当前位置：文档之家 › 湖南师大附中2020届高三下学期月考(七)理科数学试题

湖南师大附中2020届高三下学期月考(七)理科数学试题

  • 格式：docx
  • 大小：916.52 KB
  • 文档页数：25

湖南师大附中2020届高三下学期月考（七）理科数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知{}2,1xU y y x ==≥-，111A xx ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则UA（ ）A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)2,+∞C ．()1,12,2⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦D ．()1,122,⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭+∞2．设40.48,8a log b log ==,0.42c =,则( ) A ．b c a <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<3．设p ：实数x ，y 满足1x y +≤，q ：实数x ，y 满足1,1,y y x y ⎧≤⎪⎪≥-⎨⎪≥-⎪⎩则p 是q 的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某校在一次月考中有1200人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布()290,XN a （0a >，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数为总人数的35，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生人数为（ ）A ．960B ．480C ．240D ．1205．函数()f x 的部分图像如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A ．()231f x x x=-+B ．()231f x x x=--C ．()231f x x x =+D ．()231f x x x =-6．已知曲线y ＝2sin （x 4π+）cos （4x π-）与直线y 12=相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 1P 5|等于（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π7．在等比数列{}n a 中，11a =，84a =，函数()()()()()1238f x x x a x a x a x a =---⋅⋅⋅-，若()y f x =的导函数为()y f x '=，则()0f '=（ ） A ．1B ．82C ．122D ．1528．在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别为棱111111,,,AA B C C D DD 的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ） A ．直线1CCB ．直线11C DC ．直线1HCD ．直线GH9．已知函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，则关于x 的不等式1(ln )(ln )2(1)f x f f x+<的解集为（ ） A ．(0,)+∞B ．(0,)eC ．1(,)e eD ．(1,)e10．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知c =，且2sin cos sin sin sin 2a C B a Ab B C =-+，点O 满足0OA OB OC ++=，3cos 8CAO ∠=，则ABC ∆的面积为（ ） A．B．4CD11．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A．2B ．23C．3D ．212．已知()()11,101,01x f x f x x x ⎧--<<⎪+=⎨⎪≤<⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是( ) A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．{}28,3⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．{}28,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知等比数列{}n a 的公比为2,前n 项和为n S ,则42S a =______. 14．()()532x y x y -+的展开式中，含24x y 项的系数为______．（用数字作答） 15．已知点(3,0),(1,2)A B ---，若圆222(2)(0)x y r r -+=＞上恰有两点,M N ，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是____.16．瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，ABC 的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成的三角形称为ABC的欧拉三角形.如图，111A B C △是ABC 的欧拉三角形（H 为ABC 的垂心）.已知3AC =，2BC =，tan ACB ∠=，若在ABC 内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求311nn n a c b =-的最大项的值，并指出是第几项.18．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，111112AA A B AB ===，60ABC ∠=，1AA ⊥平面ABCD ．（1）若点M 是AD 的中点，求证：1//C M 平面11AA B B ； （2）棱BC 上是否存在一点E ，使得二面角1E AD D --的余弦值为13？若存在，求线段CE 的长；若不存在，请说明理由．19．已知点00(,)M x y 为椭圆22:12x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+= 交于A ，B 两点，点F 为椭圆C 的左焦点.（1）求证：直线l 与椭圆C 相切； （2）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由.20．有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔）：②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线，③2020年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取） （Ⅰ）求该学生参加自主招生考试的概率；（Ⅱ）求该学生参加考试的次数X 的分布列及数学期望； （Ⅲ）求该学生被该校录取的概率. 21．设函数()21ln 2f x x ax bx =--． （1）当12a b ==时，求函数()f x 的最大值； （2）令()()212a F x f x ax bx x=+++，（03x <≤）其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当0a =，1b =-，方程()22mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为126126x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（m 为参数），以坐标点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos （θ+3π）＝1． （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）已知点M （2，0），若直线l 与曲线C 相交于P 、Q 两点，求11||||MP MQ +的值． 23．函数()()2114f x x =+. （1）证明：()()20f x f x +-≥；（2）若存在x ∈R 且1x ≠-，使得()()2114f x m m f x +≤--成立，求m 的取值范围.参考答案1．C 【解析】 【分析】根据题意，求出集合U 与A ，由补集的定义计算可得答案． 【详解】解：根据题意，{}12,1[,)2xU y y x ==≥-=+∞，11(1,2]1A x x ⎧⎫=≥=⎨⎬-⎩⎭，则UA1,1](2,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的运算，涉及求函数的值域和不等式的解法，属于基础题． 2．A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数单调性比较数值大小. 【详解】因为4233log 8log 222a ===，0.40.4log 8log 10b =<=，0.40.53222c =<=<， 所以b c a <<， 故选A. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较数值大小，难度一般.利用指、对数函数单调性比较大小时，注意利用中间量比较大小，常用的中间量有：0,1. 3．A 【解析】 【分析】由不等式组，画出平面区域，可得满足条件P 的点集是满足条件q 的点集的真子集，进而可【详解】满足条件P的点集如图（1）所示，满足条件q的点集如图（2）所示，可知p为q的真子集，所以p为q的充分不必要条件.图（1）图（2）故选：A【点睛】本题考查了不等式组表示的平面区域和充分必要条件，考查了数形结合思想和逻辑推理能力，属于中档题目.4．C【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性求概率．【详解】由已知3(70110)5P X≤≤=，∴[]1131(110)1(70110)12255P X P X⎛⎫≥=-≤≤=⨯-=⎪⎝⎭，所求人数为1 12002405⨯=．故选：C．【点睛】本题考查正态分布，利用正态分布曲线的对称性求概率是基本问题．5．A【解析】由题意结合函数的解析式排除错误选项即可确定正确的选项. 【详解】由图像可知，当0x >时，()f x 的图像是单调递减的，且有零点 B 选项中的图像恒小于零，故B 错误； C 选项中的图像恒大于零，故C 错误； D 选项中的图像是单调递增的，故D 错误. 故选：A. 【点睛】本题主要考查由函数图像确定解析式等知识，一般通过奇偶性、单调性和特殊点进行排除法选出正确答案，属于比较常见的基础题型. 6．B 【解析】 【分析】 将2sin()cos()44y x x ππ=+-化为1sin 2y x =+,根据已知条件得到关于x 的方程,求出方程的解,进而得到12345,,,,P P P P P 的横坐标,从而可得15||PP 的值. 【详解】 因为2sin()cos()2sin[()]cos()44244y x x x x πππππ=+-=--- 22cos ()1cos(2)1sin 242x x x ππ=-=+-=+,所以由11sin 22x +=,得1sin 22x =-,所以7226x k ππ=+或11226x k ππ=+,k Z ∈, 所以712x k ππ=+或1112x k ππ=+,k Z ∈, 所以12345,,,,P P P P P 的横坐标依次是7117117,,,,21212121212ππππππππ+++, 所以1577||221212PP ππππ=+-=. 故选:B 【点睛】本题考查了诱导公式,降幂公式,简单的三角方程,本题是一道关于关于三角函数的问题,掌握三角函数的转换公式是答题的关键,属于中档题. 7．B 【解析】 【分析】设1238()()()()()g x x a x a x a x a =---⋯-，对函数进行求导发现(0)f '中，含有x 的项的值均为0，而常数项为1238a a a a ⋯，由此求得(0)f '的值． 【详解】设1238()()()()()g x x a x a x a x a =---⋯-， ()()f x xg x ∴=， ()()()f x g x xg x '∴=+'，48123818(0)(0)0()(0)()()()()()2f g g x g a a a a a a '∴=+⨯'==---⋯-==故选：B ． 【点睛】本题考查多项式函数的导数公式、等比数列的性质，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，属于基础题． 8．C 【解析】连结EH ,HC 1，则EH ∥A 1D 1,又A 1D 1∥FC 1， ∴FC 1∥EF ，∴四边形FC 1HE 是梯形，∴EF 与HC 1相交． 故选C.9．C 【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式分析函数的奇偶性与单调性，据此分析可得f （lnx ）+f （ln1x）＜2f （1）⇒2f （lnx ）＜2f （1）⇒f （lnx ）＜f （1）⇒|lnx |＜1，解可得x 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，函数f （x ）＝ln （1+|x |）211x -+，则f （﹣x ）＝ln （1+|x |）211x -=+f （x ），即函数f （x ）为偶函数，在[0，+∞）上，f （x ）＝ln （1+x ）211x-+，则f （x ）在[0，+∞）上为增函数， f （lnx ）+f （ln1x）＜2f （1）⇒2f （lnx ）＜2f （1）⇒f （lnx ）＜f （1）， 即|lnx |＜1，解可得1e ＜x ＜e ，即不等式的解集为（1e，e ）；故选C ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析f （x ）的奇偶性与单调性，属于基础题． 10．D 【解析】 【分析】作出图形，0OA OB OC ++=，所以O 为ABC ∆的重心，连AO 并延长交BC 与E ，则E 为BC 的中点，延长AE 至F ，使AE EF =，连BF ，CF ，则四边形ABFC 为平行四边形，在ABF ∆中用余弦定理解得AE ，在AEC ∆中用面积公式求得面积，再乘以2可得． 【详解】如图所示，∵0OA OB OC++=，所以O为ABC∆的重心，连AO并延长交BC与E，则E为BC的中点，延长AE至F，使AE EF=，连BF，CF，则四边形ABFC为平行四边形，2sin cos sin sin sina C B a Ab B C=-+，c=，2222222a c bac a bac+-∴⋅=-，即c=，又因为c=，所以4b=，∴4BF AC==，38cos AFB cos CAE cos CAO∠=∠=∠=，设AE x=，则2AF x=，在ABF∆中由余弦定理得2222BF AF ABcos AFBBF AF+-∠=⋅⋅，即()(2224238242xx+-=⨯⋅，解得2x=，即2AE=.又21sin CAE cos CAE∠=-∠==，∴122242ABC AECS S AE AC sin CAE∆∆==⨯⨯⨯⋅∠=⨯=.故选：D.【点睛】本题考查解三角形的应用，考查三角形中的几何计算，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题. 11．A 【解析】【分析】设200(,)2yp yp，利用向量写出M的坐标，进而求出斜率，利用基本不等式求最值，即可得出结果. 【详解】设200(,)2yp yp，(,0)2pF2200011(,0)(,)(,) 32322633 =+=+-=+y y yp p pOM OF FM yp p所以213263==≤==++yky py pp yp故选：A【点睛】本题考查了抛物线的几何性质和基本不等式的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.12．D【解析】【分析】根据题意，先表示出当()1,0x∈-的()f x表达式，再根据()f x表达式画出对应图像，若要使方程()21f x ax a-=-有唯一解，即等价于函数()y f x=与函数()21g x ax a=+-有唯一的一个交点，采用数形结合进行求解即可.【详解】令()1,0x∈-，则()10,1x+∈，()11f x x+=+，所以()11,101,01xf x xx x⎧--<<⎪=+⎨⎪≤<⎩，作出()f x 图像，如图所示，方程()21f x ax a -=-有唯一解，即等价于()()21f x g x ax a ==+-有唯一的一个交点，()121212g x ax a a x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，恒过1,12A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又因为()1,1B ，43AB k =，422,33a a ∴>>，当()g x 与曲线()()11,101f x x x =--<<+相切时，也满足条件，令2112123101ax a ax ax a x -=+-⇒++-=+，229880a a a ∆=-+=，解得08a a ==-或，0a =（舍去）， 所以当方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是{}28,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.答案选D 【点睛】本题考查函数解析式的求法、函数的图像、方程的解与函数图像的关系，需要结合基本运算能力，推理能力，数形结合思想，转化与化归思想，对考生核心的数学素养要求较高. 13．152【解析】由等比数列的定义，S 4=a 1＋a 2＋a 3＋a 4=2a q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2， 得42S a =1q ＋1＋q ＋q 2=152.14．110- 【解析】 【分析】()52x y +的展开式的通项公式为()5152rr r r T C x y -+=,采取赋值法令51r -=和令52r ，进一步求出答案. 【详解】()52x y +的展开式的通项公式为()5152rrr r T C x y -+=，令51r -=得4r =，令52r 得3r =，∴()()522x y x y -+的展开式中，24x y 的系数为42255232110C C ⋅-⋅=-,故答案为110-.故答案为：110-. 【点睛】本题考查二项展开式的通项公式，赋值法是解决二项展开式的系数和问题的工具，属于基础题型.15．,)22【解析】由题意可得，根据△MAB 和△NAB 的面积均为4，可得两点M ，N 到直线AB 的距离为； 由于AB 的方程为020y ---=313x +-+，即x +y+3=0；若圆上只有一个点到直线AB 的距离为，则有圆心（2，0）到直线AB ；若圆上只有3个点到直线AB 的距离为，则有圆心（2，0）到直线AB =r ﹣，解得；综上，r）．故答案为（2，2）． 16．764【解析】 【分析】由三角函数的余弦定理得：AB ＝3，建立平面直角坐标系，利用坐标法得到阴影三角形的面积，从而利用几何概型公式得到结果. 【详解】解：因为tan ∠ACB ＝，所以cos ∠ACB 13=， 又因为AC ＝3，BC ＝2， 由余弦定理可得：AB ＝3， 取BC 的中点O ，则OA ⊥BC ，以O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则B （﹣1，0），C （1，0），A （0，），设H （0，y ）， 因为BH ⊥AC ，所以11y ⨯=--1， 所以y 4=，从而S11111222432A B H ⎛=⨯⨯⨯= ⎝⎭，故所求概率为：73216422=⨯⨯， 故答案为：764．【点睛】本题考查了三角函数的余弦定理及几何概型中的面积型，考查计算能力，属中档题． 17．（1）31n b n =+；（2）872，是第四项 【解析】 【分析】(1)运用111,n a S ==；当2n ≥时，1n n n a S S -=-，可得n a ，再由等差数列的通项公式可得n b 的通项；(2)311n n n a c b =-=256103n +-,当4n =时,n c 取得最大值872.【详解】(1)当1n =时,111a =；当2n ≥时,()()22138318165n n n a S S n n n n n -=-=+----=+； 而65n a n =+，对1n =也成立，所以65n a n =+． 又因为{}n b 是等差数列,设首项为1b ,公差为d ,则由1n n n a b b +=+得()()1:6522n d n b d +=+-,且该等式恒成立；所以12625d b d ⎧=⎨-=⎩,解得143b d =⎧⎨=⎩；所以31;n b n =+法二:当1n =时,1211;b d =-当2n =时,2217b d =-,解得3d =；所以数列{}n b 的通项公式为312n n a db n -==+. (2)311n n n ac b =-=()()3653111n n ++-=256103n +-,所以当4n =的时候取得最大值872.【点睛】本题考查数列通项的求法，注意运用数列递推式和等差数列通项公式，考查数列中的最大值，注意运用数列的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 18．（1）详见解析；（2）存在，且长度为1 【解析】 【分析】(1) 连接1B A ,可得四边形11AB C M 是平行四边形，可得11//C M B A ，可证得1C M //平面11AA B B ；（2）取BC 中点Q ，连接AQ ，可得ABC 是正三角形，分别以AQ ,AD ,1AA 为x 轴,y 轴,z 轴，建立空间直角坐标系，假设点E 存在，设点E的坐标为)0λ，，11λ-≤≤，可得平面1AD E的一个法向量(,3,n λ=-，平面1ADD 的一个法向量为()30AQ =，，，由二面角1E AD D --的余弦值为13，可得λ的值，可得CE 的长.【详解】解：（1）证明：连接1B A ,由已知得，11////B C BC AD ，且1112B C AM BC == 所以四边形11AB C M 是平行四边形，即11//C M B A ，又1C M ⊄平面11AA B B ，1B A ⊂平面11AA B B ， 所以1C M //平面11AA B B（2）取BC 中点Q ，连接AQ 因为ABCD 是菱形，且60ABC ∠=，所以ABC ∆是正三角形，所以AQ BC ⊥即AQ AD ⊥， 由于ABC 是正三角形所以，分别以AQ ,AD ,1AA 为x 轴,y 轴,z 轴，建立空间直角坐标系,如图()000A ，，， ()1001A ，，，()1011D ，，，)Q假设点E 存在，设点E的坐标为)0λ，，11λ-≤≤()30AE λ=，，()1011AD ，，=设平面1AD E 的法向量()n x y z =，，则100n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30x y y z λ+=+=⎪⎩，可取(,3,n λ=- 平面1ADD 的法向量为()30AQ =，，所以，31cos ,336AQ n λ==+，解得：λ= 又由于二面角1E AD D --大小为锐角，由图可知，点E 在线段QC 上，所以λ=1CE =【点睛】本题主要考查立体几何的相关知识，涉及线面的垂直关系，二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用.本题对考试的空间想象能力与运算能力有较高的要求. 19．（1）证明见解析；（2）是，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据判别式即可证明．（2）根据向量的数量积和韦达定理即可证明，需要分类讨论， 【详解】解：（1）当00y =时直线l方程为x =x =l 与椭圆C 相切.当00y ≠时，由2201222x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得()2222000024440y x x x x y +-+-=，由题知，220012x y +=，即220022x y +=，所以()()()()()2222222200000044244162116220x y x y xy x y ⎡⎤∆=--+-=--=+-=⎣⎦. 故直线l 与椭圆C 相切.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，当00y =时，12x x =，12y y =-，1x =()()()22222111111161240FA FB x y x x x ⋅=+-=+-+-=-=所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=︒.当00y ≠时，由()220016,22x y x x y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩得()()222200001222100y x y x x y +-++-=，则()200122221y x x x y ++=+，212202101y x x y -=+， ()2200001212122222000054414222x x x x y y x x x x y y y y --+=-++=+. 因为()()11221,1,FA FB x y x y ⋅=+⋅+1212121x x x x y y =++++2222000000220042084225442222y y x y x x y y -++++--+=+++ ()2200205210022x y y -++==+.所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=︒.故AFB ∠为定值90︒.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查向量的运算，注意直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20．（Ⅰ）0.9.（Ⅱ）分布列见解析；数学期望3.3；（Ⅲ）0.838【解析】【分析】（Ⅰ）设该生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队时间分别为A ，B 则1()()P P A P AB =+，然后利用互斥事件的概率公式进行求解；（Ⅱ）X 的可能取值为2，3，4，然后分别求出相应的概率，列出分布列，根据数学期望公式进行求解即可；（Ⅲ）设自主招生通过并且高考达重点线录取、自主招生未通过且高考达该校线录取的事件分别为C 、D ，该学生被该校录取的事件分为三种事件，AB 、C 、D ，分别求出对应的概率，最后相加即可．【详解】解：（Ⅰ）设该学生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为A ，B ， 则()0.5P A =，()0.2P B =，1()()P P A P AB =+10.50.5(10.2)0.9=-+⨯-=. 即该学生参加自主招生考试的概率为0.9.（Ⅱ）该该学生参加考试的次数X 的可能取值为2，3，4(2)()()0.50.20.1P X P A P B ===⨯=；(3)()10.50.5P X P A ===-=；(4)()()0.50.80.4P X P A P B ===⨯=.所以X 的分布列为()20.130.540.4 3.3E X =⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）设该学生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的事件分别为C ，D .()0.1P AB =，()0.90.60.90.486P C =⨯⨯=，()0.90.40.70.252P D =⨯⨯=， 所以该学生被该校录取的概率为2()()()0.838P P AB P C P D =++=.【点睛】本题考查离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量的期望与方差．21．（1）34-；（2）12a ≥；（3）12m =. 【解析】【分析】（1）对函数求导，根据导数大于0或小于0，确定函数的单调区间，进而求出函数的最大值.（2）求出()(]ln ,0,3a F x x x x=+∈，根据()012'=≤k F x ，列不等式，分离参数可得200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，进而求出结果. （3）22ln 20x m x mx --=有唯一正实数解,构造函数()22ln 2g x x m x mx =--，对函数求导，确定函数的单调区间，进而求出函数的最小值为0，进而求出m 值.【详解】（1）依题意，知()f x 的定义城为()0,∞+，当12a b ==时，()211ln 42f x x x x =--，()()()21111222x x f x x x x-+-'=--=，令()0f x '=，解得1x =. 当01x <<时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()314f =-，此即为最大值. （2）()(]ln ,0,3a F x x x x=+∈，则有()002012x a k F x x -'==≤，在(]00,3x ≤上恒成立， 所以200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，(]00,3x ∈. 当01x =时，22000111(1)+222-+=--x x x 取得最大值12，所以12a ≥. （3）因为方程()22mf x x =有唯一实数解，所以22ln 20x m x mx --=有唯一正实数解，设()22ln 2g x x m x mx =--，则()2222x mx m g x x --'=，令()0g x '=，20x mx m --=，因为0m >，0x >，所以102m x =<（舍去），202m x =>， 当()20,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在()20,x 上单调递减；当()2,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()2,x +∞上单调递增；故2x x =时，()20g x '=，()g x 取最小值()2g x因为()0g x =有唯一正实数解，所以()20g x =，则()()220,0,g x g x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即22222222ln 20,0,x m x mx x mx m ⎧--=⎨--=⎩ 所以222ln +0-=m x mx m ，因为0m >，所以()222ln 10x x +-=*.设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时，()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解，因为()10h =，所以方程（*）的解为21x =，即12m +=，解得12m =.本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.22．（1）l ：20x =，C 方程为2233144x y -=；（2）11|||||MP M Q +＝4【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【详解】 (1)曲线C 的参数方程为126126x m m y m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（m 为参数）， 两式相加得到4m x y =+，进一步转换为2233144x y -=． 直线l 的极坐标方程为ρcos （θ+3π）＝1，则(cos cos sin sin )133ππρθθ-=转换为直角坐标方程为20x =．（2）将直线的方程转换为参数方程为212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 代入2233144x y -=得到23160t ++=（t 1和t 2为P 、Q 对应的参数），所以12t t +=-12163t t ⋅=， 所以11|||||MP M Q +＝1212||||||||4t t MP MQ MP MQ t t ++==． 【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23．（1）证明见解析；（2）1m ≤-或01m ≤≤或2m ≥.【解析】（1）()()()()22()2()2f x f x f x f x f x f x +-=+-≥+-=, （2）首先用基本不等式得到211m m --≥，然后解出不等式即可.【详解】（1）∵()()21014f x x +≥=， ∴()()()()()()22222f x f x f x f x f x f x +-=+-≥+-==⎡⎤⎣⎦. （2）当1x ≠-时，()()21014f x x +≥=，所以()()114y f x f x =+≥=.当且仅当()()14f x f x =，即1x =- 因为存在x ∈R ，1x ≠-，使得()()2114f x m m f x +≤--成立， 所以211m m --≥，所以1m ≤-或01m ≤≤或2m ≥.【点睛】 本题考查绝对值不等式和基本不等式的相关知识点，属于基础题型. 1.要熟练掌握绝对值的三角不等式，即a b a b a b -≤±≤+ 2.应用基本不等式求最值时要满足“一正二定三相等”.。

合集下载

湖南省湖南师大附中2020届高三月考(七)数学(理科)试卷

湖南省湖南师大附中2020届高三月考(七)数学(理科)试卷

湖南师大附中2020届高三月考试卷（七）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知{}2,1xU y y x ==≥-，111A xx ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则UA =（ ）A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)2,+∞ C ．[)1,122,⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦+∞D ．()1,122,⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭+∞2．设4log 8a =，0.4log 8b =，0.42c =，则（ ） A ．b c a <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<3．设p ：实数x ，y 满足1x y +≤，q ：实数x ，y满足1,1,y y x y ⎧≤⎪⎪≥-⎨⎪≥-⎪⎩则p 是q 的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某校在一次月考中有1200人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布()290,XN a （0a >，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数为总人数的35，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生人数为（ ） A ．960B ．480C ．240D ．1205．函数()f x 的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A ．()231f x x x =-+B ．()231f x x x =--C ．()231f x x x =+D ．()231f x x x=-6．已知曲线2sin cos 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与直线12y =号相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1P ，2P ，3P ，…，则15PP 等于（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π7．在等比数列{}n a 中，11a =，84a =，函数()()()()()1238f x x x a x a x a x a =---⋅⋅⋅-，若()y f x =的导函数为()y f x '=，则()0f '=（ ） A ．1B ．82C ．122D ．1528．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为棱1AA ，11B C ，11C D ，1DD 的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ） A ．直线1CC B ．直线11C D C ．直线1HCD ．直线GH9．已知函数()()21ln 11f x x x =+-+，则关于x 的不等式()()1ln ln 21f x f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．()0,+∞B ．()0,eC ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,e10．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知c =，且2sin cos sin sin sin a C B a A b B C =-+，点O 满足0OA OB OC ++=，3cos 8CAO ∠=，则ABC △的面积为（ ）A ．B ．4C ．2D 11．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A．2B ．23C ．3D ．212．已知()()11,10,1,01,x f x f x x x ⎧--<<⎪+=⎨⎪≤<⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．{}28,3⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．{}28,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：13．已知等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，则42S a =______． 14．()()532x y x y -+的展开式中，含24x y 项的系数为______．（用数字作答） 15．已知点()3,0A -，()1,2B --，若圆()()22220y x r r+=->上恰有两点M ，N ，使得MAB △和NAB △的面积均为4，则r 的取值范围是______．16．瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，ABC △的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成的三角形称为ABC △的欧拉三角形。

湖南师大附中2020届高三年级统一模拟考试(理数)

湖南师大附中2020届高三年级统一模拟考试(理数)

湖南师大附中2020届高三年级统一模拟考试数 学（理科）本试题卷共5页，全卷满分150分，考试用时l20分钟。

一、选择题：本大题共且2个小题，每小题S 分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}121>=-x x A ，{}022≤-=x x x B ，则=B A I A ．[)2,1B ．[]2,1C ．(]3,0D ．(]2,12．在复平面内，复数iiz +=1（i 是虚数单位）对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足FB CF 2=，那么=EF A ．3121- B ．2131+C ．AD 3221- D ．2141+ 4．函数12-=x ex y （其中e 为自然对数的底）的图象大致是5．在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内 切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧， 则点M 恰好取自阴影部分的概率为 A ．21B ．2π C ．12-πD ．22π-6．()51113⎪⎭⎫⎝⎛-+x x 的展开式中的常数项为A ．14B ．14-C ．16D ．16-7．已知α为锐角，且()110tan 31cos =+οα，则α的值为A ．ο20B ．ο40C ．ο50D ．ο708．设椭圆)0(1:2222>>+b a by a x C ，的左、右焦点分别为21,F F ，点)0)(,0(b t t E <<.己知动点P在椭圆上，且点2,,F F P 不共线，若2PEF ∆的周长的最小值为b 3,则椭圆C 的离心率为A ．23 B ．22 C ．21 D ．35 9．设三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面2==AC AB ,ο90=∠BAC ,231=AA ,且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 A ．π24 B ．π18 C ．π26D ．π1610．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若nn n S a 2=+，*)(2212N n a a n n b n∈-=++，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n nb 1的前99项和为 A ．9897 B ．9998 C ．10099 D ．10110011．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤+=21,2181,log 2)(21x x x x f x ，若))(()(b a b f a f <=，则ab 的最小值为 A ．22B ．21 C ．42 D ．35 12．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ,交y 轴于点C ,交另一条渐近线于点A ,并且点C 位于点B A ,之间，已知O 为原点,且a OA 35=，则=FCFAA ．45 B ．34 C ．23 D ．25 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

【2020年数学高考】湖南省师大附中2020届高三月考试卷(七)数学文.doc

【2020年数学高考】湖南省师大附中2020届高三月考试卷(七)数学文.doc

湖南师大附中2020届高三月考试卷(七)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设集合A ＝{x |－3<x <π}，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，则A ∩B 的元素个数为(C) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】因为集合A ＝{x |－3<x <π}，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，所以集合A 中含有所有奇数，A ∩B ＝{－1，1，3}，A ∩B 的元素个数为3，故选C.(2)若复数z 满足(1－i)z ＝1＋3i ，则|z |＝(B)(A) 2 (B) 5 (C) 6 (D)10【解析】由(1－i)z ＝1＋3i ，则z ＝1＋3i 1－i ，|z |＝|1＋3i||1－i|＝102＝5，故选B.(3)为了检查某超市货架上的奶粉是否合格，要从编号依次为1到50的袋装奶粉抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是(D)(A)5，10，15，20，25 (B)2，4，8，16，32 (C)1，2，3，4，5 (D)7，17，27，37，47 【解析】从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，采用系统抽样间隔应为10，只有D 答案中的编号间隔为10，故选D.(4)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －1x ＋1<0，B ＝{x ||x －1|<a }，则“a ＝1”是“A ∩B ≠”的(A) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【解析】由题意得A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |1－a <x <a ＋1}．①当a ＝1时，B ＝{x |0<x <2}，则A ∩B ＝{x |0<x <1}≠成立，即充分性成立． ②若a ＝12，则A ∩B ＝{x |－1<x <1}∩{x |12<x <32}＝{x |12<x <1}≠故必要性不成立．综合得“a＝1”是“A ∩B ≠”的充分不必要条件，故选A.(5)已知动圆M 与圆C 1：()x ＋12＋y 2＝1外切，与圆C 2：()x －12＋y 2＝25内切，则动圆圆心M的轨迹方程是(A)(A)x 29＋y 28＝1 (B)x 28＋y 29＝1(C)x 29＋y 2＝1 (D)x 2＋y 29＝1 【解析】设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＝r ＋1，|MC 2|＝5－r ，∴|MC 1|＋|MC 2|＝6>|C 1C 2|，故圆M 的轨迹是以C 1(－1，0)，C 2(1，0)为焦点，长轴长为6的椭圆，其方程为x 29＋y 28＝1.(6)4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不小于22元，而6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不大于24元，则2枝玫瑰花和3枝茶花的价格之差的最大值是(B)(A)－1 (B)0 (C)1 (D)2【解析】设一枝玫瑰花与一枝茶花价格分别为x 元和y 元，则有⎩⎨⎧6x ＋3y ≤24，4x ＋5y ≥22，x ≥0，y ≥0令z ＝2x －3y ，如图作出可行域：当过点A (3，2)时，2x －3y 有最大值， z ＝0，故选B.(7)已知α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α21－tan 2α2＝32，且2sin β＝sin ()α＋β，则β的值为(A)(A)π6 (B)π4 (C)π3 (D)5π12【解析】∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α21－tan 2α2＝32＝12tan α，∴α＝π3，∴sin α＝32，cos α＝12；∵2sin β＝sin ()α＋β＝sin αcos β＋cos αsin β＝32cos β＋12sin β 化简可得∴tan β＝33，∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π6.故选A. (8)如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝(A)(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【解析】模拟执行程序框图，可得a ＝14，b ＝18， 满足条件a ≠b ，不满足条件a >b ，b ＝4， 满足条件a ≠b ，满足条件a >b ，a ＝10， 满足条件a ≠b ，满足条件a >b ，a ＝6， 满足条件a ≠b ，满足条件a >b ，a ＝2， 满足条件a ≠b ，不满足条件a >b ，b ＝2， 不满足条件a ≠b ，输出a 的值为2.故选A.(9)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1，2，…，10)，且a 1<a 2<…<a 10，若48a i ＝5M ，则i ＝(C)(A)4 (B)5 (C)6 (D)7【解析】由题意知，由细到粗每段的重量成等差数列，记为{}a n ，设公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＋a 2＝2，a 9＋a 10＝4，⎩⎨⎧2a 1＋d ＝2，2a 1＋17d ＝4，解得a 1＝1516，d ＝18，所以该金杖的总重量M ＝10×1516＋10×92×18＝15，∵48a i ＝5M ，∴48⎣⎡⎦⎤1516＋()i －1×18＝75，解得i ＝6，故选C. (10)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(A)(A)24π＋83 (B)24π＋163 (C)32π＋83 (D)32π＋243【解析】根据三视图可知，几何体是34个球与一个直三棱锥的组合体，球的半径为2，三棱锥底面是等腰直角三角形，面积为s ＝12×22×22＝4，高为2，所以三棱锥的体积V ＝13×4×2＝83，故组合体的体积V ＝34×43π×23＋83＝24π＋83，故选A.(11)已知函数f ()x ＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，且在区间[]0，π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是(D)(A)(]0，1 (B)⎝⎛⎦⎤0，34 (C)[)1，＋∞ (D)⎣⎡⎦⎤12，34 【解析】∵函数f ()x ＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω是函数含原点的递增区间．又∵函数在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上递增，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω⎣⎡⎦⎤－π2，2π3， ∴得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π22π3≤π2ω，得⎩⎪⎨⎪⎧ω≤1，ω≤34， 又∵ω＞0，∴0＜ω≤34， 又函数在区间[]0，π上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知ωx ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即函数在x ＝2k πω＋π2ω，k ∈Z 处取得最大值，可得0<π2ω≤π，∴ω≥12综上，可得ω∈⎣⎡⎦⎤12，34，故选D.(12)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，过P 作圆的切线P A 、PB ，切点为A 、B 使得∠BP A ＝π3，则椭圆C 1的离心率的取值范围是(A)(A)⎣⎡⎭⎫32，1 (B)⎣⎡⎦⎤22，32(C)⎣⎡⎭⎫22，1 (D)⎣⎡⎭⎫12，1 【解析】连接OA 、OB 、OP ，则∠APO ＝π6，sin 30°＝b |OP |，|OP |＝2b ，∵b <|OP |≤a 即2b ≤a ，e 2＝1－b 2a 2≥34，32≤e ，又0<e <1，即椭圆C 1的离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，1.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．(13)若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，|AB →|＝25，则OA →·OB →＝__0__．【解析】设OB →＝(x ，y )，由已知，x 2＋y 2＝10，代入|AB |＝（x －1）2＋（y ＋3）2＝25，得2x －6y ＝0，所以OA →·OB →＝x －3y ＝0.(14)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝r 2和两点A (－4，0)，B (4，0)．若圆C 上存在唯一点P ，使得∠APB ＝90°，则r ＝__1__．【解析】圆C 上存在点P 使∠APB ＝90°，即圆C 与以AB 为直径的圆外切，即r ＋4＝5，得r ＝1.(15)已知球O 内切于一底面直径和母线相等的圆锥，设圆锥的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2＝__94__． 【解析】设圆锥底面直径为2r ，则圆锥高为3r ，所以V 1＝13πr 2·3r ＝3πr 33；其内切球的半径为3r 3，所以V 2＝43π⎝⎛⎭⎫33r 3＝4×33πr 334＝43πr 333，∴V 1V 2＝94. (16)已知函数f (x )＝－x 3＋8x －4e x ＋4e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是__(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞__．【解析】因为f (－x )＝x 3－8x －4e －x ＋4e x ＝x 3－8x －4e x ＋4e x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．又因为f ′(x )＝－3x 2＋8－4e x －4e x ＝－3x 2＋8－⎝⎛⎭⎫4e x ＋4e x ≤－3x 2＋8－24e x ·4ex ＝－3x 2≤0，所以f (x )在R 上单调递减．又f (a －1)＋f (2a 2)≤0，即f (2a 2)≤－f (a －1)＝f (1－a )，即2a 2≥1－a ，解得a ≤－1或a ≥12，故a 的取值范围是(－∞，－1]∪[12，＋∞)． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)从高三年级所有女生中，随机抽取n 个，其体重(单位：公斤)的频率分布表如下：已知从n 个女生中随机抽取一个，抽到体重在[50，55)的女生的概率为419.(Ⅰ)求出n ，x 的值；(Ⅱ)用分层抽样的方法从体重在[40，45)和[55，60)的女生中共抽取5个，再从这5个女生中任取2个，求体重在[40，45)和[55，60)的女生中各有1个的概率．【解析】(Ⅰ)依题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧x n ＝419n ＝10＋50＋20＋x，从而得x ＝20，n ＝95.4分(Ⅱ)若采用分层抽样的方法从体重在[40，45)和[55，60)的女生中共抽取5个，则体重在[40，45)的个数为1010＋15×5＝2；记为x ，y ，5分在[55，60)的个数为1510＋15×5＝3；记为a ，b ，c ，6分从抽出的5个女生中，任取2个共有(x ，a )，(x ，b )，(x ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，(y ，a )，(y ，b )，(y ，c )，(x ，y )10种情况.8分其中符合体重在[40，45)和[55，60)的女生中各有1个的情况共有(x ，a )，(x ，b )，(x ，c )，(y ，a )，(y ，b )，(y ，c )6种.10分设事件A 表示“从这5个女生中任取2个，体重在[40，45)和[55，60)的女生中各有1个”，则P (A )＝610＝35.答：从这5个女生中任取2个，体重在[40，45)和[55，60)的女生中各有1个的概率为35.12分(18)(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项之和为S n ＝3n ＋12－32，数列{b n }满足b n ＝1（2n －1）log 3a 2n ＋1＋32n －1.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)求数列{b n }前n 项之和T n .【解析】(Ⅰ)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，1分 由S n ＝3n ＋12－32得S n －1＝3n 2－32(n ≥2)2分∴a n ＝S n －S n －1＝3n (n ≥2)4分又a 1也符合， ∴a n ＝3n (n ∈N ＋)5分(Ⅱ)b n ＝1（2n －1）log 332n ＋1＋32n －1＝1（2n －1）（2n ＋1）＋32n －1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＋32n －18分 T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＋(3＋33＋35＋…＋32n －1)＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＋3（1－9n ）1－9＝n2n ＋1＋32n ＋18－38.12分(19)(本小题满分12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥AB ，P A ⊥BC ，AB ⊥BC ，P A ＝AB ＝BC ＝2，D 为线段AC 的中点，将△CBD 折叠至△EBD ，使得ED 交PC 于PC 的中点F .(Ⅰ)求证：平面BDE ⊥平面P AC . (Ⅱ)求三棱锥E －PBC 的体积． 【解析】(Ⅰ)证明：在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥AB ，P A ⊥BC ，所以P A ⊥平面ABC ，∴平面P AC ⊥平面ABC ，∵AB ＝BC ，D 是AC 的中点，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面P AC .又BD 平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面P AC .5分(Ⅱ)∵V B －APEC ＝V E －PBC ＋V P －ABC ∴V E －PBC ＝V B －APEC －V P －ABC 7分 由已知，DE ∥AP∴S APCE ＝S APDE ＋S △EDC ＝12(2＋2)2＋12×2×2＝2＋29分V B －APCE ＝13S APCE ·BD ＝13(2＋2)2＝22＋2310分V P －ABC ＝13S △ABC ·P A ＝13×12×2×2×2＝4311分∴V E －PBC ＝V B －APCE －V P －ABC ＝22＋23－43＝22－23.12分(20)(本小题满分12分)如图，设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，长轴的右端点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点F 重合，且椭圆C 1的离心率是32. (Ⅰ)求椭圆C 1的标准方程；(Ⅱ)过F 作直线l 交抛物线C 2于A 、B 两点，过F 且与直线l 垂直的直线交椭圆C 1于另一点C ，求△ABC 面积的最小值，以及取到最小值时直线l 的方程．【解析】(Ⅰ)∵椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，长轴的右端点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点F 重合，∴a ＝2，又∵椭圆C 1的离心率是32.∴c ＝3b ＝1，∴椭圆C 1的标准方程：x 24＋y 2＝1.4分(Ⅱ)过点F (2，0)的直线l 的方程设为：x ＝my ＋2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)联立⎩⎨⎧x ＝my ＋2，y 2＝8x ，得y 2－8my －16＝0.y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－16，6分∴|AB |＝1＋m 2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝8(1＋m )2. 过F 且与直线l 垂直的直线设为：y ＝－m (x －2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m （x －2），x 24＋y 2＝1，得(1＋4m 2)x 2－16m 2x ＋16m 2－4＝0，x C ＋2＝16m 21＋4m 2x C ＝2（4m 2－1）4m 2＋1.8分∴|CF |＝1＋m 2|x C －x F |＝44m 2＋1·1＋m 2.△ABC 面积S ＝12|AB |·|CF |＝16（1＋m 2）4m 2＋1·1＋m 2.10分 令1＋m 2＝t ，则s ＝f (t )＝16t 34t 2－3，f ′(t )＝16（4t 4－9t 2）（4t 2－3）2，令f ′(t )＝0，则t 2＝94，即1＋m 2＝94时，△ABC 面积最小．即当m ＝±52时，△ABC 面积的最小值为9，此时直线l 的方程为：x ＝±52y ＋2.12分(21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x －x 2e x (x ＞0)，其中e 为自然对数的底数．(Ⅰ)当a ＝0时，判断函数y ＝f (x )极值点的个数；(Ⅱ)若函数有两个零点x 1，x 2(x 1＜x 2)，设t ＝x 2x 1，证明：x 1＋x 2随着t 的增大而增大．【解析】(Ⅰ)当a ＝0时，f (x )＝－x 2ex (x ＞0)，f ′(x )＝－2x ·e x －（－x 2）·e x （e x ）2＝x （x －2）e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2，当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，y ＝f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，y ＝f (x )单调递增，所以x ＝2是函数的一个极小值点，无极大值点， 即函数y ＝f (x )有一个极值点.4分(Ⅱ)证明：令f (x )＝a x －x 2e x ＝0，得x 32＝a e x ，因为函数有两个零点x 1，x 2(x 1＜x 2)，所以x 321＝a e x 1，x 322＝a e x 2，可得32ln x 1＝ln a ＋x 1，32ln x 2＝ln a ＋x 2.6分故x 2－x 1＝32ln x 2－32ln x 1＝32ln x 2x 1.又x 2x 1＝t ，则t ＞1，且⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝tx 1，x 2－x 1＝32ln t ， 解得x 1＝32ln t t －1，x 2＝32t ln t t －1.所以x 1＋x 2＝32·（t ＋1）ln tt －1. ①8分令h (x )＝（x ＋1）ln xx －1，x ∈(1，＋∞)，则h ′(x )＝－2ln x ＋x －1x（x －1）2.令u (x )＝－2ln x ＋x －1x ，得u ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2.10分当x ∈(1，＋∞)时，u ′(x )＞0.因此，u (x )在(1，＋∞)上单调递增，故对于任意的x ∈(1，＋∞)，u (x )＞u (1)＝0，由此可得h ′(x )＞0，故h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 因此，由①可得x 1＋x 2随着t 的增大而增大.12分请考生在第(22)～(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a 、b ∈M .(Ⅰ)证明：|13a ＋16b |＜14；(Ⅱ)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．【解析】(Ⅰ)记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎨⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x ≥1，由－2＜－2x －1＜0，解得－12＜x ＜12，则M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12.3分∵a 、b ∈M ，∴|a |<12，|b |<12所以⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14.5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得a 2＜14，b 2＜14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0，所以|1－4ab |2＞4|a －b |2，故|1－4ab |＞2|a －b |.10分(23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin 2θ)＝4，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(Ⅰ)求曲线C 1的直角坐标方程和C 2的普通方程；(Ⅱ)极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．【解析】(Ⅰ)∵曲线C 1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin 2θ)＝4，∴ρ2＋3ρ2sin 2θ＝4，∴曲线C 1的直角坐标方程C 1：x 24＋y 2＝1，∵曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．∴C 2的普通方程C 2：(x －2)2＋y 2＝4.5分(Ⅱ)∵A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2都在曲线C 1上，∴ρ21＝41＋3sin 2θ0，ρ22＝41＋3sin 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2，1ρ21＝1＋3sin 2θ04，1ρ22＝1＋3cos 2θ04∴1ρ21＋1ρ22＝1＋3sin 2θ04＋1＋3cos 2θ04＝54.10分。

2020届湖南师大附中高三第七次月考数学(理)试题

2020届湖南师大附中高三第七次月考数学(理)试题

绝密★启用前湖南师大附中2020届高三第七次月考(理科)数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分,在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A={y|2,},{|1}xy x B x y x =∈==-R ,则A∩B= A. {1}B. (0, +∞)C. (0,1)D. (0,1]2.复数z(1-i)=i(i 为虚数单位),则z 的共轭复数在复平面上对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.“搜索指数"是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大,表示网民对该关键词的搜索次数越多,对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2018年9月到2019年2月这半年中,某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图,下列结论正确的是A.这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B.这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C.从网民对该关键词的搜索指数来看,2018年10月份的方差小于11月份的方差D.从网民对该关键词的搜索指数来看,2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值 4.已知函数f(x)=(x- 1)(ax+b)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则f(3- x)<0的解集为 A. (2,4)B. (-∞,2)∪(4,+∞)C. (-1,1)D. (-∞,-1)∪(1,+∞)5.等比数列的前n 项,前2n 项，前3n 项的和分别为A,B,C,则 A. A+B=C2.B B AC =2.()C A B C B +-=22.()D A B A B C +=+6.将函数()2sin(2)3f x x π=+图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再将所得图象向左平移12π个单位得到函数g(x)的图象,在g(x)图象的所有对称轴中,离原点最近的对称轴方程为 .24A x π=-.4B x π=5.24C x π=.12D x π=7.如图正方体1,AC 点M 为线段1BB 的中点,现用一个过点M,C,D 的平面去截正方体,得到上下两部分,用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的左视图为8.如图,在圆O 中,AB,CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA,OB,OC,OD 为直径作四个圆,在圆O 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是1.A π1.2B π11.42C π-11.2D π- 9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与函数0)y x x =≥的图象交于点P,若函数y x =P处的切线过双曲线左焦点F(-4,0),则双曲线的离心率是174A +173B +172.C +171D +10.设锐角△ABC 的三个内角A,B,C 所对边的边长分别为a,b,c,且a=2,B=2A,则b 的取值范围为.(22,3)A.(22,4)B.(2,3)CD. (0,4)11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,在对角线1A D 上取点M,在1CD 上取点N,使得线段MN 平行于对角面11,A ACC 则线段MN 长的最小值为.2B.12.C3.D 12.已知函数f(x)是定义在R 上的可导函数,对于任意的实数x,都有2()()x f x e f x -=，当x<0时,()'()0,f x f x +>若(21)(1)ae f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是2.[0,]3A2.[,0]3B -C. [0,+∞)D. (-∞,0]第II 卷二、填空题:本大题共4小题，每小题分,共20分.2513.(12)x x +-展开式中的6x 的系数为____14.现将6张连号的门票分给甲、乙等六人，每人1张,且甲、乙分得的电影票连号,则共有____种不同的分法(用数字作答).15.考虑函数xy e =与函数y=ln x 的图象关系,计算:21ln xdx =⎰____16.已知f(n)表示正整数n 的所有因数中最大的奇数,例如: 12的因数有1,2,3,4,6, 12,则f(12)=3;21的因数有1,3,7,21,则f(21)=21,那么10050511()()i i f i f i ==-∑∑=____.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分. 17. (本小题满分12分)△ABC 中,a,b,c 分别是内角A,B,C 所对的边，且满足2sin().4a b C π=+(1)求角B;(2)求2sin sin A C -的取值范围.18. (本小题满分12分)如图,四边形ABCD 与BDEF 均为菱形,FA= =FC,∠DAB=∠DBF= 60°.(1)求证:AC ⊥平面BDEF;(2)求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值.19. (本小题满分12 分)已知抛物线216,y x =过抛物线焦点F 的直线l 分别交抛物线与圆22(4)16x y -+=于A,C,D,B(自上而下顺次)四点.(1)求证:|AC|·| BD| 为定值;(2)求|AB|·|AF|的最小值.20. (本小题满分12分)某保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品,每年每位职工只要交少量保费,发生意外后可一次性获得若干赔偿金,保险公司把企业的所有岗位共分为A,B,C三类工种,从事这三类工种的人数分别为12000,6000,2000,由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表(并以此估计赔付概率):已知A,B,C三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元,保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元.(1)求公司在该业务所获利润的期望值;(2)现有如下两个方案供企业选择:方案1:企业不与保险公司合作,职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元;方案2:企业与保险公司合作,企业负责职工保费的70%，个人负责保费的30%,后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.21. (本小题满分12分)已知函数f(x)=|x-a|- ln x(a>0).(1)讨论f(x)的单调性;(2)比较222222ln2ln3ln23nn+++L与(1)(21)2(1)n nn-++的大小()n+∈N且n>2),并证明你的结论.(二)选考题:共10分.请考生在22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,曲线C 的参数方程为sin x ay α⎧=⎪⎨=⎪⎩(α是参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ-= (1)求直线l 与曲线C 的普通方程,并求出直线l 的倾斜角;(2)记直线l 与y 轴的交点为Q,M 是曲线C 上的动点,求点M,Q 的最大距离.23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)= |2x-4|+|x+1|,x ∈R . (1)解不等式f(x)≤9;(2)若方程2()f x x a =-+在区间[0,2]有解,求实数a 的取值范围.。