第8章 滑移线理论及应用§8. 1 平面应变问题和滑移线场滑移线理论是二十世纪20年代至40年代间，人们对金属塑性变形过程中，光滑试样表面出现 “滑移带”现象经过力学分析，而逐步形成的一种图形绘制与数值计算相结合的求解平面塑性流动问题变形力学问题的理论方法。
这里所谓“滑移线”是一个纯力学概念，它是塑性变形区内，最大剪切应力max (τ）等于材料屈服切应力（k ）的轨迹线。
对于平面塑性流动问题，由于某一方向上的位移分量为零（设du Z =0），故只有三个应变分量（x d ε、y d ε、xy d γ），也称平面应变问题。
根据塑性流动法则，可知p m y x Z -==+==σσσσσ2/)(2 （8-1）式中，m σ为平均应力；p 称为静水压力。
根据塑性变形增量理论，平面塑性流动问题独立的应力分量也只有三个（x σ、y σ、xy τ）（见图8-1a ），于是平面应变问题的最大切应力为：2231max ]2/)[(2/)(xy y x τσσσστ+-=-= （8-2）可见，这是一个以max τ为半径的圆方程，这个圆便称为一点的应力状态的莫尔圆（见图8-1c ）。
图中设x σ<y σ<0（即均为压应力，因塑性加工中多半以压应力为主）。
值得注意的是绘制莫尔圆时，习惯上规定：使体素顺时针旋转的切应力为正，反之为负。
因此图8-1c 中的yx τ为正值；而xy τ取负值。
根据平面流动的塑性条件，k =max τ（对Tresca 塑性条件2/T k σ=；对Mises 塑性条件3/T k σ=.于是，由图8-1(C)的几何关系可知，有 Φ--=2sin k p x σΦ+-=2sin k p y σ （8-3）Φ=2cos k xy τ式中，)2/)((y x m p σσσ+-=-=——静水压力Φ——定义为最大切应力)(max k =τ方向与坐标轴Ox 的夹角。
通常规定为Ox 轴正向为起始轴逆时针旋转构成的倾角Φ为正，顺时针旋转构成的倾角Φ为负（图8-1中所示Φ均为正）。
由图8-1可知，倾角Φ的数值大小与坐标系的选择有关，但静水压力P 为应力不变量，不会随坐标系的选择而变化。
a ）b ）c ）（a ）塑性流动平面（物理平面），（b ）βα-正交曲线坐标系的应力特点，（c ）应力莫尔圆图8-1 平面应变问题应力状态的几何表示现设塑性流动平面上的点P 在莫尔圆上的映射点（称Prager 极点）为'P 点，该点为过点B （y σ、xy τ）引平行σ轴的平行线与莫尔圆的交点。
B 'P 轴表示塑性流动平面中的X 轴。
根据几何关系，连'P C 得最大主应力1σ的作用方向，连'P D 得最小主应力3σ的作用方向。
连'P I 得)(max k =τ的作用方向，常用α表示；连'P Ⅱ得k =-max τ的作用方向，常用β表示。
由此可知：自1σ作用方向顺时针旋转4/π，即为α方向；逆时针方向旋转)4/(π-即为β方向。
并且1σ的作用方向总是位于βα-构成的右手正交曲线坐标系的第一或第三象限。
据此，根据已知的1σ作用方向便可确定βα-的走向。
对于理想刚塑材料，材料的屈服切应力k 为常数。
因此塑性变形区内各点莫尔圆半径（即最大切应力max τ）等于材料常数k 。
如图8-2所示，在x-y 坐标平面上任取一点P 1，其k =max τ的，即α方向为0ατ，沿0ατ方向上取一点P 2，其α方向为1ατ，依此取点a2，其α线方向为2ατ，依次连续取下去，直至塑性变形区的边界为止……，最后获得一条折线P 1-P 2-P 3-P 4……，称为α线。
按正、负两最大切应力相互正交的性质，由P 点沿与ατ的垂直方向上，即在P 点的)(max τ-的，即β方向上取点，也可得到一条折线4321'''P P P P ---……，称为β线。
当所取点间距无限接近时，以上两折线便为光滑曲线。
依此从线上的其他点，如从点P 1、P 2、P 3……和1'P 、2'P 、3'P ……出发，同样可作出许多类似的滑移线，布满整个塑性变形区，它们由两族相互正交的滑移线网构成，称为滑移线场。
其中，α 线族上的βττα,max k ==线族上的k ==-max ττβ。
两滑移线的交点称为结点。
由此可见，滑移线为塑性变形区内最大剪切应力等于材料屈服切应力的迹线，表明曲线上任一点的切线方向即为该点最大切应力的作用方向。
由图8-2可知，滑移线的微分方程为：Φ=tg dx dy α对α线 Φ-=+Φ=ctg tg dx dy /)(πβ 对β线 （8-4）图8-2 x-y 坐标系与βα-滑移经网络以上分析表明，在力学上滑移线应是连续的。
但根据金属塑性变形的基本机制是晶体在切应力作用下沿着特定的晶面和晶向产生滑移，滑移结果在试样表面显露出滑移台阶，而滑移台阶是原子间距的整数倍，是不连续。
因此，滑移线的物理意义是金属塑性变形时，发生晶体滑移的可能地带。
只有特定的晶面和晶向的切应力达到金属的临界屈服切应力时才会使晶体产生在的滑移变形。
滑移理论法是一种图形绘制与数值计算相结合的方法，即根据平面应变问题滑移线场的性质绘出滑移线场，再根据精确平衡微分方程和精确塑性条件建立汉盖（Hencky ）应力方程，求得理想刚塑性材料平面应变问题变形区内应力分布以及变形力的一种方法。
§8. 2 汉盖（Hencky ）应力方程——滑移线的沿线力学方程本节讨论，若知道塑性流动平面内的滑移线场，如何确定场内任意点的应力值？由平面应变问题的微分平衡方程0=∂∂+∂∂yx yx x τσ 0=∂∂+∂∂y x yxyστ将式（8-3）代入上式，得02cos 22sin 202sin 22cos 2=∂Φ∂Φ-∂Φ∂Φ+∂∂=∂Φ∂Φ+∂Φ∂Φ+∂∂yk x k y p y k x k x p （8-5） 上式为只含两个未知数（p 、Φ）的方程组，按理可以求解。
但是由于是一个偏微分方程组，直接求解仍然困难。
比较简单的求解方法是沿滑移线积分进行求解。
为此，需将式（8-5）变换成以正交曲线坐标α、β为参数表达形式。
现设直角坐标系x-y 的原点与正交曲线坐标系α、β的原点相重合。
α线上P 点的切线与ox 轴的倾角为Φ，则过P 点的β线切线与ox 轴的倾角为Φ+=2/πθ。
将式（8-5）第一式乘以cos Φ，第二式乘以cos Φ，然后两相加，经整理后得0)sin (cos 2)sin (cos =∂Φ∂Φ+∂Φ∂Φ+∂∂Φ+∂∂Φyx k y p x p由方向导数公式 yf x f f ∂∂Φ+∂∂Φ=∂∂sin cos α知，上式可变换成沿α线的微分方程 02=∂Φ∂+∂∂ααk p 或0)2(=Φ+∂∂k p α（8-6a ） 同理，将式（8-5）第一式乘以sin Φ，第二式乘以cos Φ，然后两式相减，经整理后，得：0)cos (sin 2)cos (sin =∂Φ∂Φ+∂Φ∂Φ-∂∂Φ-∂∂Φyx k y p x p 根据方向导数公式，得沿β线的微分方程02=∂Φ∂-∂∂ββk p 或0)2(=Φ-∂∂k p β（8-6b ） 将式（8-6a ）沿某一α线积分，则得)(21βC k p =Φ+因为沿α线族中的某一条滑移线移动时，β坐标为定值，因此积分常数C 1（β）为常数，即沿某一α线积分，得到==Φ+=Φ+)(221βC k p k p b b a a 常数或得关系式)(2a b b a k p p Φ-Φ=- （8-7a ）同理，沿某一β线积分，则得)(22αC k p =Φ-得==Φ-=Φ-)(222αC k p k p b b a a 常数或得关系式)(2b a b a k p p Φ-Φ=- （8-7b ）上式还表达成ab ab k p ∆Φ±=∆2 对β线取“+”号对α线取“-”号 （8-8） 式中，b a ab p p p -=∆b a ab Φ-Φ=∆Φ上式表明，沿滑移线的静水压力差（ab p ∆）与滑移线上相应的倾角差（ab ∆Φ）成正比。
故式（8-8）表明了滑移线的沿线性质。
式（8-7）或（8-8）为1923年由Hencky 导出，称为汉盖应力方程。
由于式（8-6）是根据微分平衡方程和塑性条件而导出的，因此，汉盖应力方程不仅体现了微分平衡方程，同时也满足了塑性条件方程。
根据以上分析，对k 为定值的理想刚塑性材料，如给定了滑移线场，则滑移线上的Φ角便是确定的。
根据边界应力条件，确定边界上的Φo 与p o 值后，按式（8-8）便可计算出该滑移线场内上任意一点的p 值，进而按式（8-3）求出该点的x σ、y σ和xy τ。
依此逐渐求得整个塑性区内各点的应力值。
现在的问题是如何绘制出变形区的滑移线场，这就需要进一步了解滑移线的几何性质。
图8-3 证明Hencky 第一定理的两对滑移线§8. 3 滑移线的几何性质一、汉盖第一定理同族的两条滑移线（如1α和2α线）与加族任意一条滑移线（如1β或2β）相交两点的倾角差φ∆和静水压力变化量p ∆均保持不变。
证明：如图8-3所示，两对α、β线相交构成曲线四边形ABCD 。
按汉盖应力方程式（8-7），有沿α1线从点A →点B 。
B B A A k p k p Φ+=Φ+22再沿2β线从点B →C 点c c B B k p k p Φ-=Φ-22于是，得沿路径A →B →C 和静水压力差)2(2B C A A C k P P Φ-Φ+Φ=- （a ）同理，沿1β线从点A →点D 和沿2α线从点D →点C 的路径，得)2(2C A D A C k P P Φ-Φ-Φ=- （b ）由式（a ）和式（b ），得A DBC Φ-Φ=Φ-Φ （8-9a ）由理，可证得 A D B C p p p p -=- （8-9b ） 式（8-9）叫汉盖第一定理，它表明了同族的两条滑移线的有关特性，常称滑移线的跨线定理。
由汉盖第一定理，可知滑移线场有以下几种简单的情况：（1）同族滑移线中有一条为直线的话，则这族滑移线的其他各条滑移线必然全是直线。
由于直线滑移线的倾角差为零，所以直线滑移线上的静水压力保持恒定。
图8-4 常见的简单滑移线场a ）正交直线场 b)有心扇形场 c ）无心扇形场（2）若一族滑移线为直线，则与之正交的另一族滑移线或为直线（见图8-4a ），或为曲线（如图8-4b 、c ）。
图8-4a 所示的滑移线场由两组正交的平行直线构成，叫直线场。
由于直线上任意点的Φ角和静水压力p 值均相同，所以各点的应力分量x σ、y σ和xy τ也是相等的，故直线场即为均匀应力场。
图8-4b 所示的滑移线场由一族汇集于一点的辐射线，和与之正交的另一族为同心圆弧所构成，叫有心扇形场。
