2006年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷.理)含详解

２００６年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科综合能力测试物理部分本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至16页，共300分，考试时间150分钟 .考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题共120分)注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试卷上。

本卷共20小题，每小题６分，共１２０分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

以下数据可供解题时参考：可能用到的相对原子质量：H1C12 O1613.目前核电站利用的核反应是A.裂变，核燃料为铀B.聚变，核燃烧为铀C.裂变，核燃烧为氘D.聚变，核燃料为氘14.使用电的金属球靠近不带电的验电器，验电器的箔片开。

下列各图表示验电器上感应电荷的分布情况，正确的是A B C D15.如图所示，两个相通的容器P、Q间装有阀门K、P中充满气体，Q为真空，整个系统与外界没有热交换.打开阀门K后，P中的气体进入Q中，最终达到平衡，则A.气体体积膨胀，内能增加B.气体分子势能减少，内能增加C.气体分子势能增加，压强可能不变D.Q中气体不可能自发地全部退回到P中16.水的折射率为n，距水面深h处有一个点光源，岸上的人看到水面被该光源照亮的圆形区域的直径为A.2 h tan(arc sinn1) B.2 h tan(arc sin n) C.2 h tan(arc cos n 1) D.2 h cot(arc cos n) 17.某同学看到一只鸟落在树枝上的P 处，树枝在10 s 内上下振动了6次，鸟飞走后，他把50 g 的砝码挂在P 处，发现树枝在10 s 内上下振动了12次.将50 g 的砝码换成500 g 砝码后，他发现树枝在15 s 内上下振动了6次，你估计鸟的质量最接近A.50 gB.200 gC.500 gD.550 g18.一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行。

普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果时间A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果时间A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kkkn n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径 一、选择题⑴、设集合{}20M x x x =-<，{}2N x x =<，则 A ．M N =∅ B ．M N M = C ．MN M = D ．MN R =⑵、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => C ．()22()x f x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+> ⑶、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =A ．14-B ．4-C ．4D ．14⑷、如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =A ．1B ．1-CD ．⑸、函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为A ．,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ B ．()(),1,k k k Z ππ+∈C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭⑹、ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =A ．14 B ．34C ．4D ．3⑺、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π⑻、抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 A ．43 B ．75 C ．85D ．3 ⑼、设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。

一、单项选择题1、商业银行最主要的资金来源是（）A、资本金B、中央银行借款C、发行金融债券D、存款负债2、建立时没有资本金而是根据国家授权执行中央银行职能的是( )A、新加坡中央银行B、韩国中央银行C、土耳其中央银行D、斐济中央银行3、某企业持有3个月后到期的一年期汇票，面额为2000元，银行确定该票据的贴现率为5%，则贴现额是（）A、1975元B、1950元C、25元D、50元4、对经济运行影响强烈而不常使用的货币政策工具是( )A、信用配额B、公开市场业务C、再贴现政策D、存款准备金政策5、货币的本质是（）A、金属货币B、纸币C、支付凭证D、充当一般等价物的特殊商品6、企业之间的赊销、预付属于什么信用形式（）A、商业信用B、银行信用C、国家信用D、消费信用7、按资金的偿还期限分，金融市场分为（）A、一级市场和二级市场B、同业拆借市场和长期债券市场C、货币市场和资本市场D、回购市场和债券市场二、多选题1、治理通货膨胀可采取紧缩的货币政策，主要手段包括（）A、通过公开市场购买政府债券B、提高再贴现率C、通过公开市场出售政府债券D、提高法定准备金率E、降低再贴现率2、中央银行的基本特征是( )A、不以盈利为目的B、与政府有明确分工C、国家所有制D、处于超然地位E、不经营普通银行业务3、商业银行的经营原则有( )A、流动性B、社会性C、安全性D、盈利性E、效益性4、对货币市场表述正确的有( )A、货币市场流动性高B、政府参与货币市场的主要目的是筹集资金，弥补赤字C、一般企业参与货币市场的目的主要是调整流动性资产比重D、货币市场交易频繁E、货币市场是有形市场5、属于商业银行资产业务的有（）A、证券投资B、票据贴现C、货币发行D、贷款E、吸收存款三、简答题：简述金融市场的概念和功能。

金融市场是指金融资产为交易对象而形成的供求关系及其机制的总和。

其功能主要有：（1）调剂资本余缺，便利筹资与投资（2）提高资本效率（3）促进资本流动，调节国民经济（4）有利于金融机构资产经营（5）有利于以市场化方式实施货币政策简述中央银行的货币政策目标以及货币政策工具。

绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试本试卷分第I卷（选择题）和第a卷（非选择题）两部分。

第I卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第I卷注愈事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3本卷共21小题，每小题6分，共126分。

以下数据可供解题时参考：相对原子质量（原子量）：H 1 C 12 N 14 O 16一、选择题（本题包括13小题。

每小题只有一个选项符合题意）1.人的神经系统中，有些神经细胞既能传导兴奋，又能合成分泌激素。

这些细胞位于A.大脑皮层B. 垂体C. 下丘脑D. 脊髓2.一般情况下，用抗原免疫机体，血清中抗体浓度会发生相应变化。

如果第二次免疫与第一次免疫所用的抗原相同且剂量相等，下列四图中能正确表示血清中抗体浓度变化的是3.下列关于动物细胞培养的叙述，正确的是A.培养中的人效应T细胞能产生单克隆抗体B.培养中的人B 细胞能够无限地增殖C.人的成熟红细胞经过培养能形成细胞株D.用胰蛋白酶处理肝组织可获得单个肝细胞4.锄足蟾蝌蚪、雨蛙蝌蚪和蟾蜍蝌蚪均以浮游生物为食。

在条件相同的四个池塘中，每池放养等量的三种蝌蚪，各池蝌蚪总数相同。

再分别在四个池塘中放入不同数量的捕食者水螈。

一段时间后，三种蝌蚪数量变化结果如图。

下列分析，错误．．的是A.无水螈的池塘中，锄足蟾蝌蚪数量为J 型增长B.三种蝌蚪之间为竞争关系C.水螈更喜捕食锄足蟾蝌蚪D.水螈改变了三种蝌蚪间相互作用的结果5.采用基因工程技术将人凝血因子基因导入山羊受精卵，培育出了转基因羊。

但是，人凝血因子只存在于该转基因羊的乳汁中。

以下有关叙述，正确的是A.人体细胞中凝血因子基因编码区的碱基对数目，等于凝血因子氨基酸数目的3倍B.可用显微注射技术将含有人凝血因子基因的重组DNA 分子导入羊的受精卵C.在转基因羊中，人凝血因子基因存在于乳腺细胞，而不存在于其他体细胞中D.人凝血因子基因开始转录后，DNA 连接酶以DNA 分子的一条链为模板合成mRNA6.在常温常压下呈气态的化合物，降温使其固化得到的晶体属于A.分子晶体B.原子晶体C.离子晶体D.何种晶体无法判断7.下列叙述正确的是A.同一主族的元素，原子半径越大，其单质的熔点一定越高B.同一周期元素的原子，半径越小越容易失去电子C.同一主族的元素的氢化物，相对分子质量越大，它的沸点一定越高D.稀有气体元素的原子序数越大，其单质的沸点一定越高8.用A N 代表阿伏加德罗常数，下列说法正确的是A.0.5molAl 与足量盐酸反应转移电子数为1A NB.标准状况下，11.2L 3SO 所含的分子数为0.5A NC.0.1mol 4CH 所含的电子数为1A ND.46g 2NO 和24N O 的混合物含有的分子数为1A N9.把分别盛有熔融的氯化钾、氯化镁、氯化铝的三个电解槽串连，在一定条件下通电一段时间后，析出钾、镁、铝的物质的量之比为A. 1:2:3B. 3:2:1C.6:3:1D. 6:3:210. 浓度均为0.1mol·L-1的三种溶液等体积混和，充分反映后没有沉淀的一组溶液是A. BaCl2 NaOH NaHCO3B. Na2CO3 MgCl2 H2SO4C. AlCl3 NH3·H2O NaOHD. Ba(OH)2CaCl2Na2SO411.在0.1mol·L-1CH3COOH溶液中存在如下电离平衡：CH3COOH CH3COO-+H+对于该平衡，下列叙述正确的是A.加入水时，平衡向逆反应方向移动B.加入少量NaOH固体，平衡向正反应方向移动C.加入少量0.1mol·L-1HCl溶液，溶液中c（H+）减小D.加入少量CH3COONa固体，平衡向正反应方向移动12. 茉莉醛具有浓郁的茉莉花香，其结构简式如下所示：关于茉莉醛的下列叙述错误的是A.在加热和催化剂作用下，能被氢气还原B.能被高锰酸钾酸性溶液氧化C.在一定条件下能与溴发生取代反应D.不能与氢溴酸发生加成反应13.由硫酸钾、硫酸铝和硫酸组成的混和溶液，其pH＝1，c（Al3+）＝0.4mol·L-1，c（SO42-）＝0.8mol·L-1，则c（K+）为A.0.15mol·L-1B.0.2mol·L-1C.0.3mol·L-1D.0.4mol·L-1二、选择题（本题包括8小题。

2006年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．Ｄ 2．Ｃ 3．Ｂ 4．Ａ 5．Ｃ 6．Ａ 7．Ｄ 8．Ｃ二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．12-10．14- 11．12 12．π31314．13R R π 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共12分） 解：（Ⅰ）由cos 0x ≠得()x k k π≠π+∈2Z ， 故()f x 的定义域为x x k k ⎧π⎫≠π+∈⎨⎬2⎩⎭Z ，．（Ⅱ）因为4tan 3α=-，且α是第四象限的角， 所以43sin cos 55αα=-=，，故12()cos f αααπ⎛⎫- ⎪4⎝⎭=2122cos 1sin 2cos 2cos 2cos 2sin cos cos 2(cos sin )14.5αααααααααααα⎫-⎪⎝⎭=-+=-==-=16．（共13分） 解法一：（Ⅰ）由图象可知，在(1)-∞，上()0f x '>，在(12)，上()0f x '<，在(2)+∞，上()0f x '>．故()f x 在(1)(2)-∞+∞，，，上递增，在(12)，上递减，因此()f x 在1x =处取得极大值，所以01x =．（Ⅱ）2()32f x ax bx c '=++，由(1)0(2)0(1)5f f f ''===，，，得32012405.a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，解得2912a b c ==-=，，．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设2()(1)(2)32f x m x x mx mx m '=--=-+． 又2()32f x ax bx c '=++， 所以3232m a b m c m ==-=，，， 323()232m f x x mx mx =-+．由(1)5f =，即32532m m m -+=， 得6m =．所以2912a b c ==-=，，．17．（共14分） 解法一：（Ⅰ）PA ⊥平面ABCD ．AB ∴是PB 在平面ABCD 上的射影， 又AB AC AC ⊂ ，⊥平面ABCD ．AC PB ∴⊥． （Ⅱ）连接BD ，与AC 相交于O ，连接EO ．ABCD 是平行四边形， O ∴是BD 的中点， 又E 是PD 的中点，EO PB ∴∥． 又PB ⊄平面AEC EO ⊂，平面AEC ．PB ∴∥平面AEC ． （Ⅲ）过O 作FG AB ∥，交AD 于F ，交BC 于G ，则F 为AD 的中点．AB AC ⊥， OG AC ∴⊥． 又由（Ⅰ），（Ⅱ）知，AC PB EO PB ，⊥∥，AC EO ∴⊥．EOG ∴∠是二面角E AC B --的平面角．连接EF ，在EFO △中，PBCDE A OGF1122EF PA FO AB ==，，又PA AB EF FO =，⊥， 45135EOF EOG ∴∠=∠= ，，∴二面角E AC B --的大小为135 ．解法二：（Ⅰ）建立空间直角坐标系A xyz -，如图． 设AC a PA b ==，，则有(000)(00)(00)(00)A B b C a P b ，，，，，，，，，，，，(00)(0)AC a PB b b ∴==- ，，，，，，从而0AC PB =AC PB ∴⊥． （Ⅱ）连接BD ，与AC 相交于O ，连接EO ．由已知得(0)D a b -，，，002222a b b a E O ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，022b b EO ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ ，，，又(0)PB b b =-，，， 2PB EO ∴= ，PB EO ∴∥，又PB ⊄平面AEC EO ，⊂平面AEC ，PB ∴∥平面AEC ．（Ⅲ）取BC 中点G ．连接OG ，则点G 的坐标为000222a b b OG ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，又0(00)22b b OE AC a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，，，，，，∴00OE AC OG AC ==，． OE AC OG AC ∴，⊥⊥．EOG ∴∠是二面角E AC B --的平面角．cos cos OE OG EOG OE OG OE OG∴=<>==，． 135EOG ∴∠= ．∴二面角E AC B --的大小为135 ．y18．（共13分）解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A B C ，，． 则()()()P A a P B b P C c ===，，． （Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率1()()()()P P A B C P A B C P A B C P A B C =+++(1)(1)(1)ab c bc a ac b abc =-+-+-+2ab bc ca abc =++-；应聘者用方案二考试通过的概率2111()()()333P P A B P B C P A C =++1()3ab bc ca =++．（Ⅱ）因为[01]a b c ∈，，，，所以122()23P P ab bc ca abc -=++- 2[(1)(1)(1)]03ab c bc a ca b =-+-+-≥． 故12P P ≥．即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大． 19．（共14分）解法一：（Ⅰ）由PM PN -=P 的轨迹是以M N ，为焦点的双曲线的右支，实半轴长a =又半焦距2c =，故虚半轴长b ==所以W 的方程为22122x y x -=， （Ⅱ）设A B ，的坐标分别为1122()()x y x y ，，，， 当AB x ⊥轴时，1212x x y y ==-，，从而221212112OA OB x x y y x y =+=-=．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+，与W 的方程联立，消去y 得222(1)220k x kmx m ----=．故21212222211km m x x x x k k ++==--，．所以1212OA OB x x y y =+12122212122222222222()()(1)()(1)(2)2112242.11x x kx m kx m k x x km x x m k m k m m k k k k k =+++=++++++=++--+==+--又因为120x x >，所以210k ->，从而2OA OB >．综上，当AB x ⊥轴时，OA OB 取得最小值2．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设A B ，的坐标分别为1122()()x y x y ，，，， 则22()()2(12)i i i i i i x y x y x y i -=+-==，． 令i i i s x y =+，i i i t x y =-， 则20i i i s t s =>，，0(12)i t i >=，，所以1212OA OB x x y y =+ 1122112211()()()()44s t s t s t s t =+++--121211222s s t t =+=， 当且仅当1212s s t t =，即1212x x y y =⎧⎨=-⎩，时“＝”成立．所以OA OB的最小值是2． 20．（共14分）（Ⅰ）解：12345678910312110110 1.a a a a a a a a a a ==========，，，，，，，，，（答案不惟一）（Ⅱ）解：因为在绝对差数列{}n a 中，202130a a ==，，所以自第20项开始，该数列是202122232425262730330330a a a a a a a a ======== ，，，，，，，，即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3，所以当n →∞时，n a 的极限不存在．当20n ≥时，126n n n n b a a a ++=++=，所以lim 6n n b →∞=．（Ⅲ）证明：根据定义，数列{}n a 必在有限项后出现零项．证明如下：假设{}n a 中没有零项，由于12n n n a a a --=-，所以对于任意的n ，都有1n a ≥， 从而当12n n a a -->时，1211(3)n n n n a a a a n ---=--≤≥； 当12n n a a --<时，2121(3)n n n n a a a a n ---=--≤≥． 即n a 的值要么比1n a -至少小1，要么比2n a -至少小1． 令212122212()123()n n n n n n n a a a c n a a a --->⎧==⎨<⎩ ，，，，，．则101(234)n n c c n -<-= ，，，≤．由于1c 是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项0k c <，这与0n c >（123n = ，，，）矛盾．从而{}n a 必有零项． 若第一次出现的零项为第n 项，记1(0)n a A A -=≠，则自第n 项开始，每三个相邻的项周期地取值0AA ，，． 即3313200123n k n k n k a a A k aA +++++=⎧⎪==⎨⎪=⎩ ，，，，，，，，所以绝对差数列{}n a 中有无穷多个为零的项．。

2023年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类) (北京卷)第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出地四个选项中,选出符合题要求地一项.(1)在复平面内,复数1i i+对应地点位于 ( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答:D解析:11i i i+=-,在复平面内所对应地点是(1,－1),故选D.(2)若a 与b －c 都是非零向量,则"a ·b =a ·c "是"a ⊥(b －c )"地 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答:C解析:a ·b =a ·c ⇔a ·b －a ·c =0⇔a ·(b －c )=0⇔a ⊥(b －c ).(3)在1,2,3,4,5这五个数字组成地没有重复数字地三位数中,各位数字之和为奇数地共有 ( )A.36个B.24个C.18个D.6个答:B解析:在所给地五个数字中,有三个奇数,两个偶数,则按要求组成地三位数可能是①由三个奇数组成1,3,5(共可组成33A 个奇数);②由一个奇数、两个偶数组成,这时地可能性为:1,2,4;3,2,4;5,2,4(共可组成333A ⨯个奇数).所以共有33A +333A ⨯=24个(4)平面α地斜线AB 交α于点B ,过定点A 地动直线l 与AB 垂直,且交α于点C ,则动点C 地轨迹是 ( )A.一条直线B.一个圆C.一个椭圆D.双曲线地一支答:A.解析:方法一:如下图所示,设直线AB 在平面α内地射影为O ,过O 点建立如下图所示地空间坐标系,并记ABO θ∠=,AB=l 则有A (0,0,l sin θ), B (0,l cos θ,0), 再设C (x , y ,0),则有AC = (x , y ,－l sin θ),AB = (0,l cos θ,－l sin θ),由AB AC ⊥ 得0AB AC = ,即(x , y ,－l sin θ)·(0,l cos θ,－l sin θ)=0,所以yl cos θ＋l 2sin 2θ=0,这是一个直线方程.方法二:坐标系地建立仍同方法一,则在Rt △ABC 中,由勾股定理得AB 2+AC 2=BC 2,即[(0－0)2＋(0－l cos θ)2＋(l sin θ－0)2]＋[(0－x )2＋(0－y )2＋(l sin θ－0)2]=(0－x )2＋(l cos θ－0)2＋(0－0)2由此得yl cos θ＋l 2sin 2θ=0.(5)已知()()314,1,log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩是(),-∞+∞上地减函数,那么a 地取值范围是 ( )A.(0,1) B.(0,13) C.[17,13) D.[17,1)答:C解析:当1,x <()()314,f x a x a =-+它在(),1-∞上为减函数地充要条件是310a -<,得13a <.当1,x ≥()log a f x x =,它在[)1,+∞上为减函数地充要条件是01a <<.当1x =时,要使()f x 在(),-∞+∞为减函数,须有()314log a a x a x -+≥,即()3114log 1a a a -+≥ ,即17a ≥.综上三种情况,得1173a ≤<.(6)在下列四个函数中,满足性质:"对于区间(1,2)上地任意x 1,x 2 (12x x ≠),|()()21f x f x -21||x x <-恒成立"地只有 ( )A.()1f x x =B.()||f x x =C.()2x f x = A.()2f x x = 答:A解析:当()12,1,2x x ∈时,要证|()()21f x f x -21||x x <-,只要证()()21211f x f x x x -<-在()12,1,2x x ∈恒成立即可.对于选项A,有()()2121212121111f x f x x x x x x x x x --==-- ,当()12,1,2x x ∈,恒有2111x x < ,所以选A.(7)设()47103102222 (2)()n f n n +=+++++∈N ,则f (n )= ( )A.()2817n - B.()12817n +- C.()22817n +- D.()32817n +- 答:D解析:数列47103102,2,2,2,...,2()n n +∈N 是以首项为2,公比为8地等比数列,这个给出地数列共有()3n +项,根据等比数列地通项公式有()()33281281817n n n S ++-==--.(8)下图为某三岔路口交通环岛地简化模型.在某高峰时段,单位时间进出路口A ,B ,C 地机动车辆数如下图所示,图中x 1,x 2,x 3分别表示该时段单位时间通过路段AB , BC , CA 地机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出地车辆数相等),则A.123x x x >>B.132x x x >>C.231xx x >> D.312x x x >>答:C解析:按图中地数据列出方程组即可.第Ⅱ卷(共110分)二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把解析填写在题中横线上.(9)22132lim 1x x x x →-++-地值等于 .答:－12.解析:()()2211132(1)(2)21lim lim lim 11121x x x x x x x x x x x x →-→-→-+++++===-+---.(10)在72x ⎫-⎪⎭地展开式中,x 2地系数是 .(用数字作答)答:－14.解析:72x ⎫-⎪⎭=7601772...C C x ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=72214...x x -+,所以x 2地系数是－14.(11)若三点A (2,2),B (a ,0),C (0,b ) (ab ≠0),共线,则11a b +地值等于 .答:12.解析:设过点B (a ,0),C (0,b ) 地直线方程为1x y a b +=,由于点A (2,2)在此直线上,所以221a b +=,则1112a b +=.(12)在△ABC 中,若sin A :sin B :sin C =5:7:8,则∠B 地大小是 .答:3π.解析:由正弦定理有 a :b :c =5:7:8,不妨设a =5,b =7, c =8,则由余弦定理得cos ∠B =22258712582+-=⨯⨯,所以∠B =3π.(13)已知点P (x , y )地坐标满足条件4,,1,x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩点O 为坐标原点,即么|PO |地最小值等于 ,最大值等于.答.解析:这是一个线性规划问题,由图中可以解得A (1,1), B (2,2), C (1,3),由图可见OB ⊥BC ,所以当P 点与C 点重合时,OP当P 点与A 点重合时,OA 是最小距.(14)已知A ,B ,C 三点在球心为O ,半径为R 地球面上,AC ⊥BC ,且AB =R ,那么A ,B 两点地球面距离为 .球心到平面ABC 地距离为 .答:3RπR .解析:由于AC ⊥BC ,则知A ,B ,C 在平面ABC 与球地交面(圆)上,且AB 为平面与球地所交地小圆地直径.由AB =R ,可见12R O B =,则∠BOO 1=300,且1OO R ==.A ,B 两点地球面距离即为∠BOA 所对地大圆上地弧地长度,即0060123360R R ππ⨯=.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(15)(本小题共12分)已知函数()f x =.(Ⅰ)求f (x )地定义域;(Ⅱ)设α是第四象限地角,且tan α=43-,求f (α)地值.解:(Ⅰ)要使函数f (x )有意义,则有cos 0x ≠,所以,2x k k ππ≠+∈Z ,则所求定义域为|,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z.(Ⅱ)由α是第四象限地角,且tan α=43-可得43sin ,cos 55αα=-=.()f x ==()21sin 2cos 22sin cos 2cos 2sin cos cos cos x x x x x x x x x-+-+==-+.把43sin ,cos 55αα=-=代入上式,即得f (α)=()142sin cos 5αα-+=.(16)(本小题共13分)已知函数()32f x ax bx cx =++在点x 0处取得极大值,其导数y=f"(x )地图象经过点(1,0),(2,0),如下图所示,求:(Ⅰ)x 0地值;(Ⅱ),,a b c 地值.解:(Ⅰ)由图中可见()2'32f x ax bx c =++与x 轴地交点为()()1,0,2,0,且知0a >.则知方程()2'320f x ax bx c =++=地两根121,2x x ==,则有2231210,32220.a b c a b c ⎧⨯+⨯+=⎪⎨⨯+⨯+=⎪⎩即320,1240.a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩由此可得9,26,b ac a ⎧=-⎪⎨⎪=⎩①②当1x =时,所取得地极大值是()1f a b c =++=52a ;当2x =时,所取得地极大值是()2844f abc a =++=-.由于0a >,则知当1x =时,()f x 所取得地极大值是最大值.所以01x =.(Ⅱ)由()1f a b c =++=52a =5,所以2a =.将此代入①②得b =－9,c =12.(17)(本小题共14分)如图,在底面为平行四边形地四棱锥P-ABCD 中,AB ⊥AC ,PA 平面ABCD ,且PA=PB ,点E 是PD 地中点.(Ⅰ)求证:AC ⊥PB ;(Ⅱ)求证:PB //平面AEC;(Ⅲ)求二面角E-AC-B 地大小.解法一:(Ⅰ)∵PA ⊥平面ABCD ,∴AB 是PB 在平面ABCD 上地射影.又∵AB ⊥AC ,AC ⊂平面ABCD ,∴AC ⊥PB .(Ⅱ)连接BD ,与AC 相交于O ,连接EO .∵ABCD 是平行四边形,∴O 是BD 地中点,又E 是PD 地中点,∴EO//PB .又PB ⊄平面AEC ,EO ⊂平面AEC ,∴PB//平面AEC .(Ⅲ)取BC 中点G ,连接OG ,则点G 地坐标为(,,022a b ),0,,02b OG ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,0,,22b b OE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,(),0,0AC a = ,∴0,0,OE AC OG AC == ∴0,0,OE AC OG AC ⊥=⊥=∴∠EOG 是二面角E-AC-B 地平面角.∵cos cos ,OE OG EOG OE OG OE OG=<>== ,∴0135EOG ∠=.∴二面角E-AC-B 地大小为1350.(18)(本小题共13分)某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格地概率分别为a ,b ,c ,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.(Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过地概率;(Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过地概率地大小.(说明理由)解:记该应聘者对三门指定课程考试及格地事件分别为A,B,C,则P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c,(Ⅰ)应聘者用方案一考试通过地概率()()()()()()()11112;p P A B C P A B C P A B C P A B C ab c bc a ac b abcab bc ca abc =+++=-+-+-+=++- (Ⅱ)因为a ,b ,c[]0,1∈,所以()()()()1222321110;3p p ab bc ca abc ab c bc a ca b -=++-=-+-+-≥⎡⎤⎣⎦故12p p ≥,即采用第一种方案,该应聘者考试通过地概率较大.(19)(本小题共14分)已知点M (－2,0),N (2,0),动点P 满足条件|PM |－|PN.记动点P 地轨迹为W .(Ⅰ)求W 地方程;(Ⅱ)若A ,B 是W 上地不同两点,O 是坐标原点,求OA OB 地最小值.解法一:(Ⅰ)由|PM |－|PN知动点P 地轨迹是以M,N 为焦点地双曲线地右支,实半轴长a =.又半焦距c=2,故虚半轴长b ==,所以W地方程为221,22x y x -=≥.(Ⅱ)设A ,B 地坐标分别为(11,x y ),(22,x y ),当AB ⊥x 轴时,1212,,x x y y ==-从而22121211 2.OA OB x x y y x y =+=-= 当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 地方程为y kx m =+,与W 地方程联立,消去y 得()2221220,k x kmx m ----=故212122222,11km m x x x x k k ++==--,所以()()()()1212121222*********22222(1)()122112242.11OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m k m k m m k k k k k =+=+++=++++++=++--+==+-- 又因为120,x x >所以210,k ->从而2,OA OB > 综上,当AB ⊥x 轴时,OA OB 取得最小值2.解法二:(Ⅰ)同解法一;(Ⅱ)设A ,B 地坐标分别为(11,x y ),(22,x y ),()()222(1,2).i i i i i i x y x y x y i -=+-==令,(1,2)i i i i i i s x y t x y i =+=-=,则2i i s t =,且0,0(1,2)i i s t i >>=,所以()()()()1212112211221122114411222,OA OB x x y y s t s t s t s t s t s t =+=+++--=+≥=当且仅当1122s t s t =,即1212,x x x x =⎧⎨=⎩时,"="成立.所以OA OB 取得最小值2.(20)(本小题共14分)在数列{a n }中,若a 1,a 2是正整数,且a n =|a n －1－a n －2|,3,4,5,n =…,则称{a n }为"绝对差数列".(Ⅰ)举出一个前五项不为零地"绝对差数列"(只要求写出前十项);(Ⅱ)若"绝对差数列"{a n }中,203a =,210a =,数列{b n }满足12n n n n b a a a ++=++,1,2,3,n =…,分别判断当n →∞时,a n 与b n 地极限是否存在,如果存在,求出其极限值;(Ⅲ)证明:任何"绝对差数列"中总含有无穷多个为零地项.解:(Ⅰ)13a =,21a =,32a =,41a =,51a =,60a =,71a =,81a =,90a =,101a =.(解析不惟一)(Ⅱ)因为在绝对差数列{a n }中,20213,0a a ==,所以自第20项开始,该数列是20213,0a a ==,22233,3a a ==,24250,3a a ==,26273,0a a ==,….即自第20项开始,每三个相邻地项地周期地取值3,0,3,所以当n →∞时,n a 地极限不存在.当20n ≥时,12n n n n b a a a ++=++=6,所以lim n n b →∞=6.(Ⅲ)证明:根据定义,数列{a n }必在有限项后出现零项,证明如下:假设{a n }中没有零项,由于a n =|a n －1－a n －2|,所以对于任意地n,都有1n a ≥,从而当12n n a a -->时,a n =a n －1－a n －211(3)n a n -≤-≥;当12n n a a --<时,a n =a n －2－a n －111(3)n a n -≤-≥;即a n 地值要么比a n －1至少小1,要么比a n －2至少小1.令212122212(),(),n n n n n n n a a a c a a a --->⎧=⎨<⎩n =1,2,3,…,则011(2,3,4,...).n n c c n -<≤-=由于c 1是确定地正整数,这样减少下去,必然存在某项c n <0,这与c n >0 (n =1,2,3,…)矛盾.从而{a n }必有零项.若第一次出现地零项为第n 项,记a n －1=A (A ≠0),则自第n 项开始,每三个相邻地项周期地取值0,A,A,即331320,,,n k n k n k a a A a A +++++=⎧⎪=⎨⎪=⎩ k=0,1,2,3,….所以绝对差数列{a n }中有无穷多个为零地项.。

文科数学（必修+选修Ⅱ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）. 1.集合A ={x －1≤x ≤2}，B ＝｛xx ＜1｝,则A ∩B =[D](A){x x ＜1}（B ）{x－1≤x ≤2}(C) {x－1≤x ≤1}(D) {x －1≤x ＜1} 2.复数z =1ii在复平面上对应的点位于[A](A)第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3.函数f (x )=2sin x cos x 是 [C](A)最小正周期为2π的奇函数 （B ）最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数（D ）最小正周期为π的偶函数4.如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A B x x 和,样本标准差分别为s A 和s B ,则[B](A) A x ＞B x ，s A ＞s B (B) A x ＜B x ，s A ＞s B (C) A x ＞B x ，s A ＜s B (D) A x ＜B x ，s A ＜s B5.右图是求x 1,x 2，…，x 10的乘积S 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为 [D] (A)S =S*(n +1)（B ）S =S *x n +1 (C)S =S *n (D)S =S *x n6.“a ＞0”是“a ＞0”的[A](A)充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （B ）既不充分也不必要条件7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ） f （y ）”的是 [C] （A ）幂函数 （B ）对数函数 （C ）指数函数 （D ）余弦函数 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 [B] （A ）2 （B ）1（C ）23（D ）139.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为 [C] （A ）12（B ）1 （C ）2 （D ）410.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]（[x ]表示不大于x 的最大整数）可以表示为 [B]（A ）y ＝[10x] （B ）y ＝[310x +] （C ）y ＝[410x +] （D ）y ＝[510x +] 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝（1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式．．．．．为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）. 12.已知向量a ＝（2，－1），b ＝（－1，m ），c ＝（－1，2）若（a ＋b ）∥c ，则 m ＝ －1 .13.已知函数f （x ）＝232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若f （f （0））＝4a ，则实数a ＝ 2 .14.设x ，y 满足约束条件24,1,20,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为 5 .15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A.（不等式选做题）不等式21x -<3的解集为{}12x x -<<.B.（几何证明选做题）如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝165cm.C.（坐标系与参数方程选做题）参数方程cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）化成普通方程为x 2＋（y －1）2＝1.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）. 16.（本小题满分12分）已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项; （Ⅱ）求数列{2an}的前n 项和S n . 解 （Ⅰ）由题设知公差d ≠0， 由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得121d +＝1812dd++， 解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n .(Ⅱ)由（Ⅰ）知2ma =2n，由等比数列前n 项和公式得S m =2+22+23+ (2)=2(12)12n --=2n+1-2.17.（本小题满分12分）在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.解 在△ADC 中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos ∠2222AD DC AC AD DC+- =10036196121062+-=-⨯⨯, ∴∠ADC=120°, ∠ADB=60°在△ABD 中，AD=10, ∠B=45°, ∠ADB=60°，由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠,∴AB =310sin 10sin 60256sin sin 4522AD ADB B ⨯∠︒===︒.18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形PA ⊥平面ABCD ，AP =AB ，BP =BC =2，E ，F 分别是PB ,PC 的中点. (Ⅰ)证明：EF ∥平面PAD ； (Ⅱ)求三棱锥E —ABC 的体积V.解 (Ⅰ)在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC . 又BC ∥AD ,∴EF ∥AD ,又∵AD ⊄平面PAD ,E F ⊄平面PAD , ∴EF ∥平面PAD .(Ⅱ)连接AE ,AC,EC ,过E 作EG ∥PA 交AB 于点G ,则BG ⊥平面ABCD ,且EG =12PA .在△PAB中，AD=AB, PAB°,BP=2,∴AP=AB=2,EG=22.∴S△ABC=12AB·BC=12×2×2=2,∴V E-AB C=13S△ABC·EG=13×2×22=13.19 （本小题满分12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：（）估计该校男生的人数；（）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；（）从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185~190cm之间的概率。