第五章9课时等积变形

等积变形教学目标：通过立体分析与讲解，学生懂得生活中的等积变形，提高学生的解题能力。

学情分析：学生在已有长、正方体体积的知识基础上进行教学。

重、难点：学生真正理解等积变形的道理。

教学过程：这两天我们一直研究什么知识？今天我们继续研究长、正方体的知识。

（1）老师这有块橡皮泥，它的体积是多少？我把他捏成什么体? 体积是？又变成了什么体？体积是？你有什么想说的？（在这个过程中，什么变了？什么没变？）像这种"形变体积不变"可以概括为? 板书"等积变形"。

初步理解“等积变形”：同一块橡皮说明什么？不同形状的物体又说明什么？（2）老师这有四个棱长1分米的正方体，你知道老师要问什么吗？可以拼成哪些形状？拼前的四个正方体与拼后的形体，什么变了？什么不变？为什么体积不变？这也是?交流：在这两个实验中，“等积变形”中的等积具体是指什么？“变形”又具体指的是什么呢？）（3）在生活中像这样“等积变形”的事例还有吗？铺路问题。

熔铸问题。

完全浸入问题。

同一个液体放在不同的容器中。

（将一个饮料瓶中的饮料倒入另一些不同形状的饮料瓶中。

）看来在生活中等积变形的事例还挺多，是否能帮助我们解决数学问题呢？下面就来看一道题：例1、用160立方米的沙子铺一条长50米，宽40米的路，可以铺多少厘米厚？例2、将棱长分别为6厘米和8厘米的两个正方体铁块熔铸成一个长方体，已知这个长方体的长是13厘米，宽是7厘米，它的高是多少厘米？为什么体积不变？与前面的例子有何不同？与它不同于橡皮泥捏东西、多个正方体摆成长方体。

固态还是固态，而这道题先把固态变成液态，在转化成固态。

就如生活中金子转化。

讨论交流：“等积”与“变形”分别是什么？6×6×6=216（立方厘米） 8×8×8=512（立方厘米） 216+512=728（立方厘米） 728÷13÷7=8（厘米）例3、一个封闭的长方体容器,长30cm,宽20cm,高10cm,里面装有6cm深的水,小强不小心将这个长方体容器朝后推倒了,这时容器中的水深是多少厘米？问：这是什么意思？讨论交流：“等积”与“变形”分别是什么？30×20×6÷(30×10)=12cm例题4、有一个长6分米、宽4分米、高3.5分米的水缸中水深3分米，小明把西瓜放在水里，西瓜完全被水淹没。

奥数-教学教案
授课时间：年月日备课时间年月日年级五课程类别课时学生姓名
授课主题三角形等积变形授课教师
教学目标理解和掌握三角形形状变化但是面积不变
教学
重难点
理解三角形形状变化但是面积不变
教学方法讲练结合
教学过程1、课程导入/错题讲解：
点
拨
教学过程2.知识点讲解
学
习
札
记
教学过程
3、例题分析：
1、如图所示三角形ABC，D为AC上一点，CD=2AD。

问：三角形ABC的面积是三角形
ADB的几倍？方法与技巧
2.如图平行四边形ABCD，E为AB中点，F为DB中点。

已知三角形BEF面积为4平方厘米，问：平行四边形ABCD面积是多少平方厘米？
教学过程4、随堂练习
小
提
本课小结
及下节预告。

“等积变形”教学设计市二小曾凤梅教学内容:小学数学几何初步知识教学中，关于等体积的物体之间相互转化的规律以及应用规律解决有关的实际问题。

教学目标：1.使学生会计算在积不变的情况下，已知其中一个乘数求另一个乘数的方法。

2.使学生明白在物体的形状的转变中，面积不变的规律。

3.运用等积变形的思想正确寻找题目中的等量关系。

4.正确运用等积变形的思想解决生活中的实际问题。

教学重点：明白等积变形的数学思想，会运用等积变形的思想正确寻找题目中的等量关系应用规律解决实际问题。

教具准备：西沃课件平板电脑教学过程：●激趣导入。

曹冲称象。

同学们今天我们学习“等积变形”，你能结合我们学过的数学知识用“积”组词吗？乘积，面积体积容积●利用乘积初步了解等积变形的思想。

4×6=3×（）为什么填8呢？因为4×6和3×8的积相等2×（）=（）×（）这道题可以怎样填？列举学生的方法：2×6和3×4 2×8和4×4 2×9和3×6 同学们做了这么多种方法这些方法都有什么共同点？(积相等)你觉得什么叫等积变形？等积变形就是两道算式的积相等。

等积变形就是两个乘数变了，但是积没有变。

●利用面积深入研究等积变形的思想。

1、图中长方形的面积是40平方厘米，长是8厘米，求平行四边形的底。

为什么用40÷8因为这长方形和平行四边形的面积相等，平行四边形的面积和长方形的面积相等，平行四边形的底就是长方形的宽，平行四边形的高就是长方形的长，用长方形的面积除以长方形的长求出长方形的宽，也就是平行四边形的底。

1.一个三角形和一个平行四边形底和面积都相等，平行四边形的高是20厘米，三角形的高是（）厘米。

我们可以通过假设法：假设三角形和平行四边形的面积为100平方厘米，那么平行四边形的的底=面积÷高（100÷20=5厘米），三角形的高=面积×2÷高(100×2÷5=40厘米）这时候，你能说说你对等积变形的理解吗？所谓等积变形，也就是说物体的形状变了，但面积不变。

第五讲等积变形答案方法与技巧:（1）等底等高的两个三角形面积相等。

（2）两个三角形如果有相等的底（或高），且其中一个三角形的高（或底）是另一个三角形高（或底）的若干倍，那么，这个三角形的面积是另一个三角形面积的若干倍。

【例1】如下图所示，四边形ABCD是直角梯形，两条对角线把梯形分为4个三角形，已知其中两个三角形的面积为4平方厘米和8平方厘米，求直角梯形ABCD的面积。

（18）【练习1】如图所示，三角形ABO的面积为9平方厘米，线段BO的长度是OD的3倍，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？（48）【例2】如图所示，把三角形ABC的一条边AB延长1倍至1」D点，把它的另一条边AC延长2倍到点E，得到一个较大的三角形ADE，三角形ADE面积是三角形ABC面积的多少倍？（6）【练习2】如图所示，AE=3AB, BD=2BC,4DEC的面积是^ABC面积的倍。

（4）D【例3】已知三角形ABC面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC的2倍，则阴影部分的面积是多少平方厘米？（14）【例4】如图所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ADM与三角形BCN的面积和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是多少平方厘米？（1.8）【例5】如图所示，点M、N、P、Q分别在平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，且PE//GM//CB，HN//QF//AB。

若平行四边形ABCD的面积为600平方厘米、阴影部分的面积为80平方厘米。

请问四边形MNPQ的面积为多少平方厘米？（340）【例6】如图所示，在正方形ABCD的BC边上取一动点E，以DE为边作矩形DEFG，且FG边通过点A。

在点E从点B移动到点C过程中，矩形DEFG的面积（）（E）（A）一直变大。

（B）一直变小。

（C）先变小后变大。

（D）先变大后变小。

（E）保持不变。

【练习1】如左下图，4ABC中，D、E分别为边BC、AB的中点。

若图中阴影部分面积为1,则4ABC的面积为多少？（4）【练习2】如右上图所示，图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（24）【练习3】如图，六角形的6个顶点恰好是一个正六边形的6个顶点。

等积变形问题
等积变形是指在保持图形面积不变的情况下，改变其形状或尺寸的过程。

这种变形可以通过拉伸、压缩、旋转或折叠等方式实现。

在等积变形中，每个点在变形前后的面积是相同的。

这是因为，图形面积是由其所有点的贡献相加而得到的，而在等积变形中，每个点的面积贡献是保持不变的。

举个例子，一个正方形可以通过拉伸变成一个长方形，或通过折叠变成一个菱形，但是它的面积仍然是不变的。

这种变形在数学、物理和工程学等领域中都有广泛的应用，如建筑设计、机械工程、地图制作等。

总之，等积变形是一种既有实际应用价值又有理论意义的变形方式，在保证图形面积不变的前提下，实现了形状或尺寸的改变。

学生课程讲义
两个平面图形面积相等,称为这两个图形等积.解决平面图形面积问题的主要渠道是将欲求的图形的面积转化为已经学过的基本图形的面积问题.其中三角形的等积变形的技巧是各种
等积变形的核心,都要运用到“等(同)底、等(同)高的两个三角形面积相等”这个基本规则,并由此衍生出因题而宜的种种精巧的等积变形的技巧。

【例1】计算：
如图，5-1，ABCD 是直角梯形，两条对角线把梯形分为4个三角形，已知其中两个三角形的面积为3平方厘米和6平方厘米，求直角梯形ABCD 的面积。

【例2】
其中A、B、C都是大于0且互不相同的自然数，则（A+B）÷C＝。

等积变形篇丁志浩物体的形状虽然改变了，但是其面积或体积仍然保持不变．这类问题我们可以称为等积变形问题．在等积变形问题中，变化前后的体积或面积相等，往往是列方程所需的重要的相等关系．1.面积不变问题例1将图（1）三角形纸片沿虚线叠成图（2），原三角形图（1）的面积是图（2）（粗实线图形）面积的1.5倍，已知图（2）中阴影部分的面积之和为1，求重叠部分的面积.解析：首先要看清题意，其中图（2）中粗实线图形面积就是图（3）中三个角上的小三角形面积和重叠部分面积的总和，这个题目中的等量关系我们可以从图中不难看出，就是整个三角形的面积是三个角上小三角形(从图（3）中看)面积和重叠（从图（2）中看）部分面积的总和的1.5倍.如果设重叠部分面积为x，将折叠还原后，则原三角形的面积是（2x+1），图（2）中粗实线部分面积是（x+1）,等量关系为：原三角形的面积=1.5粗实线部分面积解：设重叠部分面积为x.根据题意，得1.5(x+1)=2x+1.解得x=1.所以重叠部分的面积为1.例2如图2，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A沿着道路走到终点B，他共走了多少米？分析：如果我们直接解这个问题，这里有重复部分，是个十分麻烦问题，现在需要对这个问题转化，可以看作用一米宽的拖把把这块区域托一遍，我们以走直线方式拖地，那么拖把走过区域是长方形，长方形的宽是一定的，是一米.而长方形的长就是拖把走过路程.长方形的面积就等于回字形面积，直接就可以算出拖把走过的路程是56米.而这正是人要走的路程.这时候我们可以看到这和拖把是否走直线没有关系了，只要拖把的宽度一定，它走过的路程就定下来，就是56米.我们也可以这样来看：所有小路连在一起可以组成一个宽1米的长长的长方形，因为长方形场地“充满”了小路，所以小路的面积等于长方形场地的面积．解：设小路的总长度为x米.根据题意，得x×1=8×7．解得x=56．所以从入口A处走到终点B，至少要走56米．2.体积不变问题例3 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水，且水足够多）向一个内底面积为131× 131mm2，内高为81mm的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度下降了多少？（结果保留π）分析：因为铁盒里水是满的，所以水的体积就等于铁盒的容积.根据长方体的体积公式可以计算出水的体积是131×131×81 mm3 ，圆柱形玻璃杯中减少的的体积为圆柱的底面积乘以水下降的高度.显然玻璃杯里倒掉的水的体积和长方体铁盒里所装的水的体积相等，所以等量关系为：玻璃杯里倒掉的水的体积=长方体铁盒的容积.解：设玻璃杯中水的高度下降了xmm.根据题意，得π·(90÷2)2x=131×131×81.解得π44.686x. 经检验，它符合题意．所以玻璃杯中水的高度下降了π44.686mm.例4将一个长、宽、高分别为15厘米、12厘米和8厘米的长方体钢块锻造成一个底面（正方形）边长为12厘米的长方体零件钢坯，试问是锻造前的长方体钢块表面积大还是锻造后的长方体零件钢坯表面积大？请你进行比较．分析：锻造前长方体钢块的体积为15×12×8cm3，锻造后长方体零件钢坯体积为12×12×它的高cm3.虽然钢块的形状发生了变化，但是钢块的体积没有变化．因此可得长方钢块体的体积=长方体零件钢坯体积,如果设长方体零件钢坯高为x厘米,得15×12×8=12×12×x.显然可以算出它的高=10厘米,但问题到此并没有结束,最终要比较它们的表面积的. 锻造前长方体钢块的表面积为为2×(12×15+15×8+12×8)平方厘米,锻造后长方体零件钢坯的表面积是2×(12×12+12×10+12×10)平方厘米.解：设锻造后的长方体零件钢坯的高为x厘米.根据题意，得5×12×8=12×12×x．解得10x=．所以锻造后的长方体零件钢坯表面积为：2(121212101210)768⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）．而锻造前的长方体钢块表面积为：2(1512158128)792⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）．所以锻造前的长方体钢块表面积比锻造后的长方体零件钢坯表面积大．例5 一种圆筒状包装的，如图3所示，其规格为“20cm×60m”，经测量这筒保鲜膜的内径、外径的长分别是3.2cm、4.0cm，则这种保鲜膜的厚度约为多少厘米？（π取3.14，结果保留两位有效数字）分析：当我们把圆筒状包装的保鲜膜展开时原来的形状可以看成长方体，根据长方体的体积公式可以计算出此时的体积为20ⅹ6000ⅹ保鲜膜的厚度，需要说明的是20 cm指展开后鲜膜的宽，也是展开前圆筒状包装的高，60 m是保鲜膜展开后的长度(单位要统一).圆筒状时可以看成圆柱体，我们要注意这个圆柱是空心的，计算时不能忘了减去空心部分．展开前后形状虽然改变了，但体积不变.即圆筒状包装体积=长方体的体积.解：设这种保鲜膜的厚度为x cm.根据题意，得223.2202060002x ⎡⎤4⎛⎫⎛⎫π-=⨯⎢⎥⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．解得0.00075x≈．所以这种保鲜膜的厚度约为0.00075cm．例6 一张桌子有一个桌面和四条桌腿，做一张桌面需要木材0.03m3，做一条桌腿需要木材0.002m3，现做一批这样的桌子，恰好用去木材3.8m3，共做了多少张桌子？分析：解决这个问题关键是找出一个能表示实际问题全部意义的相等关系，我们要注意的是：一张桌子有一个桌面和四条腿，那么整张桌子所需的木材的体积是四条腿的和一个桌面的，如果设共做桌子X张，我们就容易用X表示出做桌腿所需木材的体积是4ⅹ0.002X m3 ，做桌面所需的木材的体积是0.03X m3 .因此这个问题中就有这样的相等关系：做桌面所需木材的体积+做桌腿所需木材的体积=3.8m3解：设共做了x张桌子.根据题意,得0.003x+4×0.002x=3.8.解得x=100.所以共做100张桌子.同步练习1.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？2．德鑫轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成长4.5米，外径3厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的内径是（）A． 0.25厘米 B． 2厘米C．1 厘米 D． 0.5厘米3．用直径为90 mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125 mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，当倒满铁盒时玻璃杯中的水的高度下降多少？（结果保留整数π≈3.14）4．圆柱（1）的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱（2）的底面直径为8厘米.已知圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的1.5倍，求圆柱（2）的高.5．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高（精确到1毫米，≈3.14）.6.一张圆桌由一个桌面和四条腿组成，如果1m三次方，木料可制作圆桌的桌面50个，或制桌腿300条，现有5m三次方，木料，请你设计一下，用多少木料.7.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm和8cm，高分别为16cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中.（1）倒完后，第二个容器水面的高度是多少？(2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？容器2同步练习1.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？1、分析：变形前钢坯的体积等于变形后所有圆柱形机轴的总体积2．德鑫轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成长4.5米，外径3厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的内径是（）A． 0.25厘米 B． 2厘米C．1 厘米 D． 0.5厘米3．用直径为90 mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125 mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少？（结果保留整数π≈3.14）4．圆柱（1）的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱（2）的底面直径为8厘米.已知圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的1.5倍，求圆柱（2）的高.5．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高（精确到1毫米，≈3.14）.6.一张圆桌由一个桌面和四条腿组成，如果1m三次方，木料可制作圆桌的桌面50个，或制桌腿300条，现有5m三次方，木料，请你设计一下，用多少木料.7.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm和8cm，高分别为16cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中.（1）倒完后，第二个容器水面的高度是多少？(2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？容器2。

第五章一元一次方程应用（二）知识点一：等积变形问题。

“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。

常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积。

例1：一块正方形铁皮，四角截去4个一样的小正方形，折成底面边长是50cm的无盖长方体盒子，容积是450003cm.求原来正方形铁皮的边长。

巩固练习：1、把直径6cm，长16cm的圆钢锻造成半径为4cm的圆钢。

求锻造后的圆钢的长。

2、用长7.2m的木料做成如图所示的“日”字形窗框，窗的高比宽多0.6m。

求窗的高和宽。

3、鱼儿离不开水，用一个底面半径为20厘米，高为45鱼缸的长为120厘米、宽为40厘米、高为1米，将满满一桶水倒下去，鱼缸里的水会升高多少？4、直径为30厘米，高为50厘米的圆柱形瓶里存满了饮料，现把饮料倒入底面直径为10厘米的圆柱形小杯中，刚好倒满20杯，求小杯子的高。

知识点二：市场经济、打折销售问题（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润商品成本价×100%（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原价的80%出售．例2：. 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？巩固练习：1一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？2一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是x元，那么所列方程为（）A.45%×（1+80%）x-x=50B. 80%×（1+45%）x - x = 50C. x-80%×（1+45%）x = 50D.80%×（1-45%）x - x = 503丽丽的妈妈到百盛商场给她买一件漂亮毛衣，售货员说：“这毛衣前两天打八折，今天又在八折的基础上降价10％，只卖144元，丽丽很快算出了这件毛衣的原标价，你知道是多少元吗？4.某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售，将赔25元，而按定价的九折出售，将赚20元，这种商品的定价为多少元？5.某商品的进价是2000元，标价为3000元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？知识点三：行程问题。

《立体图形的等积变形》教学设计教学目标：1、通过演示、操作、动手活动让学生理解并掌握“等积变形”的特点；2、让学生学会运用“等积变形”的特点来解决现实生活的问题。

3、在回顾旧知中，让学生沟通知识的联系，培养学生归纳、整合知识的能力。

4、培养学生运用转化的数学思想解决数学问题。

教学重点：根据“等积变形”的特点来解决实际问题。

教学难点：理解“立体图形的等积变形”的特点教学方法：直观演示法，操作发现法，设疑诱导法教具准备：圆柱、圆锥、长方体、正方体容器各一个、水、橡皮泥、电脑课件等教学过程：一、铺垫引题1、出示圆柱、圆锥、长方体、正方体，复习立体图形的体积计算公式。

2、出示“水”，说说它是什么形体？（没有固定的形状）3、教师操作演示，学生观察发现（1）教师先在圆柱形量杯里倒上水。

提问：现在的水有多少？这时的水是什么形状的？（2）教师把圆柱形量杯里的水依次倒入圆锥形、长方体、正方体容器里，学生仔细观察提问：你们发现了什么？（水的体积没变，形状改变）4、揭示课题——立体图形的等积变形5、提出学习目标提问：看着这个课题你想知道什么？教师根据回答板书：特点、方法，用处。

二、探究解决问题1、通过动手感知“立体图形的等积变形”（1）检查课前用橡皮泥制作的手工作品（2）学生用这块橡皮泥依次捏出圆柱、圆锥、长方体、正方体提问：你们感受到了什么？（橡皮泥体积不变，形状改变）（3）小结“等积变形”的特点（体积相等，形状改变）2、在解决问题中体会“立体图形的等积变形”（1）课件依次出示1—4题学生读题→找等量关系→解答→汇报（2）小结解决“等积变形”问题的方法（找等量关系→正确灵活运用体积公式）3、回顾旧知中寻找、领悟“等积变形”学生回顾、教师总结（电脑依次出示）（1）数学运算律（2）等式变形（3）排水法求不规则物体的体积（4）圆面积公式推导（5）圆柱体积公式推导4、小结“等积变形”的用途（十分广泛）5、巩固练习四、课堂总结。

一元一次方程知识点（一）、方程的有关概念1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程. 例如： 1700+50x=1800， 2（x+1.5x ）=5等都是一元一次方程. （例1）3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解. （例2）注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.（二）、等式的性质等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.等式的性质(1)用式子形式表示为：如果a=b ，那么a ±c=b ±c等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，等式的性质(2)用式子形式表示为：如果a=b ，那么ac=bc;如果a=b(c ≠0)，那么a c =b c（三）、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．（例3）（四）、去括号法则1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．（五）、解方程的一般步骤（例4）1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2. 去括号(按去括号法则和分配律)3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)4. 合并(把方程化成ax = b (a ≠0)形式)5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解x=b a). 一．列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，•是否符合实际，检验后写出答案．二、一元一次方程的实际应用1. 和、差、倍、分问题：增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.例1：兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？解：设x 年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，则x 年后兄的年龄是15+x ，弟的年龄是9+x ．（点拨：-3年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的3年，是与3•年后具有相反意义的量）2. 等积变形问题：（1）“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积.（2) 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S ·h ＝h r 2π ②长方体的体积 V ＝长×宽×高＝abc例2 将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80•毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，π≈3.14）． 解：设圆柱形水桶的高为x 毫米，依题意，得3. 工程问题：工程问题：工作量＝工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1例3. 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？解：设乙还需x 天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，(115+112)×3+x 12=1 4.行程问题：路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间（1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．例4. 甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

浙教版-7年级-上册-数学-第5章《一元一次方程》5.4一元一次方程的应用（2）等积变形问题-每日好题挑选【例1】用一个棱长为20厘米的立方体容器(已装满水)向一个长、宽、高分别是50厘米，10厘米和8厘米的长方体铁盒内倒水，当铁盒内装满水时，立方体容器中水的高度下降了。

【例2】根据图中给出的信息，可得正确的方程是。

【例3】如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，它们内部的底面积分别为80cm2，100cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲容器中的水全部倒入乙容器中，则乙容器中的水位比原先甲容器中的水位降低了8cm，则甲容器的容积为cm3。

【例4】一辆自行车换胎，若新轮胎安装在前轮，则自行车行驶2500km后报废；若新轮胎安装在后轮，则自行车行驶1500km后报废．已知自行车在行驶一定的路程后可以交换前后轮轮胎，如果通过交换前后轮轮胎使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这对新轮胎一共支撑自行车行驶了km。

【例5】如图，6位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节，圆桌半径为60cm，每人离圆桌的距离均为10cm。

现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人之间的距离与原来6人之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等．设每人向后挪动的距离为x(cm)，根据题意，可列方程。

【例6】拟有一玻璃密封器皿如图①，测得其底面直径为20cm，高为20cm，现装有蓝色溶液若干。

正放时的截面如图②，测得液面高10cm；倒放时的截面如图③，测得液面高16cm，则该玻璃密封器皿的总容量为cm3。

(结果保留π)【例7】一种圆筒状包装的保鲜膜如图所示，其规格为“20cm×60m”，经测量这筒保鲜膜的内径、外径的长分别是3.2cm, 4.0cm，则这种保鲜膜的厚度约为cm。

(结果精确到0.0001cm)【例8】爷爷病了，需要挂一瓶100mL的药液(如图所示)，小明守在旁边，观察到输液流量是3mL/min，输液10min后，吊瓶的空出部分容积是50mL，利用这些数据，计算整个吊瓶的容积是mL。

平行线等积变形是几何学中的一个重要定理，它指出：如果两条平行线与另外两条相交线构成四边形，那么这个四边形的面积等于两组对边乘积的一半。

具体来说，假设有两条平行线l1和l2，以及两条相交线m和n，它们构成了一个四边形ABCD。

根据平行线等积变形定理，我们可以将四边形ABCD分解成两个三角形ABD和BCD，它们的底分别为AB和BC，高分别为AD和DC。

由于l1//l2，所以∠ADB = ∠BDC。

又因为∠ADB + ∠BDC = 180°，所以∠ADB = ∠BDC = 90°。

因此，三角形ABD和BCD都是直角三角形。

根据直角三角形的面积公式，我们有：
S_四边形ABCD = S_三角形ABD + S_三角形BCD
= (1/2) * AB * AD + (1/2) * BC * DC
= (1/2) * (AB * AD + BC * DC)
其中，AB和BC分别是四边形ABCD的两边，AD和DC分别是三角形ABD和BCD的高。

由于l1//l2，所以AB // BC，因此ΔABD和ΔBCD是相似的。

根据相似三角形的性质，我们有：
AB/BC = AD/DC
将上式代入面积公式中，我们得到：
S_四边形ABCD = (1/2) * (AB^2/BC + BC^2/AB) * (AB*BC)^(1/2)
= (1/4) * (AB^3 + BC^3) / √(AB*BC)
这就是平行线等积变形的公式。

通过这个公式，我们可以求出任意一个由两条平行线和两条相交线构成的四边形的面积。

等积变形有一个富翁留了一块三角形的土地给两个儿子，两个儿子要求平分这块地，这可伤透了他们的脑筋，因为他们不知道怎样去测量、平分。

同学们，你们能想出多少种方法将这块土地平分成个面积相等的三角形吗？根据这个问题，你能得出什么结论？结论一：。

思维探索例1：你有什么方法将任意一个三角形分成6个面积相等的三角形？如图，把△ABC的底边BC四等分，那么甲、乙两个三角形的面积谁大，为AB的面积是多少？如果△AC的面积是,那么AAB的面积是多少?如图，已知是BC的中点，是C的中点，是AC的中点。

已知三角形的面积是平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？A思维探索例：（平行线间的等积变形）如下图，△和厶夹在一组平行线之间，且有公共底边，那么△和厶的面积关系是怎样的？结论拓展：夹在平行线间的一组同底三角形面积相等例：如图，在梯形中共有个三角形，其中面积相等的三角形有哪几对？即学即练如下图，在梯形A中，梯形A的面积是，AA的面积融会贯通例：如图，在直角三角形A中，D、E分别是A、A的中点，如果△AED的面积是即学即练如下图，在AA中，D、E是所在边的中点，如果AA的面积是,那么△DE的面积是多少？例：如图，A和DE都是长方形，A的长是厘米，的长是厘米。

那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？即学即练在边长为厘米的正方形中有一点，将点分别和四条边的中点相连，如下图，求阴影部分的面积。

练习册知识导航一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。

同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。

为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：（）等底等高的两个三角形面积相等；（）底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的的顶点是同一个点或在与底平行精彩文档如图, 是直角的直线上，这两个三角形面积相等；（）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。