第3课时 三边成比例的判定方法

第 3 课时三边成比率的判断方法1.掌握三角形相像的判断方法3.2. 会用相像三角形的判断方法 3 进行计算 .阅读教材P93-94 ，自学“例 3”，理解相像三角形判断定理3.自学反应学生独立达成后集体校正①假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应,那么这两个三角形相像 .②假如两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应成比率，那么这两个直角三角形.③要判断两个直角三角形相像，最简单的方法就是再找对应相等，就能够依据相像三角形的判断3，判断这两个直角三角形相像 .④如下图，已知∠ ADE=∠ B, 则△ AED∽.原因是.⑤顶角对应相等的两个等腰三角形相像吗？为何？要依据已知条件选择适合的方法.活动 1小组议论例 1如图，△ ABC与△ A′ B′ C′相像吗？你有哪些判断方法？解：△ ABC∽△ A′B′ C′ .判断方法有 :1.三边成比率的两个三角形相像 .2.两角分别相等的两个三角形相像.3.两边成比率且夹角相等 .4.定义法 .活动 2追踪训练 ( 独立达成后展现学习成就 )1. 在 △ ABC 与 △ A' B ' C ' 中， AB 9cm ， BC 8cm ， CA 5cm ， A' B ' 4.5cm ， B' C '2.5cm ， C ' A ' 4cm ，则以下说法错误的选项是（ ）A. △ ABC 和 △A'B 'C '相像B. AB 和 A' B' 是对应边C. C 和C ' 是对应角D.BC 和 B'C ' 是对应边2. △ ABC 的三边长分别为2、10 和 2，△ A ′ B ′ C ′的两边长分别为 1和 5 ，假如△ ABC ∽ A 'B 'C ' ，则△ A ′B ′ C ′第三边的长为（）2 B.2C.2D.22A.23. 若 △ ABC 的各边都分别扩大为本来的 2 倍，获得 △ A' B 'C ' ，则以下结论正确的选项是（ ）A. △ABC 与 △ A'B 'C ' 的对应角不相等B. △ABC 与 △ A'B'C ' 不必定相像C. △ABC 与 △ A'B 'C ' 的相像比为 1∶2D. △ABC 与 △ A'B 'C ' 的相像比为 2∶14. 已知△ ABC 的三边长分别为 6cm ， 7.5cm ， 9cm ，△ DEF 的一边长为 4cm ，假如这两个三角形相像，则△DEF 的另两条边长能够是（ ）A.2cm ， 3cmB.4cm ， 5cmC.5cm ， 6cmD.6cm ，7cm5. 以下四个三角形，与左图中的三角形相像的是（）6. 在△ ABC 和△ A'B'C' 中， AB=12， BC=15， AC=24， A'B'=20 ， B'C'=25 ，A'C'=40 ，则△ ABC 和△ A'B'C'（填“相像”或“不相像” ）．7. 如下图，要使△ ABC ∽△ DEF ，则 x =.8. 如图，点 O 是 △ ABC 外的一点， 分别在射线 OA ，OB ，OC 上取一点 A ，B ，C ，使得OAOB OC3 ，AB ，B C ，CA△ABCOAOBOC连结 ，所得 与△ABC能否相像？加以说明．活动 1 小组议论例 2 已知：如图，∠ ABC=∠ CDB=90°， AC=a,BC=b,当 BD 与 a,b 之间知足如何的关系时 , 这两个三角形相像 ?解 : ∵∠ ABC=∠ CDB=90°，（ 1）当BC =AB时 , △ ABC ∽△ CDB ，BD CD此时BC =AB =AC，即 a=b .BDCD BCbBD∴ BD=b 2.a2即当 BD=b时 , △ ABC ∽△ CDB ；a（ 2）当AB =BC时 , △ ABC ∽△ BDC ，BD CD此时 AB =BC =AC ，即 AB =AC .BD CD BC BD BC∴a2b 2 =a,BD=ba 2b 2 .BDba∴当 BD=ba 2b 2 时, △ ABC ∽△ BDC.a综上所述，即当b 2 b a 2 b 2BD=或 BD=时 , 这两个三角形相像 .aa此题还是要考虑当两个三角形有一个角相等时，夹这个角的两边的比相等时有两种状况.活动 2追踪训练（独立达成后展现学习成就）如图，在△ ABC 中，∠ C=90°， BC=8 cm ， 4AC-3BC=0，点 P 从 B 点出发，沿 BC 方向以 2 cm/s 的速度挪动，点Q 从C 点出发，沿 CA 方向以 1 cm/s 的速度挪动，若 P 、Q 分别从B 、C 同时出发，经过多少秒时，△CPQ 与△CBA相像？活动 3讲堂小结1. 本节学习的数学知识 : 假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等， 那么这两个三角形相像 .2. 依据题目的详细状况，选择适合的方法证明三角形相像 .3.本节学习的数学思想 : 数形联合、分类议论 .教课至此，敬请使用《名校讲堂》相应课时部分.【预习导学】自学反应①相等②相像③一个锐角④△ ACB 略⑤相像略【合作研究 1】活动 2追踪训练1.D2.A3.C4.C5.B6.相像 7. 408. 由已知 OA OCAOCA OC ，∴△ AOCA C OABC A B 3 ，OA 3 ，∽△AOC .∴OA3.同理3，OC ACBCAB∴ A CB C A B . ACBCAB∴ △ABC ∽△ABC.【合作研究 2】活动 2追踪训练设经过 t s 时，△ CPQ 和△ CBA 相像，此时 BP=2t cm ， CQ=t cm ，则 CP=（ 8-2t) cm ，此中 0<t<4.又 BC=8 cm ， 4AC-3BC=0，求得 AC=6 cm.（ 1）当 PQ ∥ AB 时，△ CPQ ∽△ CBA,则CP =CQ，即82t = t, 因此 t=2.4.CBCA 86（ 2）当CP =CQ时，△ CPQ ∽△ CAB,则82t = t，解得 t=32.CA CB6811故经过 2.4 s 或32s 时，△ CPQ 与△ CBA 相像 .11。

北师大版九年级数学上册第四章 4.4.3三边成比例的判定方法 导学案1、预习目标三边成比例的两个三角形相似．如图，已知在△ABC 和△DEF 中，AB DE ＝AC DF ＝BC EF，则△ABC ∽△DEF.2、课堂精讲精练【例1】网格图中每个方格都是边长为1的正方形，A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，求证：△ABC ∽△DEF.证明：∵AC ＝2，AB ＝4，BC ＝10，EF ＝210，DF ＝22，DE ＝8，∴AC DF ＝AB DE ＝BC EF ＝12. ∴△ABC ∽△DEF.【跟踪训练1】已知△ABC 的三边长分别为2，6，2，△A 1B 1C 1的两边长分别为1，3，要使△A 1B 1C 1∽△ABC ，那么△A 1B 1C 1【跟踪训练2】如图，图中的每个点(包括△ABC 的各个顶点)都在边长为1的小正方形的顶点上，在P ，Q ，G ，H 中找一个点，使它与点D ，E 构成的三角形与△ABC 相似，这个点可以是Q 或G ．(写出满足条件的所有的点)【例2】如图，已知AB AD ＝BC DE ＝AC AE，求证： (1)∠BAD ＝∠CAE ；(2)△ABD ∽△ACE.证明：(1)∵AB AD ＝BC DE ＝AC AE， ∴△ABC ∽△ADE.∴∠BAC ＝∠DAE.∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE.(2)∵∠BAD ＝∠CAE ，AB AD ＝AC AE， ∴AB AC ＝AD AE.∴△ABD ∽△ACE. 【跟踪训练3】如图，已知AD AC ＝DE AB ＝AE BC.求证： (1)AB ＝AE ；(2)AD 2＝DE ·CD.证明：(1)∵AD AC ＝DE AB ＝AE BC， ∴△ADE ∽△CAB.∴∠AED ＝∠B.∴AB ＝AE.(2)∵△ADE ∽△CAB ，∴∠DAE ＝∠ACB.又∵∠ADE ＝∠CDA ，∴△ADE ∽△CDA.∴AD CD ＝DE AD.∴AD 2＝DE ·CD.3、课堂巩固训练1．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是(C)A ．①② B.②③ C ．①③ D ．②④2．要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边分别是4，5，6，另一个三角形框架的一边是2，怎样选料可使这两个三角形相似？你选的木料唯一吗？解：①当边长为2的边的对应边的长为4时，则4∶2＝2∶1，∴另一个三角形对应的三边的长分别为2，2.5，3；②当边长为2的边的对应边的长为5时，则5∶2＝2.5∶1，∴另一个三角形对应的三边的长分别为1.6，2，2.4；③当边长为2的边的对应边的长为6时，则6∶2＝3∶1，∴另一个三角形对应的三边的长分别为43，53，2. ∴可选木料有三种方案．。

三角形相似中的三边比例定理与三角比例定理在几何学中，相似三角形是一种十分重要的概念。

相似三角形之间存在着一些重要的比例关系，其中包括三边比例定理和三角比例定理。

本文将详细介绍这两个定理的概念、原理和应用。

一、三边比例定理相似三角形中的三边比例定理是指：如果两个三角形相似，那么它们对应边的比例相等。

设有两个相似三角形ABC和DEF，它们的对应顶点分别为A和D、B和E、C和F。

那么我们可以得到以下的比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF这个定理的证明可以通过三角形的直角性质和等角性质来推导，具体的证明过程在此不再详述。

三边比例定理在实际应用中有广泛的用途。

例如，在地理学中，我们可以利用三边比例定理来测量难以直接测量的距离。

在工程中，我们可以利用这个定理来判断建筑物的相似性以及比例尺的选择等。

二、三角比例定理相似三角形中的三角比例定理是指：如果两个三角形相似，那么它们对应角度的正弦、余弦或正切值相等。

设有两个相似三角形ABC和DEF，它们的对应顶点分别为A和D、B和E、C和F。

那么我们可以得到以下的比例关系：sin∠A/sin∠D = sin∠B/sin∠E = sin∠C/sin∠Fcos∠A/cos∠D = cos∠B/cos∠E = cos∠C/cos∠Ftan∠A/tan∠D = tan∠B/tan∠E = tan∠C/tan∠F这个定理的证明同样可以通过三角形的直角性质和等角性质来推导，具体的证明过程也在此不再详述。

三角比例定理的应用非常广泛。

在导航中，我们可以利用三角比例定理来计算两地之间的距离。

在工程测量中，我们可以利用此定理来测量高楼大厦的高度或者无法直接测量的距离。

综上所述，三角形相似中的三边比例定理和三角比例定理是相似三角形中的重要概念。

这两个定理不仅具有理论意义，而且在实际应用中有着广泛的用途。

熟练掌握这些定理，可以帮助我们更好地理解和应用几何学知识，从而解决一些实际问题。

第3课时三边成比例的两个三角形相似学习目标：1、掌握并会推导相似三角形的判定定理3.2、会用相似三角形的判定定理1、2、3进行一些简单的判断、证明和计算. 学习重点：灵活运用相似三角形的判定定理3证明和解决有关问题．预设难点：相似三角形的判定定理3的推导和应用.☆预习导航☆一、链接1、回忆相似三角形的判定定理1、2的内容.定理1可简单说成： .定理2可简单说成： .2、简单说一说相似三角形的判定定理1、2的证明过程.二、导读结合课本和相似三角形的判定定理1、2的证明过程写一写相似三角形的判定定理3的证明过程.☆ 合作探究 ☆1、根据下列条件，判断 ∆ABC 与∆A 1B 1C 1是否相似，并说明理由： （1）∠A ＝1200，AB=7，AC=14，∠A 1＝1200，A 1B 1= 3，A 1C 1=6。

（2）∠A ＝380，∠C ＝970 ,∠A 1＝380，∠B 1＝450(3) 5121022111111======C A C B B A AC BC AB ，，，，，2、如图，在正方形网格上有两个三角形111C B A 和，求证：△111C B A ∽△222C B A☆归纳反思☆本节课你有哪些收获？还存在哪些困惑？☆达标检测☆1、如图，要使△ADE∽△ABC，只给出一个条件即可.2、已知ΔABC与ΔDEF相似,AB=2,AC=10,BC=2,DE=1,DF=5,求EF的长.（注意多种情况）3、如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q.（1）请写出图中相似三角形（相似比为1除外）；（2）求BP:PQ:QR .。

第3课时 三边成比例的判定方法1．掌握三边成比例的两个三角形相似这个判定定理．(重点)2．会运用本课的判定定理证明三角形相似，会根据已知条件选择合适的判定方法判定三角形相似，并会应用它们解决一些问题．(难点)阅读教材P93～94，自学“例3”，完成下列内容：(一)知识探究1．三边成比例的两个三角形________．2．两角分别________的两个三角形相似．3．两边________且________相等的两个三角形相似．(二)自学反馈若△ABC 的各边都分别扩大为原来的2倍，得到△A ′B ′C ′，则下列结论正确的是( )A ．△ABC 与△A ′B ′C ′的对应角不相等B ．△ABC 与△A ′B ′C ′不一定相似C ．△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为1∶2D ．△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为2∶1活动1 小组讨论例1 如图，在△ABC 和△ADE 中，AB AD ＝BC DE ＝AC AE，∠BAD ＝20°，求∠CAE 的度数．解：∵AB AD ＝BC DE ＝AC AE， ∴△ABC ∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似)．∴∠BAC ＝∠DAE.∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE.∵∠BAD ＝20°，∴∠CAE ＝20°.本例是对刚得到的相似三角形的判定定理的一个应用，先由本课所学定理结合已知条件可判断两三角形相似，再通过观察图形，寻找∠BAD 和∠CAE 的关系．例2 如图，△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？你有哪些判断方法？△ABC ∽△A ′B ′C ′.判断方法有：(1)三边成比例的两个三角形相似；(2)两角分别相等的两个三角形相似；(3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(4)定义法．以方格纸为背景呈现两个三角形，意在运用不同判定方法进行判断．活动2 跟踪训练1．下列四个三角形中，与左图中的三角形相似的是( )2．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB ＝12，BC ＝15，AC ＝24，A ′B ′＝20，B ′C ′＝25，A ′C ′＝40，则△ABC 和△A ′B ′C ′________(填“相似”或“不相似”)．3．如图所示，要使△ABC ∽△DEF ，则x ＝________.4．如图，点O 是△ABC 外的一点，分别在射线OA ，OB ，OC 上取一点A ′，B ′，C ′，使得OA ′OA ＝OB ′OB ＝OC ′OC＝3，连接A ′B ′，B ′C ′，C ′A ′，所得△A ′B ′C ′与△ABC 是否相似？说明理由．5．已知：如图，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，当BD 与a ，b 之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？活动3 课堂小结1．相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似．2．根据题目的具体情况，选择适当的方法判定三角形相似．3．本节学习中体现的数学思想：数形结合、分类讨论．【预习导学】(一)知识探究1．相似 2.相等 3.成比例 夹角(二)自学反馈C【合作探究】活动2 跟踪训练1．B 2.相似 3.404．相似．∵OA ′OA ＝OC ′OC ＝3，∠AOC ＝∠A ′OC ′，∴△AOC ∽△A ′OC ′.∴A ′C ′AC ＝OA ′OA ＝3.同理可得B ′C ′BC＝3，A ′B ′AB ＝3，∴A ′C ′AC ＝B ′C ′BC ＝A ′B ′AB .∴△A ′B ′C ′∽△ABC. 5.∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°，(1)当BC BD ＝AB CD时，△ABC ∽△CDB ，此时BC BD ＝AB CD ＝AC BC ，即a b ＝b BD .∴BD ＝b 2a .即当BD ＝b 2a 时，△ABC ∽△CDB ；(2)当AB BD ＝BC CD时，△ABC ∽△BDC ，此时AB BD ＝BC CD ＝AC BC ，即a 2－b 2BD ＝a b ，BD ＝b a a 2－b 2.∴当BD ＝b a a 2－b 2时，△ABC ∽△BDC.综上所述，当BD ＝b 2a 或BD ＝ba2－b2时，这两个三角形相似．a。

如何判断三角形的边长成等比数列三角形是几何学中常见的基本图形，由三条边和三个角组成。

当三角形的三个边长成等比数列时，可以通过一些几何性质和定理进行判断。

本文将介绍如何判断三角形的边长是否成等比数列。

一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比等于相同的常数，这个常数称为公比。

例如，数列1、2、4、8、16就是一个等比数列，它的公比为2，因为2/1=4/2=8/4=16/8=2。

二、等边三角形等边三角形是一种特殊的三角形，指三条边的长度相等。

在等边三角形中，三条边的长度肯定成等比数列，且公比为1。

对于一个三角形来说，如果三条边的长度相等，则该三角形一定是等边三角形。

所以判断一个三角形的边长是否成等比数列，首先可以检查其是否为等边三角形。

如果是，那么三个边长肯定成等比数列；如果不是，那么还需要进一步判断。

三、勾股定理勾股定理是三角形中常用的定理，它指的是直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。

在一个直角三角形中，假设较长的直角边长度为a，较短的直角边长度为b，斜边长度为c，根据勾股定理有以下关系式：c² = a² + b²如果给定一个三角形的两个边长a和b，我们可以通过勾股定理来判断第三条边的长度是否与前两个边成等比数列。

假设三角形的边长为a、b、c，其中a < b < c。

如果满足以下条件，则可以判断边长成等比数列：c² = a² * b²取平方根并约分，得到：c = √(a * b)如果计算出的c的值等于给定的第三个边长c，则可以确定三角形的边长成等比数列。

四、例题分析以一个具体的例题来进行分析和判断。

例题：已知三角形ABC的三边长度为2、4、8，请判断边长是否成等比数列。

解：首先，我们可以看到该三角形不是等边三角形，所以不能直接判断它的边长成等比数列。

接下来，我们可以利用勾股定理，将式子转化为如下形式：c² = a² * b²8² = 2² * 4²64 = 16 * 16计算得到的结果为64，再开方得到8。