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《信号处理理论及技术》复习提纲一、绪论信号处理分为哪三大类？1、确定性信号如果序列{s(t)}在每个时刻的取值不是随机的，而是服从某种固定函数的关系，则称为为~。
2、随机性信号定义：如果序列{s(t)}在每个时刻的取值是随机的（随机变量），则称为为~。
随机信号也称随机过程、随机函数或随机序列。
特点：（1）随机信号在任何时间的取值都是不能先验确定的随机变量。
（2）随机信号的取值服从某种统计规律。
3、高斯信号与非高斯信号随机信号按概率密度分类：（1）高斯信号：概率密度函数服从正态（高斯）分布的随机信号。
（2）非高斯信号：概率密度函数服从非正态（非高斯）分布的随机信号。
1、2、现代信号处理与传统信号处理的区别。
3、现代信号处理包括哪些主要内容？二、随机信号分析基础1、平稳性的证明，如例1.1.1、习题1.5。
(P21)2、独立性、不相关性、正交性之间的区别及联系。
(P5)3、独立性、不相关性、正交性的证明，如习题1.12（2）。
（P44）4、正交信号变换、非正交信号变换、双正交信号变换之间的区别及联系。
（P8）三、参数估计理论1、无偏估计与渐进无偏估计的证明，如例2.1.2、习题2.4。
2、Fisher信息公式2.2.4的证明。
3、Cramer-Rao下界，如习题2.5、2.6。
4、Bayes估计、最大似然估计、线性均方估计、最小二乘估计各自的特点。
5、习题2.8-2.13。
四、现代谱估计1、ARMA模型的定义。
2、WOLD分解定理及其应用意义。
3、功率谱等价。
4、ARMA谱估计的算法步骤。
5、习题3.1、3.2、3.7。
五、自适应滤波器1、维纳滤波器的原理。
2、Kalman滤波器的原理。
3、自适应格型滤波器的优点。
4、LMS自适应滤波器的性能特点。
六、高阶统计分析1、为什么要引入高阶统计分析？2、在高阶统计分析中，为什么更常用高阶累计量而不是高阶矩？七、分形与混沌1、分形的定义、分类、特点。
2、分数维的计算。
第 一 章1.1不考 条件部分不考△雅柯比变换 （随机变量函数的变换 P34） △随机变量之间的“不相关、正交、独立” P51 （各自定义、相关系数定义相互关系：两个随机变量相互独立必定互不相关，反之不一定成立 正交与不相关、独立没有明显关系 结合高斯情况）△随机变量的特征函数及基本性质 （一维的 P53 n 维的 P58）△ 多维高斯随机变量的概率密度和特征函数的矩阵形式、三点性质 P61()()()()()()()221()211222211,,exp 22exp ,,exp 22T Tx m X XXX X n n XT T jU X X X X X n X M X M f x f x x U U u Q u j m Q u u E ejM U σπσμ---⎡⎤--⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦C C C u u r u u ru u r u u r u u r u u r L u r u ru u r u r L另外一些性质： []()20XY XY X YX C R m m D X E X m ⎡⎤=-=-≥⎣⎦第二章 随机过程的时域分析1、随机过程的定义从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ∆→→∞的推广 2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？3、随机过程的概率密度P74、特征函数P81。
（连续、离散）一维概率密度、一维特征函数 二元函数4、随机过程的期望、方差、自相关函数。
（连续、离散）5、严平稳、宽平稳的定义 P836、平稳随机过程自相关函数的性质：0点值，偶函数，周期函数（周期分量），均值 7、自相关系数、相关时间的定义 P88222()()()()()(0)()X X XX X X X X XXC R m R R R R τττρτσσ--∞==-∞=非周期相关时间用此定义（00()d τρττ∞=⎰）8、两个随机过程之间的“正交”、“不相关”、“独立”。
概率论基础1.概率空间、概率（条件概率、全概率公式、贝叶斯公式）2．随机变量的定义（一维、二维实随机变量）3.随机变量的描述：⑴统计特性一维、二维概率密度函数、一维二维概率分布函数、边缘分布概率分布函数、概率密度函数的关系⑵数字特征一维数字特征：期望、方差、均方值（定义、物理含义、期望和方差的性质、三者之间的关系）二维数字特征：相关值、协方差、相关系数（定义、相互关系）⑶互不相关、统计独立、正交的定义及其相互关系4.随机变量函数的分布△雅柯比变换（随机变量函数的变换一维随机变量函数的单值和双值变换、二维随机变量函数的单值变换）5、高斯随机变量一维和二维概率密度函数表达式高斯随机变量的性质△随机变量的特征函数及基本性质、随机信号的时域分析1、随机信号的定义从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ∆→→∞的推广2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？3、随机信号的统计特性分析：概率密度函数和概率分布函数（一维、二维要求掌握）4、随机信号的数字特征分析（定义、物理含义、相互关系） 一维：期望函数、方差函数、均方值函数。
（相互关系）二维：自相关函数、自协方差函数、互相关函数、互协方差函数（相互关系） 5、严平稳、宽平稳定义、二者关系、判断宽平稳的条件、平稳的意义、联合平稳定义及判定 6、平稳随机信号自相关函数的性质： 0点值，偶函数，均值，相关值，方差7、两个随机信号之间的“正交”、“不相关”、“独立”。
（定义、相互关系） 8、高斯随机信号定义（掌握一维和二维）、高斯随机信号的性质 9、各态历经性定义、意义、判定条件（时间平均算子、统计平均算子）、平稳性与各态历经性的关系直流分量、直流平均功率、总平均功率、交流平均功率随机信号的频域分析1、随机信号是功率信号，不存在傅里叶变换，在频域只研究其功率谱。
1、随机实验的特点，满足什么特征？
随机试验须满足下面三个特征
(1)、可在相同条件下重复进行；
(2)、每次试验可能结果(Possible result)不唯一，并能事先确定所有可能结果；
(3)、每次试验结果不确定。
2、概率的定义？
1事件是随机的。
赋予事件出现可能性的度量(Measure)，称为概率(Probability)。
“可能性的度量值”是大数试验情形下的统计比例值
P(A) ¼
试验中A出现的次数/总试验次数=nA/n n 足够大
2更一般的定义由概率的公理化定义给出：
3定义若定义在事件域F 的一个集合函数P 满足如下三条件：
(1)、非负性：对任何事件A均有P(A) 大等于0 成立。
即P(A) 大等于0;
(2)、归一性：必然事件(Certain event) 概率为1。
P() = 1；
(3)、可加性：若事件A;B 2 F互斥(Mutually exclusive)，即A并B =空，则P(A[
B) = P(A) + P(B)。
则称P 为概率。
3、随机变量之间的“不相关、正交、独立”（各自定义、相关系数定义）？
相互关系：两个随机变量相互独立必定互不相关，反之不一定成立正交与不相关、独立没有明显关系
4、概率分布函数
5、概率密度函数
6、数学期望
三、正交与无关
正交(Orthogonal)：EfXY g = 0
线性无关(Uncorrelated)或互不相关：EfXY g = mXmY or cov(X; Y ) = 0。
统计独立=)互不相关；但是，互不相关=)= 统计独立。
概率论基础1.概率空间、概率（条件概率、全概率公式、贝叶斯公式）2．随机变量的定义（一维、二维实随机变量）3.随机变量的描述：⑴统计特性一维、二维概率密度函数、一维二维概率分布函数、边缘分布概率分布函数、概率密度函数的关系⑵数字特征一维数字特征：期望、方差、均方值（定义、物理含义、期望和方差的性质、三者之间的关系）二维数字特征：相关值、协方差、相关系数（定义、相互关系）⑶互不相关、统计独立、正交的定义及其相互关系△雅柯比变换（随机变量函数的变换一维随机变量函数的单值和双值变换、二维随机变量函数的单值变换）5、高斯随机变量一维和二维概率密度函数表达式高斯随机变量的性质△随机变量的特征函数及基本性质、随机信号的时域分析1、随机信号的定义从三个方面来理解①随机过程X(t,ζ)是t,ζ两个变量的函数②X(t,ζ)是随时间t变化的随机变量③X(t,ζ)可看成无穷多维随机矢量在∆t→0,n→∞的推广2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？3、随机信号的统计特性分析：概率密度函数和概率分布函数（一维、二维要求掌握）4、随机信号的数字特征分析（定义、物理含义、相互关系）一维：期望函数、方差函数、均方值函数。
（相互关系）二维：自相关函数、自协方差函数、互相关函数、互协方差函数（相互关系）5、严平稳、宽平稳定义、二者关系、判断宽平稳的条件、平稳的意义、联合平稳定义及判定6、平稳随机信号自相关函数的性质：0点值，偶函数，均值，相关值，方差7、两个随机信号之间的“正交”、“不相关”、“独立”。
（定义、相互关系）8、高斯随机信号定义（掌握一维和二维）、高斯随机信号的性质9、各态历经性定义、意义、判定条件（时间平均算子、统计平均算子）、平稳性与各态历经性的关系直流分量、直流平均功率、总平均功率、交流平均功率随机信号的频域分析1、随机信号是功率信号，不存在傅里叶变换，在频域只研究其功率谱。
填空：1.概率与随机变量是随机性信号分析与处理的基础，2.设随机信号变量X的可能取值为0和1 两个值，概率分布为p（x=1）=p，p（x=0）=1-p（0<p<1)称x服从（0，1）分布。
3.设x为随机变量，x为任意实数，定义F（x）=p（x《x）为x的概率分布函数对于任意实数X1 x2（x1<x2）有：（！）p(x1<x<=x2)=F(x2)-F(x1)(2)p(x=x)=F(x)-F(x-)(3)4.常用的数字特称：均值、方差协方差均值：方差：随机信号X(t)的方差定义为方差反映了随机变量X的取值，偏离其均值的偏离程度，D（x)越高X越分散。
下面给出方差与均值和均方值三者之间的关系。
（9.2.5）对于平稳随机信号X(t)而言，有协方差：（9.2.8）(9.2.9)当均值时，有。
自相关函数6.自然界的变化过程分为：确定过程，随即过程7.随机过程的分类：连续随机过程时间状态是连续的连续类型随机序列时间离散而状态连续离散随机过程时间连续而状态离散离散型随机序列时间与状态是离散的8.按照确定的数学公式产生的时间序列，是一个确定性的时间序列但它的变化过程表现出随机序列的特征，把它成为随机序列。
9.如果Fx（x，t）对x的一阶倒数存在，则定义Fx（x,t)=2F(x,t)/2x为随机过程X（t）的一维概率密度10.随机过程X(T)的均值是时间T的函数，也称为均值函数，统一均值是对随即过程X（t)中所有样本函数在时间t的所有取值进行概率加权平均，所以又成为“集合平均”11.如果随机过程X(t)的均值为常数，自相关函数只为2=t1-t2有关，即mx(t)=mx..Rx(T1,T2)=Rx(z),z=t1-t2称为广义平稳随机过程12.非线性系统有：检波器、变频器、限幅器、鉴频器。
13.随机信号的变换：线性变换。
非线性变换14.在实际中为了计算方值【H(w)比较复杂，常常用到一个幅频响应为矩形的理想系统代替实际系统，带宽称为噪声等效遍能带。
第 一 章1.1不考 条件部分不考△雅柯比变换 （随机变量函数的变换 P34） △随机变量之间的“不相关、正交、独立” P51 （各自定义、相关系数定义相互关系：两个随机变量相互独立必定互不相关，反之不一定成立 正交与不相关、独立没有明显关系 结合高斯情况）△随机变量的特征函数及基本性质 （一维的 P53 n 维的 P58）△多维高斯随机变量的概率密度和特征函数的矩阵形式、三点性质 P61()()()()()()()221()2112222111,,exp 222exp ,,exp 22T Tx m XXXXXn n XT T jU XX XXX n X M X M f x ef x x U U u Q u j m Q u u E ej M U σσππσμ---⎡⎤--⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦C C C另外一些性质： []()20XY XY X YXC R m mD XE X m ⎡⎤=-=-≥⎣⎦第二章 随机过程的时域分析1、随机过程的定义从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ∆→→∞的推广2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？3、随机过程的概率密度P74、特征函数P81。
（连续、离散）一维概率密度、一维特征函数 二元函数4、随机过程的期望、方差、自相关函数。
（连续、离散）5、严平稳、宽平稳的定义 P836、平稳随机过程自相关函数的性质：0点值，偶函数，周期函数（周期分量），均值 7、自相关系数、相关时间的定义 P88222()()()()()(0)()X X XX X X X X XXC R m R R R R τττρτσσ--∞==-∞=非周期相关时间用此定义（0()d τρττ∞=⎰）8、两个随机过程之间的“正交”、“不相关”、“独立”。
（P92 同一时刻、不同时刻）9、两个随机过程联合平稳的要求、性质。
P92()()()()XY YX XY YX R R C C ττττ=-=-10、复随机过程定义、自相关函数定义、复平稳定义。
P94()()(),Z R t t E Z t Z t ττ*⎡⎤+=+⎣⎦11、随机过程 “均方可微”P104、“均方可积”P106 12、平稳过程导数的分析P106。
期望、自相关函数、互相关函数()()()22()()()X X X XY YX Y dR dR d R R R R d d d τττττττττ==-=-13、高斯随机过程的一系列性质：◆高斯过程的特征函数、协方差矩阵。
◆高斯过程的线性变换、高斯过程的微分、高斯过程的积分，仍是高斯过程。
◆高斯过程的不相关＝独立。
◆平稳高斯过程 宽平稳＝严平稳 （2-180） 14、各态历经过程的定义、及在电子技术中的物理意义。
时间均值、时间自相关定义式直流分量、直流平均功率、总平均功率、交流平均功率第三章 随机信号的频域分析最重要的知识点: 维纳—辛钦定理⑴平稳过程,()()X X G R ωτ↔⑵两个联合平稳的实随机过程，()()()()12j XYXY j XY XY G R e d R G e d ωτωτωτττωωπ∞--∞∞-∞⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰ ◆实随机过程功率谱密度()X G ω是非负、实、偶函数 ◆互谱密度的性质 ()()()XY YX YX G G G ωωω*==-2(),0()2()()0,01()02()1()()2X X X X X XX G F G U F G F G ωωωωωωωωωωωω≥⎧==⎨<⎩⎧≥⎪⎪⇒=⎨⎪⎪⎩-<是非函数偶负的实§3.3 白噪声⑴定义：平稳随机过程、均值为零、功率谱密度在整个频率轴(,)-∞+∞上均匀分布 (三个条件)⑵白噪声的自相关函数是一个面积等于功率谱密度的冲激函数()()()20()0X X P E Xt R G ωδ⎡⎤===⎣⎦⑶白噪声带宽无限⑷白噪声不同时刻的状态互不相关、正交 （如果是高斯。
）第四章 随机信号通过线性系统的分析§4.1 线性系统的基本理论 稳定的物理可实现系统§4.2 随机信号通过线性系统 时域分析()()()()()(0)()()()()()()XY X Y Y XY X YX X Y m h d R R h h P R R R m R h R h ττττττττττττ∞==**-==*=*-⎰频域分析 输入信号()X t 宽平稳，输出信号()Y t 也宽平稳，且()Y t 与()X t 联合平稳()220(0)(0)()()()()()()()()()()()()11()()()22Y X Y X X XY X YX X Y Y X m m H H h d G G H G H H G H G G H G P G d H G d ττωωωωωωωωωωωωωωωωωππ∞∞∞-∞-∞=⋅===-=⋅⎧⎨=-⋅⎩==⎰⎰⎰§4.3色噪声的产生与白化滤波器掌握设计方法()()()()222()()()(),Y X G G H H j s H s H s H s H s ωωωωω⎧=⇒⎪⎪==-⎨⎪⎪⎩三个步骤：分解选择零极点都在左半平面§4.4 白噪声通过线性系统⑴白噪声通过线性系统后，白噪声通过线性系统后输出的功率谱密度完全由系统的频率特性所决定。
02001()()((22))2j Y N R h u h u du eN H d ωττωτωπ∞∞-∞=+=⎰⎰22000(0)()()22Y Y N N P R h u du H d ωωπ∞∞===⎰⎰⑵等效噪声带:用一个频率响应为矩形的理想系统来代替实际系统m ax()I YK H ω=⎧⎪⎨=⎪⎩P P 输入为同一白噪声时等效原则：22max m x 0a 0()(22)YY I e e H N N H πωπωωω∆∆⋅⇒===P P P频域法22m ax|()|()e H d H ωωωω∞∆=⎰低通22|()|(0)H d H ωω∞=⎰带通2200|()|()H d H ωωω∞=⎰时域法22m ax()()e h u duH ωπω∞∆=⎰低通 带通 22()()()()2Y X N G G H H ωωωωω==-∞<<∞()220()e h t dt h t dt πω∞∞⎡⎥=∆⎤⎢⎣⎦⎰⎰()02020()t e j h u duh t e dt ωωπ∞∞-=⎡⎤⎢⎥⎣∆⎦⎰⎰线性系统的结论：双侧随机信号()X t输入物理可实现系统1、若输入()X t是宽平稳的，则系统输出()Y t也是宽平稳的，且输入与输出联合平稳2、若输入()X t是严平稳的，则输出()Y t也是严平稳的。
3、若输入()X t是宽各态历经的，则输出()Y t也是宽各态历经的4、若线性系统输入为高斯过程，则输出为高斯分布5、若系统输入信号的等效噪声带宽远大于系统的带宽，则输出接近于高斯分布（输入白噪声的情况）第六章 窄带随机信号㈠Hilbert 变换及其性质。
()()[][]()()()()11ˆˆˆ()()()()sgn()()ˆ()()()()()2()()ˆˆ()()cos sin cos sgn()sin sin sgn()cos sin cos st s t st S j S tst s t js t st S S U st s t HH H a t t a t t H t tH t tH a t t a t tωωωπωωωωωωω-=*⇔=-=+⇔==-=-⎧=⎡⎤⎧Ω=Ω⋅Ω⎪⎪⎣⎦⎨⎨Ω=-Ω⋅Ω=-⎡⎤⎪⎪⎩⎣⎦⎩㈡随机过程的“解析形式”、及性质及其复指数形式()()ˆˆˆˆˆˆˆ()()()()()()()ˆˆ()()()()()sgn ()()sgn ()ˆ()2()2()()()4()()()()()o X X X X X X XX XX X X XX XX X X X X X X j X X A Xt X t jX t R R G G R R R R G j G G j G R R R jR G G U R R eG G ωτττωωττττωωωωωωττττωωωττω=+=⎧⎪⎨=⎪⎩⎧==-⎪⎨=-=⎪⎩⎧⎡⎤==+⎪⎣⎦⎨=⎪⎩=↔= 0()A ωω-。
