2016-2017年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷及答案(文科)

南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期末考试文科数学命题人：高二文科数学备课组(内容：必修3，选修1－1，选修1－2，选修4－4)时量：120分钟满分：100 分(必考试卷Ⅰ)，50分(必考试卷Ⅱ)得分：____________必考试卷Ⅰ(满分100分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数－i＋1 i ＝A．－2i B.12i C．0 D．2i2．下列选项叙述错误的是A．命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”B．若命题p：x∈R，x2＋x＋1≠0，则綈p：x0∈R，x2＋x＋1＝0C．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件3．若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为A．1百万件 B．2百万件 C．3百万件 D．4百万件4．“k>4”是“方程x2k－4＋y210－k＝1表示焦点在x轴上的双曲线”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为6．在△ABC 的边AB 上随机取一点P ，记△CAP 和△CBP 的面积分别为S 1和S 2，则S 1>2S 2的概率是A.12B.13C.14D.157．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是 A ．870 B ．30 C ．6 D ．38．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得的数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为A ．5x 2－4y 25＝1 B.x 25－y 24＝1C.y 25－x 24＝1 D ．5x 2－5y 24＝110．设函数f(x)＝13x 3－a2x 2＋2x ＋1，若f(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是A ．(22，＋∞) B．[22，＋∞) C ．(－∞，－22) D ．(－∞，－22] 答题卡二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．11．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设________________．12．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500，3 000](元)月收入段应抽出________人．13．对于定义域为R 的函数f(x)，若函数f(x)在()－∞，x 0和()x 0，＋∞上均有零点，则称x 0为函数f(x)的一个“给力点”．现给出下列四个函数：①f ()x ＝3||x －1＋12；②f ()x ＝2＋lg ||x －1；③f ()x ＝x 33－x －1；④f ()x ＝x 2＋ax －1(a∈R)．则存在“给力点”的函数是________．(填序号)三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14．(本小题满分11分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ－6cos θ＋2sin θ＋1ρ＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴， 建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy 中， 直线l 经过点P(3，3)，倾斜角α＝π3.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；(2)设l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名小学生进行了问卷调查得到如下列联表：(平均每天喝500 ml以上为常喝，体重超过50 kg为肥胖)已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为4 15 .(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；(3)现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中(其中有2名女生)，抽取2人参加竞技运动，则正好抽到一男一女的概率是多少？附参考数据：(参考公式：2＝n（ad－bc）（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t(t≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px(p>0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交抛物线C 于点H.(1)求|OH||ON|；(2)除H 以外，直线MH 与抛物线C 是否有其他公共点？说明理由．必考试卷Ⅱ(满分50分)一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．17．已知函数f(x)＝x 2＋xsin x ＋cos x 的图象与直线y ＝b 有两个不同交点，则b 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)二、填空题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．18．如图，已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的离心率为________．19．把正整数排列成如图甲所示三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙所示三角形数阵，设a i j 为图乙三角形数阵中第i 行第j 个数，若a mn ＝2 017，则实数对(m ，n)为____________．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20．(本小题满分10分)设f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ，其中a∈R，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y 轴相交于点(0，6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点且||OA ＝||OF ＝2(其中O为坐标原点)．(1)求椭圆的方程；(2)若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD⊥CD，连接CM ，交椭圆于点P ，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．已知函数f ()x ＝12x 2，g ()x ＝aln x. (1)设h ()x ＝f ()x ＋g ()x ，若对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有h （x 1）－h （x 2）x 1－x 2>0恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若在[]1，e 上存在一点x 0，使得f′()x 0＋1f′()x 0<g ()x 0－g ′()x 0成立，求实数a的取值范围．湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期末考试文科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期末考试文科数学参考答案 必考试卷Ⅰ一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.5.C 【解析】根据f′(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A 、D ；从适合f′(x)＝0的点可以排除B.10．C 【解析】f′(x)＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x 2－ax ＋2<0成立，即x∈(－2，－1)时，a<⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x max ＝－22，当且仅当x ＝2x 即x ＝－2时等号成立．所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．11．三角形三个内角都大于60° 12．2513．②④ 【解析】对于①， f ()x ＝3||x －1＋12>0，不存在“给力点”；对于②，取x 0＝1，f ()x 在(－1，1)上有零点x ＝99100，在(1，＋∞)上有零点x ＝101100，所以f ()x 存在“给力点”为1；对于③，f ′(x)＝(x ＋1)(x －1)，易知f(x)只有一个零点．对于④，f(x)＝x 2＋ax －1(a∈R)定义域为R ，因为判别式a 2＋4>0，则一定存在“给力点”．综上可得，②④正确．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14．【解析】(1)曲线C 化为：ρ2－6ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，再化为直角坐标方程为 x 2＋y 2－6x ＋2y ＋1＝0，化为标准方程是(x －3)2＋(y ＋1)2＝9， 直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋tcos π3y ＝3＋tsin π3.(t 为参数)(5分)(2)将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程， 整理得：t 2＋43t ＋7＝0，Δ＝(43)2－4×7＝20>0，则t 1＋t 2＝－43，t 1·t 2＝7，所以|AB|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1·t 2＝48－28＝2 5.(11分) 15．【解析】(1)设常喝碳酸饮料中肥胖的学生有x 人，由x ＋230＝415，即得x ＝6.(2分) 补充列联表如下：(5分)(2)由已知数据可求得：2＝30（6×18－2×4）210×20×8×22≈8.523>7.879，因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．(8分)(3)设常喝碳酸饮料的肥胖者中男生为A 、B 、C 、D ，女生为E 、F ，则任取两人有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种基本事件．设抽中一男一女为事件A ，事件A 含有AE ，AF ，BE ，BF ，CE ，CF, DE ，DF 这8个基本事件．故抽出一男一女的概率是p ＝815.(12分)16．【解析】(1)由已知得M(0，t)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .(2分)又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，(3分)所以ON 的方程为y ＝ptx ，(4分)代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，(5分)因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .(6分)所以N 为OH 的中点，即|OH||ON|＝2.(8分) (2)直线MH 与抛物线C 除H 以外没有其他公共点．(9分) 直线MH 的方程为y －t ＝p2tx ，(10分) 即x ＝2tp (y －t)．代入y 2＝2px 得：y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，(11分)即直线MH 与抛物线C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与抛物线C 没有其他公共点．(12分)必考试卷Ⅱ一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．17．D 【解析】f′(x)＝x(2＋cos x)，令f′(x)＝0，得x ＝0.∴当x>0时，f ′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上递增．当x<0时，f ′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上递减．∴f(x)的最小值为f(0)＝1.∵函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，∴当b>1时，曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，b 的取值范围是(1，＋∞)．二、填空题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．18.53【解析】连接PF 1，QO ，显然|OF 1|＝|OF 2|，由已知点Q 为线段PF 2的中点，则PF 1∥QO ，故|PF 1|＝2b ，又根据椭圆的定义得：|PF 2|＝2a －2b ，在直角三角形PF 2F 1中，(2c)2＝(2b)2＋(2a －2b)2b a ＝23e ＝53.19．(45，41) 【解析】分析乙图，可得(1)第k 行有k 个数，则前k 行共有k （k ＋1）2个数；(2)第k 行最后一个数为k 2；(3)每一行的第一个数字都比上一行的最后一个数字大1；(4)从第二行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列．又442＝1 936，452＝2 025，则442<2 017<452，则2 017出现在第45行，第45行第1个数是442＋1＝1 937，这行中第2 017－1 9372＋1＝41个数为2 017，前44行共有44×452＝990个数，则2 017为第990＋41＝1 031个数，则实数对(m ，n)为(45，41)．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20．【解析】(1)因为f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ，所以f′(x)＝2a(x －5)＋6x .令x ＝1，得f(1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a)(x －1)， 由点(0，6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(4分)(2)由(1)知，f(x)＝12(x －5)2＋6ln x(x>0)，f ′(x)＝x －5＋6x ＝（x －2）（x －3）x .令f′(x)＝0，解得x ＝2或3.(6分)当0<x<2或x>3时，f ′(x)>0，故f(x)在(0，2)，(3，＋∞)上为增函数； 当2<x<3时，f ′(x)<0，故f(x)在(2，3)上为减函数．(8分) 由此可知f(x)在x ＝2处取得极大值f(2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.综上，f(x)的单调增区间为(0，2)，(3，＋∞)，单调减区间为(2，3)，f(x)的极大值为92＋6ln 2，极小值为2＋6ln 3.(10分)21．【解析】(1)由已知：b ＝c ＝2，∴a 2＝4，故所求椭圆方程为x 24＋y22＝1.(4分)(2)由(1)知，C(－2，0)，D(2，0)，由题意可设CM ：y ＝k(x ＋2)，P(x 1，y 1)，M(2，4k)， 由⎩⎨⎧x 24＋y 22＝1y ＝k （x ＋2），整理得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0.(6分)方程显然有两个解，由韦达定理：x 1x 2＝8k 2－41＋2k 2，得x 1＝2－4k 21＋2k 2，y 1＝4k1＋2k 2. 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k21＋2k 2，4k 1＋2k 2，设Q(x 0，0)，(8分)若存在满足题设的Q 点，则MQ⊥DP，由MQ →·DP →＝0， 整理，可得8k 2x 01＋2k 2＝0恒成立，所以x 0＝0.(12分)故存在定点Q(0，0)满足题设要求．22．【解析】(1)h ()x ＝f ()x ＋g ()x ＝12x 2＋aln x ，因为对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有h （x 1）－h （x 2）x 1－x 2>0，设x 1>x 2，则h(x 1)－h(x 2)>0，问题等价于函数h ()x ＝f ()x ＋g ()x ＝12x 2＋aln x 在()0，＋∞上为增函数．(2分)所以h′(x)＝x ＋ax ≥0在()0，＋∞上恒成立，即a≥－x 2在()0，＋∞上恒成立．∵－x 2<0，所以a≥0，即实数a 的取值范围是[0，＋∞)．(6分) (2)不等式f′()x 0＋1f′()x 0<g ()x 0－g′()x 0等价于x 0＋1x 0<aln x 0－ax 0，整理得x 0－aln x 0＋1＋a x 0<0.设m ()x ＝x －aln x ＋1＋ax，由题意知，在[]1，e 上存在一点x 0，使得m ()x 0<0.(7分) 由m′()x ＝1－a x －1＋a x 2＝x 2－ax －（1＋a ）x 2＝（x －1－a ）（x ＋1）x 2.因为x>0，所以x ＋1>0，即令m′()x ＝0，得x ＝1＋a. ①当1＋a≤1，即a≤0时，m ()x 在[]1，e 上单调递增， 只需m ()1＝2＋a<0，解得a<－2.(9分)②当1<1＋a<e ，即0<a<e －1时，m ()x 在x ＝1＋a 处取最小值． 令m ()1＋a ＝1＋a －aln(1＋a)＋1<0，即a ＋1＋1<aln(a ＋1)，可得a ＋1＋1a<ln(a ＋1)． 考查式子t ＋1t －1<ln t ，因为1<t<e ，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．(11分) ③ 当1＋a≥e ，即a≥e －1时，m ()x 在[]1，e 上单调递减， 只需m ()e ＝e －a ＋1＋a e <0，解得a>e 2＋1e －1.综上所述，实数a 的取值范围是()－∞，－2∪⎝⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.(13分)。

南京市数学高二上学期文数期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）如图，AB是平面的斜线段，A为斜足。

若点P在平面内运动，使得的面积为定值，则动点P的轨迹是（）A . 圆B . 椭圆C . 一条直线D . 两条平行直线2. （2分）执行如图所示的程序框图，输出结果是4．若，则a0所有可能的取值为（）A . 1,2,3B . 1C . 2D . 1,23. （2分）设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－x＋ a)的定义域为R；命题q：不等式3x－9x＜a对一切正实数均成立．如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围（）．A . 0≤a＜1B . 0≤aC . a≤1D . 0≤a≤14. （2分）椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（）A . 必在圆内B . 必在圆上C . 必在圆外D . 以上三种情形都有可能5. （2分）(2018·郑州模拟) 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高一上·徐州期中) 已知函数是定义在区间上的偶函数,当时,是减函数,如果不等式成立,则实数的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二上·浙江月考) 设分别是双曲线的左、右焦点.若点在双曲线上，且，则（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高二上·南山月考) 1037和425的最大公约数是（）A . 9B . 3C . 51D . 179. （2分）已知命题p：“∃x＞0，sinx≥1”，则￢p为（）A . ∀x＞0，sinx≥1B . ∀x≤0，sinx＜1C . ∀x＞0，sinx＜1D . ∀x≤0，sin≥110. （2分）用秦九韶算法计算当x=3时，多项式f（x）=3x9+3x6+5x4+x3+7x2+3x+1的值时，求得v5的值是（）A . 84B . 252C . 761D . 228411. （2分）过双曲线的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A,B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）如图，抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）下列关于算法的说法，正确的是________ ．①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生确定的结果．14. （1分） (2017高一上·葫芦岛期末) 已知圆C1：x2+y2﹣6x﹣7=0与圆C2：x2+y2﹣6y﹣27=0相交于A、B两点，则线段AB的中垂线方程为________．15. （1分）已知一个学生2016年的高考语文成绩为120分，数学成绩为135分，英语成绩为100分，理科综合成绩为249分，求他的总分与平均分的一个算法如下，请补充完整.第一步，取A=120,B=135,C=100,D=249.第二步， .第三步，________.第四步，输出计算结果.16. （1分） (2019高二上·集宁月考) 设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上的三点，若，则 ________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分）下面是一个问题的自然语言叙述的算法过程：第一步输入x；第二步如果x＜=800，那么y=0；如果800＜x＜=1300，那么 y=0.05（x﹣800）；否则y=25+0.1（x﹣1300）；第三步输出y；第四步结束．（1）请写出该算法的功能（用算式表示）（2）用基本算法语句写出相应的程序（注：不可用框图）．18. （20分）在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p1“第一次射击击中飞机”，命题p2“第二次射击击中飞机”，试用p1、p2及连接词“或”“且”“非”表示下列命题：（1）两次都击中飞机；（2）两次都没击中飞机；（3）恰有一次击中飞机；（4）至少有一次击中飞机．19. （5分） (2017高三上·涪城开学考) 已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．20. （5分）（1）已知圆C经过O（0，0），Q（﹣2，2）两点，且被直线y=1截得的线段长为2．求圆C 的方程．（2）已知点P（1，1）和圆x2+y2﹣4y=0，过点P的动直线l与圆交于A，B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程．21. （10分） (2017高二下·平顶山期末) 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）（1）若直线x﹣y﹣2=0过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程，并求出准线方程；（2）设p=2，A，B是C上异于坐标原点O的两个动点，满足OA⊥OB，△ABO的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．22. （10分） (2016高二上·福田期中) 已知，椭圆C过点A ，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2） E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、18-1、18-2、18-3、18-4、19-1、20-1、答案：略21-1、答案：略21-2、答案：略22-1、22-2、第11 页共11 页。

南京市第一学期期末调研测试卷高二数学卷(文科)一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上1．复数1－2i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限． 2．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2＞x －1，则⌝p 为 ▲ ．3．在平面直角坐标系中，准线方程为y ＝4的抛物线标准的方程为 ▲ ． 4．若复数z ＝4＋3i (i 为虚数单位)，则|z |＝ ▲ ． 5．双曲线x 2－y 29＝1的渐近线方程为 ▲ ． 6．“x ＞1”是“x ＞0”成立的 ▲ 条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种)．7．已知曲线y ＝ax 2在x ＝1处切线的斜率是－4，则实数a 的值为 ▲ ． 8．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －3)2＝r 2 (r ＞0)外切，则实数r 的值为 ▲ ． 9．函数y ＝x 3－3x 2＋1的单调递减区间为 ▲ ．10．若直线3x ＋4y －12＝0与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，则线段MN 的长为 ▲ ．．11．观察下列等式： 12×3＝(12－13)×11， 12×4＝(12－14)×12， 12×5＝(12－15)×13，12×6＝(12－16)×14， ………………可推测当n ≥3，n ∈N *时，12×n＝ ▲ ． 12．已知椭圆x 29＋y 24＝1与双曲线x 24—y 2＝1有共同焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个交点，则PF 1·PF 2＝ ▲ ．13．在直角三角形ABC 中，∠C 为直角，两直角边长分别为a ，b ，求其外接圆半径时，可采取如下方法：将三角形ABC 补成以其两直角边为邻边的矩形，则矩形的对角线为三角形外接圆的直径，可得三角形外接圆半径为a 2＋b 22；按此方法，在三棱锥S －ABC中，三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为a ，b ，c ，通过类比可得三棱锥S －ABC 外接球的半径为 ▲ ．14．若函数f (x )在定义域D 内某区间I 上是增函数，且f (x )x 在I 上是减函数，则称y ＝f (x )在I上是“弱增函数”．已知函数h (x )＝x 2－(b －1)x ＋b 在(0，1]上是“弱增函数”，则实数b 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计58分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分8分）已知复数z 1满足z 1·i ＝1＋i (i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2． （1）求z 1；（2）若z 1·z 2是纯虚数，求z 2．已知命题p ：任意x ∈R ，x 2＋1≥a ，命题q ：方程x 2a ＋2－y 22＝1表示双曲线．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若 “p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．17．（本题满分10分）已知以点P 为圆心的圆经过点A (1，4)，B (3，6)，线段AB 的垂直平分线与圆P 交于点C ，D ，且CD ＝4． （1）求直线CD 的方程； （2）求圆P 的方程．18．（本题满分10分）如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （c ，0），下顶点为A (0，－b )，直线AF 与椭圆的右准线交于点B ，若F 恰好为线段AB 的中点．（1）求椭圆C 的离心率；（2）若直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切，求椭圆C（第18题）如图，在边长为2 （单位：m）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它的四个三角形沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型．设切去的等腰三角形的高为x m．（1）求正四棱锥的高h(x)；（2）当x为何值时，正四棱锥的体积V(x)取得最大值？20．（本题满分12分）设函数f(x)＝ln x－ax，a∈R．（1）当x＝1时，函数f(x)取得极值，求a的值；（2）当a＞0时，求函数f(x)在区间[1，2]的最大值．（第19题）高二数学（文）参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1．四． 2．∃x ∈R ，x 2≤x －1． 3．x 2＝－16y ． 4．5． 5．3x ±y ＝0． 6．充分不必要． 7．－2． 8．1． 9．(0，2)．开闭区间均可 10．23． 11．(12－1n )×1n －2． 12．5．13．a 2＋b 2＋c 22． 14．1．说明：填空题的严格按照评分标准，没有中间分，第5题少解或有错解不得分． 二、解答题（本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分8分）解 （1）因为z 1·i ＝1＋i ，所以z 1＝1＋i i ＝1－i ． ……………4分（2）因为z 2的虚部为2，故设z 2＝m ＋2i (m ∈R )．因为z 1·z 2＝(1－i)(m ＋2i)＝(m ＋2)＋(2－m )i 为纯虚数， …………6分所以m ＋2＝0，且2－m ≠0，解得m ＝－2．所以z 2＝－2＋2i ． ……………………8分 说明：按评分标准给分．第(1)问也可用待定系数求，列出方程给2分，得出结果给2分，第(2)问中不说明2－m ≠0不扣分． 16．（本题满分8分）解（1）记f (x )＝x 2＋1，x ∈R ，则f (x )的最小值为1， ………………………2分 因为命题p 为真命题，所以a ≤f (x )min ＝1，即a 的取值范围为(－∞，1]． ……………4分 （2）因为q 为真命题，所以a ＋2＞0，解得a ＞－2． ………………6分因为“p 且q ”为真命题，所以⎩⎨⎧a ≤1，a ＞－2，即a 的取值范围为(－2，1]．……8分说明：第(1)问得出命题p 为真命题的等价条件a ≤1，给4分，没过程不扣分，第(2)问分两步给，得到a ＞－2给2分，得到x ∈(－2，1]给2分，少一步扣2分． 17．（本题满分10分）解 （1）因为直线AB 的斜率k ＝1，AB 中点坐标为M (2，5)， …………2分 所以直线CD 方程为y －5＝－(x －2)，即x ＋y －7＝0． ………………4分 （2）设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得，a ＋b －7＝0． ① 又直径CD ＝4，所以P A ＝2，即(a －1)2＋(b －4)2＝4． ② ………6分由①②解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝6，或⎩⎨⎧a ＝3，b ＝4．所以圆心P (1，6)或P (3，4)．所以圆P 的方程为(x －1)2＋(y －6)2＝4或(x －3)2＋(y －4)2＝4．……10分 说明：按评分标准给分，第(2)问若少一解扣2分． 18．（本题满分10分）解 （1）因为B 在右准线上，且F 恰好为线段AB 的中点， 所以2c ＝a 2c ， ………………2分即c 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22． ……………4分 （2）由(1)知a ＝2c ，b ＝c ，所以直线AB 的方程为y ＝x －c ，即x －y －c ＝0， 6分因为直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切，所以|c |2＝2， ……………8分 解得c ＝2．所以a ＝22，b ＝2．所以椭圆C 的方程为 x 28＋y 24＝1． ………10分说明：按评分标准给分． 19．（本题满分10分）解 （1）设正四棱锥的底面中心为O ，一侧棱为AN ．由于切去的是等腰三角形，所以AN ＝1＋x 2，NO ＝1－x ，…………在直角三角形AON 中，AO ＝AN 2－NO 2＝1＋x 2－(1－x )2＝2x ， 因此h (x )＝2x ，（0＜x ＜1)． ………………………………4分 （不写0＜x ＜1扣1分）（2）V (x )＝13·12·[2(1－x )]2·2x ＝223(1－x )2x ，（0＜x ＜1)． ………6分由V ′(x )＝223[(2x －2)x ＋(1－x )22x ]＝223(x －1)5x －12x ＝0， ………………8分解得x ＝1(舍去)，x ＝15．当x ∈(0，15)时，V ′(x )＞0，V (x )为增函数；当x ∈(15，1)时，V ′(x )＜0，V (x )为减函数．所以函数V (x )在x ＝15时取得极大值，也为V (x )的最大值．答：当x 为15m 时，正四棱锥的体积V (x )取得最大值． …………………10分说明：按评分标准给分，不写函数的定义域扣1分，没有答扣1分．20．（本题满分12分）解 （1）f (x )的定义域为（0，＋∞），所以f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ． ………2分因为当x ＝1时，函数f (x )取得极值， 所以f ′(1)＝1－a ＝0，所以a ＝1． 经检验，a ＝1符合题意．（不检验不扣分） ……………4分 （2）f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x，x ＞0．令f ′(x )＝0得x ＝1a ．因为x ∈(0，1a )时，f ′(x )＞0，x ∈(1a ，＋∞)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，1a )递增，在(1a，＋∞)递减， ………………6分①当0＜1a ≤1，即a ≥1时，f (x )在(1，2)上递减，所以x ＝1时，f (x )取最大值f (1)＝－a ；………………8分②当1＜1a ＜2，即12＜a ＜1时，f (x )在(1，1a )上递增，在( 1a ，2)上递减，所以x ＝1a 时，f (x )取最大值f (1a)＝－ln a －1； ………………10分③当1a ≥2，即0＜a ≤12时，f (x )在(1，2)上递增，所以x ＝2时，f (x )取最大值f (2)＝ln2－2a ；综上，①当0＜a ≤12时，f (x )最大值为ln2－2a ；②当12＜a ＜1时，f (x )最大值为－ln a－1．③当a ≥1时，f (x )最大值为－a ． ……………………12分说明：第(1)问，不检验不扣分；第(2)问的讨论，每一种情形给2分；不总结结论不扣分．。

江苏省南京市高二上册期末数学试题与答案一、填空题。

请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知命题，，写出命题的否定：__.【答案】，“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：∀x＞0，e x≥ex，的否定是：∃x＞0，e x＜ex．故答案为：，．本小题主要考查命题的否定．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．本小题主要考查命题的否定．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．2.在平面直角坐标系中，抛物线的准线方程为__.【答案】利用抛物线方程求出p，即可得到结果．解：抛物线y2＝2x的焦点到其准线的距离为：p＝1．抛物线的准线方程为：x．故答案为：本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．3.已知，则的值为___.【答案】1【解析】因为，所以(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.4.已知复数满足 (为虚数单位)，则的实部为__.【答案】3利用复数的除法运算法则得到z，结合实部定义得到答案.解：由（z﹣2）i＝1+i得，z3﹣i，所以复数的实部为：3．故答案为：3．本题考查复数代数形式的乘除运算，实部的概念，考查计算能力，是基础题．5.在平面直角坐标系中，是椭圆上一点．若点到椭圆的右焦点的距离为2，则它到椭圆的右准线的距离为__.【答案】求出椭圆的离心率，利用椭圆的第二定义，求解即可．椭圆C：y2＝1，可得e，由椭圆的第二定义可得：它到椭圆C的右准线的距离为d，d．故答案为：．本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的第二定义，考查转化思想以及计算能力．6.已知实数，满足则的最小值为___.【答案】1由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得B（3，﹣1）．化z＝x+2y为y x，由图可知，当直线y x过B（3，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝3+2×（﹣1）＝1．故答案为：1．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7.在平面直角坐标系中，“”是“方程表示椭圆”的__条件．(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”)【答案】必要不充分由椭圆的性质有：“方程x2+my2＝1表示椭圆”的充要条件为：，再判断“m＞0”与“”的关系解：由椭圆的性质有：“方程x2+my2＝1表示椭圆”的充要条件为：，又“m＞0”是“”的必要不充分条件，所以，“m＞0”是“方程x2+my2＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分本题考查了椭圆的性质与充分、必要条件，属简单题．8.在平面直角坐标系中，双曲线的顶点到它的渐近线的距离为___.【答案】根据点到直线的距离公式进行求解即可．解：双曲线y2＝1的一个顶点为A（2，0），双曲线的一条渐近线为y x，即x﹣2y＝0，则点到直线的距离公式d，故答案为：．本题主要考查双曲线性质的应用，根据点到直线的距离公式是解决本题的关键，比较基础．9.在平面直角坐标系中，点，点，平面内点满足，则的最大值是___．【答案】设P（x，y），由•15，得点P的轨迹是以C（2，1）为圆心，2为半径的圆，得PO 的最大值为|OC|+半径．解：设P（x，y），则（4﹣x，﹣y），（﹣x，2﹣y）∵•15，∴x（x﹣4）+y（y﹣2）＝15，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝20，∴点P的轨迹是以C（2，1）为圆心，2为半径的圆，∴PO的最大值为：|OC|+半径＝3．故答案为：3．本题考查了向量的数量积的应用，考查了平面上一定点到圆上各点距离的最值问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线与椭圆交于，两点．若为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是_____【答案】由题设知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（﹣c，），B（﹣c，），由△是锐角三角形，知tan∠AF1 F2＜1，所以1，由此能求出椭圆的离心率e的取值范围．解：∵点F1、F2分别是椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，∴F1（﹣c，0），F2（c，0），A（c，），B（c，），∵△是锐角三角形，∴∠AF1 F2＜45°，∴tan∠AF1 F2＜1，∴1，整理，得b2＜2ac，∴a2﹣c2＜2ac，两边同时除以a2，并整理，得e2+2e﹣1＞0，解得e1，或e1，（舍），∴0＜e＜1，∴椭圆的离心率e的取值范围是（1，1）．故答案为：（1，1）．本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．11.在平面直角坐标系中，圆与圆有公共点，则实数的取值范围是___．【答案】根据题意，分析两个圆的圆心与半径，由圆与圆的位置关系可得2﹣1≤|C1C2|≤2+1，即1≤（a﹣1）2+（a+2）2≤9，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，圆C1：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1，其圆心C1为（a，a+2），半径为r1＝1，圆C2：x2+y2﹣2x﹣3＝0，即（x﹣1）2+y2＝4，其圆心C2（1，0），半径r2＝2，若两圆有公共点，则2﹣1≤|C1C2|≤2+1，即1≤（a﹣1）2+（a+2）2≤9，变形可得：a2+a+2≥0且a2+a﹣2≥0，解可得：﹣2≤a≤1，即a的取值范围为[﹣2，1]；故答案为：[﹣2，1]．判断圆与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系．(2)切线法：根据公切线条数确定．12.如图，在正四棱锥中，，点为的中点，．若，则实数_____【答案】4连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数λ．解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝2，则A（，0，0），D（0，，0），P（0，0，），M（，0，），B（0，，0），（0，﹣2，0），设N（0，b，0），则（0，b，0），∵λ，∴﹣2，∴b，∴N（0，，0），（，，），（，0），∵MN⊥AD，∴10，解得实数λ＝4．故答案为：4．本题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.在平面直角坐标系中，圆，点，为抛物线上任意一点（异于原点），过点作圆的切线，为切点，则的最小值是___．【答案】3设P（x，y），可得y2＝2x，求得圆M的圆心和半径，求得切线长|PB|，化简可得|PB|为P到y轴的距离，结合抛物线的定义和三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值．解：设P（x，y），可得y2＝2x，圆M：（x﹣1）2+y2＝1的圆心M（1，0），半径为1，|PB||x|，即|PB|为P到y轴的距离，抛物线的焦点F（，0），准线方程为x，可得|PA|+|PB|＝|PA|+|PK||PA|+|PF|，过A作准线的垂线，垂足为K，可得A，P，K共线时，|PA|+|PK|取得最小值|AK|，即有|PA|+|PB|的最小值为3．故答案为：3．本题考查抛物线的定义和方程的运用，考查直线和圆相切的切线长求法，考查转化思想和三点共线取得最值，考查运算能力，属于中档题．14.已知函数只有一个零点，且这个零点为正数，则实数的取值范围是____．【答案】先运用导数得出函数的单调性和单调区间，再结合函数图象求出a的取值范围．解：令＝3x2﹣3a2＝3（x﹣a）（x+a）＝0，解得x1＝﹣a，x2＝a，其中a＞0，所以函数的单调性和单调区间如下：x∈（﹣∞，﹣a），f（x）递增；x∈（﹣a，a），f（x）递减；x∈（a，+∞），f（x）递增．因此，f（x）在x＝﹣a处取得极大值，在x＝a处取得极小值，结合函数图象，要使f（x）只有一个零点x0，且x0＞0，只需满足：f（x）极大值＝f（﹣a）＜0，即﹣a3+3a3﹣6a2+4a＜0，整理得a（a﹣1）（a﹣2）＜0，解得，a∈（1，2），故答案为：（1，2）本题主要考查了函数零点的判定，以及运用导数研究函数的单调性和极值，数形结合的解题思想，属于中档题．二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，其离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）已知是椭圆上一点，，为椭圆的焦点，且，求点到轴的距离．【答案】（1） (2)（1）椭圆E经过点A（4，0），可得a＝4．椭圆E的离心率e可得c＝2．即可得椭圆E的方程；（2）由∠F1PF2，所以•0，可得x2+y2＝12，由，得P到y轴的距离．（1）因为椭圆经过点，所以，解得．又椭圆的离心率，所以．所以．因此椭圆的方程为．（2）方法一：由椭圆的方程，知，．设．因为，所以，所以．由解得．所以，即到轴的距离为．方法二：由椭圆的方程，知．设．因为，为的中点，所以，从而．由解得．所以，即到轴的距离为．方法三：由椭圆的方程，知，．设．因为，所以．由椭圆的定义可知，，所以，所以三角形的面积．又，所以，所以．代入得，．所以，即到轴的距离为．本题考查椭圆的几何性质，关键是利用椭圆的定义和向量数量积．属于中档题．16.如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为1，求：（1）直线与直线所成角的余弦值；（2）平面与平面所成二面角的正弦值．【答案】（1）（2）（1）以 {，，} 为正交基底建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出直线A1C与直线AD1所成角的余弦值；（2）求出平面D1AC的一个法向量和平面ABB1A1的一个法向量，利用向量法能求出平面D1AC 与平面ABB1A1所成二面角的正弦值．(1)如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为1，故以为正交基底建立空间直角坐标系．则，，，，．（1）因为，，所以，，，从而．又异面直线所成的角的范围是，所以直线与直线所成角的余弦值为．（2），，设平面的一个法向量为，则从而即取，可得，，即．在正四棱柱中，平面，又，所以为平面的一个法向量．因为，且，，所以．因此平面与平面所成二面角的正弦值为．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.在平面直角坐标系中，已知圆经过抛物线与坐标轴的三个交点．（1）求圆的方程；（2）经过点的直线与圆相交于，两点，若圆在，两点处的切线互相垂直，求直线的方程．【答案】（1）（2）和．（1）方法一、求得抛物线与坐标轴的三个交点，设出圆的一般式方程，代入三点坐标，解方程组可得D，E，F，即可得到所求圆方程；方法二、由抛物线方程与圆的一般式方程，可令y ＝0，可得D，F，再由抛物线与y轴的交点，可得E，即可得到所求圆方程；（2）求圆C的圆心和半径，圆C在A，B两点处的切线互相垂直，可得∠ACB，求得C到直线l的距离，讨论直线l的斜率是否存在，由点到直线的距离公式，计算可得所求直线方程．（1）方法一：抛物线与坐标轴的三个交点坐标为，，．设圆的方程为，则 , 解得所以圆的方程为．方法二：设圆的方程为．令，得．因为圆经过抛物线与轴的交点，所以与方程同解，所以，．因此圆．因为抛物线与轴的交点坐标为，又所以点也在圆上，所以，解得．所以圆的方程为．（2）由（1）可得，圆：，故圆心，半径．因为圆在，两点处的切线互相垂直，所以．所以到直线的距离．① 当直线的斜率不存在时，，符合题意；② 当直线的斜率存在时，设，即，所以，解得，所以直线，即．综上，所求直线的方程为和．方法三：①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，将直线的方程代入圆的方程得：，即，．因为圆在点，两点处的切线互相垂直，所以，所以，即，所以，即，即，，即，解得，所以直线：，即．②当直线的斜率不存在时，：，符合题意；综上，所求直线的方程为和．本题考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法和方程思想，考查直线和圆的位置关系，注意运用分类讨论思想方法和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．18.如图，从一个面积为的半圆形铁皮上截取两个高度均为的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分别以，为母线卷成两个高均为的圆柱（无底面，连接部分材料损失忽略不计）．记这两个圆柱的体积之和为．（1）将表示成的函数关系式，并写出的取值范围；（2）求两个圆柱体积之和的最大值．【答案】（1）.（2）（1）设半圆形铁皮的半径为r，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为r1，r2，写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；（2）利用导数判断V（x）的单调性，得出V（x）的最大值．（1）设半圆形铁皮的半径为，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为，．因为半圆形铁皮的面积为，所以，即．因为，所以，同理，即．所以卷成的两个圆柱的体积之和．因为，所以的取值范围是．（2）由，得，令，因为，故当时，；当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，所以当时，取得极大值，也是最大值．因此的最大值为．答：两个圆柱体积之和的最大值为．本题考查了圆柱的结构特征，圆柱与体积计算，用函数单调性求函数最值，属于中档题．19.如图，在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左、右焦点．动直线过点，且与椭圆相交于，两点（直线与轴不重合）．（1）若点的坐标为，求点坐标；（2）点，设直线，的斜率分别为，，求证：；（3）求面积最大时的直线的方程．【答案】(1) (2)见证明；(3)（1）由已知得到直线l的方程，与椭圆方程联立即可求得点B的坐标；（2）设直线l的方程为x＝ty+1，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及斜率公式即可证明k1+k2＝0；（3）△AF1B的面积S|F1F2|•|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|．把（2）中的根与系数的关系代入，可得S．设函数f（x）＝9x（x≥1），利用导数可得f（x）＝9x在[1，+∞）上单调递增，得到当t2+1＝1，即t＝0时，9（t2+1）取最小值10．由此可得直线l的方程为x＝1．（1）因为直线经过点，，所以直线的方程为．由解得或所以．（2）因为直线与轴不重合，故可设直线的方程为．设，．由得，所以，，因为，在直线上，所以，，所以，，从而．因为，所以．（3）方法一：的面积. 由（2）知，，，故，设函数．因为，所以在上单调递增，所以当，即时，取最小值10．即当时，的面积取最大值，此时直线的方程为．方法二：的面积．由（2）知，，，故，因为，所以，所以，即时，的面积取最大值．因此，的面积取最大值时，直线的方程为．本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法及导数求函数的最值，考查计算能力，属难题．20.已知函数，．（1）若，且直线是曲线的一条切线，求实数的值；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围；（3）若函数有两个极值点，，且，求的取值范围．【答案】(1) (2) (3)（1）代入a的值，根据切线方程得到关于x0的方程，求出切点坐标，解出m即可；（2）问题转化为alnx1＞0，记g（x）＝alnx1，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定a的范围即可；（3）法一：求出h（x2）﹣h（x1）的解析式，记m（x）＝2[（x）lnx x]，x≥1，根据函数的单调性求出a的范围即可；法二：由h（x）＝f（x）﹣x＝alnx x，x＞0，以及h（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），得到x1+x2＝a，x1x2＝1，设t2（t＞1），从而h（x2）﹣h（x1）等价于h（t）＝（t）lnt t，t＞1，记m（x）＝（x）lnx x，x≥1，根据函数的单调性求出a的范围即可．（1）当时，，．设直线与曲线相切于点，则，即，解得，即切点为，因为切点在上，所以，解得．（2）不等式可化为．记，则对任意恒成立．考察函数，，．当时，，在上单调递减，又，所以，不合题意；当时，，；，，所以在上单调递减，在上单调递增，若，即时，在上单调递增，所以时，，符合题意；若，即时，在上单调递减，所以当时，，不符合题意；综上所述，实数的取值范围为．（3）方法一：，，．因为有两个极值点，，所以，即的两实数根为，，，所以，，，所以，，从而．记，．则(当且仅当时取等号)，所以在上单调递增，又，不等式可化为，所以．因为，且在上递增，所以，即的取值范围为．方法二：，，．因为有两个极值点，，所以，即的两实数根为，，，所以，，，所以，．设，则，，所以，，，从而等价于，．记，．则(当且仅当时取等号)，所以在上单调递增．又，，所以．因为，且在上递增，所以，即的取值范围为．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，换元思想，考查函数恒成立问题，是一道综合题．。

江苏南京市2016-2017高二数学上学期期末试题（文附答案）南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷高二数学（文科）2017.01注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆否命题是▲．2．双曲线x2－y24＝1的渐近线方程是▲．3．已知复数a＋2i1－i为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是▲．4．在平面直角坐标系xOy中，点(4，3)到直线3x－4y＋a＝0的距离为1，则实数a的值是▲．5．曲线y＝x4与直线y＝4x＋b相切，则实数b的值是▲．6．已知实数x，y满足条件x＋y－2≥0，x－y≤0，y≤3，则z＝2x＋y的最大值是▲．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y2＝4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF＝5，则点P的横坐标是▲．8．在平面直角坐标系xOy中，圆O:x2＋y2＝r2(r＞0)与圆M:(x－3)2＋(y＋4)2＝4相交，则r的取值范围是▲．9．观察下列等式：(sinπ3)－2＋(sin2π3)－2＝43×1×2；(sinπ5)－2＋(sin2π5)－2＋(sin3π5)－2＋(sin4π5)－2＝43×2×3；(sinπ7)－2＋(sin2π7)－2＋(sin3π7)－2＋…＋(sin6π7)－2＝43×3×4；(sinπ9)－2＋(sin2π9)－2＋(sin3π9)－2＋…＋(sin8π9)－2＝43×4×5；……依此规律，当n∈N*时，(sinπ2n＋1)－2＋(sin2π2n＋1)－2＋(sin3π2n＋1)－2＋…＋(sin2nπ2n＋1)－2＝▲．10．若“x∈R，x2＋ax＋a＝0”是真命题，则实数a的取值范围是▲．11．已知函数f(x)＝(x2＋x＋m)ex(其中m∈R，e为自然对数的底数)．若在x＝－3处函数f(x)有极大值，则函数f(x)的极小值是▲．12．有下列命题：①“m＞0”是“方程x2＋my2＝1表示椭圆”的充要条件；②“a＝1”是“直线l1:ax＋y－1＝0与直线l2:x＋ay－2＝0平行”的充分不必要条件；③“函数f(x)＝x3＋mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是▲．13．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为2c(c＞0)，左焦点为F，点M的坐标为(－2c，0)．若椭圆E上存在点P，使得PM＝2PF，则椭圆E离心率的取值范围是▲．14．已知t＞0，函数f(x)＝x(x－t)2，x≤t，14x，x＞t．若函数g(x)＝f(f(x)－1)恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4)．(1)求BC边上的中线所在直线的方程；(2)求BC边上的高所在直线的方程．16．（本题满分14分）已知复数z1＝m－2i，复数z2＝1－ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．(1)若m＝1，n＝－1，求|z1＋z2|的值；(2)若z1＝(z2)2，求m，n的值．17．(本题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y＝－2x上，且圆M与直线x＋y－1＝0相切于点P(2，－1)．(1)求圆M的方程；(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程．18．(本题满分16分)某休闲广场中央有一个半径为1(百米)的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形ABCF和梯形DEFC)构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF 为圆的直径(如图)．设∠AOF＝θ，其中O为圆心．(1)把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f(θ)；(2)当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．19．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b ＞0)的离心率为32，两个顶点分别为A(－a，0)，B(a，0)，点M(－1，0)，且3AM→＝MB→，过点M斜率为k(k≠0)的直线交椭圆E于C，D两点，且点C在x轴上方．(1)求椭圆E的方程；(2)若BC⊥CD，求k的值；(3)记直线BC，BD的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．20．（本题满分16分）已知函数f(x)＝ax－lnx(a∈R)．(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；(2)已知e为自然对数的底数，存在x∈[1e，e]，使得f(x)＝1成立，求a的取值范围；(3)若对任意的x∈[1，＋∞)，有f(x)≥f(1x)成立，求a的取值范围．南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷高二数学（文科）参考答案及评分标准2017．01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．若|a|≠|b|，则a≠b2．y＝±2x3．24．±55．－36．97．48．(3，7)9．4n(n＋1)310．(－∞，0]∪[4，＋∞)11．－112．②④13．[33，22]14．(3，4)二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）解：（1）由B(10，4)，C(2，－4)，得BC中点D的坐标为（6，0），………………2分所以AD的斜率为k＝8－07－6＝8，………………5分所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y－0＝8(x－6)，即8x－y－48＝0．………………7分（2）由B(10，4)，C(2，－4)，得BC所在直线的斜率为k＝4－(－4)10－2＝1，……9分所以BC边上的高所在直线的斜率为－1，…………………12分所以BC边上的高所在直线的方程为y－8＝－(x－7)，即x＋y－15＝0．…………………………14分16．（本题满分14分）解：（1）当m＝1，n＝－1时，z1＝1－2i，z2＝1＋i，所以z1＋z2＝(1－2i)＋(1＋i)＝2－i， (4)分所以|z1＋z2|＝22＋(－1)2＝5．………………6分（2）若z1＝(z2)2，则m－2i＝(1－ni)2，所以m－2i＝(1－n2)－2ni，……………10分所以m＝1－n2，－2＝－2n，………………12分解得m＝0，n＝1．………………14分17．（本题满分14分）解：（1）过点(2，－1)且与直线x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－3＝0，……2分由y＝－2x，x－y－3＝0，解得x＝1，y＝－2．所以圆心M的坐标为(1，－2)，………………4分所以圆M的半径为r＝(2－1)2＋[－1－(－2)]2＝2，………………6分所以圆M的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2．………………7分（2）因为直线l被圆M截得的弦长为6，所以圆心M到直线l的距离为d＝2－(62)2＝22，……………9分若直线l的斜率不存在，则l为x＝0，此时，圆心M到l 的距离为1，则弦长为2，不符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx，即kx －y＝0，由d＝|k＋2|k2＋(－1)2＝22，………………11分整理得k2＋8k＋7＝0，解得k＝－1或－7，………………13分所以直线l的方程为x＋y＝0或7x＋y＝0．………………14分18．（本题满分16分）解：（1）作AH⊥CF于H，则OH＝cosθ，AB＝2OH＝2cosθ，AH＝sinθ，……………2分则六边形的面积为f(θ)＝2×12(AB＋CF)×AH＝(2cosθ＋2)sinθ＝2(cosθ＋1)sinθ，θ∈(0，π2)． (6)分（2）f′(θ)＝2[－sinθsinθ＋(cosθ＋1)cosθ]＝2(2cos2θ＋cosθ－1)＝2(2cosθ－1)(cosθ＋1)．………………10分令f′(θ)＝0，因为θ∈(0，π2)，所以cosθ＝12，即θ＝π3，……………………12分当θ∈(0，π3)时，f′(θ)＞0，所以f(θ)在(0，π3)上单调递增；当θ∈(π3，π2)时，f′(θ)＜0，所以f(θ)在(π3，π2)上单调递减，…………14分所以当θ＝π3时，f(θ)取最大值f(π3)＝2(cosπ3＋1)sinπ3＝323．…………15分答：当θ＝π3时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为323平方百米．…………………………16分19．（本题满分16分）解：（1）因为3AM→＝MB→，所以3(－1＋a，0)＝(a＋1，0)，解得a＝2．………………2分又因为ca＝32，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆E的方程为x24＋y2＝1．………………4分（2）方法1设点C的坐标为(x0，y0)，y0＞0,则CM→＝(－1－x0，－y0)，CB→＝(2－x0，－y0)．因为BC⊥CD，所以(－1－x0)(2－x0)＋y02＝0．①……………6分又因为x024＋y02＝1，②联立①②，解得x0＝－23，y0＝223，………………8分所以k＝223－23＋1＝22．………………10分方法2因为CD的方程为y＝k(x＋1)，且BC⊥CD，所以BC的方程为y＝－1k(x－2)，………………6分联立方程组，可得点C的坐标为(2－k21＋k2，3k1＋k2)，………………8分代入椭圆方程，得(2－k21＋k2)24＋(3k1＋k2)2＝1，解得k＝±22．又因为点C在x轴上方，所以3k1＋k2＞0，所以k＞0，所以k＝22………………10分（3）方法1因为直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由y＝k(x＋1)，x24＋y2＝1，消去y，得(1＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－4＝0，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－8k21＋4k2，x1x2＝4k2－41＋4k2，…………………12分所以k1k2＝k2(x1＋1)(x2＋1)(x1－2)(x2－2)＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)x1x2－2(x1＋x2)＋4…………………14分＝k2(4k2－41＋4k2－8k21＋4k2＋1)4k2－41＋4k2＋2×8k21＋4k2＋4＝－3k236k2＝－112，所以k1k2为定值．……………16分方法2因为直线BC的方程为y＝k1(x－2)，由y＝k1(x－2)，x24＋y2＝1，得C(8k12－21＋4k12，－4k11＋4k12)，………………12分同理D(8k22－21＋4k22，－4k21＋4k22)，由于C，M，D三点共线，故MC→，MD→共线，又MC→＝(8k12－21＋4k12＋1，－4k11＋4k12)＝(12k12－11＋4k12，－4k11＋4k12)，MD→＝(8k22－21＋4k22＋1，－4k21＋4k22)＝(12k22－11＋4k22，－4k21＋4k22)，所以12k12－11＋4k12×－4k21＋4k22＝－4k11＋4k12×12k22－11＋4k22，……………14分化简得12k12k2－k2＝12k1k22－k1，即(12k1k2＋1)(k1－k2)＝0，由于k1≠k2，否则C，D两点重合，于是12k1k2＋1＝0，即k1k2＝－112，所以k1k2为定值．……………16分方法3设C(x0,y0)，则CD：y＝y0x0+1(x+1)(－2＜x0＜2且x0≠－1)，由y＝y0x0+1(x+1)，x24＋y2＝1，消去y，得[(x0＋1)2＋4y02]x2＋8y02x＋4y02－4(x0＋1)2＝0.………………12分又因为x024＋y02＝1，所以得D(－8－5x05＋2x0，－3y05＋2x0)，………………14分所以k1k2＝y0x0－2－3y05＋2x0－8－5x05＋2x0－2＝－3y02(x0－2)(－9x0－18)＝y023(x02－4)＝1－x0243(x02－4)＝－112，所以k1k2为定值．………………16分20．（本题满分16分）解：（1）a＝1时，f(x)＝x－lnx,则f'(x)＝1－1x＝x －1x，令f'(x)＝0，则x＝1．……………………2分当0＜x＜1时，f'(x)＜0，所以f(x)在(0，1)上单调递减；当x＞1时，f'(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，………………3分所以当x＝1时，f(x)取到最小值，最小值为1．…………………4分（2）因为f(x)＝1，所以ax－lnx＝1，即a＝1x＋lnxx，………………6分设g(x)＝1x＋lnxx，x∈[1e，e]，则g'(x)＝－lnxx2，令g'(x)＝0，得x＝1．当1e＜x＜1时，g'(x)＞0，所以g(x)在(1e，1)上单调递增；当1＜x＜e时，g'(x)＜0，所以g(x)在(1，e)上单调递减；………………8分因为g(1)＝1，g(1e)＝0，g(e)＝2e，所以函数g(x)的值域是[0，1]，所以a的取值范围是[0，1]．……………………10分（3）对任意的x∈[1，＋∞)，有f(x)≥f(1x)成立，则ax－lnx≥ax＋lnx，即a(x－1x)－2lnx≥0．令h(x)＝a(x－1x)－2lnx，则h'(x)＝a(1＋1x2)－2x＝ax2－2x＋ax2，①当a≥1时，ax2－2x＋a＝a(x－1a)2＋a2－1a≥0，所以h'(x)≥0，因此h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以x∈[1，＋∞)时，恒有h(x)≥h(1)＝0成立，所以a≥1满足条件．………………12分②当0＜a＜1时，有1a＞1，若x∈[1，1a]，则ax2－2x ＋a＜0，此时h'(x)＝ax2－2x＋ax2＜0，所以h(x)在[1，1a]上单调递减，所以h(1a)＜h(1)＝0，即存在x＝1a＞1，使得h(x)＜0，所以0＜a＜1不满足条件．……………14分③当a≤0时，因为x≥1，所以h'(x)＝ax2－2x＋ax2＜0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以当x＞1时，h(x)＜h(1)＝0，所以a≤0不满足条件．综上，a的取值范围为[1，＋∞).………………16分。

2016-2017学年高二上学期期末试卷（文科数学）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，B=120°，则c等于（）A．B．2 C．D．2．在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C．D．或3．在等比数列{an }中，a2=8，a5=64，则公比q为（）A．2 B．3 C．4 D．84．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．49 C．35 D．635．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．606．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）A．B．C．D．7．如果等差数列{an }中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．358．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，已知∠A=60°，AB：AC=8：5，面积为10，则AB=（）A．8 B．6 C．5 D．1010．关于x的不等式x2+x+c＞0的解集是全体实数的条件是（）A．c＜B．c≤C．c＞D．c≥11．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．912．如图，测量河对岸的旗杆高AB时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=2米，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60°，则旗杆高AB 为（）A．10米B．2米C．米D．米二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）13．设集合，则A∩B= ．14．在﹣1和7中间插入三个数，使得这五个数成单调递增的等差数列，则这三个数为．15．在单调递增的等比数列{an }中，a1•a9=64，a3+a7=20，求a11= ．16．当x＞﹣1时，函数y=x+的最小值是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．18．已知不等式ax2+bx﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}．（1）计算a、b的值；（2）求解不等式x2﹣ax+b＞0的解集．19．等比数列{an }中，已知a1=2，a4=16（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．20．为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？25．动物园要建造一个长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围36m长网的材料，当虎笼的长、宽各设计为多少时，可使虎笼面积最大？最大面积为多少？（2）若使虎笼的面积为32m2，则虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成虎笼所用的钢筋网总长最小？26．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时的间频率分布表（时间单位为：分）：将日将收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？2016-2017学年高二上学期期末试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，B=120°，则c等于（）A．B．2 C．D．【考点】正弦定理．【分析】根据题意，由正弦定理可得=，变形可得c=•sinC，代入数据计算可得答案．【解答】解：根据题意，△ABC中，c=，b=，B=120°，由正弦定理可得： =，即c=•sinC=，即c=；故选：D．2．在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C．D．或【考点】余弦定理．【分析】根据余弦定理表示出cosA，然后把已知的等式代入即可求出cosA的值，由A的范围，根据特殊角的三角函数值即可得到A的度数．【解答】解：由a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cosA===﹣，因为A∈（0，π），所以A=．故选C3．在等比数列{an }中，a2=8，a5=64，则公比q为（）A．2 B．3 C．4 D．8【考点】等比数列的通项公式．【分析】题目给出了a2=8，a5=64，直接利用等比数列的通项公式求解q．【解答】解：在等比数列{an }中，由，又a2=8，a5=64，所以，，所以，q=2．故选A．4．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．49 C．35 D．63【考点】等差数列的前n项和．【分析】首先根据已知条件建立方程组求出首项与公差，进一步利用等差数列前n项和公式求出结果．【解答】解：等差数列{an }中，设首项为a1，公差为d，，解得：d=2，a1=1，所以：故选：B5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60【考点】频率分布直方图．【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量． 【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据， 在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01， 每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3， 又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故选：B ．6．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】等可能事件的概率．【分析】从5个小球中选两个有C 52种方法，列举出取出的小球标注的数字之和为3或6的有{1，2}，{1，5}，{2，4}共3种，根据古典概型公式，代入数据，求出结果．本题也可以不用组合数而只通过列举得到事件总数和满足条件的事件数．【解答】解：随机取出2个小球得到的结果数有C 52=种取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{1，2}，{1，5}，{2，4}共3种，∴P=，故选A7．如果等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5=12，那么a 1+a 2+…+a 7=（ ） A ．14 B ．21 C ．28 D ．35【考点】等差数列的性质；等差数列的前n 项和． 【分析】由等差数列的性质求解． 【解答】解：a 3+a 4+a 5=3a 4=12，a 4=4，∴a 1+a 2+…+a 7==7a 4=28故选C8．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论．【解答】解：由程序框图知，循环体被执行后S的值依次为：第1次S=0+，第2次S=+，第3次S=++，此时n=8不满足选择条件n＜8，退出循环，故输出的结果是S=++=．故选C．9．在△ABC中，已知∠A=60°，AB：AC=8：5，面积为10，则AB=（）A．8 B．6 C．5 D．10【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知可得：AC=AB，进而利用三角形面积公式即可计算得解AB的值．【解答】解：∵AB：AC=8：5，可得：AC=AB，又∵∠A=60°，面积为10=AB•AC•sinA=AB ×AB ×，∴解得：AB=8． 故选：A ．10．关于x 的不等式x 2+x+c ＞0的解集是全体实数的条件是（ ）A ．c ＜B ．c ≤C ．c ＞D ．c ≥ 【考点】二次函数的性质．【分析】由判别式小于零，求得c 的范围．【解答】解：关于x 的不等式x 2+x+c ＞0的解集是全体实数的条件是判别式△=1﹣4c ＜0，解得 c ＞， 故选：C ．11．设变量x 、y 满足约束条件，则目标函数z=2x+y 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=2x+y 的最小值．【解答】解：设变量x 、y 满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC ，A （2，0），B （1，1），C （3，3）， 则目标函数z=2x+y 的最小值为3， 故选B12．如图，测量河对岸的旗杆高AB时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=2米，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60°，则旗杆高AB 为（）A．10米B．2米C．米D．米【考点】解三角形的实际应用．【分析】在△CBD中根据三角形的内角和定理，求出∠CBD=180°﹣∠BCD﹣∠BDC=45°，从而利用正弦定理求出BC．然后在Rt△ABC中，根据三角函数的定义加以计算，可得旗杆AB的高度．【解答】解：∵△BCD中，∠BCD=75°，∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣∠BCD﹣∠BDC=45°，在△CBD中，CD=2米，根据正弦定理可得BC==米，∵Rt△ABC中，∠ACB=60°，∴AB=BC•tan∠ACB=•tan60°=3，即旗杆高，3米．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）13．设集合，则A∩B= （3，4）．【考点】交集及其运算．【分析】先利用解分式不等式化简集合B，再根据两个集合的交集的意义求解A∩B．【解答】解：A={x|x＞3}，B={x|＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故答案为：（3，4）．14．在﹣1和7中间插入三个数，使得这五个数成单调递增的等差数列，则这三个数为1，3，5 ．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设插入的三个数为a，b，c，则﹣1，a，b，c，7五个数成单调递增的等差数列，利用等差数列的性质能求出这三个数．【解答】解：在﹣1和7中间插入三个数，使得这五个数成单调递增的等差数列，设插入的三个数为a，b，c，则﹣1，a，b，c，7五个数成单调递增的等差数列，∴a1=﹣1，a5=﹣1+4d=7，解得d=2，∴a=﹣1+2=1，b=﹣1+2×2=3，c=﹣1+2×3=5，∴这三个数为1，3，5．故答案为：1，3，5．15．在单调递增的等比数列{an }中，a1•a9=64，a3+a7=20，求a11= 64 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知得a3，a7是方程x2﹣20x+64=0的两个根，且a3＜a7，从而求出a3=4，a7=16，再由等比数列通项公式列方程组求出首项和公比，由此能求出a11．【解答】解：∵单调递增的等比数列{an}中，a 1•a9=64，a3+a7=20，∴a3•a7=a1•a9=64，∴a3，a7是方程x2﹣20x+64=0的两个根，且a3＜a7，解方程x2﹣20x+64=0，得a3=4，a7=16，∴，解得，∴a 11=a 1q 10=2×（）10=64．故答案为：64．16．当x ＞﹣1时，函数y=x+的最小值是 1 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵x ＞﹣1，∴函数y=x+=（x+1）+﹣1≥﹣1=1，当且仅当x+1=，且x ＞﹣1，即x=0时等号成立，故函数y 的最小值为1． 故答案为：1．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a=2bsinA （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b ．【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用．【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B 的正弦值，再由△ABC 为锐角三角形可得答案．（2）根据（1）中所求角B 的值，和余弦定理直接可求b 的值． 【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA ，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA ，所以，由△ABC 为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b 2=a 2+c 2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．18．已知不等式ax 2+bx ﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x ＜2}． （1）计算a 、b 的值；（2）求解不等式x 2﹣ax+b ＞0的解集． 【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）根据不等式ax 2+bx ﹣1＜0的解集，不等式与方程的关系求出a 、b 的值； （2）由（1）中a 、b 的值解对应不等式即可．【解答】解：（1）∵不等式ax 2+bx ﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x ＜2}， ∴方程ax 2+bx ﹣1=0的两个根为﹣1和2，将两个根代入方程中得，解得：a=，b=﹣；（2）由（1）得不等式为x 2﹣x ﹣＞0， 即2x 2﹣x ﹣1＞0，∵△=（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）=9＞0，∴方程2x 2﹣x ﹣1=0的两个实数根为：x 1=﹣，x 2=1；因而不等式x 2﹣x ﹣＞0的解集是{x|x ＜﹣或x ＞1}．19．等比数列{a n }中，已知a 1=2，a 4=16 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n ．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（I ）由a 1=2，a 4=16直接求出公比q 再代入等比数列的通项公式即可．（Ⅱ）利用题中条件求出b 3=8，b 5=32，又由数列{b n }是等差数列求出．再代入求出通项公式及前n 项和S n ．【解答】解：（I ）设{a n }的公比为q 由已知得16=2q 3，解得q=2∴=2n（Ⅱ）由（I）得a3=8，a5=32，则b3=8，b5=32设{bn}的公差为d，则有解得．从而bn=﹣16+12（n﹣1）=12n﹣28所以数列{bn}的前n项和．20．为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图．【分析】（Ⅰ）利用平均数的计算公式即可得出，据此即可判断出结论；（Ⅱ）利用已知数据和茎叶图的结构即可完成．【解答】解：（Ⅰ）设A药观测数据的平均数据的平均数为，设B药观测数据的平均数据的平均数为，则=×（0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3+2.4）=2.3．×（3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5）=1.6．由以上计算结果可知：．由此可看出A药的效果更好．（Ⅱ）根据两组数据得到下面茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在2，3上．而B药疗效的试验结果由的叶集中在0，1上．由此可看出A药的疗效更好．25．动物园要建造一个长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围36m长网的材料，当虎笼的长、宽各设计为多少时，可使虎笼面积最大？最大面积为多少？（2）若使虎笼的面积为32m2，则虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成虎笼所用的钢筋网总长最小？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）设每间虎笼的长、宽，利用周长为36m，根据基本不等式，即可求得面积最大值时的长、宽；（2）设每间虎笼的长、宽，利用面积为32m2，根据周长的表达式，利用基本不等式，即可求得周长最小值时的长、宽．【解答】解：（1）设虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知x+2y=36．设每间虎笼的面积为S，则S=xy．由于x+2y≥2=2，∴2≤36，得xy≤162，即S≤162．当且仅当x=2y时等号成立．由解得故每间虎笼长为18 m，宽为9 m时，可使面积最大，面积最大为162m2．（2）由条件知S=xy=32．设钢筋网总长为l，则l=x+2y．∵x+2y≥2=2=16，∴l=x+2y≥48，当且仅当x=2y时，等号成立．由解得故每间虎笼长8m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．26．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时的间频率分布表（时间单位为：分）：将日将收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？【考点】独立性检验．【分析】（I）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出X方，与3.841比较即可得出结论；（II）由题意，列出所有的基本事件，计算出事件“任选3人，至少有1人是女性”包含的基本事件数，即可计算出概率．【解答】解：（I）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：…3分将2×2列联表中的数据代入公式计算，得X2===≈3.03因为3.03＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关…6分（II）由频率分布直方图知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所的基本事件空间为Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b 2），（b1，b2）}其中ai 表示男性，i=1，2，3，bi表示女性，i=1，2…9分Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示事件“任选3人，至少有1人是女性”．则A={（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}事件A有7个基本事件组成，因而P（A）=…12分。

江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）已知命题p：∀x＞0，e x≥ex，写出命题p的否定：．2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2x的准线方程为．3．（5分）已知f（x）＝e x•sin x，则f′（0）的值为．4．（5分）设复数z满足（z﹣2）i＝1+i（i为虚数单位），则z的实部是．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆C：+y2＝1上一点．若点P到椭圆C的右焦点的距离为2，则它到椭圆C的右准线的距离为．6．（5分）已知实数x，y满足，则z＝x+2y的最小值为．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，“m＞0”是“方程x2+my2＝1表示椭圆”的条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2＝1的顶点到它的渐近线的距离为．9．（5分）已知函数f（x）＝+a在（0，+∞）上的最小值为2e，则实数a的值为．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），点B（0，2），平面内点P满足•＝15，则PO的最大值是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点F1，F2分别是椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F2且与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点．若∠AF1B＝90°，则该椭圆的离心率的值是．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1与圆C2：x2+y2﹣2x﹣3＝0有公共点，则实数a的取值范围是．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，点A（3，1），P为抛物线y2＝2x上任意一点（异于原点），过点P作圆M的切线PB，B为切点，则PA+PB的最小值是．14．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3a2x﹣6a2+4a（a＞0）只有一个零点，且这个零点为正数，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知复数z1＝m﹣2i，复数z2＝1﹣ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．（1）若n＝1，z1为纯虚数，求|z1+z2|的值；（2）若z1＝（）2，求m，n的值．16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点A（4，0），其离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）已知P是椭圆E上一点，F1，F2为椭圆E的焦点，且∠F1PF2＝，求点P到y 轴的距离．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过抛物线y＝x2﹣x﹣6与坐标轴的三个交点．（1）求圆C的方程；（2）经过点P（﹣2，5）的直线l与圆C相交于A，B两点，若圆C在A，B两点处的切线互相垂直，求直线l的方程．18．（16分）如图，从一个面积为15π的半圆形铁皮上截取两个高度均为x的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分别以AB，A1B1为母线卷成两个高均为x的圆柱（无底面，连接部分材料损失忽略不计）．记这两个圆柱的体积之和为V．（1）将V表示成x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求两个圆柱体积之和V的最大值．19．（16分）已知函数f（x）＝alnx+，a∈R．（1）若a＝2，且直线y＝x+m是曲线y＝f（x）的一条切线，求实数m的值；（2）若不等式f（x）＞1对任意x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆C：+＝1的左、右焦点．动直线l过点F2，且与椭圆C相交于A，B两点（直线l与x轴不重合）．（1）若点A的坐标为（0，），求点B坐标；（2）点M（4，0），设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2＝0；（3）求△AF1B面积最大时的直线l的方程．江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）已知命题p：∀x＞0，e x≥ex，写出命题p的否定：∃x＞0，e x＜ex．【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：∀x＞0，e x≥ex，的否定是：∃x＞0，e x＜ex．故答案为：∃x＞0，e x＜ex．2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2x的准线方程为x＝﹣．【解答】解：抛物线y2＝2x的焦点到其准线的距离为：p＝1．抛物线的准线方程为：x＝﹣．故答案为：x＝﹣3．（5分）已知f（x）＝e x•sin x，则f′（0）的值为1．【解答】解：f（x）＝e x•sin x，f′（x）＝（e x）′sin x+e x．（sin x）′＝e x•sin x+e x•cos x，∴f'（0）＝0+1＝1故答案为：14．（5分）设复数z满足（z﹣2）i＝1+i（i为虚数单位），则z的实部是3．【解答】解：由（z﹣2）i＝1+i得，z＝＝＝＝3﹣i，所以复数的实部为：3．故答案为：3．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆C：+y2＝1上一点．若点P到椭圆C的右焦点的距离为2，则它到椭圆C的右准线的距离为．【解答】解：椭圆C：+y2＝1，可得e＝，由椭圆的第二定义可得：它到椭圆C的右准线的距离为d，d＝＝．故答案为：．6．（5分）已知实数x，y满足，则z＝x+2y的最小值为1．【解答】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得B（3，﹣1）．化z＝x+2y为y＝﹣x+，由图可知，当直线y＝﹣x+过B（3，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝3+2×（﹣1）＝1．故答案为：1．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，“m＞0”是“方程x2+my2＝1表示椭圆”的必要不充分条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）【解答】解：由椭圆的性质有：“方程x2+my2＝1表示椭圆”的充要条件为：，又“m＞0”是“”的必要不充分条件，所以，“m＞0”是“方程x2+my2＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2＝1的顶点到它的渐近线的距离为．【解答】解：双曲线﹣y2＝1的一个顶点为A（2，0），双曲线的一条渐近线为y＝x，即x﹣2y＝0，则点到直线的距离公式d＝＝，故答案为：．9．（5分）已知函数f（x）＝+a在（0，+∞）上的最小值为2e，则实数a的值为e．【解答】解：f′（x）＝，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故f（x）min＝f（1）＝e+a＝2e，解得：a＝e，故答案为：e．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），点B（0，2），平面内点P满足•＝15，则PO的最大值是3．【解答】解：设P（x，y），则＝（4﹣x，﹣y），＝（﹣x，2﹣y）∵•＝15，∴x（x﹣4）+y（y﹣2）＝15，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝20，∴点P的轨迹是以C（2，1）为圆心，2为半径的圆，∴PO的最大值为：|OC|+半径＝3．故答案为：3．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点F1，F2分别是椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F2且与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点．若∠AF1B＝90°，则该椭圆的离心率的值是﹣1．【解答】解：由已知可得，BF1＝，过F1且与x轴垂直的直线与椭圆交于B，C两点，且∠BF2C＝90°，可得：2c＝，即：2ca＝a2﹣c2，可得e2+2e﹣1＝0，∵0＜e＜1，∴e＝﹣1．故答案为：．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1与圆C2：x2+y2﹣2x﹣3＝0有公共点，则实数a的取值范围是[﹣2，1]．【解答】解：根据题意，圆C1：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1，其圆心C1为（a，a+2），半径为r1＝1，圆C2：x2+y2﹣2x﹣3＝0，即（x﹣1）2+y2＝4，其圆心C2（1，0），半径r2＝2，若两圆有公共点，则2﹣1≤|C1C2|≤2+1，即1≤（a﹣1）2+（a+2）2≤9，变形可得：a2+a+2≥0且a2+a﹣2≥0，解可得：﹣2≤a≤1，即a的取值范围为[﹣2，1]；故答案为：[﹣2，1]．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，点A（3，1），P为抛物线y2＝2x上任意一点（异于原点），过点P作圆M的切线PB，B为切点，则PA+PB的最小值是3．【解答】解：设P（x，y），可得y2＝2x，圆M：（x﹣1）2+y2＝1的圆心M（1，0），半径为1，|PB|＝＝＝＝|x|，即|PB|为P到y轴的距离，抛物线的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，可得|PA|+|PB|＝|PA|+|PK|﹣＝|PA|+|PF|﹣，过A作准线的垂线，垂足为K，可得A，P，K共线时，|PA|+|PK|取得最小值|AK|＝，即有|PA|+|PB|的最小值为3．故答案为：3．14．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3a2x﹣6a2+4a（a＞0）只有一个零点，且这个零点为正数，则实数a的取值范围是（1，2）．【解答】解：令f'（x）＝3x2﹣3a2＝3（x﹣a）（x+a）＝0，解得x1＝﹣a，x2＝a，其中a＞0，所以函数的单调性和单调区间如下：x∈（﹣∞，﹣a），f（x）递增；x∈（﹣a，a），f（x）递减；x∈（a，+∞），f（x）递增．因此，f（x）在x＝﹣a处取得极大值，在x＝a处取得极小值，结合函数图象，要使f（x）只有一个零点x0，且x0＞0，只需满足：f（x）极大值＝f（﹣a）＜0，即﹣a3+3a3﹣6a2+4a＜0，整理得a（a﹣1）（a﹣2）＜0，解得，a∈（1，2），故答案为：（1，2）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知复数z1＝m﹣2i，复数z2＝1﹣ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．（1）若n＝1，z1为纯虚数，求|z1+z2|的值；（2）若z1＝（）2，求m，n的值．【解答】解（1）因为z1＝m﹣2i为纯虚数，所以m＝0．又n＝1，所以z1＝﹣2i，z2＝1﹣i，从而z1+z2＝1﹣3i．因此|z1+z2|＝＝．（2）因为z1＝（）2，所以m﹣2i＝（1+ni）2，即m﹣2i＝（1﹣n2）+2ni．又m，n为实数，所以，解得16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点A（4，0），其离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）已知P是椭圆E上一点，F1，F2为椭圆E的焦点，且∠F1PF2＝，求点P到y 轴的距离．【解答】解（1）因为椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点A（4，0），所以a＝4．…………………（2分）又椭圆E的离心率e＝＝，所以c＝2．…………………（4分）所以b2＝a2﹣c2＝4．因此椭圆E的方程为…………………（6分）（2）：由椭圆E的方程为．知F1（﹣2，0），F2（2，0）．设P（x，y）．因为∠F1PF2＝，所以•＝0，所以x2+y2＝12．…………………（10分）由解得x2＝．…………………（12分）所以|x|＝，即P到y轴的距离为．…………………（14分）17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过抛物线y＝x2﹣x﹣6与坐标轴的三个交点．（1）求圆C的方程；（2）经过点P（﹣2，5）的直线l与圆C相交于A，B两点，若圆C在A，B两点处的切线互相垂直，求直线l的方程．【解答】解：（1）方法一：抛物线y＝x2﹣x﹣6与坐标轴的三个交点坐标为（﹣2，0），（3，0），（0，﹣6），设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则，解得，所以圆C的方程为x2+y2﹣x+5y﹣6＝0．方法二：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，令y＝0，得x2+Dx+F＝0．因为圆C经过抛物线y＝x2﹣x﹣6与x轴的交点，所以x2+Dx+F＝0与方程x2﹣x﹣6＝0同解，所以D＝﹣1，F＝﹣6．因此圆C：x2+y2﹣x+Ey﹣6＝0．因为抛物线y＝x2﹣x﹣6与y轴的交点坐标为（0，﹣6），又所以点（0，﹣6）也在圆C上，所以36﹣6E﹣6＝0，解得E＝5．所以圆C的方程为x2+y2﹣x+5y﹣6＝0．（2）由（1）可得，圆C：（x﹣）2+（y+）2＝，故圆心C（，﹣），半径r＝．因为圆C在A，B两点处的切线互相垂直，所以∠ACB＝．所以C到直线l的距离d＝×＝．①当直线l的斜率不存在时，l：x＝﹣2，符合题意；②当直线l的斜率存在时，设l：y﹣5＝k（x+2），即kx﹣y+（2k+5）＝0，所以＝，解得k＝﹣，所以直线l：y﹣5＝﹣（x+2），即4x+3y﹣7＝0．综上，所求直线l的方程为x＝﹣2和4x+3y﹣7＝0．18．（16分）如图，从一个面积为15π的半圆形铁皮上截取两个高度均为x的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分别以AB，A1B1为母线卷成两个高均为x的圆柱（无底面，连接部分材料损失忽略不计）．记这两个圆柱的体积之和为V．（1）将V表示成x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求两个圆柱体积之和V的最大值．【解答】解：（1）设半圆形铁皮的半径为r，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为r1，r2．因为半圆形铁皮的面积为15π，所以πr2＝15π，即r2＝30．因为2πr1＝2，所以r1＝，同理2πr2＝2，即r2＝．所以卷成的两个圆柱的体积之和V＝f（x）＝（πr12+πr22）x＝（60x﹣5x3）．因为0＜2x＜r＝，所以x的取值范围是（0，）．（2）由f（x）＝（60x﹣5x3），得f′（x）＝（60﹣15x2），令f′（x）＝0，因为x∈（0，），故x＝2．当x∈（0，2）时，f′（x）＞0；当x∈（2，）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，2）上为增函数，在（2，）上为减函数，所以当x＝2时，f（x）取得极大值，也是最大值．因此f（x）的最大值为f（2）＝．答：两个圆柱体积之和V的最大值为．19．（16分）已知函数f（x）＝alnx+，a∈R．（1）若a＝2，且直线y＝x+m是曲线y＝f（x）的一条切线，求实数m的值；（2）若不等式f（x）＞1对任意x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围．【解答】（本小题满分16分）解：（1）当a＝2时，f（x）＝2lnx+，f′（x）＝﹣．…………………（2分）设直线y＝x+m与曲线y＝f（x）相切于点（x0，2lnx0+），…………………（5分）解得x0＝1，即切点为（1，1），因为切点在y＝x+m上，所以1＝1+m，解得m＝0．…………………（7分）（2）不等式f（x）＞1可化为alnx+﹣1＞0．记g（x）＝alnx+﹣1，则g（x）＞0对任意x∈（1，+∞）恒成立．考察函数g（x）＝alnx+﹣1，x＞0，g′（x）＝﹣＝．当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减，又g（1）＝0，所以g（2）＜g（1）＝0，不合题意；…………………（9分）当a＞0时，x∈（0，），g′（x）＜0；x∈（，+∞），g′（x）＞0，所以g（x）在（0，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，…………………（11分）若≤1，即a≥1时，g（x）在[1，+∞）上单调递增，所以x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）＝0，符合题意；…………………（13分）若＞1，即0＜a＜1时，g（x）在[1，）上单调递减，所以当x∈（1，）时，g（x）＜g（1）＝0，不符合题意；综上所述，实数a的取值范围为[1，+∞）．…………………（16分）20．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆C：+＝1的左、右焦点．动直线l过点F2，且与椭圆C相交于A，B两点（直线l与x轴不重合）．（1）若点A的坐标为（0，），求点B坐标；（2）点M（4，0），设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2＝0；（3）求△AF1B面积最大时的直线l的方程．【解答】（1）解：∵直线l经过点F2（1，0），A（0，），∴直线l的方程为y＝﹣（x﹣1）．由，解得或．∴B（）；（2）证明：∵直线l与x轴不重合，故可设直线l的方程为x＝ty+1．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由，得（4+3t2）y2+6ty﹣9＝0，∴y1+y2＝，y1y2＝，∵A，B在直线l上，∴x1＝ty1+1，x2＝ty2+1，∴k1＝，k2＝，从而k1+k2＝＝．∵2ty1y2﹣3（y1+y2）＝2t•（）﹣3•（﹣）＝0，∴k1+k2＝0；（3）解：△AF1B的面积S＝|F1F2|•|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|＝．由（2）知，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，故S＝＝12＝＝．设函数f（x）＝9x+（x≥1）．∵f'（x）＝9﹣＞0，∴f（x）＝9x+在[1，+∞）上单调递增，∴当t2+1＝1，即t＝0时，9（t2+1）+取最小值10．即当t＝0时，△AF1B的面积取最大值，此时直线l的方程为x＝1．因此，△AF1B的面积取最大值时，直线l的方程为x＝1．。

江苏省南京市数学高二上学期文数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高二上·邯郸期末) 经过点（3，﹣）的双曲线﹣ =1，其一条渐近线方程为y= x，该双曲线的焦距为（）A .B . 2C . 2D . 42. （2分）设函数的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .3. （2分）已知命题p：设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件；命题q：“∃x0∈R，使得x02﹣x0＞0”的否定是：“∀x∈R，均有x2﹣x＜0”；在命题①p∧q；②（¬p）∨（¬q）；③p∨（¬q）；④（¬p）∨q中，真命题的序号是（）A . ①③B . ①④C . ②③D . ②④4. （2分）已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为（）A .B . 1C . 2D . 45. （2分） (2018高二上·大连期末) 设椭圆与函数的图象相交于A,B两点，点P 为椭圆C上异于A,B的动点，若直线PA的斜率取值范围是，则直线PB的斜率取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分）已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是（）A . （x≠0）B . （x≠0）C . （x≠0）D . （x≠0）7. （2分）“”是“函数在区间上为增函数”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分）已知函数，若过点且与曲线相切的切线方程为，则实数a的值是（）A . -3B . 3C . 6D . 99. （2分） (2017高二上·长春期末) 已知命题：直线与直线之间的距离不大于1，命题：椭圆与双曲线有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（）A .B .C .D .10. （2分）(2020·达县模拟) 过抛物线焦点的直线交该抛物线于点，，与抛物线的准线交于点．若点到轴距离为2，则A . 16B . 12C . 8D . 1811. （2分） (2019高二上·洮北期中) 过点P(2,2)作抛物线的弦AB,恰好被P平分，则弦AB所在的直线方程是（）A . x-y=0B . 2x-y-2=0C . x+y-4=0D . x+2y-6=012. （2分）(2017·嘉兴模拟) 如图，点F1、F2是椭圆C1的左右焦点，椭圆C1与双曲线C2的渐近线交于点P，PF1⊥PF2 ，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1、e2 ，则（）A . e22=B . e22=C . e22=D . e22=二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·东北三省模拟) F是双曲线的左焦点，过F作某一渐近线的垂线，分别与两条渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为________．14. （1分） (2015高二上·石家庄期末) 设斜率为的直线l过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F，且和x 轴交于点A，若△OAF的面积为4，则实数a的值为________．15. （1分）若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围是________．16. （1分） (2015高三上·泰州期中) 设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的________条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2017高三上·湖南月考) 如图，已知曲线，曲线的左右焦点是，，且就是的焦点，点是与的在第一象限内的公共点且，过的直线分别与曲线、交于点和．（Ⅰ）求点的坐标及的方程；（Ⅱ）若与面积分别是、，求的取值范围．18. （10分） (2017高二下·濮阳期末) 已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，其中函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性．19. （10分） (2017高一下·苏州期末) 平面直角坐标系xOy中，A（2，4），B（﹣1，2），C，D为动点，（1）若C（3，1），求平行四边形ABCD的两条对角线的长度（2）若C（a，b），且，求取得最小值时a，b的值．20. （10分） (2018高二上·榆林期末) 已知命题；命题：函数在区间上为减函数.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“ 或”为真命题，且“ 且”为假命题，求实数的取值范围.21. （5分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x（0＜x＜1），那么月平均销售量减少的百分率为x2 ．记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）．（Ⅰ）写出y与x的函数关系式；（Ⅱ）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．22. （10分）(2014·浙江理) 如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．（1）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（2）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。

江苏省南京市数学高二上学期文数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·洛阳期末) 命题“若a＞b，则ac＞bc”的逆否命题是（）A . 若a＞b，则ac≤bcB . 若ac≤bc，则a≤bC . 若ac＞bc，则a＞bD . 若a≤b，则ac≤bc2. （2分）已知函数的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为（）A . －1B . 1－log20132012C . -log20132012D . 13. （2分） (2015高二下·上饶期中) 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1 ， A2 ， B1 ， B2为椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PB2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（）A . （，1）B . （0，）C . （0，）D . （，1）4. （2分） (2015高二下·克拉玛依期中) 命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A . ∃x∈R，x2﹣x+2≥0B . ∀x∈R，x2﹣x+2≥0C . ∃x∈R，x2﹣x+2＜0D . ∀x∈R，x2﹣x+2＜05. （2分）已知函数的图象上一点及邻近一点，则等于（）A . 4B . 4+2 xC . 4+ xD .6. （2分）设抛物线，直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于,两点， S为C的准线上一点，若的面积为8，则P=（）A .B . 2C .D . 47. （2分）(2017·九江模拟) 设椭圆的左右交点分别为F1 ， F2 ，点P在椭圆上，且满足• =9，则| |•| |的值为（）A . 8B . 10C . 12D . 158. （2分）椭圆的离心率是，则双曲线的渐近线方程是（）A .B .C .D .9. （2分）设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A . 充分必要条件B . 充分而非必要条件C . 必要而非充分条件D . 既非充分也非必要条件10. （2分） (2018高二下·河南期中) 下列说法正确的是（）A . 命题“若，则”的否命题是“若，则”B . 若，则“ ”是“ ”的必要不充分条件C . 函数的最小值为D . 命题“ ，”的否定是“ ，”11. （2分） (2016高二下·龙海期中) 函数f（x）=﹣（a＜b＜1），则（）A . f（a）=f（b）B . f（a）＜f（b）C . f（a）＞f（b）D . f（a），f（b）大小关系不能确定12. （2分）若在上是减函数，则b的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·舟山期末) 给定圆P：x2+y2=2x及抛物线S：y2=4x，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次为A，B，C，D；如果线段AB，BC，CD的长度按此顺序构成一个等差数列，则直线l的方程为________14. （1分）如果质点A按照规律s=5t2运动，则在t=3时的瞬时速度为________．15. （1分） (2018高三上·西宁月考) 已知函数 . 表示中的最小值，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是________．16. （1分）(2017·海淀模拟) 抛物线y2=8x的焦点到双曲线的渐近线的距离是________．三、解答题 (共6题；共30分)17. （5分）设函数，集合M={x|f（x）＜0}，P={x|f′（x）＞0}，若M⊊P，则求实数a的取值范围．18. （5分）(2017·广西模拟) 赵州桥是当今世界上建造最早、保存最完整的我国古代单孔敞肩石拱桥（图一）．若以赵州桥跨径AB所在直线为x轴，桥的拱高OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（图二），有桥的圆拱APB所在的圆的方程为x2+（y+20.7）2=27.92 ．求|OP|．19. （5分） (2016高二上·上杭期中) 已知p：﹣x2+2x﹣m＜0对x∈R恒成立；q：x2+mx+1=0有两个正根．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．20. （5分）已知函数f（x）=在x=e上取得极值，a，t∈R，且t＞0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数g（x）=（x﹣1）•f（x）在（0，t]上的最小值；（Ⅲ）证明：对任意的x1 ，x2∈（，+∞），且x1≠x2 ，都＜t．21. （5分）(2017·黑龙江模拟) 椭圆C：过点P（，1）且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点A（﹣4，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若△AMN面积为3 ，求直线MN的方程．22. （5分） (2016高三上·山西期中) 已知函数f（x）=lnx，g（x）= ax2+bx，a≠0．（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x）﹣g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1 ，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共30分)17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、。

江苏省南京市2012-2013学年高二（上）期末数学试卷(文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答卷纸相应位置上1．（3分）复数1﹣2i (i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第四象限．考点：复数的代数表示法及其几何意义．。

专题：计算题．分析:利用复数的代数表示法及其几何意义即可得到答案．解答：解：∵z=1﹣2i的实部为1，虚部为﹣2，∴复数z=1﹣2i在复平面内表示的点Z的坐标为Z（1，﹣2）,∴点Z位于第四象限．故答案为：四．点评:本题考查代数表示法及其几何意义，属于基础题．2．(3分）已知命题p：∀x∈R，x2＞x﹣1,则¬p为∃x∈R，x2≤x﹣1 ．考点：命题的否定;全称命题．.专题:阅读型．分析：根据命题p：“∀x∈R，x2＞x﹣1"是全称命题，其否定¬p定为其对应的特称命题,由∀变∃，结论变否定即可得到答案．解答：解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题"，∴命题p：∀x∈R，x2＞x﹣1，的否定是:∃x∈R，x2≤x﹣1．故答案为：∃x∈R，x2≤x﹣1．点评：命题的否定即命题的对立面．“全称量词"与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立"与“至少有一个…不成立”;“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题"，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．3．（3分)在平面直角坐标系中,准线方程为y=4的抛物线标准的方程为x2=﹣16y ．考点：抛物线的标准方程．.专题:计算题．分析：设所求的抛物线方程为：x2=﹣2py（p＞0）,依题意，=4可求得p．解答：解：设所求的抛物线方程为：x2=﹣2py（p＞0），∵其准线方程为y=4，∴=4，∴p=8．∴抛物线标准的方程为x2=﹣16y．故答案为：x2=﹣16y．点评：本题考查抛物线的标准方程，求得x2=﹣2py（p＞0）中的p是关键，属于中档题．4．（3分）若复数z=4+3i （i为虚数单位),则|z｜= 5 ．考点：复数求模．。

一、单选题1．已知，，，则△ABC 的BC 边上的高所在的直线的方程为（ ） ()1,1A -()3,1B ()1,3C A ． B ． C ． D ．20x y ++=0x y +=20x y -+=0x y -=【答案】C【分析】根据垂直关系求出高线的斜率，利用点斜式方程求出． 【详解】边BC 所在直线的斜率， 13131BC k -==--∴BC 边上的高线斜率．1k =又∵BC 边上的高线经过点A （﹣1，1），∴BC 边上的高线方程为，即． 11y x -=+20x y -+=故选：C ．2．当点在圆上运动时，连接它与定点，线段的中点的轨迹方程是（ ） P 221x y +=()3,0Q PQ M A ． B ． ()2231x y ++=()2231x y -+=C ． D ．()222341x y -+=()222341x y ++=【答案】C【分析】设出的坐标，根据中点坐标关系用的坐标表示出的坐标，结合在圆上得到,M P M P P M 的坐标所满足的关系式，即为的轨迹方程.M 【详解】设，因为的中点为，()()00,,,M x y P x y PQ M 所以，所以，003202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩00232x x y y =-⎧⎨=⎩又因为在圆上，所以， P 221x y +=()222341x y -+=所以的轨迹方程即为， M ()222341x y -+=故选：C.3．设椭圆的左、右焦点分别为，，为直线上一点，()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P 32x a =21F PF A 是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ） 30︒C AB ．CD ．1234【答案】D【分析】由是底角为的等腰三角形，把用表示出来后可求得离心率．21F PF A 30︒212PF F F =,a c【详解】解：由题意可得，，如图，，则，212PF F F =2(,0)F c 121230PF F F PF ∠=∠=︒260PF E ∠=︒，230F PE ∠=︒所以，223222PF EF a c ⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以，∴，∴．3222a c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭34a c =34e =故选：D ．4．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线22221(0,0)y x a b a b -=>>)2的准线上，则双曲线的方程为 2x =()A ．B ．2212128x y -=2212821x y -=C ．D ．22143y x -=22134x y -=【答案】C【分析】由题意可得渐近线的斜率，即为a ，b 的关系式，再根据抛物线的准线方程解得c ，由a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到所求双曲线的方程．【详解】解：双曲线的一条渐近线过点，22221(0,0)y x a b a b-=>>)2可得渐近线的斜率为a kb ==双曲线的一个焦点在抛物线的准线上， 2x =y =可得 c =即， 227a b +=解得，2a =b =则双曲线的方程为：．22143y x -=故选C ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，以及抛物线的方程和性质，运用渐近线方程和斜率公式是解题的关键，属于基础题．5．在数列中，，（，），则数列的前n 项和取最大值时，n {}n a 120a =13n n a a -=-2n ≥*N n ∈{}n a 的值是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】A【分析】由已知得，根据等差数列的定义得数列是以20为首项，以-3为公差的13n n a a --=-{}n a 等差数列，由等差数列的通项公式求得，令，求解即可.n a 0n a ≥【详解】解：由得，又因为，所以数列是以20为首项，以-3为13n n a a -=-13n n a a --=-120a ={}n a 公差的等差数列，所以， ()20313+23n a n n =--=-令，解得：，又，所以数列的前n 项和取最大值时，n 的值是7， 3+230n a n =-≥233n ≤*N n ∈{}n a 故选：A.6．已知等比数列的前项和为，若，公比，，，则{}n a n n S 0n a >1q >3520a a +=2664a a =6S =（ ） A ． B ．C ．D ．31364863【答案】D【分析】根据等比中项的性质可得，解方程即可得数列中的项，进而可得首项与公263564a a a a ==比，求得.6S 【详解】由等比中项的性质得， 263564a a a a ==又，3520a a +=解得或，35=4=16a a ⎧⎨⎩35=16=4a a ⎧⎨⎩当时，或（舍），35=4=16a a ⎧⎨⎩=2q 2q =-当时，（舍），35=16=4a a ⎧⎨⎩12q =±所以，，35=4=16a a ⎧⎨⎩=2q此时，1=1a 所以，()()6616111263112a q S q-⨯-===--故选：D.7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ()ln f x kx x =-()1,+∞k A ． B ．C ．D ．(],2-∞-(],1-∞-[)2,∞+[)1,+∞【答案】D【详解】试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区()ln f x kx x =-()1,+∞间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是()1,+∞()1,+∞．故选D ．[)1,+∞【解析】利用导数研究函数的单调性.8．设等差数列，的前n 项和分别是，若，则 （ ） {}n a {}n b ,n n S T 237n n S nT n =+33a b =A ．1 B ．C ．D ．511221738【答案】B【分析】根据等差数列的性质和求和公式变形求解即可 【详解】因为等差数列，的前n 项和分别是，{}n a {}n b ,n n S T 所以， 1515351515355()105225()1571122a a a a a S b b b b b T ++=====+++故选：B二、多选题9．已知双曲线的左右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，M 为OA 的中点，P2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>为双曲线C 右支上一点且，且，则( ) 212PF F F ⊥123tan 4PF F ∠=A ．C 的离心率为2B ．C 的渐近线方程为0x =C ．PM 平分D ．12F PF ∠121344PA PF PF =+ 【答案】ACD【分析】在直角三角形中，利用列出关于a 、b 、c 的齐次式求出离心率，从而12PF F 123tan 4PF F ∠=判断A ；根据离心率求出渐近线方程，从而判断B ；根据是否相等即可判断PM 是否平1122PF F MPF F M、分，从而判断C ；根据、的比例关系，利用平面向量的线性运算即可表示用12F PF ∠2F A 12F F 表示，从而判断D.12PF PF 、PA 【详解】由可知，212PF F F ⊥22b PF a=由得，，22212123tan 224b PF b a PF F F Fc ac ∠====232ac b =即，即，即，∴，故A 正确；()2232ac c a =-22320e e --=()()2120e e +-=2e =由∴双曲线渐近线为，故B 错误；2b e a ==⇒=y =由，﹒ 22cc a a=⇒=b =则，，22233b a PF a a a ===12125PF PF a PF a -=⇒=∴； 125533PF a PF a ==∵，，∴， 152222a a a F M c a =+=+=232222a a aF M c a =-=-=12552332aF M a F M ==∴，∴根据角平分线的性质可知PM 平分，故C 正确； 112253PF F M PF F M==12F PF ∠，，22F A c a a a a =-=-=1224F F c a ==，故D 正确；()222212121211134444PA PF F A PF F F PF PF PF PF PF =+=+=+-=+故选：ACD ．【点睛】本题主要考查与双曲线的焦半径和焦点三角形有关的性质，考察构造关于a 、b 、c 的齐次式求离心率的方法，考察利用角平分线的性质，考察了向量的线性运算，解题时需数形结合，合理运用图形的几何关系. 10．对于函数，下列说法正确的有（ ） ln ()xf x x=A ．在处取得极大值B ．在处取得最大值()f x e x =1e()f x e x =1eC ．有两个不同零点D ．()f x ()()2(π)3f f f <<【答案】ABD【分析】对函数求导，利用函数单调性求极值和最值即可判断A 、B ，令函数等于0，求出零点即可判断C ，利用函数单调性即可判断D. 【详解】函数的导数， 21ln (),(0)xf x x x -'=>令得，()0f x '=e x =则当时，，函数为增函数， 0e x <<()0f x '>()f x 当时，，函数为减函数， e x >()0f x '<()f x 则当时，函数取得极大值，极大值为，e x =1(e)ef =故A 正确，由上述可知当时，函数的极大值即为最大值，且最大值为，e x =1(e)ef =故B 正确，由，得，得，即函数只有一个零点， ()0f x =ln 0x =1x =()f x 故C 错误， 由， ()()ln 2ln 42ln 2ln 22,42442f f ====所以，()()24f f =由时，函数为减函数，知， e x >()f x ()()()3(π)42f f f f >>=故成立， ()()2(π)3f f f <<故D 正确． 故选：ABD ．11．已知，，，依次成等比数列，且公比不为1．将此数列删去一个数后得到的数列1a 2a 3a 4a q （按原来的顺序）是等差数列，则正数的值是（ ） qA B C D ． 【答案】AB【分析】因为公比不为1，所以不能删去，，分类讨论，结合等差数列的性质及等比的通项q 1a 4a 公式，即可得到答案.【详解】公比不为1，删去的不是与， q ∴1a 4a 当删去的是时：2a ，，成等差数列，，即，1a 3a 4a 3142a a a ∴=+231112a q a a q =+则，即，又，解得；232(1)()0q q q -+-=2(1)(1)0q q q ---=1q ≠q =q )当删去的是时：3a ，，成等差数列，，即，1a 2a 4a 2142a a a ∴=+31112a q a a q =+则，即，又，解得， 3(1)()0q q q -+-=2(1)(1)0q q q -+-=1q ≠q =q =)综上，， q =q =故选：AB ．12．下列不等式正确的是（ ） A ．当时， B ．当时， x R ∈1x e x ≥+0x >ln 1≤-x x C ．当时， D ．当时，x R ∈x e ex ≥x R ∈sin x x ≥【答案】ABC【解析】构建函数，利用导数研究其单调性和最值，可得出每个选项中的不等式正不正确. 【详解】对于A ：设，则，令，解得，()1x f x e x =--()1x f x e =-'()0f x '=0x =当时函数单调递减，当时，函数单调递增，(,0)x ∈-∞(0,)x ∈+∞所以函数在时，函数取得最小值，故当时，，故A 正确；0x =()(0)0min f x f ==x R ∈1x e x +…对于B ：设，所以， ()ln 1f x x x =-+1(1)()1'--=-=x f x x x令，解得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， ()0f x '=1x =(0,1)x ∈(1,)x ∈+∞所以在时，（1），故当时，恒成立，故B 正确；1x =max ()f x f =0=0x >1lnx x -…对于C ：设，所以，令，解得，当时，函数单调()x f x e ex =-()x f x e e '=-()0f x '=1x =(,1)x ∈-∞递减，当时，函数单调递增，(1,)x ∈+∞所以当时，（1），所以当时，，故C 正确；1x =min ()f x f =0=x R ∈x e ex …对于D ：设函数，则，所以是定义在上单调递增的奇函数， ()sin f x x x =-()1cos 0f x x '=-…()f x R 所以时，成立，时，，故D 错误． 0x >sin x x …0x <()0f x <故选：ABC三、填空题13．观察数列1，，，4，，，7，，，…，则该数列的第11项等于_____ ln 2sin 3ln 5sin 6ln 8sin 9【答案】ln11【分析】由数列得出规律，该数列各项里面的数字是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，依次出现常数，对数，正弦的形式，从而得解．【详解】由数列得出规律，该数列各项里面的数字是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，依次出现常数，对数，正弦的形式，由，所以该数列的第11项为． 11332=⨯+ln11故答案为：．ln1114．若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______． 【答案】9【详解】试题分析：. 1109M M x x +=⇒=【解析】抛物线的定义．【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般都会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到轴的距离． y15．已知圆过点，，，则圆的方程为___．C (1,0)(3,0)-C【答案】22230x y x ++-=【分析】设圆的一般方程，然后将点代入组成方程组解出即可. 【详解】根据题意，设圆的方程为 220x y Dx Ey F ++++=又由圆过点，，，C(1,0)(3,0)-则有，1030930D F F D F ++=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩解可得，，， 2D =0E =3F =-即圆的方程为：， 22230x y x ++-=故答案为：.22230x y x ++-=16．设函数是奇函数的导函数．，当时，，则()f x '()()f x x R ∈()10f -=0x >()()0xf x f x '-<使得成立的的取值范围为______． ()0f x <x 【答案】()()1,01,-⋃+∞【分析】构造函数，求解单调性与奇偶性，再结合的正负求解. ()()f xg x x=(),g x x 【详解】令，当时，， ()()f xg x x =0x >()()()20xf x f x g x x '-'=<所以函数在上为减函数，()g x ()0,∞+又因为为奇函数，的定义域为， ()f x ()g x ()(),00,∞-+∞U 所以， ()()()()f x f x g x g x x x---===--所以为偶函数，得在上为增函数， ()g x ()g x (),0∞-因为，所以， ()10f -=()()110g g =-=作出的大致图象如图所示，()g x 当时，，得， ()0,0f x x <>()0g x <()1,x ∈+∞当时，，得 ()0,0f x x <<()0g x >()1,0x ∈-所以的取值范围为 x ()()1,01,-⋃+∞故答案为：()()1,01,-⋃+∞【点睛】根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.四、解答题17．已知函数 (a ，b ∈R)的图象在点处的切线方程为y ＝1. ()sin f x x ax+b -＝()()00f ，(1)实数a 的值；(2)求函数在区间上的最大值和最小值. ()f x [0]1，【答案】(1)1；(2)最大值为b ，最小值为. sin11b -+【分析】（1）直接利用导数的几何意义求出a ； （2）先利用导数判断单调性，求出最值.【详解】（1）因为函数，则. ()sin f x x ax+b -＝()cos f x x a '-＝所以.()0cos01f a a '-=-＝又函数的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1， ()f x 所以，解得：.()010f a '=-=1a =（2）由（1）知，，.()sin f x x x+b -＝()cos 1f x x '-＝在时，有，所以函数f (x )在区间上单减， ]1[0x ∈，()cos 10f x x '-≤＝[0]1，所以，.()()max 0f x f b ==()()min sin111f b x f ==-+18．已知是各项均为正数的等比数列，.{}n a 1322,216a a a ==+（1）求的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前n 项和.2log n n b a ={}n b 【答案】（1）；（2）.212n n a -=2n S n =【分析】(1)本题首先可以根据数列是等比数列将转化为，转化为，再然后将其带{}n a 3a 21a q 2a 1a q 入中，并根据数列是各项均为正数以及即可通过运算得出结果；32216a a =+{}n a 12a =(2)本题可以通过数列的通项公式以及对数的相关性质计算出数列的通项公式，再通过数列{}n a {}n b 的通项公式得知数列是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果．{}n b {}n b 【详解】(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，，，{}n a 32216a a =+12a =所以令数列的公比为，，，{}n a q 2231=2a a q q =212a a q q ==所以，解得(舍去)或，22416q q =+2q =-4所以数列是首项为、公比为的等比数列，．{}n a 24121242n n n a --=⨯=(2)因为，所以，，，2log n n b a =21n b n =-+121n b n =+12n n b b +-=所以数列是首项为、公差为的等差数列，．{}n b 1221212n n S n n +-=⨯=【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题．19．已知抛物线的焦点为，点．2:4C y x =F (4,0)P (1)设是抛物线上的动点，求的最小值；Q C ||PQ(2)过点的直线与抛物线交于、两点，若的面积为的方程．P l C M N FMN A l【答案】(1)(2)40x y ±-=【分析】（1）设，由两点间距离公式得(,)Q x y PQ =果；（2）设直线，与抛物线方程联立，结合韦达定理与面积的表达式求解即可.:4l x my =+FMN A【详解】（1）设，则，(,)Q x y PQ ==当时，2x =min ||PQ =（2）设直线，，，焦点．:4l x my =+11(,)M x y 22(,)N x y (1,0)F 联立，消去得， 244x my y x=+⎧⎨=⎩x 24160y my --=，．124y y m ∴+=1216y y =-121·2FMN S PF y y ∴=-=△===，1m ∴=±直线的方程为：．∴l 40x y ±-=20．已知点在双曲线上． (2,1)A 2222:1(1)1x y C a a a -=>-(1)求双曲线的方程；(2)是否存在过点的直线l 与双曲线相交于A ,B 两点，且满足P 是线段的中点？若存11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭AB 在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 2212x y -=(2)不存在，理由见解析【分析】（1）代入点的坐标，解方程可得的值，即可得双曲线方程；(2,1)A a （2）假设存在，设过的直线方程为：，，两点的坐标为，，11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭1(1)2y k x =--A B 1(x 1)y 2(x ，，代入双曲线方程，再相减，运用平方差公式和中点坐标公式，及斜率公式，即可得到所求2)y 直线的斜率，进而得到直线方程，代入双曲线方程，检验判别式即可判断．【详解】（1）解：已知点在双曲线上 (2,1)A 2222:1(1)1x y C a a a -=>-所以，整理得：，解得：，则221114a a -=-42440a a -+=22a =a =所以双曲线方程为：. 2212x y -=（2）解：由题可知若直线存在则直线的斜率存在，故设直线的方程为： l l 1(1)2y k x =--且设交点1122(,),(,)A x y B x y 则 ，两式相间得： 22112222=12=12x y x y --⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩()()()()121212122x x x x y y y y -+=-+由于为中点，则 11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭AB 12122,1x x y y +=+=-则 12121y y k x x -==--即有直线的方程：，即 l 1(1)2y x =---12y x =-+ 2221=+224+5=0=12y x x x x y -⇒--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩检验判别式为，方程无实根． ()24425240∆=--⨯⨯=-<故不存在过点的直线与该双曲线相交A ,B 两点，且满足P 是线段的中点. 11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭l AB 21．设为等差数列的前项和，已知，．n S {}n a n 59a =525S =(1)求数列的通项公式；{}n a (2)记，为数列的前项和，求的取值范围． 11n n n b a a +=n T {}n b n n T 【答案】(1)()*21N n a n n =-∈(2) 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项公式列出方程组解出等差数列的首项和公差即可； n （2）先求出数列的通项公式，然后利用裂项相减法求和，在根据数列的单调性求出的取值{}n b n T 范围.【详解】（1）等差数列中，，，{}n a 59a = 525S =， ∴1149545252a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得，，11a =2d =． ()*21N n a n n ∴=-∈（2）， 11n n n b a a += ， ()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭ 111111123352121n T n n ⎛⎫∴=-+-++- ⎪-+⎝⎭ ， 11(122121n n n =-=++由于为递增数列， 11212n n n=++时，取得最小值，且， 1n =131121221n n n=<++则， 1132n T ≤<故的取值范围为：. n T 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭22．已知函数． ()()()21ln 1R 2f x x ax a x a =+-+∈(1)当时，求函数的极值；2a =()y f x =(2)求当时，函数在区间上的最小值；0a >()y f x =[1,e]()Q a (3)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明：． x 21()2f x ax =12,x x a 212e x x ⋅>【答案】(1)极大值为，极小值为 5ln 24--2-(2) 2111e (1)e,02e 11()ln 1,12e 11,12a a a Q a a a a a a ⎧+-+<≤⎪⎪⎪=---<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩(3)，证明见解析 111ea -<<-【分析】（1）求导，根据函数的单调性和极值的概念即可得到结果；（2）由函数的定义域是，分为，和四种情况，进行分类讨()f x (0,)+∞10,01a a ><≤11e a<<1e a ≥论即可求出结果；（3）根据题意和函数的单调性，结合函数的图象可知，当时，有两个不111e a -<<-()212f x ax =同实根，满足，，两式化简得到，不妨设12,x x ()11ln 1x a x =+()22ln 1x a x =+12122211ln ln x x x x x x x x +=-12x x <，利用分析证明法和换元法即可证明结果． 【详解】（1）当时，函数．2a =2()ln 3(0)f x x x x x =+->， 1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=令，得或 ()0f x '=1x =12x =当时，，在上单调递增， 1(0,)2x ∈()0f x '>()f x 1(0,)2当时，，在上单调递减， 1(,1)2x ∈()0f x '<()f x 1(,1)2当时，，在上单调递增，(1,)x ∈+∞()0f x '>()f x (1,)+∞则在处取得极大值，在处取得极小值． ()f x 12x =1x =极大值为，极小值为． 15(ln 224f =--(1)2f =-（2）函数的定义域是，()f x [1,e]． 1()(1)1()(1)(0)a x x a f x ax a a x x--'=+-+=>当时，令有两个解，或． 0a >()0f x '=1x =1x a =当，即时，，在上单调递减， 10ea <≤1e a ≥()0f x '≤()f x ∴[1,e]在上的最小值是， ()f x ∴[1,e](e)f 211e (1)e 2a a =+-+当，即时， 11ea <<11e a <<当时，，在上单调递减， 1(1,x a ∈()0f x '<()f x ∴1(1,)a当时，，在上单调递增， 1(,e)x a ∈()0f x '>()f x ∴1(,e)a在上的最小值是， ()f x ∴[1,e]11()ln 12f a a a=---当，即时，，，在上单调递增， 1a ≥101a <≤[1,e]x ∈()0f x '≥()f x ∴[1,e]在上的最小值是． ()f x ∴[1,e](1)f 112a =--综上，． 2111e (1)e,02e 11()ln 1,12e 11,12a a a Q a a a a a a ⎧+-+<≤⎪⎪⎪=---<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩（3）关于的方程有两个不同实根，即有两个不同实根， x 21()2f x ax =12,x x ln (1)0x a x -+=12,x x 得，令，， ln 1x a x +=ln ()(0)x g x x x=>21ln ()x g x x -'=令，得，()0g x '=e x =当时，，在上单调递增， (0,e)x ∈()0g x '>()g x ∴(0,e)当时，，在上单调递减， (e,)x ∈+∞()0g x '<()g x ∴(e,)+∞时，取得最大值，且，当时， e x ∴=()gx 1e(1)g 0=1x >()0g x >得的大致图象如下： ()g x． 11(0,)ea ∴+∈即当时，有两个不同实根． 111e a -<<-21()2f x ax =12,x x 两根满足，，11ln (1)x a x =+22ln (1)x a x =+两式相加得：，两式相减得：， 1212ln()(1)()x x a x x =++2211ln (1)()x a x x x =+-上述两式相除得． 12122211ln()ln x x x x x x x x +=-不妨设，要证：，12x x <212e x x ⋅>只需证：， 12212211ln()ln 2x x x x x x x x +=>-即证， 22211212112(1)2()ln 1x x x x x x x x x x -->=++设，令， 211x t x =>2(1)4()ln ln 211t F t t t t t -=-=+-++则， 22214(1)()0(1)(1)t F t t t t t '-=-=>++函数在上单调递增，且． ∴()F t (1,)+∞(1)F 0=，即，． ()0F t ∴>2(1)ln 1t t t ->+212e x x >⋅∴。