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浅谈解决有关绝对值问题的几种方法

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196学术性．实践性．理论性科学教育家2008年6月第6期蠲蒸鳓甍臻甍甍骶臻蒙甍鼎蘸甍蒙澄臻燕蓊臻撼蘸甍臻甍蒹甍矧骶臻甍甍臻舞黼臻弧甍臻蕊蘸臻燕豫浅谈解决有关绝对值问题的几种方法
薛玉财
(东北师大附中吉林长春130022)
关于绝对值的知识点主要有：绝对值定义，绝对值性质．绝4利用绝对值不等式性质定理
对值不等式的解集公式以及绝对值不等式定理，就是解决有关aI—l bl|≤I a士bl I口I+I bI，主要考察等号成立的绝对值问题的依据．条件．
1利用绝对值不等式的解集公式例4解不等式I工+2I+I2x--1I>I3z+1f：．
若a≥o，则I xl>a甘x>a或x<一a；I xI<a骨一ax<a．发现隐含关系：(z+2)+(z工一1)=3x+1
例1勰不等式：(1)I】(2+2x--5I>5；(2)I2一x>xz．例5已知X，yER且I z f+i Y i≤1，工+3y求的最值．
一些学生对(2)不会先化为l x--2I>z2，而只会套用公式，增了难度．
2利用绝对值性质
(1)I z I+I—z I≥o；(2)f zI2一≯(3)l xyl—zI I Y l例2解不等式：
(1)工2—3I工l一10>o；
(2)I≯一2l>2--≯；
(3)l x+2l>I3--2xI；l≯--3+2I>I∥一1I．对于(3)，常用平方法解决，但平方法有其适用条件：①非负}②次数不高．条件①
是经常忽略的．
3分类讨论
其依据是绝对值定义：I aI—f=二i兰。

，，千万不能写成a{=士山
．例3解不等式：
(1)Ix+2J+J2x--1I>8j(2)2I红+3I>2”‘(3)I3计3—3I一9—2+7>0．先令绝对值符号内的一个整体为零，求出零值点．但分类讨论并不是死板照套，如何分类，从哪方面切入要因题而异．例如对不等式l2／og。

z一2I—l l og．x一2I<2，I l093xI—l l og。

(3--x)I≥1应先从真数大予0得x>0，0<x<3，由此切入分类则简单得多．
分析：由题知l工I≤1，l yI≤1，则l x+3yI≤l互l+3 I yl≤(1一l Y I)+3l yI一1+2l Y l≤3
5联系式子的几何意义。

转化为几何问题
例6解不等式．
分析：①在数轴上找一点，使到7和一3的距离之差大于8
②利用l,2：--8．I一／石j可，转化为f oi刁严酽撕孑巧
F再i丐西，y=0，
表示以为焦点，实轴长为8的双曲线左分支以左的轴上的点。

6非绝对值问题转化为绝对值问置
例7若函数是定义在(一o。

，]上的偶函数，在上是减函数，且f(2)一o，则不等式f(x)<o的解集是——．
f i x)是偶函数甘f(x)一f(一x)=f(f xf)，从而不等式变为f (I xI)<f(2)，由单调性只要解I xI<2即可．
以上就是我对中学数学教学中经常接触到的绝对值问题解法的点滴体会．
收稿日期：2008—6—29
(上接187页)期末成绩及学习情况进行层次间的流动。

分层只是一种手段，逐级递进、提高效率才是目的。

这种层次问的升降变迁，是一种极好的竞争机制。

有益于激励学生上进。

4绪束语
高等数学的分层次教学是高校“以学生为本，因材施教”这一教学原则的良好体现，其优越性主要体现在：①分层次教学给学生一个更适合自己的学习环境；②分层次教学使学生的学习目的更加明确；③分层次教学引入了竞争机制，激发了学生学习的积极性、自觉性。

当然，分层次教学在实施过程中必然会遇刭～些困难，出现一些问题。

像在教学管理方面，由于分层次教学使教学班和学生的自然班不一样了，在同一个教学班中存在几个自然班的学生，这使教学管理难度加大。

但是有各级领导的重视和支持，在全体师生的不懈努力下，一定能克服不足，取得更加理想的教学效果。

总之，高等数学课程进行分层次教学是目前形式下高等数学课程改革的一种有效途径。

高等数学分层次教学改革的实施与完善必将学生在大学数学教育中受益，成为面向21世纪的合格人才。

参考文献
[1]杨宏林，等，关于高等数学课程教学改革的几点思考[刀，
数学教育学报，2004，13(2)：74—76．
[2]杨孝平，等，本科高等数学分层次教学的深入思考与实践
[J]，大学数学，2003，19(6)：27—30．
13-t蔡康盛，张卫国，《微积分》课程分成次教学的实践I-I-1，上海理工大学学报，2005，27(4)：31—33．
收稿日期：Z008—6—17。

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决战218高考数学，4法破解绝对值问题！

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含绝对值问题的解法主要有：
(1)定义讨论法
由于利用定义可以把绝对值去掉，因此往往需要分类讨论．其方法是：把每个绝对值为零的零点标在数轴上，则这些零点把数轴分成若干段，再对各段所对应的范围分别进行讨论即可．
(2)性质平方法
因为绝对值的性质有|a|的平方＝a的平方，利用此性质可把绝对值去掉．但这种方法的缺点是平方后往往比较繁，另外要注意何时才能平方，防止出现增根．
(3)等价转化法(合二为一)
利用绝对值的性质等价转化，去绝对值，
如：|ax＋b|<>⇔－c<>＋b<>，|ax＋b|>c⇔ax＋b>c或ax＋b －C．
(4)数形结合法
利用函数的图象解含有绝对值的不等式．
常用结论需牢记：
解含有绝对值的问题经常用到的三性质与三定理
三性质
(1)非负性：|a|≥0.
(2)运算性质：|a·b|＝|a|·|b|，＝，|a|2＝a2.
(3)等价性：|x|<>⇔－a<><>；|x|>a⇔x>a或x－a．
三定理
定理一：绝对值三角不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
定理二：最值定理：设a1<>…<>，那么对函数y＝|x－a1| ＋|x－a2|＋…＋|x－an|，。

绝对值解题技巧

绝对值解题技巧

绝对值解题技巧
绝对值是数学中的一个重要概念，它表示一个数距离0的距离。

在解决数学问题时，绝对值常常会起到关键的作用。

以下是一些绝对值的解题技巧：
1. 理解绝对值的定义：
绝对值表示一个数距离0的距离，用数学符号表示就是 x。

如果x ≥ 0，那么 x = x；如果 x < 0，那么 x = -x。

2. 分段讨论：
在解决涉及绝对值的问题时，通常需要分段讨论。

根据绝对值的定义，可以将数轴分为几个区间，然后分别讨论每个区间内绝对值的表现形式。

3. 利用绝对值的三角不等式：
a -
b ≤ a + b ≤ a + b
这个不等式可以用来解决一些与绝对值相关的问题。

4. 利用绝对值的几何意义：
绝对值表示一个数距离0的距离，因此可以利用这个几何意义来理解问题。

例如，x 表示点 (x, 0) 到原点 (0, 0) 的距离。

5. 转化问题：
有时候，将问题转化为与绝对值相关的问题可以使问题更容易解决。

例如，在解方程时，可以将方程转化为分段函数的形式，然后利用绝对值的定义来求解。

6. 注意特殊情况：
在解决涉及绝对值的问题时，需要注意一些特殊情况。

例如，当 x = 0 时，x = 0；当 x = -0 时，x = 0。

这些特殊情况可能会影响问题的解。

通过掌握这些技巧，可以更好地理解和解决涉及绝对值的问题。

绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，对于绝对值不等式的解法，我们可以通过以下几种方法来进行求解。

在本文中，将介绍绝对值不等式的图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用解法。

一、图像法图像法是一种直观的解法，通过绘制图像来确定不等式的解集。

例1：解不等式 |x - 2| > 3。

首先，我们可以将其转化为两个方程：x - 2 > 3 或 x - 2 < -3解得：x > 5 或 x < -1将这两个解集对应的区间在数轴上标出，即可得到图像。

通过观察图像，我们可以得出原不等式的解集为 x < -1 或 x > 5。

二、符号法符号法是一种抽象的解法，通过符号的转换来确定不等式的解集。

例2：解不等式 |2x - 3| ≤ 4。

根据绝对值的定义，我们可以将不等式分解为以下两个条件：2x - 3 ≤ 4 且 2x - 3 ≥ -4解得：x ≤ 7/2 且x ≥ -1/2将这两个解集取交集，即可得到原不等式的解集为 -1/2 ≤ x ≤ 7/2。

三、分情况讨论法分情况讨论法是一种特殊的解法，通过考虑不同情况来确定不等式的解集。

例3：解不等式 |3x + 2| > 5。

根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：3x + 2 > 5 或 3x + 2 < -5解得：x > 1 且 x < -7/3因此，我们可以根据不同的情况得出原不等式的解集为 x < -7/3 或x > 1。

四、代数法代数法是一种基础的解法，通过代数运算来确定不等式的解集。

例4：解不等式 |x - 4| ≥ 2。

根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：x - 4 ≥ 2 或 x - 4 ≤ -2解得：x ≥ 6 或x ≤ 2因此，原不等式的解集为x ≤ 2 或x ≥ 6。

综上所述，绝对值不等式的解法包括图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用方法。

如何解决绝对值方程

如何解决绝对值方程

如何解决绝对值方程绝对值方程是一个常见的数学问题，需要找到使得方程中的绝对值表达式等于某个给定的值的未知数的取值。

解决绝对值方程的方法有很多，下面将介绍几种常见的解决方法。

一、用绝对值的定义解绝对值方程绝对值的定义是：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。

在解决一个绝对值方程时，可根据绝对值的定义将绝对值表达式拆分成两个情况，分别对应x≥0和x<0两种情况。

然后解得两个方程，得到两组解。

例如，解方程|2x-3|=5时，可以将绝对值表达式拆分成2x-3=5和2x-3=-5两个方程，然后解得x=4和x=-1，得到解集{x=4, x=-1}。

二、利用绝对值的性质解绝对值方程1. 若|a|=|b|，则a=b或a=-b。

即若两个绝对值相等，则去掉绝对值符号后的表达式相等。

利用这个性质，可以简化解绝对值方程的步骤。

例如，解方程|2x+1|=3，由性质可知2x+1=3或2x+1=-3，然后解得x=1和x=-2，得到解集{x=1, x=-2}。

2. 若|a|>c，则a>c或a<-c。

即若一个绝对值大于一个正数，则去掉绝对值符号后的表达式大于这个正数。

利用这个性质，可以将不等式转化成一组简单的不等式。

例如，解不等式|2x-1|>4，由性质可知2x-1>4或2x-1<-4，然后解得x>2.5或x<-1.5，得到解集{x:x>2.5或x<-1.5}。

三、用图像法解绝对值方程可以通过绘制绝对值函数的图像，来解决绝对值方程。

绘制出函数的图像后，再找到与给定值相等的函数值对应的x值即可得到解。

例如，解方程|2x-3|=5，可绘制出y=|2x-3|和y=5两个函数的图像，然后找到它们的交点对应的x值，即可得到解。

总结：解决绝对值方程的方法有多种，包括用绝对值的定义解方程、利用绝对值的性质解方程以及利用图像法解方程等。

不同的方法适用于不同的问题，需要根据具体情况选择合适的方法来解决。