江苏省百校大联考数列的概念高考重点题型及易错点提醒doc

高三数学概念、方法、题型、易误点总结（三）三、数 列1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

如（1）已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__ ； （2）数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___； （3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围； 2.等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

如设{}n a 是等差数列，求证：以b n =na a a n +++Λ21 *n N ∈为通项公式的数列{}nb 为等差数列。

（2）等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = ；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ；（3）等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。

如（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝＿，n ＝ ；（2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T .（4）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a b A +=。

提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

选择题部分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足z(1+i)=1-3i,则复数z的共轭复数z−的模长为()A.√2B.√3C.2D.√52.已知集合M={x|1xx-1<-1},N={x|ln x<1},则M∪N=()A.(0,1]B.(1,e)C.(0,e)D.(-∞,e)3.已知平面向量a=(-2,1),c=(2,t),则“t>4”是“向量a与c的夹角为锐角”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,A(π3,0),B(7π12,-1),则f(x)的解析式是()A.f(x)=sin(x+π6)B.f(x)=sin(x-π6)C.f(x)=sin(2x+π3)D.f(x)=sin(2x-π6)5.将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x,y,记A事件为“C8xx>C8yy”,则P(A)=()A.1136B.13C.1336D.5126.若直线y=ax+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则2a+b的最小值为()A.2ln 2B.ln 2C.12ln 2D.1+ln 27.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且抛物线C过点P(1,-2),过点F的直线与抛物线C交于两点,A1,B1分别为A,B两点在抛物线C准线上的投影,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是()A.线段AB长度的最小值为2B.△A1FB1的形状为锐角三角形C.A,O,B1三点共线D.M的坐标不可能为(3,-2)8.设数列{a n}的前n项和为S n,且S n+a n=1,记b m为数列{a n}中能使a n≥12mm+1(m∈N*)成立的最小项,则数列{b m}的前2023项和为()A.2023×2024B.22024-1C.6-327D.112-328二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),则以下说法正确的是()A.f(0)=0B.f(x)的一个周期为2C.f(2023)=1D.f(5)=f(4)+f(3)10.双曲线C:xx2aa2-yy2bb2=1(a>0,b>0),左、右顶点分别为A,B,O为坐标原点,如图,已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P,Q两点,与其两条渐近线分别交于R,S两点,则下列命题正确的是()A.存在直线l,使得AP∥ORB.l在运动的过程中,始终有|PR|=|SQ|C.若直线l的方程为y=kx+2,存在k,使得S△ORB取到最大值D.若直线l的方程为y=-√22(x-a),RRRR�����⃗=2RRSS�����⃗,则双曲线C的离心率为√311.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,动点P在直线CD1上运动,以下四个命题正确的是()A.BD⊥APB.四棱锥P-ABB1A1的体积是定值C.若M为BC的中点,则AA1B�������⃗=2AAAA������⃗-AACC1�������⃗�����⃗·PPCC�����⃗的最小值为-14D.PPAA12.已知函数f(x)=a(e x+a)-x,则下列结论正确的有()A.当a=1时,方程f(x)=0存在实数根B.当a≤0时,函数f(x)在R上单调递减C.当a>0时,函数f(x)有最小值,且最小值在x=ln a处取得D.当a>0时,不等式f(x)>2ln a+32恒成立非选择题部分三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若关于x的不等式ax2-2x+a≤0在区间[0,2]上有解,则实数a的取值范围是▲.14.已知{a n}是递增的等比数列,且满足a3=1,a1+a3+a5=919,则a4+a6+a8=▲.15.如图,若圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,且r1r2=3,则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为▲.16.设a>0,已知函数f(x)=e x-a ln(ax+b)-b,若f(x)≥0恒成立,则ab的最大值为▲.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知1-cos AA sin AA=sin2SS1+cos2SS.(1)证明:cos B=aa2bb.(2)求aa bb的取值范围.18.(12分)受环境和气候影响,近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎,经初步统计,这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒,已知这三个市的人口数之比为4∶6∶10,现从这三个市中任意选取一个人. (1)求这个人感染支原体肺炎病毒的概率;(2)若此人感染支原体肺炎病毒,求他来自甲市的概率. 19.(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=3,2S n =3a n -3. (1)证明数列{a n }为等比数列;(2)设数列{a n }的前n 项积为T n ,若1log )232)(21(13+•>+−−∑=n a T a S k n nk k k k λ对任意n ∈N *恒成立,求整数λ的最大值. 20.(12分)设椭圆xx 2aa 2+yy2bb2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,右焦点为F ,已知AA 1F �������⃗=3FFAA 2�������⃗.(1)求椭圆的离心率.(2)已知椭圆右焦点F 的坐标为(1,0),P 是椭圆在第一象限的任意一点,且直线A 2P 交y 轴于点Q.若△A 1PQ 的面积与△A 2FP 的面积相等,求直线A 2P 的斜率. 21.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PCD ⊥平面ABCD. (1)证明:PD ⊥平面ABCD.(2)若PD=AD , M 是PD 的中点,N 在线段PC 上,求平面BMN 与平面ABCD 夹角的余弦值的取值范围.22.(12分)已知函数f (x )=x ln x-12ax 2(a>0).(1)若函数f (x )在定义域内为减函数,求实数a 的取值范围; (2)若函数f (x )有两个极值点x 1,x 2 (x 1<x 2),证明:x 1x 2>1aa .江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷参考答案1.D【解析】法一:因为z(1+i)=1-3i,所以z=1-3i1+i=(1-3i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-3-4i2=-1-2i,所以|z−|=|z|=√5,故选D.法二:两边取模|z(1+i)|=|1-3i|,得|z|·|1+i|=|1-3i|,所以|z−|=|z|=√5,故选D.2.C【解析】解不等式1xx-1<-1,即xx xx-1<0,所以0<x<1,即M=(0,1),由ln x<1,得0<x<e,所以N=(0,e),所以M∪N=(0,e),故选C.3.C【解析】a=(-2,1),c=(2,t).若a∥c,t×(-2)=2×1,得t=-1,此时a与c互为相反向量;若a·c=(-2)×2+t=t-4>0,得t>4,此时向量a与c的夹角为锐角.故“t>4”是“向量a与c的夹角为锐角”的充要条件,故选C.4.C【解析】由图象知T=4×(7π12-π3)=π,故ω=2.将(7π12,-1)代入解析式,得sin(7π6+φ)=-1,所以7π6+φ=-π2+2kπ,k∈Z,又|φ|<π2,即φ=π3,所以f(x)=sin(2x+π3).故选C.5.C【解析】抛掷两次总的基本事件有36个.当x=1时,没有满足条件的基本事件;当x=2时,y=1满足;当x=3时,y=1,2,6满足;当x=4时,y=1,2,3,5,6满足;当x=5时,y=1,2,6满足;当x=6时,y=1满足.总共有13种满足题意,所以P(A)=1336,故选C.6.B【解析】设切点为(x0,ln x0),y'=1xx,则�aa=1xx0,aaxx0+b=ln xx0,得b=ln x0-1,∴2a+b=2xx0+ln x0-1.设f(x)=2xx+ln x-1(x>0),f'(x)=-2xx2+1xx=xx-2xx2,当x∈(0,2)时,f'(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,∴f(x)min=f(2)=ln 2,∴2a+b的最小值为ln 2.7.C【解析】因为抛物线C过点P(1,-2),所以抛物线C的方程为y2=4x,线段AB长度的最小值为通径2p=4,所以A错误;由定义知AA1=AF,AA1∥x轴,所以∠AFA1=∠AA1F=∠A1FO,同理∠BFB1=∠B1FO,所以∠A1FB1=90°,所以B错误;设直线与抛物线C交于AB:x=my+1,联立抛物线,得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1·y2=-4,k OA=yy1xx1=4yy1=-y2,因为B1(-1,y2),所以kk OOBB1=-y2=k OA,A,O,B1三点共线,所以C正确;设AB的中点为M(x0,y0),则y0=yy1+yy22=2m,x0=my0+1=2m2+1,取m=-1,M(3,-2),所以D错误.故选C. 8.D【解析】当n=1时,a1=12,由S n+1+a n+1=1,得2a n+1-a n=0,∴a n=12nn,显然{a n}递减,要使得a n最小,即要使得n最大,令12nn≥12mm+1,得2n≤2m+1.若m=1,则n≤1,b1=a1=12;若2≤m≤3,则n≤2,b m=a2=14;若4≤m≤7,则n≤3,b m=a3=18;若8≤m≤15,则n≤4,b m=a4=116;…;若1024≤m≤2047,则n≤11,b m=a11=1211.∴T1=b1=12,T3=b1+(b2+b3)=12+12=1,T7=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)=12+12+12=32,…,∴T204 7=11×12=112,∴T2023=112-24211=112-328,故选D.9.ABD【解析】f(x)是R上的奇函数,因此f(0)=0,A正确;由f(x-1)=f(x+1)得f(x)=f(x+2),所以2是它的一个周期,B正确;f(2023)=f(2×1011+1)=f(1),而f(1)=0,C错误;f(4)=f(0)=0,f(5)=f(3),因此f(5)=f(4)+f(3),D正确.故选ABD.10.BD【解析】A选项,与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点,故A错误;B选项,易证明线段PQ与线段RS的中点重合,故B正确;C选项,当k,S△ORB会趋向于无穷,不可能有最大值,故C错误;D选项,联立直线l与渐近线y=bb aa x,解得S(aa2√2b+a,aabb√2b+a),联立直线l与渐近线y=-bb aa x,解得R(aa2-√2b+a,aabb√2b-a),由题可知,RRRR�����⃗=2RRSS�����⃗,所以y S-y R=2(y B-y S),即3y S=y R+2y B,3aabb√2b+a=aabb√2b-a,解得b=√2a,所以e=√3,故D正确.故选BD.11.BCD【解析】对于A,假设BD⊥AP,则BD⊥平面ACD1,因为AC⊂平面ACD1,所以BD⊥AC,则四边形ABCD是菱形,AB=AD,A不正确;对于B,由平行六面体ABCD-A1B1C1D1得CD1∥平面ABB1A1,所以四棱锥P-ABB1A1的底面积和高都是定值,所以体积是定值,B正确;对于C,AACC1�������⃗=AASS�����⃗+AAAA�����⃗+AAAA1�������⃗,AAAA������⃗=AASS�����⃗+12AAAA�����⃗,故2AAAA������⃗-AACC1�������⃗=AASS�����⃗-AAAA1�������⃗=AA1B�������⃗,故C正确;对于D,设PPCC�����⃗=λAA1C�������⃗,PPAA�����⃗·PPCC�����⃗=(PPCC�����⃗+CCSS�����⃗+SSAA�����⃗)·PPCC�����⃗=(λAA1C�������⃗-AAAA�����⃗-AASS�����⃗)·λAA1C�������⃗=(λAA1B�������⃗-AAAA�����⃗-AASS�����⃗)·λAA1B�������⃗=(λAASS�����⃗-λAAAA1�������⃗-AAAA�����⃗-AASS�����⃗)·(λAASS�����⃗-λAAAA1�������⃗)=λ(λ-1)|AASS�����⃗|2-λ2AAAA1�������⃗·AASS�����⃗-λAAAA�����⃗·AASS�����⃗-λ(λ-1)AASS�����⃗·AAAA1�������⃗+λ2|AAAA1�������⃗|2+λAAAA�����⃗·AAAA1�������⃗=λ(λ-1)|AASS�����⃗|2-(2λ2-λ)AAAA1�������⃗·AASS�����⃗-λAAAA�����⃗·AASS�����⃗+λ2|AAAA1�������⃗|2+λAAAA�����⃗·AAAA1�������⃗=λ(λ-1)×4-(2λ2-λ)×4cos 60°-λ×2cos 60°+4λ2+λ·2cos 60°=4λ2-2λ=(2λ-12)2-14≥-14,当且仅当λ=14时,等号成立,所以PPAA�����⃗·PPCC�����⃗的最小值为-14,故D正确.故选BCD.12.BD【解析】对于A,因为a=1,所以方程f(x)=0即e x+1-x=0,又e x≥x+1>x-1,所以e x+1-x>0恒成立,所以方程f(x)=0不存在实数根,所以A错误.对于B,因为f(x)=a(e x+a)-x,定义域为R,所以f'(x)=a e x-1,当a≤0时,由于e x>0,则a e x≤0,故f'(x)=a e x-1<0恒成立,所以f(x)在R上单调递减,所以B正确.对于C,由上知,当a>0时,令f'(x)=a e x-1=0,解得x=-ln a.当x<-ln a时,f'(x)<0,则f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减;当x>-ln a时,f'(x)>0,则f(x)在(-,+∞)上单调递增.当a>0时,f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增.所以函数f(x)有最小值,即最小值在x=-ln a处取得,所以C错误.对于D,由上知f(x)min=f(-ln a)=a(e-ln a+a)+ln a=1+a2+ln a,要证f(x)>2ln a+32,即证1+a2+ln a>2ln a+32,即证a2-12-ln a>0恒成立,令g(a)=a2-12-ln a(a>0),则g'(a)=2a-1aa=2aa2-1aa.令g'(a)<0,则0<a<√22;令g'(a)>0,则a>√22.所以g(a)在(0,√22)上单调递减,在(√22,+∞)上单调递增,所以g(a)min=g(√22)=(√22)2-12-ln√22=ln√2>0,则g(a)>0恒成立,所以当a>0时,f (x )>2ln a+32恒成立,D 正确.综上,故选BD . 13.(-∞,1] 【解析】因为x ∈[0,2],所以由ax 2-2x+a ≤0,得a ≤2xxxx 2+1, 因为关于x 的不等式ax 2-2x+a ≤0在区间[0,2]上有解,所以只需a 小于或等于2xxxx 2+1的最大值,当x=0时,2xxxx 2+1=0,当x ≠0时,2xx xx 2+1=2xx +1xx≤1,当且仅当x=1时,等号成立,所以2xxxx 2+1的最大值为1,故a ≤1,即实数a 的取值范围是(-∞,1].故答案为(-∞,1].14.273 【解析】设公比为q ,a 1+a 3+a 5=aa3qq 2+a 3+a 3q 2=919,解得q 2=9或19,因为{a n }递增,所以q=3,则a 4+a 6+a 8=(a 1+a 3+a 5)q 3=919×33=273.故答案为273.15.12π 【解析】设圆台上、下底面圆心分别为O 1,O 2,则圆台内切球的球心O 一定在O 1O 2的中点处,设球O 与母线AB 切于M 点,∴OM ⊥AB ,∴OM=OO 1=OO 2=R (R 为球O 的半径),∴△AOO 1与△AOM 全等,∴AM=r 1,同理BM=r 2,∴AB=r 1+r 2,∴O 1OO 22=(r 1+r 2)2-(r 1-r 2)2=4r 1r 2=12,∴O 1O 2=2√3,∴圆台的内切球半径R=√3,∴内切球的表面积为4πR 2=12π.故答案为12π.16.e2【解析】f (x )≥0⇔ax+e x ≥a ln(ax+b )+(ax+b ),设g (x )=a ln x+x ,易知g (x )在(0,+∞)上递增,且g (e x )=a ln e x +e x =ax+e x ,故f (x )≥0⇔g (e x )≥g (ax+b )⇔e x ≥ax+b.法一:设y=e x 在点P (x 0,e xx 0)处的切线斜率为a ,e xx 0=a ,即x 0=ln a ,切线l :y=ax+a (1-ln a ),由e x ≥ax+b 恒成立,可得b ≤a (1-ln a ),∴ab ≤a 2(1-ln a ),设h (a )=a 2(1-ln a ),a>0,h'(a )=2a (12-ln a ),当a ∈(0,e 12)时,h'(a )>0,当a ∈(e 12,+∞)时,h'(a )<0,∴h (a )max =h (e 12)=e 2,∴ab 的最大值为e2.故答案为e 2.法二:设h (x )=e x -ax-b ,h'(x )=e x -a ,当x ∈(-∞,ln a )时,h'(x )<0,当x ∈(ln a ,+∞)时,h'(x )>0,∴h (x )min =h (ln a )=a (1-ln a )-b ≥0,即有b ≤a (1-ln a ),∴ab ≤a 2(1-ln a ),下同法一.17.【解析】(1)证法一:因为1-cos AA sin AA =sin2SS 1+cos2SS =2sin SS cos SS 2cos 2B=sin SScos SS ,所以(1-cos A )·cos B=sin A ·sin B , ............................................................................................................................... 2分 所以cos B=cos A cos B+sin A sin B ,即cos(A-B )=cos B ,而-π2<A-B<π2,0<B<π2,所以A-B=B ,即A=2B , .............................................................................................................. 4分 所以sin A=sin 2B=2sin B cos B.由正弦定理得 a=2b cos B ,即cos B=aa2bb ....................................................................................................................... 5分 证法二:由1-cos AA sin AA =2sin 2AA22sin AA 2cos AA 2=sin AA2cos AA 2=sin2SS 1+cos2SS ,所以sin AA2cos AA 2=sin2SS1+cos2SS , 即sin AA2·(1+cos 2B )=cos AA 2·sin 2B ,所以sin AA2=sin 2B ·cos AA 2-cos 2B ·sin AA 2=sin(2B-AA 2), 又0<A<π2,0<B<π2且A+B>π2,所以AA 2=2B-AA 2或AA 2+(2B-AA 2)=2B=π,所以A=2B 或B=π2(与锐角△ABC 不合,舍去).综上知,A=2B.所以sin A=sin 2B=2sin B cos B ,由正弦定理得 a=2b cos B ,即cos B=aa2bb . (2)由上知A=2B ,则C=π-A-B=π-3B ,在锐角△ABC 中,π6<B<π4, .............................................................................. 7分由正弦定理,得aa bb =sin AA sin SS =sin2SS sin SS =2sin SS cos SSsin SS=2cos B ∈(√2,√3), ......................................................................................... 9分所以aabb 的取值范围是(√2,√3). ........................................................................................................................................ 10分 18.【解析】(1)记事件D :选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件E :此人来自甲市,记事件F :此人来自乙市,记事件G :此人来自丙市. ............................................................................................................................................ 1分Ω=E ∪F ∪G ,且E ,F ,G 彼此互斥,由题意可得P (E )=420=0.2,P (F )=620=0.3,P (G )=1020=0.5, P (D|E )=0.08,P (D|F )=0.06,P (D|G )=0.04, ................................................................................................................... 3分由全概率公式可得P (D )=P (E ).P (D|E )+P (F ).P (D|F )+P (G ).P (D|G )=0.2×0.08+0.3×0.06+0.5×0.04=0.054, (5)分所以从三市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054. ................................................................... 6分 (2)由条件概率公式可得P (E|D )=PP (AADD )PP (AA )=PP (DD )·PP (AA |DD )PP (AA )=0.2×0.080.054=827. ........................................................................... 11分所以当此人感染支原体肺炎病毒时,他来自甲市的概率为827.................................................................................. 12分19.【解析】(1)因为2S n -3a n +3=0,①当n ≥2时,2S n-1-3a n-1+3=0,② ..................................................................................................................................... 2分①-②得 a n =3a n-1(n ≥2),即aann aa nn -1=3(n ≥2),所以数列{a n }是首项为3,公比为3的等比数列. .......................................................................................................... 4分 (2)由(1)知a n=3n ,所以S n =3(1-3nn )1-3=3nn +1-32,T n =a 1a 2a 3…a n =3×32×33×…×3n =31+2+3+…+n =3nn (nn +1)2, ........................................................................................... 6分所以�kk=1nn (1-2kk )(RR kk -2aa kk +32)log 3TT kk =�kk=1nn (1-2kk )(3kk +1-32-2·3kk +32)log 33kk (kk +1)2 =�kk=1nn (2kk -1)3kkkk (kk +1)=�kk=1nn(3kk +1kk +1-3kk kk )=3nn +1nn +1-3>λλ·3nnnn +1对任意n ∈N *恒成立, .................................................................................. 8分 故λ<3-nn +13nn -1恒成立, ........................................................................................................................................................... 9分令f (n )=3-nn +13nn -1,则f (n+1)-f (n )=3-nn +23nn -(3-nn +13nn -1)=2nn +13nn >0, ........................................................................................ 11分所以数列{f (n )}单调递增,所以f (n )min =f (1)=1,所以λ<1,故整数λ的最大值为0. ............................................ 12分20.【解析】(1)由题可知,|A 1A 2|=2a ,由AA 1F �������⃗=3FFAA 2�������⃗,所以|AA 1F �������⃗|=3|FFAA 2�������⃗|,所以|AA 1F �������⃗|=34|A 1A 2|=32a ,即a+c=32a ,所以椭圆的离心率e=cc aa =12. ......................................................................................................................... 3分 (2)法一:由题意知,c=1,a=2,所以椭圆方程为xx 24+yy 23=1,直线A 2P 的斜率存在,设直线A 2P 的斜率为k , 则直线方程为kx-y-2k=0且k<0,设A 1到直线A 2P 的距离为h 1,F 到直线A 2P 的距离为h 2, 则h 1=|-4kk |�kk 2+1,h 2=|-kk |�kk 2+1, .................................................................................................................................................... 5分又RR △AA 1PQ =12h 1·|PQ|,RR △AA 2FP =12h 2·|A 2P|,RR △AA 1PQ =RR △AA 2FP ,所以|PPPP||AA2P|=ℎ2ℎ1=14, ................................................................................................................................................................. 8分由图可得AA2P�������⃗=45AA2Q��������⃗,又因为A2(2,0),Q(0,-2k),所以P(25,-85k), ............................................................................... 10分又P在椭圆上,代入椭圆方程解得k2=98,因为k<0,所以k=-3√24. .......................................................................... 12分法二:由题意知,直线A2P的斜率存在,设直线A2P的斜率为k,则直线方程为kx-y-2k=0且k<0,联立�kkxx-yy-2kk=0,xx24+yy23=1,消去y得到方程(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0,所以xx AA2·x P=16kk2-123+4kk2,所以x P=8kk2-63+4kk2, ................................................................................................................................ 5分代入直线方程得P(8kk2-63+4kk2,-12kk3+4kk2),Q(0,-2k), .................................................................................................................... 7分RR△AA2FP=12|A2F|·y P=yy PP2,RR△AA1PQ=RR△QQAA1AA2-RR△PPAA1AA2=12·4·(-2k)-12·4·y P,又因为RR△AA1PQ=RR△AA2FP,所以52y P=-4k, ......................................................................................................................... 10分所以52·-12kk3+4kk2=-4k,解得k2=98,因为k<0,所以k=-3√24................................................................................................ 12分21.【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AD⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,AD⊂平面ABCD,∴AD⊥平面PCD,∵PD⊂平面PCD,∴AD⊥PD,........................................................................................................................................... 2分同理CD⊥PD.∵AD∩CD=D,AD⊂平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PD⊥平面ABCD. .......................................................................................................................................................... 4分(2)由(1)知AD⊥PD,CD⊥PD,AD⊥CD,∴DA,DC,DP两两垂直,如图,以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.设PD=AD=2,则D(0,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,0,1).∵PD⊥平面ABCD,∴平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1), .................................................................................................................. 5分CCCC�����⃗=λCCPP�����⃗(0≤λ≤1),∴SSAA������⃗=(-2,-2,1),CCPP�����⃗=(0,-2,2),∴SSCC������⃗=SSCC�����⃗+CCCC�����⃗=SSCC�����⃗+λCCPP�����⃗=(-2,0,0)+λ(0,-2,2)=(-2,-2λ,2λ),设平面BMN的法向量为n=(x,y,z),则�SSAA������⃗·nn=-2xx-2yy+zz=0,SSCC������⃗·nn=-2xx-2λλyy+2λλzz=0,取x=λ,则y=1-2λ,z=2-2λ,∴平面BMN的一个法向量为n=(λ,1-2λ,2-2λ)......................................................................................................... 7分设平面BMN与平面ABCD的夹角为θ,则cos θ=|cos<n,m>|=|nn·mm|nn||mm||=|2-2λλ|�λλ2+(1-2λ)2+(2-2λ)2=|2-2λλ|�9λλ2-12λ+5, .............................................................................. 8分设t=1-λ,则0≤t≤1.①当t=0时,cos θ=0. ..................................................................................................................................................... 9分②当t≠0时,cos θ=2|tt|�9tt2-6t+2=2�tt29tt2-6t+2=2�12(1tt)2-6×1tt+9=2�12[(1tt-32)2+92],当t=23时,cos θ=2√23,∴0<cos θ≤2√23.......................................................................................................................... 11分综上,0≤cos θ≤2√23.∴平面BMN与平面ABCD夹角的余弦值的取值范围为[0,2√23]........................................ 12分22.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x-ax+1, .......................................................................................... 1分由题意,f'(x)≤0恒成立,即a≥ln xx+1xx恒成立,.................................................................................................................... 2分设h(x)=ln xx+1xx,h'(x)=-ln xx xx2,当x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)递增,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)递减, ...................................................................... 3分∴h(x)max=h(1)=1,∴a≥1................................................................................................................................................. 4分(2)证法一:∵函数f(x)有两个极值点,由(1)可知0<a<1,设g(x)=f'(x)=ln x-ax+1,则x1,x2是g(x)的两个零点,∵g'(x)=1xx-a,当x∈(0,1aa)时,g'(x)>0,当x∈(1aa,+∞)时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,1aa)上递增,在(1aa,+∞)上递减,∴0<x1<1aa<x2,又∵g(1)=1-a>0,∴0<x1<1<1aa<x2, ............................................................................................................................................................... 6分要证x1x2>1aa,只需证x2>1aaxx1(>1aa),只需证g(x2)<g(1aaxx1),即证g(1aaxx1)=-ln(ax1)-1xx1+1>0,即证ln(ax1)+1xx1-1<0,(*) ........................................................................................... 8分由g(x1)=ln x1-ax1+1=0,设ax1=t∈(0,1),则ln x1=t-1,x1=e t-1,则(*)⇔ln t+e1-t-1<0, ................................. 10分设G(t)=ln t+e1-t-1(0<t<1),G'(t)=1tt-1e tt-1=e tt-1-t tt e tt-1,由(1)知ln x≤x-1,∴e x-1≥x,∴e t-1-t≥0,即G'(t)≥0,G(t)在(0,1)上递增,G(t)<G(1)=0,故(*)成立,即x1x2>1aa.................................................................................................................... 12分证法二:先证明引理:当0<t<1时,ln t<2(tt-1)tt+1,当t>1时,ln t>2(tt-1)tt+1.设G(t)=ln t-2(tt-1)tt+1(t>0),G'(t)=1tt-4(tt+1)2=(tt-1)2tt(tt+1)2≥0,∴G(t)在(0,+∞)上递增,又G(1)=0,当0<t<1时,G(t)<G(1)=0,当t>1时,G(t)>G(1)=0,∴引理得证............................................................................................... 5分∵函数f(x)有两个极值点,由(1)可知0<a<1,设g(x)=f'(x)=ln x-ax+1,则x1,x2是g(x)的两个零点,∵g'(x)=1xx-a,当x∈(0,1aa)时,g'(x)>0,当x∈(1aa,+∞)时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,1aa)上递增,在(1aa,+∞)上递减,∴0<x1<1aa<x2,即0<ax1<1<ax2................................................................... 6分要证x1x2>1aa,只需证ln x1+ln x2>-ln a,即证a(x2+x1)>2-ln a,(*) .......................................................................... 7分由引理可得ax2+ln a-1=ln(ax2)>2(aaxx2-1)aaxx2+1,化简可得a2xx22+a(ln a-2)x2+ln a+1>0,①....................................... 9分同理ax1+ln a-1=ln(ax1)<2(aaxx1-1)aaxx1+1,即有a2xx12+a(ln a-2)x1+ln a+1<0.②......................................................... 10分由①-②可得,a2(x2+x1)(x2-x1)+a(ln a-2)(x2-x1)>0,即a2(x2+x1)+a(ln a-2)>0,即a(x2+x1)>2-ln a,故(*)得证,从而x1x2>1aa. ................................................................................................................................................................... 12分。

江苏省百校大联考2024学年高三下学期第三次月考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在区间[],2m m 上的值域为[],2m m ，则a =（ ）A ．2B ．14C ．116或2 D ．14或4 2．已知平面向量()4,2a →=，(),3b x →=，//a b →→，则实数x 的值等于（ ） A ．6B ．1C ．32D ．32-3．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ） A ．19B ．20C ．21D ．224．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ） A ．4B ．8C ．16D ．25．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．107．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好； ③若数据123,,,,n x x x x 的方差为1，则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x 的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据()()()11221010,,,,,,x y x y x y ，其线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，则“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆybx a =+”是“1210010x x x x +++= ，1210010y y y y ++=”的充要条件；其中真命题的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．18．已知函数()(0x f x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则|(2)|a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<D ．b a c <<9．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（ ）A ．2014年我国入境游客万人次最少B ．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C ．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D ．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差10．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的左支交于A 、B 两点.若22,120=∠=AB AF BAF ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x = B ．6y x = C ．(32=±y x D ．)31=±y x11．已知集合{}1A x x =<，{}1xB x e =<，则（ ） A ．{}1A B x x ⋂=< B ．{}A B x x e ⋃=< C ．{}1A B x x ⋃=<D ．{}01A B x x ⋂=<<12．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形，2AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．223πB ．283πC ．2π D ．23π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省百校联考高三年级第一次考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x∈N*|2x<4},B={x|-1<x<2},则A∩B=A.{x|-1<x<2}B.{x|x<2}C.{0,1}D.{1}2.“a∥b”是“|a+b|=|a|+|b|”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.欧拉公式e iθ=cos θ+isin θ(其中e=2.718…,i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立的,该公式建立了三角函数与指数函数的关系,在复变函数论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式,下列结论中正确的是A.e iπ的实部为1B.e2i在复平面内对应的点在第一象限C.|e iθ|=1D.e iπ的共轭复数为14.已知直线l:x+my+1=0和圆E:x2+y2-4x+3=0,则圆E上的点P到直线l的距离的最大值为A.2B.3C.4D.55.中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题:“今有七人差等均钱,甲乙均五十八文,戊己庚均六十文,问乙丁各若干?”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人,所分到的钱数成等差数列,甲、乙两人共分到58文,戊、己、庚三人共分到60文,问乙、丁两人各分到多少文钱?下列说法正确的是A.乙分到30文,丁分到26文B.乙分到28文,丁分到24文C.乙分到24文,丁分到28文D.乙分到26文,丁分到30文6.已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x-m与C交于A,B两点,若F1和F2到直线AB的距离之比等于3,则m=A.-B.C.2D.或27.已知函数f(x)=x e x,g(x)=-,若f(x1)=g(x2)=t(t>0),则的最大值为A.eB.1C.D.8.如图①,已知边长为4的等边△ABC,E,F分别为边AB,AC的中点,现以EF为折痕将△ABC折起为四棱锥A'-BCFE,使得A'B=,如图②,则四棱锥A'-BCFE的外接球体积为A.πB.πC.πD.17π二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是A.线性回归方程中,若线性相关系数r越大,则两个变量的线性相关性越强B.数据1,3,4,5,7,9,11,16的第75百分位数为10C.根据分类变量X与Y的成对样本数据,计算得到χ2=3.937,根据小概率值α=0.05的独立性检验(x0.05=3.841),可判断X与Y有关联,此推断犯错误的概率不大于0.05D.某校共有男女学生1500人,现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为100人的样本,若样本中男生有55人,则该校女生人数是67510.设函数f(x)的定义域为D,∀x∈D,∃y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,则称f(x)为“优美函数”.下列所给出的函数中是“优美函数”的是A.f(x)=B.f(x)=2xC.f(x)=ln(x2+3)D.f(x)=2cos x11.函数f(x)=2cos(2ωx-π)-2sin 2ωx(0<ω<1)的图象如图所示,将其向左平移π个单位长度,得到y=g(x)的图象,则下列说法正确的是A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的图象关于点(π,0)对称C.函数y=g(x)·sin x的图象关于直线x=π对称D.函数g(2x+π)在[-π,π]上单调递减12.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上的两点,O为坐标原点,则A.抛物线C的焦点坐标为(0,1)B.若A,F,B三点共线,则x1x2=-1C.若|AB|=8,则AB的中点到x轴距离的最小值为3D.若OA⊥OB,则|OA||OB|≥32三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.根据气象统计,长江中下游地区梅雨季节吹东北风的概率为0.7,下雨的概率为0.8,既吹东北风又下雨的概率为0.65,则该地区在某天吹东北风的条件下下雨的概率为▲.14.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AA'的长为3,且∠A'AB=∠A'AD=60°,则AC'的长为▲.15.已知ξ~N(μ,σ2),若函数f(x)=P(x≤ξ≤x+3)为偶函数,则μ=▲.16.已知x+y+2xy=5,当x,y∈R+时,x+y的最小值为▲;当x,y∈Z时,x+y的值为▲.(本题第一空2分,第二空3分)四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.17.(10分)高三年级组织班级趣味体育比赛,经多轮比赛后,甲、乙两班进入决赛.决赛共设三个项目,每个项目胜者得2分,负者得-1分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的班级获得冠军.已知甲班在三个项目中获胜的概率分别为0.4,0.5,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲班获得冠军的概率;(2)用X表示乙班的总得分,求X的分布列与期望.18.(12分)已知正项数列{a n}满足a1=3,且a n(-1)=2a n+1(-1),n∈N*.(1)设b n=a n-,求数列{b n}的通项公式;(2)求数列{+}的前n项和T n.19.(12分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b+c=a(cos C+sin C).(1)求A;(2)若a=2,求△ABC内切圆周长的最大值.20.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,M是棱PC(不与端点重合)上的点,N,Q分别为PA,AD的中点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.(1)证明:BN∥平面PCD.(2)当PM的长为何值时,平面QMB与平面PDC的夹角的大小为π?21.(12分)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=,l2:y=-.(1)求双曲线E的离心率;(2)O为坐标原点,过双曲线上一点P(2,1)作直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、第四象限),且=2,求△AOB的面积.22.(12分)已知函数f(x)=(x+a)e x,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程;(2)对任意x∈R,不等式f(x)≥x3-x-2恒成立,求a的取值范围.。

2024年高考数学数列易错知识点总结高考数学中的数列作为重要考点之一，经常涉及到的知识点较多且易错。

在2024年高考数学考试中，以下是数列的易错知识点总结：一、数列的基本概念与性质1. 数列的概念：数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。

需要区分数列的元素与项，元素是指数列中的具体数字，而项是指元素所在的位置。

2. 等差数列与等差中项：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相等的数列。

等差中项是指位于等差数列中的任意一项。

3. 等差数列的通项公式：对于等差数列${a_1, a_2,a_3, ..., a_n}$，其通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，d表示公差。

4. 等比数列与等比中项：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相等的数列。

等比中项是指位于等比数列中的任意一项。

5. 等比数列的通项公式：对于等比数列${a_1, a_2,a_3, ..., a_n}$，其通项公式为$a_n = a_1r^{n-1}$，其中$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，r表示公比。

6. 等差数列与等比数列的前n项和公式：等差数列的前n项和公式为$S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，等比数列的前n项和公式为$S_n = \\frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$。

7. 数列的性质：数列的奇数项和与偶数项和的关系，数列的倒数项和与首项和的关系。

如等差数列中的奇数项和是首项和的一半，倒数项和是首项和的倒数。

二、数列的综合应用1. 数列的增长率与减少率：通过对序列中的元素进行操作，可以计算出数列的增长率与减少率。

如等差数列中，相邻元素的增长率是公差d；等比数列中，相邻元素的增长率是公比r。

2. 数列的问题转化：将数列问题转化为方程或等价式，从而找到解题的方法。

如通过设置未知数，将一个复杂的数列问题转化为简单的方程求解。

一、数列的概念选择题1．在数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则8a =（ ） A ．1-B ．12C ．1D ．22．已知数列22333311313571351,,,,,,,...,,,, (2222222222)nn n ，则该数列第2019项是（ ） A ．1019892 B ．1020192 C ．1119892 D ．1120192 3．已知数列{}n a 满足1n n n a a +-=，则20201a a -=（ ） A ．20201010⨯B ．20191010⨯C ．20202020⨯D ．20192019⨯4．已知数列{}n a ，若()12*Nn n n a a a n ++=+∈，则称数列{}na 为“凸数列”.已知数列{}nb 为“凸数列”，且11b =，22b =-，则数列{}n b 的前2020项和为（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．1-5．已知数列{}n a 的前n 项和为()*22nn S n =+∈N ，则3a=( )A ．10B ．8C ．6D ．46．的一个通项公式是（ ）A．n a =B．n a =C．n a =D．n a =7．已知数列{}n a 满足11a =，()*11nn n a a n N a +=∈+，则2020a =（ ） A ．12018B ．12019 C ．12020D ．120218．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（ ）A ．()21n a n n =-- B ．21n a n =-C ．()12n n n a +=D ．()12n n n a -=9．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知数列{}n a 中，11a =，122nn n a a a +=+，则5a 等于（ ） A ．25B ．13C ．23D ．1211．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ）A ．32B ．36C ．38D ．4012．已知数列{}n a 的首项为1，第2项为3，前n 项和为n S ，当整数1n >时，1112()nnn S S S S 恒成立，则15S 等于（ ）A ．210B ．211C ．224D ．22513．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则4a 的值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．1014．已知在数列{}n a 中，112,1n n na a a n +==+，则2020a 的值为（ ） A ．12020B ．12019 C ．11010 D ．1100915．数列{}n a 满足1111,(2)2n nn a a a n a --==≥+，则5a 的值为（ ） A ．18B ．17C ．131D ．1616．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．201920212S F =+B ．201920211S F =-C ．201920202S F =+D ．201920201S F =-17．下列命题中错误的是（ ） A ．()()21f n n n N+=-∈是数列的一个通项公式B ．数列通项公式是一个函数关系式C ．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示D ．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列 18．在数列{}n a 中，11a =，()*122,21n n a n n N a -=≥∈-，则3a=（ ）A ．6B ．2C ．23D ．21119．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13n n S +=，则34a a +=（ ）A ．81B ．243C ．324D ．21620．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=> B ．20210a = C ．1024是三角形数D ．123111121n n a a a a n +++⋯+=+二、多选题21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54C ．S 2020＝a 2022－1D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 202222．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+23．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为（ ） A ．2B ．5C ．3D ．424．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T25．已知数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23C ．32D ．326．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n= B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1{}nS 为递增数列 27．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ） A ．12d =B ．12d =-C ．918S =D ．936S =28．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.29．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤D ．当且仅当0nS <时，26n ≥30．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 31．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（ ） A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n =-D ．24n S n n =+32．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列 33．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（ ）A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；B ．2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈）.34．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ）A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+35．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（ ） A ．109S S >B ．170S <C ．1819S S >D ．190S >【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．B 解析：B 【分析】通过递推公式求出234,,a a a 可得数列{}n a 是周期数列，根据周期即可得答案. 【详解】 解：211111=1=22a a =--，3211121a a =-=-=-，4311112a a =-=+=， 则数列{}n a 周期数列，满足3n n a a -=，4n ≥85212a a a ∴===， 故选：B. 【点睛】本题考查数列的周期性，考查递推公式的应用，是基础题.2．C解析：C 【分析】由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号里的第995项. 【详解】由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11212m -， 所以第12个括号里的第995项是1119892.【点睛】本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.3．B解析：B 【分析】由题意可得211a a -=，322a a -=，433a a -=，……202020192019a a -=，再将这2019个式子相加得到结论. 【详解】由题意可知211a a -=，322a a -=，433a a -=，……202020192019a a -=， 这2019个式子相加可得()20201201912019123 (2019201910102)a a +-=++++==⨯.故选：B. 【点睛】本题考查累加法，重点考查计算能力，属于基础题型.4．B解析：B 【分析】根据数列的递推关系可求得数{}n b 的周期为6，即可求得数列{}n b 的前2020项和. 【详解】()*21N n n n b b b n ++=-∈，且11b =，22b =-， ∴345673,1,2,3,1,b b b b b =-=-===∴{}n b 是以6为周期的周期数列，且60S =， ∴20203366412345S S b b b b ⨯+==+++=-，故选：B. 【点睛】本题考查数列的新定义、数列求和，考查运算求解能力，求解时注意通过计算数列的前6项，得到数列的周期.5．D解析：D 【分析】根据332a S S =-，代入即可得结果. 【详解】()()3233222224a S S =-=+-+=.故选：D.本题主要考查了由数列的前n 项和求数列中的项，属于基础题.6．C解析：C 【分析】根据数列项的规律即可得到结论． 【详解】因为数列3，7，11，15⋯的一个通项公式为41n -，，⋯的一个通项公式是n a = 故选：C ． 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，利用条件找到项的规律是解决本题的关键．7．C解析：C 【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，结合等差数列的性质求出通项公式即可． 【详解】 解：11nn n a a a +=+， ∴两边同时取倒数得11111n n n na a a a ++==+， 即1111n na a ，即数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差1d =的等差数列，首项为111a ．则11(1)1nn n a =+-⨯=， 得1n a n=， 则202012020a =， 故选：C 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，结合数列递推关系，利用取倒数法以及构造法构造等差数列是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力，属于基础题．8．C【分析】首先根据已知条件得到410a =，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】由题知：410a =，对选项A ，()2444113a =--=，故A 错误；对选项B ，244115a =-=，故B 错误；对选项C ，()4441102a ⨯+==，C 正确； 对选项D ，()444162a ⨯-==，故D 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，属于简单题.9．A解析：A 【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．10．B【分析】根据数列{}n a 的递推公式逐项可计算出5a 的值. 【详解】在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+，则12122122123a a a ⨯===++，2322221322223a a a ⨯===++， 3431222212522a a a ⨯===++，4542221522325a a a ⨯===++. 故选：B. 【点睛】本题考查利用递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.11．B解析：B 【分析】根据所给数列表达式，递推后可得()121121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以()1n-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入即可求解. 【详解】由已知()1121nn n a a n ++-=-，① 得()121121n n n a a n ++++-=+，②由()1n ⨯-+①②得()()()212121nn n a a n n ++=-⋅-++，取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=， 故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.12．D解析：D 【分析】利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即可． 【详解】 解：结合1112()nnn S S S S 可知，11122n n n S S S a +-+-=，得到1122n n a a a +-==，故数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列，则12(1)21n a n n =+-=-，所以1529a =，所以11515()15(291)1522522a a S ++===， 故选：D ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查．13．C解析：C 【分析】利用443a S S =-计算． 【详解】由已知22443(44)(33)8a S S =-=+-+=．故选：C ．14．C解析：C 【分析】由累乘法可求得2n a n=，即可求出. 【详解】11n n n a a n +=+，即11n n a n a n +=+， 12321123211232121232n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⨯--2n=， 20202120201010a ∴==. 故选：C.15．C解析：C 【分析】根据条件依次算出2a 、3a 、4a 、5a 即可. 【详解】因为1111,(2)2n n n a a a n a --==≥+，所以211123a ==+，31131723a ==+，411711527a ==+，51115131215a ==+ 故选：C 16．B解析：B 【分析】利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，可得21n n F S +=+，代入2019n =即可求解.【详解】由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和， 则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++=123211n n n n F F F F F F ---=+++++++，所以21n n F S +=+，令2019n =，可得201920211S F =-，故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+，利用迭代法得出21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，进而得出21n n F S +=+.17．C解析：C 【分析】根据通项公式的概念可以判定AB 正确；不难找到一些规律性不强的数列，找不到通项公式，由此判定C 错误，根据无穷数列的概念可以判定D 正确. 【详解】数列的通项公式的概念：将数列{} n a 的第n 项用一个具体式子（含有参数n ）表示出来，称作该数列的通项公式，故任意一个定义域为正整数集合的或者是其从1开始的一个子集的函数都可以是数列的通项公式，它是一个函数关系，即对于任意给定的数列，各项的值是由n 唯一确定的，故AB 正确； 并不是所有的数列中的项都可以用一个通项公式来表示，比如所有的质数从小到大排在一起构成的数列，至今没有发现统一可行的公式表示，圆周率的各位数字构成的数列也没有一个通项公式可以表达，还有很多规律性不强的数列也找不到通项公式，故C 是错误的； 根据无穷数列的概念，可知D 是正确的. 故选:C. 【点睛】本题考查数列的通项公式的概念和无穷数列的概念，属基础题，数列的通项公式是一种定义在正整数集上的函数，有穷数列与无穷数列是根据数列的项数来分类的.18．C解析：C 【分析】利用数列的递推公式逐项计算可得3a 的值. 【详解】()*122,21n n a n n N a -=≥∈-，11a =，212221a a ∴==-，3222213a a ==-. 故选：C. 【点睛】本题考查利用数列的递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.19．D解析：D 【分析】利用项和关系，1n n n a S S -=-代入即得解. 【详解】利用项和关系，1332443=54=162n n n a S S a S S a S S -=-∴=-=-，34216a a ∴+=故选：D 【点睛】本题考查了数列的项和关系，考查了学生转化与划归，数学运算能力，属于基础题.20．C解析：C 【分析】对每一个选项逐一分析得解. 【详解】∵212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>，故A 正确；将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)22n n n n n a a -++=+=，∴20210a =，故B 正确； 令(1)10242n n +=，此方程没有正整数解，故C 错误；1211111111212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，故D 正确. 故选C 【点睛】本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、多选题 21．BCD 【分析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，，故B 正确； 对于C ，可解析：BCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确； 对于C ，可得()112n n n a a a n +-=-≥， 则()()()()1234131425311++++++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----即212++1n n n n S a a a a ++=-=-，∴202020221S a =-，故C 正确； 对于D ，由()112n n n a a a n +-=-≥可得，()()()135202124264202220202022++++++++a a a a a a a a a a a a =---=，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，能根据数列性质利用累加法求解.22．BD 【分析】根据选项求出数列的前项，逐一判断即可.解：因为数列的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设； 选项B ： ，符合题设； 选项C ：， 不符合题设； 选项D ： ，符合题设解析：BD 【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+=23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin2,2a π==22sin 0,a π==332sin22a π==-不符合题设； 选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD. 【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.23．BD 【分析】利用递推关系可得，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴时，， 化为：，由于数列单调递减， 可得：时，取得最大值2． ∴的最大值为3．【点睛】 本解析：BD 【分析】利用递推关系可得1211n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵23n n n S a +=， ∴2n ≥时，112133n n n n n n n a S S a a --++=-=-， 化为：112111n n a n a n n -+==+--， 由于数列21n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减，可得：2n =时，21n -取得最大值2． ∴1n n a a -的最大值为3． 故选：BD ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．AD 【分析】分类讨论大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】 ①, 与题设矛盾. ②符合题意. ③与题设矛盾. ④ 与题设矛盾. 得，则的最大值为. B ，C ，错误. 故选：AD. 【点睛】解析：AD 【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD. 【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a qn N -=∈.25．BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】 因为数列满足，， ； ； ；数列是周期为3的数列，且前3项为，，3； 故选：． 【点睛】 本题主要解析：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，212131()2a ∴==--；32131a a ==-；4131112a a a ==-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3； 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．26．AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得. 【详解】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；解析：AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.27．BD 【分析】由等差数列下标和性质结合前项和公式，求出，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】 因为， 所以．因为，，所以公差． 故选：BD解析：BD 【分析】由等差数列下标和性质结合前n 项和公式，求出9S ，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】因为1937538a a a a +=+=+=， 所以()1999983622a a S +⨯===． 因为35a =，73a =，所以公差731732a a d -==--． 故选：BD28．ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且，所以公差， 所以，即，根据等差数列的性质可得，又， 所以，，故A 正解析：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <，所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <，所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.29．AB 【分析】根据等差数列的性质及可分析出结果. 【详解】 因为等差数列中， 所以， 又， 所以，所以，，故AB 正确，C 错误； 因为，故D 错误， 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题突破口在于由解析：AB 【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果. 【详解】因为等差数列中717S S =，所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=，又10a >，所以12130,0a a ><，所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误； 因为125251325()2502a a S a +==<，故D 错误， 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.30．BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数， 是等方差数解析：BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n aa ---=---=是常数， {(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k k k aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k a a kp ∴-=，()221kn kn a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确；对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.31．AC【分析】由求出，再由可得公差为，从而可求得其通项公式和前项和公式【详解】由题可知，，即，所以等差数列的公差，所以，.故选：AC.【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.解析：AC【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=， 所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n n S n n --==-. 故选：AC.【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力. 32．BCD【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误.【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知，必是递增数列；C 选项：时，是等差数列，而a = 1，解析：BCD【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误.【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题.33．AC【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【详解】A 选项中（，为常数，），数列的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中（为常数，），不符合从第二项起解析：AC【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【详解】A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2n S An Bn =+，所以{}n a 不为等差数列．故错误．故选：AC【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．34．ABD【分析】由已知递推式可得数列是首项为，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.【详解】得，即数列是首项为，公差为1的等差数列，∴，∴，得，由二次函数的性质得数列为递增数列，解析：ABD【分析】由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.【详解】 )211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确，故选：ABD.【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.35．ABD【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出正确；根据题意可知数列为递减数列，则，又，进而可知，判断出不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知，，故正确.【详解】根据题意可知数列为递增解析：ABD【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出A 正确；根据题意可知数列为递减数列，则190a >，又181919S S a =-，进而可知1516S S >，判断出C 不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知()01179179172171722a a a S a <+⨯⨯===，()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故BD 正确.根据题意可知数列为递增数列，90a <，100a >， ∴前9项的和最小，故A 正确； ()11791791721717022a a a S a +⨯⨯===<，故B 正确； ()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故D 正确； 190a >，181919S S a ∴=-，1819S S ∴<，故C 不正确.故选：ABD .【点睛】本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。

江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()1i 13iz +=-，则复数z 的共轭复数z 的模长为（）A.B.C.2D.2.已知集合111M x x ⎧⎫=<-⎨⎬-⎩⎭，{}ln 1N x x =<，则M N ⋃=（）A.(]0,1 B.()1,e C.()0,e D.(),e -∞3.已知平面向量()2,1a =-，()2,c t =，则“4t >”是“向量a与c的夹角为锐角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，π7π,0,,1312A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的解析式是（）A.()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D.()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭5.将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x ,y ,记A 事件为“8C x>8C y”,则()P A =（）A.1136B.13C.1336D.5126.若直线y ax b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则2a b +的最小值为（）A.2ln 2B.ln 2C.12ln 2D.1ln 2+7.已知抛物线()220C y px p =>：的焦点为F ，且抛物线C 过点()1,2P -，过点F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点，11,A B 分别为,A B 两点在抛物线C 准线上的投影，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.线段AB 长度的最小值为2B.11A FB 的形状为锐角三角形C.1,,A O B 三点共线D.M 的坐标不可能为()3,2-8.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a +=，记m b 为数列{}n a 中能使121n a m ≥+*()N m ∈成立的最小项，则数列{}m b 的前2023项和为（）A.20232024⨯ B.202421- C.7362-D.811322-二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x -=+，则以下说法正确的是（）A.()00f = B.()f x 的一个周期为2 C.()20231f = D.()()()543f f f =+10.双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ，Q 两点,与其两条渐近线分别交于R ，S 两点,则下列命题正确的是（）A.存在直线l ，使得AP ORB.l 在运动的过程中，始终有PR SQ=C.若直线l 的方程为2y kx =+，存在k ，使得ORB S 取到最大值 D.若直线l 的方程为()22y x a =--，RS 2SB = ，则双曲线C 11.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AA 1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA 1=∠DAA 1=60°,动点P 在直线CD 1上运动,以下四个命题正确的是（）A.BD ⊥APB.四棱锥P-ABB 1A 1的体积是定值C.若M 为BC 的中点,则1B A =2AM -1AC uuu rD.PA ·PC 的最小值为-1412.已知函数()()e xf x a a x =+-，则下列结论正确的有（）A.当1a =时，方程()0f x =存在实数根B.当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递减C.当0a >时，函数()f x 有最小值，且最小值在ln x a =处取得D.当0a >时，不等式()32ln 2f x a >+恒成立三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若关于x 的不等式220ax x a -+≤在区间[]0,2上有解，则实数a 的取值范围是______.14.已知{}n a 是递增的等比数列，且满足3135911,9a a a a =++=，则468a a a ++=_____.15.如图，若圆台的上、下底面半径分别为12,r r 且123r r =，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为______.16.设0a >，已知函数()()e ln xf x a ax b b =-+-，若()0f x ≥恒成立，则ab 的最大值为______.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.锐角 ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知1cos sin 2sin 1cos 2A BA B-=+.（1）证明：cos 2a B b=.（2）求ab的取值范围.18.受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为4:6:10，现从这三个市中任意选取一个人.（1）求这个人感染支原体肺炎病毒的概率；（2）若此人感染支原体肺炎病毒，求他来自甲市的概率.19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，2330n n S a -+=.（1）证明数列{}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的前n 项积为n T ，若133(12)(2)2log 1nk k n k k k S a a T n λ=--+⋅>+∑对任意*N n ∈恒成立，求整数λ的最大值.20.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ,已知123A F FA = .（1）求椭圆的离心率.（2）已知椭圆右焦点F 的坐标为()1,0，P 是椭圆在第一象限的任意一点,且直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积与2A FP △的面积相等,求直线2A P 的斜率.21.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⊥平面ABCD.（1）证明：PD ⊥平面ABCD ；（2）若PD AD =，M 是PD 的中点，N 在线段PC 上，求平面BMN 与平面ABCD 夹角的余弦值的取值范围.22.已知函数()()21ln 02f x x x ax a =->.（1）若函数()f x 在定义域内为减函数,求实数a 的取值范围;（2）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <,证明：121x x a>.江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()1i 13iz +=-，则复数z 的共轭复数z 的模长为（）A.B.C.2D.【答案】D 【解析】【分析】法一：利用复数除法运算化简z ，根据共轭复数的概念求解，然后利用模的公式求模即可；法二：两边取模运算得z =，再利用z z =求解.【详解】法一：因为()1i 13i z +=-，所以13i (13i)(1i)24i12i 1i (1i)(1i)2z -----====--++-，所以12i z =-+，所以z ==.法二：因为()1i 13i z +=-，所以两边取模()1i 13i z +=-，得1i 13i z +=-，所以z =，所以z z ==.故选：D .2.已知集合111M x x ⎧⎫=<-⎨⎬-⎩⎭，{}ln 1N x x =<，则M N ⋃=（）A.(]0,1 B.()1,e C.()0,e D.(),e -∞【答案】C 【解析】【分析】先化简集合M ，N ，再根据集合的并集运算求解.【详解】111x <--，即01xx <-，所以01x <<，即()0,1M =，由ln 1x <，得0e x <<，所以()0,e N =，所以()0,e M N ⋃=.故选：C.3.已知平面向量()2,1a =- ，()2,c t = ，则“4t >”是“向量a 与c的夹角为锐角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由题意知向量a ，c 夹角为锐角，即·0a c > 且a 与c不共线，再结合充分条件和必要条件的定义从而求解.【详解】因为()2,1a =- ，()2,c t =，向量a与b夹角为锐角，即需·0a c > 且a 与c不共线，得22022t t -⨯+>⎧⎨-≠⎩，解得：4t >，所以“4t >”是“向量a 与c的夹角为锐角”的充要条件.故C 项正确.故选：C.4.若函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，π7π,0,,1312A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的解析式是（）A.()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由函数图象可得周期T 和ω，进一步将7π,112⎛⎫-⎪⎝⎭代入解析式结合π2ϕ<运算即可得解.【详解】由图象知7ππ4π123T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭,故2π2π2πT ω===，将7π,112⎛⎫-⎪⎝⎭代入解析式,得7πsin 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以7ππ2π,Z 62k k ϕ+=-+∈，解得5π2π,Z 3k k ϕ=-+∈，又π2ϕ<,所以π1,3k ϕ==,所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：C .5.将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x ,y ,记A 事件为“8C x>8C y”,则()P A =（）A.1136B.13C.1336D.512【答案】C 【解析】【分析】根据题意可以分析出，抛掷两次总的基本事件有36个，随后进行列举分析.【详解】抛掷两次总的基本事件有36个.当x=1时,没有满足条件的基本事件；当x=2时，y=1满足；当x=3时，y=1，2，6满足；当x=4时，y=1，2，3，5，6满足；当x=5时，y=1，2，6满足；当x=6时，y=1满足.总共有13种满足题意，所以P (A )=1336.故选：C .6.若直线y ax b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则2a b +的最小值为（）A.2ln 2B.ln 2C.12ln 2D.1ln 2+【答案】B 【解析】【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求得2a b +的表达式，再利用导数求得2a b +的最小值.【详解】设直线y ax b =+与曲线ln y x =相切的切点为00(,ln )x x ，由ln y x =求导得1y x'=，于是0001ln a x ax b x⎧=⎪⎨⎪+=⎩，则0ln 1b x =-，0022ln 1a b x x +=+-，设2()ln 1,0f x x x x=+->，求导得22212()x f x x x x '-=-+=，当02x <<时，()0f x '<，函数()f x 递减，当2x >时，()0f x '>，函数()f x 递增，因此当2x =时，min ()ln 2f x =，所以2a b +的最小值为ln 2.故选：B7.已知抛物线()220C y px p =>：的焦点为F ，且抛物线C 过点()1,2P -，过点F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点，11,A B 分别为,A B 两点在抛物线C 准线上的投影，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.线段AB 长度的最小值为2B.11A FB 的形状为锐角三角形C.1,,A O B 三点共线D.M 的坐标不可能为()3,2-【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线的性质可判断A ；根据抛物线的定义和平行线的性质判断B ；设直线AB 和点A 、B 的坐标，联立抛物线方程，结合韦达定理和三点共线经过任意两点的直线斜率相等，判断C ；设AB 的中点为()00,M x y ，则12022y y y m +==，2021x m =+，取1m =-求出M 可判断D.【详解】对于A ，因为抛物线C 过点()1,2P -，所以抛物线C 的方程为24y x =，线段AB 长度的最小值为通径24p =，所以A 错误；对于B ，由定义知1AA AF =，1//AA x 轴，所以111AFA AA F A FO ∠=∠=∠，同理11BFB B FO ∠=∠，所以1190A FB ∠=，所以B 错误；对于C ，设直线:1AB x my =+，与抛物线方程联立，得2440y my --=，设()111,A x y ，()122,B x y ，则124y y =-，11==OA y k x 214=-y y ，因为()121,B y -，所以12OB OA k y k =-=，1,,A O B 三点共线，所以C 正确；对于D ，设AB 的中点为()00,Mxy ，则12022y y y m +==，200121x my m =+=+，取1m =-，可得()3,2M -，所以D 错误.故选：C .8.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a +=，记m b 为数列{}n a 中能使121n a m ≥+*()N m ∈成立的最小项，则数列{}m b 的前2023项和为（）A.20232024⨯B.202421- C.7362-D.811322-【答案】D 【解析】【分析】首先根据n S 与n a 的关系，得到数列{}n a 的通项公式，再根据规律找到满足条件能使121n a m ≥+*()N m ∈成立的最小项，并对于不同的m 值，计算满足条件的个数，从而求和得解.【详解】因为1n n S a +=，则111n n S a +++=，两式相减，得120n n a a +-=，又当1n =时，112a =，故0n a ≠，所以{}n a 是以112a =，12q =的等比数列，则12n n a =，显然{}n a 递减，要使得n a 最小，即要使得n 最大，令11221n m ≥+，得221n m ≤+.若1m =，则1111,2n b a ≤==;若23m ≤≤，则212,4m n b a ≤==;若47m ≤≤，则313,;8m n b a ≤==若815m ≤≤，则414,;16m n b a ≤== ;若10242047m ≤≤，则1111111,,2m n b a ≤==，则()113123111,1222T b T b b b ===++=+=()()712345671113,2222T b b b b b b b =++++++=++= ，204720231111111,222T T ∴=⨯=∴=-11824113222=-，故选：D.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得221n m ≤+，从而分类讨论m 的取值范围，求得对应m b 的值，从而得解.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x -=+，则以下说法正确的是（）A.()00f =B.()f x 的一个周期为2C.()20231f = D.()()()543f f f =+【答案】ABD 【解析】【分析】对A 选项：由()f x 是R 上的奇函数即有()00f =；对B 选项：由()()11f x f x -=+可得()()2f x f x =+，即可得；对C 选项：由周期性及奇偶性结合即可得；对D 选项：由周期性及奇偶性结合即可得.【详解】()f x 是R 上的奇函数，因此()00f =，故A 正确；由()()11f x f x -=+得()()2f x f x =+，所以2是它的一个周期，故B 正确；()()()20232101111f f f =⨯+=，而()()()111f f f =-=-，故()10f =，故C 错误；()()400f f ==，()()53f f =，因此()()()543f f f =+，故D 正确.故选：ABD .10.双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ，Q 两点,与其两条渐近线分别交于R ，S 两点,则下列命题正确的是（）A.存在直线l ，使得AP ORB.l 在运动的过程中，始终有PR SQ=C.若直线l 的方程为2y kx =+，存在k ，使得ORB S 取到最大值D.若直线l 的方程为()22y x a =--，RS 2SB = ，则双曲线C 3【答案】BD【解析】【分析】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对A 项判断；设直线l ：y kx t =+分别与双曲线联立，渐近线联立，分别求出,P Q 和,R S 坐标，从而可对B 、C 项判断；根据2RS SB = ，求出2b a =，从而可对D 项判断.【详解】对于A 项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A 项错误；对于B 项：设直线l :y kx t =+，与双曲线联立22221y kx t x y ab =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得：()()22222222220b a k x a ktx a t a b ---+=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，由根与系数关系得：2122222a kt x x b a k +=-，222212222a b a t x x b a k+=--，所以线段PQ 中点2221212222222,,22x x y y a kt a k t N t b a k b a k ⎛⎫++⎛⎫=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，将直线l ：y kx t =+，与渐近线b y x a =联立得点S 坐标为,at bt S b ak b ak ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，将直线l ：y kx t =+与渐近线b y x a =-联立得点R 坐标为,at bt R b ak b ak -⎛⎫ ⎪++⎝⎭所以线段RS 中点222222222,a kt a k t M t b a k b a k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，所以线段PQ 与线段RS 的中点重合，所以2PQ RSPR SQ -==，故B 项正确；对于C 项：由B 项可得22,a b R b ak b ak -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，11222ORB R b S OB y OB b ak =⨯=+ ，因为OB 为定值，当k 越来越接近渐近线b y x a =-的斜率b a -时，2b b ak +趋向于无穷，所以ORB S 会趋向于无穷，不可能有最大值，故C 项错误；对于D 项：联立直线l 与渐近线b y xa =，解得2S ，联立直线l 与渐近线b y xa =-，解得2R ⎛⎫由题可知，2RS SB = ，所以()2S R B S y y y y -=-即32S R By y y =+=，解得b =，所以e =D 项正确.故选：BD .11.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AA 1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA 1=∠DAA 1=60°,动点P 在直线CD 1上运动,以下四个命题正确的是（）A.BD ⊥APB.四棱锥P-ABB 1A 1的体积是定值C.若M 为BC 的中点,则1B A =2AM -1AC uuu r D.PA ·PC 的最小值为-14【答案】BCD【解析】【分析】根据空间几何的相关知识，逐一分析选项即可.【详解】对于A,假设BD ⊥AP ,AB=AA 1=2,∠BAD=60°,由余弦定理易得222=AB ,,BD BD AD BD AD BD AD D =∴+⊥⋂=，,BD AD ⊂平面ACD 1,则BD ⊥平面ACD 1,因为AC ⊂平面ACD 1,所以BD ⊥AC ,则四边形ABCD 是菱形,AB=AD ,A 不正确;对于B,由平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1得CD 1∥平面ABB 1A 1,所以四棱锥P-ABB 1A 1的底面积和高都是定值,所以体积是定值,B 正确;对于C,1AC uuu r =AB +AD +1AA ,AM =AB +12AD ,故2AM -1AC uuu r =AB -1AA =1B A ,故C 正确;对于D,设PC =λ1C D ,PA ·PC =(PC +CB +BA )·PC=(λ1C D -AD -AB )·λ1C D =(λ1B A -AD -AB )·λ1BA =(λAB -λ1AA -AD -AB )·(λAB -λ1AA )=λ(λ-1)|AB |2-λ21AA ·AB -λAD ·AB -λ(λ-1)AB ·1AA +λ2|1AA |2+λAD ·1AA =λ(λ-1)|AB |2-(2λ2-λ)1AA ·AB -λAD ·AB +λ2|1AA |2+λAD ·1AA =λ(λ-1)×4-(2λ2-λ)×4cos 60°-λ×2cos 60°+4λ2+λ·2cos 60°=4λ2-2λ=(2λ-12)2-14≥-14,当且仅当λ=14时,等号成立,所以PA ·PC 的最小值为-14,故D 正确.故选：BCD .12.已知函数()()e x f x a a x =+-，则下列结论正确的有（）A.当1a =时，方程()0f x =存在实数根B.当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递减C.当0a >时，函数()f x 有最小值，且最小值在ln x a =处取得D.当0a >时，不等式()32ln 2f x a >+恒成立【答案】BD【解析】【分析】对于A ，构造函数()e 1x h x x =+-求导即可判断；对于B ，判断当0a ≤时，是否满足()0e 1x f x a -'=<即可；对于C ，令()e 10x f x a '=-=，解得ln x a =-，由此即可判断；对于D ，只需验证21ln 02a a -->是否恒成立即可，即验证min ()0g a >是否成立即可.【详解】对于A ，因为1a =,所以方程()0f x =即e 10x x +-=，设()e 1x h x x =+-，则()e 1x h x '=-，令()e 10xh x '=-=，得0x =，当0x <时，()e 10x h x '=-<，()e 1x h x x =+-单调递减，当0x >时，()e 10xh x '=->，()e 1x h x x =+-单调递增，所以()()e 1020x h x x h =+->=>，所以方程()0f x =不存在实数根，所以A 错误.对于B ，因为()()e x f x a a x =+-，定义域为R ，所以()e 1xf x a '=-，当0a ≤时,由于e 0x >，则e 0x a ≤，故()0e 1xf x a -'=<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减，所以B 正确.对于C ，由上知，当0a >时，令()e 10x f x a '=-=，解得ln x a =-.当ln x a <-时，()0f x '<，则()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减；当ln x a >-时，()0f x '>，则()f x 在(ln ,)a -+∞上单调递增.综上，当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增.所以函数()f x 有最小值，即最小值在ln x a =-处取得，所以C 错误.对于D ，由上知()()()ln min 2ln ln ln e1a f a a x a f a a a --+=++=+=，要证()32ln 2f x a >+，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证21ln 02a a -->恒成立，令()()21ln 02g a a a a =-->，则2121()2a g a a a a-'=-=.令()0g a '<，则02a <<；令()0g a '>，则2a >.所以()g a 在20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以2min ()ln 01l n n 22l 122g a g ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，()32ln 2f x a >+恒成立，D 正确.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题对于A 的关键是构造函数即可；对于B ，验证导数是否恒小于0即可；对于C ，首先验证取极值必要条件不满足即可判断；对于D ，转换为验证21ln 02a a -->是否恒成立即可.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若关于x 的不等式220ax x a -+≤在区间[]0,2上有解，则实数a 的取值范围是______.【答案】(],1-∞【解析】【分析】分离参变量，利用基本不等式求解函数最值即可求解.【详解】因为[]0,2x ∈，所以由220ax x a -+≤得221x a x ≤+，因为关于x 的不等式220ax x a -+≤在区间[]0,2上有解，所以2max 21x a x ⎛⎫≤⎪+⎝⎭，当0x =时，2201x x =+，当0x ≠时，222111x x x x =≤=++，当且仅当1x =时，等号成立，综上221x x +的最大值为1，故1a ≤，即实数a 的取值范围是(],1-∞.故答案为：(],1-∞.14.已知{}n a 是递增的等比数列，且满足3135911,9a a a a =++=，则468a a a ++=_____.【答案】273【解析】【分析】先通过23135332919a a a a a a q q ++=++=求出q ，再根据()3468135a a a a a a q ++=++求解即可.【详解】设公比为2313533291,9a q a a a a a q q ++=++=，解得29q =或19，因为{}n a 是递增的等比数列，所以3q =，则()346813539132739a a a a a a q ⨯+=+=++=.故答案为：273.15.如图，若圆台的上、下底面半径分别为12,r r 且123r r =，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为______.【答案】12π【解析】【分析】利用已知条件求得圆台的母线长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体体积公式求解即可.【详解】设圆台上、下底面圆心分别为12,O O ，则圆台内切球的球心O 一定在12O O 的中点处,设球O 与母线AB 切于M 点,所以OM AB ⊥,所以12OM OO OO R ===(R 为球O 的半径),所以1AOO 与AOM 全等,所以1AM r =,同理2BM r =，所以12AB r r =+，()()22212121212412O O r r r r r r =+--==，所以12O O =，所以圆台的内切球半径R ，内切球的表面积为24π12πR =.故答案为：12π.16.设0a >，已知函数()()e ln x f x a ax b b =-+-，若()0f x ≥恒成立，则ab 的最大值为______.【答案】e 2##1e 2【解析】【分析】利用n (l )g x a x x =+的单调性，将不等式变形为e x ax b ≥+恒成立，利用切线或者构造函数,(e )x h x ax b =--结合导数即可求解最值求解.【详解】)0e l ()()(n x f x ax a ax b ax b ≥⇔+≥+++，设n (l )g x a x x =+，由于0a >，易知()g x 在(0,)+∞上递增，且e ln e e e ()x x x x g a ax =+=+，故()()(0e )e x x f x g g ax b ax b ≥⇔≥+⇔≥+.法一:设e x y =在点00(,e )x P x 处的切线斜率为a ，0e x a =，即0ln ,x a =切线):1ln (l y ax a a =+-，由e x ax b ≥+恒成立，可得)ln (1b a a ≤-，∴2)1ln (ab a a ≤-，设21ln )),((0h a a a a =->，)()(12ln 2h a a a '=-，当12)0,e (a ∈时，()0'>h a ，当12(,)e a ∈+∞时，0(),h a '<∴12max e )()2e (h a h ==，∴ab 的最大值为e 2.法二:设(e ,e ())x x h x ax b h x a '=--=-，当(,ln )x a ∈-∞时，()0h x '<，当(ln ,)x a ∈+∞时，()0h x '>，∴min 0()()1)ln ln (h x h a a a b ==--≥，即有)ln (1b a a ≤-，∴2)1ln (ab a a ≤-，下同法一.故答案为：e 2.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.锐角 ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知1cos sin 2sin 1cos 2A B A B-=+.（1）证明：cos 2a B b =.（2）求a b的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证法一：利用二倍角公式化简等式右边，然后结合两角差的余弦公式以及角的范围得到,A B 的关系，再通过正弦定理完成证明；证法二：利用二倍角公式化简等式左右两边，然后结合两角差的正弦公式以及角的范围得到,A B 的关系，再通过正弦定理完成证明；（2）根据三角形是锐角三角形分析出B 的范围，结合（1）的结论求解出a b 的范围.【小问1详解】证法一：因为21cos sin 22sin cos sin sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B-===+，所以()1cos cos sin sin A B A B -=，所以cos cos cos sin sin B A B A B =+，即()cos cos A B B -=，因为ππ0,022A B <<<<，所以ππ22A B -<-<，所以A B B -=，即2A B =，所以sin sin 22sin cos A B B B ==，由正弦定理得2cos a b B =，即cos 2a B b=；证法二：因为222sin sin 1cos sin 22sin cos sin 22sin 1cos 22cos cos 2sin cos cos 222A A A B B B B A A A A B B B -=====+，所以sin cos cos sin 22A A B B =，所以sin 02A B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为ππ0,022A B <<<<，所以π024A <<，所以ππ224A B -<-<，所以02A B -=，所以2A B =，所以sin 2sin cos A B B =，由正弦定理可得2cos a b B =，即cos 2a B b=.【小问2详解】由上可知2A B =，则π022π02π0π2A B B A B ⎧<=<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<--<⎪⎩，解得π6π4B <<，又因为cos 2a B b =，所以2cos a B b =∈，所以a b的取值范围是.18.受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为4:6:10，现从这三个市中任意选取一个人.（1）求这个人感染支原体肺炎病毒的概率；（2）若此人感染支原体肺炎病毒，求他来自甲市的概率.【答案】（1）0.054（2）827【解析】【分析】（1）记事件:D 选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件:E 此人来自甲市,记事件:F 此人来自乙市,记事件:G 此人来自丙市，求出()P E ,()P F ,()P G ,()|P D E ,()|P D F ,()|P D G ,根据全概率公式可得答案；（2）由条件概率公式可得答案.【小问1详解】记事件:D 选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件:E 此人来自甲市,记事件:F 此人来自乙市,记事件:G 此人来自丙市，Ω= E F G ,且,,E F G 彼此互斥,由题意可得()40.220==P E ,()60.320==P F ,()100.520==P G ,()|0.08=P D E ,()|0.06=P D F ,()|0.04=P D G ,由全概率公式可得()()()()()()()|||=⋅+⋅+⋅P D P E P D E P F P D F P G P D G0.20.080.30.060.50.040.054=⨯+⨯+⨯=，所以从三市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054；【小问2详解】由条件概率公式可得()()()()()()|0.20.088|0.05427⨯====P DE P E P D E P E D P D P D ，所以当此人感染支原体肺炎病毒时,他来自甲市的概率为827.19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，2330n n S a -+=.（1）证明数列{}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的前n 项积为n T ，若133(12)(2)2log 1nk k n k k k S a a T n λ=--+⋅>+∑对任意*N n ∈恒成立，求整数λ的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）0【解析】【分析】（1）利用数列作差得到递推关系，再利用等比数列定义证明；（2）根据等比数列定义求出通项公式和前n 项和与积，进而对133(12)(2)2log nk k k k k S a T =--+∑化简，利用裂项相消法求和，分参求λ的取值范围.【小问1详解】因为2330n n S a -+=，①当2n ≥时，112330n n S a ---+=，②①-②得：()132n n a a n -=≥，即()-132n n a n a =≥，经检验13a =符合上式，所以数列{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列.【小问2详解】由（1）知3n n a =，所以()131333132n n n S +--==-，()121221233333n n n nn n T a a a ++++==⨯⨯⨯== ，所以()()312111133333(12)(2)(12)(23)(21)3222log 13log k k k n n n k k k k k k k k k S a k k T k k +===+---+--⨯+-⋅==+∑∑∑111333311k kn nk k k n ++=⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭∑，所以13311n n a n n λ+⋅->++恒成立，即133311n nn n λ+⋅->++，化简得：1133n n λ-+<-，令1133n n n b -+=-，所以112121330333n n n n n n n n b b +-+++⎛⎫-=---=> ⎪⎝⎭，所以数列{}n b 是递增数列，最小值为11111313b -+=-=，所以1λ<，故整数λ的最大值为0.20.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ,已知123A F FA = .（1）求椭圆的离心率.（2）已知椭圆右焦点F 的坐标为()1,0，P 是椭圆在第一象限的任意一点,且直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积与2A FP △的面积相等,求直线2A P 的斜率.【答案】（1）12（2）324k =-【解析】【分析】（1）由条件，转化为关于,a c 的等式，即可求解离心率；（2）方法一：首先设直线2A P 的方程为20kx y k --=且0k <，利用点到直线的距离，以及条件结合得到22114PQ h A Ph ==，再根据2245A P A Q = ，求得点P 的坐标，代入椭圆方程，即可求解；方法二：首先设直线2A P 的方程为20kx y k --=且0k <，并与椭圆方程联立，利用韦达定理求得点P 的坐标，并结合面积公式，即可求解.【小问1详解】由题可知，122A A a =,由123A F FA =,所以123A F FA = ,所以1123342A F A A a ==,即32a c a +=,所以椭圆的离心率12c e a ==；【小问2详解】法一:由题意知,1,2c a ==，所以椭圆方程为24x +23y =1,直线2A P 的斜率存在,设直线2A P 的斜率为k ,则直线方程为20kx y k --=且0k <，设1A 到直线2A P 的距离为1h ，F 到直线2A P 的距离为2h ，则1h =，2h =，又1112A PQ S h PQ =⋅ ,22212A FP S h A P =⋅ 12A PQ A FP S S = ,所以22114PQ h A Ph ==，由图可得2245A P A Q = ,又因为()22,0A ，()0,2Q k -,所以28,55P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,又P 在椭圆上,代入椭圆方程解得298k =,因为0k <,所以324k =-,法二:由题意知,直线2A P 的斜率存在,设直线2A P 的斜率为k ,则直线方程为20kx y k --=且0k <,联立2220143kx y k x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得到方程()2222341616120k x k x k +-+-=,所以222161234A P k x x k -⋅=+,所以228634P k x k -=+,代入直线方程得2228612,3434k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,()0,2Q k -,22122P A FP P y S A F y =⋅= ,()112121142422A PQ QA A PA A P S S S k y =-=⋅⋅--⋅ 又因为12A PQ A FP S S = ,所以542P y k =-,所以25124234k k k -⋅=-+,解得298k =,因为0k <,所以324k =-.21.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⊥平面ABCD.（1）证明：PD ⊥平面ABCD ；（2）若PD AD =，M 是PD 的中点，N 在线段PC 上，求平面BMN 与平面ABCD 夹角的余弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）0,3⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质结合线面垂直的判定定理即可得；（2）证明DA ，DC ，DP 两两垂直后建立空间直角坐标系，设出N 点位置后表示出两面夹角的余弦值后结合换元法与分式求最值的方式即可得.【小问1详解】四边形ABCD 是正方形，∴AD CD ⊥，平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面PCD ，又 PD ⊂平面PCD ,∴AD PD ⊥，同理CD PD ⊥，又 AD CD D = ，AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥平面ABCD .【小问2详解】由(1)知AD PD ⊥，CD PD ⊥，AD CD ⊥，∴DA ，DC ，DP 两两垂直，如图，以D 为原点,DA 、DC 、DP 所在直线分别x 、y 、z轴，建立空间直角坐标系，设2PD AD ==，则()0,0,0D 、()002P ,,、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()0,0,1M ，PD ⊥平面ABCD ，∴平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =，设()01CN CP λλ=≤≤，有()2,2,1BM =-- ，()0,2,2CP =-，则()2,2,2BN BC CN BC CP λλλ=+=+=--，设平面BMN 的法向量为(),,n x y z =，则·220·2220BM n x y z BN n x y z λλ⎧=--+=⎪⎨=--+=⎪⎩ ，取x λ=，则12y λ=-，22z λ=-，故平面BMN 的一个法向量为(),12,22n λλλ=--，设平面BMN 与平面ABCD 的夹角为θ，则cos cos ,m n θ==，设1t λ=-，则01t ≤≤，①当0=t 时,cos 0θ=，②当0t ≠时，cosθ===，当23t=时，22cos3θ=，故220cos3θ≤≤，综上,220cos3θ≤≤，即平面BMN与平面ABCD夹角的余弦值的取值范围为0,3⎡⎢⎣⎦.22.已知函数()()21ln02f x x x ax a=->.（1）若函数()f x在定义域内为减函数,求实数a的取值范围;（2）若函数()f x有两个极值点()1212,x x x x<,证明：121x xa>.【答案】（1）1a≥（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，()0f x'≤恒成立，即ln1xax+≥恒成立，构造函数()ln1xh xx+=，求导，得到其单调性和最值，得到实数a的取值范围；（2）方法一：由（1）得01a<<，转化为()1212,x x x x<是()g x的两个零点，求导得到()g x单调性，得到12101x xa<<<<，换元后即证1ln e10tt-+-<，构造()1ln e1tG t t-=+-()01t<<，求导得到其单调性，结合特殊点的函数值，得到答案；方法二：先证明引理，当01t<<时,()21ln1ttt-<+,当1t>时,()21ln1ttt->+，变形得到只需证()212lna x x a+>-，结合引理，得到()2222ln2ln10a x a a x a+-++>，()2211ln2ln10a x a a x a+-++<，两式结合证明出答案.【小问1详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()1ln f x x ax '=+-，由题意()0f x '≤恒成立，即ln 1x a x+≥恒成立，设()ln 1x h x x +=，则()221ln 1ln h x x xx x'==---，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()ln 1x h x x +=单调递增,当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()ln 1x h x x+=单调递减,∴()h x 在1x =处取得极大值，也是最大值，()()max 11h x h ==，故1a ≥；【小问2详解】证法一：函数()f x 有两个极值点，由(1)可知01a <<，设()()1ln g x f x x ax '==+-，则()1212,x x x x <是()g x 的两个零点，()1g x a x '=-，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<,所以()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上递增,在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上递减，所以1210x x a<<<,又因为()110g a =->，所以12101x x a<<<<，要证121x x a >,只需证2111x ax a >>,只需证()211g x g ax ⎛⎫< ⎪⎝⎭，其中()20g x =，即证()111111ln 0g ax ax x ⎛⎫=-->⎪⎝⎭，即证()111ln 10ax x +-<，由()111ln 10g x x ax =-+=,设()10,1ax t =∈,则1ln 1x t =-,11e t x -=,则()1111ln 10ln e 10t ax t x -+-<⇔+-<,设()1ln e1tG t t -=+-()01t <<，()1111e e et t t tG t t t ----'=-=，由(1)知ln 11x x+≤，故ln 1≤-x x ,所以1e x x -≥,1e 0t t --≥,即()0G t '≥，()G t 在()0,1上递增，()()10G t G <=,故()111ln 10ax x +-<成立,即121x x a>；证法二：先证明引理:当01t <<时,()21ln 1t t t -<+,当1t >时,()21ln 1t t t ->+，设()()()21ln 01t M t t t t -=->+,()()()()222114011t M t t t t t -'=-=≥++，所以()M t 在()0,∞+上递增,又()10M =,当01t <<时,()()10M t M <=，当1t >时，()()10M t M >=，故引理得证，因为函数()f x 有两个极值点，由(1)可知01a <<,设()()1ln g x f x x ax '==+-，则()1212,x x x x <是()g x 的两个零点，()1g x a x '=-，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<,所以()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上递增,在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上递减，所以1210x x a<<<,即1201ax ax <<<，要证121x x a>,只需证12ln ln ln x x a +>-，因为11221ln 01ln 0x ax x ax +-=⎧⎨+-=⎩，即证()212ln a x x a +>-，由引理可得()()222221ln 1ln 1ax ax a ax ax -+-=>+,化简可得()2222ln 2ln 10a x a a x a +-++>①，同理()()111121ln 1ln 1ax ax a ax ax -+-=<+，化简可得()2211ln 2ln 10a x a a x a +-++<②，由①-②可得()()()()2212121ln 20ax x x x a a x x +-+-->，因为210x x ->，0a >，所以()21ln 20a x x a ++->，即()212ln a x x a +>-,从而121x x a>.【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。

高考数学数列知识点与题型梳理在高考数学中，数列是一个重要的知识点，也是很多同学感到头疼的部分。

但其实，只要我们掌握了其核心知识点和常见题型，数列也并非难以攻克。

下面，咱们就来好好梳理一下高考数学数列的相关内容。

一、数列的基本概念数列，简单来说，就是按照一定顺序排列的一列数。

我们通常用\（a_{n}＼）来表示数列的第\（n\）项。

数列有等差数列和等比数列这两种常见类型。

等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。

这个常数叫做等差数列的公差，通常用\（d\）表示。

等比数列则是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。

这个常数叫做等比数列的公比，通常用\（q\）表示（＼（q\neq 0\））。

二、等差数列的知识点1、通项公式＼（a_{n} ＝ a_{1} ＋（n 1)d\），其中\（a_{1}＼）为首项，＼（n\）为项数，＼（d\）为公差。

通过通项公式，我们可以根据首项、公差和项数求出任意一项的值。

2、前\（n\）项和公式＼（S_{n} ＝＼frac{n(a_{1} ＋ a_{n}）｝｛2} ＝ na_{1} ＋＼frac{n(n 1)d}｛2}＼）这两个公式在解题中经常用到，要熟练掌握。

3、等差中项若\（a\），＼（b\），＼（c\）成等差数列，则\（2b ＝ a ＋ c\）三、等比数列的知识点1、通项公式＼（a_{n} ＝ a_{1}q^｛n 1}＼）2、前\（n\）项和公式当\（q ＼neq 1\）时，＼（S_{n} ＝＼frac{a_{1}（1 q^｛n}）｝｛1 q}＼）当\（q ＝ 1\）时，＼（S_{n} ＝ na_{1}＼）3、等比中项若\（a\），＼（b\），＼（c\）成等比数列，则\（b^2 ＝ ac\）四、数列的性质1、等差数列的性质（1）若\（m ＋ n ＝ p ＋ q\），则\（a_{m} ＋ a_{n} ＝ a_{p} ＋a_{q}＼）（2）＼（a_{n}＼），＼（a_{m}＼）的公差为\（d\），则\（a_{n} a_{m} ＝（n m)d\）2、等比数列的性质（1）若\（m ＋ n ＝ p ＋ q\），则\（a_{m} ＼times a_{n} ＝ a_{p} ＼times a_{q}＼）（2）＼（a_{n}＼），＼（a_{m}＼）的公比为\（q\），则\（＼frac{a_{n}｝｛a_{m}｝＝ q^｛n m}＼）五、常见题型1、求数列的通项公式这是数列中常见的基础题型。

2024年高考数学数列易错知识点总结在2024年高考中，数学数列是一个常见的考点，也是一道容易出错的题型。

为了帮助考生顺利应对数列相关的考试题目，下面总结了一些常见的易错知识点。

一、等差数列的通项公式：等差数列是指数列中任意两项之间的差相等的数列。

它的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$。

对于等差数列来说，考生容易犯的错误有：1. 弄混公差和公比。

公差指的是等差数列中任意两项之间的差，公比指的是等比数列中任意两项之间的比值。

考生在计算等差数列的时候，应该注意区分这两个概念。

2. 弄混首项和通项。

首项指的是数列中的第一项，通项指的是数列中第n项的表达式。

在计算等差数列的时候，考生应该注意首项和通项的区别。

3. 对于计算等差数列的题目，考生有时会直接套用公式，而忽略对问题的分析和推理。

在解题过程中，不应只关注于公式的使用，还应注重思考问题的本质，并结合实际情况进行合理的推理和分析。

二、等差数列的前n项和公式：等差数列的前n项和公式为：$S_n = \\frac{n}{2}(a_1 +a_n)$。

在计算等差数列前n项和的过程中，考生容易犯的错误有：1. 弄混首项和末项。

求前n项和的公式中，首项$a_1$和末项$a_n$都是需要用到的。

考生容易弄混这两个项，在计算过程中应该注意清楚。

2. 计算公式时漏写除以2。

前n项和的公式是$\\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，但考生在计算的时候经常漏写除以2的操作，导致结果错误。

3. 求前n项和时，考生有时对问题的理解不准确。

在一些应用题中，需要根据题目给出的条件和要求来求解前n项和。

考生如果对问题的理解不准确，很容易在计算过程中出错。

三、等比数列的通项公式：等比数列是指数列中任意两项之间的比值相等的数列。

它的通项公式为：$a_n = a_1 \\times q^{(n-1)}$。

对于等比数列来说，考生容易犯的错误有：1. 弄混公比和公差。

一、数列的概念选择题1．在数列{}n a 中，114a =-，111(1)n n a n a -=->，则2019a 的值为（ ） A ．45B ．14-C ．5D ．以上都不对2．已知数列{}n a 满足12a =，111n na a +=-，则2018a =（ ）. A ．2B ．12 C ．1-D ．12-3．已知数列{}n a 满足11a =),2n N n *=∈≥，且()2cos3n n n a b n N π*=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120B ．174C ．204-D ．37324．数列{}n a 的通项公式是276n a n n =-+，4a =（ ）A ．2B ．6-C ．2-D ．15．已知数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-，则10a ＝（ ）A ．35B ．40C ．45D ．506．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*123n n a a n n N++=+∈且1300nS=，若23a <，则n 的最大值为（ ）A ．49B ．50C ．51D ．528．数列{}n a 中，11a =，12n n a a n +=+，则n a =（ ） A ．2n n 1-+B ．21n +C ．2(1)1n -+D ．2n9．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若1102a <<，则（ ） A ．8972a a a +< B ．91082a a a +> C ．6978a a a a +>+ D ．71089a a a a +>+10．的一个通项公式是（ ）A．n a =B．n a =C．n a =D．n a =11．在数列{}n a 中，11a =，()*122,21n n a n n N a -=≥∈-，则3a =（ ）A ．6B ．2C ．23 D ．21112．数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，则10a =（ ） A ．511B ．513C ．1025D ．102413．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．174B ．184C ．188D ．16014．已知数列{a n }满足112,0,2121, 1.2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若a 1=35,则a 2019 = ( )A ．15B ．25C ．35D ．4515．已知在数列{}n a 中，112,1n n na a a n +==+，则2020a 的值为（ ） A ．12020B ．12019C ．11010D ．1100916．已知lg3≈0.477，[x ]表示不大于x 的最大整数.设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2且S n +1＝3S n -2n +2，则[lg(a 100-1)]＝（ ） A ．45B ．46C ．47D ．4817．已知数列{}n a 满足：11a =，145n n a a +=+，则n a =（ ） A ．85233n⨯- B ．185233n -⨯- C ．85433n⨯-D ．185433n -⨯- 18．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第40项为（ ）． A ．648B ．722C ．800D ．88219．在数列{}n a 中，11(1)1,2(2)nn n a a n a --==+≥，则3a =（ ）A ．0B ．53 C ．73D ．320．已知数列,21,n -21是这个数列的（ ）A ．第10项B ．第11项C ．第12项D ．第21项二、多选题21．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（ ）A ．1(1)nn a =+-B ．2cos2n n a π= C ．(1)2sin2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--22．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >23．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（ ） A ．31a =- B ．201912a =C ．332S =D ． 2 01920192S =24．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4B ．－2C ．0D ．225．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ） A ．15B ．25C ．45D ．6526．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ） A ．23n S n n =- B ．2392-=n n nSC ．36n a n =-D ．2n a n =27．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ） A ．12d =B ．12d =-C ．918S =D ．936S =28．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.29．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 30．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值31．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（ ） A ．244a a ⋅<B ．224154a a +≥C ．15111a a +> D ．1524a a a a ⋅>⋅32．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <33．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列34．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值35．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（ ） A ．109S S >B ．170S <C ．1819S S >D ．190S >【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．A 解析：A 【分析】根据递推式可得{}n a 为一个周期为3的数列，求{}n a 中一个周期内的项，利用周期性即可求2019a 的值 【详解】由114a =-，111(1)n n a n a -=->知 21115a a =-= 321415a a =-= 4131114a a a =-=-= 故数列{}n a 是周期为3的数列，而2019可被3整除 ∴2019345a a == 故选：A 【点睛】本题主要考查递推数列，考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题2．B解析：B 【分析】利用递推关系可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，从而可得2018a .在数列{}n a 中，111n na a +=-，且12a =， 211112a a ∴=-=， 3211121a a =-=-=- ， ()41311112a a a =-=--== ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，201867232=⨯+， 2018212a a ∴==.故选：B 【点睛】本题考查了由数列的递推关系式研究数列的性质，考查了数列的周期性，属于基础题.3．B解析：B 【分析】将题干中的等式化简变形得211n n a n a n --⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，由此计算出()32313k k k b b b k N *--++∈，进而可得出数列{}nb 的前18项和.【详解】)1,2n a n N n *--=∈≥，将此等式变形得211n n a n a n --⎛⎫= ⎪⎝⎭，由累乘法得22232121211211123n n n aa a n a a a a a n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2cos3n n n a b n N π*=∈，22cos 3n n b n π∴=， ()()222323134232cos 231cos 29cos 233k k k b b b k k k k k k πππππ--⎛⎫⎛⎫∴++=--+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭592k =-，因此，数列{}n b 的前18项和为()591234566921151742⨯+++++-⨯=⨯-=.【点睛】本题考查并项求和法，同时也涉及了利用累乘法求数列的通项，求出32313k k k b b b --++是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.4．B解析：B 【分析】 令4n = 代入即解 【详解】令4n =，2447466a =-⨯+=-故选：B. 【点睛】数列通项公式n a 是第n 项与序号n 之间的函数关系，求某项值代入求解.5．A解析：A 【分析】利用()n n n a S S n 12－＝－，根据题目已知条件求出数列的通项公式，问题得解.【详解】223n S n n =-,n 2∴≥时，1n n n a S S -=-22(23[2(1)3(1)]n n n n ）=-----=45n1n = 时满足11a S ＝ ∴ =45n a n ，∴ 10a ＝35故选：A. 【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系求通项. 已知n S 求n a 的三个步骤: (1)先利用11a S ＝求出1a .(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用()n n n a S S n 12－＝－便可求出当n 2≥时n a 的表达式．(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合n 2≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与n 2≥两段来写． ．6．A解析：A 【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．7．A解析：A 【分析】对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2+32n n nS =，发现不存在这样的偶数能满足此式，当n 为奇数时，可得21+342n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值.【详解】当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+ 2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32n n=，因为22485048+348503501224,132522S S ⨯+⨯====，所以n 不可能为偶数；当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+21342n n a +-=+因为2491149349412722S a a +⨯-=+=+，2511151351413752S a a +⨯-=+=+，又因为23a <，125a a +=，所以 12a > 所以当1300n S =时，n 的最大值为49 故选：A 【点睛】此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.8．A解析：A 【分析】由题意，根据累加法，即可求出结果. 【详解】因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，因此212a a -=，324a a -=，436a a -=，…，()121n n a a n --=-， 以上各式相加得：()()()21246.1221..212n n n a a n n n ⎡⎤-+-⎣⎦-=+++==+--，又11a =，所以21n a n n =-+.故选：A. 【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，属于基础题型.9．C解析：C 【分析】 由递推公式1221n n n a a a ++=+得出25445n n n a a a ++=+，计算出25,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用递推公式推导得出()0,1n a ∈（n 为正奇数），1n a >（n 为正偶数），利用定义判断出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，进而可得出结论.【详解】()()113212132221212221n n n n n n a a a a a a ++++===++++，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，25,24a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()()121259245221545944221454544452121n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++-+++=====-+++++⨯++，且()2241544545n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++，()212122121n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++. 110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则101a <<，则()()3590,14445n a a =-∈+， 如此继续可得知()()210,1n a n N *-∈∈，则()22121212141=045n n n n a aa a -+---->+，所以，数列{}()21n a n N *-∈单调递增；同理可知，()21na n N *>∈，数列{}()2na n N *∈单调递减.对于A 选项，78a a <且79a a <，8972a a a ∴+>，A 选项错误； 对于B 选项，89a a >且108a a <，则91082a a a +<，B 选项错误； 对于C 选项，68a a >，97a a >，则6978a a a a +>+，C 选项正确； 对于D 选项，79a a <，108a a <，则71098a a a a +<+，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查数列不等式的判断，涉及数列递推公式的应用，解题的关键就是推导出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，考查推理能力，属于难题.10．C解析：C 【分析】根据数列项的规律即可得到结论． 【详解】因为数列3，7，11，15⋯的一个通项公式为41n -，，⋯的一个通项公式是n a = 故选：C ． 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，利用条件找到项的规律是解决本题的关键．11．C解析：C 【分析】利用数列的递推公式逐项计算可得3a 的值. 【详解】()*122,21n n a n n N a -=≥∈-，11a =，212221a a ∴==-，3222213a a ==-. 故选：C. 【点睛】本题考查利用数列的递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.12．B解析：B 【分析】根据递推公式构造等比数列{}1n a -，求解出{}n a 的通项公式即可求解出10a 的值. 【详解】因为121n n a a +=-，所以121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，所以1121n n a a +-=-且1110a -=≠， 所以{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列，所以112n n a --=，所以121n n a -=+，所以91021513a =+=，故选：B. 【点睛】本题考查利用递推公式求解数列通项公式，难度一般.对于求解满足()11,0,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠的数列{}n a 的通项公式，可以采用构造等比数列的方法进行求解.13．A解析：A 【分析】根据已知条件求得11n n n a a -=--，利用累加法求得19a.【详解】 依题意：3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,所以11n n n a a -=--（2n ≥），且13a =， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()12213n n =-+-++++()()()11113322n n n n -+--=+=+.所以19191831742a ⨯=+=.【点睛】本小题主要考查累加法，属于中档题.14．B解析：B 【分析】根据数列的递推公式，得到数列的取值具备周期性，即可得到结论． 【详解】∵112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，又∵a 135=，∴a 2＝2a 1﹣1＝235⨯-115=，a 3＝2a 225=， a 4＝2a 3＝22455⨯=， a 5＝2a 4﹣1＝245⨯-135=， 故数列的取值具备周期性，周期数是4， 则2019a ＝50443a ⨯+＝325a =， 故选B ． 【点睛】本题主要考查数列项的计算，根据数列的递推关系是解决本题的关键．根据递推关系求出数列的取值具备周期性是解决本题的突破口．15．C解析：C 【分析】由累乘法可求得2n a n=，即可求出. 【详解】11n n n a a n +=+，即11n na n a n +=+， 12321123211232121232n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⨯--2n=， 20202120201010a ∴==. 故选：C.16．C【分析】利用数列的递推式，得到a n +1＝3a n -2，进而得到a n ＝3n -1+1，然后代入[lg(a 100-1)]可求解 【详解】当n ≥2时，S n ＝3S n -1-2n +4，则a n +1＝3a n -2，于是a n +1-1＝3(a n -1)，当n ＝1时，S 2＝3S 1-2+2＝6，所以a 2＝S 2-S 1＝4.此时a 2-1＝3(a 1-1)，则数列{a n -1}是首项为1，公比为3的等比数列.所以a n -1＝3n -1，即a n ＝3n -1+1，则a 100＝399+1，则lg(a 100-1)＝99lg3≈99×0.477＝47.223，故[lg(a 100-1)]＝47. 故选C17．D解析：D 【分析】 取特殊值即可求解. 【详解】当1n =时，11a =，显然AC 不正确，当2n =时，21459a a =+=，显然B 不符合，D 符合 故选：D18．C解析：C 【分析】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：222n a n =，即可得出． 【详解】由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，可得偶数项的通项公式：222n a n =．则此数列第40项为2220800⨯=． 故选：C19．B解析：B 【分析】由数列的递推关系式以及11a =求出2a ，进而得出3a ． 【详解】11a =，21123a a ∴=+=，321523a a -=+= 故选：B20．B解析：B 【分析】根据题中所给的通项公式，令2121n -=，求得n =11，得到结果. 【详解】令2121n -=，解得n =11是这个数列的第11项. 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有判断数列的项，属于基础题目.二、多选题 21．AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】对于选项A ，取前六项得：，满足条件； 对于选项B ，取前六项得：，不满足条件； 对于选项C ，取前六项得：，解析：AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】对于选项A ，1(1)nn a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项B ，2cos 2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件； 故选：AC22．BC 【分析】根据递推公式，得到，令，得到，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到，求出，可得C 正确，D 错. 【详解】 由可知，即，当时，则，即得到，故选项B 正确；无法计算，故A 错； ，所以，则解析：BC根据递推公式，得到11n n nn n a a a +-=-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到1n n nS a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n na n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-， 当1n =时，则121a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】 方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解； （2）累乘法，形如()1n na f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.23．ACD 【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ． 【详解】由题意，，A 正确，，C 正确； ，∴数列是周期数列，周期为3． ，B 错； ，D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】 本解析：ACD先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ． 【详解】由题意211122a =-=，311112a =-=-，A 正确，3132122S =+-=，C 正确；41121a =-=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3． 2019367331a a a ⨯===-，B 错；20193201967322S =⨯=，D 正确．故选：ACD ． 【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．24．AB 【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】 ，， 则，，，，上述式子累加可得：，， 对于任意的恒成立解析：AB 【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误， 故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.25．ABC 【分析】利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列满足，，依次取代入计算得， ，，，，因此继续下去会循环解析：ABC 【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.26．BC 【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式 【详解】解：设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以， ， 故选：BC解析：BC 【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，46a =，所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩， 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=， 故选：BC27．BD 【分析】由等差数列下标和性质结合前项和公式，求出，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】 因为， 所以．因为，，所以公差． 故选：BD解析：BD 【分析】由等差数列下标和性质结合前n 项和公式，求出9S ，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】因为1937538a a a a +=+=+=， 所以()1999983622a a S +⨯===． 因为35a =，73a =，所以公差731732a a d -==--． 故选：BD28．ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且，所以公差， 所以，即，根据等差数列的性质可得，又， 所以，，故A 正解析：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.29．AC 【分析】令，则，根据，可判定A 正确；由，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；，根据，可判定D 错误. 【详解】令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A 正确； 由，所以，故B 错误；解析：AC 【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d daa d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=， 故1011109333a =+⨯=，故C 正确； 由()111222n n n na dS d d n a n n -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.30．BD【分析】设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解.【详解】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：是等差数列，若，则，故B 正确；又由得，则有，故A 错误；而C 选项，，即，可得，解析：BD【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解.【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误；而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>，又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的.∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确；故选：BD.【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.31．ABC【分析】由已知求得公差的范围：，把各选项中的项全部用表示，并根据判断各选项．【详解】由题知，只需，，A 正确；，B 正确；，C 正确；，所以，D 错误.【点睛】本题考查等差数列的性解析：ABC【分析】由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项．【详解】由题知，只需1220010a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩， ()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；()()2222415223644a a d d d d +=-++=-+>≥，B 正确； 21511111122221a a d d d +=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，D 错误.【点睛】本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d 表示）后，可判断．32．AD【分析】由已知得到,进而得到,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为，可知不一定成立，从而判定C 错误.【详解】由已知得：,结合等差数列的性质可知，,该等差解析：AD【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误.【详解】由已知得：780,0a a ><,结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列，∴A 正确，B 错误，D 正确，310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=, 这在已知条件中是没有的，故C 错误.故选:AD.【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.33．ABC【分析】由可求得的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当时，．当时，．当时，上式＝．所以若是等差数列，则所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列． 解析：ABC【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴= 所以当0c 时，{}n a 是等差数列， 00a cb ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列．故选：A B C【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．34．AC【分析】由已知求出数列的首项与公差，得到通项公式判断与；再求出，由的项分析的最小值．【详解】解：在递增的等差数列中，由，得，又，联立解得，，则，．．故正确，错误；可得数列的解析：AC【分析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值．【详解】解：在递增的等差数列{}n a 中，由5105a a +=，得695a a +=，又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =， 则967(2)3963a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．故A 正确，B 错误；12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正． 而5610820b b +=-=>．∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．35．ABD【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出正确；根据题意可知数列为递减数列，则，又，进而可知，判断出不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知，，故正确.【详解】根据题意可知数列为递增解析：ABD【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出A 正确；根据题意可知数列为递减数列，则190a >，又181919S S a =-，进而可知1516S S >，判断出C 不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知()01179179172171722a a a S a <+⨯⨯===，()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故BD 正确. 【详解】根据题意可知数列为递增数列，90a <，100a >， ∴前9项的和最小，故A 正确； ()11791791721717022a a a S a +⨯⨯===<，故B 正确； ()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故D 正确； 190a >，181919S S a ∴=-， 1819S S ∴<，故C 不正确. 故选：ABD .【点睛】本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。