高二期中试题

选择题“文变染乎世情，兴废系乎时序”。

改革开放40年来，文学总是能敏锐感应社会生活种种动向，并也在这种审美反应中及时更新自己。

这说明A.文化发展具有相对独立性B.文化能够转化为物质力量C.文化是人类社会实践的产物D.—定的文化决定—定的社会【答案】C【解析】C：改革开放40年来，文学总是能敏锐感应社会生活种种动向，并也在这种审美反应中及时更新自己。

这说明文化是人类社会实践的产物，C正确。

AB：材料强调的是文化的产生，没体现文化发展具有相对独立性，也没体现文化能够转化为物质力量，排除AB。

D：该选项夸大了文化的作用，排除D。

故本题选C。

选择题“家风好，就能家道兴旺、和顺美满；家风坏，难免殃及子孙、贻害社会。

”家庭是我们的生活共同体，是人生的第—个课堂，良好家风的熏陶对于孩子的健康成长尤为重要。

这表明A.人的精神活动离不开物质活动B.良好的家庭环境对孩子成长起决定作用C.家庭教育对孩子成长有潜移默化的作用D.良好家风对展示国家的实力具有独特作用【答案】C【解析】A：材料强调的是文化对人的影响，没体现人的精神活动离不开物质活动，排除A。

B：良好的家庭环境对孩子成长有着重要影响，但不起决定作用，B 错误。

C：良好家风的熏陶对于孩子的健康成长尤为重要，这表明家庭教育对孩子成长有潜移默化的作用，C正确。

D：该选项夸大了良好家风对国家的作用，排除D。

故本题选C。

选择题近年来，我国积极推进“互联网+现代农业”，加快构建现代农业产业体系、生产体系、经营体系，不断提高农业创新力、竞争力和全要素生产率，加快实现由农业大国向农业强国转变。

这表明①文化是人们根据自己的需要创造的②文化与经济相互影响、相互交融③文化在经济发展中的作用越来越突出④文化作为重要精神力量，同时也是物质力量A. ①②B. ③④C. ②③D. ①④【答案】C【解析】①：文化是人类社会实践的产物，人不能根据自己需要随意创造文化，①错误。

②③：题目中，我国积极推进“互联网+现代农业”，不断提高农业创新力、竞争力和全要素生产率，加快实现由农业大国向农业强国转变。

高二语文期中考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列词语中，加点字的读音全部正确的一项是：A. 箴言（zhēn）恣意（zì）踌躇（chóu）B. 蹉跎（cuō）缄默（jiān）旖旎（yǐ）C. 蹉跎（cuō）缄默（jiān）旖旎（nǐ）D. 箴言（zhēn）恣意（zì）踌躇（chú）2. 下列句子中，没有语病的一项是：A. 他不仅学习好，而且品德高尚。

B. 由于他刻苦学习，因此成绩优异。

C. 这篇文章的中心思想是歌颂劳动人民的勤劳和智慧。

D. 我们要注意防止不再发生类似的错误。

3. 下列句子中，使用了比喻修辞手法的一项是：A. 他像一只猛虎下山，勇往直前。

B. 他的心情像天气一样变化无常。

C. 她的声音如同泉水般清澈。

D. 他的行为让人难以捉摸。

4. 下列句子中，使用了拟人修辞手法的一项是：A. 春风又绿江南岸。

B. 太阳从东方升起。

C. 月亮悄悄地爬上了树梢。

D. 星星在夜空中闪烁。

5. 下列句子中，使用了排比修辞手法的一项是：A. 他勤奋学习，刻苦钻研，成绩优异。

B. 春天来了，万物复苏，大地回春。

C. 他热爱生活，热爱工作，热爱学习。

D. 他喜欢音乐，喜欢运动，喜欢阅读。

6. 下列句子中，使用了设问修辞手法的一项是：A. 我们为什么要学习？B. 学习是为了什么？C. 学习是为了提高自己。

D. 我们应该热爱学习。

7. 下列句子中，使用了反问修辞手法的一项是：A. 难道我们不应该热爱学习吗？B. 学习难道不是为了提高自己吗？C. 我们应该热爱学习。

D. 学习是为了提高自己。

8. 下列句子中，使用了夸张修辞手法的一项是：A. 他跑得比兔子还快。

B. 他学习非常认真。

C. 他的成绩很好。

D. 他非常热爱学习。

9. 下列句子中，使用了反复修辞手法的一项是：A. 他热爱学习，热爱学习，热爱学习。

B. 学习，学习，再学习。

C. 他热爱学习，热爱工作，热爱生活。

2024高二数学期中考试题及答案一、选择题（每小题3分，共计60分）1. 已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5，求f(-1)的值是多少？A) -9 B) -7 C) 7 D) 92. 若集合A={1,2,3,4}，集合B={2,3,4,5}，则A∪B的元素个数是多少？A) 4 B) 5 C) 7 D) 83. 设函数f(x)=4x-1，g(x)=2x+3，求满足f(g(x))=1的x的值。

A) 0 B) -1 C) 1 D) 24. 在等差数列an中，若a1=3，d=4，an=19，则n的值是多少？A) 4 B) 5 C) 6 D) 75. 已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度是多少？A) 5 B) 7 C) 25 D) 49二、填空题（每小题4分，共计40分）1. 若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={4,5,6,7}，则A∩B的元素个数是_________。

2. 设函数f(x)=3x+2，则f(-1)的值是_________。

3. 在等差数列an中，若a1=2，d=3，an=23，则n的值是_________。

4. 男生与女生的比例是3:5，班级总人数为80，女生人数是_________。

5. 若正方形的边长为x+2，其面积是_________。

6. 已知平行四边形的底边长为5，高为3，其面积是_________。

7. 若正方形的对角线长为10，边长是_________。

8. 设函数f(x)=x^2+2x-1，g(x)=x-1，则f(g(2))的值是_________。

9. 若直角三角形的两条直角边分别为6和8，斜边的长度是_________。

10. 设集合A={a,b,c}，集合B={c,d,e}，则A×B的元素个数是_________。

三、解答题（共计40分）1. 若函数f(x)满足f(2x-1)=2x^2-2x，则求f(x)的表达式。

2. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2-3n-4，求数列{an}的首项和前6项的和。

北京市2023—2024学年第一学期期中阶段练习高二数学（答案在最后）2023.11班级____________姓名____________学号____________本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.已知(1,3),(3,5)A B --，则直线AB 的斜率为（）A.2 B.1C.12D.不存在【答案】A 【解析】【分析】由斜率公式，可求出直线AB 的斜率.【详解】由(1,3),(3,5)A B --，可得35213AB k --==--.故选：A.2.圆222430x y x y +-++=的圆心为（）．A.(1,2)-B.(1,2)- C.(2,4)- D.(2,4)-【答案】A 【解析】【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标.【详解】由222430x y x y +-++=，得22(1)(2)2x y -++=，所以圆心为(1,2)-，故选：A3.一个椭圆的两个焦点分别是()13,0F -，()23,0F ，椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（）A.2216428x y += B.221167x y += C.221169x y += D.22143x y +=【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，故28,4a a ==，且()13,0F -，故2223,7c b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为221167x y +=.故选：B4.任意的k ∈R ，直线13kx y k -+=恒过定点（）A.()0,0 B.()0,1 C.()3,1 D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点.【详解】因为13kx y k -+=，即()31y k x =-+，所以直线13kx y k -+=恒过定点()3,1.故选：C.5.已知圆221:1C x y +=与圆222:870C x y x +-+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.外切【答案】D 【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，得到12124C C r r ==+，得到两圆外切.【详解】圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =，圆()22222:87049C x y x x y +-+=⇒-+=，故圆心()24,0C ，半径为23r =，则12124C C r r ==+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是外切.故选：D6.过点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与圆2214x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角取值范围是（）A.π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.5π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可.【详解】易知圆的半径为12，圆心为原点，当倾斜角为π2时，即直线l 方程为12x =-，此时直线l 与圆相切满足题意；当斜率存在时，不妨设直线l方程为122y k x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则圆心到其距离为12d =≤，解不等式得33k ≤-，所以直线l 的倾斜角取值范围为π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：A7.“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出当12l l //时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】当12l l //时，()34a a -=，即2340a a --=，解得1a =-或4.当1a =-时，直线1l 的方程为430x y -+=，直线2l 的方程为420x y -+=，此时12l l //；当4a =时，直线1l 的方程为304x y +-=，直线2l 的方程为20x y ++=，此时12l l //.因为{}1-{}1,4-，因此，“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行”的充分不必要条件.故选：A.8.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，2BAD π∠=，113BAA A AD π∠=∠=，则11AB AD ⋅=（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】()()21111111AB AD AB AA AD AA AB AD AB AA AD AA AA ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+ 211110222228,22AB AD ⇒⋅=+⨯⨯+⨯⨯+= 故选：B9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点()2,0A ，()1,2B ，且AC BC =，则△ABC 的欧拉线的方程为（）A.240x y --=B.240x y +-=C.4210x y ++=D.2410x y -+=【答案】D 【解析】【分析】由题设条件求出AB 垂直平分线的方程，且△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合欧拉线的定义，即垂直平分线即为欧拉线.【详解】由题设，可得20212AB k -==--，且AB 中点为3(,1)2，∴AB 垂直平分线的斜率112AB k k =-=，故垂直平分线方程为131()12224x y x =-+=+，∵AC BC =，则△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线的方程为2410x y -+=.故选：D10.曲线33:1C x y +=.给出下列结论:①曲线C 关于原点对称;②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1;③曲线C 只经过2个整点(即横､纵坐标均为整数的点).其中,所有正确结论的序号是A.①② B.②C.②③D.③【答案】C 【解析】【分析】将(),x y --代入，化简后可确定①的真假性.对x 分成0,0,01,1,1x x x x x <=<<=>等5种情况进行分类讨论，得出221x y +≥，由此判断曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线C 的两个整点()()0,1,1,0，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确.【详解】①，将(),x y --代入曲线33:1C x y +=，得331x y +=-，与原方程不相等，所以曲线C 不关于原点对称，故①错误.②，对于曲线33:1C x y +=，由于331y x =-，所以y =，所以对于任意一个x ，只有唯一确定的y和它对应.函数y =是单调递减函数.当0x =时，有唯一确定的1y =；当1x =时，有唯一确定的0y =.所以曲线C 过点()()0,1,1,0，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于1.当0x <时，1y >，所以221x y +>>.当1x >时，0y <，所以221x y +>>.当01x <<时，01y <<，且()()()()223322221110x y x y x y x x y y -+=+-+=-+-<，所以221x y +>>.综上所述，曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.③，由②的分析可知，曲线C 过点()()0,1,1,0，这是两个整点.由331x y +=可得()331x y -=-，当0x ≠且1x ≠时，若x 为整数，31x -必定不是某个整数的三次方根，所以曲线C 只经过两个整点.故③正确.综上所述，正确的为②③.故选：C【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．.11.已知空间()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，a b ⊥ ，则b ＝_____．【答案】【解析】【分析】根据空间向量的垂直，根据数量积的坐标表示，建立方程，结合模长公式，可得答案.【详解】由a b ⊥ ，且()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，则860a b x ⋅=-++=r r ，解得2x =，故b =r.故答案为：12.已知过点(0,2)的直线l 的方向向量为(1,6)，点(,)A a b 在直线l 上，则满足条件的一组,a b 的值依次为__________．【答案】1；8【解析】【分析】根据方向向量设出直线l 的方程，再由点(0,2)求出其方程，从而得出62b a =+，即可得出答案.【详解】直线l 的方向向量为(1,6)，可设直线l 的方程为60x y C -+=因为点(0,2)在直线l 上，所以2C =，即直线l 为620x y -+=所以620a b -+=，即62b a =+可取1a =，则8b =故答案为：1；813.在正方体ABCD A B C D -''''中，E 是C D ''的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为______.【答案】10【解析】【分析】利用正方体的特征构造平行线，利用勾股定理及余弦定理解三角形即可.【详解】如图所示，取A B ''的中点F ，易得//AF DE ，则FAC ∠或其补角为所求角，不妨设正方体棱长为2，则,3,AF FC FC AC '====，由余弦定理知：222cos 210AF AC FC FAC AF AC +-∠==⋅，则FAC ∠为锐角，即异面直线DE 与AC 所成角.故答案为：1010.14.将一张坐标纸对折，如果点()0,m 与点()()2,22m m -≠重合，则点()4,1-与点______重合.【答案】()1,2--【解析】【分析】先求线段AB 的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可.【详解】已知点()0,A m 与点()2,2B m -，可知线段AB 的中点为1,122mm M ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，且212AB mk m -==--，则线段AB 的中垂线的斜率1k =，则线段AB 的中垂线方程为1122m m y x ⎛⎫⎛⎫-+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20x y -+=，设点()4,1-关于直线20x y -+=的对称点为(),a b ，则114412022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩，所以所求点为()1,2--.故答案为：()1,2--.15.给定两个不共线的空间向量a 与b，定义叉乘运算：a b ⨯ .规定：（i ）a b ⨯ 为同时与a，b垂直的向量；（ii ）a，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图1）；（iii ）sin ,a b a b a b ⨯=.如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =.给出下列四个结论：①1AB AD AA ⨯= ；②AB AD AD AB ⨯=⨯；③()111AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ ；④()11111ABCD A B C D V AB AD CC -=⨯⋅.其中，正确结论的序号是______________.【答案】①③④【解析】【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案．【详解】解： ||||||sin902214AB AD AB AD ⨯=︒=⨯⨯=，且1AA 分别与,AB AD 垂直，∴1AB AD AA ⨯= ，故①正确；由题意，1AB AD AA ⨯= ，1AD AB A A ⨯=，故②错误；AB AD AC +=，∴11|()|||41AB AD AA AC AA +⨯=⨯=⨯= 且1()AB AD AA +⨯ 与DB 共线同向， 1||2418AB AA ⨯=⨯⨯= ，1AB AA ⨯ 与DA 共线同向，1||2418AD AA ⨯=⨯⨯= ，1AD AA ⨯ 与DB共线同向，11||AB AA AD AA ∴⨯+⨯= 11AB AA AD AA ⨯+⨯ 与DB共线同向，故③正确；11()||||||sin90cos022416AB AD CC AB AD CC ⨯=⨯⨯︒⨯︒=⨯⨯=，故④成立．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答案．．．写在答题纸中相应位置上．．．．．．．．．．．.16.在平面直角坐标系中，已知(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，线段AC 的中点M ；（1）求过M 点和直线BC 平行的直线方程；（2）求BC 边的高线所在直线方程．【答案】（1）3170x y -+=（2）30x y +=【解析】【分析】（1）根据(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，求得点M 的坐标，和直线直线BC 的斜率，写出直线方程；（2）根据13BC k =，得到BC 边的高线的斜率，写出直线方程；【小问1详解】解：因为(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，所以()1,6M ，13BC k =，所以过M 点和直线BC 平行的直线方程为()1613y x -=-，即3170x y -+=；【小问2详解】因为13BC k =，所以BC 边的高线的斜率为-3，所以BC 边的高线所在直线方程()933y x -=-+，即30x y +=17.如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1BB 的中点.（1）求证：1//BC 平面1AED ；（2）求点1A 到平面1AED 的距离；（3）直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）43（3）23【解析】【分析】（1）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点1A 到平面1AED 的距离；（3）利用空间向量法可求得直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【小问1详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，故四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，因为1BC ⊄平面1AED ，1AD ⊂平面1AED ，因此，1//BC 平面1AED .【小问2详解】解：以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()0,2,1E 、()12,0,2D ，所以，()10,0,2AA = ，()12,0,2AD = ，()0,2,1AE = ，设平面1AED 的法向量为(),,n x y z = ，则122020n AD x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2z =-，可得()2,1,2n =- ，所以，点1A 到平面1AED 的距离为143AA n d n⋅== .【小问3详解】解：因为11142cos ,233AA n AA n AA n ⋅<>===⨯⋅ ，因此，直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值为23.18.已知圆C 的圆心在直线20x y -=上，且与x 轴相切于点()1,0.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 直线:0l x y m -+=交于A ，B 两点，____，求m 的值.从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：圆C 被直线l 分成两段圆弧，其弧长比为2:1；条件②：2AB =；条件③：90ACB ∠=︒.【答案】（1）()()22124x y -+-=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用几何关系求出圆心的坐标即可；（2）任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可.【小问1详解】设圆心坐标为(),C a b ，半径为r .由圆C 的圆心在直线20x y -=上，知：2a b =.又 圆C 与x 轴相切于点()1,0，1a ∴=，2b =，则02r b =-=.∴圆C 圆心坐标为()1,2，则圆C 的方程为()()22124x y -+-=【小问2详解】如果选择条件①：120ACB ∠=°，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离1cos 60d CA =⨯= ，则1d ==，解得1m +或1+.如果选择条件②和③：AB =，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离d =，则d ==，解得1m =-或3.如果选择条件③：90ACB ∠=︒，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离cos 45d CA ⨯== ，则d ==，解得1m =-或3.19.如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，,90,2,3,BC AD PAB PA AB AD BC m ∠=︒==== ，E 是PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PBC ；（2）若二面角C AE D --的余弦值是33，求m 的值；（3）若2m =，在线段A 上是否存在一点F ，使得PF CE ⊥．若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）推导出⊥BC 平面PAB ．,AE BC AE PB ⊥⊥．由此能证明AE ⊥平面PBC ;（2）建立空间直角坐标系A xyz -，利用向量法能求出m 的值;（3）设()()0,0,03F t t ≤≤，当2m =，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE ==-- ，由PF CE ⊥知，0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,从而在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．【小问1详解】证明：因为AD ⊥平面PAB ，BC AD ∥,所以⊥BC 平面PAB ,又因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．在PAB 中，PA AB =，E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．又因为BC PB B = ,,BC PB ⊂平面PBC ,所以AE ⊥平面PBC ．【小问2详解】因为AD ⊥平面PAB ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以,AD AB AD PA ⊥⊥,又因为PA AB ⊥,所以如图建立空间直角坐标系A xyz -．则()()()()()()0,0,0,0,2,0,0,2,,1,1,0,2,0,0,0,0,3A B C m E P D ,则()0,2,AC m = ，()1,1,0AE = ，设平面AEC 的法向量为 =s s ．则00AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即200y mz x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z m =，故21,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥,又AE PB ⊥,,,AD AE A AD AE ⋂=⊂平面AED ,所以PB ⊥平面AED ．又因为()2,2,0PB =- ，所以取平面AED 的法向量为()2,2,0PB =-所以cos ,3n PB n PB n PB⋅== ，3=，解得21m =．又因为0m >，所以1m =；【小问3详解】结论：不存在．理由如下：证明：设()()0,0,03F t t ≤≤．当2m =时，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE =-=-- ，由PF CE ⊥知0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,所以在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．20.已知圆()22:1C x a y -+=与直线1y x --=交于M 、N 两点，点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为13-.（1）求a 的值及MON △的面积；（2）若圆C 与x 轴交于,A B 两点，点Q 是圆C 上异于,A B 的任意一点，直线QA 、QB 分别交:4l x =-于,R S 两点.当点Q 变化时，以RS 为直径的圆是否过圆C 内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）12,2MON a S =-=（2）()4-【解析】【分析】（1）先确定直线OP 的方程，联立直线方程求得P 点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得a ，再根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可；（2）设QA 方程，含参表示QB 方程，求出,R S 坐标，从而求出以RS 为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可.【小问1详解】由题知：直线OP 方程为13y x =-，则由113y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩，得到3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 点P 为线段MN 的中点，MN PC ∴⊥，即1021132MN PC k k a -⋅=-⨯=-+，2a ∴=-，即圆心−2,0；C ∴到直线=1y x --距离为2d ==，MN ∴==，又O 到直线=1y x --的距离为22，MN 边上的高为22.11222MON S ∴=⨯= .【小问2详解】由上可知()()3,0,1,0A B --,不妨设直线QA 的方程为()3y k x =+，其中0k ≠，在直线QA 的方程中，令4x =-，可得()4,R k --，因为QA QB ⊥，则直线QB 的方程为()11y x k =-+，在直线QB 的方程中，令4x =-，可得3y k =，即点34,S k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则线段RS 的中点为234,2k F k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径平方为2232k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以，以线段MN 为直径的圆的方程为()2222233422k k x y k k ⎛⎫⎛⎫-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2223430k x y y k -++--=，由()2430031x y x ⎧+-=⎪=⎨⎪-<<-⎩，解得40x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，因此，当点Q 变化时，以RS 为直径的圆恒过圆C内的定点()4-+.21.已知{}1,2,,n S = ，A S ⊆，{}12,T t t S =⊆，记{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，用X 表示有限集合X 的元素个数.（1）若4n =，12A A =∅ ，分别指出{}1,2,3A =和{}1,2,4A =时，集合T 的情况（直接写出结论）；（2）若6n =，12A A =∅ ，求12A A ⋃的最大值；（3）若7n =，4A =，则对于任意的A ，是否都存在T ，使得12A A =∅ 说明理由.【答案】（1）{}1,4（2）10（3）不一定存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知得12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，当{}1,2,3A =时，12t t ，相差3；由此可求得T ，当{}1,2,4A =时，同理可得；（2）若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当{}2,3,4,5,6A =时，则12t t ，相差5，所以{}1,6T =，A 中至多有5个元素，所以12,A A 也至多有5个元素，求出12,A A 得出结果；（3）举反例{}1,2,5,7A =和{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，根据题意检验即可说明.【小问1详解】若12A A =∅ ，则12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，否则12t a t b +=+，12A A ⋂≠∅，若4n =，当{}1,2,3A =时，211-=，312-=，所以121,2t t -≠，则1t ，2t 相差3，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以{}1,4T =；当{}1,2,4A =时，211-=，422-=，413-=，所以121,2,3t t -≠，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以T 不存在；【小问2详解】若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当A S =时，211-=，514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，所以A S ≠，121,2,3,4,5t t -≠，所以T 不存在；所以A 中至多有5个元素；当{}2,3,4,5,6A =时，321-=，422-=，523-=，624-=，所以121,2,3,4t t -≠，则1t ，2t 相差5，所以{}1,6T =；{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，所以{}1345,6,7A =,,，{}28910,11,12A =,,，{}12345,6,7,8910,11,12A A = ,,,,.因为A 中至多有5个元素，所以1A ，2A 也至多有5个元素，所以12A A ⋃的最大值为10.【小问3详解】不一定存在，理由如下：例如{}1,2,5,7A =，则211-=514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，则1t ，2t 相差不可能1，2，3，4，5，6，这与{}{}12,1,2,3,4,5,6,7T t t =⊆矛盾，故不都存在T ；例如{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，不妨令121,6t t ==，则{}{}122,3,4,5,7,8,9,10A A ==，满足12A A =∅ .【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题.。

深圳中学2023-2024学年度第一学期期中考试试题年级：高二科目：数学注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效。

选择题作答必须用2B 铅笔，修改时用橡皮擦干净。

一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分）1．在等差数列{}n a 中，4820a a +=，712a =，则4a =（ ） A ．4B ．5C ．6D ．82．在等比数列{}n a 中，若52a =，387a a a =，则{}n a 的公比q =（ ）A B ．2C ．D ．43．已知两条直线1l ：350x y +−=和2l ：0x ay −=相互垂直，则a =（ ） A ．13B ．13−C ．3−D ．34．已知椭圆C 的一个焦点为(1,0，且过点(，则椭圆C 的标准方程为（）A ．22123x y +=B ．22143x y +=C ．22132x y +=D ．22134x y +=5．在等比数列{}n a 中，24334a a a =，且652a a =，则{}n a 的前6项和为（ ） A ．22B ．24C ．21D ．276．已知F 是双曲线C ：2213x y −=的一个焦点，点P 在C 的渐近线上，O 是坐标原点，2OF PF =，则△OPF 的面积为（ ）A ．1B C D ．127．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为()1,0F c −、()2,0F c ，若椭圆C 上存在一点P ，使得12PF F ∆的内切圆的半径为2c，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．30,5B ．40,5C ．3,15D ．4,158．已知双曲线C ：22221x y a b−=（0a >，0b >），点B 的坐标为()0,b ，若C 上的任意一点P 都满足PB b ≥，则C 的离心率取值范围是（ ）A ．B ．+∞C ．(D ．)+∞二、多项选择题（共4小题，每小题均有多个选项符合题意，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，51a =，则（ ） A ．222a a +=B ．371a a =C ．99S =D ．1010S =10，已知圆M ：22430x y x +−+=，则下列说法正确的是（ ） A ．点()4,0在随M 内 B ．圆M 关于320x y +−=对称CD ．直线0x −=与圆M 相切11．已知双曲线22221x y a b−=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过点F 且斜率为k （0k ≠）的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D ．若AB ≥（ ）A ．23BCD 12．若数列{}n a 满足121a a ==，12n n n a a a −−=+（3n ≥），则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以n a 为边长的正方形中的扇形面积为n b ，数列{}n b 的前n 项和为n S ．则下列说法正确的是（ ）：A ．821a =B ．2023a 是奇数C ．24620222023a a a a a ++++=D ．2023202320244s a a π=⋅三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）13．数列{}n a 的通项公式n a =，若9n S =，则n = ．14．已知直线l ：y x =被圆C ：()()22231x y r −+−=（0r >）截得的弦长为2，则r = ． 15．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右两焦点分别是1F 、2F ，其中122F F c =．椭圆C 上存在一点A ，满足2124AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是 ．16．已知A ，B 分别是椭圆E ：22143x y +=的左、右顶点，C ，D 是椭圆上异于A ，B 的两点，若直线AC ，BD的斜率1k ，2k 满足122k k =，则直线CD 过定点，定点坐标为 ．四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分）17．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()2214x y ++=与圆2C ：()22310x y +−=相交于P ，Q 两点． （1）求线段PQ 的长；（2）记圆1C 与x 轴正半轴交于点M ，点N 在圆2C 上滑动，求2MNC ∆面积最大时的直线MN 的方程． 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，{}n b 为等比数列，且11b =，0n b >，2210b S +=，53253S b a =+，*n N ∈． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．19．已知半径为3的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4370x y −+=相切． （1）求圆的方程；（2）设直线420ax y a −+−=与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点()3,1P −？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．20．在平面直角坐标系xOy 中，圆1O ：()2221x y ++=，圆2O ：()2221x y −+=，点()1,0H ，一动圆M 与圆1O 内切、与圆2O 外切． （1）求动圆圆心M 的轨迹方程E ；（2）是否存在一条过定点的动直线l ，与（1）中的轨迹E 交于A 、B 两点，并且满足HA ⊥HB ？若存在，请找出定点；若不存在，请说明理由．21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且44a =，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，113b =，且()n n S T =．（1）求n T ； （2令nn na cb =，求正整数n ，使得“11n n n c c c −+=+”与“n c 是1n c −，1n c +的等差中项”同时成立； （3）设27n n d a =+，()()112nn nn n d e d d +−+=，求数列{}n e 的前2n 项和2n Y ．22．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F，12F F =P 为椭圆C 上异于长轴端点的一个动点，O 为坐标原点，直线1PF ，PO ，2PF 分别与椭圆C 交于另外三点M ，Q ，N ，当P 为椭圆上顶点时，有112PF F M =．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求12POF POF PQMPQNs s s s ∆∆∆∆+的最大值。

2022-2023学年河南省驻马店市高二下学期期中数学试题一、单选题1．等比数列的前项和为，且，， 成等差数列，若，则{}n a n n S 14a 22a 3a 11a =4s =A ．7B ．8C ．15D ．16【答案】C【详解】试题分析：由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n 项和公式．【解析】1．等比数列通项公式及前n 项和公式；2．等差中项．2．已知能够被15整除，则的一个可能取值是（ ）202274a +a A ．1B ．2C ．0D ．1-【答案】D【分析】利用二项展开式写出，由展开式可知需要能被15整除，结合选项可得答案.202274a +1a +【详解】,()20220202212021220202021202220222022202220222022751C 75C 75C 75C 75C a a-+=-+-⋅⋅⋅-++75能够被15整除，要使原式能够被15整除，则需要能被15整除，将选项逐个检验可知的1a +a 一个可能取值是，其他选项均不符合题意，1-故选：D3．已知，若直线：与直线：平行，则它们之间的距离为a<01l 210ax y ++=2l ()140x a y ++-=（ ）A B C D 【答案】A【分析】根据题意结合两直线平行求得，再代入两平行线间距离公式运算求解.2a =-【详解】若直线：与直线：平行，则，解得1l 210ax y ++=2l ()140x a y ++-=()120a a +-=或，1a =2a =-当时，直线：与直线：平行；1a =1l 210x y ++=2l 240x y +-=当时，直线：与直线：平行；2a =-1l2210x y --=2l 40x y --=综上所述：若直线与直线平行，则或.1l2l 1a =2a =-∵，则，此时直线：，直线：，a<02a =-1l2210x y --=2l 2280x y --=故直线、之间的距离.1l 2ld 故选：A.4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题．现有这样一个问题：将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ）{}n a 10a =A ．55B ．49C ．43D ．37【答案】A【分析】由条件写出通项公式，即可求解.【详解】正整数中既能被3除余1且被2除余1的数，即被6除余1，那么，有.()11665n a n n =+-⨯=-1055a =故选：A5．设抛物线的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上位于第一象限内的一点，过P 作l 的垂线，26y x =垂足为Q ，若直线QF 的倾斜角为，则（ ）120︒PF =A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】B【分析】根据几何图形，结合抛物线的定义的性质，即可判断.【详解】依题意，，，，π3QFH ∠=3HF =QH =6QF =又，，则为等边三角形，有，PF QP =π3PQF ∠=PQF △6PF =故选：B6．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）（ ）A ．寸B ．2寸C ．寸D ．3寸5373【答案】C【分析】由题意求得盆中水的上地面半径，代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口面积得答案．【详解】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为18寸，下底面半径为6寸，高为18寸．积水深9寸，水面半径为寸，∴1(186)122+=则盆中水的体积为（立方寸）．221π9(612612)756π3⨯⨯++⨯=平地降雨量等于（寸．∴2756π7π183=⨯)故选：C ．7．已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则()0,+∞()f x ()f x '()()0xf x f x '-<()54f =的解集为（ ）()54f x x<A ．B ．C ．D ．()0,4()4,+∞()5,+∞()0,5【答案】C【分析】根据给定不等式构造函数，借助导数确定函数的单调性，再解不等式作()()0xf x f x '-<答.【详解】令，，因为，则，()()f x g x x =()0,+x ∞∈()()0xf x f x '-<()()2()0xf x f x g x x '-'=<因此函数在上单调递减，则，解得，()g x ()0,∞+()45()4()(5)5f x f x x g x g x <⇔<⇔<5x >所以的解集为.()54f x x<()5,+∞故选：C8．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，若是“斐波那契数{}n a 列”，则的值为（ ）.()()()222132243354a aa a a a a a a ---⋅⋅⋅()2202020222021a a a -A ．B ．1C ．D ．21-2-【答案】B【解析】由已知数列的特点依次求出，，，的值，发现这些数依次为2132a a a -2243a a a -2354a a a -⋅⋅⋅，进而可求出答案1,1,1,1,1,1---⋅⋅⋅⋅【详解】由题设可知，斐波那契数列为：{}n a 1,1,2,3,5,8,⋅⋅⋅⋅⋅⋅其特点为：前两个数为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，由此可知：，213221211a a a =⨯-=-，232241321a a a =⨯-=--，235422531a a a =⨯-=-，452263851a a a -=⨯-=-，22020202220211a a a -=-则()()()222132243202020222021a a a a a a a a a --⋅⋅⋅⋅⋅⋅-.()1010101011=⨯-1=故选：B.二、多选题9．袋中装有除颜色外完全相同的3个红球和6个白球，从袋中一次抓出2个球，记事件A =“两球同色”，事件B =“两球异色”，事件C =“至少有一红球”，则（ ）A ．事件A 与事件B 是对立事件B ．事件A 与事件B 是相互独立事件C ．D ．()()P A P B =()712P C =【答案】ACD【分析】由对立事件的定义可判断A 选项；利用独立事件的定义可判断B 选项；由古典概型的概率公式求解判断C 选项；利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可判断D 选项．【详解】对于A 选项，由对立事件的定义可知，事件A 、B 互为对立事件，A 对；对于B 选项，，，，显然，故B 不正确；()0P AB =()0P A >()0P B >()()()P A P B P AB ≠对于C 选项，，，所以，故C 正确；()223629C C 1C 2P A +==()113629C C 1C 2P B ==()()P A P B =对于D 选项，，故D 正确，()1120363629C C C C 7C 12P C +==故选：ACD ．10．函数f (x )＝b （x -a ）2（x -b ）的图象可以是（）A ．B ．C ．D ．【答案】BC【分析】首先根据解析式确定零点类型，再结合图象，判断选项.【详解】由函数解析式可知，是不变号零点，是变号零点，a b A.由图可知，变号零点是0，则，则，不成立，故A 错误；0b =()0f x =B.由图可知，变号零点小于0，不变号零点为0，则，此时，当，0,0b a <=()()2f x b x b x =-x b <，当，，当时，，满足图象，故B 正确；()0f x >0b x <<()0f x <0x >()0f x <C.由图可知，，，当时，，当时，0b a >>()()()2f x b x b x a =--x a <()0f x <a x b <<，当时，，满足图象，故C 正确；()0f x <x b >()0f x >D.由图可知，，，当时，，与图象不符，所以D 错误.0a b <<()()()2f x b x b x a =--x a <()0f x >故选：BC11．在平行六面体中，已知，1111ABCD A B C D -1111,60AB AD AA A AB A AD BAD ∠∠∠======则下列说法错误的是（ ）A ．为中点，为中点，则与为异面直线E 11C D F 11B C DE BFB ．线段1A C C ．为中点，则平面M 1AA 1A C BDMD ．直线与平面1A C ABCD 【答案】ABD【分析】利用棱台的定义判断A ，利用空间向量的数量积运算律求解B,利用线面平行的判定定理判断C ，利用线面角的定义判断D.【详解】对于A ，如图，连接， 为中点，为中点，,,EF DE BF E 11C DF 11B C由图可知，且11,,22EC DC FC BC ////11,,22EC DC FC BC ==设则重合，11,,DE CC G BF CC H ⋂=⋂=111,C G C H CC G H ==⇒即与相交，故A 错误；DE BF 对于B ，因为，1111,60AB AD AA A AB A AD BAD ∠∠∠====== 所以，22211AB AD AA === 11111cos 60,2AB AD AB AA AD AA ︒⋅=⋅=⋅=⨯⨯= 所以222111()A A C AB AA C AD ==+- 222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅-⋅-⋅ 1111112,=+++--=所以故B 错误；21A C = 因为为中点，连接交于点，M 1AA AC BD O 再连接，,,OM BM DM 则在中，，1△ACA 1A C OM∥平面，平面,1A C ⊄BDM OM ⊂BDM 所以平面，C 正确；1A C BDM 对于D:在平行六面体中，1111ABCD A B C D -四边形是菱形，则,ABCD AC BD ⊥又,()11110BD AA AD AB AA AD AA AB AA ⋅=-⋅=⋅-⋅= 所以，平面，1BD AA ⊥11,,AC AA A AC AA ⋂=⊂1ACA 所以平面，BD ⊥1ACA 又因为平面，BD ⊂ABCD 所以平面平面，1ACA ⊥ABCD 过点作于点，1A 1A P AC ⊥P 平面平面，1ACAABCD AC =平面所以平面，1A P ⊂1,ACA 1A P ⊥ABCD 所以直线与平面所成角为，1A C ABCD 1A CA ∠AC AB =+= 所以,22211AA A C AC+=所以，所以，故D 错误；11AA A C⊥11sin AA A CA AC ∠==故选:ABD.12．已知直线l ：y =kx +m 与椭圆交于A ，B 两点，点F 为椭圆C 的下焦点，则下列结22:134x y C +=论正确的是（ ）A ．当时，，使得1m =k ∃∈R ||||3FA FB +=B ．当时，，1m =k ∀∈R ||2FA FB +> C ．当时，，使得1k =m ∃∈R 11||||2FA FB +=D ．当时，，1k =m ∀∈R 6||5FA FB +≥【答案】BCD【分析】对于A ，将直线的方程与椭圆方程联立，求出的取值范围，可求得的取值l ABFA FB+ 范围，可判断A 选项；求出线段中点的轨迹方程，可求得的取值范围，可判断B 选项；AB FA FB+ 将直线的方程与椭圆方程联立，利用弦长公式结合可求得的取值范围，可判断C l 0∆>FA FB+ 选项；求出线段中点的轨迹方程，可求得的最小值，可判断D 选项.AB FA FB+【详解】在椭圆中，，，，C 2a =b 1c =由题意可得，上焦点记为，()0,1F -()01F ,'对于A 选项，设点、，()11,A x y ()22,B x y 联立可得，2214312y kx x y =+⎧⎨+=⎩()2234690k x kx ++-=，()()22236363414410k k k ∆=++=+>由韦达定理可得，，122634kx x k +=-+122934x x k =-+()2212134k k +==+，[)2443,434k =-∈+所以，，故A 错误；(]484,5FA FB a AB AB +=-=-∈对于B 选项，设线段的中点为，AB (),M x y 由题意可得，两式作差可得，22112222134134x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22221212034x x y y --+=因为直线的斜率存在，则，所以，，AB 12x x ≠121212122423y y y y y k x x x x x -+⋅=⋅=--+整理可得，又因为，消去可得，其中，43ky x =-1y kx =+k 224330x y y +-=0y >所以，，()()()()11221212,1,1,22,22FA FB x y x yx x y yx y +=+++=+++=+所以，FA +== ，故B 正确；2=>对于C 选项，当时，直线的方程为，即，1k =l y x m =+x y m =-联立可得，224312x y m x y =-⎧⎨+=⎩22784120y my m -+-=，解得()()2226428412162130m m m ∆=--=->m <<由韦达定理可得，，1287my y +=2124127m y y -=，11222y y ===+同理，所以，，222y FB =+ 124444427y y mFA FB ⎛++=+=+∈ ⎝ 因为，所以，当时，，使得，故C 正确；11442⎛∈ ⎝1k =m ∃∈R 112FA FB +=对于D 选项，设线段的中点为，AB (),M x y 由B 选项可知，，即，即，121212122423y y y y y x x x x x-+⋅==--+43y x=-430x y +=由可得的横坐标的取值范围是，22434312y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩x =M ⎛ ⎝而点到直线的距离为，F 430xy +=35d ==由可得，当且仅当点时，430314x y y x +=⎧⎪⎨=-⎪⎩1225x ⎛=∈ ⎝1216,2525M ⎛⎫- ⎪⎝⎭取最小值，故D 正确.FA FB+ 65故选：BCD【点睛】方法点睛:圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略:(1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围;(2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;(3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围;(4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围;(5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.三、填空题13．已知直线与曲线相切，则m 的值为______．32y x m =-1ln 2y x x =+【答案】1【分析】求出函数的导数，设切点为，利用导数的几何意义求出切点坐标，代1ln 2y x x =+00(,)x y 入切线方程，即可求得答案.【详解】由题意，可得，1ln 2y x x=+112y x '=+直线与曲线相切，设切点为，32y x m =-1ln 2y x x=+00(,)x y 则，则，00113,122x x +=∴=00011ln 22y x x =+=即切点为，将该点坐标代入，可得，1(1,)232y x m =-1m =故答案为：114．某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一X ()2110,10N 个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，ξ90110ξ<≤A 80100ξ<≤B 则在事件发生的条件下事件发生的概率______．（结果用分数表示）A B ()P B A =附参考数据：；；()0.68P X μσμσ-<≤+=()220.95P X μσμσ-<≤+=．()330.99P X μσμσ-<≤+=【答案】2795【分析】计算出和，然后利用条件概率公式可得出的值.()P AB ()P A ()()()P AB P B A P A =【详解】由题意可知，，事件为，，，110μ=10σ=AB 90100ξ<≤902μσ=- 100μσ=-所以，()()()901002P AB P P ξμσξμσ=<≤=-<≤-，()()220.950.682722200P X P X μσμμσμσσ-<≤+-=+=-<≤-=，()()()()95901102222200P A P P P X ξμσξμμσμσ=<≤=-<≤=-≤+=<由条件概率公式得，故答案为.()()()27200272009595P AB P B A P A ==⋅=2795【点睛】本题考查条件概率的计算，同时也考查了正态分布原则计算概率，解题时要将相应的3σ事件转化为正态分布事件，充分利用正态密度曲线的对称性计算，考查计算能力，属于中等题.15．函数的最小值为______．()|1|ln f x x x=--【答案】0【分析】求出函数定义域，对分段去绝对值，当时，分析函数的单调性；当时，利用x 01x < 1x >导数分析函数的单调性并求最小值，即可得到的最小值．()f x 【详解】解：函数的定义域为．()|1|ln f x x x=--(0,)+∞当时，，此时函数在上为减函数，01x < ()1ln f x x x=--()f x (]0,1当时，，1x >()|1|ln 1ln f x x x x x=--=--则，所以在上单调递增，11()10x f x x x -'=-=>()f x ()1,+∞在上是连续函数，()f x (0,)+∞当时，单调递减，当时，单调递增．∴(]0,1x ∈()f x ()1,x ∈+∞()f x 当时取得最小值为．∴1x =()f x ()()min 111ln10f x f ==--=故答案为：0．16．已知函数，数列满足，给出下列两个()[)32(0),1,f x x mx m x ∞=-+>∈+{}n a (),N n a f n n +=∈条件：①函数是递减函数；②数列是递减数列.试写出一个满足条件②但不满足条件①()f x {}n a 的函数的解析式：__________.()f x ()f x =【答案】（答案不唯一，均可）322x x -+37,23m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【分析】若函数是递减函数，则恒成立，由此可得不是递减函数的条件为()f x ()0f x '≤()f x ，后结合任意，函数，，可得满足题意的的范围.32m >1n ≥N n +∈()()1f n f n +<m 【详解】若函数是递减函数，则在恒成立.()f x ()0f x '≤[)1,x ∞∈+则.()m 2in 333320222x x f x x mx m m ⎛⎫'=-+≤⇒≤⇒≤= ⎪⎝⎭则若在上不是递减函数，可得；()f x [)1,x ∞∈+32m >数列是递减数列，等价于对任意，函数，，{}n a 1n ≥N n +∈()()1f n f n +<又，，则在上单调递减.()233f x x x m ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭213m >()f x 23,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭则可使满足：，则取即可满足②，不满足①.m ()()2233731482312mm m m m f f ⎧<<⎧⎪⇒⇒<<⎨⎨->-⎩⎪>⎩2m =故答案为：（答案不唯一，均可）322x x -+37,23m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭四、解答题17．已知函数，.()()322113f x x ax a x b =-+-+(),R a b ∈(1)若为的极小值点，求的值；1x =()f x a (2)若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值.()y f x =()()1,1f 30x y +-=()f x []2,4-【答案】(1)0a =(2)8【分析】（1）求导，根据导数判断极值情况，进而确定参数值；（2）求导，根据导数的几何意义可得切线方程，进而确定参数值及最值情况.【详解】（1），()()322113f x x ax a x b =-+-+则，()2221f x x ax a '=-+-为的极小值点，1x = ()f x ，解得或，()2120f a a '∴=-=0a =2当时，，0a =()21f x x '=-令，解得，()210f x x '=-=1x =±x(),1-∞-1-()1,1-1()1,+∞()f x '+0-+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增此时是的极小值点；1x =()f x 当时，，2a =()243f x x x =-+'令，解得或，()2430f x x x '=-+=1x =3x =x(),1-∞1()1,33()3,+∞()f x '+0-+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增此时是的极大值点，不成立；1x =()f x 所以；0a =（2）在上，()()1,1f 30x y +-=，()12f ∴=在上，()1,2∴()y f x =，21213a a b=-+-+∴又，()11f '=-，21211a a ∴-+-=-解得，，1a =83b =，，()321833f x x x ∴=-+()22f x x x '=-令，解得或，()220f x x x '=-=0x =2x =x[)2,0-0()0,22(]2,4()f x '+0-+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增，，，，()803f =()423f =()24f -=-()48f =所以函数在区间上的最大值为．()f x []2,4-818．已知数列，满足：，，.{}n a {}n b 1121a b +=1342n n n b a a +=-13224nn n a b b +=-(1)求证：数列是等比数列；{}2n n a b +(2)若___________（从下列三个条件中任选一个），求数列的前项和.①；②{}n a n n S 1121a b -=；③.218b =-2221a b -=【答案】(1)证明见解析(2)2122n n n S +=-【详解】（1）证明：因为，1133,24224n n n n n n b a a a b b ++=-=-所以，()113312242242n n n n n n n n b a a b a b a b +++=-+-=+所以，112122n n nn a b a b +++=+又因为，所以数列是首项为1公比为的等比数列；1121a b +={}2nn a b +12（2）由（1）知，1122n n n a b -+=又因为，1133224224n n n n n n n nb a a b a b a b ++-=--+=-所以数列为常数列.{}2n n a b -若选条件①或③，均可得，21n n a b -=所以，所以.1122n n a =+2122nn n S +=-若选②，因为，所以，又因为，2113,2824nn n a b b b +=-=-11311244b a -=-1121a b +=所以，所以，所以，所以.111,0a b ==1121a b -=1122n n a =+2122nn n S +=-19．已知四棱锥中，平面，，，，P ABCD -PA ⊥ABCD AD BC ∥BC AB ⊥12AB AD BC ==，BD =PD =(1)求直线与平面所成角的正弦值；PC PBD (2)线段上是否存在一点M ，使得平面？若存在，请指出点M 的位置；若不存在，请PB CM ⊥PBD 说明理由．【答案】(1)49(2)不存在点M ，理由见解析【分析】（1）求出相关线段的长，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面的一个法PBD 向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案；（2）假设存在满足条件的点M ，表示出其坐标，利用向量的垂直列出方程，根据方程解的情况可得出结论.【详解】（1）因为，BC ⊥AB ，所以AD ⊥A B ．AD BC ∥又因为，，所以 ．12AB AD BC ==BD =1,2AB AD BC ===因为平面，平面，平面，PA ⊥ABCD AB ⊂ABCD AD ⊂ABCD所以．又．,PA AB PA AD ⊥⊥PD =2PA ==以A 为坐标原点，以所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,,AB AD AP则，，，．(1,0,0)B (1,2,0)C (0,1,0)D (0,0,2)P所以，，．(1,2,2)PC =-(1,1,0)BD =- (1,0,2)BP =- 设平面的法向量为，PBD (,,)n x y z =则，即，得，00BD n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩12y x z x =⎧⎪⎨=⎪⎩令，可得平面的一个法向量为．2x =PBD (2,2,1)n =设直线与平面所成的角为，，PC PBD θπ[0,]2θ∈则，4sin |cos ,9PC n θ=〈〉= 所以直线与平面所成角的正弦值为．PC PBD 49另解：如图，连接AC ．因为，BC ⊥AB ，所以AD ⊥AB ．AD BC ∥因为，，所以．12AB AD BC ==BD =1,2AB AD BC ===因为BC ⊥AB ，所以AC ==因为平面，平面，平面，平面，PA ⊥ABCD AB ⊂ABCD AC ⊂ABCD AD ⊂ABCD 所以．,,PA AB PA AC PA AD ⊥⊥⊥因为，所以，2PA ==3PC ==PB ==所以，．1322PBDS ==△1121122BCD S BC AB =⨯⨯=⨯⨯=△设点C 到平面的距离为h ，PBD 由，得，即，解得．P BDC C PBD V V --=1133BCD PBD PA S h S ⨯⨯=⨯⨯△△11321332h ⨯⨯=⨯⨯43h =设直线 与平面所成的角为，，则．PC PBD θπ[0,2θ∈4sin 9h PC θ==所以直线与平面所成角的正弦值为．PC PBD 49（2）不存在点M ，理由如下：假设存在满足条件的点M （如图）．可设，，所以，(,0,2)BM BP λλλ==-[0,1]λ∈(1,0,2)M λλ-所以．(,2,2)CM λλ=--又由（1）知为平面的一个法向量，所以，(2,2,1)n = PBD CM n ∥即，无解．22221λλ--==所以线段PB 上不存在满足条件的点M ．另解：不存在点M ，理由如下：假设存在满足条件的点M ，由平面，平面，平面，得，且，CM ⊥PBD PB ⊂PBD BD ⊂PBD CM PB ⊥CM BD ⊥因为平面，平面，所以．PA ⊥ABCD BC ⊂ABCD PA BC ⊥因为，且，平面，平面，BC AB ⊥PA AB A = PA ⊂PAB AB ⊂PAB 所以平面．又平面，所以．BC ⊥PAB PB ⊂PAB BC PB ⊥若存在满足条件的点M ，则点M 必与点B 重合．又与不垂直，所以线段上不存在满足条件的点M ．BC BD PB 20．区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术．区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2018年至2022年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列．现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表：年份20182019202020212022编号x12345企业总数量y （单位：千个）2.1563.7278.30524.27936.224(1)根据表中数据判断，与（其中e ＝2.71828…为自然对数的底数），哪一个回归方y a bx =+e dxy c =程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）(2)根据（1）的结果，求关于的回归方程；（结果精确到小数点后第三位）y x 附：线性回归方程中，，ˆˆˆybx a =+1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑ˆˆay bx =-参考数据：，，，ln z y = 5140.457i i i x z ==∑52155i i x ==∑5511113, 2.19655i i i i x x z z ======∑∑(3)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛，比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲133512公司获得“优胜公司”的概率最大？【答案】(1)适宜e dxy c =(2)0.7520.060ˆe x y -=(3)甲公司获得“优胜公司”的概率最大【分析】（1）根据增加速度逐渐变快即可得解；（2）对两边取自然对数，得，转化为线性相关，再利用最小二乘法求出线性e dxy c =ln ln y c dx =+回归方程，再转化为关于的回归方程即可；y x （3）对于首场比赛的选择分A ：甲与乙先赛；B ：甲与丙先赛；C ：丙与乙先赛，三种情况讨论，分别求出对应概率，即可得出结论.【详解】（1）根据表中数据可知增加的速度逐渐变快，所以回归方程适宜预测未来几年我国区块链企业总数量；e dxy c =（2）对两边取自然对数，得，e dxy c =ln ln y c dx =+令，得,ln ,ln ˆˆˆ,z y a c b d === z a bx =+ 由于，，，5140.457i i i x z ==∑52155i i x ==∑5511113, 2.19655i i i i x x z z ======∑∑则，12221540.45753 2.1960.75255535ˆni ii nii x y x zb xx ==-⋅-⨯⨯==≈-⨯-∑∑，ˆˆ 2.1960.75230.060a z bx =-=-⨯=-∴关于的回归直线方程为，z x ˆ0.7520.060zx =-则关于的回归方程为；y x 0.7520.060ˆe x y -=（3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：A ：甲与乙先赛；B ：甲与丙先赛；C ：丙与乙先赛，由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，133512则甲公司获胜的概率分别是，131311113113()111353523325345P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯⨯+-⨯-⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31311331139()111535325523525P B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯-⨯+-⨯⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1311131()12532355P C ⎛⎫=-⨯⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭由于，913125455>>∴甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大．21．过点的动直线与双曲线交于两点，当与轴平行时，()4,2l ()2222:10,0x y E a b a b -=>>,M N l x与轴平行时，MN =l y MN =(1)求双曲线的标准方程；E (2)点是直线上一定点，设直线的斜率分别为，若为定值，求点的坐P 1y x =+,PM PN 12,k k 12k k P 标．【答案】(1)22144x y -=(2)()3,4P 【分析】（1）根据与坐标轴平行的情况可得双曲线上的点的坐标，代入双曲线方程即可求得结果；l（2）方法一：由三点共线可整理得到，代入双曲线方程可整理得到()()12124121x x y y λλλλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩，结合两点连线斜率公式可化简得到22122y x λ=-+，根据为常数可构造方程求得，进而得到()()()022002002022001231212223422x y x x x y x x x x y x x x k k ⎛⎫-+-- ⎪-+⎝⎭=⋅-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭12k k 0x 点坐标，验证可知符合题意；P 方法二：设，与双曲线方程联立可得一元二次方程，根据该方程的根可()():420MN y k x k =-+≠化简得到，同理可得()()()()2220001024241x k x k x x x x --+-=---⎡⎤⎣⎦，由此可化简得到()()()()222220001022441y k k y k k y y y y -+--=---，由为常数可构造方程求得点坐标，验证可知()()()()2220012222012816448164168y k y k y y k k x x k x k x -++-+-+=-+-+-++-12k k P 当直线斜率为和斜率不存在时依然满足题意，由此可得结论.MN 0【详解】（1）由题意可知：双曲线过点，，()2222:10,0x y E a b a b-=>>()2±(4,±将其代入方程可得：，解得：，222284116121a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩2244a b ⎧=⎨=⎩双曲线的标准方程为：.∴E 22144x y -=（2）方法一：设，()()1122,,,M x y N x y 点与三点共线，， ()4,2,M N 12122244y y x x --∴=--（其中，），，()()12124422x x y y λλ⎧-=-⎪∴⎨-=-⎪⎩R λ∈0λ≠()()12124121x x y y λλλλ⎧=+-⎪∴⎨=+-⎪⎩，又，()()222241214x y λλλλ⎡⎤⎡⎤∴+--+-=⎣⎦⎣⎦22224x y -=整理可得：，()()2212420x y λλλλ--+-=当时，，，不合题意；1λ=12x x =12y y =当时，由得：，1λ≠222420x y λλλ-+-=22122y x λ=-+设，则，()00,P x y 001y x =+()()102012102011y x y x k k x x x x -+-+∴⋅=⋅--()()()22220202202220222211243222y y x x x y x y x x x y x x ⎛⎫-+--++ ⎪-+⎝⎭=⋅-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭，()()()0220020020220031212223422x y x x x y x x x x y x x x ⎛⎫-+-- ⎪-+⎝⎭=⋅-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭若为定值，则根据约分可得：且，解得：；12k k 000121x x x --=-00114222x x x --=--03x =当时，，此时；03x =()3,4P 22122226441322x y k k x y --=⋅=--当时，为定值.∴()3,4P 124k k =方法二：设，直线，()()()112200,,,,,M x y N x y P x y ()():420MN y k x k =-+≠由得：，()22424y k x x y ⎧=-+⎨-=⎩()224240x k x ⎡⎤--+-=⎣⎦为方程的两根，12,x x ()224240x k x ⎡⎤--+-=⎣⎦，()()()()222124241x k x k x x x x ⎡⎤∴--+-=---⎣⎦则，()()()()2220001024241x k x k x x x x --+-=---⎡⎤⎣⎦由得：，()42y k x =-+24y x k -=+由可得：，22244y x k x y -⎧=+⎪⎨⎪-=⎩222440y y k -⎛⎫+--= ⎪⎝⎭同理可得：，()()()()222220001022441y k k y k k y y y y -+--=---则()()()()()()()()()()201020102122121211k y y y y y y y y k k x x x x k x x x x -----==-----()()2222002200244424y k k y k x k x -+--=--+-⎡⎤⎣⎦，()()()()2220222012816448164168y k y k y y x x k x k x -++-+-+=-+-+-++-若为定值，则必有，12k k 22000022000012816448164168y y y y x x x x -+--+==-+--+-解得：或或，0034x y =⎧⎨=⎩00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又点在直线上，点坐标为；P 1y x =+∴P ()3,4当直线斜率为时，坐标为，若，MN 0,M N ()2±()3,4P此时；124k k ==当直线斜率不存在时，坐标为，若，MN ,M N (4,±()3,4P此时；124k k ==综上所述：当时，为定值.()3,4P 124k k =【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线中的定点定值问题的求解，本题求解的基本思路是能够利用直线与双曲线相交的位置关系确定两交点横纵坐标所满足的等量关系，进而通过等量关系化简所求的，根据为常数来构造方程求得定点的坐标.12k k 12k k 22．已知函数．()ln 2R af x x a x =+-∈()(1)讨论的单调性；()f x (2)若方程有两个不同的实数根，求的取值范围．()2af x ax x =+a 【答案】(1)答案见解析(2)510,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）对求导，分类讨论和时的正负，即可得出的单调性；()f x 0a ≤0a >()f x '()f x （2）解法一：“方程有两个不同的实数根”等价于“函数有两个零()2af x ax x =+()2ln 2g x x ax =--点”．对求导，讨论的单调性和最值，即可得出答案；解法二：由方程得()g x ()g x ()2a f x ax x =+，转化为与的图象有两个交点，对求导，得出的单调性和2ln 2x a x -=()2ln 2x k x x -=y a =()k x ()k x最值即可得出答案.【详解】（1）由条件知，，()2211x af x a x x x -⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭0x >当时，在上恒成立，所以在单调递增．0a ≤()0f x ¢>()0,∞+()f x ()0,∞+当时，令，得，令，得，0a >()0f x '<x a <()0f x ¢>x a >所以在上单调递减，在上单调递增．()f x ()0,a (),a +∞（2）解法一：由方程得，“方程有两个不同的实数根”()2a f x ax x =+2ln 20x ax --=()2a f x ax x =+等价于“函数有两个零点”．()2ln 2g x x ax =--，．()21122ax g x ax x x -='=-0x >①当时，，在上是增函数，最多只有一个零点，不符合题意；0a ≤()0g x '>()g x ()0,∞+②当时，由得0a >()0g x '=x =当时，，在上单调递增，当，在0x <<()0g x '>()g x ⎛ ⎝x>()0g x '<()g x 上单调递减．⎫+∞⎪⎭（ⅰ）若，则，最多只有一个零点；512e a ≥()502gx g ≤=≤（ⅱ）若，且，，512e a ≤52e 1>>0g >()120g a =--<所以在区间内有一个零点．()g x ⎛⎝令函数，则，．()ln 1h x x x =-+()11h x x '=-0x >当时，，在上是增函数；01x <<()0h x '>()h x ()0,1当时，，在上是减函数.1x >()0h x '<()h x ()1,+∞所以，故．()()10h x h ≤=ln1x x ≤-所以，又，1111ln 21230g a a a a ⎛⎫=--<--=-< ⎪⎝⎭1a>所以在区间内有一个零点．()gx 1a ⎫⎪⎭综上可知：当时，有两个零点，即方程有两个不同的实数根，5102e a <<()g x ()2a f x ax x =+故a 的取值范围为．510,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭解法二：由方程得．()2af x ax x =+2ln 2x a x -=设函数，则，．()2ln 2x k x x -=()()24312ln 252ln x x x x x k x x x ⋅---=='0x >令，得，设，()0k x '=52e x =520ex =则当时，，当时，，00x x <<()0k x '>0x x >()0k x '<所以在上单调递增，在上单调递减，()k x ()00,x ()0,x +∞所以的极大值也就是最大值为，()k x ()0512e k x =且当，x 趋近于0时，趋近于负无穷，当趋近于正无穷时，，且趋近于0x >()k x x ()0k x >()k x 0．方程有两个不同的实数根，转化为直线与的图象有两个交点，()2af x ax x =+y a =()y k x =结合函数图象可知a 的取值范围是．510,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

2023北京高二（上）期中语文（答案在最后）2023．11．610：30-12：30本试卷共8页，100分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案作答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，请将答题卡上交，自己保存试卷，以备讲评之用。

一、本大题共4小题，共9分。

阅读下面材料，完成下面小题。

材料一：汉以后，先秦诸子百家中，唯有儒、道两家长期共存，互相竞争，互相吸收，形成中国传统文化中一条纵贯始终的基本发展线索。

在中国传统文化的多元成分中，儒家和道家是主要的两极，形成鲜明的对立和有效的互补。

两者由于处处相反，因而能够相辅相成，给予整个中国传统文化以深刻的影响。

儒家的人生观，以成就道德人格和救世事业为价值取向，内以修身，充实仁德，外以济民，治国平天下，这便是内圣外王之道。

其人生态度是积极进取的，对社会现实强烈关切并有着历史使命感，以天下为己任，对同类和他人有不可自已的同情，“己所不欲，勿施于人”，“己欲立而立人，己欲达而达人”，“达则兼济天下，穷则独善其身”，不与浊俗同流合污，在生命与理想发生不可兼得的矛盾时，宁可杀身成仁，舍生取义，以成就自己的道德人生。

道家的人生观，以超越世俗人际关系网的羁绊，获得个人内心平静自在为价值取向，既反对心为形役，逐外物而不反，又不关心社会事业的奋斗成功，只要各自顺任自然之性而不相扰，必然自为而相因，成就和谐宁静的社会。

其人生态度消极自保，以免祸全生为最低目标，以各安其性命为最高目标。

或隐于山林，或陷于朗市，有明显的出世倾向。

儒家的出类拔萃者为志士仁人，道家的典型人物为清修隐者。

儒道两家的气象不同，大儒的气象似乎可以用“刚健中正”四字表示，就是道德高尚、彬彬有礼、从容中道、和而不同等，凡事皆能观研深究，以求合理、合时、合情，可谓为曲践乎仁义，足以代表儒家的态度。

道家高士的气象似可用“涵虚脱俗”四字表示，就是内敛不露、清静自守、质朴无华、超然自得等，富于诗意，富于山林隐逸和潇洒超脱的风味。

蚌埠2023-2024学年第一学期期中检测试卷高二数学（答案在最后）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若直线l 的一个方向向量为(-，求直线的倾斜角（）A.π3B.π6C.2π3D.5π6【答案】C 【解析】【分析】求出直线斜率，进而求出直线倾斜角即得.【详解】直线l 的一个方向向量为(-，则直线l 斜率为，所以直线l 的倾斜角为2π3.故选：C2.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，已知PA a = ，PB b = ，PC c = ，12PE PD = ，则BE = （）A.131222a b c -+B.111222a b c-+C.131222a b c ++D.113222a b c -+【答案】A 【解析】【分析】利用空间向量加法法则直接求解．【详解】连接BD ，如图，则()()()1111122222BE BP BD PB BA BC PB PA PB PC PB =+=-++=-+-+-()11131131222222222PB PA PB PC PA PB PC a b c=-+-+=-+=-+故选：A ．3.已知点A 与点(1,2)B 关于直线30x y ++=对称，则点A 的坐标为A.(3,4) B.(4,5)C.(4,3)-- D.(5,4)--【答案】D 【解析】【分析】根据对称列式求解.【详解】设(),A x y ,则123052224(1)11x y x y y x ++⎧++=⎪=-⎧⎪∴⎨⎨-=-⎩⎪⋅-=-⎪-⎩，选D.【点睛】本题考查关于直线对称点问题，考查基本分析求解能力，属基础题.4.在一平面直角坐标系中，已知()1,6A -，()2,6B -，现沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为（）A.27 B.41C.17 D.35【答案】D 【解析】【分析】平面直角坐标系中已知()1,6A -，()2,6B -，现沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角后，通过向量的数量积转化求解距离即可．【详解】解：平面直角坐标系中已知()1,6A -，()2,6B -，沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角后，作AC ⊥x 轴，交x 轴于C 点，作BD ⊥x 轴，交x 轴于D 点，则6,3,6,AC CD DB === ,AC CD CD DB ⊥⊥ ，,AC DB的夹角为120°∴AB AC CD DB =++ ，222222212+2+2=6+3+6266452AB AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅⋅⋅-⨯⨯⨯= 35AB ∴=,即折叠后A ，B 两点间的距离为35.故选：D ．【点睛】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．5.如果实数x ，y 满足()2222x y -+=，则yx的范围是（）A.()1,1- B.[]1,1- C.()(),11,-∞-⋃+∞ D.(][),11,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】设yk x =，求y x的范围救等价于求同时经过原点和圆上的点(),x y 的直线中斜率的范围，结合图象，易得取值范围.【详解】解：设yk x=，则y kx =表示经过原点的直线，k 为直线的斜率.如果实数x ，y 满足22(2)2x y -+=和yk x=，即直线y kx =同时经过原点和圆上的点(),x y .其中圆心()2,0C ，半径2r =从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆相切，设此时切点为E则直线的斜率就是其倾斜角EOC ∠的正切值，易得2OC =，CE r ==可由勾股定理求得OE ==，于是可得到tan 1CEk EOC OE =∠==为y x的最大值；同理，yx的最小值为－1.则yx的范围是[]1,1-.故选：B.6.抛物线214x y =的焦点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.233【答案】A 【解析】【分析】先求得抛物线的焦点，根据点到直线的距离公式列方程，求得22b a =，由此求得双曲线的离心率.【详解】抛物线214x y =即24y x =的焦点坐标为()1,0，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，即0bx ay ±=，所以点()1,0到直线0bx ay ±=的距离为22=，则22b a =，则双曲线的离心率为c e a =====故选：A7.直线()2200ax by a b a b +--=+≠与圆2220x y +-=的位置关系为（）A.相离 B.相切C.相交或相切D.相交【答案】C 【解析】【分析】利用几何法，判断圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系即可．【详解】由已知得，圆2220x y +-=的圆心为（0，0），所以圆心到直线()2200ax by a b a b +--=+≠.因为222ab a b ≤+，所以()()2222a b a b+≤+≤，所以直线与圆相交或相切；故选：C ．8.在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1AC 上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成角的取值范围是（）A.ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设1AB =，则，01λ≤≤，利用1c s o BC BP =，，即可得出答案．【详解】设BP 与1AD 所成角为θ，如图所示，不妨设1AB =，则()0,0,0B ，()0,1,0A ，()10,1,1A ，()11,0,1C ，()111,0,1AD BC == ，()1,0,0BC = ，()11,1,1AC =-．设1AP AC λ= ，则()1,1,BP BA AC λλλλ=+=-，01λ≤≤．所以111c ·o s BC BPBC BP BC BP==⋅，当0λ=时，10cos BC BP = ，，此时BP 与1AD 所成角为π2，当0λ≠时，1c os BC BP =，，此时10cos 1BC BP <≤，，当且仅当1λ=时等号成立，因为cos y x =在π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上单调递减，所以1π0,2BC BP ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ，，综上，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选：B ．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的有（）A.若直线y kx b =+经过第一、二、四象限，则()k b ，在第二象限B.直线32y ax a =-+过定点()32，C.过点()21-，斜率为的点斜式方程为)12y x +=-D.斜率为2-，在y 轴截距为3的直线方程为23y x =-±．【答案】ABC 【解析】【分析】由直线y kx b =+过一、二、四象限，得到斜率0k <，截距0b >，可判定A 正确；由把直线方程化简为()()320a x y -+-+=，得到点()32，都满足方程，可判定B 正确；由点斜式方程，可判定C 正确；由斜截式直线方程可判定D 错误．【详解】对于A 中，由直线y kx b =+过一、二、四象限，所以直线的斜率0k <，截距0b >，故点()k b ，在第二象限，所以A 正确；对于B 中，由直线方程32y ax a =-+，整理得()()320a x y -+-+=，所以无论a 取何值点()32，都满足方程，所以B 正确；对于C 中，由点斜式方程，可知过点()21-，斜率为的点斜式方程为)12y x +=-，所以C 正确；由斜截式直线方程得到斜率为2-，在y 轴上的截距为3的直线方程为23y x =-+，所以D 错误．故选：ABC ．【点睛】本题主要考查了直线的方程的形式，以及直线方程的应用，其中解答中熟记直线的点斜式的概念及形式，以及直线的斜率与截距的概念是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.10.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若直线l 的方向向量为()1,0,3e = ，平面α的法向量为22,0,3n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则直线l α∥B.已知{},,a b c 为空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的基底C.若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面D.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线【答案】BCD 【解析】【分析】计算得到e n ⊥，l α∥或l ⊂α，A 错误，若,,a b a c +r r r r 共面，则,,a b c 共面，不成立，故B 正确，化简得到23PA PB PC =--，C 正确，若这两个向量不共线，则存在向量与其构成空间的一个基底，故D 正确，得到答案.【详解】()22,0,22031,0,3e n ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭⋅⋅ ，故e n ⊥ ，故l α∥或l ⊂α，A 错误；若,,a b a c +r r r r共面，设()()b a a c a c λμλμμ=++=++ ，则,,a b c 共面，不成立，故{},,a b m 也是空间的基底，B 正确；111632OP OA OB OC =++ ，则()()()111632OA OP OB OP OC OP -+-+- 1110632PA PB PC =++=，即23PA PB PC =--，故P ，A ，B ，C 四点共面，C 正确；若这两个向量不共线，则存在向量与其构成空间的一个基底，故D 正确.故选：BCD.11.已知平面α的法向量为()1,2,2n =-- ，点()2,21,2A x x +为α内一点，若点()0,1,2P 到平面α的距离为4，则x 的值为（）A.2 B.1C.3- D.6-【答案】AD【解析】【分析】利用向量法可知，点P 到平面α的距离公式为||||AP n d n →→→⋅=，代入相关数值，通过解方程即可求解.【详解】解：由向量法可知，点P 到平面α的距离公式为||||AP n d n →→→⋅=，又 ()()22,(,20,2,0)122,1,x x AP x x →+--==-，()1,2,2n =--24AP n x x →→∴⋅=+，||3n ==由点()0,1,2P 到平面α的距离为4，有2443x x+=解得2x =或6x =-故选：AD【点睛】本题考查的是点面距离的计算问题，核心是会利用向量法中点到平面的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题.12.已知双曲线C 经过点6,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且与椭圆22Γ:12x y +=有公共的焦点12,F F ，点M 为椭圆Γ的上顶点，点P 为C 上一动点，则（）A.双曲线CB.sin 3MOP ∠>C.当P 为C 与Γ的交点时，121cos 3F PF ∠= D.||PM 的最小值为1【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意中的点求出双曲线方程，结合离心率的定义即可判断A ；根据双曲线的渐近线，结合图形即可判断B ；根据椭圆与双曲线的定义，结合余弦定理计算即可判断C ；由两点距离公式，结合二次函数的性质即可判断D.【详解】A ：由题意，12(1,0),(1,0)F F -，设双曲线的标准方程为222221,11x y a a a-=<-，将点,1)2代入得212a =，所以双曲线方程为2211122x y -=，得其离心率为22c e a ===，故A 正确；B ：由A 选项的分析知，双曲线的渐近线方程为y x =±，如图，π4MON ∠=，所以π3π44MOP <∠<，得sin 12MOP <∠≤，故B 错误；C ：当P为双曲线和椭圆在第一象限的交点时，由椭圆和双曲线的定义知，1212PF PF PF PF +=-=12,22PF PF ==，又122F F =，在12F PF △中，由余弦定理得222121212121cos 23PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅，故C 正确；D ：设00(,)P x y ，则22001,(0,1)2x y M -=，所以PM ==，当012y =时，min1PM =，故D 正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若空间向量(,2,2)a x =和(1,1,1)b = 的夹角为锐角，则x 的取值范围是________【答案】4x >-且2x ≠【解析】【分析】结合向量夹角公式、向量共线列不等式来求得x 的取值范围.【详解】依题意04211a b a bx x ⎧⋅=>⎪⋅⎪⇒>-⎨⎪≠⎪⎩ 且2x ≠.故答案为：4x >-且2x ≠14.已知0a >，0b >，直线1l ：()110a x y -+-=，2l ：210x by ++=，且12l l ⊥，则21a b+的最小值为__________．【答案】8【解析】【分析】根据两条直线的一般式方程及垂直关系，求出a ，b 满足的条件，再由基本不等式求出最小值即可．【详解】因为12l l ⊥，所以()11120a b -⨯+⨯=，即21a b +=，因为0a >，0b >，所以()2121422248b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即12a =，14b =时等号成立，所以21a b+的最小值为8．故答案为：8．15.直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2232x y -+=上，则ABP 面积的取值范围______．【答案】[]6,12【解析】【分析】由题意求得所以()30A -,，()0,3B -，从而求得AB =，再根据直线与圆的位置关系可求得点P 到直线30x y ++=距离h ⎡∈⎣，再结合面积公式即可求解.【详解】因为直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，所以()30A -,，()0,3B -，因此AB =．因为圆()2232x y -+=的圆心为()3,0，半径r =，设圆心()3,0到直线30x y ++=的距离为d ，则3033222d ++==>，因此直线30x y ++=与圆()2232x y -+=相离．又因为点P 在圆()2232x y -+=上，所以点P 到直线30x y ++=距离h 的最小值为32222d r -=-=，最大值为32242d r +=+=，即22,42h ⎡⎤∈⎣⎦，又因为ABP 面积为13222AB h h ⨯⨯=，所以ABC 面积的取值范围为[]6,12．故答案为：[]6,1216.瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC 的顶点()4,0-A ，()0,4B ，其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标可以是_________【答案】()2,0或()0,2-【解析】【分析】设(,)C x y ，依题意可确定ABC ∆的外心为(0,2)M ，可得出,x y 一个关系式，求出ABC ∆重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出,x y 另一个关系式，解方程组，即可得出结论.【详解】设(,),C x y AB 的垂直平分线为y x =-，ABC 的外心为欧拉线方程为20x y -+=与直线y x =-的交点为(1,1)M -，∴22||||10,(1)(1)10MC MA x y ==++-=①由()4,0-A ，()0,4B ，ABC 重心为44(,)33x y -+，代入欧拉线方程20x y -+=，得20x y --=②由①②可得2,0x y ==或0,2x y ==-.故答案为：()2,0或()0,2-.【点睛】本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形的外心与重心，考查逻辑思维能力和计算能力，属于较难题.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知圆M 的圆心为()2,3，且经过点()5,1C -.（1）求圆M 的标准方程；（2）已知直线:34160l x y -+=与圆M 相交于,A B 两点，求AB .【答案】（1）()()222325x y -+-=（2）AB =【解析】【分析】（1）根据条件求出圆M 的半径,再结合圆心坐标求出标准方程即可;（2）求出圆心M 到直线l 的距离,再由垂径定理求出||AB .【小问1详解】因为圆M 的圆心为(2,3),且经过点(5,1)C -,所以圆M 的半径5r MC ===,所以圆M 的标准方程为()()222325x y -+-=.【小问2详解】由（1）知，圆M 的圆心为()2,3，半径=5r ，所以圆心M 到直线l 的距离2d =,所以由垂径定理，得AB ===.18.已知ABC 的顶点()3,2A ，边AB 上的中线所在直线方程为380x y -+=，边AC 上的高所在直线方程为290x y --=．（1）求顶点,B C 的坐标；（2）求ABC 的面积．【答案】（1）B 的坐标为()8,7，C 的坐标为()1,3（2）152【解析】【分析】（1）设(),B a b ，(),C m n ，由题意列方程求解即可得出答案.（2）先求出AB 和直线AB 所在的方程，再由点到直线的距离公式求出边AB 上的高，即可求出ABC 的面积．【小问1详解】设(),B a b ，因为边AB 上的中线所在直线方程为380x y -+=，边AC 上的高所在直线方程为290x y --=，所以2903238022a b a b --=⎧⎪⎨++-⨯+=⎪⎩，解得87a b =⎧⎨=⎩，即B 的坐标为()8,7．设(),C m n ，因为边AB 上的中线所在直线方程为380x y -+=，边AC 上的高所在直线方程为290x y --=，所以3802132m n n m -+=⎧⎪-⎨=-⎪-⎩，解得13m n =⎧⎨=⎩，即C 的坐标为()1,3．【小问2详解】因为()()3,2,8,7A B，所以AB ==因为边AB 所在直线的方程为237283y x --=--，即10x y --=，所以点()1,3C 到边AB的距离为2=，即边AB上的高为2，故ABC的面积为115222⨯=．19.已知直三棱柱111ABC A B C -，侧面11AA C C 是正方形，点F 在线段1AC 上，且13AF =，点E 为1BB 的中点，1AA =，1AB BC ==．（1）求异面直线CE 与BF 所成的角；（2）求平面CEF 与平面11ACC A 夹角的余弦值．【答案】（1）90（2）21【解析】【分析】（1）利用直棱柱的结构特征，结合线面垂直的性质，建立空间直角坐标系，利用直线与直线所成角的向量求法，计算得结论；（2）分别求出两个平面的法向量，利用平面与平面所成角的向量求法，即可得到结果．【小问1详解】因为侧面11AA C C 是正方形，1AA =，1AB BC ==，所以BA BC ⊥，因为三棱柱111ABC A B C -直三棱柱，所以1BB ⊥面ABC ，而BC ，BA ⊂平面ABC ，因此1BB BC ⊥，1BB BA ⊥，所以BC ，BA ，1BB 两两垂直．以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如下图：因此()100C ，，，()000，，B ，()010A ，，，(1102C ，，而点E 为1BB 的中点，所以2002E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，因为F 在线段1AC 上，所以设()()1,201AF AC λλλλλ==-≤≤ ，因此(),12BF BA AF λλλ=+=- ，因为13AF = ()()222123λλλ+-+=解得16λ=，因此152,,666BF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，即152,,666F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为21,0,2CE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以11066CE BF ⋅=-+= ，因此异面直线CE 与BF 所成的角为90 .【小问2详解】设平面CEF 的法向量为()1n x y z = ，，，而552,,666CF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，因此由1100n CE n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得2025520666x z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，取2z =得1x =，35y =，所以13125n ⎛= ⎝ ，，是平面CEF 的一个法向量，设平面11ACC A 的法向量为()2222n x y z = ，，，()110AC =- ，，，(112AC =- ，，，因此由22100n AC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得020x y x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =得1y =，0z =，所以()2110n = ，，是平面11ACC A 的一个法向量.设平面CEF 与平面11ACC A 夹角为θ，则02πθ≤≤，因此121212cos cos ,n n n n n n θ⋅==31521+==，所以平面CEF 与平面11ACC A 夹角的余弦值为24221．20.已知双曲线C的焦点坐标为()1F，)2F ，实轴长为4，（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若双曲线C 上存在一点P 使得12PF PF ⊥，求12PF F △的面积．【答案】（1）2214x y -=；（2）1．【解析】【分析】（1）由题可知,c a 的值即可求出双曲线C 的标准方程；（2）由双曲线的定义及面积公式即可求出.【详解】（1）设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由条件知c =，24a =，∴2,1a b ==，∴双曲线C 的方程为2214x y -=．（2）由双曲线的定义可知，124PF PF -=±．∵12PF PF ⊥，∴22212420PF PF c +==，即21212()220PF PF PF PF ⨯-+=∴122PF PF ⋅=，∴12PF F △的面积12112122S PF PF =⋅=⨯=．21.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，2PA PB AD ===，4BC =.（1）若PB 的中点为E ，求证：//AE 平面PCD ；（2）若PB 与底面ABCD 所成的角为60︒，求PC 与平面PBD 的所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）80535【解析】【分析】（1）取PC 的中点F ，连接,EF DF .先证明四边形ADFE 是平行四边形，即可得出//DF AE ，然后即可证明线面平行；（2）先证明PO ⊥平面ABCD ，即可得出60PBA ∠=︒.然后建立空间直角坐标系，得出点以及向量的坐标，求出平面PBD 的法向量，根据向量求得PC 与平面PBD 的所成角的正弦值，进而求得余弦值.【小问1详解】如图1，取PC 的中点F ，连接,EF DF ，,E F 分别为,PB PC 的中点，∴//EF BC ，且122EF BC ==.//AD BC 且2AD =，//EF AD ∴且2EF AD ==，∴四边形ADFE 是平行四边形，//DF AE ∴.AE ⊄ 平面PCD ，DF ⊂平面PCD ，∴//AE 平面PCD .【小问2详解】若O 是AB 中点，取CD 中点为G ，连结OG .,O G 分别是,AB CD 的中点，∴//OG BC .AB BC ⊥，∴OG AB ⊥.由底面ABCD 为直角梯形且//AD BC ，2PA PB AD ===，4BC =.PA PB =，∴PO AB ⊥.由侧面PAB ⊥底面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂面PAB ，∴PO ⊥平面ABCD ，P ∴在平面ABCD 的投影在直线AB 上.又PB 与底面ABCD 所成的角为60︒，PB ∴与底面ABCD 所成角的平面角60PBA ∠=︒，∴PAB 为等边三角形，2AB PA ==.以O 为原点，分别以,,OB OG OP 所在的直线为,,x y z 轴，如图2建空间直角坐标系，则()1,0,0B ，()1,4,0C ，()1,2,0D -，(3P ，则(3BP =- ，(1,2,3PD =- ，(1,4,3PC = .设平面PBD 的法向量(),,n x y z =r，则00n BP n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x x y ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩，取x =，得)n = ，∴cos ,35n PC n PC n PC ⋅==r uu u r r uu u r r uu u r .设PC 与平面PBD 的所成角为θ，则sin cos ,35n PC θ== . π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴cos 0θ≥∴cos 35θ==，PC ∴与平面PBD的夹角的余弦值为35.22.已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，斜率为1的直线l 经过F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，8AB =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过抛物线C 上一点(),2P a -作两条互相垂直的直线与抛物线C 相交于MN 两点（异于点P ），证明：直线MN 恒过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）24y x=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件，得到直线l 方程为2p y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，联立抛物线方程，根据抛物线的弦长求得p ，即得答案；（2）求得a 的值，设直线MN 的方程为x my n =+，联立抛物线方程，得根与系数的关系，利用PM PN ⊥，得到32(1)n m -=-或32(1)n m -=--，代入直线方程，分离参数，求得定点坐标，证明结论.【小问1详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知(,0)2p F ，则直线l 方程为2p y x =-，代入()220y px p =>，得22304p x px -+=，280p ∆=>，∴123x x p +=，由抛物线定义，知1||2p AF x =+，2||2p BF x =+，∴12348AB AF BF x x p p p p =+=++=+==，∴2p =，∴抛物线的方程为24y x =.【小问2详解】证明： (),2P a -在抛物线24y x =上，∴242),1(a a =∴=-，由题意，直线MN 的斜率不为0，设直线MN 的方程为x my n =+，设3344(,),(,)M x y N x y ，由24y x x my n⎧=⎨=+⎩，得2440y my n --=，则216160m n '∆=+>，且34344,4y y m y y n +==-，又23434)242(x x m y y n m n +=++=+，22234344334()()()x x my n my n m y y mn y y n n =++=+++=，由题意，可知PM PN ⊥,PM PN ∴⊥,故3434(1)(1)(2)(2)0PM PN x x y y +⋅=+--+= ，故()3434343412()40x x x x y y y y -++++++=，整理得2246850n m n m --++=，即22(3)4)(1n m -=-，∴32(1)n m -=-或32(1)n m -=--，即21n m =+或25n m =-+．若21n m =+，则21(2)1x my n my m m y =+=++=++，此时直线MN 过定点(1,2)-，不合题意；若25n m =-+，则()2525x my n my m m y =+=-+=-+，此时直线MN 过定点(5,2)，符合题意，综上，直线MN 过异于P 点的定点(5,2)．【点睛】方法点睛：直线和抛物线的位置关系中，证明直线过定点问题，一般是设出直线方程，利用根与系数的关系化简，求得参数之间的关系式，再对直线分离参数，求得定点坐标，进而证明直线过定点.。

2022-2023学年山东省泰安市高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．经过()1A ，()3,1B -两点的直线的倾斜角为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】D【分析】利用倾斜角与斜率关系即可求解.【详解】因为直线经过()1A ，()3,1B -，则直线斜率为k ==α，则()tan 0,ααπ=∈，此时5π6α=. 故选：D2．若()2,4,1a =-与()2,,1b m =-共线，则m =（ ） A ．－4 B ．－2C ．2D ．4【答案】A【分析】依题意可得b a λ=，即可得到方程组，解得即可. 【详解】解：因为()2,4,1a =-与()2,,1b m =-共线，所以b a λ=，即()()2,,12,4,1m λ-=-，即2241m λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得14m λ=-⎧⎨=-⎩. 故选：A3．已知圆M 的方程为222410x y x y ++-+=，则圆心M 的坐标为（ ） A ．1,2 B ．1,2C ．()2,4-D ．()2,4-【答案】B【分析】先化成标准式，即得圆心坐标.【详解】()()22222410124++-+=∴++-=x y x y x y ， 因此圆心坐标为()1,2-M . 故选：B.4．两条平行直线l ：3460x y -+=与l ：3490x y --=间的距离为（ ）A ．13B ．35C ．3D ．5【答案】C【分析】直接利用两条平行直线间的距离公式求解即可． 【详解】两条平行直线1l ：3460x y -+=与2l ：3490x y --=1535==． 故选：C ．5．已知平面α的一个法向量为()1,2,2n =--，点()0,1,0A 为α内一点，则点1,0,1P 到平面α的距离为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】 D【分析】利用空间向量的数量积以及点到面的距离向量求法即可求解. 【详解】因为()1,1,1AP =-，()1,2,2n =--， 所以1223AP n ⋅=-++=，143n =++=， 则点P 到平面α的距离1nAP n d ⋅==.故选：D6．已知圆M ：()2224x y -+=内有点()3,1P ，则以点P 为中点的圆M 的弦所在直线方程为（ ） A ．20x y +-= B ．20x y --= C ．40x y +-= D ．20x y -+=【答案】C【分析】由圆M 的标准方程得出圆心和半径，连接PM ，作PM 的垂线，交圆M 于A ，B 两点，以点P 为中点的圆M 的弦即为AB ，求出直线MP 的斜率，利用两直线垂直关系，则可求出直线AB 的斜率，用点斜式方程即可求出直线AB .【详解】由圆M 的标准方程()2224x y -+=，可知圆心()2,0M ，半径2r =，如图，连接MP ，作MP 的垂线，交圆M 于A ，B 两点，以点P 为中点的圆M 的弦即为AB ， 10132MP k -==-，MP AB ⊥ 11ABMPk k ∴=-=-所以直线AB 的方程为：()113y x -=--，整理得40x y +-=， 故选：C.7．已知a ，b 为两条异面直线，在直线a 上取点1A ，E ，在直线b 上取点A ，F ，使1AA a ⊥，且1AA b ⊥（称1AA 为异面直线a ，b 的公垂线）.已知12A E =，3AF =，5EF =，132AA =，则异面直线a ，b 所成的角为（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【分析】由题可设异面直线a ，b 所成的角为θ，利用向量可得cos θ的值，即求. 【详解】设异面直线a ，b 所成的角为θ，(0,]2πθ∈∵1AA a ⊥，且1AA b ⊥，12A E =，3AF =，5EF =，132AA = ∴11EF EA A A AF =++∴2222111111222EF EA A A AF EA A A A A AF EA AF =+++⋅+⋅+⋅∴1cos 2θ=±，又(0,]2πθ∈∴3πθ=.故选：B.8．若直线0kx y k ++=与曲线212y x x =+-仅有一个公共点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．{}11,03⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．{}11,03⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭C ．141,33⎡⎤⎧⎫--⋃-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭D ．141,33⎛⎤⎧⎫--⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭【答案】D【分析】首先确定曲线的形状，然后结合直线恒过定点考查临界情况结合图像即可确定实数k 的取值范围．【详解】曲线212y x x =+-即22(1)20(1)x y x y +--=，即22(1)(1)1(1)x y y -+-=，表示(1,1)M 为圆心，1r =为半径的圆的上半部分， 直线0kx y k ++=即(1)y k x =-+恒过定点(1,0)-， 作出直线与半圆的图象，如图，考查临界情况：当直线过点(0,1)时，直线的斜率1k -=，此时直线与半圆有两个交点， 当直线过点(2,1)时，直线的斜率13k -=，此时直线与半圆有1个交点， 当直线与半圆相切时，圆心(1,1)M 到直线0kx y k ++=的距离为1，且0k ->， 211k =+，解得：43k =-，(0k =舍去）． 据此可得，实数k 的取值范围是14(1,]33⎧⎫---⎨⎬⎩⎭．故选：D ．二、多选题9．已知()1,2A ，()3,4B -，()2,0C -，则（ ） A ．直线0x y -=与线段AB 有公共点 B ．直线AB 的倾斜角大于135︒C ．ABC 的边BC 上的高所在直线的方程为470x y -+=D ．ABC 的边BC 上的中垂线所在直线的方程为480x y ++= 【答案】BC【分析】A 选项，画出图像即可看出有无交点；B 选项用先用直线斜率公式求出斜率，再比较倾斜角与135︒的大小；C 选项ABC 的边BC 上的高所在直线过点A ，且斜率和直线BC 的斜率乘积为1-，用点斜式写出边BC 上的高所在直线；D 选项ABC 的边BC 上的中垂线经过BC 的中点，且斜率和直线BC 的斜率乘积为1-，从而利用点斜式写出中垂线所在直线的方程； 【详解】如图所示：所以直线0x y -=与线段AB 无公共点，A 错误；因为421312AB k -==---1>-，所以直线AB 的倾斜角大于135︒，B 正确． 因为4432BC k ==--+，且边BC 上的高所在直线过点A ， 所以ABC 的边BC 上的高所在直线的方程为12(1)4y x -=-，即470x y -+=，C 正确，因为线段BC 的中点为5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，且直线BC 的斜率为40432-=--+， 所以BC 上的中垂线所在直线的方程为15242y x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即28210x y -+=，故D 错误. 故选：BC.10．已知直线l ：1ax by +=，圆C ：221x y +=，点(),M a b ，则（ ） A ．若M 在圆上，直线l 与圆C 相切 B ．若M 在圆内，直线l 与圆C 相离 C ．若M 在圆外，直线l 与圆C 相离 D ．若M 在直线l 上，直线l 与圆C 相切【答案】ABD【分析】根据点与圆的位置关系，得,a b 的关系，即可确定直线l 与圆C 的关系来判断A ，B ，C 选项；根据点与直线的位置关系，得得,a b 的关系，即可确定直线l 与圆C 的关系来判断D 选项. 【详解】解：圆C ：221x y +=，圆心()0,0C ，半径1r =对于A ，若M 在圆上，则221MC a b r =+==，圆心到直线l 的距离为：221111d r a b -====+，则直线l 与圆C 相切，故A 正确；对于B ，若M 在圆内，则221MC a b =+<，圆心到直线l 的距离为：2211d r a b-=>=+，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；对于C ，若M 在圆外，则221MC a b =+>，圆心到直线l 的距离为：2211d r a b-=<=+，直线l 与圆C 相交，故C 错误；对于D ，若M 在直线l 上，则221a b +=，圆心到直线l 的距离为：221111d r a b -====+，则直线l与圆C 相切，故D 正确. 故选：ABD.11．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD ，12AB AA ==．以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）A ．(12,0,2OB =B ．1AC ⊥平面1OBBC ．平面1OBB 的一个法向量为()0,1,1n =-D ．点B 到直线1A C 3【答案】BCD作答.【详解】依题意, ABCD 是正方形, AC BD ⊥,AC 与BD 的交点O 为原点,12AB AA ==,在给定的空间直角坐标系中,)()()(1,,0,,B C A A ,而()112,AB AB ==,则点1B,(12,OB =,故A 错误;()2,0,0OB=,(12,OB =,设平面1OBB 的法向量(),,n x y z =,则12020n OB x n OB x ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩, 令1y =,得()0,1,1n =-,故C 正确;()10,2,22AC n =-=,即1A C ⊥平面1OBB ,故B 正确; (10,AC =,(12,0,A B =,1111A B AC d A C⋅==,B 到1AC 的距离221h A B d =-==故D 正确故选:BCD12．古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-前190）发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,0A -，()2,0B ，动点C 满足12CA CB=，直线l ：10mx y m -++=，则（ ）A ．直线l 过定点()1,1-B ．动点C 的轨迹方程为()2224xy ++= C ．动点C 到直线l 1D ．若直线l 与动点C 的轨迹交于P ，Q 两点，且PQ =，则1m =- 【答案】ABD【分析】设(,)C x y , 由题意求出点C 的轨迹以及轨迹方程, 利用直线与圆的位置关系, 依次判断四个选项即可.【详解】对于A, 直线l ：10mx y m -++=，(1)10m x y +-+=，101101x x y y +==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，直线l 过定点()1,1-，故选项A 正确;对于B,设(,)C x y ,因为动点C 满足||1||2CA CB =,所以 12=, 整理可得2240x y x ++=, 即22(2)4x y ++=,所以动点C 的轨迹是以(2,0)N -为圆心，2r =为半径的圆, 动点C 的轨迹方程为22(2)4x y ++=,故选项B 正确;对于 C, 当直线l 与MN 垂直时, 动点C 到直线l 的距离最大, 且最大值为2故选项C 错误; 对于D, 记圆心N 到直线l 的距离为d ,则d =因为 ()222||4PQ r d =-,则 ()2248r d -=,因为 2r =,所以 d =即=解得 1m =-, 故选项D 正确.故选: ABD.三、填空题13．已知直线1l ：210x y +-=，2l ：210x ay +-=，若1l ∥2l ，则a 的值是________． 【答案】4【分析】由两直线平行可得1221A B A B =，代入相关数据计算即可. 【详解】解：因为1l ∥2l ， 所以224a =⨯=. 故答案为：4.14．写出过()4,0M ，()0,4N 两点，且半径为4的圆的一个标准方程：________． 【答案】2216x y +=（或()()224416x y -+-=）【分析】设所求圆的标准方程为：()()2216x a y b -+-=，代入M ，N 两点的坐标求解即可. 【详解】解：设所求圆的标准方程为：()()2216x a y b -+-=，则有()()2222416416a b a b ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩， 解得00a b =⎧⎨=⎩或44a b =⎧⎨=⎩，所以所求圆的标准方程为：2216x y +=或()()224416x y -+-=. 故答案为：2216x y +=或()()224416x y -+-=.15．在中国古代数学著作《就长算术》中，鳖臑（biēnào ）是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角ABC ∆中，AD 为斜边BC 上的高，3AB =，4AC =，现将ABD ∆沿AD 翻折AB D '∆，使得四面体AB CD '为一个鳖臑，则直线B D '与平面ADC 所成角的余弦值是______.【答案】916【分析】作'B M CD ⊥于交CD 于M ,可证明'B M ⊥平面ACD ,则'B DM ∠即为B D '与平面ADC 的夹角.根据线段关系即可求解.【详解】作'B M CD ⊥于交CD 于M因为,'AD CD AD DD ⊥⊥ 且'CD DD D ⋂= 所以AD ⊥平面'DB C 而AD ⊂平面ACD所以平面ACD ⊥平面'DB C又因为平面ACD 平面'DB C DC =,且'B M CD ⊥所以'B M ⊥平面ACD则'B DM ∠即为B D '与平面ADC 的夹角 因为直角ABC ∆中,3AB =,4AC =所以5BC ===341255AB AC AD BC ⨯⨯===则165DC ===所以169'555DB BC DC =-=-= 在直角三角形'B DC 中,9'95cos 'cos '16165DB B DM B DC DC ∠=∠=== 故答案为:916【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面的夹角求法,直线与平面垂直关系的判定,对空间想象能力和计算能力要求较高,属于中档题.16．已知()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，且2a =，3b =，6a b ⋅=-，则111222x y z x y z ++=++________．【答案】23-【分析】由2a =，3b =，6a b ⋅=-，可得向量a 与b 平行，且23=-a b ，从而可得结果. 【详解】∵||2a =，||3b =，6a b ⋅=-，所 以23cos ,6,,[0,π],,πa b a b a b ⨯⨯<>=-<>∈∴<>=. ∴ 向量a 与b 平行，且23=-a b ， 所以1112222(,,)(,,)3x y z x y z =-，所以1223x x =-. ∴1112221223x y x x z z x y +==-+++．故答案为：23-.四、解答题17．已知直线1l ：112y x =-，2l ：y kx b =+，且12l l ⊥． (1)求k 的值； (2)若直线1l 与2l 的交点的直线y x =上，求直线2l 的方程．【答案】(1)2k =-(2)26y x =--【分析】(1)根据两直线垂直的条件即可求解；(2)联立两直线方程求出交点坐标，代入直线2l 的方程即可求解.【详解】（1）直线1l 的斜率为12，直线2l 的斜率为k ．因为12l l ⊥，所以112k ⨯=-， 故2k =-．（2）由题意可知：联立两直线方程可得：112y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得22x y =-⎧⎨=-⎩． 将点()2,2--代入2l 的方程得()()222b -=-⨯-+，解得6b =-，所以直线2l 的方程为26y x =--．18．已知()1,3,4A ，()1,5,4B -，()1,2,1C -．(1)求,AB BC ；(2)求AC 在BC 上的投影向量．【答案】(1)2π3(2)()0,2,2--【分析】（1）由向量夹角余弦公式,分别计算向量数量积和向量的模,再根据夹角范围,确定夹角的值. （2）根据投影向量定义分别计算两个向量的数量积和模,再求出向量BC 的同方向单位向量,计算即可得到投影向量.【详解】（1）解：因为()2,2,0AB =-，()0,3,3BC =--，所以6AB BC ⋅=-，22AB =，32BC =，所以61cos ,23222AB BC AB BC AB BC ⋅-===-⨯⋅． 因为0,πAB BC ≤≤，所以2π,3AB BC =． （2）因为()2,1,3AC =---，()0,3,3BC =--，所以1227cos ,71432AC BC ==⨯． 因为220,,22BCBC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以AC 在BC 上的投影向量为()2722cos ,140--722=0,2,2BC AC AC BC BC ⎛⎫=⨯⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⋅--，，．19．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，15AA =，1160DAB BAA DAA ∠=∠=∠=︒，M ，N 分别为11D C ，11C B 中点．(1)求1AC 的长；(2)证明：1MN AC ⊥．【答案】(1)1113AC(2)证明见解析.【分析】（1）设AB a =，AD b =，1AA c =，将1AC 用,,a b c 表示出来，根据向量的模长公式即可得到结果.（2）将1,MN AC ，分别用,,a b c 表示出来，根据10MN AC ⋅=，即可证明1MN AC ⊥.【详解】（1）设AB a =，AD b =，1AA c =，则4a b ==，5c =，8a b ⋅=，10a c b c ⋅=⋅=，111122MN MC C N a b =+=- 11AC AB BC CC a b c =++=++．因为()22AC a b c =++()2222a b c a b b c c a =+++⋅+⋅+⋅ ()222445281010=+++++113=，所以1AC （2）证明：因为()11122MN AC a b a b c ⎛⎫⋅=-⋅++ ⎪⎝⎭ 22211112222a c ab bc =+⋅--⋅ 2211114104102222=⨯+⨯-⨯-⨯ 0=，所以1MN AC ⊥．20．已知圆M ：()()222125x y -+-=，圆N ：2214520x y x my +--+=，过圆M 的圆心M 作圆N 的切线，切线长为5．(1)求m 的值，并判断圆M 与圆N 的位置关系；(2)过圆N 的圆心N 作圆M 的切线l ，求l 的方程．【答案】(1)4m =，圆M 与圆N 相交(2)7x =或125940x y +-=，【分析】（1）先用配方法确定圆N 的圆心和半径，然后根据切线长公式计算出m 的值，再根据圆心距和半径之间的大小关系判断位置关系；（2）过圆外一点可作圆的两条切线，在我们求解的过程中需要对直线的斜率是否存在进行讨论.【详解】（1）由题意知，()2,1M ，7,2m N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆N 的半径N r ==， 由勾股定理得2225N MN r =+，即()2222212721522m m ⎛⎫-⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得4m =．所以()()22722126MN =-+-=，1N r =，6M N r r +=，4M N r r -=．因为M N M N r r MN r r -<<+，所以圆M 与圆N 相交；（2）当l 的斜率不存在时，l 的方程为7x =．检验知满足相切.当l 的斜率存在时，设l 的方程为()27y k x -=-，即720kx y k --+=，因为l 与圆M 相切，所以2217251k k k --+=+，解得125k =-， 所以l 的方程为()12275y x -=--，即125940x y +-=． 综上所述，l 的方程为7x =或125940x y +-=，21．如图，圆柱上，下底面圆的圆心分别为O ，1O ，该圆柱的轴截面为正方形，三棱柱111ABC A B C 的三条侧棱均为圆柱的母线，且1306AB AC OO ==，点P 在轴1OO 上运动．(1)证明：不论P 在何处，总有1BC PA ⊥；(2)当P 为1OO 的中点时，求平面1A PB 与平面1B PB 夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析11【分析】（1）证明线面垂直，进而证明线线垂直；（2）利用空间向量的坐标运算方法求面面角的余弦值.【详解】（1）证明：连接AO 并延长，交BC 于M ，交圆柱侧面于N ．因为AB AC =，OB OC =，所以AOB AOC △≌△，所以BAM CAM ∠=∠，所以ABM ACM ≌，所以M 为BC 中点，所以OA BC ⊥．又在圆柱1OO 中，1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，1AA BC ⊥，1AO AA A =，1,AO AA ⊂平面11AOO A ,所以BC ⊥平面11AOO A ．因为不论P 在何处，总有1PA ⊂平面11AOO A ，所以1BC PA ⊥．（2）设11(0)OO AA AN a a ===>，则AB AC ==． 在ABC 中，5cos 6AC AM AC CAM AC a AN =∠=⨯=， 则13OM a =．所以CM BM =． 如图，建立空间直角坐标系1O xyz -，其中11//B C x 轴，y 轴是11B C 的垂直平分线， 则110,,02A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,,0)3B a，1,,3B a a ⎫⎪⎪⎝⎭，10,0,2P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以155(,,)66A B a a =，111(0,,)22A P a a =，1(0,0,)B B a =，111(,,)632B P a a =--． 设平面1APB 的一个法向量为(),,m x y z =，则50611022ay az ay az ++=⎨⎪+=⎪⎩，取1x =，得(1,5,m =． 设平面1BPB 的一个法向量为(),,n b c d =，则011032ad ac ad =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取2b =，得()2,5,0n =-． 设平面1A PB 与平面1B PB 的夹角为θ，则 11cos |cos ,|||||11m nm n m n θ⋅=<>==，所以平面1A PB 与面1B PB 夹角（锐角）的余弦值为1111．22．已知线段AB 的端点B 的坐标是()6,4，端点A 的运动轨迹是曲线C ，线段AB 的中点M 的轨迹方程是()()22421x y -+-=．(1)求曲线C 的方程；(2)已知斜率为k 的直线l 与曲线C 相交于异于原点O 的两点,,E F 直线,OE OF 的斜率分别为1k ，2k ，且122k k =．若BD EF ⊥，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【答案】(1)()2224x y -+=(2)证明见解析【分析】（1）利用中点坐标公式以及求轨迹方程的方法求解；（2）利用韦达定理结合题意求解.【详解】（1）设(),A x y ，00(,)M x y ，由中点坐标公式得006,242x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩． 因为点M 的轨迹方程是()()22421x y -+-=，所以2264(4)(2)122x y ++-+-=， 整理得曲线C 的方程为()2224x y -+=．（2）设直线l 的方程为y kx m =+，()11,E x y ，()22,F x y ，120x x ≠，由22(2)4y kx m x y =+⎧⎨-+=⎩，得222(1)2(2)0k x km x m ++-+=， 所以1222(2)1km x x k -+=-+，21221m x x k=+，所以()()()221212121212121212kx m kx m k x x km x x m y y k k x x x x x x +++++=== 222222(2)41121km km m k k k m mk -++=+=+=+， 所以4m k =，且0∆>即2224(2)4(1)0km k m --+>，即2440m km +-<，所以直线l 的方程为()4y k x =+，即直线l 过定点()4,0P -． 因为BP 为定值，且BDP △为直角三角形，BP 为斜边， 所以当点Q 是BP 的中点时，1||2QD BP =为定值． 因为()6,4B ，()4,0P -，所以由中点坐标公式得()1,2Q ． 所以存在定点()1,2Q 使得DQ 为定值．。

浙江省宁波市鄞州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|1A x x =<-或}3x ≥，{}|10B x ax =+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1|13a a ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭B ．1|13a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C ．{|1a a <-或}0a ≥D ．1|03a a ⎧-≤<⎨⎩或}01a <<2．已知0.20.3a =，0.30.2b =，0.3log 0.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c<a<b3．下列四个命题中，是假命题的是（ ） A ．x ∀∈R ，且10,2x x x≠+≥ B ．x ∃∈R ，使得212x x +≤C ．若x ＞0，y ＞02xyx y+ D ．若52x ≥，则24524x x x -+-的最小值为14．已知()sin()f x x ωφ=+(0)>ω满足()14f π=，503f π⎛⎫= ⎪⎝⎭且()f x 在5,46ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（ ） A ．127B ．1817C ．617D ．30175．“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，L ，则下列选项不正确的是（ ）A ．在第9条斜线上，各数之和为55B ．在第()5n n ≥条斜线上，各数自左往右先增大后减小C ．在第n 条斜线上，共有()2114nn +--个数D ．在第11条斜线上，最大的数是37C6．已知函数(()(1)ln f x a x x =+⋅，则在同一个坐标系下函数()f x a -与()f x 的图像不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若定义在R 上的函数()f x 满足()()4()2f x x f f ++=，()21f x +是奇函数，11()22f =则（ ）A ．17111()22k f k =-=-∑B ．1711()02k f k =-=∑C ．171117()22k kf k =-=-∑D ．171117()22k kf k =-=∑ 8．设实数x ，y 满足32x >，3y >，不等式()()33222338123k x y x y x y --+--≤恒成立，则实数k 的最大值为（ ） A ．12B ．24C．D．二、多选题9．甲､乙两人进行围棋比赛，共比赛()*2n n N∈局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为()P n ，则（ ）A ．1(2)8P =B ．11(3)32P =C ．221()122n nn C P n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()P n 的最大值为1410．函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=+-（01ω<<）的图象如图所示，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．)3π(2y f x =+是奇函数C ．π()cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称D ．若()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则1117[,)66t ∈11．对于[]0,1x ∈，()f x 满足()()()11,23x f x f x f x f ⎛⎫+-== ⎪⎝⎭，且对于1201x x ≤≤≤，恒有()()12f x f x ≤．则（ ）A ．10011011002i i f =⎛⎫=⎪⎝⎭∑ B ．112624f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．118080f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1113216016f ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭三、填空题12．函数()()π2cos sin2R 4f x x x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭的值域为.13．已知函数()32f x x x ax b =-++有2个零点1,0-，()()2f x g x x=，若关于x 的不等式()x x g e ke ≥在[]1,0-上有解，则k 的取值范围是．14．已知正实数,,a b c 满足1b c +=，则28181ab a bc a +++的最小值为.四、解答题15．已知ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin sin sin A c bB C b-=+.(1)若π3C =，求B ； (2)求a cb+的取值范围. 16．已知函数π()sin()4f x x ω=-在区间3π[0,]2上恰有3个零点，其中ω为正整数.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向左平移π4个单位得到函数()g x 的图象，求函数()()()g x F x f x =的单调区间.17．浙江省是第一批新高考改革省份，取消文理分科，变成必考科目和选考科目．其中必考科目是语文、数学、外语，选考科目由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，从镇海中学高三在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生中随机抽取100名学生进行调查，他们选考物理、化学、生物的科目数及人数统计如表：(1)从这100名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数相等的概率； (2)从这100名学生中任选2名，记X 表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数之差的绝对值，求随机变量X 的数学期望；(3)学校还调查了这100位学生的性别情况，研究男女生中纯理科生大概的比例，得到的数据如下表：（定文同时选考物理、化学、生物三科的学生为纯理科生）请补齐表格，并说明依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为同时选考物理、化学、生物三科与学生性别有关． 参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．附表：18．已知函数()()e 1e 1x x a f x a +=∈-R 为奇函数．(1)求a 的值；(2)设函数()ln sin g x x x =+，i ．证明：()y g x =有且只有一个零点；ii ．记函数()y g x =的零点为0x ，证明：()0e 1sin e 1f x +>-． 19．若存在常数k ，b 使得函数()F x 与()G x 对于给定区间上的任意实数x ，均有()()F x kx b G x ≥+≥，则称y kx b =+是()y F x =与()y G x =的隔离直线．已知函数()21f x x x =-+，()1112g x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．(1)在实数范围内解不等式：()()f x g x ≥；(2)当0x >时，写出一条()y f x =与()y g x =的隔离直线的方程并证明．。