常州市第二十四中学2018-2019学年第一学期
八年级第一次课堂教学质量调研数学试卷
2018.10一、填空题（每题2分，共20分）
1．若△ABC≌△ADE，则∠B的对应角为．
2．如图，已知AC＝BD，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是．（只需写出一种情况）
3．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、4，若这两个三角形全等，则x+y＝．
4．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△AOB≌A'OB'的理由是．
5．如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是．
6．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为小明将其中的第块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻
璃．
7．如图，点O是△ABC内一点，且到三边的距离相等，∠A＝60°，则∠BOC的度数为．
8．如图，在△ABC中AB的垂直平分线交AB于点D，交线段BC于点E．BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长是．
9．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C，若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为．
10．如图，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是．
二、选择题（每题3分，共21分）
11．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
12．如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF＝EF；③DO＝EO；④∠OFD＝OFE．其中能够证明△DOF≌△EOF的条件是（）
A．①④B．①②④C．①③④D．①②③④
13．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）
A．AB＝AD B．AC平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC 14．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）
A．40°B．35°C．30°D．25°
15．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（）
A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点
16．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（）
A．①B．②C．③D．④
17．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（）
A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β三、画图题（第18题8分，第19题5分，共13分）
18．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）画出△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）线段CC′被直线l；
（3）△ABC的面积为；
（4）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．
19．尺规作图：校园有两条路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P．（不写作图过程，保留作图痕迹）
四、解答题（第20-24题每题8分，第25题6分，共46分）
20．已知：如图，AB∥ED，点F、C在AD上，AB＝DE，AF＝DC，求证：BC＝EF．
21．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，点P在AB上，求证：PC＝PD．
22．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若AC＝12cm，求BD的长．
23．已知∠AOB ＝90°，OC 是∠AOB 的平分线，按以下要求解答问题：
（1）将一块足够大的三角尺的直角顶点落在射线OC 的任意一点P 上，并使三角尺的一
条直角边与OA 垂直，垂足为点E ，另一条直角边与OB 交于点F （如图1）．证明：PE
＝PF ；
（2）把三角尺绕点P 旋转，三角尺的两条直角边分别交OA 、OB 于点E 、F （如图2），
PE 与PF 相等吗？若相等请进行证明，若不相等请说明理由；
（3）若点E 在OA 的反向延长线上，其他条件不变（如图3），请直接写出结论：PE PF （填＞，＜，＝）．
24. 如图，点O 在直线m 上，在直线m 的同侧有A ，B 两点，∠?=90AOB ，OA=10，
OB=8，点P 以2cm/s 的速度从点A 出发沿A -O -B 路径向终点B 运动，同时点Q 以1cm/s
的速度从点B 出发沿B -O -A 路径向终点A 运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运
动，在某时刻，分别过点P ，Q 作m PC ⊥于点C ，m QD ⊥于点D ，设运动时间为t
秒，当t 为何值时，OPC △与△OQD 全等。
判断的理由．
参考答案与试题解析
1．【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等，可得答案．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B与∠D是对应角，
故答案是∠D
【点评】本题考查了全等三角形的性质．理清对应点是关键．
2．【分析】要使△ABC≌△DCB，根据三角形全等的判定方法添加适合的条件即可．【解答】解：∵AC＝BD，BC＝BC，
∴可添加∠ACB＝∠DBC或AB＝CD分别利用SAS，SSS判定△ABC≌△DCB．
故答案为：∠ACB＝∠DBC（或AB＝CD）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
3．【分析】根据全等三角形对应边相等求出x、y的值，然后相加即可得解．【解答】解：∵两个三角形全等，
∴x＝4，y＝5，
∴x+y＝4+5＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，比较简单，准确确定对应边是解题的关键．4．【分析】已知两边和夹角相等，利用SAS可证两个三角形全等．
【解答】解：∵OA＝OA′，OB＝OB′，∠AOB＝∠A′OB′，
∴△OAB≌△OA′B′（SAS）
所以理由是SAS．
故答案为SAS．
【点评】本题考查了三角形全等的应用；根据题目给出的条件，要观察图中有哪些相等的边和角，然后判断所选方法，题目不难．
5．【分析】关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果可得答案．
【解答】解：从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是9：30，
故答案为：9：30．
【点评】此题主要考查了镜面对称，动手操作可以直观的得到答案．
6．【分析】根据全等三角形的判断方法解答．
【解答】解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃．
故答案为：4
【点评】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．
7．【分析】点O到三角形三边的距离相等，可知O点为三角形三角平分线的交点；根据角平分线性质，在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A．
【解答】解：∵点O到三角形三边的距离相等，
∴OB、OC为三角形的角平分线，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A＝120°．
故填120°
【点评】本题考查了角平分线的性质；由此题可以得到规律∠BOC＝2∠A，做题后，要学会对题目的反思，对规律的总结．
8．【分析】根据线段垂直平分线的性质得AE＝BE，然后利用等线段代换即可得到△ACE 的周长＝AC+BC，再把BC＝6，AC＝5代入计算即可．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE
＝AC+CE+BE＝AC+BC＝5+6＝11．
故：△ACE的周长＝11
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
9．【分析】根据垂线段最短，当DP垂直于BC的时候，DP的长度最小，则结合已知条件，利用三角形的内角和定理推出∠ABD＝∠CBD，由角平分线性质即可得AD＝DP，由AD 的长可得DP的长．
【解答】解：解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，
∵BD⊥CD，即∠BDC＝90°，又∠A＝90°，
∴∠A＝∠BDC，又∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，
∴AD＝DP，又AD＝4cm，
∴DP＝4cm．
故：DP＝4cm．
【点评】本题主要考查了直线外一点到直线的距离垂线段最短、角平分线的性质，解题的关键学会利用垂线段最短解决最值问题．
10．【分析】根据图形得出当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n个点时，图中有个全等三角形即可．
【解答】解：当有1点D时，有1对全等三角形；
当有2点D、E时，有3对全等三角形；
当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；
当有4点时，有10个全等三角形；
…
当有n个点时，图中有个全等三角形．
故答案为：．
【点评】本题考查了对全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．
11．【分析】分别根据轴对称图形的定义即可判断；
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形，熟知轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合是解答此题
的关键．
12．【分析】要证三角形全等，则需运用全等三角形的判定．我们可以把给出的条件一一进行验证，从而确定正确答案．
【解答】解：（1）∵OF是∠AOB的平分线，
∴∠DOF＝∠EOF．
又∵FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，OF＝OF，
∴△DOF≌△EOF．（AAS）
（2）∵FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，DF＝EF，OF＝OF，
∴OD＝OE．
∴△DOF≌△EOF．（SSS）
（3）∵FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，DO＝EO，OF＝OF，
∴△DOF≌△EOF．（HL）
（4）∵FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，∠OFD＝OFE，OF＝OF，
∴△DOF≌△EOF．（AAS）
∴能够证明△DOF≌△EOF的条件有①②③④．
故选：D．
【点评】此题主要考查全等三角形的判定．常用的判定方法有SSS，SAS，AAS，HL等．在做题时要注意灵活运用．做题时根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证．13．【分析】根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AB＝AD，BC ＝CD，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC平分∠BCD，EB＝DE，进而可证明△BEC≌△DEC．
【解答】解：∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BC＝CD，
∴AC平分∠BCD，EB＝DE，
∴∠BCE＝∠DCE，
在Rt△BCE和Rt△DCE中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL），
故选：C．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
14．【分析】根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠BAC，然后根据∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝70°，
∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC，
＝70°﹣35°＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．15．【分析】根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点．
【解答】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．
故选：A．
【点评】此题考查了三角形的外心的概念和性质．熟知三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，是解题的关键．
16．【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．
【解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．
17．【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．
【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，
∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．
18．【分析】（1）根据网格结构找出点B、C关于直线l的对称点B′、C′的位置，在于点A（即A′）顺次连接即可；
（2）根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对称点的连线；
（3）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解；
（4）根据轴对称确定最短路线问题，连接B′C与对称轴的交点即为所求的点P．【解答】解：（1）△A′B′C′如图所示；
（2）线段CC′被直线l垂直平分；
（3）△ABC的面积＝2×4﹣×1×2﹣×1×4﹣×2×2，
＝8﹣1﹣2﹣2，＝8﹣5，＝3；
（4）点P如图所示．
故答案为：（2）垂直平分；（3）3．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置，熟记轴对称的性质是解题的关键．
19．【分析】分别作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为点P．【解答】解；如图，点P为所作．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
20．【分析】由已知AB∥ED，AF＝DC可以得出∠A＝∠D，AC＝DF，又因为AB＝DE，则我们可以运用SAS来判定△ABC≌△DEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF ＝BC．
【解答】证明：∵AB∥ED，
∴∠A＝∠D，
又∵AF＝DC，
∴AC＝DF．
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF．
∴EF＝BC
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
21．【分析】由等角的补角相等得到一对角相等，再由已知的一对角相等及公共边PB，利用ASA得到三角形BDP与三角形BCP全等，由全等三角形的对应边相等即可得证．【解答】证明：∵∠1+∠DPB＝180°，∠2+∠CPB＝180°，∠1＝∠2，
∴∠DPB＝∠CPB，
∵在△BDP和△BCP中，
，
∴△BDP≌△BCP（ASA），
∴PD＝PC．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
22．【分析】（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的AE和CD分别在三角形AEC 和三角形CDB中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答．
（2）由（1）得BD＝EC＝BC＝AC，且AC＝12，即可求出BD的长．
【解答】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB+∠D＝∠DCB+∠AEC＝90°．
∴∠D＝∠AEC．
又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，
且BC＝CA，
在△DBC和△ECA中，
∵
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE＝CD．
（2）解：∵△CDB≌△AEC，
∴BD＝CE，
∵AE是BC边上的中线，
∴BD＝EC＝BC＝AC，且AC＝12cm．
∴BD＝6cm．
【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
23．【分析】（1）由全等三角形的判定和性质证明PE＝PF；
（2）PE＝PF，利用条件证明△PEM≌△PFN即可得出结论．
（3）PE＝PF，利用条件证明△PGE≌△PHF即可得出结论．
【解答】解：（1）∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵PE⊥OA，
∴∠OEP＝90°，
∵∠AOB＝90°，∠EPF＝90°
∴∠OFP＝360°﹣∠AOB﹣∠PEO﹣∠EPF＝90°，
∴∠OEP＝∠OFP
又∵∠AOC＝∠BOC，OP＝OP
∴△OEP≌△OFP（AAS），
∴PE＝PF；
（2）PE＝PF，
理由是：如图2，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，则∠PME＝∠PNF＝90°，
∵OP平分∠AOB，
∴PM＝PN，
∵∠AOB＝∠PME＝∠PNF＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∵∠EPF＝90°，
∴∠MPE＝∠FPN，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴PE＝PF．
故答案为：＝；
（3）PE与PF相等
如图3，过点P作PG⊥OA，PH⊥OB，垂足分别为G、H．
∵PG⊥OA，PH⊥OB，
∴∠PGO＝∠PHO＝90°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC，
又∵OP＝OP，
∴△OGP≌△OHP（AAS），
∴PG＝PH，
∵∠AOB＝90°，∠PGO＝∠PHO＝90°，
∴∠GPH＝90°
又∵∠EPF＝90°，
∴∠GPE＝∠HPF，
∵∠PHO＝90°，
∴∠PHF＝90°，
∴∠PGO＝∠PHF＝90°
∵∠GPE＝∠HPF，PG＝PH，∠PGO＝∠PHF，
∴△PGE≌△PHF（ASA），
∴PE＝PF．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，证明三角形全等的方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
24、解答：
（1）在上，在上
解得：
（2）
在上，在上
由题意得：
解得：
（3）
在点停止运动，在上
由题意得：
解得：
在上，在上这种情况不存在
故答案为，，
25、解答：
（1）如图：过O作OH⊥AB，垂足为H，在垂线段OH的延长线上取一点P，使得PH=OH，此时点P即为点O关于直线AB的对称点，同理画出点Q.
（2）当∠ABC=90°时，PQ=7.理由如下：
连接PB、QB.
∵O、P关于直线AB对称，
∴直线AB垂直平分OP，
∴∠BHO=∠BHP=90°，PH=OH.
∵BH=BH，
∴△BHO≌△BHP，
∴OB=PB=312，∠OBH=∠PBH，
同理OB=QB=312，∠OBC=∠QBC，
∴PB+QB=312+312=7.
若PQ=7，则PB+QB=PQ，此时P、B、Q三点共线，∴∠PBQ=180°，
∴∠ABC=∠OBH+∠OBC=12∠PBQ=90°.
（3）当∠ABC≠90°时，PQ＜7.理由如下：
∵∠ABC≠90°，
∴P、B、Q三点不在一条直线上，此时构成△PBQ，∴PB+BQ＞PQ.
∵由（2）得PB+BQ=7，
∴PQ＜7.