数学分析_考研资料

北大数学分析考研用书推荐
以下是几本适合北大数学分析考研使用的教材推荐：
1. 《数学分析教程》（第二版）作者：卫京，庄加宁：这本教材内容丰富，结构严谨，覆盖了数学分析的基础知识和常用工具，适合考研使用。

2. 《数学分析习题与解答》作者：周民强：这本书以解题为主线，适合考研学生巩固分析知识和提高解题能力。

3. 《数学分析基础教程》作者：日本数学会：这本书由日本数学会编写，注重理论推导和证明方法的训练，适合对分析理论感兴趣的考生。

4. 《数学分析习题集》作者：罗穆桐：这本书是考研数学分析的经典习题集，包含大量习题和详细解答，适合考生进行大量练习和巩固知识。

5. 《数学分析教程与习题精解》作者：张福慧，杨昆：这本书内容系统全面，既包含了教程，也有配套的习题精解，适合考生系统学习和巩固知识。

需要注意的是，选择适合自己的教材是很重要的，可以根据个人的情况和学习风格选择合适的教材进行学习。

数学分析考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不一定连续D. f(x)在x=a处可微答案：A2. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点为：A. 1B. 2C. 3D. 1和2答案：D4. 若函数f(x)在区间(a,b)上连续，则下列说法错误的是：A. f(x)在(a,b)上必有最大值B. f(x)在(a,b)上必有最小值C. f(x)在(a,b)上可以没有最大值D. f(x)在(a,b)上可以没有最小值答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2+3x+2，则f'(x)=_________。

答案：2x+32. 函数y=x^3-3x+1在x=1处的切线斜率为_________。

答案：13. 设函数f(x)=ln(x)，则f'(x)=_________。

答案：1/x4. 若函数f(x)=x^2-4x+c在x=2处取得极小值，则c=_________。

答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。

答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-12x+11。

令f'(x)>0，解得x<1或x>3；令f'(x)<0，解得1<x<3。

因此，函数f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减。

2. 求极限lim(x→0)(x^2sinx/x^3)。

答案：lim(x→0)(x^2sinx/x^3) = lim(x→0)(sinx/x^2) = 0。

3. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-9x+1在x=-3处取得极小值。

考研数学分析重要考点归纳1.1考点归纳一、数列极限1．定义设{an}是一个数列，，对∀ε＞0，∃正整数N，当时，有，则称{an}收敛于a，则a称为数列的极限，记作．（1）无穷小数列：；（2）无穷大数列：；（3）发散数列：若极限不存在，则称为发散数列；（4）收敛⇔的任何子列都收敛．2．性质（1）唯一性收敛数列{an}只有一个极限．（2）有界性若{an}收敛，则∃正数M，对∀n∈N*有．（3）保号性若（或＜0）则对或（），∃正数N，当n＞N时有an＞a′（或an＜a′）．（4）保不等式性收敛数列{an}与{bn}．若∃正数N0，当n＞N0时有a n≤bn，则（5）夹逼性设{an}，{bn}都收敛于a，{cn}满足：∃正数N0，当n＞N0时有则{cn}收敛，且3．四则运算4．单调有界定理单调且有界的数列一定存在极限．5．柯西收敛准则{an}收敛⇔对∀ε＞0，∃正整数N，当n，m＞N时有二、函数1．函数三要素定义域值域对应法则2．性质（1）有界性若∃正数M，对∀x∈D有则称f在D上有界．（2）单调性①单调递增对∀x1，x2∈D．当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）；②单调递减对∀x1，x2∈D．当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）．（3）奇偶性D关于原点对称①奇函数f（－x）＝－f（x），图像关于原点对称；②偶函数f（－x）＝f（x），图像关于y轴对称．（4）周期性若∃T＞0，对一切x∈D，x＋T∈D，有f（x＋T）＝f（x），称T为函数f的周期，T的最小值称为最小正周期．3．分类（1）复合函数形如y＝f（g（x）），u＝g（x）的函数称为复合函数，对于每一个x，经过中间变量u，都得到唯一确定的y值，其中u＝g（x）的值域不能超过y＝f（u）的定义域．（2）反函数设函数f：D→f（D）是单射，则它存在逆映射，称此映射为函数f的反函数．注：互为反函数的两个函数的图像关于直线y＝x对称．三、函数极限1．概念（1）函数f在点x0的极限f定义在U°（x0；δ'）上，A为定数．对∀ε＞0，若∃正数δ（＜δ'），当0＜|x －x0|＜δ时有|f（x）－A|＜ε，则称函数f在点x0的极限为A，记作（2）函数f在x趋于∞时的极限f定义在[a，＋∞）上，A为定数．对∀ε＞0，若∃正数N（≥a），使得当x＞N 时有则称函数f在x趋于∞时的极限为A，记作（3）左极限f定义在[x0，x0＋η）上，A为定数．对∀给定的ε＞0，总∃δ＞0，当时，有则称A为f在点x0的左极限，记为（4）右极限f定义在（x0－η，x0]上，A为定数．对∀给定的ε＞0，总∃δ＞0，当时，有就称A为f在点x0的右极限，记为（5）．2．性质（1）唯一性；（2）有界性；（3）保号性；（4）保不等式性；（5）夹逼性．注：函数极限性质同数列极限性质类似．3．归结原则f定义在上，存在⇔对任何含于且以x0为极限的数列，都存在且相等．4．单调有界定理f为定义在上的单调有界函数，则右极限存在．5．柯西准则f定义在上，存在⇔∀ε＞0，∃正数，使得对，有6．两个重要极限7．无穷小量与无穷大量（1）无穷小①时的无穷小，得；②时的无穷小，得．（2）无穷小的性质若f（x）为无穷小量，g（x）为有界量，则它们的积f（x）g（x）也为无穷小量．（3）无穷大f（x）定义在U0（x0）上．对∀给定的正数M，总∃正数（或正数X），只要（或|x|＞X），总有|f（x）|＞M，则称f为当或（）时的无穷大．8．相关无穷小的定义（1）高、低阶无穷小若，则称x→x0时f为g的高阶无穷小量（或称g为f的低阶无穷小量），记作（2）同阶无穷小f和g定义U0（x0）上，若∃正数K和L，满足则称f与g为当x→x0时的同阶无穷小量．（3）等价无穷小若，则称f与g是当x→x0时的等价无穷小量,记作注：常用的等价无穷小9．渐近线设曲线y＝f（x）（1）斜渐近线y＝kx＋b（2）垂直渐近线若（或者左、右极限趋于无穷），则垂直渐近线为．（3）水平渐近线若（或者），则水平渐近线为ｙ＝ｂ．四、函数的连续性1．概念（1）连续的定义f（x）定义在U（x0）上，若则f在点x0连续．2．性质（1）有界性；（2）保号性；（3）四则运算．3．间断点（1）定义函数f（x）在点x0处不连续，则称点x0为函数f（x）的不连续点或间断点．如果x0是函数f（x）的间断点，但左极限及右极限都存在，则x0称为函数f（x）的第一类间断点．不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．（2）类型①第一类间断点a．可去间断点在间断点处函数左右极限相等．b．跳跃间断点在间断点处函数左右极限不相等．②第二类间断点a．无穷间断点在间断点处函数极限为无穷大（无穷小）．b．振荡间断点在间断点处函数值在一个区间变化．4．定理（1）最值定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上有最大值与最小值．（2）有界性定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上有界．（3）介值性定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，f（x）可以取介于最大值和最小值之间的任何值．（4）根的存在定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，且f（a）·f（b）＜0，则在（a，b）内至少有一点ξ，使得．5．一致连续（1）定义f定义在区间I上，如果对于∀给定的正数ε，总∃正数δ，使得对于区间I上的任意两点x1、x2，当时，有则称f在I上一致连续．（2）一致连续与连续的关系如果f（x）在区间I上一致连续，则f（x）在I上一定连续；当f（x）在区间I 上连续，f（x）在区间I上不一定一致连续．（3）一致连续性定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上一致连续．。

n
2n p
p
11 2n1 2n2

1 2n
p

1 2n1

1
1 2p
1

1 2
1 2n

1 n
，
故 0 ， N 1 0 ，当 n N 时， 自然数 p ，由以上不等式知
an p an

1 n


，
故an 收敛. 定理 1.2.2 数列an 收敛 an 的任意两个子数列都收敛，且都收敛于同一

1
2 n2 n
n

1 n2 1

2 n2
2

n n2
n

1
2 n2 1
n

nn 1
2 n2 1
而
lim n n 1
n 2 n2 1

1 2
，故原极限

1 2
.
例 1.2.8 设 0 x1 1, xn1 xn 1 xn , n 1, 2, ， 证 明 xn 收 敛 ， 并 求
第 3 步 写出 u 在不同区间段上 x 所对应的变化区间；
第 4 步 将第 3 步中所得结果代入 y f (u) 中，便得 y f (g(x)) 的
表达式及相应 x 的变化区间 .
练习题
1
设
f
(x)

1, 0,
x 1 x 1
，
g(x)

2 x2,

2,
x 2 x 2
ab
b 0 不存在 b 0 不定 a 0 不存在 a 0 不定
不确定
lim an b n n

考研数学分析详解当然，有的同学不考数学。

不考数学的请跳过这部分。

考数学的请注意，数学对你来说是最重要的科目。

首先大家应该知道，统考的数学包括数学一、数学二、数学三，相同的是满分都是150分，不同的是难度和考试范围以及适用专业。

适用专业请大家参照2018年学术型研究生考试科目（参见附录6），这里就不再赘述了。

考试范围方面，数学一中，高等数学占56%，线性代数占22%，概率论与数理统计占22%；数学二中，高等数学占78%，线性代数占22%，概率论与数理统计不考；数学三中，高等数学（或微积分）占56%，线性代数占22%，概率论与数理统计占22%。

考试内容方面，因篇幅有限，具体的数学一、数学二、数学三大纲及考试内容请自行在网络上搜索。

这里仅介绍大纲中要求的章节范围。

数学一：①高等数学（函数、极限、连续、一元函数微积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数的微积分学、无穷级数、常微分方程）；②线性代数（行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型）；③概率论与数理统计（随机事件和概率、随机变量及其概率分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验）。

数学二：①高等数学（函数、极限、连续、一元函数微积分学、多元函数微积分学、常微分方程）；②线性代数（行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型）。

数学三：①高等数学（这里请注意。

上面我为什么在说数学三的时候加了一个括号写上微积分呢？这个就跟我们要看的一些数学复习的经典教材有关了！数学三在高等数学这一部分因为要求的内容相对较少，所以很多学校经济类、管理类专业在本科期间所用教材并非理工类专业通常会使用的《高等数学》同济大学版，更多的学校本科阶段的教材是中国人民大学版《微积分》。

而考数学三的同学中在实际复习过程中使用哪一本教材的都有）（函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程）；②线性代数（行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型）；③概率论与数理统计（随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验）。

，使得
存在
，使得
。改变 n 的值，有
[北 取，
依次类推，有 且
而且满足
很明显，
为一个严格单调递减的数列，
3．设{xy}为所有 xy 乘积的集合，其中
，且 x≥0 及 y≥0．证明：
[武汉大学研]
证明：设
①
②
又
，可取
．且使
③
由
，∴存在
由③有
④
由②，④得证
4．设 解：当 当－1≤x＜0 时，
．[同济大学研]
第1章 函 数
一、填空题 设 A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】
（ ）．[浙江大学研]
二、解答题
1．使用确界原理证明单调递减的有界数列必有极限。[天津大学研]
证明：确界原理，即有上界的非空集必有上确界，有下界的非空集必有下确界。
设 为单调递减且有界的数列，则由确界原理可知，
存在。下面证该下确界就是 的极限。
由下确界定义：
（1）对任意的 n，有
，当然
成立，这ε为任意小的正数。
（2）对上述任意的ε，存在 N，当 n>N 时，有
。又因为条件（1），所以
成立。
2．设 S 是非空集合，ξ＝infS，试证明：若ξ∈S，则 S 中必存在一个严格单调递减的
，使得
京航空航天大学研]
证明：若ξ＝infS，即（1）对任意的 x∈S，有 X≥ξ：（2）对任意的ε>0，存在
②
证明：
，并利用（1），求极限
证明：（1）（i）先设
，由①式，
．[中国人民大学研] ，存在 N>0，当 n>N 时有
特别取 n＝N＋1，N＋2，……

数学分析第一章实数集与函数§1.实数一、 实数及其性质1. 实数的定义：实数，是有理数和无理数的总称。

2. 实数的六大性质：①（四则运算封闭性）：实数集R 对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算封闭，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数。

②（有序性）：实数集是有序的，即任意两个实数a, b 必满足以下三种关系之一：a<b 、a=b 、a>b 。

③（传递性）：实数的大小关系具有传递性，即若a>b, b>c 则a>c 。

④（阿基米德性）：实数具有阿基米德性，即对任何a, b ∈R, 若b>a>0,则存在正整数na>b.⑤(稠密性)：实数集R 具有稠密性，即任意两个不相等的实数之间必有另外一个实数，且既有有理数也有无理数。

⑥实数集R 与数轴上点一一对应。

二、 绝对值与不等式1. 实数绝对值的性质： ①0;00a a a a =-≥==当且仅当时有 ②-a a a ≤≤ ③;a h h a h a h h a h <<=>-<<≤<=>-≤≤ ④a b a b a b -≤±≤+三角不等式⑤ab a b = ⑥(0)a a b b b=≠ §2数集·确界原理一、 区间与邻域1. 有限区间：开区间：{}x a x b <<记作(),a b ；闭区间：{}x a x b ≤≤记作[],a b ；半开半闭区间：{}x a x b ≤<记作[),a b ，{}x a x b <≤记作(],a b无限区间：(]{},a x a -∞=≤，(){},a x x a -∞=≤，(){},a x x a +∞=>，(){},x x R -∞+∞=-∞<<+∞=2. 邻域：设a R ∈,0>,满足绝对值不等式x a -<的全体实数x 的集合称为点a 的邻域，记作();U a 或写作()U a ，即有(){}();,U a x x a a a =-<=-+。

数学分析考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是有界函数？A. f(x) = sin(x)B. f(x) = e^xC. f(x) = x^2D. f(x) = 1/x2. 函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数3. 如果函数f(x)在点x=a处连续，那么：A. f(a)存在B. f(a) = 0C. lim(x->a) f(x) = f(a)D. lim(x->a) f(x) 不存在4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 2/35. 函数序列fn(x) = x^n在[0, 1]上一致收敛的n的取值范围是：A. n = 1B. n > 1C. n < 1D. n = 26. 级数∑(1/n^2)是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 无界序列7. 如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么：A. f(x)在[a, b]上连续B. f(x)在[a, b]上一定有界C. f(x)在[a, b]上单调递增D. f(x)在[a, b]上无界8. 函数f(x) = |x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导9. 微分方程dy/dx + y = 0的通解是：A. y = Ce^(-x)B. y = Ce^xC. y = Csin(x)D. y = Ccos(x)10. 函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式是：A. f(x) = 1 + x + ...B. f(x) = x + ...C. f(x) = 1 + x^2 + ...D. f(x) = 1 + x^3 + ...二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim(x->0) (sin(x)/x) 的值是 _______。

12. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的拐点是 _______。

考研数学分析的原理及应用一、数学分析的基础原理数学分析是数学中的一门基础学科，包括实数理论、极限理论、连续性理论、微积分和级数理论等多个方面。

其基础原理主要包括以下几个方面：1. 实数理论实数理论是数学分析的基础，它研究实数的性质和运算规律。

实数是数学中最基本的数，它包括有理数和无理数。

实数的基本性质包括有序性、完备性和稠密性，以及实数的运算规律。

2. 极限理论极限理论是数学分析的核心内容，它研究数列和函数的极限。

极限是数学中最重要的概念之一，它描述了数列或函数逐渐趋近某个值的过程。

极限理论涉及到极限的定义、性质以及计算方法。

3. 连续性理论连续性理论是数学分析的重要内容，它研究函数的连续性和间断点的性质。

连续性是函数的基本性质之一，它描述了函数在某一点附近的光滑程度。

连续性理论涉及到连续函数的定义、性质以及间断点的分类。

4. 微积分微积分是数学分析的核心内容，它研究函数的导数和积分。

导数是描述函数变化率的概念，积分是描述函数曲线下面积的概念。

微积分包括导数的计算方法、积分的计算方法，以及导数和积分的基本性质。

5. 级数理论级数理论是数学分析的重要内容，它研究级数的性质和收敛性。

级数是由一列数相加得到的无穷和，级数的收敛性决定了级数的和是否有限。

级数理论涉及到级数的定义、性质以及收敛判别方法。

二、数学分析的应用数学分析在各个学科和领域中都有广泛的应用，下面列举了数学分析的一些常见应用：1. 物理学物理学作为一门自然科学，经常涉及到对物理现象的建模和分析。

在物理学中，数学分析的原理被广泛应用于描述物理量的变化趋势、计算物理量的导数和积分，以及分析物理实验中的误差和不确定性。

2. 工程学工程学是应用科学的一门学科，它涉及到各种工程问题的设计和分析。

在工程学中，数学分析的原理可以应用于描述工程系统的变化规律、计算系统的稳定性和控制性能，以及优化工程系统的设计和运行。

3. 经济学经济学是研究人类经济活动的一门社会科学，它经常涉及到对经济现象的建模和分析。

∫ 的部分，计算积分 xyds . C
{ 解：因C :
x = r cosθ y = r sinθ
，0
≤θ
≤
π 2
，所以
∫ ∫ ∫ xyds =
π
2 r2 sinθ cosθ
r2 dθ = r3
uLv+
r
∫ （2） L = L1 + L2 ，
F ( x, y) d r
L
uv
r uv
r
= ∫L1 F ( x, y) d r + ∫L2 F ( x, y) d r .
（3） （4）
∫L ∫L
k
⋅
uv F
(
x,
uv uFv
(
x,
y
r
)y+) rdGuvr(=x,kuyv⋅)∫L
uv F
(
∴
∫L
(
x,
y
)
ds
=
1
∫0
xdx
+
1
∫0
ydy
+
1
∫0
(
x
+
1
−
x
)
2dx
= 1 + 1 + 2 =1+ 2 . 22
∫ 例 10.1.2 （湖南大学考研试题）计算 x2 + y2 ds ，其中 c : x2 + y2 = −2 y . c
解：令 x = r cosθ ， y = r sinθ ，则 c : r = −2sinθ (−π ≤ θ ≤ 0) .
)
dx
+
Q
( x,
r
y
)
dy

《数学分析》考试大纲本《数学分析》考试大纲适用于宁波大学数学相关专业硕士研究生入学考试。

一、本考试科目简介：《数学分析》是数学专业最重要的基础课之一，是数学专业的学生继续学习后继课程的基础，它的理论方法和内容既涉及到几百年来分析数学的严谨性和逻辑性，又与现代数学的各个领域有着密切的联系。

是从事数学理论及其应用工作的必备知识。

本大纲制定的的依据是①根据教育部颁发《数学分析》教学大纲的基本要求。

②根据我国一些国优教材所讲到基本内容和知识点。

要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念基本理论，掌握研究分析领域的基本方法，基本上掌握数学分析的论证方法，具备较熟练的演算技能和初步的应用能力及逻辑推理能力。

二、考试内容及具体要求：第1章实数集与函数（1）了解实数域及性质（2）掌握几种主要不等式及应用。

（3）熟练掌握领域，上确界，下确界，确界原理。

（4）牢固掌握函数复合、基本初等涵数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。

第2章数列极限（1）熟练掌握数列极限的定义。

（2）掌握收敛数列的若干性质（惟一性、保序性等）。

（3）掌握数列收敛的条件（单调有界原理、迫敛法则、柯西准则等）。

第3章函数极限（1）熟练掌握使用“ε-δ”语言，叙述各类型函数极限。

（2）掌握函数极限的若干性质。

（3）掌握函数极限存在的条件（归结原则，柯西准则，左、右极限、单调有界）。

（4）熟练应用两个特殊极限求函数的极限。

（5）牢固掌握无穷小（大）的定义、性质、阶的比较。

第4章函数连续性（1）熟练掌握在X0点连续的定义及其等价定义。

（2）掌握间断点定以及分类。

（3）了解在区间上连续的定义，能使用左右极限的方法求极限。

（4）掌握在一点连续性质及在区间上连续性质。

（5）了解初等函数的连续性。

第5章导数与微分（1）熟练掌握导数的定义，几何、物理意义。

（2）牢固记住求导法则、求导公式。

（3）会求各类的导数（复合、参量、隐函数、幂指函数、高阶导数（莱布尼兹公式））。

数学分析考研大纲数学分析是数学的重要分支之一，它研究函数的性质、极限、连续性、导数与积分等方面的问题。

作为研究生数学考试中的重点科目之一，数学分析考研大纲是考生备考的重要依据。

下面我将对数学分析考研大纲进行详细阐述。

数学分析考研大纲主要分为两个部分：基础知识和重点难点。

基础知识包括实数的完备性、数列与函数的极限概念与性质、连续性及其性质、导数与微分、不定积分、数值级数等；重点难点包括一致收敛性、Fourier级数、一致连续性。

接下来，我将对这些内容进行更加详细的介绍。

1.基础知识：1.1实数的完备性：介绍实数的基本概念，如有理数与无理数的区别，实数的良序性、稠密性和完备性等。

1.2 数列与函数的极限概念与性质：介绍数列、函数极限的定义和性质，包括极限存在的判定方法、Squeeze定理等。

1.3连续性及其性质：介绍函数连续性及其性质，包括连续函数的四则运算、复合函数的连续性等。

1.4导数与微分：介绍函数的导数与微分的概念和性质，包括导数存在的判定方法、求导法则、高阶导数等。

1.5不定积分：介绍不定积分的概念和性质，包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。

1.6数值级数：介绍数值级数的概念和性质，包括级数的敛散性判定方法、正项级数的审敛法等。

2.重点难点：2.1 一致收敛性：介绍一致收敛性的概念和性质，包括Cauchy准则、一致收敛级数的性质和判定方法等。

2.2 Fourier级数：介绍Fourier级数的概念和性质，并介绍调和级数、傅里叶级数与函数的关系等。

2.3一致连续性：介绍一致连续性的概念和性质，包括一致连续函数的性质、利普希茨条件等。

总之，数学分析是数学考研的重要科目之一，掌握好数学分析考研大纲的基础知识和重点难点，备考方法要坚持理论学习与实践相结合，加强练习和真题的训练，才能够顺利通过数学分析考试，取得满意的成绩。

希望以上内容对考生备考数学分析有所帮助。

硕士数学知识点总结一、数学分析1. 极限与连续极限的概念是数学分析的基础，是分析函数的重要工具。

连续性是极限的重要应用，用来描述函数在点上的连续性。

在数学分析中，极限与连续是最基本的概念之一。

2. 微分与积分微分和积分是数学分析的重要分支，微分主要研究函数的变化规律，积分主要研究函数的面积和曲线长度。

微分和积分是数学分析的核心内容，也是物理、工程、经济等领域中最常见的数学工具。

3. 函数和级数函数是数学分析中的一个重要概念，级数是分析中的另一个重要概念。

函数是数学分析中研究的基本对象，级数是分析中用来研究无穷和的工具。

4. 泛函分析泛函分析是数学分析的重要分支之一，主要研究无穷维空间中的函数和算子。

泛函分析是抽象数学的重要分支，在数学分析及其应用中有着重要的作用。

5. 复变函数复变函数是数学分析中的一个重要分支，主要研究复数域上的函数。

复变函数是数学分析的重要组成部分，又是其他数学领域的重要工具。

6. 偏微分方程偏微分方程是数学分析中研究的一个重要对象，主要研究多元函数的变化规律。

偏微分方程是数学分析的重要应用，是物理、工程、经济等领域中最常见的数学工具之一。

二、代数学1. 线性代数线性代数是代数学的一个重要分支，主要研究向量空间及其上的线性运算。

线性代数是数学中的一门重要基础课，也是其他数学领域的重要工具。

2. 抽象代数抽象代数是代数学的一个重要分支，主要研究抽象代数结构及其性质。

抽象代数是现代数学的一个重要分支，与实际生活和工程实践有着密切的联系。

3. 群论群论是代数学的一个重要分支，主要研究群及其作用。

群论是现代数学的一个重要分支，对于代数、几何、拓扑等领域有着重要的应用。

4. 环论环论是代数学的一个重要分支，主要研究环及其作用。

环论是现代数学的一个重要分支，对于代数、几何、拓扑等领域有着重要的应用。

5. 域论域论是代数学的一个重要分支，主要研究域及其作用。

域论是现代数学的一个重要分支，对于代数、几何、拓扑等领域有着重要的应用。

数学分析历年考研真题考研数学分析是很多理工科学生备考的重点科目之一。

通过分析历年的考研真题，我们可以更好地了解考试内容和考察要点，从而针对性地进行备考。

一、函数与极限在数学分析中，函数与极限是一个基础且重要的概念。

历年的考研真题中常常涉及到函数的性质、极限的存在性以及计算等问题。

以2015年考研数学分析试题为例，其中有一道题目是关于函数极限的。

试题要求是：设函数$f(x)=\dfrac{x^3+x^2-1}{x^2-1}$，求$\lim_{x \to 1} f(x)$。

在解答这道题目时，我们需要运用函数的性质和极限的定义，进行分子分母的因式分解、约分等操作。

最终可以得到$\lim_{x \to 1} f(x)$的值为2。

二、导数与微分导数与微分是数学分析的重点内容之一，也是数学分析考研真题中经常出现的考点。

掌握导数与微分的求解方法，对于解答考研数学分析真题非常关键。

以2009年考研数学分析试题为例，其中有一道题目是关于函数导数的。

试题要求是：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+x+2$，求$f'(x)$和$f''(x)$。

在解答这道题目时，我们需要运用函数求导的公式和求解二阶导数的方法，对函数$f(x)$进行求导。

最终可以得到$f'(x)$和$f''(x)$的表达式。

三、定积分定积分是数学分析中的一个重要概念，也是考研数学分析真题中常常涉及的内容。

解答定积分相关问题，需要熟练掌握定积分的计算方法和性质。

以2012年考研数学分析试题为例，其中有一道题目是求定积分的。

试题要求是：计算$\int_{0}^{1} (x^3-x)dx$。

在解答这道题目时，我们需要对被积函数进行展开和求导，并利用定积分的性质进行变形，最终计算出积分的值为$-\dfrac{1}{8}$。

综上所述，数学分析历年考研真题涵盖了函数与极限、导数与微分、定积分等基本概念和计算方法。

通过对这些真题的学习和解答，可以帮助我们更好地进行备考，并提高在考试中的得分。

∑ ∑ ∑ ∞
(−1) n−1
n=1
2n + n
1x
2n
∞
= 2 (−1)n−1 x 2n
n=1
+
∞
(−1) n
n−1
x
2
n
n=1
= 2x2 1+ x2
+ ln(1 + x2 ) ．
（2）易求其收敛域为 (0, 2) ，记其和函数为 S (x) ，则由幂级数的逐项可微性可得
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ S (x) = (x −1) n(x −1)n−1 = (x −1) [(x − 1)n ]′ = (x −1)[ (x −1)n ]′
{ } (1 + n−1 )n+1 严格单调递减收敛于 e）．
（2）由于 lim n n→∞
3n + 2n n
= 3 ，所以收敛半径为 3−1 ．当 x = 3−1 时，
∑ ∑ ∑ ∑ ∞
n=1
3n
+ n
2n
xn
=
∞ 3n + 2n n
n=1
1 3n
=
∞ n=1
1 n
+
∞ n=1
2n n ⋅3n
，
右端第一个级数发散，第二个级数收敛，所以原级数发散．当 x = −3−1 时，
n =1
n =1
n =1
=
(x
−
1)⎢⎣⎡
x 2
− −
1 x
⎤′ ⎥⎦
=
x −1 (2 − x)2
．
（3）由比式判别法易知其收敛半径为 1，且当 x = ±1时，级数收敛，所以收敛域为

数学分析考研重点内容及常见题型数学分析是高等院校数学类各专业主干课程之一，是数学各专业硕士研究生入学考试的必考课程.数学分析内容丰富，知识面广，综合性强，理论体系严谨，解题方法灵活巧妙.主要包括一元函数极限、一元函数的连续性、一元微分学、一元函数积分学、级数、多元函数微分学、多元函数积分学等，分别涉及七章内容[1，2].学生在复习考研数学分析时，主要通过例题体会和掌握相应内容的思想方法和解题技巧，通过习题训练达到巩固基础知识，提高理论水平和应用能力.如何掌握好该课的基本内容并能熟练地运用其中的基本技巧至关重要.本文作者根据多年的教学研究与实践，依据考研大纲[3，4]，结合高等院校硕士研究生的入学考试试题，对考研数学分析的重点内容及常见题型进行归纳和总结，使其所涉及的知识点之间相互关系清晰明了，同时也将数学分析课程要求学生掌握的知识体系体现出来，可供学生考研复习数学分析时参考，对教师进行数学分析教学也具有参考价值.1 一元函数极限极限是考研热点问题.本章包含四个部分，即函数；用定义证明极限的存在性；求极限值的若干方法；O.Stolz公式.其中极限的求法是核心.重点内容：（1）极限定义，基本理论.（2）几个常用的不等式.（3）极限存在性的证明.（4）极限的求法.（5）实数基本定理.常见题型：（1）几个常用的不等式的证明.（2）用定义证明极限.（3）利用单调有界原理证明极限存在.（4）求极限（利用等价量、利用已知极限、利用两边夹法则、利用洛必达法则、利用Taylor公式、利用定积分定义、利用级数收敛的必要条件）.（5）实数基本定理的应用.2 一元函数的连续性本章包含连续性的证明、连续性的应用、一致连续、半连续、函数方程.重点内容：（1）函数连续性的证明，证明的主要方法有：用定义证明、用左右极限证明（对分段函数）、用归结原则证明.（2）连续性的应用（假定函数连续，证明在某些条件下有什么结果）.（3）一致连续性.常见题型：（1）直接证明函数在某区间或某点连续.（2）讨论间断点的类型.（3）连续性的应用（假定函数连续，证明在某些条件下有什么结果）.（4）利用一致连续的定义及其否定形式证题.（5）Cantor定理的应用.（6）借助连续模数证明一致连续.3 一元微分学本章是基础性内容，包含导数；微分中值定理；Taylor公式；不等式与凸函数；导数的综合应用.一元函数微分学在微积分学中占有极重要的位置，是微积分学的重要内容之一.重点内容：（1）函数导数与微分的概念.（2）微分中值定理——罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理与泰勒中值定理.（3）Taylor公式.（4）导数的应用.常见题型：（1）利用导数（或左右导数）定义解题.（2）求函数的高阶导数.（3）函数零点问题讨论（利用Rolle定理证明零点的存在性，利用单调性证明零点的唯一性）.（4）利用Lagrange定理证明函数与函数的导数同时存在的命题.（5）利用导数法证明恒等式.（6）导数介值性的应用.（7）利用Cauchy中值定理证题.（8）利用Taylor公式证明含有高阶导数的命题.（9）利用Taylor 公式作导数的中值估计、界的估计.（10）利用Taylor公式求极限.（11）不等式的证明（利用单调性、微分中值定理、Taylor公式、函数的极值、单调极限证明）.（12）导数在几何中的应用.4 一元函数积分学本章包含积分与极限、定积分的可积性、积分值的估计、积分不等式及定积分的应用、若干著名的不等式、反常积分.一元函数积分学是一元函数微积分学的最重要内容，涉及面较广，影响深远.重点内容：（1）定积分的定义、几何意义、性质.（2）利用定积分定义求极限.（3）积分的极限.（4）积分值的估计.（5）几个著名不等式（Cauchy不等式、Schwarz不等式、平均值不等式）.（6）反常积分的概念、计算、敛散性的判断.常见题型：（1）利用定积分的定义求和式的极限.（2）运用定积分的各种特性和运算法则求积分的极限.（3）利用变量替换、分部积分、缩放被积函数或积分区间、微分中值公式或Taylor公式对被积函数进行变形，从而估计积分值.（4）几个著名不等式（Cauchy不等式、Schwarz不等式、平均值不等式）的证明、变形及应用.（5）利用Newton-Leibniz公式、变量替换、分部积分法计算反常积分.（6）判定反常积分的敛散性.（7）讨论无穷限的反常积分的收敛性与无穷远处的极限的关系.5 级数级数是一门工具，又有完善的理论，是《数学分析》课程中三大基本内容之一.历年来均为考研热点.本章包含数项级数、函数项级数、幂级数及Fourier级数四个部分.重点内容：（1）数项级数敛散定义，正项级数敛散判别法（Cauchy准则、判阶法、比较判别法、根式判别法等），变号级数收敛性判别法.（2）函数项级数（及序列）一致收敛的定义及判别法.（3）一致收敛级数的性质（三大解析性质：连续性、可积性、可微性）.（4）幂级数的收敛半径与收敛域，幂级数的和函数的性质.（5）傅立叶级数——傅立叶级数的概念，函数展开成傅立叶级数，正弦级数与余弦级数.常见题型：（1）利用Cauchy准则证明级数敛散性.（2）利用判阶法及比较判别法证明正项级数敛散性.（3）利用部分和有界证明正项级数收敛.（4）利用Leibniz定理、Abel判别法、Dirichlet判别法研究变号级数收敛性.（5）利用级数收敛的必要条件求极限或证明极限存在.（6）函数项级数一致收敛的证明（利用定义、Cauchy准则、M判别法、A-D判别法）.（7）一致收敛级数逐项取极限定理及其应用.（8）和函数连续性、可微性、可积性的应用.（9）求幂级数收敛半径、收敛域及和函数（将级数通过代数运算、变量置换、逐项求导、逐项积分等手段化成已知和函数的级数，如几何级数，从而求得和函数）.（10）求某些数项级数的和（由定义求部分和数列的极限，或将其看作某个幂级数或某个傅立叶级数在某点处的值，先求出该幂级数或傅立叶级数的和函数，再求出该数项级数的和）.6 多元函数微分学本章包含多元函数的极限与连续、偏导数和全微分、多元函数的应用三部分.重点内容：（1）多元函数（主要是二元、三元函数）的概念、极限与连续.（2）多元函数的偏导数和全微分.（3）多元函数微分在几何上的应用.（4）多元函数的极值和条件极值.（5）方向导数和梯度.常见题型：（1）多元函数极限的计算.（2）证明二元函数极限不存在.（3）关于全面极限愈特殊路径极限的讨论.（4）求多元函数的一阶、二阶偏导数与全微分.（5）讨论二元函数连续性与可微性.（6）求复合函数的一阶、二阶偏导数.（7)对微分方程作变量替换.（8）求空间曲线的切线与法平面方程.（9）求曲面的切平面和法线方程.（10）求多元函数的极值与最大、最小值.（11）利用极值证明不等式.（12）利用拉格朗日乘数法求多元函数的条件极值.（13）证明隐函数的存在性.（14）求多元函数的方向导数和梯度.7 多元积分学本章包含含参变量积分、重积分、曲线积分与Green公式、曲面积分Gauss 公式及Stokes公式、场论等五大部分.多元函数积分学是多元函数微积分学的重要内容，涉及三大类重要积分，应用面较广.重点内容：（1）含参变量积分的正常积分、含参变量积分反常积分的一致收敛性、含参变量积分反常积分的连续性、可积性、可微性.（2）二重积分的概念、性质与计算.（3）三重积分的概念、性质与计算.（4）曲线积分的概念、性质与计算.（5）格林公式，平面上曲线积分与路径无关的充要条件.（6）曲面积分的概念、性质与计算.（7）高斯公式与斯托克斯公式.（8）梯度、散度与旋度的概念及各种公式.常见题型：（1）含参变量积分正常积分的积分号下求极限、积分号下求导、积分号下求积分.（2）证明含参变量积分反常积分的一致收敛性.（3）含参变量积分反常积分的积分号下求极限、积分号下求导、积分号下求积分.（4）证明含参变量积分反常积分的连续性.（5）利用直角坐标与极坐标计算二重积分.（6）直角坐标、柱面坐标、球面坐标计算三重积分.（7）二重积分、三重积分在几何和物理上的应用，如求面积、体积、质量、重心坐标、引力等.（8）曲线积分的计算（利用对称性、利用格林公式、利用与路径无关性）.（9）曲面积分的计算（利用对称性、利用公式、利用高斯公式）.（10）斯托克斯公式的应用.。

数学考研数学分析重点梳理一、数列与极限1. 数列的概念与性质数列的定义、数列的极限、数列的有界性等2. 数列极限的判定方法夹逼准则、单调有界准则、卡氏准则等3. 无穷级数无穷级数的概念、收敛性与发散性、常见级数等4. 函数的极限函数的概念、函数极限的定义、函数极限的性质等二、连续函数与一元函数微分学1. 连续函数与间断点连续函数的概念、间断点的分类、连续函数的性质等2. 闭区间上连续函数的性质零点存在性、介值定理、最值定理等3. 一元函数微分学的基本概念导数的定义、函数的可导性、导数的几何意义等4. 导数的计算和应用导数的四则运算法则、高阶导数、隐函数求导、极值问题等三、多元函数微分学1. 多元函数及其图像多元函数的定义、多元函数的图像、多元函数的性质等2. 偏导数与全微分偏导数的定义和计算、全微分的定义、全微分的计算等3. 多元函数的连续性与偏导数存在性多元函数的连续性、混合偏导数的存在性、 Schwarz 定理等4. 多元函数的极值与条件极值二元函数的极值、拉格朗日乘子法、约束条件的处理等四、一元函数积分学1. 不定积分不定积分的定义、基本积分表、换元积分法等2. 定积分定积分的定义、定积分的性质、常用积分公式等3. 定积分的计算方法牛顿－莱布尼茨公式、分部积分法、曲线长度与旋转体体积等4. 应用问题平面向量的应用、物理问题与几何问题等五、多元函数积分学1. 二重积分二重积分的定义、二重积分的计算方法、极坐标下的二重积分等2. 二重积分的应用质量、质心、转动惯量、面积等应用问题3. 三重积分三重积分的定义、三重积分的计算方法、球坐标下的三重积分等4. 三重积分的应用质量、质心、转动惯量、体积等应用问题以上便是数学考研数学分析的重点梳理，希望对你的学习有所帮助。

通过对这些重点知识的掌握和学习，相信你能够顺利应对数学分析的考试。

加油！。