6.1 数列的概念及简单表示法[知识梳理]1．数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：①数列：按照排列的一列数．②数列的项：数列中的．(2)数列的分类：分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n＋1>a n其中n∈N*递减数列a n＋1<a n常数列a n＋1＝a n(3)数列的通项公式：如果数列{a n}的第n项与之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{a n}的首项(或前几项)，且与它的(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．3.对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．4．数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝a n(n∈N*)．[考点精析]考点一由数列的前几项求数列的通项公式典题导入[例1] 下列公式可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( ) A ．a n ＝1 B ．a n ＝－1n ＋12C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2D ．a n ＝－1n －1＋32若本例中数列变为：0,1,0,1，…，则{a n }的一个通项公式为________．由题悟法1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．以题试法1．写出下面数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)3,33,333,3 333，…；(4)－1，32，－13，34，－15，36，….考点二由a n 与S n 的关系求通项a n典题导入[例2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ，根据下列条件分别求它们的通项a n . (1) S n ＝2n 2＋3n ；(2)S n ＝3n ＋1.由题悟法已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．以题试法2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n n ＋1，则1a 5＝( )A.56 B.65 C.130D ．30考点三数列的性质典题导入[例3] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20. (1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？在本例条件下，设b n ＝a nn ，则n 为何值时，b n 取得最小值？并求出最小值．由题悟法1．数列中项的最值的求法根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数a n ＝f (n )，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值．2．前n 项和最值的求法(1)先求出数列的前n项和S n，根据S n的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若a m≥0，且a m＋1<0，则S m最大；若a m≤0，且a m＋1>0，则S m 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.以题试法3．数列{a n}的通项a n＝nn2＋90，则数列{a n}中的最大值是() A．310 B．19C.119 D.10 60答案[知识梳理]1．(1)①一定顺序 ②每一个数(3)序号n2．任一项a n 前一项a n －1 [例1]【解析】 由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1，a 2＝2， a 3＝1，a 4＝2，…. 【答案】 C【答案】a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 为奇数，1n 为偶数.⎝⎛⎭⎫或a n ＝1＋－1n2或a n ＝1＋cos n π21．解：(1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n－12n .(3)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，….所以a n ＝13(10n －1)．(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋－1nn，也可写为a n＝⎩⎨⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.[例2]【解析】 (1)由题可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1.当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，故a n ＝4n ＋1. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1. 当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4， n ＝1，2×3n －1， n ≥2. 2．【解析】选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1n n ＋1，则a 5＝15×6＝130.[例3]【解析】 (1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝⎛⎭⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212＝10.5.又因n ∈N *，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.(2)设数列的前n 项和最小，则有a n ≤0，由n 2－21n ＋20≤0，解得1≤n ≤20，故数列{a n }从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小．解：b n ＝a n n ＝n 2－21n ＋20n ＝n ＋20n－21，令f (x )＝x ＋20x －21(x >0)，则f ′(x )＝1－20x 2，由f ′(x )＝0解得x ＝25或x ＝－25(舍)．而4<25<5，故当n ≤4时，数列{b n }单调递减；当n ≥5时，数列{b n }单调递增．而b 4＝4＋204－21＝－12，b 5＝5＋205－21＝－12，所以当n ＝4或n ＝5时，b n 取得最小值，最小值为－12.3．【解析】选C a n ＝1n ＋90n ，由基本不等式得，1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，易知当n ＝9或10时，a n ＝119最大．。
第一节 数列的概念与简单表示一、基础知识考点一 由a n 与S n 的关系求通项a n[典例] (1)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为________．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则a n ＝________.[题组训练]1.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( )A ．2nB ．2n －1C ．2nD ．2n －12.设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a n ＝____________.考点二 由递推关系式求数列的通项公式[典例] (1)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________________．(2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则数列{a n }的通项公式为________________． (3)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________________．[题组训练]1.(累加法)设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________. 2.(累乘法)设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则通项公式a n ＝________.3.(构造法)在数列{a n }中，a 1＝3，且点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，则数列{a n }的通项公式为________．考点三 数列的性质及应用考法(一) 数列的周期性[典例] 数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧ 2a n ，0≤a n ≤12，2a n －1，12<a n <1，a 1＝35，则数列的第2 019项为________． 考法(二) 数列的单调性(最值)[典例] (1)已知数列{a n }满足2S n ＝4a n －1，当n ∈N *时，{(log 2a n )2＋λlog 2a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．(2)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫78n ，则当a n 取得最大值时，n ＝________. [题组训练]1．设数列{a n }，a n ＝na nb ＋c，其中a ，b ，c 均为正数，则此数列( ) A ．递增 B ．递减 C ．先增后减 D ．先减后增2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2 019＝( ) A ．－1 B.12C ．1D ．2 [课时跟踪检测]1．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，若35是这个数列的第n 项，则n ＝( )A ．20B ．21C ．22D ．232．若数列的前4项分别是12，－13，14，－15，则此数列的一个通项公式为( ) A.(－1)n ＋1n ＋1 B.(－1)n n ＋1C.(－1)n nD.(－1)n －1n 3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 5的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝( )A ．10B ．15C ．－5D ．205．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，3) D.⎝⎛⎦⎤－∞，92 6．若数列{a n }满足12≤a n ＋1a n≤2(n ∈N *)，则称{a n }是“紧密数列”．若{a n }(n ＝1,2,3,4)是“紧密数列”，且a 1＝1，a 2＝32，a 3＝x ，a 4＝4，则x 的取值范围为( ) A ．[1,3) B ．[1,3] C ．[2,3] D ．[2,3) 7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.8．已知数列32，54，76，9m －n ，m ＋n 10，…，根据前3项给出的规律，实数对(m ，n )为________． 9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)，且S 2＝3，则a 1＋a 3的值为________．10．已知数列{a n }满足a n ＝(n －λ)2n (n ∈N *)，若{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围为________．11．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝4a n ＋3.(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{a n }的通项公式； (2)证明：a n ＋1＋1a n ＋1＝4.12．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值；(2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围．。
【课题】6．1 数列的概念【教学目标】知识目标：（1）了解数列的有关概念；（2）掌握数列的通项（一般项）和通项公式．能力目标：通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力．【教学重点】利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项．【教学难点】根据数列的前若干项写出它的一个通项公式．【教学设计】通过几个实例讲解数列及其有关概念：项、首项、项数、有穷数列和无穷数列．讲解数列的通项（一般项）和通项公式．从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数．学生往往不易理解什么是“一定次序”．实际上，不论能否表述出来，只要写出来，就等于给出了“次序”，比如我们随便写出的两列数：2，1，15，3，243，23与1，15，23，2，243，3，就都是按照“一定次序”排成的一列数，因此它们就都是数列，但它们的排列“次序”不一样，因此是不同的数列．例1和例3是基本题目,前者是利用通项公式写出数列中的项；后者是利用通项公式判断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向应用．例2是巩固性题目,指导学生分析完成.要列出项数与该项的对应关系，不能泛泛而谈,采用对应表的方法比较直观,降低了难度,学生容易接受.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】．从小到大依次取正整数时，cos，…．的近似值（四舍五入法）,,n a ，．()n N．其中，下角码中的数为项数，1a 表示第由小至大依次取正整数值时，以表示数列中的各项，因此，通常把第n 项【教师教学后记】【课题】6．2 等差数列（一）【教学目标】知识目标：（1）理解等差数列的定义；（2）理解等差数列通项公式．能力目标：通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力． 【教学重点】等差数列的通项公式． 【教学难点】等差数列通项公式的推导． 【教学设计】本节的主要内容是等差数列的定义、等差数列的通项公式.重点是等差数列的定义、等差数列的通项公式；难点是通项公式的推导．等差数列的定义中,应特别强调“等差”的特点:d a a n n =-+1(常数).例1是基础题目,有助于学生进一步理解等差数列的定义.教材中等差数列的通项公式的推导过程实际上是一个无限次迭代的过程,所用的归纳方法是不完全归纳法.因此,公式的正确性还应该用数学归纳法加以证明.例2是求等差数列的通项公式及其中任一项的巩固性题目,注意求公差的方法.等差数列的通项公式中含有四个量：,,,,1n a n d a 只要知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量． 【教学备品】教学课件． 【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】【教师教学后记】【课题】6．3 等比数列（一）【教学目标】知识目标：（1）理解等比数列的定义；（2）理解等比数列通项公式．能力目标：通过学习等比数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．【教学重点】等比数列的通项公式．【教学难点】等比数列通项公式的推导．【教学设计】本节的主要内容是等比数列的定义,等比数列的通项公式.重点是等比数列的定义、等比数列的通项公式；难点是通项公式的推导．等比数列与等差数列在内容上相类似，要让学生利用对比的方法去理解和记忆，并弄清楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式的基础，教学中要给以足够的重视.同时要强调“等比”的特点:q a a nn =+1(常数). 例1是基础题目,有助于学生进一步理解等比数列的定义.与等差数列一样，教材中等比数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全归纳法，公式的正确性也应该用数学归纳法加以证明，这一点不需要给学生讲.等比数列的通项公式中含有四个量：1a ，q ,n , n a , 只有知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量.教材中例2、例３都是这类问题.注意:例3中通过两式相除求公比的方法是研究等比数列问题常用的方法.从例4可以看到,若三个数成等比数列,则将这三个数设成是aq a qa,,比较好,因为这样设了以后,这三个数的积正好等于,3a 很容易将a 求出.【教学备品】教学课件． 【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】【教师教学后记】【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a -b =a +(-b )，它可以通过几何作图的方法得到，即a -b 可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数λ乘以非零向量a ，是数乘运算，其结果记作λa ，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a 的λ倍．由此得到λ⇔=ab a b ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a 、b ”与“0λ≠ ”等条件. 【教学备品】教学课件． 【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间 *揭示课题7.1 平面向量的概念及线性运算*创设情境 兴趣导入如图7－1所示，用100N ①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1介绍 播放 课件引导 分析了解 观看 课件 思考 自我 分析从实例出发使学生自然的走向知识点0 3AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作手写时应在字母上面加箭头，记作a．aAB的模依次记作AB．模为零的向量叫做，零向量的方向是不确定的．模为AB与MN，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量CD与PQ所在的直线平行，两个AB与MN，方向相同，模相等；平HG与TK，方向相反，模相等．我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．的模相等并且方向相同时，称向量= b．也就是说，种性质的向量叫做自由向量．AB= MN，GH= －TK．DA 相等的向量；DC 的负向量；）找出与向量AB 平行的向量要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．CB =DA ；BA =DC -,CD DC =-；BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ．强化练习如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写EF 相等的向量；AD 共线的向量OC 相等的向量；OC 的负向量；A D E （练习题FABOC共线的向量．AC叫做AB与位BC的和AC=AB+BC．aa bAB=a, BC=b，AC叫做向量a＋b ，即AB＋BC=AC（7．求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方三角形法则．可以看到：依照三角形法则进行向量的加法运算，运算的结果仍然是向量，叫做AD=BC，AB＋AD=AB＋BC=AC这说明，在平行四边形AC所表示的向量就是AB与AD的和．这种求和向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：a）= 0；总结归纳AB表示船速，AC为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD是船的实际航行速度，显然22AD AB AC=+=12又512tan =∠CAD ，利用计算器求得即船的实际航行速度大小是流方向)的夹角约6723'︒．过程行为行为意图间图7-12 讲解说明思考求解反复强调62*运用知识强化练习练习7.1.21．如图，已知a，b，求a＋b．2．填空（向量如图所示）：（1）a＋b =_____________ ,（2）b＋c =_____________ ,（3）a＋b＋c =_____________ ．3．计算：（1）AB＋BC＋CD；（2）OB＋BC＋CA．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳65（图1－15）bbaa （1）（2）第1题图=OA，b OB，则-=+-+=+=．OA OB OA OB OA BO BO OA BA()=-=BA（7．OA OB观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、b，－b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减的终点，终点是被减向量a的终点过 程行为行为 意图 间解 如图7－14（2）所示，以平面上任一点O 为起点，作OA =a ，OB =b ，连接BA ，则向量BA 为所求的差向量，即 BA = a －b ．【想一想】当a 与 b 共线时，如何画出a －b ．说明领会 思考 求解注意 观察 学生 是否 理解 知识 点70*运用知识 强化练习1．填空：（1）AB AD -=_______________，（2）BC BA -=______________， （3）OD OA -=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．启发 引导 提问 巡视 指导思考 了解 动手 求解可以 交给 学生 自我 发现 归纳72*创设情境 兴趣导入观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且OC ＝3a ．质疑思考引导启发BbOaAba（1）（2）图7－14过 程行为行为 意图 间 类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．仔细 分析 讲解 关键 词语理解 记忆引导 启发 学生 得出 结论78*巩固知识 典型例题例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析 因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD .解 AC＝a ＋b ,BD ＝b −a ，因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ， OD ＝12BD ＝12（b −a ）＝−12a +12b ． 例6中，12a ＋12b 和−12a +12b 都叫做向量a ，b 的线性组合，或者说，AO 、OD 可以用向量a ，b 线性表示．强调 含义说明思考 求解 领会注意 观察 学生 是否 理解 知识 点图7－16OA，使OA＝12AB的模依次记作AB．a与向量的模相等并且方向相同时，称向量相等，记作计算：AB＋BC＋CD；（OB＋BC＋CA．活动探究读书部分：教材【教师教学后记】【课题】7.2 平面向量的坐标表示【教学目标】知识目标：（1）了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示；（2）了解两个向量平行的充要条件的坐标形式.能力目标：培养学生应用向量知识解决问题的能力.【教学重点】向量线性运算的坐标表示及运算法则.【教学难点】向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键.【教学设计】向量只有“模”与“方向”两个要素，为了研究方便，我们首先将向量的起点放置在坐标原点（一般称为位置向量）．设x轴的单位向量为i，轴的单位向量为j．如果点A的坐标为（x，y）,则OA x yi j，=+将有序实数对（x，y）叫做向量OA的坐标．记作OA=（x，y）．例1是关于“向量坐标概念”的知识巩固性例题．要强调此时起点的位置．让学生认识到，当向量的起点为坐标原点时，其终点的坐标就是向量的坐标．例2是关于“向量线性运算的坐标表示”的知识巩固性例题．要强调与公式的对应．在研究起点为坐标原点的向量的基础上，利用向量加法的三角形法则，介绍起点在任意位置的向量的坐标表示，向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标，由此得到公式（7.8）.数值上可以简单记为：终点的坐标减去起点的坐标．例3是关于“起点在任意位置的向量的坐标表示”的巩固性例题．要强调“终点的坐标减去起点的坐标”．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题7.2 平面向量的坐标表示*创设情境兴趣导入【观察】设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i, y轴的单位向量为j，OA为从原点出发的向量，点A的坐标为（2，3）(图7－17)．则图7－172OM=i，3ON=j．由平行四边形法则知介绍质疑引导了解思考从实例出发使学生自然的走向知识点2OA OM ON =+=+i 可以看到，从原点出发的向量，其坐标在数值上与向量终点的i +=OM x 22,)x y （如图(x ,y )2212(()(i =-==-+AB OB OA x x x y 由此看到，对任一个平面向量， 使得(2,3)=OA ）所示，起点为原点，终点为(,=OM x ．）所示，起点为2(=-AB x x ，典型例题－19所示，用并写出它们的坐标．OM ＋MA (5,3)=a (4,3)=-b过 程行为 行为 意图 间【想一想】观察图7－19，OA 与OM 的坐标之间存在什么关系？ 例2 已知点(2,1)(3,2)-P Q ，，求PQQP ，的坐标． 解 (3,2)(2,1)(1,3),=--=PQ (2,1)(3,2)(1,3)=--=--QP ．引领 讲解 说明主动 求解会15*运用知识 强化练习1． 点A 的坐标为（－2，3），写出向量OA 的坐标，并用i 与j 的线性组合表示向量OA ．2． 设向量34a i j =-,写出向量a 的坐标． 3． 已知A ，B 两点的坐标，求AB BA ，的坐标． (1) (5,3),(3,1);-A B (2) (1,2),(2,1);A B (3) (4,0),(0,3)-A B ． 提问 巡视 指导思考 口答及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况20*创设情境 兴趣导入图7－19过 程行为 行为 意图 间 【观察】观察图7－20，向量(5,3)OA =,(3,0)OP =,(8,3)OM OA OP =+=．可以看到，两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和．质疑 引导 分析思考 参与 分析引导启发学生思考27*动脑思考 探索新知 【新知识】设平面直角坐标系中，11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则 1122()()x y x y +=+++a b i j i j1212()()x x y y =+++i j ．所以1212(,)x x y y +=++a b ． （7．6）类似可以得到1212(,)x x y y -=--a b ． （7．7）总结 归纳思考 归纳带领 学生 总结图7－20。
