上海市徐汇区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案)

2019年上海市宝山区高考数学一模试卷一、填空题（本题满分54分)本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。

1．（4分）函数f（x）＝sin（﹣2x）的最小正周期为．2．（4分）集合U＝R，集合A＝{x|x﹣3＞0}，B＝{x|x+1＞0}，则B∩∁U A＝．3．（4分）若复数z满足（1+i）z＝2i（i是虚数单位），则．4．（4分）方程ln（9x+3x﹣1）＝0的根为．5．（4分）从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有种不同的选法．（用数字作答）6．（4分）关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为，则x+y＝．7．（5分）如果无穷等比数列{a n}所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q ＝．8．（5分）函数y＝f（x）与y＝lnx的图象关于直线y＝﹣x对称，则f（x）＝．9．（5分）已知A（2，3），B（1，4），且（sin x，cos y），x，y∈（，），则x+y＝．10．（5分）将函数y的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是．11．（5分）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知b＝2，∠A＝45°，求边c，显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c只有一解，a的可能取值是（只需填写一个适合的答案）12．（5分）如果等差数列{a n}，{b n}的公差都为d（d≠0），若满足对于任意n∈N*，都有b n﹣a n＝kd，其中k为常数，k∈N*，则称它们互为同宗”数列．已知等差数列{a n}中，首项a1＝1，公差d＝2，数列{b n}为数列{a n}的“同宗”数列，若（），则k＝．二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）若等式1+x+x2+x3＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+a3（1﹣x）3对一切x∈R 都成立，其中a0，a1，a2，a3为实常数，则a0+a1+a2+a3＝（）A．2B．﹣1C．4D．114．（5分）“x∈[，]是“sin（arcsin）＝x”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要15．（5分）关于函数f（x）的下列判断，其中正确的是（）A．函数的图象是轴对称图形B．函数的图象是中心对称图形C．函数有最大值D．当x＞0时，y＝f（x）是减函数16．（5分）设点M、N均在双曲线C：1上运动，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，||的最小值为（）A．2B．4C．2D．以上都不对三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列名题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤。

2019年上海市徐汇区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）若复数z满足i•z＝1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．2．（4分）已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝x﹣2，x∈R，x≠0}，则∁U A＝．3．（4分）若实数x，y满足xy＝1，则2x2+y2的最小值为．4．（4分）若数列{a n}的通项公式为a n＝（n∈N*），则a n＝．5．（4分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y＝2x，它的一个焦点与抛物线y2＝20x的焦点相同，则此双曲线的方程是．6．（4分）在平面直角坐标系xOy中，直线经过坐标原点，＝（3，1）是l的一个法向量．已知数列{a n}满足：对任意的正整数n，点（a n+1，a n）均在l上，若a2＝6，则a3的值为．7．（5分）已知（2x2﹣）n（n∈N*）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是．（结果用数值表示）8．（5分）上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如表所示：上海某高中2018届高三（1）班选考物理学业水平等级考的学生中，有5人取得A+成绩，其他人的成绩至少是B级及以上，平均分是64分，这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为人．9．（5分）已知函数f（x）是以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x+1），令函数g（x）＝f（x）（x∈[1，2]），则g（x）的反函数为．10．（5分）已知函数y＝sin x的定义域是[a，b]，值域是[﹣1，]，则b﹣a的最大值是．11．（5分）已知λ∈R，函数f（x）＝，若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是．12．（5分）已知圆M：x2+（y﹣1）2＝1，圆N：x2+（y+1）2＝1．直线l1、l2分别过圆心M、N，且11与圆M相交于A，B两点，12与圆N相交于C，D两点，点P是椭圆＝1上任意一点，则+的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设θ∈R，则“θ＝”是“sinθ＝”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（5分）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4．若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（）A．16B．16C．D．15．（5分）对于函数y＝f（x），如果其图象上的任意一点都在平面区域{（x，y）|（y+x）（y ﹣x）≤0}内，则称函数f（x）为“蝶型函数”，已知函数：①y＝sin x；②y＝，下列结论正确的是（）A．①、②均不是“蝶型函数”B．①、②均是“蝶型函数”C．①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数”D．①不是“蝶型函数”：②是“蝶型函数”16．（5分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，若对任意的n∈N*，都有S n≥S3，则的值不可能为（）A．2B．C．D．三、解答题.17．（14分）如图，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1．（1）正方体ABCD﹣A′B′C′D'中哪些棱所在的直线与直线A′B是异面直线？（2）若M，N分别是A'B，BC′的中点，求异面直线MN与BC所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）＝，其中a∈R．（1）解关于x的不等式f（x）≤﹣1；（2）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．19．（14分）我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多．某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角∠AOB＝，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）在圆弧的两端点A，B分别建有监测站，A与B之间的直线距离为100海里．（1）求海域ABCD的面积；（2）现海上P点处有一艘不明船只，在A点测得其距A点40海里，在B点测得其距B 点20海里．判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD？请说明理由．20．（16分）已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的长轴长为2，右顶点到左焦点的距离为+1，直线l：y＝kx+m与椭圆Γ交于A，B两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若A为椭圆的上项点，M为AB中点，O为坐标原点，连接OM并延长交椭圆Γ于N，，求k的值．（3）若原点O到直线l的距离为1，＝λ，当时，求△OAB的面积S 的范围．21．（18分）已知项数为n0（n0≥4）项的有穷数列{a n}，若同时满足以下三个条件：①a 1＝1，a＝m（m为正整数）；②a i﹣a i﹣1＝0或1，其中i＝2，3，……，n0；③任取数列{a n}中的两项a p，a q（p≠q），剩下的n0﹣2项中一定存在两项a s，a t（s≠t），满足a p+a q＝a s+a t，则称数列{a n}为Ω数列．（1）若数列{a n}是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列{a n}是否是Ω数列，并说明理由．（2）当m＝3时，设Ω数列{a n}中1出现d1次，2出现d2次，3出现d3次，其中d1，d2，d3∈N*．求证：d1≥4，d2≥2，d3≥4；（3）当m＝2019时，求Ω数列{a n}中项数n0的最小值．2019年上海市徐汇区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．【解答】解：由i•z＝1+2i，得z＝，∴z的实部为2．故答案为：2．2．【解答】解：A＝（0，+∞）；∴∁U A＝（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．3．【解答】解：∵xy＝1，∴2x2+y2≥2＝2，（当且仅当2x＝y＝±时，取等），故答案为：2．4．【解答】解：数列{a n}的通项公式为a n＝＝﹣，则a n＝（﹣）＝﹣1．故答案为：﹣1．5．【解答】解：抛物线y2＝20x的焦点为（5，0），则双曲线的焦点在x轴上，双曲线的一条渐近线为y＝2x，可得b＝2a，由题意双曲线的一个焦点与抛物线y2＝20x的焦点相同，可得＝5，解得a＝，b＝2，则双曲线的方程为：．故答案为：．6．【解答】解：直线经过坐标原点，＝（3，1）是l的一个法向量，可得直线l的斜率为﹣3，即有直线l的方程为y＝﹣3x，点（a n+1，a n）均在l上，可得a n＝﹣3a n+1，即有a n+1＝﹣a n，则数列{a n}为公比q为﹣的等比数列，可得a3＝a2q＝6×（﹣）＝﹣2．故答案为：﹣2．7．【解答】解：由题意，2n＝128，得n＝7．∴（2x2﹣）n＝（2x2﹣）7，其二项展开式的通项＝．由14﹣3r＝﹣1，得r＝5．∴展开式中含项的系数是．故答案为：﹣84．8．【解答】解：设取得A成绩的x人，取得B+成绩的y人，取得B成绩的z人，则70×5+67x+64y+61z＝64×（5+x+y+z），即z﹣x＝10，又x，y，z∈N，即当且仅当x＝0，y＝0，z＝10时，5+x+y+z取得最小值15，取得A成绩的0人，取得B+成绩的0人，取得B成绩的10人，这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为15人，故答案为：159．【解答】解：当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，∴f（x）＝f（﹣x）＝lg（﹣x+1），当1≤x≤2时，﹣1≤x﹣2≤0，∴f（x）＝f（x﹣2）＝lg[﹣（x﹣2）+1]＝lg（﹣x+3）．∴g（x）＝lg（﹣x+3）（1≤x≤2），∴﹣x+3＝10g（x），∴x＝3﹣10g（x），故答案为：g﹣1（x）＝3﹣10x，（0≤x≤lg2）10．【解答】解：函数y＝sin x，令≤a≤，要使b﹣a的最大值，可知b的最大值为：b＝，∴b﹣a的最大值为；故答案为：11．【解答】解：根据题意，在同一个坐标系中作出函数y＝x﹣4和y＝x2﹣4x+3的图象，如图：若函数f（x）恰有2个零点，即函数f（x）图象与x轴有且仅有2个交点，则1＜λ≤3或λ＞4，即λ的取值范围是：（1，3]∪（4，+∞）故答案为：（1，3]∪（4，+∞）．12．【解答】解：由题意可得，M（0，1），N（0，﹣1），r M＝r N＝1，＝（）•（）＝＝，＝（）•＝＝﹣1，∵∵P为椭圆上的点，∴＝+﹣2＝2（x2+y2）＝由题意可知，﹣3≤x≤3，∴8≤，故答案为：8．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．【解答】解：由θ＝，则有sinθ＝，即“θ＝”是“sinθ＝”的充分条件，由sinθ＝，得：θ＝kπ+（﹣1）k，即“θ＝”是“sinθ＝”的不必要条件，即“θ＝”是“sinθ＝”的充分不必要条件．故选：A．14．【解答】解：正方体的棱长为2，则其内切球的半径r＝1，∴正方体的内切球的体积，又由已知，∴．故选：C．15．【解答】解：由y＝sin x，设g（x）＝sin x+x，导数为cos x+1≥0，即有x＞0，g（x）＞0；x＜0时，g（x）＜0；设h（x）＝sin x﹣x，其导数为cos x﹣1≤0，x＞0时，h（x）＜0，x＜0时，h（x）＞0，可得（y+x）（y﹣x）≤0恒成立，即有y＝sin x为“蝶型函数”；由（+x）（﹣x）＝x2﹣1﹣x2＝﹣1＜0，可得y＝为“蝶型函数”．故选：B．16．【解答】解：∵数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，对任意的n∈N*，都有S n≥S3，∴，∴，且∴﹣3d≤a1≤﹣2d，∴当＝＝2时，a1＝﹣3d．成立；当＝＝时，a1＝﹣d．成立；当＝＝时，a1＝﹣2d．成立；当＝＝时，a1＝﹣d．不成立．∴的值不可能为．故选：D．三、解答题.17．【解答】解：（1）正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，直线A′B是异面直线的棱所在直线有：AD，B′C′，CD，C′D′，DD′，CC′，共6条．（2）M，N分别是A'B，BC′的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，则A′（1，0，1），B（1，1，0），C′（0，1，1），M（1，，），N（），B（1，1，0），C（0，1，0），＝（﹣，0），＝（﹣1，0，0），设异面直线MN与BC所成角的大小为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝45°，∴异面直线MN与BC所成角的大小为45°．18．【解答】解：（1）x的不等式f（x）≤﹣1，即为≤﹣1，即为≤0，当a＝﹣1时，解集为{x|x≠﹣2}；当a＞﹣1时，解集为（﹣2，0]；当a＜﹣1时，解集为（﹣∞，﹣2）∪[0，+∞）；（2）f（x）＝＝a+，由f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数，可得﹣2﹣2a＞0，解得a＜﹣1．即a的范围是（﹣∞，﹣1）．19．【解答】解：（1）∵∠AOB＝，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD，AB＝100∴AD＝BC＝20，OA＝OB＝AB＝100，∴OD＝OA+AD＝100+20＝120，∴S ABCD＝•π（OD2﹣OA2）＝π（1202﹣1002）＝（平方海里），（2）由题意建立平面直角坐标系，如图所示；由题意知，点P在圆B上，即（x﹣100）2+y2＝7600…①，点P也在圆A上，即（x﹣50）2+＝1600…②；由①②组成方程组，解得或；又区域ABCD内的点满足，由302+＝3600＜10000，∴点（30，30）不在区域ABCD内，由902+＝15600＞14400，∴点（90，50）也不在区域ABCD内；即这艘不明船只没进入了海域ABCD．20．【解答】解：（1）由题意可知，，于是得到，因为右顶点到左焦点的距离为，所以，c＝1，则，因此，椭圆Γ的方程为；（2）当点A为椭圆的上顶点时，点A的坐标为（1，0），则m＝1，直线l的方程为y＝kx+1，将直线l的方程代入椭圆的方程并化简得（2k2+1）x2+4kx＝0，解得，，所以点B的坐标为，由于点M为线段AB的中点，则点M的坐标为，由于，所以，点N的坐标为，将点N的坐标代入椭圆的方程得，化简得，解得；（3）由于点O到直线l的距离为1，则有，所以，m2＝k2+1．设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程代入椭圆方程并化简得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，由韦达定理可得，，＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝＝＝＝，由于，即，解得，线段AB的长为＝＝＝＝，所以，．因此，△OAB的面积S的取值范围是．21．【解答】解：（1）若数列{a n}：1，2，3，4，5，6是Ω数列，取数列{a n}中的两项1和2，则剩下的4项中不存在两项a s，a t（s≠t），使得1+2＝a s+a t，故数列{a n}不是Ω数列；（2）若d1≤3，对于p＝1，q＝2，若存在2＜s＜t，满足a p+a q＝a s+a t，∵2＜s＜t，于是s≥3，t≥4，故a5≥a2，a t＞a1，从而a s+a t＞a2+a1，矛盾，故d1≥4，同理d3≥4，下面证明d2≥2：若d2＝1，即2出现了1次，不妨设a k＝2，a1+a k＝a s+a t，等式左边是3，等式右边有几种可能，分别是1+1或1+3或3+3，等式两边不相等，矛盾，于是d1≥2；（3）设出现d1次，2出现d2次…，2019出现d2019次，其中d1，d2，…，d2019∈N*，由（2）可知，d1≥4，d2019≥4，且d2≥2，同理d2018≥2，又∵d3，d4…，d2017∈N*，故项数n0＝d1+d2+…+d2019≥2027，下面证明项数n0的最小值是2027：取d1＝4，d2＝2，d3＝d4＝…＝d2017＝1，d2018＝2，d2019＝4，可以得到数列{a n}：1，1，1，1，2，2，3，4…，2016，2017，2018，2019，2019，2019，2019，接下来证明上述数列是Ω数列：若任取的两项分别是1，1，则其余的项中还存在2个1，满足1+1＝1+1，同理，若任取的两项分别是2019，2019也满足要求，若任取的两项分别是1，2，则其余的项中还存在3个1，1个2，满足要求，同理，若任取的两项分别是2018，2019也满足要求，若任取a p＝1，a q≥3，则在其中的项中取a5＝2，a t＝a q﹣1，满足要求，同理，若a p≤2017，a q＝2019也满足要求，若任取的两项a p，a q满足1＜a p≤a q＜2019，则在其余的项中选取a s＝a p﹣1，a t＝a q+1，每个数最多被选取了1次，于是也满足要求，从而，项数n0的最小值是2027．。

徐汇区高三数学 本卷共4页 第页2019学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学 2019.12一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合}2|{>=x x M ，集合{|1}N x x =≤，则MN ＝_______________．2．向量a =（3,4）在向量b =（1,0）方向上的投影为_______________． 3 ．二项式()1131x -的二项展开式中第3项的二项式系数为_____________． 4．复数1+34ii+的共轭复数为___________． 5．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且它在[0,)+∞上单调递增，那么使得(2)()f f a -≤成立的实数a 的取值范围是__________________． 6. 已知函数)12(arcsin )(+=x x f ，则=-)6(1πf． 7．已知x R ∈，条件p ：x x <2，条件q ：1(0)a a x≥>，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 .8．已知等差数列的公差3d =，表示的前n 项和，若数列{}n S 是递增数列，则的取值范围是_________.9．数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为_____________．10．过抛物线2:2C y x =的焦点FC 于点M （M 在x 轴的上方），l为抛物线C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为___________．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n ∈*N ，1(1)32nn n nS a n =-++-且12()()0a p a p --<，则实数p 的取值范围是 .12．已知函数()24+1,1610,1,x x f x x x x ->-⎧=⎨++≤-⎩关于x 的不等式()220f x mx m ---<的解集是()()123,,x x x +∞.若1230x x x >，则123x x x ++的取值范围是___________．{}n a n S {}n a 1a徐汇区高三数学 本卷共4页 第页二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。

2023-2024学年第一学期上海徐汇区学习能力诊断卷高三数学试卷2023.12考生注意：1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分.2．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等相关信息.3．所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知全集U =R ，集合{}2M x x =>，则M =________________．2.不等式11x>的解集是_____________.3.已知直线:2l y kx =+经过点(1,1)，则直线l 倾斜角的大小为_______________．4.若实数,x y 满足2x y +=，则22x y +的最小值为______________.5.某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若该校的学生总人数为1000，则成绩低于60分的学生人数为_________.6.函数lg(21)lg y x x =++的零点是______________.7.已知1021001210(1)x a a x a x a x -=+++⋯+，则57139a a a a a ++++=___________.8.要排出高一某班一天上午5节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是___________.9.在ABC ∆中，AC BC =，123,P P P ,为边AB 上的点，且1238428PB P B P B AB ====，设(1,2,3)k k k I P B P C k =⋅=，则123I I I -+=___________.10.某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为3米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道.若该设备水平截面矩形的宽BC 为1米，则该设备能水平通过直角型过道的长AB 不超过______________米．11.已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则实数的最大值为______________.12.已知函数()y f x =，其中12()122x xxf x a +-=--+，存在实数12,,,n x x x 使得11()()n ini f x f x -==∑成立，若正整数n 的最大值为8，则实数a 的取值范围是________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.设12z z ∈C 、，则“12z z 、中至少有一个虚数”是“12z z -为虚数”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.跳水比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从7个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分,得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比,一定不变的数字特征是()A.中位数B.平均数C.方差D.极差15.已知集合{(,)|()}=M x y y =f x ，若对于任意(,)x y M ∈，总存在与之相应的(,)x y M ∈，，（其中x x ≠，），使得()()2222||xx yy x y x y +=+⋅+，，，，成立，则称集合M 是“Ω集合”.下列选项为“Ω集合”的是()A ．1{(,)|0 }M x y y =x x=>，B ．{(,)|-2}=x M x y y =e C ．{(,)|cos }=M x y y =x D ．3{(,)|}M x y y =x =16.已知数列{}n a 为无穷数列．若存在正整数l ，使得对任意的正整数n ，均有n l n a a +≤，则称数列{}n a 为“l 阶弱减数列”．有以下两个命题：①数列{}n b 为无穷数列且cos 2n nb n =-（n为正整数），则数列{}n b 是“l 阶弱减数列”的充要条件是4l ≥；②数列{}n c 为无穷数列且11n n q c an q -=+-（n 为正整数），若存在a ∈R ，使得数列{}n c 是“2阶弱减数列”，则11q -≤<．那么()A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①､②都是真命题D ．①､②都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，520=S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 的公比为12q =，且满足449a b +=，求数列{}n n a b -的前n 项和n T .18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，某多面体的底面ABCD 为正方形，MA ‖PB ，MA BC ⊥，AB PB ⊥，1MA =，2AB PB ==.（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）求二面角B PM D --的平面角的正弦值.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地OAB 中，2AOB π∠=，500OA =米，点Q 是弧AB 的中点，P 为线段OQ 上一点（不与点O ，Q 重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道PO ，PA ，PB .记APQ θ∠=，三条轨道的总长度为y 米．（1）将y 表示成θ的函数，并写出θ的取值范围；（2）当三条轨道的总长度最小时，求轨道PO 的长．20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的离心率为e .（1）若e =E 经过点，求双曲线E 的方程；（2）若2a =，双曲线E 的左、右焦点分别为12F F 、，焦点到双曲线E ，点M 在第一象限且在双曲线E 上，若1MF =8，求12cos F MF ∠的值；（3）设圆22:4O x y +=，,k m ∈R .若动直线:l y kx m =+与圆O 相切，且l 与双曲线E 交于A B 、时，总有2AOB π∠=，求双曲线E 离心率e 的取值范围．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若函数(),y f x x =∈R 的导函数(),y f x x '=∈R 是以(0)T T ≠为周期的函数，则称函数(),y f x x =∈R 具有“T 性质”.（1）试判断函数2y x =和sin y x =是否具有“2π性质”，并说明理由；（2）已知函数()y h x =，其中2()2sin (03)=++<<h x ax bx bx b 具有“π性质”，求函数()y h x =在[0,]π上的极小值点；（3）若函数(),y f x x =∈R 具有“T 性质”，且存在实数0M >使得对任意x ∈R 都有|()|f x M <成立，求证：(),y f x x =∈R 为周期函数.（可用结论：若函数(),y f x x =∈R 的导函数满足()=0,f x x '∈R ，则()()常数=f x C .）参考答案及评分标准2023.12一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．[]2,2-2.()0,1 3.34π 4.25.300 6.27.512-8.249.110.2-11.212.49943773⎛⎤⎡⎫-- ⎥⎢⎝⎦⎣⎭，二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.B14.A15.D16.C三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，又因为1(1)2n n n S na d -=+，且12a =，所以5101020S d =+=，故1d =.所以1n a n =+.（2）由（1）可知，45a =，又449a b +=，所以44b =.因为12q =，可得41332b b q==，所以，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--6(3)2642n n n -+=+-.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为MA BC ⊥，MA //PB ，所以PB BC ⊥，因为AB PB ⊥，AB BC B = ，所以PB ⊥平面ABCD .118222333P ABCD ABCD V S PB -=⋅=⨯⨯⨯=.（2）因为四边形ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥，又PB AB ⊥，PB BC ⊥.所以如图，建立空间直角坐标系B xyz -，则(002)P ,,，(201)M ,,，(220)D ,,，(222)PD =-,,，(201)PM =-,,.设平面PDM 的法向量为()x y z m = ,,，则00PD PM m m ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩,,即222020x y z x z +-=-=⎧⎨⎩,.令2z =，则1x =，1y =.于是(112)m = ,,.所以，平面PDM 的一个法向量为(112)m =,,.平面PBAM 的一个法向量为(010)n =,,，设二面角B PM D --的平面角为θ，所以cos cos 66m n m n m nθ=<>==⋅,.所以，二面角B PM D --的平面角的正弦值为306.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为点Q 是弧AB 的中点，由对称性，知PA PB =，4AOP BOP π∠=∠=，又APO πθ∠=-，4OAP πθ∠=-，500OA =由正弦定理，得()sin sinsin 44APOAOPπππθθ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，500sin 25024,sin sin AP OP πθθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭==所以，.500sin 2sin cos 42sin sin y AP BP OP AP OP πθθθθθ⎛⎫- ⎪+-⎝⎭=++=+==所以，因为APQ AOP ∠>∠，所以4πθ>，13248AQO OAQ πππ⎛⎫∠=∠=-= ⎪⎝⎭，所以5,48ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭.（2）法一：由（1）得：2cos sin y θθ-=，5,48ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．记2cos sin t θθ-=，则sin cos 2t θθ+=，由辅助角公式可得：)2sin()1θϕθϕ+=⇒+=，解得t ≥，当t =时，可有5sin(1,6348ππππθθ⎛⎫+=⇒=∈ ⎪⎝⎭，等号可以取得．故当3πθ=时，三条轨道的总长度最小，此时(2503OP =．法二：由（1）得：2cos sin y θθ-=，5,48ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．记2cos sin t θθ-=，tan tan ,tan 2816x θππ5⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则由万能置换公式可得：2222123111132221x x x t x x x x x--+⎛⎫+===+≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当33x =即3πθ=时等号成立．故当3πθ=，三条轨道的总长度最小，此时(2503OP =．法三：令()2sin cos sin f θθθθ+-=，5,48ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.由()212cos '0sin f θθθ-==，解得3πθ=，则有θ43ππθ<<3πθ=538ππθ<<()'f θ0<0=0>()f θ严格减极小值严格增所以当3πθ=，即(2503OP =米时，()f θ有唯一的极小值，即是最小值，则()min 1f θ=+，三条轨道的最小值为+.故当3πθ=时，三条轨道的总长度最小，此时(2503OP =．20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）由e =，得c =，又222c a b =+得22a b =,又双曲线E 经过点，有22211a b-=，所以21a =,所以，双曲线方程为221x y -=.（2）由已知得22214x y b-=，渐近线方程为20bx y ±=，焦点坐标为(0)焦点到双曲线E的渐近线的距离为=，所以b =由双曲线定义知，24MF =，222128413cos 28416F MF +-∠==⨯⨯所以，.（3）因为直线:l y kx m =+与圆O 相切，且2R =2=，化简得2244m k =+,又2AOB π∠=，11221212(,),(,),0,0A x y B x y OA OB x x y y ⋅=+= 则即，设则221212(1)()0k x x km x x m ++++=，（*）联立2222222222222)201y kx mb a k x a kmx a m a b x y a b =+⎧⎪----=⎨-=⎪⎩得 (，则222212122222222(),a mk a m b x x x x b a k b a k-++==--代入（*）得222222222(1)()2()0k a m b km a mk m b a k ⎡⎤+-++⋅+-=⎣⎦将2244m k =+代入，进一步化简得222222222(1)(44)0,440k a a b b a a b b ++-=+-=则，又222c a b =+，22222222224()4()8024a a c a c a cb a a +---+==>由，得，则ce a=>e的取值范围)+∞.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）2()=f x x 不具有“2π性质”.理由是：()2,(2)(0)40,(2)(0)πππ'''''=-=≠∴≠f x x f f f f ；法一：。

2018学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为____________． 2.已知全集U =R ，集合{}2,,0A y y x x x -==∈≠R ，则UA =____________．3.若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为____________．4.若数列{}n a 的通项公式为()*2111n na n n n=∈+N ，则lim n n a →∞=____________．5.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是2y x =，它的一个焦点与抛物线220y x =的焦点相同，则此双曲线的方程是____________．6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，()3,1n =是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意的正整数n ，点()1,n n a a +均在l 上，若26a =，则3a 的值为____________．7.已知()2*12nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x 项的系数是____________．（结果用数值表示）8.上海某高中2018届高三（1）班选考物理学业水平等级考的学生中，有5人取得A+成绩，其他人的成绩至少是B 级及以上，平均分是64分，这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为____________人． 9.已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，()()lg 1f x x =+，令函数()()[]()1,2g x f x x =∈，则()g x 的反函数为____________．10.已知函数sin y x =的定义域是[],a b ，值域是11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是____________．11.已知λ∈R ，函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是____________．12.已知圆()22:11M x y +-=，圆()22:11N x y ++=，直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于,A B 两点，2l 与圆N 相交于,C D 两点，点P 是椭圆22194x y +=上任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅的最小值为____________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13. 设θ∈R ，则“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”．刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4π，若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ）A.16B. C.163D.128315.对于函数()y f x =，如果其图像上的任意一点都在平面区域()()(){},0x y y x y x +-≤内，则称函数()f x 为“蝶型函数”．已知函数：①sin y x =；②y =（ ）A.①、②均不是“蝶型函数”B.①、②均是“蝶型函数”C.①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数”D.①不是“蝶型函数”；②是“蝶型函数”16.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，前n 项和为n S ．若对任意的*n ∈N ，都有3n S S ≥，则65a a 的值不可能为（ ） A.2B.53C.32D.43三、解答题17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1．（1）正方体''''ABCD A B C D -中哪些棱所在的直线与直线'A B 是异面直线？ （2）若,M N 分别是'A B 、'BC 的中点，求异面直线MN 与BC所成角的大小．18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数()22ax f x x -=+，其中a ∈R ．（1）解关于x 的不等式()1f x ≤-；（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间()0,+∞上是单调减函数．19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多，某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ，对应的圆心角3AOB π∠=．该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD 对不明船只进行识别查证（如图，其中海域与陆地近似看作在同一平面内）．在圆弧的两端点,A B 分别建有监测站，A 与B 之间的直线距离为100海里． （1）求海域ABCD 的面积；（2）现海上P 点处有一艘不明船只，在A 点测得其距A 点40海里，在B 点测得其距B 点ABCD ？请说明理由．20.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的长轴长为1，直线:l y kx m =+与椭圆Γ交于,A B 两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若A 为椭圆的上顶点，M 为AB 中点，O 为坐标原点，连接OM 并延长交椭圆Γ于N ，62ON OM =，求k 的值；（3）若原点O 到直线l 的距离为1，OA OB λ⋅=，当4556λ≤≤时，求OAB 的面积S 的范围．21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知项数为()004n n ≥项的有穷数列{}n a ，若同时满足以下三个条件： ①011,n a a m ==（m 为正整数）；②10i i a a --=或1，其中02,3,,i n =；③任取数列{}n a 中的两项(),p q a a p q ≠，剩下的02n -项中一定存在两项(),s t a a s t ≠，满足p q s t a a a a +=+，则称数列{}n a 为Ω数列．（1）若数列{}n a 是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列{}n a 是否是Ω数列，并说明理由；（2）当3m =时，设Ω数列{}n a 中1出现1d 次，2出现2d 次，3出现3d 次，其中*123,,d d d ∈N ，求证：1234,2,4d d d ≥≥≥；（3）当2019m =时，求Ω数列{}n a 中项数0n 的最小值．参考答案1、22、(],0-∞3、4、1-5、221520x y -=6、2-7、84-8、10 9、[]0,lg 210、43π11、(]()1,34,+∞12、813-16、ACBD17、（1）CD ，''C D ，'CC ，'DD ，'B C ，AD ，''B C ；（2）4π18、（1）当1a =-时，()(),22,-∞--+∞；当1a >-时，(]2,0-；当1a <-时，()[),20,-∞-+∞（2）1a <-19、）（1）22003π；（2）没有 20、（1）2212x y +=；（2）12k =±；（3）略 21、（1）不是；（2）证明略；（3）略2018学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三英语试卷2018.12 考生注意：1.考试时间120分钟，试卷满分140分。

2019年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷 （理科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、方程4220x x+-=的解是 。

2、设集合{}|0,|12x A x B x x x ⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B ⋃= 。

3、已知圆22440x x y --+=的圆心是点P ，则点P 到直线10x y --=的距离是 。

4、若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ= 。

5、已知向量(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在向量a 的方向上的投影为 。

6、已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是 。

7、若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数,a b R ∈）是偶函数，且它的值域为(,4]-∞，则该函数的解析式()f x = 。

8、一颗骰子投两次, 记第一次得到的数值为a , 第二次得到的数值为b , 将它们作为关于x y 、的二元一次方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，的系数, 则方程组有唯一解的概率为 。

（用数字作答）9、已知函数()y f x =存在反函数1()y fx -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(3,1)，则函数1()y f x -=的图象必经过点 。

10、若函数)1lg()(2--=ax x x f 在区间),1(+∞上是增函数，则a 的取值范围是 。

11、若2010220100122010(13)()x a a x a x a x x R -=++++∈，则20101222010333a a a +++= 。

12、已知x 是1，2，3，x ，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，2,x y -这四个数据的平均数为1，则1y x-的最小值为 。

考生注意： 分.4页，满分1501 •本场考试时间120分钟.试卷共•作答前，在试卷与答题纸 正面填写学校、班级、考生号、姓名等.2在试卷上作答一律不得分.•所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位. 3铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.4 •用2B分) 5分，第7~12题每题题，满分54分，第1~6题每题4 一、填空题(本大题 共有12考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.i zz2i i z 1 ______________________________ .1.若复数满足是虚数单位，则，其中的实部为 RU 2，集合已知全集2. Ae0,xA yy x ,xR _____________ .，贝U u y,x 1 xy 22，贝3若实数满足 y 2x ____________ . 的最小值为 n2 lim *，贝U 4.若数列a ) N(na a ________________ .的通项公式为 11“讪nn 122yx 5.已知 双曲线 1a 0,b 0y 2x ，它的一个焦点与抛物线()的一条渐近线方程是 — 一 22am 20yx的焦点相同，则此双曲线的方程是 _______________ .xOyl a 经过坐标原点，6.在平面直角坐标系直线中，13,1 n 满足：的一个法向量.已知数列是对n nla aa,若，点上任意的正整数均在.6a 的值为，贝9 . mn 32n2的展开式中各项的二项式系数之和为 1287.已知，则其展开式中含项的系数 Nn 2x ----------- xx 是(结果用数值表示) -----------------等级OMA+AB+BB- C+CC-D+DE分数70 67 646158 655 52 49 46 43 40A+成绩，其他人的成人取得届高三(1)班选考物理学业水平等级考的学生中，有5上海某高中2018B 级及以上，平均分是 64分.这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为绩至少是___________ 人.2f(x) )lgx1x (f(10 x 令函数，函9.已知数时，的是以为周期偶函数当，),21( fx)(xxg() g(x)的反函数为，贝H ____________________ .1b,a xsiny ，值域是已知函数的定义域是 10.，-1 ab _________学年第一学期高三年级质量调研考试徐汇区数学试卷2018-2019，则的最大值是一2 1x 4,x R )(xf 的取值范围是11.已知2个零点，则，函数 若函数恰有f(x) 2 3,x 4x x _______________ .⑴IM 2222M 12已知圆1111 (x yy 1 ) x NM M 与圆，圆、：分别过圆心且.直线、，ii222yxA,B I ,两点相交于1 C,DNP 是椭圆交于点.点与圆两相上任意一点，则 --------------- 294PA PB PC PD 的最小值为 ____________ .二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确 选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.1 R =，则“13设=sin ”的(”是“)------------------ 62( A )充分非必要条件14.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆 柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为：4•若正方体的棱长为 2，则“牟合方盖"的体积为()33Oy(x,)|(y x)() y x )y f(x 则称函内，，15.对于函数如果其图像上的任意一点都在平面区域16. *，则是公差不为 0项和为的等差数列，前若对任意的.N — 3nnn a 5 )的值不可能为(534 (C )) (A2( B ) ( D ) ---------- 332三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应 位置写出必要的步骤.17. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)1'DC''ABCD AB'.'D''ABCD AB'C B'A 是)正方体(1中哪些棱所在的直线与直线(B )必要非充分条件 (C )充要条件 (D )既非充分也非必要条件16128」 16316B ) (C (A (D ))))y xsinxf(2；②已知函数：①为“蝶型函数”数xy 1,下列结论正确的是((A ［①、②均不是“蝶型函数”(B )①、②均是“蝶型函数”(C ;②不是“蝶型函数”)①是“蝶型函数”;②是“蝶型函数” (D )①不是“蝶型函数”a 6n a SS S ,都有已知数列的棱长为如图，已知正方体A'B'异面直线？ CDAB 2CDN,MBCMN ',BCA'B.与分别是所成角的大小（2）若的中点，求异面直线分）小题满分8分，第分，第1小题满分6218.（本题满分142 ax.Ra已知函数其中）,（xf ------------2x x1 f（x））解关于；的不等式（i a）f（x）（0,.的取值范围，使在区间（2）求上是单调减函数8分）6小题满分分，第2小题满分19.（本题满分14分，第1AB对应的圆心，“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多.某沿海地区的海岸线为一段圆弧我国的角AOB 20.该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧海一3D/ABCD其中海海里内的海域（如图：对不明船只进行识别查证域B,A分别在圆弧的两端点域与陆地近似看作在同一平面内）.AC BA .之间的直线距离为建有监测站，100与海里B ABCD陆地）求海域的面积；（1APA点2）现海上点处有一艘不明船只，在点测得其距（—1920BB判断这艘不明船点点测得其距海里40海里，在.ABCD. ?请说明理由只是否进入了海域O6分）小题满分6分，第3小题满分小题满分20.（本题满分16分，第14分，第222yx J 、圆已知椭220）b : 1（a 1, 2线焦左点的距离的长轴长直为为，右顶点到------------22baBmA,yl: kx 交于两点与椭圆.ON NOMk ,，求的值;延长交椭圆于—2xo54 OBOA1OI当，若原点到直线的距离为）（，3 时,65SOAB的面积的范围求21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）a已知项数为4）（n n,若同时满足以下三个条件：项的有穷数列oon m①a a 0i 2,3,…,nma a 1,1；或，其中（；②为正整数）0i 1in1°n 2a③任取数列a,a（s t））q （a,ap ，满足项中一定存在两项中的两项，剩下的otsqpn a aa a a数列为..则称数列tsqpn 11aa若数列1 （6数列，并说，项数为是否是，公差为项的等差数列，判断数列是首项为nn明理由；3m *3a数列（2）当时，设dddN d,dd,21，岀现中次，岀现次，次，其中岀现321312n求证：d 4,d 2,d 4；3122019m na数列时，求3（）当的最小值中项数.“4徐汇区2018-2019学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案•46 7导考答秦鼻住恵，懺64 井，■[—■■■■ 4 仔F抵-2 7. #4 I. 15 您y J-m\re[aij2]K. y IL ("I切体炜) IX V二、选・豊，谨却井.•■弓鼻〕Ik A L4_ C IS. A IK. t>三* Mffftp,鼻山由期rxvna. v 1 />\fv>. ox' ；s n c WEBXMVA是鼻面賈站... ..... ■井drM ae\A*C■. HJb ht,衣如M是X風片'妙窗蔚拱v.V卷A C・只国闿艇” if 1Wfi ... ................... ...*-F V ^-=£/Y \Z4于是H・口号厮頭鼻直真華W.l占月「貯慮错的真■+弹」* .... * .…一-14分1 IB，W T El*不等式O —lR沽巴二世上世莖口J*x+ 22为rjc-iaf” 不切｝^|1 胃为LT L2：】U[G，*e）1 . ......J当“* -itt*不等戎Uli为「沁厂工）U〔i+«>i ——•…"止井当"”I*L干显切賞为（7」斗石甘L ( X.0]⑵tt»gS・fQW器-案2ld+】H 斗-jk)口+2K^= ^2)6 7VO< Jr, < .勺.〔J, 一幻clJ,^ + 乜A J\弓 + 2 a g 亠”―十”「U 甘/«>-/{<] I >UAfftr+ 丨Vx 亠L ・・L+I3务8攣 &“-}'」-盛5 一jn .ubf"'・.¥ mi 厂丫 =却+舉ft*-- (=°+2A * r J -F4Jbn.c + 2m' - 2 = D(")人=lf<p 『一4H + ar)(2ni ： -2|=tii 2 >0^4*0由®丈如…厂謬告* ffr 小着袁剤叫：2厶』,邛启门戳町 斫珂也补申寥禅1U 和亠 滞潇下力』 3■申不疗注莎I 』.赳M #rh ««K 2萃長。

上海市徐汇区达标名校2019年高考一月调研数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，准线为l ，A 是l 上一点，B 是直线AF 与抛物线C 的一个交点，若3FA FB =，则||BF =（ ） A ．72B ．3C ．52D ．22．已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，(1,1)A ，当PAF ∆周长最小时，PF 所在直线的斜率为（ ） A ．43-B ．34-C ．34D ．433．已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中，判断正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( )A ．33B ．32C ．63D ．625．已知集合A={x|x<1}，B={x|31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B R = C ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅6．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A ⋃B ，则集合中的元素共有 （ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7．已知全集U =R ，集合{}{}237,7100A x x B x x x =≤<=-+<，则()UA B ⋂=（ ）A ．()(),35,-∞+∞B ．(](),35,-∞+∞C ．(][),35,-∞+∞ D ．()[),35,-∞+∞8．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，3412a a +=，则公比q =（ ） A ．4±B ．4C ．2±D ．29．已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④10．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（ ）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定11．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取()1,2i i =个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数()1,2i X i =，则( )A ．()()1233P X P X =>=，12EX EX >B ．()()1233P X P X =<=，12EX EX >C ．()()1233P X P X =>=，12EX EX <D ．()()1233P X P X =<=，12EX EX <12．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市徐汇区2020届高三一模数学试卷及详细解析2019. 12一、填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1.已知集合M ｛x|x 2｝,集合N ｛x|x 1｝,则MUN r r2.向量a (3,4)在向量b (1,0)方向上的投影为3.二项式(3x 1)11的二项展开式中第3项的二项式系数为1 i ..... 一，4.复数 --------- 的共辄复数为3 4i5.已知y f(x)是定义在R上的偶函数，且它在［0,+叼上单调递增，那么使得f 2 f a成立的实数a的取值范围是6.已知函数f (x) arcsin (2x 1),则f 1(g)17.已知x R,条件p：x x ,条件q： - a(a 0),右p是q的充分不必要x条件，则实数a的取值范围是8.已知等差数列｛a n｝的公差d 3, S n表示的前n项和，若数列｛S n｝是递增数列，则a1的取值范围是9.数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为10.过抛物线C: y22x的焦点F,且斜率为V3的直线交抛物线C于点M (M 在x轴的上方)，l为抛物线C的准线，点N在l上且MNH,则M到直线NF 的距离为n 1 .11.已知数列｛a n｝的前n项和为S n ,对任意n N* , S n 1 4 27 n 3且a 1 p ⑶p ） 0 ,则实数p 的取值范围是4x 1x 1、，12 .已知函数f （x ）2关于x 的不等式f （x ） mx 2m 2 0的 x 26x 10 x1解集是（x i ,x 2）U （x 3,）,若Xx 2R 0 ,则x 1 x 2 x 3的取值范围是、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）x 1 y 113 .过点（1,0）,且与直线 —— --生有相同万向向量的直线的万程为（）5 3 B. 3x 5 y 3 0D. 5x 3y 5 014. 一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一 -半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（） A. 1:2B. 1:8C. . 2 :2D. 2:4三、解答题(本大题共 5题，共14+14+14+16+18=76分) 17 .如图所示，圆锥SO 的底面圆半径|OA| 1,母线SA 3. ⑴求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；A. 3x 5y 3 0C.3x 5y 1 015.若圆 C 1 : x 2y 2 1 和圆 C 2： x 2 的取值范围是（）y 2 6x 8y k 0没有公共点，则实数 kA. ( 9,11)B. ( 25, 9)C. (, 9)U(11,) D. ( 25, 9)U(11,)uuu 16.设H 是AABC 的垂心，且3HA uur uur r4HB 5HC 0 ,则 cos / BHC 的值为() A.30 10B.C-6.D.70 14(2)过点O在圆锥底面作OA的垂线交底面圆圆弧于点P, 设线段SO中点为M,求异面直线AM与PS所成角的大小.18.设函数f(x) x2x a (x R, a为实数)(1)若f(x)为偶函数，求实数a的值；、一1⑵设a -,求函数f(x)的取小值(用a表小)19.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C,景区管委会又开发了风景优美的景点D,经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8 km 处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB 5 km.（1）景区管委会准备由景点D向景点B修建-条笔直的公路，不考虑其他因素,求出这条公路的长；（结果精确到0.1 km）（2）求景点C与景点D之间的距离.（结果精确到0.1 km）20.给正有理数皿、吼（i j,i,j N*, m i , n , m j , n j N*,且甲m j 和n n j , n i n j不同时成立），按以下规则P排列：①若m i n i m j n j ,则以排在叫前面; n i n j②若m i n m j \ ,且叫\ ,则更排在m j的前面，按此规则排列得到数列n i n j{a n}.…12 1（例如:1,2,L ）1 1 2⑴依次写出数列｛a n｝的前10项;(2)对数列｛a n｝中小于1的各项，按以下规则Q排列：①各项不做化简运算；② 分母小的项排在前面；③分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列｛必｝, 求数列｛b n｝的前10项的和下 ,前2019项的和S2019；(3)对数列｛a n ｝中所有整数项，由小到大取前2019个互不相等的整数项构成集合A ｛q,C2,C3,L , C2019｝ , A的子集B满足：对任意的x,y B,有x y B,求集合B中元素个数的最大值.2 221.已知椭圆：，4 1 (a b 0),点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆a b上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知b 2.(1)若a卮判断椭圆是否为“圆椭圆”；(2)若椭圆是“圆椭圆”，求a的取值范围；(3)若椭圆是“圆椭圆”，且a取最大值，Q为P关于原点O的对称点，Q也异于A点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论.填空题1. (YO JU(2,XO ),由并集定义.A/UN = (ro/]U(2,+«))2. 3, |3|cos0=q 二，=3,或结合图像由投影的几何特征宜接得出 Ml 13. 55, 7；=此(34(-1)2, •••第3项的二项式系数为C ； = 5512 . [2>/7 -12. +oo), /(x) < m(x + 2) + 2 » 数形结合，»= 〃1(工+ 2) + 2表示斜率为川口经 过(-2,2)的直线，同时(-2,2)也在/(外图像上, 设三个交点为4(孙必),%)，C(x”％), 易知玉<一2, X? = -2 , X//3 > 0 , ；•需满 足与>0,结合图形可得直线斜率相£(-4,—；),4.里-=2-'-i,，其共拢复数为2+ 25 253 + 4i 25 25 25 255. y,-2]U[2,+oo),由题意，即|。

2019一模集合命题不等式专题一、解答题（宝山区一模2）集合U R =，集合{}{}30,10A x x B x x =->=+>，则U B C A =__________. 答案：(]1,3- (虹口区一模2)不等式的解集为________. 【答案】(虹口区一模3)设全集，若，则________. 【答案】（浦东新区一模1） 已知全集R U =，集合(][)12,,=-∞+∞A ，则U=A ______________. 答案：()12,（青浦区一模1）已知集合{1,0,1,2}A =-，(,0)B =-∞，则A B =答案： {1}-（青浦区一模2）写出命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题 答案： 若a b <，则22am bm < （青浦区一模3）不等式2433(1)12()2x x x ---<的解集为 答案：(2,3)-（徐汇区一模2）已知全集U R =，集合{}2|,,0A y y x x R x ==∈≠，则U C A =_________. 答案：(],0-∞（徐汇区一模3）若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为_________.答案：（杨浦区一模1）设全集{1,2,3,4,5}U =，若集合{3,4,5}A =，则UA =21xx >-1,12⎛⎫⎪⎝⎭U R ={2,1,0,1,2}A =--{}2|log (1)B x y x ==-()U A C B ={}1,2答案： {1,2}（杨浦区一模5）若实数x 、y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是 答案： 11[,]22-（杨浦区一模11）当0x a <<时，不等式22112()x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为 答案： 2（长宁区一模1）已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B =答案：}6,4,3,2,1{（长宁区一模12） 已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123||||||||||||x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有 个元素 答案：3（崇明区一模2）已知集合{}{}|12,1,0,1,2,3A x x B =-<<=-,则=A B ⋂ . （松江区一模1） 设集合{|1}A x x =>，{|0}3xB x x =<-，则A B = 答案： (1,3)(虹口区一模13)已知，则“”是“”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A（宝山区一模14）“,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦”是“()sin arcsin x x =”的（ ）条件..A 充分非必要 .B 必要非充分 .C 充要 .D 既非充分也非必要（浦东新区一模13） “14<a ”是“一元二次方程20-+=x x a 有实数解”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）充分必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）非充分非必要条件x R ∈1233x -<1x <答案： A（长宁区一模13）已知x ∈R ，则“0x ≥”是“3x >”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 答案：B（崇明区一模13）若b a <<0，则下列不等式恒成立的是（ ）.A ba 11> .B b a >- .C 22b a > .D 33b a < （崇明区一模14 ）“2<p ”是“关于x 的实系数方程012=++px x 有虚数根”的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件（松江区一模14）若0a >，0b >，则x y a b x y a b +>+⎧⎨⋅>⋅⎩是x ay b>⎧⎨>⎩的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要三、解答题（长宁区一模17） 求下列不等式的解集： （1）|23|5x -<；（2）442120x x-⋅->答案：（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由5|32|<-x 得 5325<-<-x ，……………………4分 解得 41<<-x ．所以原不等式的解集是 )4,1(-．…………………………………6分 （2）原不等式可化为()()22260x x +->， ……………………4分 因为220x+>，所以62>x， ……………………………………5分 解得 6log 2>x ． ………………………………………7分所以原不等式的解集是()2log 6,+∞． ……………………………8分2019一模函数专题一、填空题（宝山区一模4）方程()ln 9310x x +-=的根为__________. 答案：0x =（宝山区一模8）函数()y f x =与ln y x =的图像关于直线y x =-对称，则()f x =__________. 答案：()x f x e -=-（宝山区一模10）将函数y =的图像绕y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是__________. 答案：23π(虹口区一模4)设常数，若函数的反函数的图像经过点，则__________. 【答案】(虹口区一模6)函数的值域为__________.【答案】(虹口区一模12)若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为________. 【答案】（浦东新区一模5）若函数()=y f x 的图像恒过点01(,)，则函数13()-=+y f x 的图像一定经过定点____. 答案：()13,（浦东新区一模10）已知函数()2||1=+-f x x x a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为_____.答案：(,-∞a R ∈3()log ()f x x a =+()2,1a =88()([2,8])f x x x x=+∈y kx =2|log (2)|2|1|x y x +=--k (,0]{1}-∞（浦东新区一模12）已知函数()2,24161,22-⎧≥⎪+⎪=⎨⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩x ax x x f x x ，若对任意的[)12,∈+∞x ，都存在唯一的()2,2∈-∞x ，满足()()12=f x f x ，则实数a 的取值范围为_________. 答案：[)2,6∈-a（普陀区一模1）函数()2f x x=的定义城为 . 答案： (,0)(0,1]-∞（普陀区一模3）设11{,,1,2,3}32α∈--，若()f x x α=为偶函数，则α= . 答案： 2-（普陀区一模12）设a 为常数,记函数()1log 2axf x a x=+- （0a >且1,0a x a ≠<< ）的反函数为()1f x -，则1121f a -⎛⎫+⎪+⎝⎭111232++=212121a f f f a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.答案：2a（青浦区一模11）已知函数()2f x +=，当(0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间[1,1]-内()()(1)g x f x t x =-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是（徐汇区一模9）已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，()lg(1)f x x =+，令函数[]()()()1,2g x f x x =∈，则()g x 的反函数为_________. 答案：()[]1310,0,lg2x gx x -=-∈（徐汇区一模11）已知R λ∈，函数24,()43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是_________. 答案：(]()1,34+∞，（杨浦区一模8）若函数1()ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆，则实数a 的取值范围为答案： [1,0]-（长宁区一模6） 已知幂函数()a f x x =的图像过点2，则()f x 的定义域为 答案：),0(+∞（长宁区一模8） 已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()0()f xg x ≥的解集是答案：)2,1[（崇明区一模9）若函数()1log 2+-=x ax x f 的反函数的图像过点()73，-，则=a .（崇明区一模11）设()x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]10，上单调递减，且满足()()22,1==ππf f ，则不等式组()⎩⎨⎧≤≤≤≤2121x f x 的解集为 .（松江区一模3）已知函数()y f x =的图像与函数xy a =(0,1)a a >≠的图像关于直线y x =对称，且点(4,2)P 在函数()y f x =的图像上，则实数a =答案：2（松江区一模9）若|lg(1)|0()sin 0x x f x x x ->⎧=⎨≤⎩，则()y f x =图像上关于原点O 对称的点共有 对 答案： 4（松江区一模12）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x ⋅-=和(1)(1)4f x f x +⋅-=对任意的x ∈R 都成立，若当[0,1]x ∈时，()f x 的值域为[1,2]，则当[100,100]x ∈-时，函数()f x 的值域为 答案：二、选择题(虹口区一模15)已知函数，，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A.B.C.D.【答案】B（宝山区一模15）关于函数()232f x x =-的下列判断，其中正确的是（ ） .A 函数的图像是轴对称图形 .B 函数的图像是中心对称图形 .C 函数有最大值 .D 当0x >时，()y f x =是减函数答案：A（普陀区一模16）设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且()2sin 2,012log ,14x x f x x x π≤≤⎧=⎨<<⎩，记()()g x f x a =-，若102a <<，则函数()g x 在区间[]-45，上零点的个数是（ ） .A 5 .B 6 .C 7 .D 8 答案：D（青浦区一模16）记号[]x 表示不超过实数x的最大整数，若2()[]30x f x =+，则(1)(2)(3)(29)(30)f f f f f +++⋅⋅⋅++的值为（ ）A. 899B. 900C. 901D. 902（徐汇区一模15）对于函数()y f x =，如果其图像上的任意一点都在平面区域{}(,)|()()0x y y x y x -+≤内，则称函数()f x 为“蝶型函数”，已知函数:①sin y x =；②y = ）100100[2,2]-2()1f x ax x =-+1, 1(), 1 1 1, 1x g x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩()()y f x g x =-a (0,)+∞(,0)(0,1)-∞1(,)(1,)2-∞-+∞(,0)(0,2)-∞.A ①、②均不是“蝶型函数” .B ①、②均是“蝶型函数”.C ①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数 .D ①不是“蝶型函数”；②是“蝶型函数” 答案：B（杨浦区一模16）已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A. [0,4)B. [1,4)-C. [3,5]-D. [0,7) 答案：A（杨浦区一模15）已知x x f θsin log )(=，(0,)2πθ∈，设sin cos ()2a f θθ+=，b f =，sin 2()sin cos c f θθθ=+，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. a c b ≤≤B. b c a ≤≤C. c b a ≤≤D. a b c ≤≤ 答案：D（杨浦区一模13）下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是（ ） A. ()arcsin f x x = B. ()lg ||f x x = C. ()f x x =- D. ()cos f x x = 答案： C（长宁区一模16）某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题： 已知函数()y f x =的定义域为D ，12,x x D ∈，① 若当12()()0f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数； ② 若当12()()f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数. 下列判断正确的是（ ）A. ①和②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①和②都是假命题D. ①是假命题，②是真命题 答案：C（崇明区一模16）函数()()，，22+-==x x x g x x f 若存在，，，，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⋯29021n x x x 使得 ()()()()()()()()，n n n n x f x g x g x g x g x f x f x f +⋯++=++⋯++--121121则n 的最大值为（ ）.A 11 .B 13 .C 14 .D 18三、解答题（宝山区一模19）某温室大棚规定：一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工人作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y (单位:度)与时间t (单位：小时，[]20,0∈t ）近似地满足函数213++-=t bt y 关系，其中，b 为大棚内一天中保温时段的通风量.（1）若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到0.1C ︒)；（2）若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于17C ︒.求大棚一天中保温时段通风最的最小值. 答案：（1）203（2）256(虹口区一模18)已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值及函数的值域；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）由解得，反之时， ，符合题意，故据此，，即值域为 ⑵在显然是单调增函数，，所以，故，令，则随的增大而增大， 最大值为，所求范围是16()1x f x a a+=-+(0,1)a a >≠R a ()f x ()33x t f x ⋅≥-[1,2]x ∈t (0)0f =3a =3a =16()133x f x +=-+23113131x x x -=-=++3131()()3131x x x x f x f x -----==-=-++3a =1()301()x f x f x +=>-()(1,1)f x ∈-(1,1)-32()131f x =-+[1,2]x ∈13[,]25x ∈31(33)31x xx t +≥-⋅-max31(33)31x x x t ⎡⎤+≥-⋅⎢⎥-⎣⎦31,[2,8]xm m -=∈31(33)(2)31x xx m +-⋅--24m m m m+⋅=-m 152∴15[,)2+∞（浦东新区一模19）（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值．．．．．E （单位：exp ）与游玩时间t （小时）满足关系式：22016E t t a =++；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验．．．．值．不变）； ③超过5小时为不健康时间，累积经验值．．．．．开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50.（1）当1a =时，写出累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的函数关系式()E f t =，并求出游玩6小时的累积经验值．．．．．； （2）该游戏厂商把累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记作()H t ；若0a >，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围.解：答案：（1）22016,03()85,3533550,5t t t E f t t t t ⎧++<≤⎪==<≤⎨⎪->⎩ （写对一段得1分，共3分）6t =时，(6)35E =    （6分） （2）03t <≤时，16()=20aH t t t++  （8分） 16()244≥⇒+≥aH t t t①0319[,]4164a ⎧<≤⎪⇒∈⎨≥⎪⎩     （10分） ②39(,)1616343a a ⎧>⎪⇒∈+∞⎨+≥⎪⎩    （12分）综上，1[,)4a ∈+∞        （14分）（普陀区一模21）已知函数()2xf x =（x ∈R ），记()()()g x f x f x =--.（1）解不等式：(2)()6f x f x -≤；（2）设k 为实数，若存在实数0(1,2]x ∈，使得200(2)()1g x k g x =⋅-成立，求k 取值范围；（3）记()(22)()h x f x a f x b =++⋅+（其中a 、b 均为实数），若对于任意[0,1]x ∈，均 有1|()|2h x ≤，求a 、b 的值. 答案：（1）2(,log 3]-∞；（2）27119[,)2259；（3）12a =-，172b =.（青浦区一模19）对于在某个区间[,)a +∞上有意义的函数()f x ，如果存在一次函数()g x kx b =+使得对于任意的[,)x a ∈+∞，有|()()|1f x g x -≤恒成立，则称函数()g x 是函数()f x 在区间[,)a +∞上的弱渐近函数. （1）若函数()3g x x =是函数()3mf x x x=+在区间[4,)+∞上的弱渐近函数，求实数m 的取值范围；（2）证明：函数()2g x x =是函数()f x =[2,)+∞上的弱渐近函数. 答案：（1）[4,4]-；（2）略.（徐汇区一模18）已知函数()22ax f x x -=+，其中a R ∈. （1）解关于x 的不等式()1f x ≤-；（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间()0+∞，上是单调减函数.答案：（1）1,2;1,20;1,02a x a x a x x =-≠->--<≤<-≥<-或 （2）1a <-（杨浦区一模19） 上海某工厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是3(51)x x+-元，其中110x ≤≤.（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.答案：（1）[3,10]；（2）6x =，最大值为4575.（长宁区一模20）已知函数2()1f x x mx =-++，()2sin()6g x x πω=+.（1）若函数()2y f x x =+为偶函数，求实数m 的值； （2）若0ω>，2()()3g x g π≤，且函数()g x 在[0,]2π上是单调函数，求实数ω的值； （3）若1ω=，若当1[1,2]x ∈时，总有2[0,]x π∈，使得21()()g x f x =，求实数m 的取值 范围.答案：（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）设()()2h x f x x =+，则()()221h x x m x =-+++由于()h x 是偶函数，所以对任意R ∈x ，()()h x h x -=成立．……2分 即 1)2(1))(2()(22+++-=+-++--x m x x m x 恒成立．即 0)2(2=+x m 恒成立， …………………………………3分 所以 02=+m ，解得 2-=m ．所以所求实数m 的值是 2-=m ． …………………………………4分 （2）由()2()3g x g π≤， 得22,362k k Z πππωπ⋅+=+∈ ，即132k ω=+()k Z ∈ ………2分 当[0,]2x π∈时，[,]6626x ππωππω+∈+()0ω>，因为sin y x =在区间[,]62ππ的单调递增， 所以262ωπππ+≤，再由题设得203ω<<…………………………5分 所以12ω=． ……………………………………6分 （3）设函数()f x 在[]1,2上的值域为A ，()g x 在[]0,π上的值域为B ， 由题意和子集的定义，得A B ⊆．………………………………………2分 当],0[π∈x 时，]67,6[6πππ∈+x ，]2,1[)(-∈x g ． ………………3分 所以当[]1,2x ∈时，不等式2112x mx -≤-++≤恒成立， 由[]1,1,2m x x x≤+∈恒成立，得2m ≤， 由[]2,1,2m x x x≥-∈恒成立，得1m ≥， 综上，实数m 的取值范围为[]1,2 ． ………………6分（崇明区一模19）（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能活得25万元1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20％.（即：设奖励方案函数模型为()y f x =时，则公司对函数模型的基本要求是：当[]25,1600x ∈时，①()f x 是增函数；②()75f x ≤恒成立；（3）()5xf x ≤恒成立.） （1） 判断函数()1030xf x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（2）已知函数()()51g x a =≥符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围. （松江区一模18）已知函数2()21x f x a =-+（常数a ∈R ） （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，若对任意的[2,3]x ∈，都有()2x mf x ≥成立，求m 的最大值. 答案：解：（1）若)(x f 为奇函数，必有(0)10f a =-= 得1a =，……………………2分当1a =时，221()12121x x x f x -=-=++，2112()()2121x xx x f x f x -----===-++∴当且仅当1a =时，)(x f 为奇函数 ………………………4分又2(1)3f a =-，4(1)3f a -=-，∴对任意实数a ，都有(1)(1)f f -≠∴)(x f 不可能是偶函数 ………………………6分（2）由条件可得：222()2(1)(21)32121x x x x x m f x ≤⋅=-=++-++恒成立， ……8分记21x t =+，则由[2,3]x ∈ 得[5,9]t ∈， ………………………10分此时函数2()3g t t t=+-在[5,9]t ∈上单调递增， ………………………12分所以()g t 的最小值是12(5)5g =， ………………………13分所以125m ≤ ，即m 的最大值是125 ………………………14分2019一模三角专题一、填空题（宝山区一模1）函数()()sin 2f x x =-的最小正周期为___________. 答案：π（宝山区一模9）已知()()2,3,1,4A B ，且()1sin ,cos ,,,222AB x y x y ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则x y +=__________. 答案：62or ππ-（宝山区一模11）章老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知45b A =∠=︒,求边c 。

……○………学校:_______……○………绝密★启用前2019年上海市徐汇区高考一模（文科)数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知向量a 与b 不共线，且0a b =≠vv ，则下列结论中正确的是（ ）A ．向量a b +v v 与a b -v v垂直B ．向量a b -v v 与a v垂直C ．向量a b +v v 与a v 垂直D ．向量a b +v v 与a b -v v共线2．若,a b 为实数，则“01ab <<”是“1b a<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．设x 、y 均是实数，i 是虚数单位，复数（x ﹣2y ）+（5﹣2x ﹣y ）i 的实部大于0，虚部不小于0，则复数z=x+yi 在复平面上的点集用阴影表示为图中的（ ）A ．B ．C ．D ．4．设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意1x 、2x D ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图象的对称中心．研究函数()sin 3f x x x π=+-的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到1234030403120162016201620162016f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x=-，则抛物线的标准方程是__________. 6．方程log2(3x−5)=2的解是_______________7．设3nna-=（*n N∈）则数列{}n a的各项和为________8．函数()()sin24f x x x Rπ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭的单调递增区间是________________.9．若函数()f x的图象与对数函数4logy x=的图象关于直线x+y=0对称，则()f x的解析式为()f x=______．10．函数()24f x x x a=--有四个零点，则a的取值范围是________．11．设x、y R+∈且191x y+=，则x y+的最小值为___________.12．若三条直线30ax y++=，20x y++=和210x y-+=相交于一点，则行列式111a的值为________________.13．在ABC∆中，边2BC=，AB=C的取值范围是________________. 14．已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，CD=2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是________.15．()()322134x x x+++展开后各项系数的和等于______．16．已知函数()21f x x=-的定义域为D，值域为{}0,1，则这样的集合D最多有______个.17．正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为______．18．设1x，2x是实系数一元二次方程20ax bx c++=的两个根，若1x是虚数，212xx是实数，则24816321111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．三、解答题19．在三棱锥S ABC-中，,,SA AB SA AC AC BC⊥⊥⊥且2,AC BC SB ===（Ⅰ）求证：SC BC ⊥; （Ⅱ）求三棱锥的体积S ABC V -.20．已知函数()2sin 2sin 2cos2f x x x x =-.（1）化简函数()f x 的表达式，并求函数()f x 的最小正周期； （2）若点()00,A x y 是()y f x =图象的对称中心，且00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求点A 的坐标. 21．已知实数x 满足2411033903x x ---⋅+≤且()22log log 22x f x =⋅ （1）求实数x 的取值范围.（2）求()f x 的最大值和最小值，并求出此时x 的值. 22．数列{}n a 满足15a =，且()1231111122,n nn n N a a a a a *-++++=≥∈L . （1）求2a 、3a 、4a ；SABC订…………○…内※※答※※题※※订…………○…（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）令112nn na b a =-，求数列{}n b 的最大值与最小值.23．某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中()()0,025E t t <≤；曲线BC 是抛物线()2500y ax a =-+>的一部分；CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径.假定拟建体育馆的高50OB =（单位：米，下同）.（1）若20t =，149a =，求CD 、AD 的长度； （2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围； （3）若125a =，求AD 的最大值.参考答案1．A 【解析】 【分析】通过计算向量数量积确定是否具有垂直关系. 【详解】因为a b =r r ，()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=r r r r r r r r ,所以向量a b +r r 与a b -r r 垂直.当(1,0)a =r ，(0,1)b =r 时0a b =≠r r ，但向量a b -r r与a r 不垂直、向量a b +r r 与a r 不垂直、向量a b +r r 与a b -r r不共线故选：A. 【点睛】本题考查利用向量的数量积运算判定向量的垂直关系，属于基础题. 2．D 【解析】 【详解】若“0＜ab ＜1”，当a ，b 均小于0时，b ＞1a 即“0＜ab ＜1”⇒“b ＜1a”为假命题； 若“b ＜1a 当a ＜0时，ab ＞1，即“b ＜1a”⇒“0＜ab ＜1”为假命题，综上“0＜ab ＜1”是“b ＜1a”的既不充分也不必要条件，故选D 3．A 【解析】试题分析：由复数（x ﹣2y ）+（5﹣2x ﹣y ）i 的实部大于0，虚部不小于0，可得，利用线性规划的知识可得可行域即可．解：∵复数（x ﹣2y ）+（5﹣2x ﹣y ）i 的实部大于0，虚部不小于0， ∴，由线性规划的知识可得：可行域为直线x=2y 的右下方和直线的左下方，因此为A ． 故选A ．考点：复数的代数表示法及其几何意义． 4．C 【解析】 【分析】利用函数对称中心的性质可知，当122x x +=时，恒有()()124f x f x +=-，由此求出结果． 【详解】∵()sin 3f x x x π=+-，∴当1x =时，()11sin 32f π=+-=-，∴根据对称中心的定义，可得当122x x +=时，恒有()()124f x f x +=-， ∴1234030403120162016201620162016f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1403120162015201620162016ff f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()201542=⨯-- 8062=-．故选：C ． 【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 5．28y x = 【解析】 【分析】根据抛物线准线方程可求出p ，再根据准线方程设出抛物线的标准方程，代入p 值即可. 【详解】 由题意可知：22p=，4p ∴=且抛物线的标准方程的焦点在x 轴的正半轴上 故可设抛物线的标准方程为：22y px =将p 代入可得28y x =.故答案为：28y x =. 【点睛】本题考查了根据抛物线准线的方程求抛物线标准方程，属于基础题. 6．x ＝2 【解析】 【分析】把对数方程转化为指数方程，解方程即可. 【详解】解：由方程log 2(3x −5)=2可得 3x ﹣5＝4，即3x ＝32，解得x ＝2， 故答案为 x ＝2． 【点睛】本题主要考查对数方程的解法，指数对数的运算性质应用，属于基础题． 7．12【解析】 【分析】根据无穷等比数列的各项和的计算方法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，数列{}n a 的通项公式为13()3nn n a -==，且113a =， 所以数列{}n a 的各项和为111311213a q ==--.故答案为：12.【点睛】本题主要考查了无穷等比数列的各项和的求解，其中解答中熟记无穷等比数列的各项和的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】解不等式()222242k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，即可求出函数()y f x =的单调递增区间. 【详解】 解不等式()222242k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，得()388k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 因此，函数()y f x =的单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解，熟悉正弦函数的单调性是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 9．4x y -=- 【解析】 【分析】先设()f x 上任意一点(),x y ，求出这个点关于0x y +=的对称点，则根据题意该对称点在函数4log y x =的图象上，满足函数4log y x =的解析式，从而可求出点(),x y 的轨迹方程. 【详解】设函数()f x 的图象上任意一点(),x y ，则点(),x y 关于0x y +=的对称点(),x y ''在对数函数4log y x =的图象．由题意知1022y yx xx x y y -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+='''⎩'⎪，解得x y '=-，y x '=-又∵点(),x y ''在对数函数4log y x =的图象 ∴()4log x y -=-∴4xy --=，∴4x y -=-；故答案为：4xy -=-．【点睛】本题考查利用函数的图象与性质，求函数的解析式．解题的关键是求出点关于某条直线的对称点，属于基础题． 10．(0,4) 【解析】 【分析】()24f x x x a =--有四个零点则240x x a --=,即24x x a -=有四个根,故画出24y x x =-的图像,与y a =有四个交点即可.【详解】由题240x x a --=即24x x a -=有四个根,画出24y x x =-的图像有当2x =时24224y =⨯-=,故a 的取值范围是(0,4) 故答案为(0,4) 【点睛】本题主要考查了绝对值函数的画法以及数形结合的思想,属于基础题型. 11．16 【解析】 【分析】把代数式变形为1()x y ⋅+，用191x y=+进行代换，最后利用基本不等式求解即可. 【详解】191x y+=Q， ,x y R +∈，199()9()101016x y x y y x x y x y x y x y x y ⎛⎫++∴+=+⋅+=+=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当9y xx y=时，取等号，即4x =，12y =时取等号）. 故答案为：16 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力. 12．1 【解析】 【分析】先由三条直线30ax y ++=，20x y ++=和210x y -+=相交于一点，求出a ，再由二阶行列式的计算法则可计算出行列式111a 的值.【详解】 联立20210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩，由于三条直线30ax y ++=，20x y ++=和210x y -+=相交于一点， 所以，直线30ax y ++=过点()1,1--，则130a --+=，解得2a =，因此，212111111=⨯-⨯=.故答案为：1. 【点睛】本题考查三线共点问题的求解，同时也考查了二阶行列式的计算，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式计算法则的合理运用． 13．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】利用余弦定理构建方程，利用判别式可得不等式，从而可求角C 的取值范围． 【详解】由题意，设AC b =，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅， 即2344cos b b C =+-，即24cos 10b b C -+=，216cos 40C ∴∆=-≥，1cos 2C ∴≥或1cos 2C ≤-， AB BC <Q ，C ∴不可能为钝角，则1cos 2C ≥，又0C >，03C π∴<≤.因此，角C 的取值范围是0,3π⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查余弦定理的运用，考查解不等式，解题的关键是利用余弦定理构建方程，利用判别式得不等式，属于中等题. 14．23π 【解析】 【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ，进而在△A 0B 中，利用余弦定理求得cos ∠AOB 的值，则∠AOB 可求，进而根据弧长的计算方法求得答案． 【详解】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O 在CD 中点，则OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝1，再由AB =A 0B 中，利用余弦定理cos ∠AOB 11312112+-==-⨯⨯，则∠AOB 23π=，则弧AB 23π=•123π=． 故答案为：23π．【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等，考查了学生观察分析和基本的运算能力． 15．28 【解析】 【分析】根据题意，令1x =，代入多项式即可求出展开式中各项系数的和． 【详解】由于()()322134x x x +++展开后含有字母x ，令1x =，则展开式中各项系数的和为： ()()32121131428+⨯+⨯+=； 故答案为：28． 【点睛】本题考查了求多项式展开式的各项系数和的应用问题，解题的关键应该先令1x =，然后即可求出结果，属于基础题． 16．9 【解析】 【分析】根据值域中的几个函数值，结合函数表达式推断出定义域中可能出现的几个x 值，再加以组合即可得到定义域D 的各种情况． 【详解】令()0f x =，可得1x =±；令()1f x =，可得x =因此，定义域D 的可能结果为：{1,-、{-、{1,、{、{1,1,-、{-、{1,-、{1,、{1,1,-，共9种.故答案为：9.【点睛】本题给出二次函数的一个值域，要我们求函数的定义域最多有几个，着重考查了函数的定义与进行简单合情推理等知识，属于基础题． 17．14【解析】 【分析】首先求出基本事件总数4416n =⨯=，再由列举法求出露在外面的6个数字之和恰好是9包含的基本事件个数，再利用古典概型公式，即可求出露在外面的6个数字之和恰好是9的概率． 【详解】正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上， 露在外面的6个数字之和包含的基本事件总数4416n =⨯=， 设两个正四面体中压在桌面的数字分别为m ，n ，则露在外面的6个数字之和恰好是9的基本情况有：()0,3，()3,0，()1,2，()2,1，共包含4个基本事件，∴露在外面的6个数字之和恰好是9的概率41164p ==． 故答案为：14． 【点睛】本题考查古典概型公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． 18．-2 【解析】 【分析】设1i x s t =+（s ，t ∈R ，0t ≠）．则2i x s t =-．则122x x s +=，2212x x s t =+．利用212x x 是实数，可得223s t =．于是122x x s +=，2212x x s t =+．2112210x x x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，取12x x ω=，则210ωω++=，31ω=．代入化简即可得出． 【详解】设1i x s t =+（s ，t ∈R ，0t ≠）．则2i x s t =-．则122x x s +=，2212x x s t =+．∵()223223122222i 33i i s t x s st s t t x s t s t s t+--==+-++是实数，∴2330s t t -=， ∴223s t =．∴122x x s +=，2212x x s t =+．∴()22221212121242s x x x x x x x x =+=++=，∴122110x x x x ++=， 取12x x ω=， 则210ωω++=， ∴31ω=． 则2481632248163211111122222211x x x x x x S x x x x x x ωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭220ωωωω=++++2=-．故答案为：2-． 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了复数的概念，考查了复数的性质210ωω++=，属于中档题.19．（Ⅰ）证明过程详见试题解析；（Ⅱ）3. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由线线垂直得到线面垂直，再根据直线所在的平面得到线线垂直；（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式13S ABC ABC V S h -∆=⋅⋅求之. 试题解析：（Ⅰ）证明：因为090SAB SAC ∠=∠=,所以,SA AB SA AC ⊥⊥. 又因为AB AC A ⋂=,所以SA ⊥平面ABC ,所以SA BC ⊥.又090ACB ∠=,所以AC BC ⊥.所以BC ⊥平面SAC .故SC BC ⊥.（Ⅱ）在ABC ∆中，090,2,ACB AC BC ∠===所以AB =又在SAB ∆中，,SA AB AB SB ⊥==,所以SA =.又因为SA ⊥平面ABC ,所以112323S ABC V -⎛=⨯⨯⨯=⎝. 考点：（Ⅰ）线面垂直的性质定理；（Ⅱ）三棱锥的体积公式.20．（1）()f x 14242x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，最小正周期为2π；（2）31,162π⎛⎫ ⎪⎝⎭或71,162π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式、二倍角公式、辅助角公式化简()14242f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，代入周期公式计算周期；（2）由对称中心的性质可知0sin 404x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求出0x ，即可得到点A 的坐标． 【详解】（1）()()21cos 4111sin 2sin 2cos 2sin 4sin 4cos 42222x f x x x x x x x -=-=-=-++14242x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 所以，函数()y f x =的最小正周期为242T ππ==；（2）由()14242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，Q 点()00,A x y 是函数()y f x =图象的对称中心，则0sin 404x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得()044x k k Z ππ+=∈，()0416k x k Z ππ∴=-∈， 由()04162k k Z πππ≤-≤∈，解得()1944k k Z ≤≤∈，得1k =或2k =， 当1k =时，0316x π=，此时，点A 的坐标为31,162π⎛⎫⎪⎝⎭； 当2k =时，0716x π=，此时，点A 的坐标为71,162π⎛⎫⎪⎝⎭. 综上所述，点A 的坐标为31,162π⎛⎫ ⎪⎝⎭或71,162π⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．21．（1）[]2,4 （2）()min 1=8f x - x =; ()max 0f x = 2x =或4x = 【解析】 【分析】(1)由题意求解关于23x -的二次不等式即可确定函数的定义域；(2)由题意，利用换元法，结合二次函数的性质求解函数的最值和函数取得最值时自变量的取值即可. 【详解】 （1）由2411033903x x ---⋅+≤ 可得242310390x x ---⋅+≤ ，即 ()()2223139013924x x x x -----≤∴≤≤∴≤≤故实数x 的取值范围是[]2,4（2）()()()()2222221*********x f x log log log x log x log x log x ⎛⎫=⋅=--=-- ⎪⎝⎭， 令2log x t =，则[]1,2t ∈ ，()()()()21131122228f xg t t t t ⎛⎫∴==--=-- ⎪⎝⎭ ，()g t Q 在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，()()3128min min f x g t g ⎛⎫∴===- ⎪⎝⎭，此时232log x =解得x = ()()()()120max max f x g t g g ====，此时21log x =或22log x =即2x =或4x =. 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．22．（1）210a =，3203a =，4209a =；（2）25,1210,23n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（3）数列{}n b 的最大值为5，最小值为207-. 【解析】 【分析】（1）由题设条件，分别令2n =、3n =、4n =可计算出2a 、3a 、4a 的值； （2）令3n ≥，由123111112n n a a a a a -++++=L 可得出1232111112n n a a a a a --++++=L ，两式作差可得出123n n a a -=，再利用等比数列的通项公式即可得出数列{}n a 的通项公式； （3）先求出数列{}n b 的通项公式，分23112002n -⎛⎫⋅-> ⎪⎝⎭和23112002n -⎛⎫⋅-< ⎪⎝⎭两种情况讨论，利用数列的单调性即可求出数列{}n b 的最大值与最小值. 【详解】（1）Q 数列{}n a 满足15a =，且()1231111122,n nn n N a a a a a *-++++=≥∈L ，当2n =时，则有2125a =，解得210a =；当3n =时，则有31221111351010a a a =+=+=，解得3203a =； 当4n =时，则有4123211111395102020a a a a =++=++=，解得4409a =； （2）当3n ≥时，由123111112n n a a a a a -++++=L 可得出1232111112n n a a a a a --++++=L ， 两式相减得11122n n n a a a --=-，123n n a a -∴=，123n n a a -∴=，且212a a =， 所以，数列{}n a 从第二项起成等比数列，又210a =，所以25,1210,23n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩； （3）225,12103,2112211203n n n n n n a b n a --=⎧⎪⎛⎫⎪⋅⎪ ⎪==⎨⎝⎭≥-⎪⎛⎫⎪-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎩Q ， 当2n ≥时，222210103231120112032n n n n b ---⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫-⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当23n ≤≤时，23112002n -⎛⎫⋅-< ⎪⎝⎭，此时，数列{}n b 单调递减，且3207n b b ≥=-； 当4n ≥时，23112002n -⎛⎫⋅-> ⎪⎝⎭，此时，数列{}n b 单调递减，且44019n b b ≤=. 1440519b b =>=Q ，因此，数列{}n b 的最大值为15b =，最小值为3207b =-. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、数列的单调性、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（1）30CD =，AD =（2）1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）. 【解析】 【分析】（1）由CD OB OE =-可求出CD 的长，在抛物线方程中，令30y =，可求出OD 的长，在圆E 的方程中，令0y =，可求出AO 的长，相加即可得出AD 的长；（2≤恒成立，根据基本不等式解出即可；（3）先求得OD =E 的方程中，令0y =，可得出OA =AD =())025f t t =<≤，将问题转化为求函数()y f t =在(]0,25t ∈上的最大值.法一：令225cos t α=，0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，利用三角函数知识可求出()y f t =的最大值；法二：令x =y =，将问题转化为已知()22250,0x y x y +=≥≥，求()52z AD x y ==+的最大值，利用数形结合思想可求出AD 的最大值.【详解】（1）因为圆E 的半径为5030OB OE t -=-=，所以30CD =米，在215049y x =-+中令30y =，得OD =在圆()222:2030E x y +-=中，令0y =得AO =所以AD AO OD =+== （2）由圆E 的半径为50OB OE t -=-，得50.CD t =-在250y ax =-+中，令50y t =-，得OD =50DF OF OD t =+=-由题意知5075t-+≤对(]0,25t ∈≤恒成立.=25t =取得最小值1010≤，解得1100a ≥. 因此，实数a 的取值范围是1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； （3）当125a =时，OD = 又圆E 的方程为()()22250x y t t +-=-，令0y =，得x =±所以OA =AD = 下求())025f t t =<≤的最大值.方法一：令225cos t α=，0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则()105sin 55cos AD αααϕ==⨯+⨯=+， 其中ϕ是锐角，且1tan 2ϕ=，从而当2παϕ+=时，AD取得最大值方法二：令x =，y =()22250,0x y x y +=≥≥，求()52z AD x y ==+的最大值.当直线25z y x =-+与圆弧()22250,0x y x y +=≥≥相切时，直线25z y x =-+在y 轴上的截距最大，此时z5≤，0z >Q，解得0z <≤因此，z的最大值为答：当5t =米时，AD的最大值为.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，考查三角函数问题，考查函数不等式恒成立问题，考查了化归与转化思想的应用，是一道难题．答案第17页，总17页。

2018学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级语文学科2018.12考生注意：1．本场考试时间150分钟。

试卷满分150分。

试卷共7页，答题纸共2页。

2．所有作答必须填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位。

3．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔或水笔作答非选择题。

一积累应用 l0分1．按要求填空。

（5分）⑴锲而不舍，。

（《劝学》）⑵柳永的词《八声甘州》“，，”三句描写，以“渐”字领格，勾勒出一幅深秋雨后的萧索图景。

2．阅读新闻周刊记者采访金庸先生的片断，按要求选择。

（5分）记者：金庸先生，您辞去浙大人文学院院长和博导的职务，在 81 岁高龄远赴剑桥攻读历史学硕士，？金庸：原先王朔批评我的小说太俗了，我并不在乎，我写通俗小说，俗是免不了的。

现在有人公开批评我学问不好，我就相当地重视了。

学问不好是事实，唯一补救的办法是令自己的学问好一点，不是好过别人，而是今天好过昨天的自己。

⑴依据金庸的回答推断出的提问句，填入空格处恰当的一项是（）。

（2分）A.与有学者批评您忙于院长事务、没精力做学问有关吗？B.与王朔先生批评您眼界太窄、您的武侠小说太俗有关吗？C.与有媒体批评您不甘寂寞、借高龄求学来炒作有关吗？D.是因为有学者批评您学问不够，您想拿学位来证明自己吗？⑵下列各组句子中，能代表金庸先生态度的一组是（）。

（3分）①世事洞明皆学问，人情练达即文章。

②虚怀若谷，方能容纳百川。

③知之为知之，不知为不知，是知也。

④古人学问无遗力，少壮工夫老始成。

A.①②B. ②③C. ③④D. ①④二阅读 70分（一）阅读下文，完成第3—7题。

（16分）新媒体传播与城市文脉保护孙玮①二维码在2017年夏季的上海吸引了世界的目光。

这个渗透在我们日常生活中的移动网络小端口，竟然成了人类两百万年浩瀚历史的未来象征，“‘大英博物馆百物展：浓缩的世界史’上海展”的第 101 件展品，是一枚由 100 组文物构图而成的“二维码”。

2019届高三一模数学试卷上海市徐汇区2018.1254分）分，7-12每题5分，共一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4i2i?i?z?1zz，其中1. 若复数是虚数单位，则满足的实部为2??e A0}??x,x,x?R yA?{y|R U?，集合，则 2. 已知全集U22x y?2x1?xyy 3. 若实数、满足的最小值为，则n2*}a{a?lim?a N n?），则（4. 若数列的通项公式为11n n nn??n?1n22yxb?01??y?2x0a?，它的一个焦点与5. 已知双曲线）的一条渐近线方程是，（22ab2?20xy的焦点相同，则此双曲线的方程是抛物线llxOy(3,1)n?的一个法向量，已知数列6. 在平面直角坐标系是中，直线经过坐标原点，{a}(a,a)anl6?a的值为，点，则均在上，若满足：对任意的正整数n?1nn3211n2*)(2x?N n? 128，则其展开式中含7. 已知）（的展开式中各项的二项式系数之和为xx（结果用数值表示）项的系数是各等级换算成分数如下表所示：8. 上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，CBDAE??等级????CC DABB4061467058 526755434964分数?A成绩，）班选考物理学业水平等级考的学生中，有届高三（15人取得上海某高中2018B 级及以上，平均分是64分，这个班级选考物理学业水平等级考的人其他人的成绩至少是数至少为人0?x?1f(x))?lg(x?1)f(x，令函数是以时，9. 已知函数2为周期的偶函数，当x?[1,2])(xg(x)?fg(x)的反函数为（），则1a?b]?[1,],b[ax?sin y，值域是10. 已知函数，则的定义域是的最大值是2??x?4x????x)f(R?)(xf个零点，则的取，若函数已知11. 恰有2，函数?2??x4x?3x??值范围是22221??(y1)xN1y?:Mx(?1)?:?MN ll分别过圆心已知圆12. 、，圆、，，直线2122yx??1MABPD ll CN是椭圆且上相交于与圆相交于、、两点，与圆两点，点2194PA?PB?PC?PD的最小值为任意一点，则二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）?1????sin?R?”的（13. 设，则“）”是“26A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合 ?:4，若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（方盖”的体积之比应为）12816316 D. B. C.A. 16 33y?f(x){(x,y)|(y?x)(y?x)?0} 15. 对于函数，如果其图像上的任意一点都在平面区域2?1y?x)x(fx sin y?；下列结论正为“蝶型函数”，已知函数：①；②内，则称函数）确的是（①、②均不是“蝶型函数”A.①、②均是“蝶型函数”B.①是“蝶型函数”，②不是“蝶型函数”C.①不是“蝶型函数”，②是“蝶型函数”D.*}{aSn N n?，都有，若对任意的是公差不为0已知数列16. 的等差数列，前项和为nn a S?S6的值不可能为（），则3n a5354 C. B. A. 2 D.332三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）????DBC?ABCDA的棱长为17. 如图，已知正方体1.?????DABCD?BACBA是异面直线？中哪些棱所在的直线与直线1（）正方体??BCMMNNBCBA所成角的大小. 的中点，求异面直线）若（2、分别是与、ax?2?xf()a?R. ，其中18. 已知函数x?2x f(x)??1；的不等式）解关于（1a f(x)(0,??)上是单调减函数在区间）求的取值范围，使. （2AB，19. 我国的“洋垃圾禁止入境“政策已实施一年多，某沿海地区的海岸线为一段圆弧??AOB?，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧对应的圆心角20海里内的海域3ABCD 对不明船只进行识别查证（如图，其中海域与陆地近似看作在同一平面内），在圆ABAB之间的直线距离为100海里与弧的两端点、. 分别建有检查站，ABCD的面积；（1）求海域AP点处有一艘不明船只，在（2）现海上点测得其距1920BBA海里，在点40点点测得其距海里，判断ABCD. 这艘不明船只是否进入了海域？请说明理由22yx220?ab?1??:?，右顶点到左焦点的距离为20. 已知椭圆（）的长轴长为22ba 1?2BA?m:y?kx?l.与椭圆、，直线交于两点?）求椭圆的方程；（1?ABAMOOMN为坐标原点，若并延长交椭圆为椭圆的上顶点，，为于中点，连接（2）6kOMON?的值；，求2??OBOA?lO到直线，的距离为3）若原点1，54???SOAB. 的面积时，求△当的范围65}{an?4n（）项的有穷数列21. 已知项数为，若同时满足以下三个条件：n00}a2,3,i????,n{?a?a0m ma?1a?③任取数列；②为正整数）①；1，，其中（或n?1i0i n10an2?aaats?qp?），满足、），剩下的项中一定存在两项中的两项（、（t0s qp}{a a??aa?a?.数列为，则称数列n tspq}a{{a}?是否是1是首项为1，公差为）若数列（1，项数为6项的等差数列，判断数列nn数列，并说明理由；}a{d?3?m dd次，其中出现时，设2数列出现次，中1出现（2）当3次，n321*4?d N?d,d,d4?d2d?，求证：，；，332112}a{n?2019m?. 的最小值时，求数列3（）当中项数n0参考答案一. 填空题22yx221???1,0](?? 4. 5.2. 3. 1. 2520?1x103?(xg)?2?84?x?[0,lg2] 8. 15 9. 6. ，7.?4(1,3](4,??) 10. 11. 12. 83二. 选择题13. A 14. C 15. B 16. D三. 解答题???????CDCBCCADCDDD. ，，，17.（1）），，；（24a??1x??2a??1?2?x?0a??1x?0x??2a??1. ），，；（；）（18.1；2或，2200?120??OP203932. ；（）（19.1）2，面积为，没有进入海域3222101x1122]?[,S?k??k?1?y?. ，；（3）1（20.）；（2）5634222027. 21.（）略；（21）不是；（3）。

2019学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷(文科试卷)(考试时间：120分钟，满分150分) 2019.1一•填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、已知角?的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，若角 :-的终边经过点P(3, -4)，贝y cos〉= __________2、函数y=log2(x-m) 1的反函数的图象经过点(1,3)，则实数m= _______3、若全集U —x| x -1 ：： 3,x Z?, A 二「1,2,3?,C u B 二「一1,3?，则A B 二____________4、从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别为(单位：克) 125、124、122、123、126，则该样本方差s2二 ____________5、一平面截一球得到直径为6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是3______ cm,,，兀、小tan x 「6、已知tan(x ) = 2，贝y 的值为____________________4 tan2x7、根据右图所示的程序框图，输出结果i = _______8、从〈1,2,3,4,5 ?中随机选取一个数为a，从〈1,2,3?中随机选取一个数为b，则b a的概率是_______________ (结果用数值表示)19、若(x )n的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中x4项的2x系数为______________ 10、已知函数f(x) =x2-1的定义域为D，值域为「-1,0,1；，试确定这样的集合D 最多有—个T T T11、在=ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c, AB・AC = 6，向量m = (cosA,sin A)与向量n = (4, -3)相互垂直。

若b ■ c = 7，贝U a的值为___________________12、已知函数f (x)二log a x ■ x「b(a • 0,a = 1)，当2 a ■■ 3^：：4 时，函数f (x)的零点沧(n, n 1) (n N*)，贝U n = _____13、已知各项为正数的等比数列{a n}满足:a? =a6 ' 2a5,若存在两项a m、c h使得a m q二2、、2^，则丄上的最小值为_____________ m n14、如图所示：在 AOB 中，.AOB ,OA =3,OB =2,BH _OA 于3H , M 为线段BH 上的点，且 MO MA 二--,若BM =xBO yBA , 4则x y 的值等于 ______________________二•选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生 应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分。

2019年上海市徐汇区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）若复数z满足i•z＝1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．2．（4分）已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝x﹣2，x∈R，x≠0}，则∁U A＝．3．（4分）若实数x，y满足xy＝1，则2x2+y2的最小值为．45分）已知双曲线6直线经过坐标原点，＝对任意的正整数n，点（a n+1，a n）均在上，若a2＝67）∈N*）的展开式中各项的二项式系数之和为式中含（结果用数值表示）8分）上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如表B+B B﹣C+C﹣49其他人的成绩至少是B级及以上，平均分是64分，这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为人．9．（5分）已知函数f（x）是以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x+1），令函数g（x）＝f（x）（x∈[1，2]），则g（x）的反函数为．10．（5分）已知函数y＝sin x的定义域是[a，b]，值域是[﹣1，]，则b﹣a的最大值是．11．（5分）已知λ∈R，函数f（x）＝，若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是．12．（5分）已知圆M：x2+（y﹣1）2＝1，圆N：x2+（y+1）2＝1．直线l1、l2分别过圆心M、N，且11与圆M相交于A，B两点，12与圆N相交于C，D两点，点P是椭圆＝1上任意一点，则+的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设θ∈R，则“θ＝”是“sinθ＝”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（5分）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4．若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（）A．16B．16C．D．15．（5分）对于函数y＝f（x），如果其图象上的任意一点都在平面区域{（x，y）|（y+x）（y ﹣x）≤0}内，则称函数f（x）为“蝶型函数”，已知函数：①y＝sin x；②y＝，下列结论正确的是（）A．①、②均不是“蝶型函数”B．①、②均是“蝶型函数”C．①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数”D．①不是“蝶型函数”：②是“蝶型函数”16．（5分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，若对任意的n∈N*，都有S n≥S3，则的值不可能为（）A．2B．C．D．三、解答题.17．（14分）如图，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1．（1）正方体ABCD﹣A′B′C′D'中哪些棱所在的直线与直线A′B是异面直线？（2）若M，N分别是A'B，BC′的中点，求异面直线MN与BC所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）＝，其中a∈R．（1）解关于x的不等式f（x）≤﹣1；（2）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．19．（14分）我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多．某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角∠AOB＝，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）在圆弧的两端点A，B分别建有监测站，A与B之间的直线距离为100海里．（1）求海域ABCD的面积；（2）现海上P点处有一艘不明船只，在A点测得其距A点40海里，在B点测得其距B 点20海里．判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD？请说明理由．20．（16分）已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的长轴长为2，右顶点到左焦点的距离为+1，直线l：y＝kx+m与椭圆Γ交于A，B两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若A为椭圆的上项点，M为AB中点，O为坐标原点，连接OM并延长交椭圆Γ于N，，求k的值．（3）若原点O到直线l的距离为1，＝λ，当时，求△OAB的面积S 的范围．21．（18分）已知项数为n0（n0≥4）项的有穷数列{a n}，若同时满足以下三个条件：①a 1＝1，a＝m（m为正整数）；②a i﹣a i﹣1＝0或1，其中i＝2，3，……，n0；③任取数列{a n}中的两项a p，a q（p≠q），剩下的n0﹣2项中一定存在两项a s，a t（s≠t），满足a p+a q＝a s+a t，则称数列{a n}为Ω数列．（1）若数列{a n}是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列{a n}是否是Ω数列，并说明理由．（2）当m＝3时，设Ω数列{a n}中1出现d1次，2出现d2次，3出现d3次，其中d1，d2，d3∈N*．求证：d1≥4，d2≥2，d3≥4；（3）当m＝2019时，求Ω数列{a n}中项数n0的最小值．2019年上海市徐汇区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）若复数z满足i•z＝1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为2．【解答】解：由i•z＝1+2i，得z＝，∴z2．（4∴∁U A3．（41，则2x2+y2的最小值为≥2＝2，（当且仅当＝±，．4．（4的通项公式为a n＝（n∈N，则﹣则a n＝（﹣）＝﹣1．故答案为：﹣1．5．（4分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y＝2x，它的一个焦点与抛物线y2＝20x的焦点相同，则此双曲线的方程是．【解答】解：抛物线y2＝20x的焦点为（5，0），则双曲线的焦点在x轴上，双曲线的一条渐近线为y＝2x，可得b＝2a，由题意双曲线的一个焦点与抛物线y2＝20x的焦点相同，可得＝5，解得a＝，b＝2，则双曲线的方程为：．故答案为：．6．（4分）在平面直角坐标系xOy中，直线经过坐标原点，＝（3，1）是l的一个法向量．已知数列{a n}满足：对任意的正整数n，点（a n+1，a n）均在l上，若a2＝6，则a3的值为﹣2．【解答】解：直线经过坐标原点，＝（3，1）是l的一个法向量，可得直线l的斜率为﹣3，即有直线l的方程为y＝﹣3x，点（a n+1，a n）均在l上，可得a n＝﹣3a n+1，即有a n+1＝﹣a n，则数列{a n}为公比q为﹣的等比数列，可得a3＝a2q＝6×（﹣）＝﹣2．故答案为：﹣2．7．（5分）已知（2x2﹣）n（n∈N*）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是﹣84．（结果用数值表示）【解答】解：由题意，2n＝128，得n＝7．∴（2x2﹣）n＝（2x2﹣）7，其二项展开式的通项＝．由14﹣3r＝﹣1，得r＝5．∴展开式中含项的系数是．故答案为：﹣84．8．（5分）上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如表所示：上海某高中2018届高三（1）班选考物理学业水平等级考的学生中，有5人取得A+成绩，其他人的成绩至少是B级及以上，平均分是64分，这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为15人．【解答】解：设取得A成绩的x人，取得B+成绩的y人，取得B成绩的z人，则70×5+67x+64y+61z＝64×（5+x+y+z），即z﹣x＝10，又x，y，z∈N，即当且仅当x＝0，y＝0，z＝10时，5+x+y+z取得最小值15，取得A成绩的0人，取得B+成绩的0人，取得B成绩的10人，这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为15人，故答案为：159．（5分）已知函数f（x）是以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x+1），令函数g（x）＝f（x）（x∈[1，2]），则g（x）的反函数为g﹣1（x）＝3﹣10x（0≤x≤lg2）．【解答】解：当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，∴f（x）＝f（﹣x）＝lg（﹣x+1），当1≤x≤2时，﹣1≤x﹣2≤0，∴f（x）＝f（x﹣2）＝lg[﹣（x﹣2）+1]＝lg（﹣x+3）．∴g（x）＝lg（﹣x+3）（1≤x≤2），∴﹣x+3＝10g（x），∴x＝3﹣10g（x），故答案为：g﹣1（x）＝3﹣10x，（0≤x≤lg2）10．（5分）已知函数y＝sin x的定义域是[a，b]，值域是[﹣1，]，则b﹣a的最大值是．【解答】解：函数y＝sin x，令≤a≤，要使b﹣a的最大值，可知b的最大值为：b＝，∴b﹣a的最大值为；故答案为：11．（5分）已知λ∈R，函数f（x）＝，若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是（1，3]∪（4，+∞）．【解答】解：根据题意，在同一个坐标系中作出函数y＝x﹣4和y＝x2﹣4x+3的图象，如图：若函数f（x）恰有2个零点，即函数f（x）图象与x轴有且仅有2个交点，则1＜λ≤3或λ＞4，即λ的取值范围是：（1，3]∪（4，+∞）故答案为：（1，3]∪（4，+∞）．12．（5分）已知圆M：x2+（y﹣1）2＝1，圆N：x2+（y+1）2＝1．直线l1、l2分别过圆心M、N，且11与圆M相交于A，B两点，12与圆N相交于C，D两点，点P是椭圆＝1上任意一点，则+的最小值为8．【解答】解：由题意可得，M（0，1），N（0，﹣1），r M＝r N＝1，＝（）•（）＝＝，＝（）•＝＝﹣1，∵∵P为椭圆上的点，∴＝+﹣2＝2（x2+y2）＝由题意可知，﹣3≤x≤3，∴8≤，故答案为：8．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设θ∈R，则“θ＝”是“sinθ＝”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：由θ＝，则有sinθ＝，即“θ＝”是“sinθ＝”的充分条件，由sinθ＝，得：θ＝kπ+（﹣1）k，即“θ＝”是“sinθ＝”的不必要条件，即“θ＝”是“sinθ＝”的充分不必要条件．故选：A．14．（5分）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4．若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（）A．16B．16C．D．【解答】解：正方体的棱长为2，则其内切球的半径r＝1，∴正方体的内切球的体积，又由已知，∴．故选：C．15．（5分）对于函数y＝f（x），如果其图象上的任意一点都在平面区域{（x，y）|（y+x）（y ﹣x）≤0}内，则称函数f（x）为“蝶型函数”，已知函数：①y＝sin x；②y＝，下列结论正确的是（）A．①、②均不是“蝶型函数”B．①、②均是“蝶型函数”C．①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数”D．①不是“蝶型函数”：②是“蝶型函数”【解答】解：由y＝sin x，设g（x）＝sin x+x，导数为cos x+1≥0，即有x＞0，g（x）＞0；x＜0时，g（x）＜0；设h（x）＝sin x﹣x，其导数为cos x﹣1≤0，x＞0时，h（x）＜0，x＜0时，h（x）＞0，可得（y+x）（y﹣x）≤0恒成立，即有y＝sin x为“蝶型函数”；由（+x）（﹣x）＝x2﹣1﹣x2＝﹣1＜0，可得y＝为“蝶型函数”．故选：B．16．（5分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，若对任意的n∈N*，都有S n≥S3，则的值不可能为（）A．2B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，对任意的n∈N*，都有S n≥S3，∴，∴，且∴﹣3d≤a1≤﹣2d，∴当＝＝2时，a1＝﹣3d．成立；当＝＝时，a1＝﹣d．成立；当＝＝时，a1＝﹣2d．成立；当＝＝时，a1＝﹣d．不成立．∴的值不可能为．故选：D．三、解答题.17．（14分）如图，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1．（1）正方体ABCD﹣A′B′C′D'中哪些棱所在的直线与直线A′B是异面直线？（2）若M，N分别是A'B，BC′的中点，求异面直线MN与BC所成角的大小．【解答】解：（1）正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，直线A′B是异面直线的棱所在直线有：AD，B′C′，CD，C′D′，DD′，CC′，共6条．（2）M，N分别是A'B，BC′的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，则A′（1，0，1），B（1，1，0），C′（0，1，1），M（1，，），N（），B（1，1，0），C（0，1，0），＝（﹣，0），＝（﹣1，0，0），设异面直线MN与BC所成角的大小为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝45°，∴异面直线MN与BC所成角的大小为45°．18．（14分）已知函数f（x）＝，其中a∈R．（1）解关于x的不等式f（x）≤﹣1；（2）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．【解答】解：（1）x的不等式f（x）≤﹣1，即为≤﹣1，即为≤0，当a＝﹣1时，解集为{x|x≠﹣2}；当a＞﹣1时，解集为（﹣2，0]；当a＜﹣1时，解集为（﹣∞，﹣2）∪[0，+∞）；（2）f（x）＝＝a+，由f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数，可得﹣2﹣2a＞0，解得a＜﹣1．即a的范围是（﹣∞，﹣1）．19．（14分）我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多．某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角∠AOB＝，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）在圆弧的两端点A，B分别建有监测站，A与B之间的直线距离为100海里．（1）求海域ABCD的面积；（2）现海上P点处有一艘不明船只，在A点测得其距A点40海里，在B点测得其距B 点20海里．判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD？请说明理由．【解答】解：（1）∵∠AOB＝，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD，AB＝100∴AD＝BC＝20，OA＝OB＝AB＝100，∴OD＝OA+AD＝100+20＝120，∴S ABCD＝•π（OD2﹣OA2）＝π（1202﹣1002）＝（平方海里），（2）由题意建立平面直角坐标系，如图所示；由题意知，点P在圆B上，即（x﹣100）2+y2＝7600…①，点P也在圆A上，即（x﹣50）2+＝1600…②；由①②组成方程组，解得或；又区域ABCD内的点满足，由302+＝3600＜10000，∴点（30，30）不在区域ABCD内，由902+＝15600＞14400，∴点（90，50）也不在区域ABCD内；即这艘不明船只没进入了海域ABCD．20．（16分）已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的长轴长为2，右顶点到左焦点的距离为+1，直线l：y＝kx+m与椭圆Γ交于A，B两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若A为椭圆的上项点，M为AB中点，O为坐标原点，连接OM并延长交椭圆Γ于N，，求k的值．（3）若原点O到直线l的距离为1，＝λ，当时，求△OAB的面积S的范围．【解答】解：（1）由题意可知，，于是得到，因为右顶点到左焦点的距离为，所以，c＝1，则，因此，椭圆Γ的方程为；（2）当点A为椭圆的上顶点时，点A的坐标为（1，0），则m＝1，直线l的方程为y＝kx+1，将直线l的方程代入椭圆的方程并化简得（2k2+1）x2+4kx＝0，解得，，所以点B的坐标为，由于点M为线段AB的中点，则点M的坐标为，由于，所以，点N的坐标为，将点N的坐标代入椭圆的方程得，化简得，解得；（3）由于点O到直线l的距离为1，则有，所以，m2＝k2+1．设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程代入椭圆方程并化简得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，由韦达定理可得，，＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝＝＝＝，由于，即，解得，线段AB的长为＝＝＝＝，所以，．因此，△OAB的面积S的取值范围是．21．（18分）已知项数为n0（n0≥4）项的有穷数列{a n}，若同时满足以下三个条件：①a 1＝1，a＝m（m为正整数）；②a i﹣a i﹣1＝0或1，其中i＝2，3，……，n0；③任取数列{a n}中的两项a p，a q（p≠q），剩下的n0﹣2项中一定存在两项a s，a t（s≠t），满足a p+a q＝a s+a t，则称数列{a n}为Ω数列．（1）若数列{a n}是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列{a n}是否是Ω数列，并说明理由．（2）当m＝3时，设Ω数列{a n}中1出现d1次，2出现d2次，3出现d3次，其中d1，d2，d3∈N*．求证：d1≥4，d2≥2，d3≥4；（3）当m＝2019时，求Ω数列{a n}中项数n0的最小值．【解答】解：（1）若数列{a n}：1，2，3，4，5，6是Ω数列，取数列{a n}中的两项1和2，则剩下的4项中不存在两项a s，a t（s≠t），使得1+2＝a s+a t，故数列{a n}不是Ω数列；（2）若d1≤3，对于p＝1，q＝2，若存在2＜s＜t，满足a p+a q＝a s+a t，∵2＜s＜t，于是s≥3，t≥4，故a5≥a2，a t＞a1，从而a s+a t＞a2+a1，矛盾，故d1≥4，同理d3≥4，下面证明d2≥2：若d2＝1，即2出现了1次，不妨设a k＝2，a1+a k＝a s+a t，等式左边是3，等式右边有几种可能，分别是1+1或1+3或3+3，等式两边不相等，矛盾，于是d1≥2；（3）设出现d1次，2出现d2次…，2019出现d2019次，其中d1，d2，…，d2019∈N*，由（2）可知，d1≥4，d2019≥4，且d2≥2，同理d2018≥2，又∵d3，d4…，d2017∈N*，故项数n0＝d1+d2+…+d2019≥2027，下面证明项数n0的最小值是2027：取d1＝4，d2＝2，d3＝d4＝…＝d2017＝1，d2018＝2，d2019＝4，可以得到数列{a n}：1，1，1，1，2，2，3，4…，2016，2017，2018，2019，2019，2019，2019，接下来证明上述数列是Ω数列：若任取的两项分别是1，1，则其余的项中还存在2个1，满足1+1＝1+1，同理，若任取的两项分别是2019，2019也满足要求，若任取的两项分别是1，2，则其余的项中还存在3个1，1个2，满足要求，同理，若任取的两项分别是2018，2019也满足要求，若任取a p＝1，a q≥3，则在其中的项中取a5＝2，a t＝a q﹣1，满足要求，同理，若a p≤2017，a q＝2019也满足要求，若任取的两项a p，a q满足1＜a p≤a q＜2019，则在其余的项中选取a s＝a p﹣1，a t＝a q+1，每个数最多被选取了1次，于是也满足要求，从而，项数n 0的最小值是2027．。

上海市徐汇区 2019 届高三一模数学试卷一 . 填空题（本大题共 12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 若复数 z 知足 i z 1 2i ，此中 i 是虚数单位，则 z 的实部为2. 已知全集 UR ，会合 A{ y | yx 2 , x R , x0} ，则 e U A3. 若实数 x 、 y 知足 xy1，则 2x 2 y 2 的最小值为2 n4.若数列 { a n } 的通项公式为 a11 （nN *），则lim a nnnn1 nx 2 y 25. 已知双曲线1（ a 0 ，b 0）的一条渐近线方程是 y2x ，它的一个焦点与 a2b2抛物线 y 220x 的焦点同样，则此双曲线的方程是xOy 中，直线 l 经过坐标原点，r 是 l 的一个法向量，已知数列 6. 在平面直角坐标系n (3,1){ a } 知足：对随意的正整数 n ，点 (a , a )均在 l 上，若 a 2 6 ，则ann 1 n3 的值为7. 已知 (2 x 21)n（ n N * ）的睁开式中各项的二项式系数之和为128，则其睁开式中含1xx项的系数是（结果用数值表示）8. 上海市一般高中学业水同等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数以下表所示： 等级AA BB BCCC DDE分数70 67 6461 585552 49 464340上海某高中2018 届高三（1）班选考物理学业水同等级考的学生中，有5 人获得A 成绩，其余人的成绩起码是B 级及以上，均匀分是 64 分，这个班级选考物理学业水同等级考的人数起码为 人9. 已知函数 f ( x) 是以 2 为周期的偶函数，当 0 x1时， f ( x) lg( x 1) ，令函数g( x)f ( x) （ x [1,2] ），则g ( x) 的反函数为10. 已知函数 ysin x 的定义域是 [ a,b] ，值域是 [1,1] ，则 b a 的最大值是211. 已知 R ，函数f ( x)x4x，若函数 f ( x) 恰有 2 个零点，则的取x24x 3 x值范围是12. 已知圆 M : x 2 ( y 1)2 1，圆 N : x 2( y 1) 21，直线 l 1 、 l 2 分别过圆心 M 、 N ，且 l 1 与圆 M 订交于 A 、 B 两点， l 2 与圆 Nx 2 y 2 订交于 C 、 D 两点，点 P 是椭圆1 上uuur uuur uuur uuur94随意一点，则 PA PB PC PD 的最小值为二 . 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 设R ，则“”是“ sin 1”的（）62A. 充足非必需条件B. 必需非充足条件C. 充要条件D. 既非充足也非必需条件14.魏晋期间数学家刘徽在他的着作《九章算术注》中，称一个正方体内两个相互垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽经过计算得悉正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为: 4 ，若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（）A. 16B.16 316128 C. D.3315. 对于函数y f ( x) ，假如其图像上的随意一点都在平面地区{( x, y) | ( y x)( y x) 0}内，则称函数 f ( x) 为“蝶型函数”，已知函数：①y sin x ；②yx2 1 ；以下结论正确的是（）A.①、②均不是“蝶型函数”B.①、②均是“蝶型函数”C.①是“蝶型函数”，②不是“蝶型函数”D.①不是“蝶型函数”，②是“蝶型函数”16. 已知数列{ a n}是公差不为0 的等差数列，前n 项和为 S n，若对随意的n N*，都有S n S3，则a6的值不行能为（）a5A. 2534 B. C. D.323三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图，已知正方体ABCD ABCD的棱长为 1.（1）正方体ABCD ABCD中哪些棱所在的直线与直线 A B 是异面直线（2）若M、N 分别是 A B 、BC的中点，求异面直线MN与 BC所成角的大小.18. 已知函数 f (x)ax 2 ，此中a R . x 2（1）解对于x 的不等式 f ( x) 1 ；（2）求a 的取值范围，使 f ( x ) 在区间(0,) 上是单一减函数.19. 我国的“洋垃圾严禁入境“政策已实行一年多，某沿海地域的海岸线为一段圆弧AB ，对应的圆心角AOB，该地域为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20 海里内的海疆3ABCD 对不明船只进行辨别查证（如图，此中海疆与陆地近似看作在同一平面内），在圆弧的两头点 A 、 B 分别建有检查站， A 与 B 之间的直线距离为100 海里 .（1）求海疆ABCD的面积；（2）现海上P点处有一艘不明船只，在 A 点测得其距A点40海里，在 B 点测得其距 B 点2019 海里，判断这艘不明船不过否进入了海疆ABCD 请说明原因.20. 已知椭圆 :x 2y 222 1（ a b 0）的长轴长为 2 2 ，右极点到左焦点的距离为ab2 1，直线 l : y kx m 与椭圆交于 A 、 B 两点.（1）求椭圆的方程；（2）若 A 为椭圆的上极点， M 为 AB 中点， O 为坐标原点， 连结 OM 并延伸交椭圆 于 N ，uuur 6 uuuurON2 OM ，求 k 的值；uuur uuur（ ）若原点到直线的距离为，3O l ，OA OB1当45时，求△ OAB 的面积 S 的范围 .5 621. 已知项数为 n 0 （ n 0 4 ）项的有穷数列 { a n } ，若同时知足以下三个条件：① a 1 1，a n 0m （ m 为正整数） ；② a iai 10 或 1，此中 i 2,3, ,n 0 ；③任取数列 { a n }中的两项 a p 、 a q （ pq ），剩下的 n 02项中必定存在两项 a s 、 a t （ s t ），知足a p a q a s a t ，则称数列 {a n } 为数列 .（1）若数列 { a n } 是首项为 1，公差为 1，项数为 6 项的等差数列，判断数列{ a n } 是不是数列，并说明原因；（2）当 m3 时，设数列 { a n } 中 1 出现 d 1 次， 2 出现 d 2 次， 3 出现 d 3 次，此中d 1 ,d 2 , d 3 N * ，求证： d 14 ， d 22 ， d34 ；（3）当 m2019 时，求数列 { a n } 中项数 n 0 的最小值 .参照答案一. 填空题1. 22. (,0]3.224.1x2y26.5.152027. 848. 159.g 1 ( x)310x， x[0,lg 2]10. 411.(1,3] U (4,)12.8 3二. 选择题13. A14. C15. B16. D三. 解答题17.（1）AD，BC，CD，DD，DC，CC；（2）.418.（ 1）a1， x 2 ； a1， 2 x0 ； a 1 ， x0 或 x 2 ；（2） a 1.2200，面积为 2 3；（ 2）OP2039120 ，没有进入海疆.19.（ 1）320.（） x2y21；（） k1；（）1k21，S [10,2 2]. 1234365 2221.（ 1）不是；（ 2）略；（ 3） 2027.。

2019学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 数学学科参考答案及评分标准2019.12一． 填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分 １．(](),12,-∞+∞2．3 3．55 4．712525i + 5．(,2][2,)-∞-+∞ 6．14-7．(]0,1 8．()3,-+∞9．840 10 11．311,44⎛⎫- ⎪⎝⎭12．)12,⎡+∞⎣ 二．选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题５分）13．B 14．C 15．D 16．D 三． 解答题：（本大题共5题，满分74分） 17．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分） 【解】（1）因为1||=OA ，3SA =，所以在SOA Rt ∆中，h SO ==22=，-------------------------2分所以圆锥的体积ππ322312==h r V ． ----------------------------------------4分 侧面展开图扇形的面积12332S ππ=⋅⋅=．-------------------------------------6分（2）解法一：以OP 、OA 、OS 所在射线为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系，则有()(()(1,0,0,,0,1,0,P S A M ，-----------------------------9分于是()(1,0,22,0,PS AM =-=-，------------------------------------------11分设向量PS 与AM 的夹角为θ，则cos9θ==，--------------------13分所以，异面直线AM 与PS 所成角大小为．------------------------------14分 解法二：取线段OP 中点N ，连MN ，则MN SP 且113222MN SP SA ===,AMN ∠（或其补角）为异面直线AM 与PS 的夹角，------------------------------8分1,OA OM AM AN ==∴===-------------------------10分22232cos322AMN⎛⎫+-⎪⎝⎭⎝⎭∠==,----------------------------------------------13分所以，异面直线AM与PS所成角大小为arccos9．------------------------------------14分18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】（1）由已知，)()(xfxf=-，………………………………………………（2分）即||||axax+=-，…………………………………………………………………（4分）解得0=a．…………………………………………………………………………（6分）（2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=axaxxaxaxxxf,,)(22，…………………………………………………（8分）当ax≥时，)(xf的最小值为2)(aaf=，当ax<时，)(xf的最小值为4121-=⎪⎭⎫⎝⎛af，…………………………（12分）由于0214122>⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛--aaa，所以函数)(xf的最小值为41-a．……（14分）19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】（1）设xBD=，则由余弦定理022230cos1685xx-+=，…（2分）即039382=+-xx，解得334±=x，…………（4分）8334>+舍去．所以334-=x，这条公路的长约为3.9km．……（6分）（2）在∆ABD中，由正弦定理得ADBABABDAD∠=∠sinsin，…………（9分）所以54sinsin=∠=∠CBDABD，在∆CBD中，)sin(sin BDCCBDDCB∠+∠=∠0.79≈，…………（12分）由正弦定理得44.05sinBDCDDCB=⨯≈∠景点C与景点D之间的距离约为4.0km．（14分）（注：答案为3.9扣1分）20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)【解】（1）设(,),P x y则221,54x y+=A（0,2）,PA===[)2,2y∈-2y∴=-仅在时，max4PA=∴椭圆Γ是“圆椭圆”．-----------4分30a（2）设(,),P x y 则222 1.4x y a +=PA ===------7分[)2,2,y ∈-关于y 的二次函数2224444a y y a --++的对称轴为284y a -=-， 椭圆Γ为“圆椭圆”，故282,4a -≤--即(.a ∈------------------------------10分 （3）a =，椭圆22:1,84x y Γ+=设直线PQ 方程为,y k x =联立椭圆方程得22(21)8,k x +=解得x =不妨设PQ --------------------------------12分则直线PA方程为(2y k x =+，令0,y =得x =则M，同理N于是圆方程为2(0x x y +=，即22880x y kx +--=令220880x x y kx =⎧⎨+--=⎩即0x y =⎧⎪⎨=±⎪⎩圆过定点(0,±16分 21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 【解】（1）1213214321,,,,,,,,,.1121231234-------------------------------4分 （2）显然i im n +，**(,,)i i i N m n N ∈∈的大小是以自然数顺序（从2开始）排列. 于是按题设规则排列，数列{}n a 各项中分子与分母和为2的为第一组，只有一个数；分子与分母和为3的设为第二组，有两个数；分子与分母和为4的设为第三组，有三个数；分子与分母和为1n +的设第n 组，有n 个数.数列{}n a 中小于1的项*(,,)mm n m n N n<∈在数列{}n a 中第(1)m n +-组中的倒数第m 个数，按题设规则排列得数列{}n b 各项依次为：11212312,,,,,,,,233444553412345,,,,,,,5566666将此数列分母相同的各项分为一组，第n 组中各项为123,,1111nn n n n ++++其和123123111112n n n nT n n n n n +++=++++==+++++ 数列{}n T 为等差数列，通项为,2n nT ={}n b 前10项和1012341234S S T T T T +++==+++=12345,2222+++=-------7分设2019b 在第n 组，则有(1)(1)201922n n n n -+<≤可取64,n =646320162⨯=2019b ∴为第64组的第3个数，故201912363123656565S T T T T =+++++++= 123631232222656565+++++++=11665526(163)63226565⨯+⨯+=综上，102019655265,65S S ==------------------------------------------10分（3）{}1,2,3,2018,2019A = 设{}12312,,,,,k k B d d d d d d d =<<*,k N B A ∈⊆121,,k k k k d d d d d d B ----则都不在中，设{}121,,k k k k M d d d d d d -=---则,M A MB φ⊆=所以(1)2019k k +-≤得1010.k ≤-------------------15分k 能否取到1010，我们构造{}1,3,5,72019B =，，则集合A 的子集B 符合题设，所以集合B 中元素个数最大值为1010.-------------------------------------------18分。