优选四年级数学巧数图形

巧数图形
核心知识：
1、数线段和图形的基本要求：
不重复，即不能同一个图形数两次；
不遗漏，即不能把隐蔽的某一个图形漏掉不数；
要按一定的方式或某一个标准统一分类去数，即要有规律地数。

2、数线段和图形的方法：线段端点法、基本图形数量法、公式法、分类法。

典型例题：
例1、数出下面各图形中分别有多少条线段？
练习1、
1、数出下面各图形中分别有多少条线段？
例2、数一数下边两个图形中各有多少个三角形？
练习2：数一数下边两个图形中各有多少个三角形？
例3、数一数下图中各有多少个三角形？
例4、数出下边两个图形中各有多少个长方形？
练习4：
1、数一数下面两个图形中各有多少个长方形？例5、数一数下边两个图中各有多少个正方形？练习5：数一数下边两个图中各有多少个正方形？
课外作业：
1、数一数下面各图中分别有多少条线段？（1）、
（2）、
2、数一数，下列各图中各有多少个三角形？
3、数一数下图中有多少个长方形？
4、数一数下列图形中各有多少个正方形？。

巧数图形巧数图形数图形包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形等，这看似简单，其实其中学问可大了．为了能准确地数出结果，我们必须有次序、有条理地数，既不能遗漏，也不能重复．只要我们掌握了数的方法，就能数得又对又快．例1．下图中有多少条线段？（1）思路分析：每条线段均有两个端点，可以根据左端点进行分类．以A为左端点的线段为AB、AC，共有2条；以B点为左端点的线段为BC，只有1条；以C点为左端点的线段不存在．因此共有2＋1＝3(条)．答：图中共有3条线段．(2)这题中左端点是A的线段有：AB、AC、AD、AE，共有4条；左端点是B的线段有BC、BD、BE，共有3条；左端点是C的线段有C D、CE，共有2条；左端点是D的线段有DE；左端点是E的线段不存在．所以共有4＋3＋2＋1＝10(条)．答：图中共有10条线段．例2．数出下面图中共有多少条线段？思路分析：线段有一个重要特征：线段都是笔直的．所以我们在数的时候，必须将这幅图分成四个部分，每一部分分别采用以线段左端点分类数的方法，然后把四部分算得结果加起来．例题解答：第一部分从A到E共有4＋3＋2＋1＝10条线段．第二部分从G到J共有4＋3＋2＋1＝10条线段．第三部分是FG一条线段．第四部分是JK一条线段．10＋10＋1＋1＝22(条)答：这幅图共有22条线段．方法指导：数线段可以根据左端点将线段分类，数出每一类有多少条线段，然后再相加得出线段的总的条数．例3．一条线段上共有10个点，以这10个点为端点的不同线段共有多少条？思路分析：将这条线段上的10个点从左到右依次标为、、…、、以为左端点的线段为、、、、、、、、共有9条；为左端点的线段为、、、…、，共有8条；…；以为左端点的线段为，只有1条；以为左端点的线段不存在．因此，共有线段：9＋8＋…＋3＋2＋1＝(9＋1)×9÷2＝45(条)答：一共有45条线段．方法指导：一般地，如果线段上有几个点(其中n是大于或等于2的自然数)，那么以这n个点为端点的线段共有：(n－1)＋(n－2)＋…＋3＋2＋1＝n×(n－1)÷2例4．下面图形中有几个角？思路分析：数角的个数为了不遗漏、不重复，也需要按一定的顺序去数，可以采用与数线段相同的方法．以OA为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD，共3个；以OB为一边的角有：∠BOC、∠BOD，共2个．以OC为一边的角有：∠COD，只有1个．3＋2＋1＝6(个)答：图中共有6个角．例5．数出下面图中共有多少个三角形？思路分析：数三角形个数的方法与数线段的方法差不多．以AB为边的三角形有：△ABD、△ABE、△ABC，共有3个．以AD为边的三角形有：△ADE、△ADC，共有2个．以AE为边的三角形有：△AEC，只有1个．所以，图中一共有三角形：3＋2＋1＝6(个)．我们还可以发现，可以抓住底边BC来考虑，底边BC中所包含的每一条线段都恰好对应一个三角形．底边左端点是B的三角形共有△BDA、△BEA、△BCA三个．底边左端点是D的三角形共有△DEA、△DCA两个．底边左端点是E的三角形只有△ECA一个．所以一共有三角形：3＋2＋1＝6(个)．方法指导：数角的个数和三角形个数这些基本图形时，所采用的方法与数线段的方法相同．即角的个数＝射线数×(射线数－1)÷2．即三角形个数就是底边上的线段数．例6．数一数图中共有多少个三角形？思路分析：我们可以将这幅图分成三个部分来数，即下面三幅图．在△ABC中，一共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)三角形，在△ABD中，一共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)三角形；在△BDC中，一共有5个三角形．15＋15＋5＝35(个)答：图中共有35个三角形．例7．图中共有多少个不同的三角形？思路分析：将本题分成(1)、(2)两部分来数：第(1)部分中共有三角形：3＋2＋1＝6(个)；第(2)部分中共有3＋2＋1＝6(个)三角形．所以，共有三角形6＋6＝12(个)．例8．数出下图中共有多少个三角形？思路分析：这题我们可以采用按基本图形组合的方法来数．把图中最小的一个三角形看作基本图形．由一个基本三角形构成的三角形共有8个；由两个基本三角形构成的三角形共有4个；由四个基本三角形构成的三角形共有4个．因此：8＋4＋4＝16(个)，所以，图中共有16个三角形．例9．数出下面图形中共有多少个三角形？思路分析：这题采用把其中最小的三角形作为一个基本图形，然后分类相加的方法．由一个基本三角形构成的三角形共有9个；由四个基本三角形构成的三角形共有3个；由九个基本三角形构成的三角形只有1个．因此9＋3＋1＝13(个)，所以，图形中共有13个三角形．例10．下面两幅图中各有多少个长方形？思路分析：(1)中长方形都是竖向的，可以利用对应的方法来数．因为每个长方形都和底边上的一条线段对应，因此用数长边上的线段条数来数长方形的个数．所以，图中长方形共有4＋3＋2＋1＝10(个)．(2)我们可用按基本图形组合的方法来数．由一个基本长方形构成的长方形共有6个；由两个基本长方形构成的长方形共有7个；由三个基本长方形构成的长方形共有2个；由四个基本长方形构成的长方形共有2个；由六个基本长方形构成的长方形有1个；所以，图中共有长方形6＋7＋2＋2＋1＝18(个)．本题还可以结合数线段的方法，这题中长方形的长被分成了3段，线段总数为3＋2＋1＝6条，宽被分成了2段，线段总数为2＋1＝3 (条)．由此可见，长方形的个数＝6×3＝18(个)．于是，可以整理出数长方形个数的方法：长方形的个数等于原长方形长上的线段数乘以宽上的线段数．例11．数出各图中正方形的个数．思路分析：(1)中最基本的正方形有9个，即边长为1的正方形有9个(9＝3×3)；由4个基本正方形组成的正方形，即边长为2的正方形有4个(4＝2×2)；由9个基本正方形组成的正方形，即边长为3的正方形有1个(1＝1×1)所以共有正方形9＋4＋1＝14(个)．(2)中边长为1的正方形有16个，即16＝4×4；边长为2的正方形有9个，即9＝3×3；边长为3的正方形有4个，即4＝2×2；边长为4的正方形有1个，即1＝1×1．所以共有正方形有16＋9＋4＋1＝30(个)．因此，如果一个正方形的各边被分成几个等份，那么正方形的个数便是1×1＋2×2＋3×3＋…＋n×n．方法指导：正确数出图形的个数，首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个．然后再从各图形中所包含基本图形的个数多少出发，依次数出它们的个数，并求出它们的和是多少．有些图形被分成了几个部分，可以先从各部分的基本图形出发，数出所含图形的个数，再求各部分的总和．例12．图中共有多少个正方形？思路分析：将正方形分类，将每一类的总数相加，就可得到所有正方形的个数．由两块小三角形构成的正方形有4个；由四块小三角形构成的正方形有4个；由八块小三角形构成的正方形有1个；由十六块小三角形构成的正方形有1个．由一、三、五、七、六、九、十、十一、十二、十三、十四、十五块小三角形不能构成正方形．所以，图中共有4＋4＋1＋1＝10(个)正方形．例13．数出图中共有多少个正方形？思路分析：根据正方形边长的大小，我们将它们分成四类：第1类：边长为1的正方形有24个；第2类：边长为2的正方形有13个；第3类：边长为3的正方形有4个；第4类：边长为4的正方形有1个．所以图中共有24＋13＋4＋1＝42(个)正方形．这题如果把四条边长多出的8个小正方形去掉，很容易得出共有1×1＋2×2＋3×3＋4×4＝30(个)正方形，添上了去掉的小正方形后，这8个小正方形还能再和其他图形组成4个新的正方形．所以，图中共有30＋8＋4＝42(个)正方形．例14．下图中共有多少个长方形？思路分析：我们可以先将大长方形中的5小块编上号：这5块都是符合要求的长方形．然后数由两小块拼成的长方形，共有4个，即①＋②，②＋③，③＋④，④＋⑤；再数由三小块拼成的长方形，共有2个，即①＋③＋④，③＋④＋⑤；没有由四小块拼成的长方形；最后数由5小块拼成的长方形只有最大的一个．所以，图中共有5＋4＋2＋1＝12(个)长方形．例15．数出下图中共有多少个三角形？思路分析：首先将大三角形中六小块分别编上号．通过观察，我们可以发现这6小块中，④和⑤不是三角形，因此，由一块形成的三角形有4个；由两块拼成的三角形有5个，即分别是①＋②，①＋③，③＋④，②＋④，⑤＋⑥；由三块拼成的三角形有两个，分别为①＋③＋⑤，②＋④＋⑥；由四块拼成的三角形有1个，即是①＋②＋③＋④；没有由五块拼成的三角形；由六块拼成的三角形有1个，即最大的三角形．所以，图中三角形一共有4＋5＋2＋1＋1＝13(个)．方法指导：数长方形、正方形、三角形以及一些不规则的图形都可以采用编号数图形的方法，就是将原来图中的每一小块都编上号，先看每一小块是否符合要求的图形，接着数由两个小块相拼成的图形中有几个是符合要求的图形，再依次数由三小块、四小块……拼成的图形中各有几个是符合要求的图形，最后将每一步数得的结果加起来．。

数图形第一关下图中有多少条线段？A B C D E分析我们把图中的线段AB、BC、CD、DE看作是基本线段，那么：由1条基本线段构成的线段有________________共______条；由2条基本线段构成的线段有_________________共______ 条；由3条基本线段构成的线段有_________________共_______条；由4条基本线段构成的线段有_________________共_______条。

另外，我们还可以从线段的两个端点出发去数：以A为左端点的线段有________________共______条；以B为左端点的线段有________________共______条；以C为左端点的线段有________________共______条；以D为左端点的线段有________________共______条；解_______________________ 所以图中有______条线段。

拓展：上图的线段条数有______________________________条；第二关下面图形中有几个角？（分析参考第一关）O DCBA由1个基本角构成的角有____________________共______个；由2个基本角构成的角有____________________共______个；由3个基本角构成的角有____________________共______个；我们也可以从角的两条边出发来数：以OD为一边的角有____________________共______个；以OC为一边的角有____________________共______个；以OB为一边的角有____________________共______个；解__________________所以图中有_____个角。

拓展1：上图有________________________个角；拓展2：上图中共有________________个三角形？拓展3：上图中共有________________个三角形？第三关下面图形中有几个长方形？解_______________________ 所以图中有______个长方形。

第一讲巧数图形小朋友们，我们数学课上学习了四边形，你还记得他们的特点吗？你们是不是做过下面的这种题：图中共有（）个平行四边形这属于我们奥数里边的一个专题：巧数图形，你能快速的数出来吗？有没有什么巧妙的方法呢？现在让我们一起看一下吧。

一、数线段例1 数出右图中共有多少条线段。

方法一：找规律数线段。

共有3＋2＋1＝6(条) 。

方法二：分类数线段。

共有3＋2＋1＝6(条) 。

例2．数出右侧图中共有多少条线段？解析：线段有一个重要特点：线段都是笔直的．因此我们在数的时候，必定将这幅图分成四个部分，每一部分分别采用以线段左端点分类数的方法，尔后把四部分算得结果加起来．第一部分从A到E共有4＋3＋2＋1＝10 条线段．第二部分从G到J 共有4＋3＋2＋1＝10 条线段．第三部分是FG一条线段．第四部分是JK 一条线段．10 ＋10＋1＋1＝22(条)例3．一条线段上共有10 个点，以这10 个点为端点的不相同线段共有多少条？解析：一条线段上有10 个点，那么我们先把线段画出来因此，共有线段：9＋8＋⋯＋3＋2＋1＝(9 ＋1)×9÷2＝45(条)总结：1、找规律数线段：一般地，若是线段上有几个点(其中n是大于或等于2的自然数)，那么以这n个点为端点的线段共有：(n－1)＋(n－2)＋⋯＋3＋2＋1＝n×(n－1)÷2；2、分类数线段练习：以下列图形中各有多少条线段？（3）二、数角例4．右侧图形中有几个角？解析方法和数线段相同练习（）个角（）个角三、数三角形例5．数出下面图中共有多少个三角形？方法一数三角形个数的方法与数线段的方法差不多．方法二我们能够发现，能够抓住底边BC来考虑，底边BC中所包含的每一条线段都恰好对应一个三角形．底边左端点是B的三角形共有△BDA、△BEA、△BCA三个．底边左端点是D的三角形共有△DEA、△DCA两个．底边左端点是E的三角形只有△ECA一个．因此一共有三角形：3＋2＋1＝6(个) ．方法三我们把图中△ABC、△ACD、△ADE看作基本三角形：由1 个基本三角形组成的三角形有△ABC、△ACD、△ADE；由2 个基本三角形组成的三角形有△ABD、△ACE；由3 个基本三角形组成的三角形有△ABE。

第4讲巧数长（正）方形的个数数图形时要有次序、有条理，才能不遗漏、不重复，一般步骤应是：仔细观察，发现规律，应用规律。

长方形是用“点”或者“线”来数的，而正方形是用“块”来数的。

数长方形的公式：长边上的线段和×宽边上的线段和数正方形的公式：1、一个被划分成m×n的小正方形的长方形中共可以数出的正方形的个数是：m×n＋（m-1）×（n-1）＋（m-2）×（n-2）＋…………………………＋1×【n-（m-1）】（其中m<n）2、当m=n时，即一个划分成n×n=n2个小正方形的正方形中，共可以数出正方形的个数是：n2＋（n-1）2＋……………………＋22＋12典型例题：1、长方形的构成必须有长和宽，下图中有许多长方形，你能数出它们有多少个？分析与解答:因为长方形的构成与长的线段数有关，也与宽的线段数有关，所以数长方形的个数必须要看长与宽两个因素。

上图上长有6条线段，即3＋2＋1=6（个）宽边上有3条线段，即2＋1=3（个）因此，根据数长方形公式：6×3=18（个）答：上图中共有18个长方形。

2、下图中共有多少个长方形？分析与解答：这道题比例1横竖都多了一条线，那么长方形的个数明显增多了，利用公式仍然要数出长边上的线段数和宽边上的线段数即长边上的线段和：4＋3＋2＋1＝10个宽边上的线段和：3+2+1=6个因此根据数长方形公式：10×6=60个答：上图中共有60个长方形。

3、下图中共有多少个正方形？分析与解答：我们先来数一数：只含一个正方形的有9个（即3×3=9）；含有4个正方形的有4个（即2×2=4）；含有9个正方形的有1个。

通过刚才的数，我们发现图中正方形的个数为1×1+2×2+3×3=1+4+9=14个，以后我们碰到类似的题目可以用这种方法数出正方形的个数。

巧数图形教案教案标题：巧数图形教案教案目标：1. 理解巧数的概念，并能通过观察图形找出巧数。

2. 能够解释巧数图形的特征和规律。

3. 发展学生的逻辑思维和数学推理能力。

教学资源：1. 巧数图形的示例和问题。

2. 黑板/白板、彩色粉笔/白板笔。

3. 学生用纸和铅笔。

教学步骤：引入（10分钟）：1. 谈论巧数的定义：巧数是指能够被3整除的数。

2. 引导学生列举一些巧数并讨论其规律：3、6、9、12、15等。

3. 提问学生：巧数有什么特征或规律？学生回答后进行解释和总结。

探究（20分钟）：1. 展示一系列巧数图形的示例，例如由方块或圆圈组成的图形。

2. 让学生观察这些图形并尝试找出其中的巧数。

3. 学生思考并记录他们找到的巧数，并与同学交流发现。

整理（10分钟）：1. 邀请学生分享他们找到的巧数，并将其记录在黑板/白板上。

2. 引导学生一起观察这些巧数图形的特征和规律，例如巧数图形中的方块或圆圈数量与巧数的关系。

3. 引导学生总结巧数图形的规律，并鼓励他们进行逻辑推理和解释。

拓展（15分钟）：1. 给学生一些新的巧数图形示例，并鼓励他们找出其中的巧数。

2. 提问学生：是否可以用其他形状和不同的巧数找出新的巧数图形？3. 鼓励学生用纸和铅笔设计自己的巧数图形，并在班级中展示和分享。

巩固（5分钟）：1. 总结巧数图形的概念和规律，并再次强调巧数是能够被3整除的数。

2. 提醒学生继续观察和思考数学中的规律，并勉励他们尝试解决更复杂的问题。

评估：观察学生在探究和拓展环节中的表现，包括他们参与讨论的贡献、解释和设计的巧数图形。

评估的重点在于学生对巧数概念和图形规律的理解和应用能力。

拓展活动或作业建议：1. 给学生布置巧数图形的作业，让他们设计和绘制一个符合巧数规律的图形，并解释其特征和规律。

2. 鼓励学生在日常生活中观察巧数，并记录下他们发现的巧数图形或情况。

在下堂课中，学生可以分享他们的发现。

3. 给学生提供更多的巧数和图形问题，让他们进行推理和解决。