+⎰⎰⎰令C x x C t t ++=++=66)1(ln 1ln6. 30.⎰+2)1(x e dx;解⎰⎰⎰---=-⋅=++dt t t t dt t tt e e dxx x )1111(1111)1(222令 C tt t ++--=1ln )1ln(C ee x xx ++++-=11)1ln(.31. ⎰+-+dx e e e e x x xx 1243;解)()(1111222243x xx x x x xx x x x x e ed e e dx e e e e dx e e e e ------+=+-+=+-+⎰⎰⎰C e e x x +-=-)arctan( C x +=)sh 2arctan(. 32.⎰+dx e xe xx 2)1(;解⎰⎰⎰+-=++=+11)1()1()1(22x x x x xe xd e d e x dx e xe⎰⎰+++-=+++-=x x x x x x de e e e x dx e e x )1(11111⎰+-++-=x xxxde e ee x )111(1 C e e e xx x x ++-++-=)1ln(ln 1C e e xe x x x++-+=)1ln(1.33. ⎰++dx x x )1(ln 22;解 dx x x x x x x dx x x ])1([ln )1(ln )1(ln 222222'++⋅-++=++⎰⎰ ⎰+⋅++-++=dx xx x x x x x 22221)1ln(2)1(ln⎰+++-++=22221)1ln(2)1(ln x d x x x x x⎰'++⋅+++++-++=dx x x x x x x x x x ])1[ln(12)1ln(12)1(ln 222222 ⎰++++-++=dx x x x x x x 2)1ln(12)1(ln 2222 C x x x x x x x +++++-++=2)1ln(12)1(ln 2222.34.⎰+dx x x2/32)1(ln ;解 因为⎰⎰⎰++=+==⋅=+C xx C t tdt tdt t t x dx x 2232/321sin cos sec sec 1tan )1(1令,所以⎰⎰⎰⋅+-+=+=+dx x x xx x x x x xd dx x x111ln )1(ln )1(ln 2222/32 C x x x x x +++-+=)1ln(1ln 22.35. ⎰-xdx x arcsin 12;解⎰⎰⎰+=⋅=-dt t t t tdt t t x xdx x )2cos (21cos sin arcsin 122令⎰⎰-+=+=tdt t t t t t t 2sin 412sin 41412sin 414122C t t t t +++=2cos 812sin 41412122241arcsin 121)(arcsin 41C x x x x x +--+=.36.⎰-dx xx x 231arccos ;解⎰⎰⎰--=-⋅=-2222231arccos 1arccos 1arccos x xd x dx x x x x dx x x x⎰'⋅-+--=dx x x x x x x )arccos (1arccos 12222 ⎰-⋅-⋅-+--=dx xx x x x x x x )11arccos 2(1arccos 122222⎰⎰-⋅-+--=dx x xdx x x x x x 2222arccos 12arccos 1⎰-----=32322)1(arccos 3231arccos 1x xd x x x x⎰-------=dx x x x x x x x )1(32arccos )1(3231arccos 1232322。