小学数学等差数列进阶课件(四年级)奥数

四年级奥数课程部分第八讲：等差数列一，数列有关知识点：⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等 4．等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +）后一项减前一项为一定值，我们把这个定值叫公差，用d 表示5．等差数列的通项公式：（每一项都可用通项公式来表示）d n a a n )1(1-+=6．数列的前n 项和：数列{}n a 中，n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和，记为n S .求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2=等差中项×项数等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+=二．例题精讲例1，认识数列：等差数列:3、6、9、 (96)这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。

例2，有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项提示仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是3，所以这是一个以4为首项，以公差为3的等差数列，根据等差数列的项数公式即可解答。

解：由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=(25-4)÷3+1=8,所以这个数列共有8项。

等差数列一、知识点：1、数列：按必定序排成的一列数叫做数列。

数列中的每一个数都叫做，第一称首，最后一称末。

数列中共有的的个数叫做数。

2、等差数列与公差：一个数列，从第二起，每一与与它前一的差都相等，的数列的叫做等差数列，此中相两的差叫做公差。

3、常用公式等差数列的和=（首 +末）数2数 =（末 -首）公差+1末 =首 +公差（数-1）首 =末 -公差（数-1）公差 =（末 -首）（数-1）等差数列（奇数个数）的和=中数二、典例解析：例（ 1）在数列3、6、9⋯⋯，201中，共有多少量？假如写下去，第201 个数是多少？解析：（1）因在个等差数列中，首=3，末 =201，公差 =3，因此依据公式：数 =（末 - 首）公差+1,即可求出。

（ 2）依据公式：末=首 +公差（数-1）解：数 =（ 201-3 ）3+1=67末 =3+3（201-1）=603答：共有 67 个数，第201 个数是 603一：在等差数列中4、10、16、22、⋯⋯中，第 48 是多少？ 508 是个数列的第几？答案 :第48是286，508是第85例（ 2 ）所有三位数的和是多少？解析：：所有的三位数就是从100~999 共 900 个数，察100、101、 102、⋯⋯、 998、999一数列，是一个公差 1 的等差数列。

要乞降能够利用等差数列乞降公式来解答。

解：（ 100+999） 900 2=10999002=494550答：所有三位数的和是494550。

一：求从 1 到 2000 的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。

答案 :1000例（ 3）求自然数中被10 除余 1 的所有两位数的和。

解析一：在两位数中，被 10 除余 1 最小的是 11，最大的是 91。

从意可知，本是求等差数列 11、21、31、⋯⋯、 91 的和。

它的数是 9，我能够依据乞降公式来算。

解一： 11+21+31+⋯⋯ +91=（ 11+91） 9 2=459解析二：依据乞降公式得出等差数列9 个数的均匀数是459 9=51，而中 ) ，由此我又可获得S=中用中公式算。

第五讲等差数列（二）解题方法某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。

在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。

例题1小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。

这本书共有多少页？提示根据条件“以后每天比前一天多看2页”可以知道他每天看的页数都是按照一定规律排列的数，即20、22、24、…、76、78。

要求这本书共有多少页也就是求出这列数的和。

解：由题意可知，这列数是一个等差数列，首项=20，末项=78，项数=30，所以这本书共有（20+78）×30÷2=1470（页）答：这本书共有1470页。

引申1、文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。

文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？解：文丽每天学会的单词个数是一个等差数列，即3、4、5、6、…、21。

首项=3，末项=21，项数=（21-3）÷2+1=10。

所以，文丽在这些天中共学会了（3+21）×10÷2=120(个)答：文丽在这些天中共学会了120个英语单词。

2、李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。

这批零件共有多少个？答: （25+63）×20÷2=880（个）3、小李读一本短篇小说，她第一天读了20页这个等差数列共有多少项?答：这个等差数列共有29项。

例题2 建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。

提示：根据图可以知道，这是一个以3为首项，以1为公差的等差数列，求钢管一共有多少根其实是求这列数的和。

解：求钢管一共有多少根,其实就是求3+4+5+…+9+10的和。

项数=(10-3)÷1+1=8,根据公式求和为:3+4+5+…+9+10=(3+10)×8÷2=13×8÷2=52(根)。

上节知识回顾甲对乙说“当我的岁数是你现在的岁数的时候，你才5岁。

”乙对甲说“当我的岁数是你现在的岁数的时候，你将50岁。

”问甲、乙二人现在是多少岁？知识点：1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。

数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。

数列中共有的项的个数叫做项数。

2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。

3、常用公式等差数列的总和=（首项+末项）⨯项数÷2项数=（末项-首项）÷公差+1末项=首项+公差⨯（项数-1）首项=末项-公差⨯（项数-1）公差=（末项-首项）÷（项数-1）等差数列（奇数个数）的总和=中间项⨯项数典例剖析：例（1）有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项练一练：在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?例（2）在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？练一练：在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？例（3 ）全部三位数的和是多少？练一练：求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。

例（4）有50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?练一练：有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。

一共有几把锁的钥匙搞乱了?例（5）求下列方阵中所有各数的和：1、2、3、4、……49、50；2、3、4、5、……50、51；3、4、5、6、……51、52；……49、50、51、52、……97、98；50、51、52、53、……98、99。

练一练：求下列方阵中100个数的和。

0、1、2、3、……8、9；1、2、3、4、……9、10；2、3、4、5、……10、11；……9、10、11、12、……17、18。

四年级奥数等差数列《神奇的四年级奥数等差数列》嘿，同学们！你们知道吗？在四年级的奥数世界里，有一个超级神奇的东西，叫做等差数列！这玩意儿可有意思啦！就像我们排队一样，每个人之间的距离都差不多，等差数列里的数字也是这样，相邻两个数的差都一样。

比如说1、3、5、7、9 ，你看，它们每次都多2 ，这就是等差数列。

有一次上课，老师在黑板上写了一个等差数列：2、5、8、11、14 。

然后问我们：“同学们，谁能快速算出这个数列的第10 个数是多少呀？” 这可把大家难住啦！我心里想：“这可咋办呀？” 这时候，我们班的数学小天才小明举起了手，他说：“老师，我知道！先算出相邻两个数的差是3 ，第10 个数和第1 个数之间隔了9 个间隔，所以第10 个数就是2 + 9×3 = 29 。

” 哇，大家都忍不住给他鼓掌，我也在心里暗暗佩服他：“他怎么这么厉害呀！”老师笑着点点头，又出了一道题：“那这个数列前10 个数的和是多少呢？” 这下大家又开始抓耳挠腮了。

同桌小红凑过来跟我说：“哎呀，这也太难了吧！” 我也摇摇头：“我也不知道咋算呀！” 就在这时，老师开始讲解啦：“我们可以先把第1 个数和第10 个数相加，第2 个数和第9 个数相加，以此类推，它们的和都是一样的，都是31 。

一共有5 组，所以前10 个数的和就是31×5 = 155 。

” 哎呀，原来是这样，我们恍然大悟！经过这几次的学习，我发现等差数列就像是一把神奇的钥匙，可以打开很多数学难题的大门。

它不就像我们搭积木一样吗？一块一块有规律地往上加，最后就能搭出漂亮的城堡。

学了等差数列，我觉得数学变得更有趣啦！它让我知道，只要找到规律，难题也能变得简单。

同学们，你们是不是也觉得等差数列很神奇呢？我觉得呀，四年级奥数里的等差数列虽然有点难，但是只要我们认真学，多思考，就能发现其中的乐趣和奥秘，让我们的数学变得更厉害！。

第12讲第一天1.计算：3＋6＋9＋12＋…＋57＋60＝（）。

A.600B.630C.680D.720【答案】B【解析】共20项，（3＋60）×20÷2＝630。

2.计算：2＋12＋22＋32＋…＋82＋92＝（）。

A.470B.517C.423D.500【答案】A【解析】共10项，（2＋92）×10÷2＝470。

第二天1.一个等差数列的首项是12，末项是87，公差是3，这个数列一共有（）项。

A.24B.25C.26D.27【答案】C【解析】（87－12）÷3＋1＝26。

2.一个等差数列的首项是3，末项是115，公差是7，这个数列一共有（）项。

A.17B.18C.16D.15【答案】A【解析】（115－3）÷7＋1＝17。

第三天1.已知等差数列2，7，12，17，…，302，这个等差数列共有（）项。

A.58B.59C.60D.61【答案】D【解析】公差为7－2＝5，则项数为（302－2）÷5＋1＝61。

2.已知等差数列5，8，11，14，…，899，这个等差数列共有（）项。

A.301B.300C.299D.298【答案】C【解析】公差为8－5＝3，则项数为（899－5）÷3＋1＝299。

第四天1.已知一个等差数列共有17项，每一项都比前一项大4，第一项是5，那么末项是（）。

A.73B.69C.84D.77【答案】B【解析】5＋4×（17－1）＝69。

2.已知一个等差数列共有13项，每一项都比前一项大7，第一项是3，那么末项是（）。

A.90B.94C.84D.87【答案】D【解析】3＋7×（13－1）＝87。

第五天1.一个等差数列的首项是1，第28项是109，那么这个等差数列的公差是（）。

A.4B.3C.6D.5【答案】A【解析】（109－1）÷（28－1）＝4。

2.一个等差数列的首项是6，第32项是223，那么这个等差数列的公差是（）。

一、等差数列的定义（1）先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列（2）首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。

项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式（1）三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+（项数1-）⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-（项数1-）⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白:末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、、（46、47、48），注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．知识框架等差数列 发现不同③ 求和公式：和=（首项+末项）⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： （思路1） 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯=（思路2）这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=（2） 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯；② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．一、基础篇：等差数列基本概念及公式的简单应用【例 1】 下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由．（1）6，10，14，18，22，…，98； （2）1，2，1，2，3，4，5，6； （3）1，2，4，8，16，32，64； （4）9，8，7，6，5，4，3，2； （5）3，3，3，3，3，3，3，3；【例 2】 小朋友们，你知道每一行数列各有多少个数字吗？（1）3、4、5、6、……、76、77、78例题精讲（2）1、3、5、7、……、87、89、91【巩固】4、7、10、13、……、40、43、46【例 3】把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？【巩固】从1开始的奇数：1，3，5，7，……其中第100个奇数是_____．【例 4】观察右面的五个数：19、37、55、a、91排列的规律，推知a =________．【巩固】在下面12个方框中各填入一个数，使这12个数从左到右构成等差数列，其中10、16已经填好，这12个数的和为．　‍‍‍‍　‍‍‍‍　‍‍‍‍　‍‍‍‍　‍‍‍‍16　‍‍‍‍　‍‍‍‍10　‍‍‍‍　‍‍‍‍　‍‍‍‍【例 5】在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第 _______个数是1994．【巩固】5、8、11、14、17、20、，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？【例 6】（1）如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项．（2）如果一个等差数列的第3项为16，第11项为72，求它的第6项．【巩固】已知一个等差数列第8项等于50，第15项等于71．请问这个数列的第1项是多少？【巩固】如果一等差数列的第4项为21，第10项为57，求它的第16项．【例 7】一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列各项的和是多少？【巩固】有20个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大3．这20个数相加，和是多少？【例 8】2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个．【巩固】1、3、5、7、9、11、是个奇数列，如果其中8个连续奇数的和是256，那么这8个奇数中最大的数是多少？【巩固】1、4、7、10、13、…这个数列中，有6个连续数字的和是159，那么这6个数中最小的是几？【例 9】15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？【巩固】把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？【例 10】有一个等差数列的平均数为50，第一个数是12，公差是4，求这个数列的和．【巩固】有一个等差数列的平均数为68，第一个数是5，公差是7，求这个数列的和．【例 11】小马虎计算1到2006这2006个连续整数的平均数。