概率与数理统计第六章

- 1 - 一、 事件的关系与运算

1、设A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为（ A ）

（A）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”. （B）“甲种产品滞销”.

（C）“乙种产品畅销”. （D）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”.

8、 设ABC、、为三个事件，则事件“ ABC、、都不发生”可表示为 ( C )

(A) ABC ； (B) 1ABC； (C) ABC； (D) ABC.

1、某地震现场应急工作组对震区三幢楼房开展建筑安全评估与鉴定，设事件iA={第i幢楼房经评估鉴定为安全}（i=1，2，3）。事件“恰有一幢楼房经评估鉴定为安全” 用123AAA、、可表示为123123123 AAAAAAAAA；

二、 五大公式：

3、设X在1,2,3,4中等可能取值，Y再从X,,1中等可能取一整数，则

）（4YP（A）；

(A) 1/16 ； (B) 7/48； (C) 13/48； (D) 25/48.

1、已知事件A，B有概率4.0)(AP，5.0)(BP，条件概率3.0)|(ABP，则)(BAP

0.62 ．

1、已知事件A，B有概率4.0)(AP，5.0)(BP，条件概率3.0)|(ABP，则)(BAP

0.78 ；

1、已知事件A，B有概率4.0)(AP，条件概率3.0)|(ABP，则)(BAP

0.28 ；

1、设A、B、C是三个事件，3/1)()()(CPBPAP，0)()(ACPABP，4/1)(BCP，则)(CBAP 3/4（或0.75） ；

1、设4/1)(AP，3/1)(ABP，2/1)(BAP，则)(BAP 1/3 ；

1、设“甲地发生春季旱情”A、“乙地发生春季旱情”B是两个随机事件，且4/1)(AP，3/1)(ABP，2/1)(BAP，则情”“甲或乙地发生春季旱C发生的概率为 1/3 ；

概率论与数理统计第六章

一、估计及其性质

“估计”在中文里既可以作名词，也可以作动词。用英文的话，可以表示成不同的单词：

estimate：所谓的“估计”（动词）就是根据样本预测总体分布中的未知参数。例如，已知总体服从正态分布 [公式] ，但总体均值 [公式] 未知，我们通过某个函数“估计”总体均值， [公式] 。

estimator：“估计量”（名词） [公式] 实际上是一个统计量，它是通过一个不含未知参数的样本函数计算出来的结果。一般使用 [公式]

表示总体的参数，[公式] 表示参数的估计量。

estimation：“估计法”（名词）表示寻找函数 [公式] 的过程，可以理解为一种估计方法。例如：Maximum Likelihood Estimation，最大似然估计法。

随着样本不同，同一估计法得到的结果可能是不一样的，因此“估计量”也是一个随机变量。对于同一个参数，有不同的估计方法，而且看起来都是合理的。如何比较它们的优劣呢？

（1）均方误差 MSE Mean Square Error

评价一个估计量的好坏，很自然地会想到：衡量“估计量”与“真实值”之间的距离，距离越小表示估计量的性能越好。也就是所谓的“均方误差”函数：

[公式] 也就是距离平方的期望值，如果将其进一步展开：

[公式]

注意： [公式] 和 [公式] 均为数值， [公式] 表示参数的真实值，

[公式] 表示估计量的数学期望。

由此看见，均方误差由两部分组成：一是估计量的方差（Variances） ，即 [公式] ；二是估计量的系统偏差（Bias）的平方，即 [公式] 。

从“马同学”处借来此图，它可以帮助理解“方差”与“偏差”：

备注：靶心表示“真实值”，红叉表示“估计值”

“方差”衡量估计值的分散程度，“偏差”衡量估计值的期望与真实

值的距离。

左上图：估计值落在靶心四周，此时“方差”较大但“偏差”较小；

右上图：估计值落在靶心邻近，此时“方差”、“偏差”均较小；

第6章 参数估计

选择题

1．设nXXX,...,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，X的分布函数F(x;θ)中含未知参数，则

（A）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量相同

(B) 用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不同

（C）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不一定相同

(D) 用最大似然估计法求出的θ的估计量是唯一的

2．设nXXX,...,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，EX=μ，DX=σ2，其中μ，σ2均为未知参数，X1ˆ，12ˆX，下面结论哪个是错误的。

（A）X1ˆ是μ的无偏估计 (B) 12ˆX是μ的无偏估计

（C）X1ˆ 比12ˆX 有效 (D) niiXn12)(1是σ2的最大似然估计量

3．设nXXX,...,,21是来自正态分布总体N(μ,σ2)的简单随机样本，其中数学期望μ已知，则总体方差σ2 的最大似然估计量是

（A） niiXXn12)(11 (B) niiXXn12)(1

（C） niiXn12)(11 (D) niiXn12)(1

4．已知总体X在区间[0,θ]上均匀分布，其中θ是未知参数，设nXXX,...,,21是来自X的简单随机样本，X是样本均值，},...,max{1)(nnXXX 是最大观测值，则下列选项错误的是

（A）)(nX是θ的最大似然估计量 (B) )(nX 是θ的无偏估计量

（C）X2是θ的矩估计量 (D) X2是θ的无偏估计量

5． 设总体X~N(μ1,σ2)，总体Y~N(μ2,σ2)，mXXX,...,,21和nYYY,...,,21分别是来自总体X和Y的简单随机样本，样本方差分别为2XS与2YS，则σ2 的无偏估计量是

概率论与数理统计之间的关系：数理统计是数学的一个分支，研究如何有效地收集，整理和分析随机数据，从而推测和预测所研究的问题，然后采取某些决策和行动来提供基础和建议。统计方法的数学理论需要使用许多现代数学知识，例如函数论，拓扑学，矩阵代数，组合数学等，但是关系最密切的是概率论。因此，可以说概率论是数理统计的基础，而数理统计是概率论的一种应用。但是，它们是数学的两个平行分支，并且没有从属关系。以上提到的知识属于概率论的范畴，其中随机变量及其概率分布全面地描述了随机现象的统计规律。在概率论的许多问题中，通常假定概率分布是已知的，并且所有计算推理都基于该已知分布。例如，给定一个随机变量以查找其数学期望和方差，此处的参数假定为已知，在我们事先不知道的实际问题中，我们需要确定自己。让我们再举一个例子：一家公司要购买一批产品，而每种产品都是正品或有缺陷的。如果这批产品的次品率是p（通常未知），则从该批产品中随机选择一件，次品的数量用X表示。不难看出x服从0 -1分布。当分布中的参数P未知时。 P的大小决定了产品批次的质量，这直接影响购买行为的经济利益。因此，对P提出了一些问题，例如“ P的大小是多少？”。从这个例子中，我们可以看到，通常假定概率论

中研究的随机变量的分布是已知的。然而，在实际问题中，尽管我们研究的随机现象可以用随机变量x来描述，但是随机变量x的概率分布通常是未知的，这要求我们用数理统计的方法解决此类实际问题。 1，整体与个体整体：研究对象的整体。像一批灯泡。个体：构成整体的每个元素。像灯泡。注意：对于大多数实际问题，总体上来说，个体是真实的人或事物。例如，如果我们想研究一所大学的学生身高，那么大学中的所有学生就构成了整个问题，每个学生都是一个人。实际上，每个学生都有许多特征：性别，年龄，身高，体重等。在此问题中，我们仅关注学校中学生的身高，而未考虑其他特征。这样，每个学生（个人）的数字指标值-身高是一个个体，所有身高都被视为一个整体。第6.2节人口和样本。这样，如果我们撇开实际背景，人口就是一堆数字。有成千上万的数字，其中一些机会更多，而一些机会更少。因此，用概率分布来描述和总结它们是适当的。从这个意义上说，总体是分布，并且其定量指标是服从该分布的随机变量。后来，据说“从人口中抽样”和“从某种分布中抽样”是相同的意思。示例1：调查工厂产品的质量并将其分为合格产品和不合格产品。如果0被认为是合格产品，而1被认为是不合格产品，则总和= {工厂生产的所有合格产品和不合格