绝对值最值问题的方法

绝对值与最值

对绝对值概念有几何、代数两种描述方法 •其中几何方法的描述是：|x|是在数轴上表 示数x的点与原点的距离.据此，我们可以略加推广:|x-a|指在数轴上表示数x的点与表示数 a的点的距离.下面举例说明其应用.

一、利用绝对值的几何意义求最短距离

2014-09-17 sunny 学数学

|a|的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离.

|a-b|的几何意义：在数轴上，表示数a. b对应数轴上两点间的距离.

典型例题分析：

例1、数轴上到原点距离是5个单位长度的点表示的数是

到原点距离是5的点有两个，原点左右各一个，分别表示 ±5

例2、数轴上到3的距离是5个单位长度的点表示的数是

答案同样有两个，分别是8和-2

例3、当x取何值时，3+|x-2|有最小值，是多少？

理解方法有两种：

代数方法：因为|x-2|表示的是非负数，所以，最小是 0,此时，x=2,整个式子

的最小值是3

几何方法：因为|x-2|表示的是数轴上的点x到点2的距离，只有当x=2时，距离 最小是0.整个式子的最小值是3.

例4、当x取何值时，|x-2|+|x+4|的值最小，最小值是多少？分析：由上面的知识可知，|x-2|+|x+4|表示的是数轴上的点 x到点2和点-4的距离之和。分

别用红色和蓝色的线段表示到两点的距离

点2和点-4，把整个数轴分成了三个部分，

当点x在这三个不同的部分时，会分别出现以下情况，

1点x在-4的左侧

2、点x在-4和2之间，此时，到2和-4的距离之和恒等于6

3、点x在2的右侧

4、如果点x恰好在-4或者2,就会出现某一个距离是 0，可以归入情况2.

由以上的几种情况，可以看出，只有点 x在-4和2之间时，彩色线段没有重合的部分，距 离之和才最小，

所以当点x在-4和2之间时，|x-2|+|x+4|最小，最小值是 6.

例 5、求 |x-2|+|x+4|+|x+1| 的最小值

绝对值几何意义

当xa时，0xa，此时a是xa的零点值．

零点分段讨论的一般步骤：

找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．

a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．

ab的几何意义：在数轴上，表示数a、b对应数轴上两点间的距离．

一、绝对值定值探讨

【例1】 若1232008xxxx的值为常数，试求x的取值范围．

【例2】 若24513aaa的值是一个定值，求a的取值范围.

【例3】 已知112xx，化简421x．

【例4】 若245134xxx的值恒为常数，则x应满足怎样的条件？此常数的值为多少？

【例5】 已知代数式374xx，则下列三条线段一定能构成三角形的是（ ）．

A． 1，x，5 B． 2，x，5 C． 3，x，5 D． 3，x，4

【例6】 是否存在有理数x，使132xx？

【例7】 是否存在整数x，使433414xxxx？如果存在，求出所有整数x，如果不存在，请说明理由

绝对值定值、最值探讨

【例8】 如果对于某一给定范围内的x值，13pxx为定值，则此定值为 ．

二、绝对值最值探讨

【例9】 设2020yxbxxb，其中020,20bbx，求y的最小值.

【例10】 已知2x，求32xx的最大值与最小值．

【例11】 已知04a，那么23aa的最大值等于 ．

【例12】 如果122yxxx，且12x≤≤，求y的最大值和最小值

【例13】 已知759x，求x取何值时13xx的最大值与最小值．

【例14】 求15yxx的最大值和最小值．

绝对值大全零点分段法、化简、最值

一、去绝对值符号的几种常用方法

解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号;使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式;而后;其解法与一般不等式的解法相同..因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键..

1利用定义法去掉绝对值符号

根据实数含绝对值的意义;即|x|=(0)(0)xxxx;有|x|c(0)0(0)(0)xcxccxcxRc或

2利用不等式的性质去掉绝对值符号

利用不等式的性质转化|x|cc>0来解;如|axb|>cc>0可为axb>c或axb<－c；|axb|

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解;也可利用结论“a≤|x|≤ba≤x≤b或－b≤x≤－a”来求解;这是种典型的转化与化归的数学思想方法..

3利用平方法去掉绝对值符号

对于两边都含有“单项”绝对值的不等式;利用|x|2=2x可在两边脱去绝对值符号来解;这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷;解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围;如果没有明确不等式两边均为非负数;需要进行分类讨论;只有不等式两边均为非负数式时;才可以直接用两边平方去掉绝对值;尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点..

4利用零点分段法去掉绝对值符号

所谓零点分段法;是指：若数1x;2x;……;nx分别使含有|x－1x|;|x－2x|;……;|x－nx|的代数式中相应绝对值为零;称1x;2x;……;nx为相应绝对值的零点;零点1x;2x;……;nx将数轴分为m+1段;利用绝对值的意义化去绝对值符号;得到代数式在各段上的简化式;从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解;即令每项等于零;得到的值作为讨论的分区点;然后再分区间讨论绝对值不等式;最后应求出解集的并集..零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法;这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法;它可以把求解条理化、思路直观化..

初中数学：绝对式和的最⼩值，掌握⽅法，秒出答案

初中⽣学了绝对值后，会经常遇到⼀个类型题，求⼀个式⼦绝对值的最⼩值。形如│x-a│，因当x⽆限⼤时，式⼦的绝对值也⽆限⼤，⽽绝对值是⼀个⾮负数，所以式⼦的绝对值最⼩为0，此时，x=a。所以，绝对值的最⼩值是经常考察的⼀个知识点。接下我们就总结⼀下绝对值最⼩值的类型题。

⼀、求绝对式和的最⼩值

⾸先我们要了解绝对值的⼏何含义。⼀个数的绝对值表⽰这个数在数轴上到原点的距离。两个数差的绝对值表⽰两个数在数轴上间的距离。计算⽅法是⼤数减⼩数。

绝对值的⼏何含义

若a<0, b>0,且│a│<│ b│,有:

│a│=0-a =-a, │ b│=b-0=b，│b-a│=b-a, │a-b│=b-a。

形如│a+b│，我们可以看作为│a+b│=│a-(-b)│=a-(-b)=a+b。即遇到相加的形式，写成减的形式,构造绝对值的⼏何意义。1、两个绝对式的和

形如│x-a│+│x-b│，（a>b）求它的最⼩值。

（1）当x在b的左边时，│x-a│+│x-b│=线段xb长+线段xa长>线段ab长。

（2）当x在b上时，│x-a│+│x-b│=0+线段ab长=线段ab长。

（3）当x在a,b之间时，│x-a│+│x-b│=线段xb长+线段ax长=ab长。

（4）当x在a上时，│x-a│+│x-b│=线段xb长+0=线段ab长。

（5）当x在a的右边时，│x-a│+│x-b│=线段xb长+线段xa长>线段ab长。

通过上⾯分析，可知当b≤x≤a时，│x-a│+│x-b│有最⼩值，为线段ab长=a-b。

练习

│x-3│+│x-8│=8-3=5 │x-3│+│x+8│=3-（-8）=11

2、三个绝对式的和

形如│x-a│+│x-b│+│x-c│，（a>b>c）,求它的最⼩值。

上⾯分析，我们已经知道│x-a│+│x-c│有最⼩值，为a-c，那么只需确定│x-b│的最⼩值就可以了，当且仅当x=b时，│x-b│最⼩为0。所以，当且仅当x=b时，│x-a│+│x-b│+│x-c│有最⼩值，最⼩值为a-c。练习