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1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系学习目标 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.3。
掌握空间中平面与平面的位置关系．知识点一直线和平面的位置关系思考如图所示,在长方体ABCD—A1B1C1D1中线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？答案三种位置关系：（1）直线在平面内；(2)直线与平面相交；（3)直线与平面平行．梳理直线l与平面α的位置关系（1）直线l在平面α内(l⊂α)．（2）直线l在平面α外l⊄α错误!知识点二两个平面的位置关系思考观察前面问题中的长方体，平面A1C1与长方体的其余各个面,两两之间有几种位置关系?答案两种位置关系：两个平面相交或两个平面平行．梳理平面α与平面β的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β＝l无数个点(共线）类型一直线与平面的位置关系例1下列四个命题中正确命题的个数是（）①如果a，b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行;③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；④如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.A．0 B．1 C．2 D．3答案B解析如图,在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC,故命题②不正确；③中，假设b与α相交，因为a∥b,所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即③正确；④显然不正确,故答案为B。
反思与感悟空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．本题借助几何模型判断，通过特例排除错误命题．对于正确命题,根据线、面位置关系的定义或反证法进行判断,要注意多种可能情形．跟踪训练1下列命题(其中a,b表示直线,α表示平面)：①若a∥b，b⊂α,则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b;③若a∥b,b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α,则a∥b.其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案A解析如图所示，在长方体ABCD—A′B′C′D′中,AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD,故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交,故②错误；AB∥A′B′,A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．类型二平面与平面之间的位置关系错误!例2α、β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是（) A．平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥βD．平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β答案D解析A、B都不能保证α、β无公共点,如图1所示；C中当a∥α,a∥β时，α与β可能相交，如图2所示;只有D说明α、β一定无公共点．反思与感悟判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．跟踪训练2已知两平面α、β平行，且a⊂α,下列四个命题:①a与β内的所有直线平行;②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．其中正确命题的个数是(）A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面；②正确;③中直线a与β内的无数条直线垂直；④根据定义a与β无公共点，正确．命题角度2两平面位置关系的作图例3（1）画出两平行平面；（2)画出两相交平面．解两个平行平面的画法：画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如图a所示．两个相交平面的画法：第一步，先画表示平面的平行四边形的相交两边，如图b所示；第二步，再画出表示两个平面交线的线段，如图c所示;第三步，过b中线段的端点分别引线段，使它们平行且等于图c中表示交线的线段，如图d所示；第四步,画出表示平面的平行四边形的第四边(被遮住部分线段可画成虚线，也可不画),如图e 所示．引申探究在图中画出一个平面与两个平行平面相交．解跟踪训练3试画出相交于一点的三个平面．解如图所示（不唯一)．1．下列图形所表示的直线与平面的位置关系，分别用符号表示正确的一组是()A．a⊄α，a∩α＝A,a∥αB．a∉α，a∩α＝A，a∥αC．a⊂α，a∩α＝A，a∥αD．a∈α，a∩α＝A,a∥α答案C解析直线在平面内用“⊂”，故选C.2．如图所示，用符号语言可表示为(）A．α∩β＝l B．α∥β,l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β,l⊂α答案D3．若直线l不平行于平面α,且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交答案B解析由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的．4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．答案0或1解析若平面外两点所在直线与平面相交时，经过这两点与已知平面平行的平面不存在．若平面外两点所在直线与已知平面平行时，此时,经过这两点有且只有一个平面与已知平面平行．5．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，分别指出直线B1C，D1B 与正方体六个面所在平面的关系．解根据图形，直线B1C⊂平面B1C，直线B1C∥平面A1D，与其余四个面相交，直线D1B与正方体六个面均相交．1．弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断,要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．2．长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱"之称．课时作业一、选择题1．已知直线a在平面α外，则（)A．a∥αB．直线a与平面α至少有一个公共点C．a∩α＝AD．直线a与平面α至多有一个公共点答案D解析因已知直线a在平面α外，所以a与平面α的位置关系为平行或相交，因此断定a∥α或断定a与α相交都是错误的，但无论是平行还是相交,直线a与平面α至多有一个公共点是正确的，故选D。
描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系一、学习任务理解空间点、线、面的位置关系，会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系；了解可以作为推理依据的公理和定理，能正确地判断空间线线、线面与面面的位置关系．二、知识清单平面的概念与基本性质 点、线、面的位置关系三、知识讲解1.平面的概念与基本性质平面的概念生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是几何中的平面是没有厚度、无限延展的．平面的画法我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面，平行四边形的锐角通常画为 ，且横边长等于其邻边长的 倍．如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡的部分用虚线画出来．平面的表示为了表示平面，常把希腊字母 等等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面 、平面 ；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如图中的平面可以表示为平面 、平面 或者平面 ．集合符号在立体几何中的应用以点作为元素，直线和平面都是由点构成的集合．几何中许多符号的规定都是源于将图形视为点集．例如：点 在平面 内，记作 ；点 不在平面 内，记作 ．直线 在平面 内，记作 ；直线 不在平面 内，记作 ；直线 与 相交于点 ，记作 ；平面 与平面 相交于直线 ，记作 ．平面的基本性质平面的基本性质是由三条公理描述的：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．45∘2α,β,γαβABCD AC BD A αA ∈αA αA ∉αl αl ⊂αl αl ⊄αl m A l ∩m =A αβa α∩β=a A ∈l A ∈α例题：符号语言：，，且 ，．公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．符号语言：，且 ，且 ．空间位置关系与几何量的基础平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．A∈l B∈l A∈αB∈α⇒l⊂αP∈αP∈β⇒α∩β=l P∈l用符号语言表示下列语句．（1）点 在平面 外，点 在平面 内，直线 经过点 ，；（2） 与 交于 ， 与 交于 ．解：（1），，，．（2），．AαBαl A B平面ABD平面BCD BD平面ABC平面ADC ACa∉αB∈αA∈l B∈l平面ABD∩平面BCD=BD平面ABC∩平面ADC=AC如图所示，在四面体 中，、、、 分别是 、、、 上的点，且 ，求证 ，， 三点共线．ABCD E F G H AB AD BC CDEF∩GH=PB D P2.点、线、面的位置关系证明：因为 ，，所以 ，同理，，又，所以 ，，而 ，所以 ，即 ，， 三点共线．E ∈ABF ∈AD EF ⊂平面 ABD GH ⊂平面 BCD EF ∩GH =P P ∈平面 ABD P ∈平面 BCD 平面 ABD ∩平面 BCD =BD P ∈直线BD B D P 已知：如图，，，．求证：直线 ，， 在同一平面内．证法一：（同一法）因为 ，所以 和 确定一个平面 ． 因为 ，所以 ．又因为 ，所以 ．同理可证 ．又 ，，所以 ．因此，直线 ，， 在同一个平面内．证法二：（重合法）因为 ，所以 ， 确定一个平面 ．因为 ，所以 ， 确定一个平面 ．又因为 ，，所以 ．又 ，，所以 ．同理可证得 ，，，．所以不共线的三个点 ，， 在平面 内，又在平面 内．所以平面 和平面 重合，即直线 ，， 在同一平面内．∩=A l 1l 2∩=B l 2l 3∩=C l 1l 3l 1l 2l 3∩=A l 1l 2l 1l 2α∩=B l 2l 3B ∈l 2⊂αl 2B ∈αC ∈αB ∈l 3C ∈l 3⊂αl 3l 1l 2l 3∩=A l 1l 2l 1l 2α∩=B l 2l 3l 2l 3βA ∈l 2⊂αl 2A ∈αA ∈l 2⊂βl 2A ∈βB ∈αB ∈βC ∈αC ∈βA B C αβαβl 1l 2l 3结合空间想象回答下列问题：（1） 个平面可以分空间为______部分；（2） 个平面可以分空间为______部分；（3）正方体的各个面延伸后将空间分成______部分．解：（1），；（2），，，；（3）．对于（1）：当 个平面平行时，分成 部分；当两个面相交时，分成 部分；对于（2）：当 个平面两两平行时，分成 部分；当其中两个平面平行，和另外一个平面相交或者三个平面相交于一条直线时，分成 部分；当 个平面两两相交且交线两两平行时，分成 部分；当 个平面两两相交且交线相交于一点时，分成 部分；对于（3）：首先，将正方体的四个侧面延伸，可知将空间分成 部分，然后，将正方体的上下底面延伸可知将之前部分分成了 层，每层 部分，共 部分 ．233446782723434637389393×9=27若直线 、、 相交于一点，则这 条直线可能确定的平面有（ ）A． 个 B． 个 C．无数个 D． 个或 个解：D当 、、 三线共面时，平面只有 个；当三线不共面时，任意两条可确定一个平面，共 个．a b c 30113a b c 13描述：例题：点与平面的位置关系平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点 在平面 内，记作 ；点 不在平面 内，记作 ．直线与直线的位置关系空间直线与直线的位置关系共有以下两种：共面直线 在同一平面内的两条直线．更进一步，若这两条直线有且只有一个公共点，则称它们是相交直线 ，若这两条直线没有公共点，则称它们是平行直线；异面直线 不同在任何一个平面内的两条直线．直线垂直如果两条直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直，记作 ．在空间，两条直线垂直包括两种情形：共面垂直和异面垂直．直线与平面的位置关系空间直线与平面的位置关系共有以下三种：直线在平面内 直线上的所有点都在平面内；直线与平面相交 直线与平面有且仅有一个公共点；直线与平面平行 直线与平面没有公共点．平面与平面的位置关系空间平面与平面的位置关系共有以下两种：平行 两个平面没有公共点，则称这两个平面平行；相交 两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，此时这条公共直线称为这两个平面的交线．A αA ∈αA αA ∉αa ⊥b 如果在两个平面内分别各有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直相交解：C可根据题意作图判断，如图所示，分别为两个平面平行、相交的情况 ．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（ ）A．相交 B．异面 C．异面或相交 D．平行解：C如图所示，可能相交，也可能异面，若两直线平行，则此两条直线确定一个平面，且原两条异面直线均在此平面内，故矛盾 ．四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）若直线 不平行于平面 ，且 ，则（ ）A． 内的所有直线与 异面 B． 内不存在与 平行的直线 C． 内存在唯一的直线与 平行 D． 内的直线与 都相交解：B依题意，设直线 ，如图． 内的直线若经过点 ，则与直线 相交；若不经过点 ，则与直线 是异面直线，但不可能与 平行．l αl ⊄ααl αl αl αl l ∩α=A αA l A l l 答案：解析：1. 如图，在正方体 中， 是底面正方形 的中心， 是 的中点， 是 上的动点，则直线 、 的位置关系是 ．A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直C和点 确定平面 ，且 平面 ， 判定 与平面 的位置关系，只需判定直线 的位置关系即可．ABCD −A 1B 1C 1D 1O ABCD M D D 1N A 1B 1NO AM ()A 1B 1O O A 1B 1NO ⊂O A 1B 1∴MA O A 1B 1NO 、AM 答案：2. 平行六面体 中，既与 共面也与 共面的棱的条数为 A ．B ．C ．D ．C ABCD −A 1B 1C 1D 1AB C C 1()3456答案：3. 正方体 中， 、 、 分别是 、 、 的中点．那么，正方体的过 、 、 的截面图形是 A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形D ABCD −A 1B 1C 1D 1P Q R AB AD B 1C 1P Q R ()4. 下列正方体或正四面体中，，，， 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是 P Q R S ()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
直线与平面垂直的判定
学习目标.理解直线与平面垂直的定义.掌握直线与平面垂直的判定定理的内容及其应用.应用直线与平面垂直的判定定理解决问题．
知识点一直线与平面垂直的定义
思考在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？
答案不变，°.
梳理
定义如果直线与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面α互相垂直
记法⊥α
有关
直线叫做平面α的垂线，平面α叫做直线的垂面，它们唯一的公共点叫做垂足
概念
图示
画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
知识点二直线和平面垂直的判定定理
将一块三角形纸片沿折痕折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(，与桌面接触)．如图，观察折痕与桌面的位置关系．
思考折痕与桌面一定垂直吗？
答案不一定．
思考当折痕满足什么条件时，与桌面垂直？
答案当⊥且⊥时，折痕与桌面垂直．
梳理
文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 符号语言 ⊥，⊥，⊂α，⊂α，∩＝⇒⊥α
图形语言
知识点三直线与平面所成的角
有关概念
对应图形 斜线
与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线
斜足 斜线和平面的交点，图中点
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜
线在平面α上的射影为直线
直线与平面
所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中∠ 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是°；一条直线和平面平行，或。
描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质一、学习任务认识和理解空间中线面垂直的有关判定定理和性质定理，能用图形语言和符号语言表述这些定理，并能证明有关性质定理；能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．二、知识清单空间的垂直关系 点面距离三、知识讲解1.空间的垂直关系直线与平面垂直的判定如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相垂直．记作．直线 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 叫做垂足．直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号表示：，，，，．平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．用符号表示：，．l αl αl ⊥αl ααl P a b ⊂αa ∩b =P l ⊥a l ⊥b ⇒l ⊥αl ⊥αl ⊂β⇒α⊥β例题：直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行．用符号表示：，．平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号来表示：，，，．a ⊥αb ⊥α⇒a ||b α⊥βα∩β=CD AB ⊂αAB ⊥CD ⇒AB ⊥β下列命题中，正确的序号是______．①若直线 与平面 内的无数条直线垂直，则 ；②若直线 与平面 内的一条直线垂直，则 ；③若直线 不垂直于平面 ，则 内没有与 垂直的直线；④若直线 不垂直于平面 ，则 内也可以有无数条直线与 垂直；⑤过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条．解：④⑤当直线 与平面 内的无数条平行直线垂直时， 与 不一定垂直，所以①不正确；当 与 内的一条直线垂直时，不能保证 与平面 垂直，所以②不正确；当 与 不垂直时，可能与 内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．故填④⑤．l αl ⊥αl αl ⊥αl ααl l ααl l αl αl αl αl αl α如图，三棱锥 中，，底面 的斜边为 ， 为 上一点．求证： ．证明：因为 ，，所以 ．又 ，，所以 ．又 ，所以 ．P −ABC P A ⊥平面 ABC Rt△ABC AB F P C BC ⊥AF P A ⊥平面 ABC BC ⊂平面 ABC P A ⊥BC AC ⊥BC AC ∩P A =A BC ⊥平面 P AC AF ⊂平面 P AC BC ⊥AF 如图，已知四棱锥 ，底面 是菱形，，，，点 为 的中点．求证：．P −ABCD ABCD ∠DAB =60∘P D ⊥平面 ABCD P D =AD E AB 平面P ED ⊥平面 P ABAB⊂平面P AB又 ，所以3P C⊥AC C，求点 到平面P A⊥ABCD高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
2.3.3直线与平面垂直的性质
2.3.4平面与平面垂直的性质
学习目标 1.掌握空间中线面、面面垂直的性质定理.2.能够运用线面、面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.3.理解线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系．
知识点一直线与平面垂直的性质定理
思考在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？
答案平行．
梳理
知识点二平面与平面垂直的性质定理
思考黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直．
梳理。
平面与平面垂直的判定
学习目标.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直．
知识点一二面角
思考观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？
答案二面角．
思考平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？
答案二面角的平面角．
梳理二面角的概念
()定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
()相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．
()画法：
()记法：二面角α－－β或α－－β或－－或－－.
()二面角的平面角：若有①∈；②⊂α，⊂β；③⊥，⊥，则二面角α－－β的平面角是∠.
知识点二平面与平面垂直
思考建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？
答案都是垂直．
梳理两面垂直的定义及判定
()平面与平面垂直
①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
②画法：
③记作：α⊥β.
()判定定理
文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
图形语言
符号语言⊥α，⊂β⇒α⊥β
类型一证明面面垂直。
平面与平面平行的性质
学习目标.掌握平面与平面平行的性质，并会应用性质解决问题.知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化．
知识点平面与平面平行的性质
观察长方体－的两个面：平面及平面.
思考平面中的所有直线都平行于平面吗？
答案是的．
思考若⊂平面，⊂平面，则∥吗？
答案不一定，也可能异面．
思考过的平面交面于，与是什么关系？
答案平行．
梳理
文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
符号语言α∥β，α∩γ＝，β∩γ＝⇒∥
图形语言
类型一面面平行的性质定理的应用
例如图，平面α∥β，、∈α，、∈β，直线与交于，且＝，＝，＝，求的长．
证明设，共面γ，因为γ∩α＝，γ∩β＝，且α∥β，
所以∥，
所以△∽△，所以＝，
即＝，所以＝.
引申探究
若将本例改为：点在平面α，β之间(如图)，其他条件不变，求的长．
解设，共面γ，γ∩α＝，γ∩β＝.
因为α∥β，所以与无公共点，所以∥，
所以△∽△，所以＝.
设＝，则＝，所以＝，
即＝.。
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系学习目标 1.了解空间中两条直线的位置关系.2.理解异面直线的概念、画法.3.理解并掌握公理4及等角定理.4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角．知识点一 空间两直线的位置关系思考 在同一平面内，两条直线有几种位置关系？观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？答案 平行与相交．教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB 与CD . 梳理 异面直线的概念(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线． (2)异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．(3)判断两直线为异面直线的方法 ①定义法；②两直线既不平行也不相交． (4)空间两条直线的三种位置关系 ①从是否有公共点的角度来分：⎩⎪⎨⎪⎧没有公共点⎩⎪⎨⎪⎧平行异面有且仅有一个公共点——相交②从是否共面的角度来分：⎩⎪⎨⎪⎧在同一平面内⎩⎪⎨⎪⎧平行相交不同在任何一个平面内——异面知识点二 平行公理(公理4)思考 在平面内，直线a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c 则a ∥c .该结论在空间中是否成立？ 答案 成立． 梳理 平行公理的内容(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行． (2)符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 知识点三 等角定理思考 观察图，在长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，∠ADC 与∠A ′D ′C ′，∠ADC 与∠D ′A ′B ′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案 从图中可以看出，∠ADC ＝∠A ′D ′C ′，∠ADC ＋∠D ′A ′B ′＝180°. 梳理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补． 知识点四 异面直线所成的角思考 在长方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，BC 1∥AD 1，则“直线BC 1与直线BC 所成的角”与“直线AD 1与直线BC 所成的角”是否相等？答案 相等． 梳理类型一异面直线的判断例1如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS是异面直线的是()答案 C解析本题容易错选A或B或D.不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择．A，B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS 相交．故选C.反思与感悟判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行．只要既不相交，也不平行，就是异面直线．跟踪训练1如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH 这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？解还原的正方体如图所示，是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.类型二公理4及等角定理的应用例2 已知E ，E ′分别是正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱AD ，A ′D ′的中点． (1)求证：四边形BB ′E ′E 为平行四边形； (2)求证：∠BEC ＝∠B ′E ′C ′.证明 (1)如图所示，因为E ，E ′分别是AD ，A ′D ′的中点，所以AE ∥A ′E ′，且AE ＝A ′E ′.所以四边形AEE ′A ′是平行四边形． 所以AA ′∥EE ′，且AA ′＝EE ′. 又因为AA ′∥BB ′，且AA ′＝BB ′， 所以EE ′∥BB ′，且EE ′＝BB ′. 所以四边形BEE ′B ′是平行四边形．(2)由(1)知，四边形BB ′E ′E 为平行四边形，所以BE ∥B ′E ′. 同理可证CE ∥ C ′E ′.又∠BEC 与∠B ′E ′C ′的两边方向相同， 所以∠BEC ＝∠B ′E ′C ′. 引申探究本例2中取C ′D ′的中点G ′，求证四边形ACG ′E ′为梯形． 证明 连接A ′C ′.∵E ′，G ′分别为A ′D ′，C ′D ′的中点， ∴E ′G ′綊12A ′C ′.∵AA ′綊CC ′，∴四边形ACC ′A ′是平行四边形， ∴A ′C ′綊AC ，∴E ′G ′綊12AC ，∴四边形ACG ′E ′是梯形．反思与感悟(1)公理4的作用公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．(2)剖析“等角定理”①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．②如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补．③如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相反，那么这两个角相等．跟踪训练2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点．求证：△EFG∽△C1DA1.证明如图，连接B1C.因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF綊12B1C.又ABCD—A1B1C1D1为正方体，所以CD綊AB，A1B1綊AB，由公理4知CD綊A1B1，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D綊B1C.又B1C∥FG，由公理4知A1D∥FG.同理可证：A1C1∥EG，DC1∥EF.又∠DA 1C 1与∠EGF ，∠A 1DC 1与∠EFG ，∠DC 1A 1与∠GEF 的两边分别对应平行且均为锐角，所以∠DA 1C 1＝∠EGF ，∠A 1DC 1＝∠EFG ，∠DC 1A 1＝∠GEF . 所以△EFG ∽△C 1DA 1. 类型三 求异面直线所成的角例3 空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，且AB 与CD 所成锐角为30°，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小．解 如图所示，取AC 的中点G ，连接EG ，FG ，则EG 綊12AB ，GF 綊12CD ，由AB ＝CD 知EG ＝FG ，从而可知∠GEF 为EF 与AB 所成角，∠EGF 或其补角为AB 与CD 所成角． ∵AB 与CD 所成角为30°， ∴∠EGF ＝30°或150°，由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝75°， 当∠EGF ＝150°时，∠GEF ＝15°， 故EF 与AB 所成角的大小为15°或75°.反思与感悟 求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角． (2)计算角：求角度，常利用三角形．(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．跟踪训练3 在空间四边形ABCD 中，两条对边AB ＝CD ＝3，E ，F 分别是另外两条对边AD ，BC 上的点，且AE ED ＝BF FC ＝12，EF ＝5，求AB 和CD 所成角的大小．解 如图，连接BD ，过点E 作AB 的平行线交BD 于O ，连接OF .因为EO ∥AB ， 所以BO OD ＝AE ED ＝12，EO AB ＝DE DA ＝23. 又因为AB ＝3，所以EO ＝2. 又BF FC ＝12，所以BO OD ＝BF FC， 所以OF ∥DC ，所以OE 与OF 所成的角即为AB 和CD 的成的角，OF DC ＝BF BC ＝13.因为DC ＝3，所以OF ＝1.在△OEF 中，OE 2＋OF 2＝5，EF 2＝(5)2＝5， 所以OE 2＋OF 2＝EF 2，∠EOF ＝90°， 所以AB 和CD 所成的角为90°.1．空间两条互相平行的直线指的是( ) A ．在空间没有公共点的两条直线 B ．分别在两个平面内的两条直线C ．在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线D ．在同一平面内且没有公共点的两条直线 答案 D解析 由平行直线的定义可得．2．若OA ∥O ′A ′，OB ∥O ′B ′，且∠AOB ＝130°，则∠A ′O ′B ′为( ) A ．130° B ．50° C ．130°或50° D ．不能确定答案 C解析根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面答案 D解析画出图形，得到结论．如图(1)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是相交关系．如图(2)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是异面关系．综上可知，应选D.4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面解析(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解(1)如图所示，连接AC，AB1.由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°.(2)如图所示，连接BD.由(1)知AC∥A1C1，∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°.1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．作异面直线所成的角．可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．课时作业一、选择题1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A．异面或平行B．异面或相交C．异面D．相交、平行或异面答案 D解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a、b异面，直线c的位置可如图所示．2．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形()A．全等B．不相似C．仅有一个角相等D．相似答案 D解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.3．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行答案 C解析若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾，故选C.4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形答案 B解析如图，易证四边形EFGH为平行四边形．又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC.又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．5．如图是无盖正方体纸盒的平面展开图，则直线AB，CD在原正方体中的位置关系是()A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°角答案 D解析如图，连接AC，得正三角形ABC，∴AB，CD在原正方体中相交成60°角．6.如图所示，已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定正确的是()A．l与AD平行B．l与AB异面C．l与CD所成角为30°D．l与BD垂直答案 B解析由l与AB既不平行也不相交，故l与AB一定互为异面直线．7．下列四个结论中假命题的个数是()①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．④如图甲，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．8．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析 如图，连接BC 1，A 1C 1.∵BC 1∥AD 1，∴异面直线A 1B 与AD 1所成的角即为直线A 1B 与BC 1所成的角． 在△A 1BC 1中，A 1B ＝BC 1＝A 1C 1， ∴∠A 1BC 1＝60°.故异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°.9.如图，在三棱锥D —ABC 中，AC ＝BD ，且AC ⊥BD ，E ，F 分别是棱DC ，AB 的中点，则EF 和AC 所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 B解析 如图所示，取BC 的中点G ，连接FG ，EG .∵E ，F 分别是为CD ，AB 的中点， ∴FG ∥AC ，EG ∥BD ， 且FG ＝12AC ，EG ＝12BD .又∵AC ＝BD ，∴FG ＝EG ，∴∠EFG 为EF 与AC 所成的角或其补角． ∵AC ⊥BD ，∴FG ⊥EG ，∴∠FGE ＝90°，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°.二、填空题10．如图所示，在三棱锥P－ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有______对．答案 3解析P A与BC，PB与AC，PC与AB互为异面直线．∴共3对．11．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．答案②④解析(1)中HG∥MN，(3)中GM∥HN且GM≠HN，所以直线HG与MN必相交．12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)AC与DD1所成的角为________；(2)AC与D1C1所成的角为________．答案(1)90°(2)45°解析(1)DD1和AC是异面直线，因为AA1∥DD1，所以∠A1AC为DD1和AC所成的角．因为AA1⊥AC，所以∠A1AC＝90°，所以DD1和AC所成的角是90°.(2)因为DC∥D1C1，所以∠ACD是AC和D1C1所成的角．又∠ACD＝45°，所以AC和D1C1所成的角是45°.三、解答题13．如图，在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，EF ＝3，求AD 与BC 所成角的大小．解 如图，取BD 的中点G ，连接GE ，GF .因为BE ＝EA ，BG ＝GD ， 所以GE ∥AD ，GE ＝12AD ＝1.因为DF ＝FC ，DG ＝GB ， 所以GF ∥BC ，GF ＝12BC ＝1.所以∠EGF (或其补角)是异面直线AD 与BC 所成的角． 在△GEF 中，GE ＝1，GF ＝1，EF ＝3(如图)，取EF 的中点O ，连接GO ， 则GO ⊥EF ，EO ＝12EF ＝32.所以sin ∠EGO ＝EO EG ＝32，所以∠EGO ＝60°，所以∠EGF ＝2∠EGO ＝120°，所以异面直线AD 与BC 所成的角是180°－120°＝60°. 四、探究与拓展14．在如图所示的正方体中，M ，N 分别为棱BC 和CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．90°D ．60° 答案 D解析 连接AD 1，D 1C ，BC 1.因为M ，N 分别为BC 和CC 1的中点，所以C 1B ∥MN ，又C 1B ∥AD 1，所以AD 1∥MN ，所以∠D 1AC 即为异面直线AC 和MN 所成的角．又△D 1AC 是等边三角形，所以∠D 1AC ＝60°，即异面直线AC 和MN 所成的角为60°.15.如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊12AD ，BE綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)判断C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ (1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 由BE 綊12AF ，G 为F A 的中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面． 又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．。
