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第1节 坐标系与参数方程第一课时 坐标系考试要求 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x （λ＞0），y ′＝μ·y （μ＞0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O (极点)，自极点O 引一条射线Ox (极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角∠xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ).3.极坐标与直角坐标的互化4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程 圆心在极点，半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ＜2π) 圆心为(r ，0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos__θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ＜π2圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin__θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线①θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R ) ②θ＝α(ρ≥0)和 θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a ，0)，与极轴垂直的直线ρcos__θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2过点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin__θ＝a (0＜θ＜π)1.极坐标的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可.2.由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角.3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化：对于简单的可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同乘以ρ等.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×解析 (1)一般认为ρ≥0，当θ∈[0，2π)时，平面上的点(除去极点)才与极坐标建立一一对应关系；(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条射线.2.(易错题)在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( ) A.ρsin θ＝1 B.ρsin θ＝ 3 C.ρcos θ＝1D.ρcos θ＝ 3答案 A解析 先将极坐标化成直角坐标表示，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1， 再化为极坐标为ρsin θ＝1.3.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 答案 A解析 ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.4.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C.(1，0)D.(1，π)答案 B解析 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ， 即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2.5.(易错题)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，即x 2＋(y －1)2＝1.6.(2018·北京卷)在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a (a >0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________. 答案 1＋ 2解析 直线的方程为x ＋y －a ＝0，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆心(1，0)，半径r ＝1， 由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1－a |2＝1，又a >0，所以a ＝1＋ 2.考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换1.曲线C ：x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝y得到曲线C ′，则曲线C ′的方程为________. 答案 x ′24＋y ′2＝1解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′，代入曲线C 的方程得C ′：x ′24＋y ′2＝1.2.曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为________. 答案 4x 2＋9y 2＝1解析 根据题意，曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则(2x )2＋(3y )2＝1，即4x 2＋9y 2＝1，所以曲线C 的方程为4x 2＋9y 2＝1.3.在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过变换后所得的点A ′的坐标为________. 答案 (1，－1)解析 设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ： ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1， 所以点A ′的坐标为(1，－1).4.双曲线C ：x 2－y 264＝1经过伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y后所得曲线C ′的焦点坐标为________.答案 (－5，0)，(5，0)解析 设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，将⎩⎨⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1， 化简得x ′29－y ′216＝1，即为曲线C ′的方程，知C ′仍是双曲线，其焦点坐标分别为(－5，0)，(5，0).感悟提升 1.平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程.2.解答该类问题应明确两点：一是明确平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解.考点二 极坐标与直角坐标的互化例1 (1)极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0转化成直角坐标方程为( ) A.x 2＋y 2＝0或y ＝1 B.x ＝1C.x 2＋y 2＝0或x ＝1D.y ＝1(2)点M 的直角坐标是(－1，3)，则点M 的极坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3(k ∈Z ) 答案 (1)C (2)C解析 (1)ρ2cos θ－ρ＝0⇒ρ＝x 2＋y 2＝0，或ρcos θ＝1，即x ＝1.(2)∵ρ＝（－1）2＋（3）2＝2，tan θ＝3－1＝－ 3.又点M 在第二象限，∴θ＝2π3， ∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3.感悟提升 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.训练1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点.(1)求C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程. 解 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得，ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1， 即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0).当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)由(1)知M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233. 所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R ). 考点三 求曲线的极坐标方程例2 (2022·西安五校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，如图，将C 1分别绕原点O 逆时针旋转π2，π，3π2得到曲线C 2，C 3，C 4，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)分别写出曲线C 1，C 2，C 3，C 4的极坐标方程；(2)直线l ：θ＝π3(ρ∈R )交曲线C 1，C 3分别于A ，C 两点，直线l ′：θ＝2π3(ρ∈R )交曲线C 2，C 4分别于B ，D 两点，求四边形ABCD 的面积.解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1，得C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，设C 1上的点(ρ0，θ0)旋转π2得到曲线C 2上的点(ρ，θ)，则ρ0＝ρ，θ0＝θ－π2，代入C 1的方程得ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ－π2≤π2，所以C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤θ≤π，同理，C 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π≤θ≤3π2，C 4的极坐标方程为ρ＝－2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2≤θ≤2π.(2)结合图形的对称性可知S 四边形ABCD ＝4S △AOB ， 将θ＝π3代入C 1得|OA |＝ρA ＝1，将θ＝2π3代入C 2得|OB |＝ρB ＝3，所以S 四边形ABCD ＝4S △AOB ＝4×12·|OA |·|OB |·sin π3＝3. 感悟提升 求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点.(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.训练2 在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4，0)且与OM 垂直，垂足为P . (1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 解 (1)因为M (ρ0，θ0)在曲线C 上， 当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3. 由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2. 设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点.在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2.经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上，所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，所以θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.考点四 极坐标方程的应用例3 已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，设曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y 得到曲线C ′，以直角坐标中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C ′的极坐标方程；(2)若A ，B 是曲线C ′上的两个动点，且OA ⊥OB ，求|OA |2＋|OB |2的最小值. 解 (1)曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，转换为普通方程为x 2＋y 2＝4，曲线C经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝12y得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，极坐标方程为ρ＝21＋3sin 2θ.(2)设A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，所以|OA |2＋|OB |2＝ρ21＋ρ22＝41＋3sin 2θ＋41＋3cos 2θ ＝8＋12（sin 2θ＋cos 2θ）（1＋3sin 2θ）（1＋3cos 2θ）＝20（1＋3sin 2θ）（1＋3cos 2θ） ＝201＋3（sin 2θ＋cos 2θ）＋94sin 22θ ＝204＋94sin 22θ≥165. 当sin 2θ＝±1时，|OA |2＋|OB |2取得最小值165.感悟提升 1.若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.2.在极坐标系中，如果P 1(ρ1，θ1)，P 2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式 |P 1P 2|＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）.两种特殊情况：(1)当θ1＝θ2＋2k π，k ∈Z 时，|P 1P 2|＝|ρ1－ρ2|； (2)当θ1＝θ2＋π＋2k π，k ∈Z ，|P 1P 2|＝|ρ1＋ρ2|.3.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.训练3 (2021·昆明诊断)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝9＋3t ，y ＝t (t为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝161＋3sin 2θ.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)已知P 为曲线C 上的一个动点，求线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离. 解 (1)由ρ2＝161＋3sin 2θ， 得ρ2＋3ρ2sin 2θ＝16，则曲线C 的直角坐标方程为x 2＋4y 2＝16， 即x 216＋y 24＝1.直线l 的直角坐标方程为x －3y －9＝0.(2)可知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝2sin α(α为参数)，设P (4cos α，2sin α)，α∈[0，2π)，则M (2cos α，sin α)到直线l ：x －3y －9＝0的距离为d ＝|2cos α－3sin α－9|2＝|7sin （θ－α）－9|2≤9＋72，所以线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离为9＋72.1.将直角坐标方程与极坐标方程互化： (1)y 2＝4x ；(2)y 2＋x 2－2x －1＝0； (3)θ＝π3(ρ∈R )；(4)ρcos 2 θ2＝1； (5)ρ2cos 2θ＝4； (6)ρ＝12－cos θ.解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.化简得ρsin 2θ＝4cos θ.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＋x 2－2x －1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简得ρ2－2ρcos θ－1＝0.(3)当x ≠0时，由于tan θ＝y x ，故tan π3＝yx ＝3，化简得y ＝3x (x ≠0)； 当x ＝0时，y ＝0.显然(0，0)在y ＝3x 上，故θ＝π3(ρ∈R )的直角坐标方程为 y ＝3x .(4)因为ρcos 2θ2＝1，所以ρ·1＋cos θ2＝1，而ρ＋ρcos θ＝2，所以x 2＋y 2＋x ＝2.化简得y 2＝－4(x －1).(5)因为ρ2cos 2θ＝4，所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即x 2－y 2＝4. (6)因为ρ＝12－cos θ，所以2ρ－ρcos θ＝1，因此2x 2＋y 2－x ＝1，化简得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.2.在极坐标系中，已知两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3.(1)求A ，B 两点间的距离； (2)求点B 到直线l 的距离.解 (1)设极点为O .在△OAB 中，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，由余弦定理，得 |AB |＝32＋（2）2－2×3×2×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝ 5.(2)因为直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3，所以直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π2，倾斜角为3π4.又B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2， 所以点B 到直线l 的距离为(32－2)×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π2＝2.3.以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程. 解 (1)因为ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，所以曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4.(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )， 根据题意21－sin θ0＝3·21－sin （θ0＋π），解得θ0＝π6或θ0＝5π6，所以直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R ).4.(2022·南宁调研)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C 1，C 2的极坐标方程；(2)设A ，B 分别为C 1，C 2上的点，若△OAB 为等边三角形，求|AB |. 解 (1)因为圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1， 圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4，所以C 1：x 2＋y 2＝2x ，C 2：x 2＋y 2＝－4x ， 因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ， 所以C 1：ρ＝2cos θ，C 2：ρ＝－4cos θ.(2)因为C 1，C 2都关于x 轴对称，△OAB 为等边三角形， 所以不妨设A (ρA ，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρB ，θ＋π3，0＜θ＜π2.依题意可得，ρA ＝2cos θ，ρB ＝－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3.从而2cos θ＝－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，整理得，2cos θ＝3sin θ，所以tan θ＝233，又因为0＜θ＜π2，所以cos θ＝217，|AB |＝|OA |＝ρA ＝2217.5.(2021·成都诊断)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1，直线l 的方程为x ＋3y －6＝0.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程；(2)若点P (x ，y )在直线l 上且y >0，射线OP 与曲线C 相交于异于点O 的点Q ，求|OP ||OQ |的最小值.解 (1)由极坐标与直角坐标的互化公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得 曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 由题意得直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－6＝0，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝3.(2)设点P 的极坐标为(ρ1，θ)，点Q 的极坐标为(ρ2，θ)，其中0<θ<π2. 由(1)知|OP |＝ρ1＝6cos θ＋3sin θ，|OQ |＝ρ2＝2cos θ. ∴|OP ||OQ |＝ρ1ρ2＝62cos 2θ＋23sin θcos θ＝61＋cos 2θ＋3sin 2θ＝61＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6.∵0<θ<π2，∴π6<2θ＋π6<7π6，∴－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6≤1. ∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝1，即θ＝π6时，|OP ||OQ |取得最小值2.6.已知曲线C 1：x 2＋(y －3)2＝9，A 是曲线C 1上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点A 绕点O 逆时针旋转90°得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线C 2. (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 1，C 2分别交于P ，Q 两点，定点M (－4，0)，求△MPQ的面积.解 (1)曲线C 1：x 2＋(y －3)2＝9， 即x 2＋y 2－6y ＝0. 从而ρ2＝6ρsin θ.所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝6sin θ. 设B (ρ，θ)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，θ－π2，则有ρ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝－6cos θ.所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝－6cos θ. (2)M 到射线θ＝5π6(ρ＞0)的距离为d ＝4sin 5π6＝2，射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 1的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρP ，5π6，其中，ρP ＝6sin 5π6＝3，射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 2的交点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρQ ，5π6，其中，ρQ ＝－6cos 5π6＝33，则|PQ |＝|ρP －ρQ |＝33－3， 则S △MPQ ＝12|PQ |d ＝33－3.。
