抽象函数复习学案

2019—2020年兴义地区重点中学高考一轮复习教学案——抽象函数——抽象函数要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力，在高考命题中也有逐步加强的趋势一、明确复习目标了解抽象函数的概念和题目形式，把握一些常用的方法。

二．建构知识网络1.抽象函数——没有给出函数解析式，只是给出函数所满足的一些性质。

2.抽象函数咨询题一样是由所给的性质,讨论函数的单调性、奇偶性、周期性及图象的对称性，或是求函数值、解析式等。

3.抽象函数处理方法，要紧是〝赋值法〞，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用变量代换解题。

也常联系具体的函数模型能够简便地找到解题思路，及解题突破口。

4. 〝函数式变换与图象的对称性之间的关系〞 (在2.4函数图象变换中已详述)。

三、双基题目练练手1.(2006山东)定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，那么(6)f = ( ) 〔A 〕-1 〔B 〕0 〔C 〕1 〔D 〕22.(2007启东质检)函数y=f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)=0，对任意x ∈R ，都有f (x +4)=f (x )+f (4) 成立，那么f (2006)= ( )A ．4012B ．2006C ．2018D ．03.y=f (2x +1)是偶函数，那么函数y=f (2x )的图象的对称轴是〔 〕A.x =1B.x =2C.x =－21D.x =21 4.()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，假设120,0x x <>，且12||||x x <，那么 〔 〕 A 12()()f x f x ->- B 12()()f x f x -<- C 12()()f x f x ->- D 12()()f x f x -<-5.(2006安徽)函数()f x 关于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=,假设f (1)=－5,那么f (f (5))=_______.6．函数()f x 满足：()()()f a b f a f b +=⋅，(1)2f =，那么2(1)(2)(1)f f f ++ 222(2)(4)(3)(6)(4)(8)(3)(5)(7)f f f f f f f f f +++++= 。

一、教学目标1. 知识目标：使学生掌握抽象函数的基本概念、性质以及应用。

2. 能力目标：培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的数学思维能力。

3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

二、教学重点1. 抽象函数的定义及性质。

2. 抽象函数的图像与性质。

3. 抽象函数的应用。

三、教学难点1. 抽象函数的定义理解。

2. 抽象函数的图像绘制。

四、教学过程（一）导入1. 复习初中函数知识，引出抽象函数的概念。

2. 提出问题：如何描述一个函数，使其更加抽象？（二）新课讲解1. 抽象函数的定义：给出抽象函数的定义，结合实例讲解。

2. 抽象函数的性质：介绍抽象函数的基本性质，如奇偶性、周期性、单调性等。

3. 抽象函数的图像与性质：讲解如何根据函数的性质绘制函数图像。

4. 抽象函数的应用：举例说明抽象函数在实际问题中的应用。

（三）课堂练习1. 完成课本中的相关习题，巩固所学知识。

2. 教师巡视指导，解答学生疑问。

（四）课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结抽象函数的定义、性质及应用。

2. 强调抽象函数在数学中的重要性。

（五）课后作业1. 完成课后习题，巩固所学知识。

2. 查阅资料，了解抽象函数在其他领域的应用。

五、教学反思1. 关注学生的学习情况，调整教学进度和方法。

2. 结合实际，引导学生将抽象函数知识应用于实际问题。

3. 激发学生的学习兴趣，培养学生的数学思维能力。

六、教学资源1. 教材：《高等数学》2. 教学参考书：《高等数学学习指导》3. 网络资源：相关数学网站、教学视频等七、教学时间1. 总课时：2课时2. 每课时教学内容分配：- 第1课时：抽象函数的定义及性质- 第2课时：抽象函数的图像与性质、应用注：以上教案模板仅供参考，教师可根据实际情况进行调整。

《抽象函数》学案【考纲要求】1．掌握抽象函数的定义域的求法．2．掌握抽象函数的常见模型来解决抽象函数问题． 【知识梳理】1．抽象函数:指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质的函数． 2【基础自测】1．已知函数()f x 的定义域为(1,0)-,则函数(21)f x -的定义域为（ ） A ．(1,1)- B ．1(0,)2 C ．(1,0)- D ．1(,1)22．如果函数()f x 的值域为[1,2]-，则(1)f x +的值域为（ ） A. [2,3]- B. [0,3] C. [1,2]- D. (1,2)-3．若奇函数()f x 满足(2)2,(2)()(2)f f x f x f =+=+，则(1)f =（ ）A ．0B ．1C ．12-D ．124. 定义在R 上的函数()f x 的图象关于直线2x =对称，且()f x 在()2-∞，上是增函数，则( ) A ．(1)(3)f f -< B ．(0)(3)f f > C ．(1)(3)f f -= D ．(0)(3)f f =【典例剖析】考点一 抽象函数的定义域【例1】已知函数()f x 的定义域为[0,2]，则函数()(2)g x f x = ）A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[1,3]【谨记通法】求抽象函数的定义域（1）已知[()]y f g x =的定义域为[,]x a b ∈，求()y f x =的定义域． 方法：()g x 在[,]a b 上的值域，即为()y f x =的定义域． （2）已知()y f x =的定义域为[,]x a b ∈，求)]([x g f y =的定义域． 方法：由()a g x b ≤≤，解出x 的取值范围，即为)]([x g f y =的定义域．【变式】（2019郑州模拟）若函数2(1)f x +的定义域为[1,1]-，则(lg )f x 的定义域为（ ） A ．[1,1]- B ．[1,2] C ．[10,100] D ．[0,lg 2]考点二 赋值法求抽象函数的解析式【例2】已知定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的实数,x y ，都有()()(21)f x y f x y y x -=+-+，且(1)3f -=，则函数()f x 的解析式为________．【温馨提示】通过观察已知和未知的关系，巧妙赋值． 【变式】(2019福州调研) 对于任意的实数,x y ，都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，且(0)1f =，则(2018)f =（ ）A ．0B ．1C ．2018D ．2019考点三 抽象函数的常见模型【例3】（1）定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+(,)x y ∈R ， 当0x <时，()0f x >，则函数()f x 在(,]a b 上（ ）A . 有最小值()f aB . 有最大值()f aC . 有最小值()f bD . 有最大值()f b（2）已知函数()f x 满足(1)2,f = 且对任意,x y R ∈都有()()()f x f x y f y -=， 记121nin i aa a a ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅∏，则101(6)i f i =-=∏（ ）A . 8B . 16C . 32D . 64【方法技巧】要善于用具体函数类型来解决抽象函数问题．【变式】设()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且()()()x f x f f y y=+，若(2)1f =，则(8)f = ．考点四 抽象函数的综合应用【例4】已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(2)y f x =+为偶函数，且()f x 对任意12,[2,)x x ∈+∞12()x x ≠，都有2121()()0f x f x x x -<-，若()(31)f a f a ≤+，则实数a 的取值范围是 ( )A ．13[,]24-B ．[2,1]-- C.1(,]2-∞- D ．3(,)4+∞【温馨提示】本题考查函数的奇偶性、单调性等基础知识，意在分析问题、解决问题的能力． 【变式】若对,x y ∀∈R ，有()()()2f x y f x f y +=+-的最大值与最小值的和为（ ）A . 4B . 6C . 9D . 12。

新人教版必修一数学专题抽象函数抽象函数是相对于具体函数而言，指没有给出具体的函数解析式或图象，只给出了一些体现函数特征 的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．函数知识贯穿于中学数学始终，它是高中数学最重要的内容之一．而抽象函数又是高中函数部分的难 点，也是高等数学函数部分的一个衔接点．先了解常见的以初等函数为模型的抽象函数，若我们能从具体的模型出发，根据解题目标展开联想，则常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口．1．以线性函数为模型的抽象函数：()()()f x y f x f y ±=±；2．以二次函数为模型的抽象函数：()()f a x f a x +=-；3．以指数函数为模型的抽象函数：()()()f x y f x f y +=，()()()f x f x y f y -=； 4．以对数函数为模型的抽象函数：()()()f xy f x f y =+，()()()xf f x f y y=-； 5．以幂函数为模型的抽象函数：()()()f xy f x f y =，()()()xf x f y f y =． 抽象函数问题分类解析：一．求定义域：【例1】已知2(23)f x x -+的定义域为[2,1]-，求函数()f x 及(21)f x -的定义域．【例2】已知函数()f x 的定义域是[1,2]-，求函数12[log (3)]f x -的定义域．练习题：1．若函数()f x 的定义域为[0,3]，则2(1)f x -的定义域为 ．2．若()f x 的定义域为[3,5]-，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域 ．3．已知函数2()f x 的定义域是[1,2]，求()f x 的定义域 ．4．已知(2)xf 的定义域为[1,1]-，求函数()f x 的定义域 ．5．已知函数(1)f x -的定义域是[1,1]-，则函数(1)f x +的定义域是 ． 6．若函数(21)f x +的定义域为3(1,)2-，则函数2(log )f x 的定义域为 ． 二．求值问题：【例1】已知定义域为(0,)+∞的函数()f x ，同时满足下列条件：①(2)1f =，1(6)5f =；②()()()f x y f x f y ⋅=+，求(3)f ，(9)f 的值． 【例2】设()f x 是定义在R 上的函数，且对任意1x ，21[0,]2x ∈，都有1212()()()f x x f x f x +=⋅，若(1)2f =，求1()2f ，1()4f ． 练习题：1．若*(1)()1()f n f n n N +=+∈，且(1)2f =，则(100)f 的值是 ．2．定义在R 上的函数()y f x =，它同时满足具有下述性质：①对任何x R ∈，均有33()[()]f x f x =；②对任何1x ，2x R ∈，12x x ≠均有12()()f x f x ≠，则(0)(1)(1)f f f ++-= ．3．定义R 上的函数()f x 满足：()()()f xy f x f y =+，且(9)8f =，则f = ．4．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(3)0f =，对任意x R ∈，都有(6)()(6)f x f x f +=+成立，则(2007)f = ．5．已知的定义域为(0,)+∞，且，对一切正实数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，则 ．6．已知函数()f x 的定义域是N *，且对于任意正整数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=，(1)2f =，则 (1)(2)(3)(2008)f f f f ++++= ．7．若()()()f x y f x f y +=，且(1)2f =，则(2)(4)(6)(2002)(1)(3)(5)(2001)f f f f f f f f ++++的值是 ． 8．设()f x 是R 上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f = ．9．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b R ∈都满足()()()f ab af b bf a =+，求(0)f ，(1)f 的值．10．已知()f x 是定义在R 上的函数，(1)1f =，且对任意x R ∈都有(5)()5f x f x +≥+，(1)()1f x f x +≤+．若()()1g x f x x =+-，求(2010)g 的值．11．已知函数()f x ，()g x 在R 上有定义，且()()()()()f x y f x g y f y g x -=-，若(1)(2)0f f =≠，求(1)(1)g g +-的值．三．值域问题：【例1】设函数()f x 对任意实数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=+，若0x >时，()0f x <，且(1)2f =-，求()f x 在[3,3]-上的最大值和最小值．【例2】设函数()f x 定义于实数集上，对于任意实数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=总成立，且存在12x x ≠，使得12()()f x f x ≠，求函数()f x 的值域．练习题： 1．定义在R 上的函数()f x 对于任意x ，y R ∈都有()()()f x y f x f y +=，当0x <时，()1f x >，则函数()f x 在[,]a b 上有（ ）（A ）最小值()f a （B ）最大值()f a （C ）最小值()f b （D ）最大值()f b2．若函数()f x 的值域为[1,1]-，则(2)f x +的值域是 ．四．解析式问题：【例1】已知()f x 是多项式函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x ．【例2】设对于满足0x ≠，1x ≠的所有实数x ，函数()f x 满足1()()1x f x f x x-+=+，求()f x 的解 析式．练习题：1．已知定义域为R 的函数()f x 满足22[()]()f f x x x f x x x -+=-+．（1）若(2)3f =，求(1)f ；又若(0)f a =，求()f a ； （2）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析表达式．2．设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++，及(1)1f =，求()f x ．3．设对于满足||x 1≠的所有实数x ，函数()f x 满足33()()11x x f f x x x-++=+-，求()f x 的解析式． 五．判断奇偶性问题：【例1】已知不恒为零的函数()f x 对任意不等于零的实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =+，试判断函数()f x 的奇偶性．【例2】已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠，求证()f x 为偶函数．练习题：1．已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意实数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=+，则()f x 是（ ）（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既为奇函数又为偶函数2．函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ）（A ）()f x 是偶函数 （B ）()f x 是奇函数（C ）()(2)f x f x =+ （D ）(3)f x +是奇函数3．函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+， 则5[()]2f f 的值是（ ）（A ）0 （B ）12 （C ）1 （D ）524．若函数() (()0)y f x f x =≠与()y f x =-的图象关于原点对称，求证：函数是偶函数． 六．判断单调性问题：【例1】设()f x 定义于R 上，当0x >时，()1f x >，且对于任意实数x 、y 有()()()f x y f x f y +=，求证：()f x 在R 上为增函数．【例2】设函数()f x 定义域为(0,)+∞，且对任意的实数x 、y ，有()()()f xy f x f y =+，若(2)1f =，且当1x >时，0)(>x f ．（1）求证：1()12f =-；（2）试判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并证明．【例3】已知函数()f x 定义域为(0,)+∞，对任意正实数x 、y 均有有()()()f xy f x f y =，且当1x >时0()1f x <<，1(2)2f =． （1）求证：()0f x >；（2）求证：11()[()]f x f x --=；（3）求证：()f x 在(0,)+∞上为单调减函数； （4）若()2f m =，试求m 的值．练习题：1．设()f x 定义于R 上，当0x >时，0()1f x <<，且对于任意实数x 、y 有()()()f x y f x f y +=，求证：（1）1()()f f x x=-；（2）()f x 在R 上为增函数．2．设函数()f x 定义域为(0,)+∞，对任意的实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =+，且当01x <<时， 0)(>x f ．（1）求(1)f 的值；（2）试判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并证明．3．已知函数()f x 的定义域为R ，且对m ，n R ∈恒有()()()1f m n f m f n +=+-，且1()02f -=，当 12x >-时，()0f x >． （1）求证：()f x 是单调递增函数；（2）试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证．4．已知函数()f x 在(1,1)-上有定义，1()12f =-，当且仅当01x <<时，()0f x <，且对任意x ， (1,1)y ∈-都有()()()1x y f x f y f xy++=+，试证明：（1）()f x 为奇函数；（2）()f x 在(1,1)-上单调递减．七．不等式问题：【例1】已知函数()f x 的定义域为R ，对一切实数x 、y 有()()()f x y f x f y +=，且当12x x ≠时，12()()f x f x ≠．（1）求(0)f 的值；（2）设12x x ≠，试比较12()()f x f x +与122()2x x f +的大小，并证明你的结论． 【例2】设()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且对任意x 、(0,)y ∈+∞，都有()()()f xy f x f y =+．（1）求证：当(1,)x ∈+∞时，()0f x >；且()()()xf f x f y y=-； （2）若(2)1f =，解不等式(2)(2)2f x f x +->．练习题：1．定义在区间[2,2]-上的偶函数函数()f x 在[0,2]上为增函数，若(2)(31)0f m f m --->恒成立，则实数m 的取值范围是 ．2．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在[0,)+∞是增函数，1()03f =则不等式18(log )0f x >的解集是 ．3．已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，对正实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =+成立．则不等式2(log )0f x <的解集是 ．4．已知函数()f x （0x ≠）满足()()()f xy f x f y =+，（1）求证：()f x 为偶函数；（2）若()f x 在(0,)+∞上是增函数，解不等式()(8)0f x f x +-≤．5．已知函数()f x 对任意实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =，当01x ≤≤时，()[0,1)f x ∈，且(1)1f -=，(27)9f =．（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在[0,)+∞上的单调性，并给出证明；（3）若0a ≥且(1)f a +≤a 的取值范围．八．函数的图象问题：【例1】定义在实数集上的函数()f x ，对一切实数x 都有(1)(2)f x f x +=-成立，若()0f x =仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为（ ）（A ）150 （B ）3032 （C ）152 （D ）3052【例2】已知函数()y f x =满足()()2002f x f x +-=，求11()(2002)f x f x --+-的值．练习题：1．若函数的图象过点(0,1)，则(4)f x +的反函数的图象必过定点 ．2．若函数(2)y f x =+是偶函数，则()y f x =的图象关于直线 对称．3．函数()y f x =对一切实数x 满足(4)()f x f x +=-，若方程()0f x =恰好有4个不同的实根，则这些实根之和为 ．4．设函数()y f x =)定义在实数集上，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于（ ）（A ）直线0y =对称 （B ）直线0x =对称 （C ）直线1y =对称 （D ）直线1x =对称5．如果函数2()f x x bx c =++对任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，那么（ ）（A ）(2)(1)(4)f f f << （B ）(1)(2)(4)f f f << （C ）(2)(4)(1)f f f << （D ）(4)(2)(1)f f f <<6．设a 是常数，函数对一切x R ∈，都满足()()f a x f a x -=-+，求证：函数的图象关于点(,0)a 成中心对称图形．。