高考数学100天冲刺基础题天天练57

高考数学百天仿真冲刺卷卷五第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R)，z －是z 的共轭复数，且z －＝(2＋i)(3－i)，则a 、b 的值分别为( )A ．7,1B ．6，－1C ．7，－1D ．6,1[答案] C[解析] (2＋i)(3－i)＝7＋i ，z －＝a －b i ， ∵a －b i ＝7＋i ，a 、b ∈R ， ∴a ＝7，b ＝－1.2.若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b>2abD.b a ＋ab≥2[答案] D[解析] ∵a ，b ∈R ，且ab >0，∴b a>0， ∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，故选D. [点评] 当a ＝b 时，A 不成立；当a <0，b <0时，B 、C 都不成立． 3.已知sin(x ＋π6)＝33，则sin(5π6－x )＋sin 2(π3－x )＝( )A.1＋33 B.2＋33C.2－33 D.6＋13[答案] B[解析] sin(5π6－x )＋sin 2(π3－x )＝sin[π－(5π6－x )]＋cos 2[π2－(π3－x )]＝sin(π6＋x )＋cos 2(π6＋x )＝sin(π6＋x )＋1－sin 2(π6＋x )＝33＋1－(33)2＝2＋33. 4.已知f (x )是定义在实数集R 上的增函数，且f (1)＝0，函数g (x )在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，且g (4)＝g (0)＝0，则集合{x |f (x )g (x )≥0}＝( ) A ．{x ≤0或1≤x ≤4} B ．{x |0≤x ≤4} C ．{x |x ≤4}D ．{x |0≤x ≤1或x ≥4}[答案] A[解析] 由条件知，当x ≥1时，f (x )≥0，当x ≤1时，f (x )≤0；当0≤x ≤4时，g (x )≥0，当x ≤0或x ≥4时，g (x )≤0，∵f (x )g (x )≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧fx ≥0g x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧fx ≤0g x ≤0，∴1≤x ≤4或x ≤0. 5.若a ＝⎰0π(sin t ＋cos t )dt ，则(x ＋1ax)6的展开式中常数项是( ) A ．－18 B.18 C ．－52 D.52[答案] D [解析] a ＝⎰0π(sin t ＋cos t )d t ＝(－cos t ＋sin t )|π0＝2， ∴(x ＋1ax )6＝(x ＋12x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r·(12x )r ＝(12)r ·C r 6·x 6－2r ，令6－2r ＝0得r ＝3，∴常数项为T 4＝(12)3·C 36＝52.6.有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是( ) A ．12 B ．24 C ．36D ．48[答案] B[解析] 2盆黄菊花必须相邻，把它看作一个元素与红菊花先排好，有A 22·A 22种排法，在其形成的3个空位(不包括两盆黄菊花之间的空位)中插入2盆白菊花有A 23种插法，∴共有A 22A 22·A 23＝24种．7.定义在R 上的偶函数f (x )，∀x ∈R ，恒有f (x ＋32)＝－f (x )，f (－1)＝1，f (0)＝－2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2012)＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] D[解析] ∵f (x ＋32)＝－f (x )，∴f (x ＋3)＝f [(x ＋32)＋32]＝－f (x ＋32)＝f (x )，∴f (x )的周期为3，又f (x )为偶函数，f (－1)＝1，f (0)＝－2，∴f (1)＝1， ∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝1，f (3)＝f (0)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2012)＝670×[f (1)＋f (2)＋f (3)]＋f (1)＋f (2)＝670×0＋2＝2.8.若实a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补，记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件[答案] C[解析] 若a 与b 互补，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0a ≥0，若⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ≥0，则φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a－b ＝b 2－b ＝b －b ＝0，若φ(a ，b )＝0，则a 2＋b 2＝a ＋b ，∴a ＋b ≥0，两边平方得ab ＝0， ∴a ≥0，b ≥0且ab ＝0，故选C.9.设f (x )＝cos(ωx ＋φ)，其中ω>0，φ>0，则函数f (x )是奇函数的一个充分不必要条件是( )A ．f (0)＝－1B ．f (0)＝0C ．φ＝πD ．φ＝3π2[答案] D[解析] 由f (0)＝－1得，cos φ＝－1， ∴φ＝2k π＋π，k ∈N ，此时f (x )＝－cos ωx 不是奇函数，由f (0)＝0得cos φ＝0，∴φ＝π2＋k π，k ∈N ，∴f (x )＝±sin ωx 是奇函数，若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，∴cos(－ωx ＋φ)＝－cos(ωx ＋φ)恒成立，∴cos φ＝0，∴φ＝π2＋k π，k ∈N ，∴f (x )＝±sin ωx ，∴f (0)＝0，故f (0)＝0是f (x )为奇函数的充要条件；φ＝π时，f (x )＝－cos ωx 不是奇函数，φ＝3π2时，f (x )＝sin ωx 是奇函数，又φ＝π2时，f (x )也是奇函数，∴φ＝3π2是f (x )为奇函数的充分不必要条件，故选D.10.已知点A (－1,1)，若曲线G 上存在两点B ，C ，使△ABC 为正三角形，则称G 为Γ型曲线． 给定下列三条曲线：①y ＝－x ＋3(0≤x ≤3)；②y ＝2－x 2(－2≤x ≤0)；③y ＝－1x(x >0)，其中Γ型曲线的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] y ＝－1x的图象关于直线y ＝－x 对称，且点A (－1,1)在直线y ＝－x 上，过点A与直线y ＝－x 夹角为30°的两直线必都与曲线y ＝－1x (x >0)相交，故y ＝－1x(x >0)是Γ型曲线；y ＝2－x 2(－2≤x ≤0)化为x 2＋y 2＝2(－2≤x ≤0,0≤y ≤2)，此曲线也关于直线y ＝－x 对称，同上可知y ＝2－x 2(－2≤x ≤0)是Γ型曲线；对于y ＝－x ＋3(0≤x ≤3)，∵过点A 作直线l 与线段y ＝－x ＋3(0≤x ≤3)相交，过A 与l 夹角为30°的两条直线中有一条与此线段不相交，故它不是Γ型曲线，故选C.11.已知函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，且当)0,(-∞∈x 时，0)()(<'+x f x x f 成立，若a=（20.2）·0.2(2),(12)f b n =),2(ln f ⋅ )41(log )41(log 2121f c ⋅=,则a,b,c 的大小关系是（ ）A a b c >>B a c b >>C c a b >>D b a c >> [答案] D 12.函数x x y ln sin +=的零点个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）3[答案] C第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}21,5,100A B x x mx =-=+-=，若{}5AB =，则A B =（ ）A ．{}1,3,5-B ．{}1,2,5--C ．{}1,2,5-D ．{}1,3,5--【答案】B【解析】由题意，5是方程2100x mx +-=的解，可得3m =-，求出集合B ，即得A B .【详解】{}5A B =，5∴是方程2100x mx +-=的解，255100m ∴+-=，3m ∴=-.解方程23100x x --=，得5x =或2x =-，{}5,2B ∴=-. 故{}1,2,5A B ⋃=--. 故选：B . 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．若m 为实数，且复数()()325z m i i =-+为纯虚数，则m =（ ） A ．65-B ．65C ．152-D ．152【答案】C【解析】根据复数的分类，实部为0，虚部不为0的复数是纯虚数，可得m 的值. 【详解】依题意()()()()3252561521556z m i i m mi i m m i =-+=+-+=++-为纯虚数，故2150560m m +=⎧⎨-≠⎩，则152m =-.故选：C. 【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.3．已知某地区在职特级教师、高级教师、中级教师分别有100人，900人，2000人，为了调查该地区不同职称的教师的工资情况，研究人员在该地区按照分层抽样的方法随机抽取了60人进行调查，则被抽取的高级教师有（ ） A ．2人 B ．18人C ．40人D ．36人【答案】B【解析】求出该地区在职特级教师、高级教师、中级教师的比例，从而得到高级教师的比例，即可得答案； 【详解】依题意，该地区在职特级教师、高级教师、中级教师的比例为1:9:20， 则随机抽取60人，高级教师有9601830⨯=人. 故选：B. 【点睛】本题考查分层抽样的特点，考查数据处理能力，属于基础题.4．已知圆C 过点()()()4,6,2,2,5,5--，点,M N 在圆C 上，则CMN ∆面积的最大值为（ ） A ．100 B ．25C ．50D ．252【答案】D【解析】设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将()()()4,6,2,2,5,5--代入，求出圆C 的方程，即可求出CMN ∆面积的最大值. 【详解】设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将()()()4,6,2,2,5,5--代入可得，52460822050550D E F D E F D E F +++=⎧⎪--+=⎨⎪+++=⎩，解得2,4,20D E F =-=-=-. 故圆C 的一般方程为2224200x y x y +---=，即()()221225x y -+-=，故CMN ∆的面积11125sin 55sin 5512222S CM CN MCN MCN =∠=⨯⨯∠≤⨯⨯⨯=. CMN ∴∆面积的最大值为252.故选：D . 【点睛】本题主要考查圆的一般方程，属于基础题.5．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为256，则输出x 的值为（ ）A ．8B ．3C ．2log 3D ．()22log log 3【答案】C【解析】根据程序框图一步一步往下执行，即可得答案； 【详解】运行该程序，第一次，8y =，2n =，8x =； 第二次，3y =，3n =，3x =；第三次，2log 3y =，4n =，2log 3x =；第四次，()22log log 3y =，5n =，()22log log 3x =； 第五次，()22log log 322log 3y ==，6n =，2log 3x =；第六次，()22log log 3y =，7n =，()22log log 3x =； 第七次()22log log 322log 3y ==，8n =，2log 3x =，此时输出x 的值为2log 3. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，考查运算求解能力，属于基础题.6．《九章算术（卷第五）·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为（ ）（注：1丈10=尺.）A ．45000立方尺B ．52000立方尺C ．63000立方尺D ．72000立方尺【答案】B【解析】对几何体进行分割得到()112A A MNE AMN DPQ D PQFD BCGH ADFE V V V V V ----=+++，再利用体积公式计算，即可得到答案. 【详解】进行分割如图所示，面AEFD ⊥面1111A B C D ，AN EF ⊥，DQ EF ⊥，11AM A D ⊥，11DP A D ⊥，连结,PQ MN ，面//AEFD 面BCGH ，故()112A A MNE AMN DPQ D PQFD BCGH ADFE V V V V V ----=+++11(820)652156652651584032252000+⨯⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭立方尺.故选：B. 【点睛】本题考查利用割补法求多面体的体积，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若954S =，45a =，则数列1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭前2019项的和为（ ） A ．20182019B ．10091010C ．40362019D ．20191010【答案】D【解析】求出数列1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的通项公式，再利用裂项相消法求和.【详解】由等差数列性质可知，95954S a ==，解得56a =；而45a =，故1d =，则1432a a d =-=，故2(1)3222n n n n nS n -+=+=， 2121121n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭， 设1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n T ，则111111112212233411121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭-+， 故2019220192019201911010T ⨯==+. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列基本量运算、裂项相消法求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 8．()5211232x x x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ） A ．296 B ．296-C ．1864-D ．1376-【答案】C【解析】写出二项式()532x -展开式的通项，即可求出2x 的系数. 【详解】二项式()532x -展开式的通项为()()51532rrrr T C x -+=-，所以2x 的系数为()()()3523252355532221327206410801864C C C ⨯⨯-+⨯--⨯⨯⨯-=---=-.故选：C . 【点睛】本题考查二项式定理的通项公式，属于基础题.9．如图，网格小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．1208286++B ．12085+C ．1208246++D ．120162+【答案】C【解析】根据三视图，画出几何体的直观图，即可求表面积. 【详解】在长方体中，沿平面ABD 和平面BCD 进行切割，得到该几何体的直观图为多面体ABD BCD EFGH --，如图所示则()14416,484242EFGH ADEH S S =⨯==⨯+⨯=, ()()1146420,6842822DEFC BCFG S S =⨯+⨯==⨯+⨯=,18432,442822ABGH ABD S S ∆=⨯==⨯⨯=12243462BCD S ∆=⨯=故所求表面积16242028328246S =+++++1208246=+. 故选：C . 【点睛】本题考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于中档题.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为M ，以M 为圆心作圆，圆M 与直线0bx ay -=交于,A B 两点，若60,23AMB OB AB ∠=︒=，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．32D 【答案】B【解析】由60,AMB AM BM ∠=︒=，得AMB ∆为正三角形. 设圆M 的半径为r ，由23OB AB =，得2r OA =.由勾股定理得222+2r r a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，解得r =再根据点(),0M a 到直线0bx ay -=2r =，整理可求双曲线C 的离心率. 【详解】因为60,AMB AM BM ∠=︒=，故AMB ∆为正三角形.设圆M 的半径为r ，则圆心M 到直线AB 的距离2d=. 由23OB AB =，得3OB OA =，故2r OA =.因为OM a =，由勾股定理得222+r a ⎫=⎪⎪⎝⎭，解得r =又点(),0M a 到直线0bx ay -===化简可得2243b a =，故2c e a ===.故选：B . 【点睛】本题考查双曲线的离心率，属于中档题. 11．定义在R 上函数()f x 的导函数为'()f x ，且'()2()2f x f x -<，若()01f =-，则不等式()22xef x -<的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),1-∞-D ．()1,-+∞【答案】A 【解析】令2()2(),xf xg x x R e+=∈，可求函数()g x 在R 上单调递减. 由2()2x e f x -<，可得()1g x >，从而可求不等式()22xe f x -<的解集.【详解】令2()2(),x f x g x x R e +=∈，则''2()2()4()xf x f xg x e--=， 由'()2()2f x f x -<，得'()42()0f x f x --<，'()0g x ∴<，∴函数()g x 在R 上单调递减.由2()2xef x -<，可得2()2x f x e +>，2()21xf x e +∴>， 即()()(0)(01,1,)g x g g x g =∴>>，又函数()g x 在R 上单调递减，0x ∴<. 故不等式2()2xe f x -<的解集为(),0-∞.故选：A . 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，属于中档题. 12．已知数列{}n a n -的前n 项和为n S ，且211(1)ni i i i aa n +=⎡⎤+-=⎣⎦∑，20181S =，则1a =（ ） A ．32B ．12C ．52D ．2【答案】A【解析】依题意，221(1)(1)21n n n a a n n n ++-=--=-，对n 分奇数和偶数进行讨论，利用数列的前n 项和公式可得关于1a 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】依题意，221(1)(1)21n n n a a n n n ++-=--=-，故当n 为奇数时，12121,21,n n n n a a n a a n +++-=-⎧⎨+=+⎩22n n a a ++=， 当n 为偶数时，12121,21,n n n n a a n a a n ++++=-⎧⎨-=+⎩24n n a a n ++=， 2018122018(122018)1S a a a =+++-+++=，即1220182018(12018)11009201912a a a ⨯+++⋅⋅⋅+=+=⨯+，又122018a a a ++⋅⋅⋅+()()13520172462018a a a a a a a a =+++++++++(12504(1620164)2504)2a a ⨯+⨯⎛⎫=+⨯++ ⎪⎝⎭([]112504)1252(1620164)a a =+⨯+++⨯+⨯11210082021a =++⨯，所以，11009201911210082021a ⨯+=++⨯，110092019100820212a ⨯-⨯=10082019201910082021322⨯+-⨯==.故选：A. 【点睛】本题考查数列递推关系的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解的关键是对关系211(1)ni i i i aa n +=⎡⎤+-=⎣⎦∑的灵活运用.二、填空题13．已知向量()()2,3,24,7m m n =-+=-，则,m n 夹角的余弦值为_________.【答案】65【解析】求出,,n m n ，根据cos ,m n m n m n=即得.【详解】()()2,3,24,7,13m m n m =-+=-=，()()21,2,52m n m n n +-∴==-=，2132865cos ,135m n m n m n⨯+-⨯-∴===⨯. 故答案为：865. 【点睛】本题考查两向量的夹角公式，属于基础题.14．已知实数,x y 满足1121x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≤+⎩，则3z x y =+的最小值为_________.【答案】1【解析】画出可行域，根据目标函数的几何意义即求z 的最小值. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示由3z x y =+，可得3y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距.平移直线3y x z =-+，当直线过可行域内的点()0,1A 时，3z x y =+最小，最小值为1. 故答案为：1. 【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.15．当120x x m <<<时，不等式2112x x x x <恒成立，则实数m 的最大值为_________. 【答案】e【解析】设ln ()x f x x =，由2112ln ln x x x x <，得1212ln ln x x x x <，得函数ln ()x f x x=在()0,m 上为增函数，即求m 的最大值.【详解】设ln ()x f xx=，由2112ln lnx x x x<，得1212ln lnx xx x<，即当120x x m<<<时，都有()()12f x f x<，∴函数ln()xf xx=在()0,m上为增函数，'21ln()0xf xx-∴=≥，0x e∴<≤.故m的最大值为e.故答案为：e.【点睛】本题主要考查利用导数解决不等式恒成立问题，属于中档题.16．已知函数()sin()f x A xωϕ=+（0A>，0>ω）的部分图象如图所示，其中,33Mπ⎛⎫⎪⎝⎭是图象的一个最高点，4,03Nπ⎛⎫⎪⎝⎭是图象与x轴的交点，将函数()f x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的112后，再向右平移4π个单位长度，得到函数()g x的图象，则函数()g x的单调递增区间为________.【答案】5,93183k kππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k∈Z）【解析】根据图像得到()f x的解析式，再根据伸缩变换和平移变换得到()g x的解析式，进而求出单调区间.【详解】依题意，3A=，4433Tπππ=-=，即4Tπ=，故12ω=，1()3sin2f x xϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭；将,33π⎛⎫⎪⎝⎭代入()f x 中，可知12232k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，故23k πϕπ=+，k ∈Z ；不妨设0k =，故函数1()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；将函数()f x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的112后， 得到3sin 63y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再向右平移4π个单位长度， 得到()3sin 643g x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦33sin 63cos 6233x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 令26223k x k πππππ+≤+≤+（k ∈Z ），解得593183k k x ππππ+≤≤+（k ∈Z ），故函数()g x 的单调递增区间为5,93183k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 故答案为：5,93183k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 【点睛】本题考查三角函数的图像与性质、伸缩变换与平移变换、单调区间，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题17．在ABC ∆中，4BAC π∠=，2AB =，2BC =，M 是线段AC 上的一点，且tan AMB ∠=-（1）求AM 的长度； （2）求BCM ∆的面积.【答案】（1）12AM =（2 【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系可得sin AMB ∠，cos AMB ∠的值，再利用正弦定理求得AM 的长度；（2）根据AMB CMB π∠+∠=可得sin CMB ∠，再利用正弦定理求得BM ，进一步利用余弦定理求得CM ，最后代入三角形的面积公式，即可得答案； 【详解】（1）因为sin tan cos AMBAMB AMB∠∠==-∠且22sin cos 1AMB AMB ∠+∠=，联立两式，解得sin 3AMB ∠=，1cos 3AMB ∠=-，故sin sin()ABM AMB A ∠=∠+1432326-=-⨯=， 由正弦定理sin sin AM ABABM AMB =∠∠，所以sin 1sin 2AB ABM AM AMB ⋅∠==∠. （2）因为AMB CMB π∠+∠=，故1cos cos()cos 3CMB AMB AMB π∠=-∠=-∠=，所以sin 3CMB ∠=， 在ABM ∆中，由正弦定理sin sin BM ABA AMB=∠， 故sin 3sin 2AB A BM AMB ⋅==∠，在BCM ∆中，由余弦定理2222cos BC BM CM BM CM CMB =+-⋅⋅∠， 得21793124423CM CM =+-⨯⨯⨯， 解得2CM =或1CM =-（舍去）.所以BCM ∆的面积113sin 22223S BM CM CMB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=【点睛】本题考查三角形的内角和、诱导公式、正余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18．如图所示，在三棱锥S BCD -中，平面SBD ⊥平面BCD ，A 是线段SD 上的点，SBD ∆为等边三角形，30BCD ∠=︒，24CD DB ==.（1）若SA AD =，求证：SD CA ⊥； （2）若直线BA 与平面SCD 所成角的正弦值为419565，求AD 的长. 【答案】（1）见解析（2）12AD =或32. 【解析】（1）利用面面垂直性质定理可得BC ⊥平面SBD ，从而推出BC SD ⊥，再证明BA SD ⊥，进一步利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，即可得到线线垂直； （2）以B 为坐标原点，BC ，BD 所在直线为x 轴，y 轴，过点B 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设(0,3),(01)DA DS λλλλ==-≤≤，平面SCD 的一个法向量(1,3,1)m =，利用向量的夹角公式，即可得答案； 【详解】（1）依题意，2BD =，在BCD ∆中，4CD =，30BCD ∠=︒， 由余弦定理可求得，23BC = ∴222CD BD BC =+，即BC BD ⊥， 又平面SBD ⊥平面BCD ，平面SBD 平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ，∴BC ⊥平面SBD BC SD ⇒⊥， 等边SBD ∆中，SA AD =， 则BA SD ⊥，且BCBA B =，∴SD ⊥平面BCA ，∴SD CA ⊥.（2）以B 为坐标原点，BC ，BD 所在直线为x 轴，y 轴，过点B 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出则(0,0,0)B ，(23,0,0)C ，(0,2,0)D ，3)S ， 故(23,2,0)CD =-，(0,1,3)SD =， 设平面SCD 的一个法向量为(,,)m x y z =，则0,0,m CD m SD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2320,30,x y y z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ 取1x =，则3y =1z =，所以(1,3,1)m =，设(0,3),(01)DA DS λλλλ==-≤≤， 故(0,23)A λλ-，则(0,23)BA λλ=-，故||sin cos ,||||m BA m BA m BA θ⋅==⋅2223334195655(2)3λλλλ==⋅-+，解得14λ=或34，则12AD =或32. 【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直性质定理的应用、已知线面角求线段长，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.19．为了感谢消费者对超市的购物支持，超市老板决定对超市积分卡上积分超过10000分的消费者开展年终大回馈活动，参加活动之后消费者的积分将被清空.回馈活动设计了两种方案：方案一：消费者先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题； 方案二：消费者全部选择单选题进行回答；其中单选题答对得2分，多选题答对得3分，无论单选题还是多选题答错得0分；每名参赛的消费者至多答题3次，答题过程中得到3分或3分以上立刻停止答题，得到超市回馈的奖品.为了调查消费者对方案的选择，研究人员在有资格参与回馈活动的500名消费者中作出调研，所得结果如下所示：（1）是否有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关；（2）小明回答单选题的正确率为0.8，多选题的正确率为0.75.（ⅰ）若小明选择方案一，记小明的得分为X，求X的分布列以及期望；（ⅱ）如果你是小明，你觉得通过哪种方案更有可能获得奖品，请通过计算说明理由.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.【答案】（1）没有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关.（2）（ⅰ）见解析，3.05（ⅱ）方案一，见解析【解析】（1）直接根据卡方公式将数据代入计算，并与6.635比较大小，即可得到结论；（2）（ⅰ）X的所有可能取值为0，2，3，4，求出概率值，进而得到分布列和期望；（ⅱ）分别计算两种方案获得奖品的概率，即可得答案；【详解】（1）依题意，完善列联表如下所示：22500(150********) 4.8312302703002006.635K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，故没有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关. （2）（ⅰ）X 的所有可能取值为0，2，3，4， 则1111(0)455100P X ==⨯⨯=， 1148(2)2455100P X ==⨯⨯⨯=，375(3)4100P X ===，14416(4)455100P X ==⨯⨯=，故X 的分布列为：所以187516305()0234 3.05100100100100100E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. （ⅱ）小明选择方案一获得奖品的概率为1751691(3)0.91100100100P P X =≥=+==， 小明选择方案二获得奖品的概率为214444112896(3)20.896555551251000P P X =≥=⨯⨯⨯+⨯===，因为21P P <，所以小明选择方案一更有可能获得奖品. 【点睛】本题考查独立性检验思想的应用、卡方公式计算、随机变量的分布列和期望，考查阅读理解能力、运算求解能力.20．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F .（Ⅰ）若124PF PF +=，求点P 到点1,02M ⎛⎫⎪⎝⎭距离的最大值；（Ⅱ）若过点()4,0且不与坐标轴垂直的直线与椭圆C 分别交于,E F 两点，点()()0,,0,A B A y B y 分别在直线22,F E F F 上，比较22,F A F B 的大小关系，并说明理由.【答案】（Ⅰ）最大值52；（Ⅱ）22F A F B =，见解析. 【解析】（Ⅰ）根据122PF PF a +=，得点P 在椭圆C 上. 设点()00,P x y ，则2200143x y +=，可得[]220002,2113,44PM x x x =-+∈-，可求PM 最大值；（Ⅱ）设直线EF 的方程为()4y k x =-，()()1122,,,E x y F x y （11x ≠且21x ≠）.把直线EF 的方程代入椭圆的方程，利用韦达定理证明220AF BF k k +=，可得22OF A OF B ∠=∠，即得线段22,F A F B 的大小关系.【详解】（Ⅰ）依题意，点P 在椭圆C 上.设点()00,P x y ，则2200143x y +=，故()22222220000000011311319322444444PM x y x x x x x x ⎛⎫=-+=-++-=-+=-+ ⎪⎝⎭，其中[]02,2x ∈-， 故当02x =-时，2max254PM=， PM ∴的最大值为52.（Ⅱ）设直线EF 的方程为()4y k x =-，()()1122,,,E x y F x y （11x ≠且21x ≠）.由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222433264120k x k x k +-+-=.依题意()()()22223244364120kk k ∆=--⨯+->，即2104k <<，则212221223243641243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩. 因为2222121211AF BF EF FF y yk k k k x x +=+=+-- ()()()()()1212121212258441111k x x x x k x k x x x x x -++⎡⎤--⎣⎦=+=---- ()()2222126412322584343011k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦==-- 所以直线2AF 的倾斜角与直线2BF 的倾斜角互补，即22OF A OF B ∠=∠. 因为2OF AB ⊥，所以22F A F B =. 【点睛】本题考查椭圆定义的应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于难题.21．已知函数2()f x x m =+（Ⅰ）若12=-m ，证明：函数()f x 在区间()2,3上有且仅有1个零点；（Ⅱ）若关于x 的不等式22()f x m ≥在[]1,2上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）⎡⎣.【解析】（Ⅰ）先判断函数()f x 在区间()2,3上的单调性，再根据零点存在定理即可证明；（Ⅱ）令()2()g x f x =，由题意只需[]2min )1,2(,g x m x ∈≥.对m 分类讨论即求.【详解】（Ⅰ）证明：函数()f x 的定义域为()0,∞+. 当12=-m 时，22()ln 6ln 2mf x x x x x =+=-， 则()('2622()23f x x x x x x x x=-=-=， 当()2,3x ∈时，'()0f x >，∴函数()f x 在()2,3上单调递增，又()()()()2346ln 296ln30f f =--<， 故函数()f x 在()2,3上有且仅有1个零点.（Ⅱ）令2()2()2ln g x f x x m x ==+，则[]2'4()4,1,2m x mg x x x x x+=+=∈；当16m ≤-时，'()0g x ≤对[]1,2x ∈恒成立，()g x ∴在[]1,2上单调递减，2min ()(2)8ln 2g x g m m ∴==+≥，又16m ≤-，不等式无解，m ∴∈∅；当4m ≥-时，'()0g x ≥对[]1,2x ∈恒成立，()g x ∴在[]1,2上单调递增，2min ()(1)2g x g m ∴==≥，又4m ≥-，m ≤≤当16m -<<-4时，令'()0g x =，得()1,22x =，当12x <<时，'()0g x <；当22x <<时，'()0g x >， ()g x ∴在⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增， ()2min ln 224m m m g x g m ⎛⎫∴==-+-≥ ⎪⎝⎭⎝⎭，11ln 242m m ⎛⎫∴-+-≤ ⎪⎝⎭； 令4m t =-()14t <<，则114ln 22t t +≤， 易知14ln 2y t t =+在()1,4t ∈上单调递增， 则14ln 2t t +4>，从而114ln 22t t +≤不可能成立，舍去. 综上所述，实数m的取值范围为⎡⎣.【点睛】本题考查零点存在定理，考查导数在函数中的应用，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为3x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为6cos ρα=.（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线12,C C 交于,M N 两点，求直线MN 的极坐标方程以及,M N 的极坐标（要求写出的极径非负，极角在[)0,2π上）.【答案】（Ⅰ）26sin 360ρρθ--=；2260x y x +-=；（Ⅱ）极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,M N 的极坐标为()7,6,04M N π⎛⎫⎪⎝⎭或()76,0,4M N π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（Ⅰ）先把曲线1C 的参数方程化为普通方程，再把普通方程化为极坐标方程.由6cos ρα=得26cos ρρα=，即得曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）由曲线12,C C 的直角坐标方程求出直线MN 的直角坐标方程，再化为极坐标方程；先求出,M N 两点的直角坐标，再化为极坐标.【详解】（Ⅰ）依题意，曲线()221:345C x y +-=，故22636x y y +-= 即曲线1C 的极坐标方程为26sin 360ρρθ--=；曲线2C :26cos ρρα=，即2260x y x +-=，则曲线2C 的直角坐标方程为2260x y x +-=.（Ⅱ）联立222263660x y y x y x ⎧+-=⎨+-=⎩， 两式相减可得6-=x y ，即cos sin 6ρθρθ-=cos 64θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即直线MN 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 联立22660x y x y x -=⎧⎨+-=⎩故29180x x -+=，解得33x y =⎧⎨=-⎩或60x y =⎧⎨=⎩ 故,M N的极坐标为()7,6,04M N π⎛⎫ ⎪⎝⎭或()76,0,4M N π⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，属于中档题.23．已知函数()324f x x x =++-（1）求不等式()8f x >的解集；（2）若关于x 的不等式2()3f x m x x +>+-的解集为R ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()(),13,-∞-+∞；（2）()3,-+∞. 【解析】（1）根据零点分段讨论求解不等式的解集；（2）分离参数等价转化为224m x x >---恒成立，求解2()24g x x x =---的值域即可得解.【详解】（1）依题意，3248x x ++->当3x <-时，原式化为3428x x --+->， 故73x <-，解得3x <-； 当32x -≤≤时，原式化为3248x x ++->故3x >，解得3x >；综上所述，不等式()8f x >的解集为()(),13,-∞-+∞（2）依题意，23243x x m x x ++-+>+- 即224m x x >--- 224m x x >---对x ∈R 恒成立 令2()24g x x x =---=()()222213,224,224,215,2x x x x x x x x x x ⎧---≤⎧-+-≤⎪=⎨⎨--+>-++>⎩⎪⎩ max ()(1)3,3g x g m ∴==->-故实数m 的取值范围是()3,-+∞【点睛】此题考查解绝对值不等式，根据不等式恒成立求参数取值范围，关键在于等价转化，通过求函数最值解决问题.。

2020届高考百日冲刺金卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合A ＝{x|4x 2－3x ≤0}，B ＝{x|y ＝21x -}，则A ∩B ＝ (A)[0，34] (B)∅ (C)[0，12] (D)[12，34] (2)设复数2573i z i +=-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限(3)已知某地区在职特级教师、高级教师、中级教师分别有100人，900人，2000人，为了调查该地区不同职称的教师的工资情况，研究人员在该地区按照分层抽样的方法随机抽取了60人进行调查，则被抽取的高级教师有(A)2人 (B)18人 (C)40人 (D)36人(4)已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个顶点为M ，点N(6，0)，若|MN|＝3b ，则双曲线C 的渐近线方程为A.2y x =±B.22y x =±C.22y x =±D.24y x =± (5)执行如图所示的程序框图，若输人x 的值为256，则输出x 的值为(A)8 (B)3 (C)log 23 (D)log 2(log 23)(6)《九章算术(卷第五)·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”。

译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少?”则该几何体的容积为(注：1丈＝10尺。

)(A)45000立方尺(B)52000立方尺 (C)63000立方尺 (D)72000立方尺 (7)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n 。

若S 9＝54，a 4＝5，则数列{1n S n-)前2019项的和为 (A)20182019 (B)10091010 (C)40362019 (D)20191010(8)如图，小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的棱长不可能．．．为5322(9)设(1＋2x ＋3x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 14x 14，则a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＋a 14＝(A)129927 (B)129962 (C)139926 (D)139962(10)设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点F 到其准线l 的距离为2，点A ，B 在抛物线C 上，且A ，B ，F 三点共线，作BE ⊥l ，垂足为E ，若直线EF 的斜率为4，则|AF|＝(A)178 (B)98 (C)1716 (D)3316(11)已知函数f(x)＝22210220x x x x x ->---≤⎧⎪⎨⎪⎩，，，若|f(x)|≥mx 恒成立，则实数m 的取值范围为 (A)[2－2，2] (B)[2－2，1] (C)[2－2，e] (D)[2－e ，e](12)已知数列{a n －n}的前n 项和为S n ，且()1211i ni i i a a n +=⎡⎤⎣=⎦+-∑，S 2018＝1，则a 1＝ (A)32 (B)12 (C)52(D)2 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科）（三）（全国Ⅰ卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|2x >2}，B ={y|y =x 2,x ∈R}，则(∁R A)∩B =( )A. [0,1)B. (0,2)C. (−∞,1]D. [0,1]2. 已知i 是虚数单位，z(1−12i)=12i ，则复数z 所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知O 为坐标原点椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，过右焦点F 的直线l ⊥x 轴，交椭圆C 于A ，B 两点，且△AOB 为直角三角形，则椭圆C 的离心率为( )A. −1+√52B. −1+√32C. 12D. −1−√524. 如图，长方形内部的阴影部分为六个全等的小正三角形顶点连接组成的图形T ，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分T 的概率是( )A. 18 B. 14 C. 12 D. 235. 在△ABC 中,AB =2√3,AC =4，D 为BC 上一点，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD =2，则BC 的长为( )A. √423B. √422C. 4D. √426. 已知f(x)=asin2x +bcos2x 的最大值为f(π12)=4，将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到的函数解析式为( )A. y =4sin(2x +π3) B. y =4sin(x +π3) C. y =4sin(12x +π3)D. y =4sin(4x +π3)7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A. 2π−33B. 2π−23C. 2π3D. 4π−138.函数f(x)=(x2−2|x|)e|x|的图象大致为()A. B.C. D.9.已知a>b>0，ab=1，设x=b2a ,y=log2(a+b),z=a+1b，则log x2x，log y2y，log z2z的大小关系为()A. log x2x>log y2y>log z2zB. log y2y>log z2z>log x2xC. log x2x>log z2z>log y2yD. log y2y>log x2x>log z2z10.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A. 31B. 39C. 47D. 6011. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1内接于一个半径为√3的球，四边形A 1ACC 1与B 1BCC 1均为正方形，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，C 1M =12A 1B 1，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为( )A. 310B. √3010C. 710D. √701012. 已知函数f(x)={e 2x −1,x >0−x 2−2x −2,x ≤0，若|f(x)|≥mx 恒成立，则实数m 的取值范围为( )A. [2−2√2,2]B. [2−2√2,1]C. [2−2√2,e]D. [2−2√e,e]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(m,−1)，且b ⃗ ⊥(2a ⃗ −b ⃗ )，则a ⃗ ⋅b ⃗ =______．14. 若sin(α+π6)+cosα=−√33，则cos(2π3+2α)=______．15. 已知圆M ：x 2+y 2−2ay =0(a >0)与直线x +y =0相交所得圆的弦长是2√2，若过点A(3,0)作圆M 的切线，则切线长为______．16. 某饮料厂生产A 、B 两种饮料．生产1桶A 饮料，需该特产原料100公斤，需时间3小时；生产1桶B 饮料需该特产原料100公斤，需时间1小时，每天A 饮料的产量不超过B 饮料产量的2倍，每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多750公斤，每天生产A 饮料的时间不低于生产B 饮料的时间，每桶A 饮料的利润是每桶B 饮料利润的1.5倍，若该饮料厂每天生产A 饮料m 桶，B 饮料n 桶时(m,n ∈N ∗)利润最大，则m +n =______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知正项等比数列{a n }满足a 1=2，a 3a 7=322，数列{b n }的前n 项和S n =n 2−n ．(Ⅰ)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (Ⅱ)设c n ={a n ,n 为奇数b n ,n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n ．18.2019年中央电视台在周日晚上推出的一档新的综艺节目，为了解节目效果，一次节目结束后，现随机抽取了500名观众(含200名女性)的评分(百分制)进行分析，分别得到如图所示的两个频率分布直方图．(Ⅰ)计算女性观众评分的中位数与男性观众评分的平均分；(Ⅱ)若把评分低于70分定为“不满意”，评分不低于70分定为“满意”．(i)试比较男观众与女观众不满意的概率，并说明理由；(ii)完成下列2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关．女性观众男性观众合计“满意”“不满意”合计参考数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)0.050.0100.001k 3.841 6.63510.82819.如图，在三棱锥A−BCD中，△ABD是等边三角形，平面ABD⊥平面BCD，BC⊥CD，BC=CD=√2，E为三棱锥A−BCD 外一点，且△CDE 为等边三角形． (Ⅰ)证明：AC ⊥BD ；(Ⅱ)若AE ⊥平面CDE ，求点E 到平面BCD 的距离．20. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，圆O ：x 2+y 2=3与抛物线C 相交于M ，N 两点，且|MN|=2√2．(Ⅰ)若A ，B ，E 为抛物线C 上三点，若F 为△ABC 的重心，求|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FE ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值；(Ⅱ)抛物线C 上存在关于直线l ：x −y −2=0对称的相异两点P 和Q ，求圆O 上一点G 到线段PQ 的中点H 的最大距离．21. 已知函数f(x)=x −lnx ．(Ⅰ)当1<x <2时，比较lnx x，(lnx x )2，lnx 2x2的大小； (Ⅱ)当0<m ≤12时，若方程f(x)=mx 2−2mx +m +1在(0,+∞)上有且只有一个解，求m 的值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1−√22ty =1+√22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A ，B ，C 的极坐标分别为(4,π6)，(4,5π6)，(4,3π2)，且△ABC 的顶点都在圆C 2上，将圆C 2向右平移3个单位长度后，得到曲线C 3．(Ⅰ)求曲线C 3的直角坐标方程(Ⅱ)设M(1,1)，曲线C 1与C 3相交于P ，Q 两点，求|MP|⋅|MQ|的值．23. 已知函数f(x)=|3x −1|+|x −2|．(1)求不等式f(x)≥3的解集；(Ⅱ)若m >1，n >1，对∀x ∈R ，不等式3log 2m ⋅log 2n ≥5f(x)恒成立，求mn 的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A ={x|2x >2}={x|x >1}， ∴C R A ={x|x ≤1} 又∵B ={y|y ≥0} ∴(C R A)∩B =[0,1]． 故选：D ．集合A 结合指数函数图象，解指数不等式；集合B 为一元二次函数求最值，得到集合A ，B ，再利用集合运算得到答案．本题在集合背景下考查了指数函数和二次函数的性质，同时考查了集合运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：z =12i 1−12i =i 2−i=i(2+i)5=−1+2i 5．∴复数z 所对应的点(−15,25)位于第二象限． 故选：B ．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：设右焦点的坐标为(c,0)，把x =c 代入x 2a2+y 2b 2=1得，y =±b 2a，∴|AB|=2b 2a，又△AOB 为直角三角形，∴c =b 2a即b 2=ac ，∴a 2−c 2=ac ，∴e 2+e −1=0，解得e =−1+√52或−1−√52(舍)．故选：A ． 由题易求得|AB|=2b 2a，因为△AOB 为直角三角形，可知c =b 2a，再结合b 2=a 2−c 2和e=ca∈(0,1)即可得解．本题考查椭圆的离心率、焦点等几何性质，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：设小三角形的边长为1，每个小三角形的面积为√34，六个小三角形的面积之和为6×√34=3√32，又长方形的宽为3，长为4×√32=2√3，所以长方形的面积为6√3，故此点取自阴影部分T的概率是3√326√3=14．故选：B．分别求出各自的面积，转化为面积比即可．本题考查几何概型与几何概率的计算，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问题和解决问题的能力．5.【答案】D【解析】【分析】首先利用平面向量的线性运算的应用和余弦定理的应用求出BC的值．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．【解答】解：在△ABC中,AB=2√3,AC=4，D为BC上一点，如图所示：设BD =x ，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以DC =2x ，AD =2， 在△ABD 中，利用余弦定理：(2√3)2=22+x 2−2×2x ⋅cos∠BDA①， 在△ADC 中，利用余弦定理：42=22+(2x)2−2×2×2x ⋅cos∠ADC②， 由于cos∠ADB =−cos∠ADC ， 由①得：cos∠BDA =x 2−84x，代入②得：16=4+4x 2+8x ⋅x 2−84x，解得x =√423．所以BC =3x =√42， 故选：D ．6.【答案】B【解析】解：设f(x)=√a 2+b 2sin(2x +φ)，√a 2+b 2=4，且f(π12)=asin 2π12+bcos 2π12， 解之得a =2，b =2√3．故f(x)=2sin2x +2√3cos2x =4sin(2x +π3)， 将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍， 得到y =4sin(x +π3)． 故选：B ．首先利用函数的性质求出函数的关系式，进一步利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.【答案】B【解析】解：根据三视图，此几何体为一个半球挖去个正四棱锥后剩余的几何体，正四棱锥的底面边长为√2，高为1，∴四棱锥的体积为13×√2×√2×1=23，半球的体积为23×π×13=2π3，故该几何体的体积为2π−23．故选：B ．根据三视图，此几何体为一个半球挖去个正四棱锥后剩余的几何体，正四棱锥的底面边长为√2，高为1，再由半球体积减去棱锥体积公式得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．8.【答案】B【解析】解：根据题意，f(x)=(x 2−2|x|)e |x|，则有f(−x)=(x 2−2|x|)e |x|=f(x)，即函数f(x)为偶函数，排除C ， 又由f(1)=(1−2)e =−e ，排除AD ； 故选：B ．根据题意，分析可得f(x)为偶函数，排除C ，计算f(1)的值，排除AD ，即可得答案． 本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性、特殊值的分析计算，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：log x 2x =1+log b 2a 2，log y 2y =1+log log a (a+b)2=1+1log2log 2(a+b)，log z 2z =1+log (a+1b)2=1+1log 2(a+1b)，∵a >b >0，ab =1， ∴a >1>b >0，∴2<a +b <4,a +1b >2，log 2(a +b)<2，∴1<log 2(a +b)<a +1b，∴0<log 2log 2(a +b)<log 2(a +1b )， ∴1log 2log 2(a+b)>1log 2(a+1b)>0，又0<b 2a <1，∴log b2a2<0， ∴log y 2y >log z 2z >log x 2x ． 故选：B ．根据条件可先得出log x 2x =1+log b 2a 2，log y 2y =1+1log2log 2(a+b)，log z 2z =1+1log 2(a+1b)，而根据a>b >0，ab =1即可得出a >1>b >0，从而可得出1<log 2(a +b)<a+1b ，从而可得出1log2log2(a+b)>1log2(a+1b)>0，而可以得出log b2a2<0，这样即可得出log x2x，log y2y，log z2z的大小关系．本题考查了对数的运算性质，基本不等式的运用，对数函数的单调性，增函数的定义，不等式的性质，考查了计算能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：根据题意，T=0，n=1；T=8，n=2；T=8+4，n=3；T=8+4+4，n=4；T=8+4+4+8，n=5；T=8+4+4+8+0，n=6；T=8+4+4+8+0+12，n=7；T=8+4+4+8+0+12−4，n=8；T=8+4+4+8+0+12−4+16，n=9；T=8+4+4+8+0+12−4+16−8，n=10；T=8+4+4+8+0+12−4+16−8+20，n=11，故输出的结果为T=8+4+4+8+0+12−4+16−8+20=60．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量T的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．11.【答案】B【解析】解：四边形A1ACC1与B1BCC1均为正方形，∴CC1⊥底面ABC.即三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱．M，N分别是A1B1，A1C1的中点，C1M=12A1B1，∴∠A 1C 1B 1=90°． 设AC =x ，∵三棱柱ABC −A 1B 1C 1内接于一个半径为√3的球， ∴(√3)2=(√22x)2+(12x)2，解得x =2．∴A(0,−2,0)，B(−2,0,0)，N(0,−1,2)，M(−1,−1,2)， ∴AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,2)， ∴cos <AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=3√5×√6=√3010． 故选：B ．四边形A 1ACC 1与B 1BCC 1均为正方形，∴CC 1⊥底面ABC.即三棱柱ABC −A 1B 1C 1为直三棱柱．M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，C 1M =12A 1B 1，可得∠A 1C 1B 1=90°.设AC =x ，根据三棱柱ABC −A 1B 1C 1内接于一个半径为√3的球，利用勾股定理可得x ，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出．本题考查了直三棱柱的性质、异面直线所成的角、正方体与直角三角形的性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：作出函数|f(x)|的图象如图所示； 当x ≤0时；令x 2+2x +2=mx ，即x 2+(2−m)x +2=0，令△=0，即(2−m)2−8=0，解得m =2±2√2，结合图象可知，m =2−2√2；当x >0时，令e 2x−1=mx ，则此时f(x)=e 2x −1，ℎ(x)=mx 相切，设切点(x 0,e 2x 0−1)， 则{e 2x 0−1=mx 02e 2x 0=m，解得m =2， 观察可知，实数m 的取值范围为[2−2√2,2]． 故选：A ．作出函数|f(x)|的图象，当x ≤0时；令x 2+2x +2=mx ，可求得m 的值；当x >0时，令e 2x−1=mx ，由f(x)=e 2x −1与ℎ(x)=mx 相切可设切点为(x 0,e 2x 0−1)，由{e 2x 0−1=mx 02e 2x 0=m，可解得m =2，观察可得答案．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查分类讨论思想及数形结合思想的运用，考查观察能力与推理运算能力，属于是难题．13.【答案】1或5【解析】解：根据题意，2a⃗−b⃗ =(4−m,3)，∵b⃗ ⊥(2a⃗−b⃗ )，∴m(4−m)−3=0，解得m=1或m=3，所以a⃗⋅b⃗ =1或5．故答案为：1或5．先求出2a⃗−b⃗ ，再根据数量积为0求出m，进而求得结论．本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．14.【答案】79【解析】解：由sin(α+π6)+cosα=−√33，即√32sinα+12cosα+cosα=−√33，所以12sinα+√32cosα=−13，即sin(α+π3)=−13，所以cos(2π3+2α)=1−2sin2(α+π3)=1−2×(−13)2=79．故答案为：79．由条件利用两角和的正弦公式求得sin(α+π3)的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos(2π3+2α)的值．本题主要考查了两角和的正弦公式，二倍角的余弦公式应用问题，是基础题．15.【答案】3【解析】解：由题知圆M ：x 2+(y −a)2=a 2(a >0)， 圆心(0,a)到直线x +y =0的距离d =a√2， 所以2√a 2−a 22=2√2，解得a =2．故圆M 的方程为x 2+(y −2)2=4．所以切线长为√(3−0)2+(0−2)2−4=3． 故答案为：3．先求出圆心到直线的距离，根据圆被直线截得的弦长求出a ，再结合勾股定理即可求解结论．本题主要考查直线和圆的位置关系以及切线段长的求解，根据弦长求得a 是解决本题的关键．16.【答案】7【解析】解：设每天A ，B 两种饮料的生产数量分别是x 桶，y 桶， 则有{x ≥0,y ≥0x ≤2y 3x ≥y100y +100x −750≤0，则其表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数为z =1.5x +y ，则y =−1.5x +z ，z 表示直线在y 轴上的截距， ∵x ，y 只取整数，∴当直线y =−1.5x +z 经过点(4,3)， 即m =4，n =3时，利润最大，∴该饮料厂每天生产A 饮料m 桶，B 饮料n 桶时(m,n ∈N ∗)利润最大时，m +n =7． 故答案为：7．设每天A ，B 两种饮料的生产数量分别是x 桶，y 桶，则有{x ≥0,y ≥0x ≤2y3x ≥y100y +100x −750≤0，作出可行域，目标函数为z =1.5x +y ，则y =−1.5x +z ，z 表示直线在y 轴上的截距，求出当直线y =−1.5x +z 经过点(4,3)，即m =4，n =3时，利润最大，由此能求出结果． 本题考查利润最大时两种产品的产量和的求法，考查线性规划等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，a 1=2，a 52=322，∴a 1=2，a 5=32，故公比q =2，所以a n =2n ，因为S n =n 2−n ，∴b n =S n −S n−1=(n 2−n)−[(n −1)2−(n −1)]=2n −2(n ≥2)， 又b 1=S 1=0，所以b n =2n −2；(Ⅱ)根据题意，数列{c n }的奇数项构成一个等比数列，首项为2，公比为4；数列{c n }的偶数项构成一个等差数列，首项为2，公差为4， 所以①当n 为偶数时，T n =2(1−4n2)1−4+n2(2+2n−2)2=n 22+2n+1−23， ②当n 为奇数时，T n =T n−1+c n =2(1−4n−12)1−4+n−12(2+2n−4)2+2n=2n+2−23+(n−1)22， 综合①②知：T n {2n+2−23+(n−1)22,n 为奇数n 22+2n+1−23,n 为偶数．【解析】(Ⅰ)先求出等比数列{a n }的公比，再求其通项公式，然后利用b n =S n −S n−1，求出数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)先求C n ，再对n 分奇数与偶数两种情况求其前n 项和T n ． 本题主要考查数列通项公式的求法及数列求和，属于中档题．18.【答案】解：(I)根据题意，设女性观众评分的中位数为x ，∴10×0.01+10×0.02+(x −70)×0.04=0.5， ∴x =75，男性观众评分的平均数为55×0.15+65×0.25+75×0.3+85×0.2+95×0.1=73.5；(II)(i)男性观众不满意的概率大，记C A 表示事件：“女性观众不满意”；C B 表示事件：“男性观众不满意”， 由直方图得P(C A )的估计值为(0.01+0.02)×10=0.3，P(C B )的估计值为(0.015+0.025)×10=0.4，所以男性观众不满意的概率大； (ii)列联表如下图：女性观众男性观众合计“满意”140180320“不满意”60120180合计200300500所以K2=500×(140×120−180×60)2200×300×320×180≈5.208>3.841，故有95%的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关．【解析】(Ⅰ)利用中位数左侧的小矩形的面积之和为0.5，即可估计女性观众评分的中位数，利用每组区间中点值乘以该组的频率依次相加，即可估计男性观众评分的平均数；(Ⅱ)(i)分别估算男观众与女观众不满意的概率，再比较即可；(ii)计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．本题考查了估计中位数和平均数，以及独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是中档题．19.【答案】(Ⅰ)证明：取BD的中点O，连接OC，OA，∵△ABD是等边三角形，∴AO⊥BD，又∵BC=CD，∴CO⊥BD，∵CO∩AO=O，∴BD⊥平面AOC，∵AC⊂平面AOC，∴AC⊥BD；(Ⅱ)解：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面CBD=CD，∴AO⊥平面BCD，且BD=2，AO=√3，取CD的中点F，连接OF，EF，同理可证CD⊥平面EOF，CD⊥平面AOF，∴A，O，F，E共面，∴平面BCD⊥平面OFE，作EH垂直OF于点H，则EH⊥平面BCD，故点E到平面BCD的距离即为EH，又AE⊥平面CDE，∴AE⊥EF，AE⊥EC，∴OF=√22，EF=√62，AF=√142，AE=√2，得sin∠AFO=√427，cos∠AFE=√217，cos∠AFO=√77，sin∠AFE=2√77．由sin∠EFO=sin(∠AFO+∠AFE)=sin∠AFOcos∠AFE+cos∠AFOsin∠AFE=2+3√27，∴EH=√62×2+3√27=√6+3√37．即点E 到平面BCD 的距离√6+3√37．【解析】(Ⅰ)取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，由已知可得AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，得到BD ⊥平面AOC ，从而可得AC ⊥BD ；(Ⅱ)由平面与平面垂直的性质可得AO ⊥平面BCD ，取CD 的中点F ，连接OF ，EF ，可得CD ⊥平面EOF ，CD ⊥平面AOF ，即A ，O ，F ，E 共面，由平面BCD ⊥平面OFE ，作EH 垂直OF 于点H ，则EH ⊥平面BCD ，可得点E 到平面BCD 的距离即为EH ，然后求解三角形得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了空间中点到面距离的求法，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)因为M ，N 关于x 轴对称，所以M ，N 的纵坐标为±√2，横坐标为1，代入y 2=2px(p >0)，可得y 2=2x ， 依题意，设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，E(x 3,y 3)， 又焦点F(12,0)，所以x 1+x 2+x 3=3×12=32，则|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=(x 1+12)+(x 2+12)+x 3+12=(x 1+x 2+x 3)+32=32+32=3． (Ⅱ)设点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2).则{y 12=2x 1y 22=2x 2，则(y 1−y 2)(y 1+y 2)=2(x 1−x 2)，∴k PQ =2y 1+y 2，又∵P ，Q 关于直线l 对称，∴k PQ =−1， 即y 1+y 2=−2，∴y 1+y 22=−1，又∵PQ 的中点一定在直线l 上，∴x 1+x 22=y 1+y 22+2=1，∴线段PQ 的中点H 坐标为(1,−1)，故|GH|≥√(−1)2+(−1)2+√3=√2+√3． 从而G 到H 的最大距离为√2+√3．【解析】(Ⅰ)通过M ，N 关于x 轴对称，求出M ，N 的坐标，然后求解抛物线方程，设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，E(x 3,y 3)，然后求解|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FE⃗⃗⃗⃗⃗ |的值． (Ⅱ)设点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2).利用平方差法求出k PQ =−1，然后求解线段PQ 的中点H 坐标为(1,−1)，通过求解|GH|，得到G到H的最大距离．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力．21.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−1x =x−1x，令f′(x)=1−1x =x−1x>0，得x>1，令f′(x)=1−1x =x−1x<0，得0<x<1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞)．所以f(x)=x−lnx>f(1)=1>0，所以x>lnx>0，即1>lnxx>0，所以(lnxx )2<lnxx；又因为lnx2x2−lnxx=2lnx−xlnxx2>0，所以(lnxx )2<lnxx<lnx2x2(Ⅱ)设g(x)=mx2−x+lnx−(2mx−m−1)，则g(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点，又g(1)=0，故函数g(x)有零点x=1，g′(x)=2mx−1+1x −2m=2mx2−(2m+1)x+1x=(2mx−1)(x−1)x，当m=12时，g′(x)≥0，又g(x)不是常数函数，故g(x)在(0,+∞)上单调递增，∴函数g(x)有且只有一个零点x=1，满足题意当0<m<12时，由g′(x)=0，得x=12m或x=1，且12m>1，由g′(x)>0，得0<x<1或x>12m，由g′(x)<0，得1<x<12m，故当x在(0,+∞)上变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：根据上表知g(12m )<0，又g(x)=mx[x −(2+1m ])+m +lnx +1，∴g(2+1m )>0， 故在(12m ,+∞)上，函数g(x)又有一个零点，不满足题意， 综上所述，m =12．【解析】(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−1x =x−1x，利用导数研究其单调性即可比较出lnx x，(lnx x )2大小关系，通过作差可得出lnx x ，lnx 2x2的大小关系． (II)设g(x)=mx 2−x +lnx −(2mx −m −1)，则g(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点，又g(1)=0，故函数g(x)有零点x =1，g′(x)=2mx −1+1x−2m =2mx 2−(2m+1)x+1x=(2mx−1)(x−1)x，通过对m 分类讨论研究函数g(x)的单调性即可得出m 的取值范围．本题考查了利用导数研究的单调性极值与最值、方程与不等式对解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：(Ⅰ)已知点A ，B ，C 的极坐标分别为(4,π6)，(4,5π6)，(4,3π2)，转换为直角坐标为A(2√3,2)，B(−2√3,2)，C(0,−4) 设经过的圆的方程为x 2+(y −m)2=r 2， 将直角坐标A(2√3,2)，B(−2√3,2)，C(0,−4)， 代入圆的方程得到：{12+(2−m)2=r 2(−4−m)2=r 2解得m =0，r =4，所以圆C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=16． 将圆C 2向右平移3个单位长度后， 得到曲线C 3，得到(x −3)2+y 2=16．(Ⅱ)由(Ⅰ)得：把曲线C 1的参数方程为{x =1−√22ty =1+√22t (t 为参数)，代入(x −3)2+y 2=16．得到：(√22t −2)2+(√22t +1)2=16，整理得：t 2−√2t −11=0，所以|MP|⋅|MQ|=|t 1t 2|=11．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1))原不等式可化为|3x −1|+|x −2≥3|.①当x ≤13时，原不等式可化为−3x +1+2−x ≥3， 解得x ≤0，∴x ≤0……(2分)②当13<x <2时，原不等式可化为3x −1+2−x ≥3，解得x ≥1， ∴1≤x ≤2…(…3分)③当x ≥2时，原不等式可化为3x −1−2+x ≥3，解得x ≥32， ∴x ≥2……(4分)综上，原不等式的解集为：{x|x ≤0或x ≥1}…(5分)Ⅱ)∵f(x)={−4x +3,x ≤132x +1,13<x <24x −3,x ≥2，∴f(x)min =f(13)=53，…(…6分)∴由3log 2m ⋅log 2n ≥5f(x)恒成立可知，不等式log 2m ⋅log 2n ≥1恒成立…(8分) ∵log 2m +log 2n ≥2√log 2m ⋅log 2n ≥2，∴log 2(m ⋅n)≥2，∴mn ≥4，当且仅当m =n =2时等号成立， ∴mn 的最小值是4……(10分)．【解析】((1))原不等式可化为|3x −1|+|x −2≥3|.通过对x 取值范围的讨论，去掉绝对值符号解对应的不等式，最后取并即可；Ⅱ)由f(x)={−4x +3,x ≤132x +1,13<x <24x −3,x ≥2，可求得f(x)min =f(13)=53，3log 2m ⋅log 2n ≥5f(x)恒成立⇔log 2m ⋅log 2n ≥1恒成立，利用基本不等式即可求得mn 的最小值．本题主要考查了不等式的恒成立问题及绝对值不等式的解法，突出分类讨论思想与转化思想的应用，考查基本不等式及运算能力，属于中档题．第21页，共21页。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)(全国Ⅰ卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|2≤x<4}，B={x|x−1≥2}，则A∩B=()A. [2,3)B. [3,4)C. (3,4)D. [2,4)2.已知在复平面内，复数z对应的点为(1,−1)，则z2=()A. 1−2iB. 1+2iC. 2iD. −2i3.某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，从该校的所有教师中抽取56人进行调查，若按分层抽样，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师()人．A. 180B. 170C. 172D. 1824.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为M，离心率为√3，过点M与点(0,−2)的直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的方程为()A. x24−y22=1 B. x24−y23=1 C. x22−y24=1 D. x22−y2=15.执行如图所示的程序框图，若输入x=−1，则输入y的值为()A. −1B. 0C. 1D. 26.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有曲池，上中周二丈，外周四丈，广一丈，下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺，深，丈，问积几何？”其意思为：“今有上下底面皆为扇形的水池，上底中周2丈，外周4丈，宽1丈；下底中周1丈4尺，外周长2丈4尺，宽5尺；深1丈．问它的容积是多少？”则该曲池的容积为()立方尺(1丈=10尺，曲池：上下底面皆为扇形的土池，其容积公式为)A.56503B. 1890C.56303D.566037. 若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1=2a 5−1，则S 17=( )A. −17B. −172C. 172D. 178. 已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为( )A. 2B. 2√2C. 2√3D. 49. 设(2−x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 5x 5，那么a 0+a 2+a 4a 1+a 3的值为( )A. −122121B. −6160C. −244241D. −110. 抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 到准线l 的距离为2，则C 的焦点坐标为( )A. (4,0)B. (2,0)C. (1,0)D. (12,0)11. 已知f(1−x 1+x)=1−x 21+x 2，则曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( )A. y =−xB. y =xC. y =2xD. y =−2x12. 已知数列{a n }满足：a 1=1,a n+1+a n =3n +1，则数列{1a2n−1a 2n+1}(n ∈N ∗)的前30项的和为( )A. 2990B. 2988C. 1093D. 3091二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，，E 为CD 中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______________．14. 已知实数x ，y 满足{x −2y +1≥0x +y −1≥0x <2，则z =2x −y 的取值范围是______．15. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________．16. 已知直线l 1:y =2x +3a ，l 2:y =(a 2+1)x +3，若l 1//l 2，则a =__________． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 如图，在四边形ABCD 中，AB =5，AD =CD =4，BC =3，A =60∘．(1)求tan∠ABD 的值； (2)求ΔBCD 的面积．18.如图，在三棱锥A−BCD中∠BAC=∠BAD=∠DAC=60°，AC=AD=2，AB=3．(1)证明：AB⊥CD；(2)求CD与平面ABD所成角的正弦值．19.“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性总计反感10不反感8总计30．已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是815(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和均值．．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.设A是圆O：x2+y2=16上的任意一点，l是过点A且与x轴垂直的直线，B是直线l与x轴的交点，点Q在直线l上，且满足4|BQ|=3|BA|.当点A在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)已知直线y=kx−2(k≠0)与曲线C交于M，N两点，点M关于y轴的对称点为M′，设P(0,−2)，证明：直线M′N过定点，并求△PM′N面积的最大值．21.函数(1)当−2<a<0时，求f(x)在(0,1)上的极值点；(2)当m≥1时，不等式f(2m−1)≥2f(m)−f(1)恒成立，求实数a的取值范围．22.平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=√3+2cosα(α为参数)，在以坐标原点O为极y=1+2sinα上，且点P到极点O的距离为4．点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l：θ=π3(1)求圆C的普通方程与点P的直角坐标；(2)求△OCP的面积．23.已知函数f(x)=|x−2|−|x+1|．(Ⅰ)解不等式f(x)>−x；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≤a2−2a的解集为R，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查描述法、区间的定义，以及交集的运算，属于基础题．先解出集合B，然后进行交集的运算即可．解：B={x|x≥3}，∴A∩B={x|3≤x<4}=[3,4)．故选：B．2.答案：D解析：本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目．先求出z=1−i，再根据复数的运算法则，进行化简计算即可．解：复数z的对应点为(1,−1)，∴z=1−i．∴z2=(1−i)2=−2i．故选D．3.答案：D解析：本题考查了分层抽样，属于基础题．根据各层所占的抽样比相等进行列式求解即可．解：设该校其他教师共有n人，由已知得16n =5626+104+n，解得n=52．∴该校共有教师26+104+52=182人．故选D．4.答案：C解析：本题考查了双曲线的性质，属于基础题．根据斜率公式、渐近线方程求出b，根据离心率计算a，从而得出答案．解：双曲线的右顶点为M(a,0)，渐近线方程为：y=±bax．∴过M与点(0,−2)的直线斜率为2a =ba，∴b=2，又e=ca =√a2+b2a=√3，∴a=√2．∴双曲线的方程为x22−y24=1．故选C．5.答案：B解析：解：模拟程序运行可知程序框图的功能是求分段函数y={|x|+1,x<−1x2−1,x=−1x,x>−1的值，代入x=−1，可得y=0，故选：B．模拟程序运行可知程序框图的功能是求分段函数y={|x|+1,x<−1x2−1,x=−1x,x>−1的值，代入x=−1，即可得解．本题主要考查了程序框图和算法，模拟程序运行正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．6.答案：A解析：本题考查几何体的体积，比较基础．根据已知容积公式求解即可．解：根据已知容积公式可得该曲池的容积为[(2×10+5)×20+402+(2×5+10)×14+242]6×10=56503．故选A．7.答案：D解析：本题考查等差数列的性质及求和问题，属于较易题．求得a9后根据等差数列的性质即可求解，解：因为数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a1=2a5−1，所以a1=2(a1+4d)−1，所以a1+8d=1，即a9=1，所以S17=17×(a1+a17)2=17a9=17.故选D．8.答案：B解析：本题考查的知识点棱锥的几何特征，简单几何体的三视图，难度中档．作出直观图，计算各棱长，即可得出结论．解：如图所示，该几何体是三棱锥P−ABC，故可得PC=AB=2√2,BC=4,PA=4√2,PB=AC=2√6，故该几何体的最短棱长为2√2，故选B．9.答案：B解析：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=−1可得a0−a1+a2−a3+a4−a5=35.解得a0+a2+a4和a1+a3+a5的值，结合a5=−1，即可求得要求式子的值．解：令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=−1可得a0−a1+a2−a3+a4−a5=35，两式相加除以2可得a0+a2+a4=122，两式相减除以2可得a1+a3+a5=−121，结合a5=C55(2)0(−x)5=−1，故a0+a2+a4a1+a3=122−120=−6160，故选B．10.答案：C解析：本题考查抛物线的性质，属于基础题．根据p的几何意义，即焦点F到准线l的距离是p进行求解．解：∵焦点F到准线l的距离为2，∴p=2．抛物线方程为y2=4x，∴焦点F的坐标为(1,0)．故选：C．11.答案：C解析：本题考查函数的解析式的求法以及利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属中档题．先求函数的解析式，再求导函数，最后求切线方程．解：令1−x1+x =t得x=1−t1+t，则f(t)=1−(1−t1+t)21+(1−t1+t)2=4t2+2t2=2tt2+1，所以f(x)=2xx+1，所以f′(x)=2−2x 2(x2+1)2，∴f′(0)=2，又f(0)=0，故切线方程为y =2x ． 故选C ．12.答案：D解析：解：已知数列{a n }满足：a 1=1，由a n+1+a n =3n +1，得a n+2+a n+1=3n +4， 作差得a n+2−a n =3，故奇数项和偶数项都为以3为公差的等差数列， 由a 1=1，所以a 2k−1=1+(k −1)3=3k −2， 又1a2n−1⋅a 2n+1=13(1a 2n−1−1a 2n+1)，所以数列{1a2n−1a 2n+1}(n ∈N ∗)的前30项的和S 30=13[(1a 1−1a 3)+(1a 3−1a 5)+⋯+(1a 59−1a 61)]=13(1−191)=3091． 故选：D ．已知数列{a n }满足：a 1=1，由a n+1+a n =3n +1，得a n+2+a n+1=3n +4，作差得a n+2−a n =3，故奇数项和偶数项都为以3为公差的等差数列，求出a 2k−1=1+(k −1)3=3k −2，利用裂项求和法求出结果即可．本题考查了递推公式求通项公式，裂项相消法求数列的前n 项和，考查运算能力，中档题．13.答案：1解析：本题考查了向量的数量积和向量的加减法，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，计算即可．解：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=22−12×2×2×cos60°−12×22=1，故答案为1．14.答案：[0,5)解析：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题． 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论． 解：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线l ：2x −y =0，平移l 可知过C 时z 最小，过B 时z 最大， 联立{x −2y +1=0x +y −1=0得C(13,23)，同理B(2,−1)，即z 的取值范围是[0,5)． 故答案为：[0,5)．15.答案：[kπ−π12,kπ+5π12]，k ∈Z解析： 本题考查函数的图像与性质的应用，属于基础题．首先，根据函数图象，确定所给函数的解析式f(x)，然后结合三角函数的单调性求解其单调增区间即可． 解：根据函数的部分图象，可得14⋅T =14⋅2πω=2π3−5π12=π4，求得ω=2，所以函数，再把(5π12,2)代入函数的解析式，可得，所以，而|φ|<π2，故φ=−π3，故函数，令，求得，故答案为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z．16.答案：−1解析：因为l1//l2，所以a2+1=2，a2=1，所以a=±1，又两直线l1与l2不能重合，则3a≠3，即a≠1，故a=−1．17.答案：解：(1)由已知，在△ABD中，由余弦定理有，所以BD=√21，由正弦定理有，所以sin∠ABD=ADBD ·sinA=2√77，因为BD>AD，所以∠ABD为锐角，所以cos∠ABD=√217,tan∠ABD=2√33；(2)在△BCD中，，因为C∈(0,π)，所以，所以ΔBCD的面积．解析：本题考查正弦定理余弦定理及面积公式，同时考查同角关系式．(1)由余弦定理，求出BD，然后结合正弦定理和同角关系式求解即可；(2)由余弦定理求出cos C，得sin C，然后由面积公式求解即可．18.答案：证明：(1)∵在三棱锥A−BCD中，∠BAC=∠BAD=∠DAC=60°，AC=AD=2，AB=3．∴△ABD≌△ABC，∴BC=BD，取CD的中点E，连结AE，BE，∴AE⊥CD，BE⊥CD，∵AE∩BE=E，∴CD⊥平面ABE，∵AB⊂平面ABE，∴CD⊥AB．解：(2)在△ABD中，根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos60°=7，∴BD=√7，∵DE=1，∴BE=√6，AE=√3，∴AB2=BE2+AE2，∴AE⊥BE，设CD到平面ABD的距离为h，CD与平面ABD所成的角为α，∵V A−BCD=V C−ABD，∴13×CD×S△ABE=13×ℎ×S△ABD，∴ℎ=CD×S△ABES△ABD =2×12×√6×√312×3×3×sin60°=2√63，∴sinα=ℎCD =√63．∴CD与平面ABD所成角的正弦值为√63．解析：(1)推导出△ABD≌△ABC，从而BC=BD，取CD的中点E，连结AE，BE，从而AE⊥CD，BE⊥CD，进而CD⊥平面ABE，由此能证明CD⊥AB．(2)由余弦定理求出BD=√7，从而AE⊥BE，设CD到平面ABD的距离为h，CD与平面ABD所成的角为α，由V A−BCD=V C−ABD，求出ℎ=2√63，由此能求出CD与平面ABD所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．19.答案：解(1)由已知数据得K2的观测值k=30×(10×8−6×6)216×14×16×14≈1.158<2.706．所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关．(2)X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C82C142=413，P(X=1)=C61C81C142=4891，P(X=2)=C62C142=1591．所以X的分布列为X的均值为E(X)=0×413+1×4891+2×1591=67．解析：本题考查独立检验思想的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．(1)利用已知条件填写联列表，然后代入公式计算观测值，与观测值表中的数据比较即可；(2)依题意可知X的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，写出分布列，然后根据期望公式求解即可．20.答案：解：(1)设Q(x,y)，A(x0,y0)，∵4|BQ|=3|BA|，Q在直线l上，∴x0=x，|y0|=43|y|.①∵点A在圆x2+y2=16上运动，∴x02+y02=16.②将①式代入②式即得曲线C 的方程为x 216+y 29=1．证明：(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 则M′(−x 1,y 1)，联立{x 216+y 29=1y =kx −2，得(16k 2+9)x 2−64kx −80=0，Δ>0， ∴x 1+x 2=64k 16k 2+9，x 1x 2=−8016k 2+9．∵直线M′N 的斜率k M′N =y 2−y1x 2+x 1，∴直线M′N 的方程为y −y 1=y 2−y1x 2+x 1(x +x 1).令x =0，得y =y 2x 1+y 1x 2x 2+x 1=(kx 2−2)x 1+(kx 1−2)x 2x 2+x 1=2kx 1x 2x 2+x 1−2=−92，∴直线M′N 过定点D(0,−92).△PM′N 面积S △PM ‘N =12|PD|⋅|x 1+x 2| =54×|64k16k 2+9|=8016|k |+9|k|≤2√16|k |×9|k|=103，当且仅当16|k|=9|k |，即k =±34时取等号， ∴△PM′N 面积的最大值为103．解析：本题考查曲线方程的求法，考查直线过定点的证明，考查三角形的面积的最大值的求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理、三角形面积公式、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是较难题．(1)点A 在圆x 2+y 2=16上运动，引起点Q 的运动，我们可以由4|BQ|=3|BA|，得到点A 和点Q 坐标之间的关系式，并由点A 的坐标满足圆的方程得到点Q 坐标所满足的方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则M′(−x 1,y 1)，联立{x 216+y 29=1y =kx −2，得(16k 2+9)x 2−64kx −80=0，利用直线的斜率，求直线M′N 的方程，即可求得直线M′N 所过定点，并求出△PM′N 面积的最大值．21.答案：解：(1)∵f′(x)=x +1+ax (x >0)，令g(x)=x 2+x +a ，∵−2<a <0，∴g(x)的判别式△=1−4a>0，令f′(x)=0，得x=−1+√1−4a2．当−2<a<0时，0<−1+√1−4a2<1，所以f(x)在(0,−1+√1−4a2)上单调递减，在(−1+√1−4a2,1)上单调递增，即f(x)在(0,1)上有1个极值点x0=−1+√1−4a2．(2)不等式f(2m−1)≥2f(m)−f(1)⇔−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+2alnm，即−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2，令g(x)=−x+alnx．∵m2≥2m−1≥1，∴要使不等式−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2恒成立，只需g(x)=−x+alnx在[1,+∞)上单调递减，g′(x)=−1+ax，令g′(x)≤0，即a≤x在[1,+∞)上恒成立，可得实数a的取值范围是(−∞,1]．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道中档题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点即可；(2)令g(x)=−x+alnx，根据m2≥2m−1≥1，问题转化为g(x)=−x+alnx在[1,+∞)上单调递减，根据函数的单调性求出a的范围即可．22.答案：解：(1)曲线C的普通方程为(x−√3)2+(y−1)2=4，点P的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3)．(2)(方法一)圆心C(√3,1)，直线OC的方程为：y=√33x⇒x−√3y=0，点P到直线OC的距离d=|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|=2，所以S△OCP=12|OC|⋅d=2．(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图形利用极坐标的几何含义，可得∠COP=π3−π6=π6，|OC|=2，|OP|=4，所以S△OCP=12|OC|⋅|OP|sin∠COP=12⋅2⋅4⋅sinπ6=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)不等式f(x)>−x，即为|x−2|−|x+1|>−x，当x≥2时，x−2−x−1>−x，解得x>3，即x>3；当x≤−1时，2−x+x+1>−x，解得x>−3，即−3<x≤−1；当−1<x<2时，2−x−x−1>−x，解得x<1，即−1<x<1，综上可得原不等式的解集为{x|x>3或−3<x<1}；(Ⅱ)关于x的不等式f(x)≤a2−2a的解集为R，即有a2−2a≥f(x)的最大值，由|x−2|−|x+1|≤|x−2−x−1|=3，当且仅当x≤−1时，等号成立，可得a2−2a≥3，解得a≥3或a≤−1．所以实数a的取值范围是(−∞,−1]∪[3,+∞)解析：本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和化简运算能力，属于中档题．(Ⅰ)讨论当x≥2时，当x≤−1时，当−1<x<2时，去掉绝对值，解不等式求并集，即可得到所求解集；(Ⅱ)由题意可得a2−2a≥f(x)的最大值，运用绝对值不等式的性质可得最大值，由二次不等式的解法可得a的范围．。

专题1集合与常用逻辑测试题命题报告:1.高频考点:集合的运算以及集合的关系，集合新定义问题以及集合与其他知识的交汇，逻辑用语重点考查四种命题的关系，充要条件的判断以及全称命题存在命题等知识。

2.考情分析:高考主要以选择题填空题形式出现，考查集合的运算以及充要条件和其它知识的交汇，题目一般属于容易题。

3.重点推荐:9题，创新题，注意灵活利用所给新定义进行求解。

一．选择题（共12小题，每一题5分）1．集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则集合B的真子集的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】:B={（1，1），（1，2），（2，1）}；-=:．故选:C．∴B的真子集个数为32172已知集合M=，则M∩N=（）A．{x|﹣3≤x≤1} B．{x|1≤x＜6} C．{x|﹣3≤x＜6} D．{x|﹣2≤x≤6} 【答案】:B【解析】y=x2﹣2x﹣2的对称轴为x=1；∴y=x2﹣2x﹣2在x∈（2，4）上单调递增；∴﹣2＜y＜6；∴M={y|﹣2＜y＜6}，N={x|x≥1}；∴M∩N={x|1≤x＜6}．故选:B．3已知集合A={x|ax﹣6=0}，B={x∈N|1≤log2x＜2}，且A∪B=B，则实数a的所有值构成的集合是（）A．{2} B．{3} C．{2，3} D．{0，2，3}【答案】:D【解析】B={x∈N|2≤x＜4}={2，3}；∵A∪B=B；∴A⊆B；∴①若A=∅，则a=0；②若A≠∅，则；∴，或；∴a=3，或2；∴实数a所有值构成的集合为{0，2，3}．故选:D．4（2018秋•重庆期中）已知命题p:∀x∈R，x2﹣x+1＞0，命题q:若a＜b，则＞，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．（￢p）∨q D．（￢p）∨（￢q）【答案】:D【解析】命题p:∀x∈R，x2﹣x+1＞0，∵x2﹣x+1=+＞0恒成立，∴p是真命题；命题q:若a＜b，则＞，当a＜0＜b时，不满足＞，q是假命题；∴￢q是真命题，￢q是假命题，则（￢p）∨（￢q）是真命题，D正确．故选:D．5. （2018 •朝阳区期末）在△ABC中，“∠A=∠B“是“acosA=bcosB”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】:A6. （2018•抚州期末）下列有关命题的说法错误的有（）个①若p∧q为假命题，则p、q均为假命题②命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为:“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0③对于命题p:∃x∈R，使得x2+x+1＜0则:￢p:∀x∈R，均有x2+x+1≥0A．0 B．1 C．2 D．3【答案】:B【解析】①若p∧q为假命题，则p、q均为假命题，不正确，因为两个命题中，由一个是假命题，则p∧q为假命题，所以说法错误．②命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为:“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0，满足逆否命题的定义，正确；③对于命题p:∃x∈R，使得x2+x+1＜0则:￢p:∀x∈R，均有x2+x+1≥0，符号命题的否定形式，正确；所以说法错误的是1个．故选:B．7（2018•金安区校级模拟）若A={x∈Z|2≤22﹣x＜8}，B={x∈R|log2x＜1}，则A∩（∁R B）中的元素有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】:B【解析】A={x∈Z|2≤22﹣x＜8}={x∈Z|1≤2﹣x＜3}={x∈Z|﹣1＜x≤1}={0，1}，B={x∈R|log2x＜1}={x∈R|0＜x＜2}，则∁R B={x∈R|x≤0或x≥2}，∴A∩（∁R B）={0}，其中元素有1个．故选:B．8（2018•大观区校级模拟）已知全集U=R，集合，N={x|x2﹣2|x|≤0}，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A．[﹣2，1）B．[﹣2，1] C．[﹣2，0）∪（1，2] D．[﹣2，0]∪[1，2]【答案】:B【解析】∵全集U=R，集合={x|x＞1}，N={x|x2﹣2|x|≤0}={x|或}={x|﹣2≤x≤2}，∴C U M={x|x≤1}，∴图中阴影部分所表示的集合为N∩（C U M）={x|﹣2≤x≤1}=[﹣2，1]．故选:B．9.设集合S n={1，2，3，…，n}，X⊆S n，把X的所有元素的乘积称为X的容量（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）．若X的容量是奇（偶）数，则称X为S n的奇（偶）子集，若n=3，则S n的所有偶子集的容量之和为（）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】:D【解析】由题意可知:当n=3时，S3={1，2，3}，所以所有的偶子集为:∅、{2}、{1，2}、{2，3}、{1，2，3}．所以S3的所有偶子集的容量之和为0+2+2+6+6=16．故选:D．10. （2018•商丘三模）下列有四种说法:①命题:“∃x∈R，x2﹣3x+1＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣3x+1＜0”；②已知p，q为两个命题，若（￢p）∧（￢q）为假命题，则p∨q为真命题；③命题“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题；④数列{a n}为等差数列，则“m+n=p+q，m，n，p，q为正整数”是“a m+a n=a p+a q”的充要条件．其中正确的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个【答案】:C11.（2018•嘉兴模拟）已知函数f（x）=x2+ax+b，集合A={x|f（x）≤0}，集合，若A=B≠∅，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，5] C．D．[﹣1，3]【思路分析】由题意可得b=，集合B可化为（x2+ax+）（x2+ax+a+）≤0，运用判别式法，解不等式即可得到所求范围．【答案】:A【解析】设集合A={x∈R|f（x）≤0}={x|x2+ax+b≤0}，由f（f（x））≤，即（x2+ax+b）2+a（x2+ax+b）+b﹣≤0，②A=B≠∅，可得b=，且②为（x2+ax+）（x2+ax+a+）≤0，可得a2﹣4×≥0且a2﹣4（a+）≤0，即为，解得≤a≤5，故选:A．12.( 2018•漳州二模）“a≤0”是“关于x的方程ax+axcosx﹣sinx=0与方程sinx=0在[﹣3π，3π]上根的个数相等”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]:A【解析】∵方程sinx=0在[﹣3π，3π]上根有7个，则方程ax+axcosx﹣sinx=0也应该有7个根，由方程ax+axcosx﹣sinx=0得ax（1+cosx）﹣sinx=0，即ax•2cos2﹣2sin cos=2cos（axcos﹣sin）=0，则cos=0或axcos﹣sin=0，则x除了﹣3π，﹣π，π，3π还有三个根，由axcos﹣sin=0，得axcos=sin，即ax=tan，由图象知a≤0时满足条件，且a＞0时，有部分a是满足条件的，故“a≤0”是“关于x 的方程ax+axcosx﹣sinx=0与方程sinx=0在[﹣3π，3π]上根的个数相等”的充分不必要条件，故选:A．（2）设命题p:“函数y=2f（x）﹣t在（﹣∞，2）上有零点”，命题q:“函数g（x）=x2+t|x ﹣2|在（0，+∞）上单调递增”；若命题“p∨q”为真命题，求实数t的取值范围．【思路分析】（1）方程f（x）=2x有两等根，通过△=0，解得b；求出函数图象的对称轴．求解a，然后求解函数的解析式．（2）求出两个命题是真命题时，t的范围，利用p∨q真，转化求解即可．【解析】:（1）∵方程f（x）=2x有两等根，即ax2+（b﹣2）x=0有两等根，∴△=（b﹣2）2=0，解得b=2；∵f（x﹣1）=f（3﹣x），得，∴x=1是函数图象的对称轴．而此函数图象的对称轴是直线，∴，∴a=﹣1，故f（x）=﹣x2+2x……………………………………………（6分）（2），p真则0＜t≤2；；若q真，则，∴﹣4≤t≤0；若p∨q真，则﹣4≤t≤2．……………………………………………（12分）21. （2018春•江阴市校级期中）已知集合A={x|≤0}，B={x|x2﹣（m﹣1）x+m﹣2≤0}．（1）若A∪[a，b]=[﹣1，4]，求实数a，b满足的条件；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．【思路分析】本题涉及知识点:分式不等式和含参的一元二次不等式的解法，集合的并集运算．22. （2018•南京期末）已知命题p:指数函数f（x）=（a﹣1）x在定义域上单调递减，命题q:函数g（x）=lg（ax2﹣2x+）的定义域为R．（1）若q是真命题，求实数a的取值范围；（2）若“p∧q”为假命题“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．【思路分析】（1）若命题q是真命题，即函数g（x）=lg（ax2﹣2x+）的定义域为R，对a 分类讨论求解；（2）求出p为真命题的a的范围，再由“p∧q”为假命题“p∨q”为真命题，可得p与q 一真一假，然后利用交、并、补集的混合运算求解．【解析】:（1）若命题q是真命题，则有:①当a=0时，定义域为（﹣∞，0），不合题意．②当a≠0时，由已知可得，解得:a＞，故所求实数a的取值范围为（，+∞）；…………6分（2）若命题p为真命题，则0＜a﹣1＜1，即1＜a＜2，由“p∧q”为假命题“p∨q”为真命题，可得p与q一真一假．若p为真q为假，则，得到1＜a≤，若p为假q为真，则，得到a≥2．综上所述，a的取值范围是1＜a≤或a≥2．………………12分专题2函数测试题命题报告:3.高频考点:函数的性质（奇偶性单调性对称性周期性等），指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质，函数的零点与方程根。

2019年山西省高考数学百日冲刺试卷（理科）（3月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈N|lnx＜1}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}2．（5分）设复数z满足，则|z|＝（）A．1B．C．3D．3．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．3D．4．（5分）某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n＝（）A．12B．16C．24D．325．（5分）在△ABC中，若点D满足，点E为AC的中点，则＝（）A．B．C．D．6．（5分）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（）A．4B．13C．40D．417．（5分）将函数f（x）＝sin x的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝g（x）的图象，则函数y＝f（x）g（x）的最大值为（）A ．B ．C ．1D ．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．9．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c ，若，点G 是△ABC 的重心，且AG ＝，则△ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．或D ．或10．（5分）函数f （x ）＝x sin2x +cos x 的大致图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D．11．（5分）已知四棱锥S﹣ABCD，SA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCD+∠DAB＝π，SA＝2，，二面角S﹣BC﹣A的大小为．若四面体SACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．4B．4πC．8πD．16π12．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x，若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞mx恒成立，则m的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）二项式的展开式中x﹣2的系数是．14．（5分）设x，y满足约束条件，则的最大值是．15．（5分）已知sin10°+m cos10°＝2cos140°，则m＝．16．（5分）已知A，B是抛物线y2＝2px（p＞0）上任意不同的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0），则x0的取值范围是．（用p表示）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或渲算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，22题为选考题，考生根据要求作答．（-）必考题：共60分．17．（12分）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝a n+2﹣2，n∈N*．（1）若数列{a n}为等比数列，求数列{a n}的公比q的值．（2）若a2＝a1＝1，b n+1＝a n+a n+1，求数列{b n}的通项公式．18．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，E是线段D1O的上一点．（1）若E为D1O的中点，求直线OD1与平面CDE所成角的正弦值；（2）能否存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，若能，请指出点E的位置关系，并加以证明；若不能，请说明理由．19．（12分）随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数y i（单位：人）与时间t i（单位：年）的数据，列表如下：（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式，参考数据．（2）某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．方案一：每满600元可减100元；方案二：金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率都为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．①两位顾客都购买了1050元的产品，求至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠的概率；②如果你打算购买1000元的产品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．20．（12分）顺次连接椭圆（a＞b＞0）的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．（1）求椭圆C的方程；（2）A，B是椭圆C上的两个不同点，若直线OA，OB的斜率之积为（O为坐标原点），线段OA上有一点M 满足，连接BM 并延长椭圆C 于点N ，求的值．21．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣2x +2alnx ，若函数f （x ）在定义域上有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2． （1）求实数a 的取值范围；（2）证明：．（二）选考题，共10分．请考生在第35、36题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：（a ＞0，t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：θ＝（ρ∈R ）．（1）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（2）若直线C 3的方程为y ＝﹣x ，设C 2与C 1的交点为O ，M ，C 3与C 1的交点为O ，N ，若△OMN 的面积为2，求a 的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数f （x ）＝|4x ﹣1|﹣|x +2|． （1）解不等式f （x ）＜8；（2）若关于x 的不等式f （x ）+5|x +2|＜a 2﹣8a 的解集不是空集，求a 的取值范围．2019年山西省高考数学百日冲刺试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈N|lnx＜1}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}【分析】可解出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B＝{1，2}，A＝{0，1，2，3}；∴A∩B＝{1，2}．故选：B．【点评】考查描述法、列举法的定义，对数函数的单调性，交集的运算．2．（5分）设复数z满足，则|z|＝（）A．1B．C．3D．【分析】利用复数的运算性质、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z满足，∴z﹣i＝2i+1，可得z＝3i+1．则|z|＝＝．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．3D．【分析】求得双曲线的渐近线方程，结合a，b，c的关系，再由离心率公式，计算可得所求值．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，由题意可得＝，即b＝a，即有双曲线的e＝＝＝＝2．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4．（5分）某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n＝（）A．12B．16C．24D．32【分析】由分层抽样的性质列方程能求出n的值．【解答】解：由分层抽样的性质得：，解得n＝24．故选：C．【点评】本题考查样本单元数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（5分）在△ABC中，若点D满足，点E为AC的中点，则＝（）A．B．C．D．【分析】由平面向量基本定理及共线向量的运算得：＝＝+＝+（）＝，得解．【解答】解：＝＝+＝+（）＝，故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理及共线向量的运算，属简单题．6．（5分）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（）A．4B．13C．40D．41【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量B的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得A＝1，B＝0满足条件A≤4，执行循环体，B＝1，A＝2满足条件A≤4，执行循环体，B＝4，A＝3满足条件A≤4，执行循环体，B＝13，A＝4满足条件A≤4，执行循环体，B＝40，A＝5此时，不满足条件A≤4，退出循环，输出B的值为40．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．（5分）将函数f（x）＝sin x的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝g（x）的图象，则函数y＝f（x）g（x）的最大值为（）A．B．C．1D．【分析】由三角函数图象的平移得：g（x）＝sin（x﹣），由积化和差公式得：y＝f（x）g（x）＝sin x•sin（x﹣）＝﹣[cos（2x）﹣cos]＝﹣cos（2x）+，由三角函数的有界性及最值得：因为﹣1≤cos（2x）≤1，所以函数y＝f（x）g（x）的最大值为，得解．【解答】解：将函数f（x）＝sin x的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）＝sin（x﹣），则y＝f（x）g（x）＝sin x•sin（x﹣）＝﹣[cos（2x）﹣cos]＝﹣cos（2x）+，又﹣1≤cos（2x）≤1，所以函数y＝f（x）g（x）的最大值为，故选：A．【点评】本题考查了三角函数图象的平移、积化和差公式、三角函数的有界性及最值，属中档题．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】由几何体的三视图得该几何体三棱锥S﹣ABC，其中底面△ABC是边长为2的等边三角形，平面SAC ⊥平面ABC，SA＝SC＝2，由此能求出该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是如图所示的三棱锥S﹣ABC，其中底面△ABC是边长为2的等边三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，∴BO＝＝3，SO＝＝1，∴该几何体的体积为：V＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分別为a，b，c，若，点G是△ABC的重心，且AG＝，则△ABC的面积为（）A．B．C．或D．或【分析】先根据正弦定理可求出A＝或，再根据向量的运算和余弦定理即可求出c，根据三角形的面积公式计算即可【解答】解：由题可知2sin A sin B﹣sin A cos C＝sin C cos A，∴2sin A sin B＝sin（A+C）＝sin B，∴sin A＝，∴A＝或，又AG＝，延长AG交BC于点D，∴AD＝，∵＝（+），∴2＝（+）2＝（b2+c2+2bc cos A），当A＝时，c＝3，∴△ABC的面积为bc sin A＝，当A＝时，c＝4，∴△ABC的面积为bc sin A＝故选：D．【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理在三角形中的应用，考查了运算求解能力，属于中档题10．（5分）函数f（x）＝x sin2x+cos x的大致图象有可能是（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性，判断函数零点个数进行判断即可．【解答】解：f（﹣x）＝﹣x sin（﹣2x）+cos（﹣x）＝x sin2x+cos x＝f（x），则函数f（x）是偶函数，排除D，由f（x）＝x2sin x cos x+cos x＝0，得cos x（2x sin x+1）＝0，得cos x＝0，此时x＝或，由2x sin x+1＝0得sin x＝﹣，作出函数y＝sin x和y＝﹣，在（0，2π）内的图象，由图象知两个函数此时有两个不同的交点，综上f（x）在（0，2π）有四个零点，排除B，C，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及函数零点个数进行排除是解决本题的关键．11．（5分）已知四棱锥S﹣ABCD，SA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCD+∠DAB＝π，SA＝2，，二面角S﹣BC﹣A的大小为．若四面体SACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．4B．4πC．8πD．16π【分析】先利用四边形ABCD的对角互补可得知A、B、C、D四点共圆，先证明BC⊥平面SAB，得出二面角S﹣BC﹣A的平面角为，可计算出AB，再利用勾股定理可得出四边形ABCD外接圆的直径AC，然后利用公式计算出外接球的半径R，最后利用球体表面积公式可得出的答案．【解答】解：如下图所示，由于AB⊥BC，∠BCD+∠BAD＝π，所以，，则A、B、C、D四点共圆．∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥SA．又BC⊥AB，且SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB，∵SB⊂平面SAB，∴BC⊥SB，则二面角S﹣BC﹣A的平面角为∠ABS，即．在Rt△ABS中，．所以，直角△ABC的外接圆直径为，即四边形ABCD的外接圆直径为AC＝2．∵SA⊥平面ABCD，所以，四棱锥S﹣ABCD的外接球直径为，因此，该球的表面积为4πR2＝π×（2R）2＝8π．故选：C．【点评】本题考查球体表面积的计算，考查二面角的定义，同时也考查了直线与平面垂直的判定，考查推理能力与计算能力，属于中等题．12．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x，若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞mx恒成立，则m的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，2]【分析】求出函数的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性确定m的范围即可．【解答】解：令g（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx，x∈（0，+∞），则g′（x）＝e x+e﹣x﹣m，x∈（0，+∞），易得函数y＝e x+e﹣x＞2在x∈（0，+∞）恒成立，故当m≤2时，g′（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立，故g（x）在（0，+∞）递增，又g（0）＝0，故f（x）＜mx恒成立，当m＞2时，∵g′（x）在x∈（0，+∞）递增，故存在x0∈（0，+∞）恒成立，使得g′（x0）＝0，故g（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，又g（0）＝0，则g（x0）＜0，这与g（x）＞0恒成立矛盾，故m≤2，即m的范围是（﹣∞，2]，故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）二项式的展开式中x﹣2的系数是﹣10．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：二项式的展开式中通项公式：T r+1＝＝（﹣1）r．令﹣＝﹣2，解得r＝3．x﹣2的系数＝﹣＝﹣10．故答案为：﹣10．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（5分）设x，y满足约束条件，则的最大值是5．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．【解答】解：x，y满足约束条件，满足的可行域如图：则的几何意义是可行域内的点与（﹣3，﹣2）连线的斜率，经过A时，目标函数取得最大值．由，可得A（﹣2，3），则的最大值是：＝5．故答案为：5．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域，判断目标函数的最值是解题的关键．15．（5分）已知sin10°+m cos10°＝2cos140°，则m＝﹣．【分析】由题意可得m＝，再利用三角恒等变换求得它的值．【解答】解：由题意可得m＝＝＝＝＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查三角恒等变换，属于中档题．16．（5分）已知A，B是抛物线y2＝2px（p＞0）上任意不同的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0），则x0的取值范围是（p，+∞）．（用p表示）【分析】设出A，B坐标，结合线段AB垂直平分线的性质建立|PA|＝|PB|，利用点在抛物线上利用消参法进行转化求解即可【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0），∴AB不平行于y轴．即x1≠x2，则|PA|＝|PB|则＝；整理得（x1﹣x2）（x1+x2﹣2x0）＝y22﹣y12，∵A，B是抛物线上的两个点，∴y12＝2py1，y22＝2py2，代入上式得x0＝p+，∵x1≥0，x2≥0，x1≠x2，∴x1+x2＞0，则得x0＝p+＞p，即x0的取值范围是（p，+∞），故答案为：（p，+∞）．【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，利用垂直平分线的性质以及消参法是解决本题的关键．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或渲算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，22题为选考题，考生根据要求作答．（-）必考题：共60分．17．（12分）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝a n+2﹣2，n∈N*．（1）若数列{a n}为等比数列，求数列{a n}的公比q的值．（2）若a2＝a1＝1，b n+1＝a n+a n+1，求数列{b n}的通项公式．可【分析】本题第一题主要抓住数列{a n}的前n项和S n与数列通项a n列的关系式，通过a1＝S1，a n＝S n﹣S n﹣1得到等比数列{a n}等比数列的公比；第二题要根据第一题求出b n的算式，然后根据数列{b n}判断为等比数列即可求出b n的通项公式．【解答】解：（1）根据题意，数列{a n}满足2S n＝a n+2﹣2，①，＝a n+1﹣2，②则有2S n﹣1①﹣②可得：2a n＝a n+2﹣a n+1，又由数列{a n}为等比数列，则有2＝q2﹣q，解可得：q＝2或﹣1，又由q＞0，则q＝2；（2）数列{a n}满足2S n＝a n+2﹣2，当n＝1时，有a3＝2S1+2＝4，当n≥2时，由（1）的结论，2a n＝a n+2﹣a n+1，变形可得：2（a n+1+a n）＝a n+2+a n+1，即2b n＝b n+1，又由b1＝a1+a2＝2，b2＝a2+a3＝1+4＝5．∴数列{b n}从第二项起是以5为首项，2为公比的等比数列．∴．【点评】本题考查数列的递推公式，涉及等比数列的性质，属于中档题．18．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，E是线段D1O的上一点．（1）若E为D1O的中点，求直线OD1与平面CDE所成角的正弦值；（2）能否存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，若能，请指出点E的位置关系，并加以证明；若不能，请说明理由．【分析】（1）设正方体的棱长为2，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出直线OD1与平面CDE所成角的正弦值．（2）假设存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，设．求出平面CD1O的法向量，平面CD1O的一个法向量，利用向量法能求出结果．【解答】解：（1）不妨设正方体的棱长为2，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），O（1，1，0）．因为点E是D1O的中点，所以点E的坐标为．所以，，．设是平面CDE的法向量，则即，取x＝2，则z＝﹣1，所以平面CDE的一个法向量为．所以．所以直线OD1与平面CDE所成角的正弦值为．（2）假设存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，设．显然，．设是平面CD1O的法向量，则，即．取x＝1，则y＝1，z＝1，所以平面CD1O的一个法向量为．因为，所以点E的坐标为．所以，．设是平面CDE的法向量，则即．取x＝1，则，所以平面CDE的一个法向量为．因为平面CDE⊥平面CD1O，所以，即，，解得λ＝2．所以λ的值为2．即当时，平面CDE⊥平面CD1O．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足面面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（12分）随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数y i（单位：人）与时间t i（单位：年）的数据，列表如下：（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式，参考数据．（2）某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．方案一：每满600元可减100元；方案二：金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率都为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．①两位顾客都购买了1050元的产品，求至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠的概率；②如果你打算购买1000元的产品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．【分析】（1）利用公式求得相关系数r≈0.97＞0.75，说明可用线性回归模型拟合；（2）①至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠等价于顾客需要至少中奖一次；②分别求出两种方案中顾客付款金额的数学期望，比较期望的大小可作出选择．【解答】解：（1）由题知，，，，，则＝．故y与t的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．（2）①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件A，则，故所求概率为．②若选择方案一，则需付款1000﹣100＝900（元），若选择方案二，设付款X元，则X可能取值为700，800，900，1000.；；；．所以（元），因为850＜900，所以选择方案二更划算．【点评】本题考查了线性回归方程，属中档题．20．（12分）顺次连接椭圆（a＞b＞0）的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．（1）求椭圆C的方程；（2）A，B是椭圆C上的两个不同点，若直线OA，OB的斜率之积为（O为坐标原点），线段OA上有一点M满足，连接BM并延长椭圆C于点N，求的值．【分析】（1）由菱形的面积公式可得2ab＝2，由勾股定理可得a2+b2＝3，解方程即可得到所求椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），．N（x3，y3），由向量的坐标表示和点满足椭圆方程，结合直线的斜率公式，化简变形，即可得到所求值．【解答】解：（1）由题可知，a2+b2＝3，解得，b＝1．所以椭圆C的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），．N（x3，y3），∵，∴，∴，．又∵，∴，即，．∵点N（x3，y3）在椭圆C上，∴，即．（*）∵A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆C上，∴，①，②又直线OA，OB斜率之积为，∴，即，③将①②③代入（*）得，解得．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用菱形的面积求法，考查点满足椭圆方程，以及化简变形能力，推理能力，属于难题．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+2alnx，若函数f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：．【分析】（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质确定a的范围即可；（2）结合二次函数的性质，求出f（x1）+f（x2）的解析式，根据函数的单调性证明即可．【解答】（1）解：因为函数f（x）在定义域（0，+∞）上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，所以在（0，+∞）上有两个根x1，x2，且x1＜x2，即x2﹣x+a＝0在（0，+∞）上有两个不相等的根x1，x2．所以解得．（2）证明：由题可知x1，x2（0＜x1＜x2）是方程x2﹣x+a＝0的两个不等的实根，所以其中．故＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）+2aln（x1x2）＝2alna﹣2a﹣1，令g（a）＝2alna﹣2a﹣1，其中．故g'（a）＝21na＜0，所以g（a）在上单调递减，则，即．【点评】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道综合题．（二）选考题，共10分．请考生在第35、36题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（a＞0，t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：θ＝（ρ∈R）．（1）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（2）若直线C3的方程为y＝﹣x，设C2与C1的交点为O，M，C3与C1的交点为O，N，若△OMN的面积为2，求a的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程进行转换．（2）利用极径建立方程组，进一步利用三角形的面积建立等量关系，求出参数的值．【解答】解：（1）曲线C1：（a＞0，t为参数）．转换为直角坐标方程为：（x﹣a）2+y2＝a2，该曲线为以（a，0）为圆心a为半径的圆．圆的极坐标方程为ρ＝2a cosθ．（2）直线C3的方程为y＝﹣x，转换为极坐标方程为：．将代入ρ＝2cosθ，解得：，则：＝，解得：a＝2．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，三角函数关系式的恒等变变换，直线方程的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|4x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式f（x）＜8；（2）若关于x的不等式f（x）+5|x+2|＜a2﹣8a的解集不是空集，求a的取值范围．【分析】（1）求出f（x）的分段函数的形式，解各个区间上的不等式的解集，取并集即可；（2）求出f（x）+5|x+2|的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）由题意可得f（x）＝，当x≤﹣2时，﹣3x+3＜8，得，无解；当时，﹣5x﹣1＜8，得，即；当时，3x﹣3＜8，得，即．所以不等式的解集为．（2）f（x）+5|x+2|＝|4x﹣1|+|4x+8|≥9，则由题可得a2﹣8a＞9，解得a＜﹣1或a＞9．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。

数 学( 理) 试卷（五）第Ⅰ卷（ 共 40 分）一、本大 共 8 小 ，每小5 分，共 40 分．在每小 列出的四个 中， 出切合 目要求的一 ．1．已知会合 UR ， A{ x x 25x 6 0} ，那么 e U A (A){ x x 2 或 x3} (B){ x 2 x3} (C) { x x 2 或 x 3} (D) { x 2 x3}2． ( x2 )6 的睁开式中常数 是(A) -160x(B) -20(C) 20(D) 1603．已知平面向量a ，b 的 角 60°， a(3,1) ， | b | 1， | a 2b |(A) 2(B)7(C) 2 3(D) 2 74． 等差数列a n 的公差 d ≠ 0， a 1 4d ．若 a k 是 a 1 与 a 2k的等比中 ， k(A) 3 或 -1(B)3 或 1(C) 3(D) 1 5． m ， n 是两条不一样的直 ，α，β，γ是三个不一样的平面．有以下四个命 ：① 若 m ，， m；②若 //， m， m //；③ 若 n， n， m， m； ④ 若，， m， m此中正确命 的序号是(A) ①③(B) ①②(C) ③④ (D) ②③6．已知函数f ( x)x 3 ,x 0,若 f(2-x2， 数 x 的取 范 是ln( x 1), x>0.)>f(x)(A) (, 1)(2,)(B)( , 2) (1, ) (C) ( 1,2)(D) ( 2,1)7．从如 所示的正方形OABC 地区内任取一个点 M ( x, y) ， 点 M 取自暗影部分的概率(A)1(B)1(C)1(D)1 2346 y8．于定域和域均[0 ， 1] 的 函 数 f(x)， 定f 1( x)f ( x) ，f 2 (x)f ( f 1( x)) ，⋯， f n ( x)f ( f n 1( x)) ，n=1，2，3，⋯． 足 f n (x)x 的 C2x, 0 1x ,点 x ∈ [0 ，1] 称 f 的 n 周期点．f (x)2 f 的 nO12 1,2x, x2周期点的个数是n2(A) 2n (B) 2(2n-1)(C) 2(D) 2n第Ⅱ卷（非共 110 分）二、填空 ：本大 共6 小 ，每小 5 分，共 30 分．y9．如 所示， 在平面直角坐 系xOy 中，角 α 的 与 位 交于点A ，A点 A 的 坐4， cos α =．5O10．双曲 的焦点在 x 上， 4，离心率 3， 双曲 的准方程 ， 近 方程 ．．y x 2By x(1,1)Axx11．已知M ： x 2+y 2-2x-4y+1=0 ， 心 M 到直x 4t3,（t参数）y 3t 1,的距离 ．A12．如 所示， ⊙ O 外一点 A 作一条直 与⊙ O 交于 C ， D 两点， AB 切⊙ O 于 B ，弦 MN CD 的中点 P ．已知 AC=4，AB=6， MP · NP=．13． 某栽花卉的开放花期追踪 ， 状况以下：D花期（天）11～ 1314～ 1617～ 1920～ 22N20403010个数种卉的均匀花期 天．14．将全体正奇数排成一个三角形数 ：1 35 7911 131517 19⋯⋯依据以上摆列的 律，第 n 行（ n ≥3）从左向右的第 3 个数 ．三、解答 ：本大 共 6 小 ，共80 分．解答 写出文字 明，演算步 或 明 程．15. （本小 共 13 分）222在△ ABC 中， a ，b ， c 分 内角A ，B ，C 的 ，且b +c -a =bc ．M CPBO（Ⅱ） 函数 f (x)3 sin x cosxcos 2x ，当 f ( B) 取最大 3，判断△ ABC 的形2 22 2状．16. （本小 共 14 分）如 ，在四棱 P-ABCD 中，底面 ABCD 直角梯形， AD//BC ，∠ ADC=90°，平面 PAD ⊥底面 ABCD ， Q AD 的中点， M 是棱 PC 上的点， PA=PD=2，BC=1AD=1， CD= 3 ．2（Ⅰ）若点 M 是棱 PC 的中点，求 ： PA // 平面 BMQ ；（Ⅱ）求 ：平面 PQB ⊥平面 PAD ；（Ⅲ）若二面角M-BQ-C 30°， PM=tMC ， 确立 t 的 ．17. （本小 共 13 分）P某商 在店 日 行抽 促 活 ，当天在 店消 的 客可参加抽 ．抽 箱中有大小完整同样的 4 个小球，分 有字“生”“意”M“ ”“隆”． 客从中随意拿出1 个球， 下D上边的字后放回箱中，再从中任取1 个球，重复以上操作， 最多取 4 次，并 定若拿出“隆” Q字球， 停止取球． 以下：挨次取到C有“生”“意”“ ”“隆”字的球 一等； 不 分 序 取 到有AB“生”“意”“ ”“隆”字的球，二等 ；取到的 4 个球中有 有“生”“意”“ ”三个字的球 三等 ．（Ⅰ）求分 得一、二、三等 的概率；（Ⅱ） 摸球次数 ，求的散布列和数学希望．18. （本小 共 13 分）已知函数 f ( x)1 x 31ax 2x b(a0) ， f '(x) 函数 f ( x) 的 函数．（Ⅰ） 函数 f(x) 的 象与 x 交点 A ，曲 y=f(x) 在 A 点 的切 方程是y 3x 3 ，求 a, b 的 ； （Ⅱ）若函数 g(x)e axf '( x) ，求函数 g( x) 的 区 ．19. （本小 共 14 分）已知点 A( 1,0) ， B(1,0) ， 点 P 足 |PA | |PB | 2 3 ， 点 P 的 迹 W ．（Ⅰ）求 W 的方程；（Ⅱ）直y kx 1 与曲W 交于不一样的两点C ，D ，若存在点 M (m,0) ，使得CMDM 成立，求 数m 的取 范 ．20. （本小 共 13 分）已知 S n { A A (a 1, a 2, a 3 ,L , a n ) ，a i 0 或 1，i1,2,L , n} (n2) ， 于 U ,VS n ，d (U ,V ) 表示 U 和 V 中相 的元素不一样的个数．（Ⅰ）令 U (0,0,0,0,0) ，存在 m 个 V S 5 ，使得 d (U ,V )2，写出 m 的 ；（Ⅱ）令 W(0,0,0, L ,0) ，若 U ,VS n ，求 ： d (U ,W ) d (V ,W ) d (U ,V ) ；142 43n 个 0（Ⅲ）令 U(a 1 , a 2 , a 3 ,L , a n ) ，若 VS n ，求全部 d(U ,V ) 之和．2013 高考百天仿真冲刺卷数学 ( 理 ) 卷（五）参照答案一、 ：本大 共 8 小 ，每小5 分，共 40 分．号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B A CCDDBC二、填空 ：本大 共 6 小 ，每小5 分，共 30 分．9．3x 2y 21， y 2 2x 11． 210．54 3212．2513． 16 天（ 15.9 天 分）14． n 2-n+543 分，第二个空填 得 2 分．注：两个空的填空 第一个空填 得三、解答 ：本大 共 6 小 ，共80 分．解答 写出文字 明，演算步 或 明 程．15. （本小 共 13 分）解：（Ⅰ）在△ ABC 中，因 b 2+c 2-a 2=bc ，由余弦定理 a 2= b 2+c 2-2bccosA 可得 cosA= 1． ( 余 弦定理或公式必 有一个，否 扣1 分 ) ⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分2∵ 0<A< π ，（或写成 A 是三角形内角）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分∴ A．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分3（Ⅱ） f ( x)3 sin xcos xcos 2x3 sin x1 cos x 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分2 2 2 22 2sin( x) 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分26∵ A∴ B(0,2) ∴6B65 （没 ，扣 1 分）⋯⋯⋯ 10 分3 363⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∴当 B62，即 B， f (B) 有最大 是11 分32又∵ A，∴ C3 ∴△ ABC 等 三角形． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分316. （本小 共 14 分）明：（Ⅰ） 接 AC ，交 BQ 于 N ， 接 MN ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分∵ BC ∥ AD 且 BC=1AD ，即 BC // AQ ．2∴四 形 BCQA 平行四 形，且 N AC 中点，又∵点 M 是棱 PC 的中点，∴ MN // PA ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∵ MN 平面 MQB ， PA 平面 MQB ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分∴PA //平面 MBQ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（Ⅱ）∵ AD // BC ， BC=1AD ， Q AD 的中点，2∴四 形 BCDQ 平行四 形，∴ CD // BQ ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∵∠ ADC=90°∴∠ AQB=90° 即 QB ⊥AD ．又∵平面 PAD ⊥平面 ABCD且平面 PAD ∩平面 ABCD=AD ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分∴ BQ ⊥平面 PAD ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分∵ BQ 平面 PQB ，∴平面 PQB ⊥平面 PAD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分另 ： AD // BC ， BC=1AD ， Q AD 的中点∴ BC // DQ且 BC= DQ ，2∴ 四 形 BCDQ 平行四 形，∴ CD // BQ ．∵∠ ADC=90°∴∠ AQB=90° 即 QB ⊥AD ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∵ PA=PD ， ∴ PQ ⊥ AD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分∵ PQ ∩BQ=Q ，∴ AD ⊥平面 PBQ ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分 ∵ AD 平面 PAD ， ∴平面 PQB ⊥平面 PAD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分 （Ⅲ）∵ PA=PD ， Q AD 的中点， ∴ PQ ⊥AD ．∵平面 PAD ⊥平面 ABCD ，且平面 PAD ∩平面 ABCD=AD ， ∴PQ ⊥平面 ABCD ．⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分z （不 明 PQ ⊥平面 ABCD 直接建系扣 1 分）P如 ，以 Q 原点成立空 直角坐 系．r平面 BQC 的法向量n (0,0,1) ；Q (0,0,0) ， P(0,0, 3) ， B(0, M ( x, y, z) ，uuuuruuuur (x, y, zPM 3)，MCxt ( 1 x)∴y t ( 3 y) ， z3 t ( z ）分3,0) ， C ( 1, 3,0) ．⋯⋯⋯ 11 分 Muuuur uuuurD( 1 x, 3y,z) ，∵ PM tMC ，tQCxtAN1 3tB∴ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 xyy1 t 3 z1 tuuuruuuur t, 3t , 3) ， 在平面 MBQ 中， QB (0, 3,0)，QM ( ur 1 t 1 t 1 t∴ 平面 MBQ 法向量 m ( 3,0, t ) ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分r ur t 3∵二面角 M-BQ-C 30°，n m 3．⋯⋯ 14 分cos30r ur3 0 t 2，∴ tn m217. （本小 共 13 分）解：（Ⅰ） “摸到一等 、二等 、三等 ”分 事件A ，B ，C ．⋯⋯1分P(A)=11 1 1 1 ，（列式正确， 算 ，扣1 分）⋯⋯⋯3分A 33 -14 4 4 4 256P(B)5 （列式正确， 算 ，扣1分） ⋯⋯⋯5分43256三等 的状况有：“生，生，意， ”；“生，意，意， ”；“生，意， ， ”三种情 况．P(C)(11 1 1 A 42) ( 1111 A 42) ( 11 11 A 42 ) 9 ．⋯7分44 4 44 4 44 44 44 64（Ⅱ） 摸球的次数，1,2,3 ． ⋯⋯8分P(1)1，P(2)3 1344 ，416P(3)3 3 1 9，P(4) 1P(1) P(2) P(2744 4 643)．（各 1 分）64故取球次数的散布列1234P 13 9274 16 6464⋯12 分E1 1 32 9 327 4 2.75． (2.7)⋯13 分4 16 64 6418. （本小 共 13 分）解：（Ⅰ）∵ f ( x)1 x 3 1 ax2 x b(a0) ，3 2∴ f '( x)x 2 ax 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∵ f (x) 在 (1,0) 切 方程y3x 3 ，f '(1)3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分∴，f (1)∴ a1， b11⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分6． （各 1分）（Ⅱ） g (x)f '( x)x 2 ax 1( xR) ．eaxeaxg '( x) (2 x a)e axa(x 2 ax 1)e ax x[ ax ( a 22)]e ax ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分(e ax ) 2 ①当 a0 ， g '( x) 2 x ，x(,0)0 (0, )g '( x) -0 +g( x)]极小Zg(x) 的 增区(0,) ， 减区 (,0) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分②当 a0 ，令 g '(x)0 ，得 x0 或 x2 a ⋯⋯⋯⋯⋯10 分a2（ⅰ）当a 0，即 0a2 ，aa 2a 2a 2x (,0)(0,2)2 (2, )aaag '(x) -+-g (x)]极小Z极大]g(x) 的 增区(0,2a 2) ， 减区 (,0) ，(2a 2 , ) ；⋯⋯ 11 分2aa（ⅱ）当a 0 ，即 a2 ， g '( x) 2x 2 e 2 x 0 ，a故 g( x) 在 ( , ) 减；⋯⋯12 分（ⅲ）当2a 0 ，即 a2 ，ax(,2a)2 a ( 2a,0)(0,)g '( x)aaa-+0 -g ( x)]极小Z极大]g(x) 在 (2 a 2,0) 上 增，在(0,) ， (,2a 2 ) 上 减 ⋯⋯⋯ 13 分 aa上所述，当 a 0 ， g( x) 的 增区(0, ) ， 减区( ,0) ；当 0a2 ， g (x) 的 增区(0,2 a 2 ( ,0) ，) ， 减区a当 a2 ， g (x) 的 减区( , ) ； 当 a2 ， g( x) 的 增区(2a 2,0) ， 减区(0,) ， (, 2 a 2) ．aa（“ 上所述”要求必定要写出来）19. （本小 共 14 分） 解：（Ⅰ）由 的定 可知， 点P 的 迹是以 A ， B 焦点，23的 ． 2分∴ c1， a3 ， b 2 2．⋯⋯ 3 分W 的方程是 x 2y 2 1．⋯⋯⋯⋯ 4 分32（另解： 坐1 分，列方程1 分，得 果2 分）（Ⅱ）C ，D 两点坐 分 C ( x 1 , y 1) 、 D ( x 2 , y 2 ) ， C ， D 中点 N (x 0 , y 0 ) ．y kx 1由 x 2 y 2得 (3k 2 2) x 2 6kx 3 0．⋯⋯ 6 分3 2 16k因此 xx⋯⋯⋯⋯ 7 分213k 22∴ x 0x 1 x 2 3k ，进而 y 0kx 0 12．23k 2223k2y02∴ MN 斜率 k MN3k22．⋯⋯⋯ 9分x0m3km3k 222 1即m k又∵ CM DM ，∴CD MN ，∴3k 223k ⋯3k m k223k 210 分2当 k0 ， m0 ；⋯⋯11分当 k0， m3k k212[6,0) (0,6] ．⋯⋯13分23k1212k故所求 m 的取范是 [6 , 6]12 12．⋯⋯ 14 分20.（本小共 13 分）解：（Ⅰ） C5210 ；⋯⋯⋯3分（Ⅱ）明：令 u(a1, a2 ,a3⋯⋯ a n ) ， v (b1, b2 ,b3⋯⋯ b n )∵ a i0 或1， b i 0 或1；当 a i0 ， b i0 ， | a i | |b i | 0 | a i b i |当 a i0 ， b i 1 ， | a i | |b i | 1 | a i b i|当 a i1， b i0 ， | a i | |b i | 1 | a i b i|当 a i1， b i1， | a i | |b i | 2 | a i b i| 0故 | a i | | b i | | a i b i∴d (u, w) d(v, w)(| a1 | | a2 | | a3|+ (| a1 b1 | | a2 b2（Ⅲ）解：易知S n中共有|(a1a2a3 +L +a n ) (b1b2b3 +L +b n )L +| a n |) (| b1 | |b2 || b3|+ L +| b n |)| | a3b3|+ L +| a n b n |) d (u, v) ⋯⋯⋯8分2n个元素，分v k ( k 1,2,L ,2n ) v(b1 ,b2 , b3⋯⋯ b n )∵ b i 0 的 v k共有2n 1个， b i 1的 v k共有2n 1个．2n∴(2 n 1 | a1 0 | 2n 1 | a11|2n 1 | a22 n= ng2n 1⋯⋯ 13 分∴ d (u, v k ) =ng2nk1法二：依据（Ⅰ）知使 d (u,v k )2nd (u, v k ) =0gC n01gC n1∴k12nd (u, v k )=k 10 | 2n 1 | a2 1|+ L +2n 1| a n0 | +2n 1| a n 1|)1 ．r 的 v k共有 C n r个2gC n2 L ngC n nd (u, v k ) =ngC n n(n 1)gC n n 1(n 2)gC n n 2L0gC n0 k 12n两式相加得 d (u, v k ) =ng2n 1（若用其余方法解题，请酌情给分）k 1。