2020数学(文)二轮教师用书：第3部分 策略1 4.转化与化归思想

1．函数与方程思想数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是动中求解，研究运动中的等量关系.应用1 目标函数法求最值【典例1】 (1)(2019·广州模拟)已知在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝120°，C 是OB 的中点，P 为弧AB 上任意一点，且OP →＝λOA →＋μOC →，则λ＋μ的最大值为________．(2)已知正四棱锥P -ABCD 中，P A ＝23，则当该正四棱锥的体积最大时，它的高h 等于________．切入点：(1)联想三角函数的定义、平面向量的坐标运算，建系求解． (2)建立体积V 与高h 之间的等量关系，借助导数等工具求V 最大时的h 值． (1)2213 (2)2 [(1)建立如图所示的平面直角坐标系，则O (0,0)，A (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，则OA→＝(2,0)，OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设P (2cos θ，2sin θ)，则λ(2,0)＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＝(2cos θ，2sin θ)，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ－12μ＝2cos θ，32μ＝2sin θ，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝43sin θ，λ＝cos θ＋13sin θ，则λ＋μ＝53sin θ＋cos θ＝2213sin(θ＋φ)，其中tan φ＝35，据此可知，当sin(θ＋φ)＝1时，λ＋μ取得最大值2213.(2)设正四棱锥P -ABCD 的底面边长为a ， ∵P A ＝23，∴⎝⎛⎭⎪⎫2a 22＋h 2＝12，即a 22＋h 2＝12， 故a 2＝24－2h 2，∴正四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13a 2h ＝8h －23h 3(h ＞0)，∴V ′＝8－2h 2，令V ′＞0得0＜h ＜2，令V ′<0得h >2，∴当h ＝2时，正四棱锥P -ABCD 的体积取得最大值．]【对点训练1】 (1)(2017·全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10(2)(2019·北京高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________．(1)A(2)0 －10 [(1)因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1,0)．由题意直线l 1，l 2的斜率均存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k ，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，y ＝－1k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1， 所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 22－4＝4(1＋k 2)k 2. 同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．所以|AB |＋|DE |＝4(1＋k 2)k 2＋4(1＋k 2)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋1＋k 2＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2＝16， 当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时，取得等号． 故选A.(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝－3，S 5＝－10，∴⎩⎨⎧a 1＋d ＝－3，5a 1＋5×42d ＝－10，解得a 1＝－4，d ＝1，∴a 5＝a 1＋4d ＝－4＋4×1＝0，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－4n ＋n (n －1)2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922－818，∴n ＝4或n ＝5时，S n 取最小值为S 4＝S 5＝－10.]应用2 分离参数法求参数范围【典例2】 (1)若方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上有解，则实数a 的取值范围为________．(2)若对x ∈(－∞，－1]，不等式(m 2－m )2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜1恒成立，则实数m 的取值范围是________．切入点：(1)法一：分离参数构建函数，将方程有解问题转化为求函数的值域．法二：三角换元转化为一元二次方程在给定区间上有解．(2)分离参数，建立函数，将不等式恒成立问题转化为函数最值及解不等式问题．(1)(－1,1] (2)(－2,3) [(1)法一：(分离变量)把方程变形为a ＝－cos 2x ＋sin x ，设f (x )＝－cos 2x ＋sin x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，显然，当且仅当a 属于f (x )的值域时有解．因为f (x )＝－(1－sin 2x )＋sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋122－54，且由x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2知sinx ∈(0,1]，易求得f (x )的值域为(－1,1]，故a 的取值范围是(－1,1]．法二：(换元法)令t ＝sin x ，由x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，可得t ∈(0,1]，将方程变为t 2＋t －1－a ＝0. 依题意，该方程在(0,1]上有解，设f (t )＝t 2＋t －1－a ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴t ＝－12，如图所示，因此，f (t )＝0在(0,1]上有解 等价于⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＜0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－a ＜0，1－a ≥0，所以－1＜a ≤1， 故a 的取值范围是(－1,1]．(2)不等式(m 2－m )2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜1恒成立，等价于m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋12x ⇔m 2－m ＜⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋12x min ，构造函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋12x ，利用换元法，令t ＝12x ，则y ＝t 2＋t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14，∵x ∈(－∞，－1]，∴t ∈[2，＋∞)，∴y ＝t 2＋t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14的最小值为6，∴m 2－m ＜6⇔m 2－m －6＜0⇔－2＜m ＜3，所以实数m 的取值范围是－2＜m ＜3.]【对点训练2】 (2019·天津高考)已知a ∈R ，设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2ax ＋2a ，x ≤1，x －a ln x ，x ＞1.若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[0，e]D ．[1，e]C [当x ≤1时，由f (x )＝x 2－2ax ＋2a ≥0恒成立，而二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ，所以当a ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝1＞0恒成立， 当a ＜1时，f (x )min ＝f (a )＝2a －a 2≥0，∴0≤a ＜1. 综上，a ≥0.当x ＞1时，由f (x )＝x －a ln x ≥0恒成立，即a≤xln x恒成立．设g(x)＝xln x，则g′(x)＝ln x－1 (ln x)2.令g′(x)＝0，得x＝e，且当1＜x＜e时，g′(x)＜0，当x＞e时，g′(x)＞0，∴g(x)min＝g(e)＝e，∴a≤e.综上，a的取值范围是0≤a≤e，即[0，e]．故选C.]应用3函数思想解不等式(比较大小)【典例3】(1)设0＜a＜1，e为自然对数的底数，则a，a e，e a－1的大小关系为()A．e a－1＜a＜a e B．a e＜a＜e a－1C．a e＜e a－1＜a D．a＜e a－1＜a e(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R内的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是() A．(－3,0)∪(0,3)B．(－3,0)∪(3，＋∞)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)切入点：(1)借助y＝a x(0＜a＜1)的单调性比较a与a e的大小；构造函数f(x)＝e x－x－1(x＞0)比较e a－1与a的大小．(2)构造函数F(x)＝f(x)g(x)，借助F(x)的奇偶性、单调性解f(x)g(x)＜0.(1)B(2)D[(1)设f(x)＝e x－x－1，x＞0，则f′(x)＝e x－1＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(0)＝0，f(x)＞0，∴e x－1＞x，即e a－1＞a.又y＝a x(0＜a＜1)在R上是减函数，得a＞a e，从而e a －1＞a ＞a e .(2)设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 内的奇函数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )， 即F (x )为定义在R 内的奇函数． 又当x <0时，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，所以x <0时，f (x )为增函数．因为奇函数在对称区间上的单调性相同， 所以当x >0时，f (x )也是增函数． 因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3)．所以由图可知f (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．]【对点训练3】 (1)已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2,16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，使x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．(1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 [(1)因为x ∈[2,16]，所以f (x )＝log 2x ∈[1,4]，即m ∈[1,4]．不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，即为m (x －2)＋(x －2)2＞0对m ∈[1,4]恒成立．设g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2，则此函数在区间[1,4]上恒大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＞0，g (4)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋(x －2)2＞0，4(x －2)＋(x －2)2＞0，解得x ＜－2或x ＞2.(2)由f (x )是偶函数且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增可知，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又因为f (2|a －1|)＞f (－2)，而f (－2)＝f (2)，所以2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，解得12＜a ＜32.]应用4 应用方程思想求值【典例4】 (1)(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.(2)[一题多解](2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.(1)217 3 (2)2 [(1)由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)．(2)法一：由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y ＋1，即 y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4.由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.法二：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.]【对点训练4】 (1)[一题多解](2019·秦皇岛模拟)已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(λ＋2,1)，若|a ＋b |＝|a －b |，则实数λ的值为( )A ．－1B ．2C ．1D ．－2(2)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝70，且a 1，a 2，a 6成等比数列．设b n ＝2S n ＋48n ，则数列{b n }最小项的值为________．(1)A (2)23 [(1)法一：由|a ＋b |＝|a －b |， 可得a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，所以a·b ＝0， 故a·b ＝(λ，1)·(λ＋2,1)＝λ2＋2λ＋1＝0，解得λ＝－1. 法二：a ＋b ＝(2λ＋2,2)，a －b ＝(－2,0)， 由|a ＋b |＝|a －b |，可得(2λ＋2)2＋4＝4，解得λ＝－1. (2)设公差为d ，且d ≠0， 则有⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝70，a 22＝a 1a 6，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝10，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋5d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝10，d ＝0(舍去)，所以a n ＝3n －2，S n ＝n2[1＋(3n －2)]＝3n 2－n 2， 所以b n ＝3n 2－n ＋48n ＝3n ＋48n －1≥23n ·48n －1＝23，当且仅当3n ＝48n，即n ＝4时取等号，故数列{b n }最小项的值为23.]应用5 方程思想解不等式【典例5】 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．(2)若a ，b 是正数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________． 切入点：(1)f (x )＝0有两个相等实根，f (x )＝c 的两根分别为m ，m ＋6. (2)法一：注意到ab 与a ＋b 的关系，可将原等式转化为一元二次方程． 法二：利用均值不等式ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22求解． (1)9 (2)[9，＋∞) [(1)因为f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)， 所以Δ＝0，即a 2－4b ＝0， 又f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)．∴m ，m ＋6是对应方程f (x )＝c 的两个不同的根． 即x 2＋ax ＋b －c ＝0的两根分别为m ，m ＋6，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋m ＋6＝－a ，m (m ＋6)＝b －c . 由题意得 |m ＋6－m |＝a 2－4(b －c )＝a 2－a 2＋4c ，解得c ＝9.(2)法一：若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3.所以a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(t －3)2－4t ≥0，a ＋b ＝t －3＞0，ab ＝t ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤1或t ≥9，t ＞3，t ＞0，解得t ≥9，即ab ≥9.所以ab 的取值范围是[9，＋∞)． 法二：∵ab ＝a ＋b ＋3， ∴ab －3＝a ＋b ≥2ab ， 令ab ＝t ，则t 2－2t －3≥0， ∴t ≤－1或t ≥3，∴ab ≤－1(舍)或ab ≥3，即ab ≥9.]【对点训练5】 关于x 的一元二次不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，则不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为( )A ．(－3,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 D ．(－1,2)C [由关于x 的一元二次不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，已知方程x 2＋ax ＋b ＝0的两实数根分别为－3,1， 则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝－3＋1，b ＝－3×1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，所以不等式ax 2＋bx －2＜0可化为2x 2－3x －2＜0，即(2x ＋1)(x －2)＜0，解得－12＜x ＜2，即所求不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2.]2.数形结合思想应用1 在求最值、零点等问题中的应用【典例1】 (1)记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3,13－x }的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．切入点：(1)画出函数f (x )的图象，借助图象，直观可得最值． (2)画出y ＝f (x )及y ＝b 的图象，数形结合求解． (1)C (2)(3，＋∞) [(1)在同一坐标系中作出三个函数y ＝x 2＋1，y ＝x ＋3，y ＝13－x 的图象如图．由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x ＋3,13－x }为y ＝x ＋3上A 点下方的射线，抛物线AB 之间的部分，线段BC ，与直线y ＝13－x 点C 下方的部分的组合图，显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y ＝min{x 2＋1，x ＋3,13－x }取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝13－x 得点C (5,8)．所以f (x )max ＝8.(2)作出f (x )的图象如图所示．当x ＞m 时，x 2－2mx ＋4m＝(x －m )2＋4m －m 2.∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2＜m ，即m 2－3m ＞0.又m ＞0，解得m ＞3.]【对点训练1】 (1)(2019·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，1x，x ＞1.若关于x 的方程f (x )＝－14x ＋a (a ∈R)恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94B.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，94 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，94∪{1} D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94∪{1} (2)(2019·乌鲁木齐高三质量检测)函数f (x )＝12－x的图象与函数g (x )＝2sin π2x 在区间[0,4]上的所有交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则f (y 1＋y 2＋…＋y n )＋g (x 1＋x 2＋…＋x n )＝________.(1)D (2)12 [(1)如图，分别画出两函数y ＝f (x )和y ＝－14x ＋a 的图象．①先研究当0≤x ≤1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝2x的图象只有一个交点的情况．当直线y ＝－14x ＋a 过点B (1,2)时， 2＝－14＋a ，解得a ＝94. 所以0≤a ≤94.②再研究当x ＞1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝1x 的图象只有一个交点的情况： 相切时，由y ′＝－1x 2＝－14，得x ＝2，此时切点为2，12，则a ＝1. 相交时，由图象可知直线y ＝－14x ＋a 从过点A 向右上方移动时与y ＝1x 的图象只有一个交点．过点A (1,1)时，1＝－14＋a ，解得a ＝54.所以a ≥54.结合图象可得，所求实数a 的取值范围为54，94∪{1}．故选D. (2)如图，画出函数f (x )和g (x )在[0,4]上的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y 1＋y 2＋y 3＋y 4＝0，x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，所以f (y 1＋y 2＋y 3＋y 4)＋g (x 1＋x 2＋x 3＋x 4)＝f (0)＋g (8)＝12＋0＝12.]应用2 在求解不等式或参数范围中的应用【典例2】 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]D [作出函数y ＝|f (x )|的图象，如图，当|f (x )|≥ax 时，必有k ≤a ≤0，其中k 是y ＝x 2－2x (x ≤0)在原点处的切线斜率，显然，k ＝－2.∴a 的取值范围是[－2,0]．]【对点训练2】 (2019·全国卷Ⅱ)设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x －1)．若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，73 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，83 B [当－1＜x ≤0时，0＜x ＋1≤1，则f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)x ；当1＜x ≤2时，0＜x －1≤1，则f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)；当2＜x ≤3时，0＜x －2≤1，则f (x )＝2f (x －1)＝22f (x －2)＝22(x －2)(x －3)，…由此可得f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧…12(x ＋1)x ，－1＜x ≤0，x (x －1)，0＜x ≤1，2(x －1)(x －2)，1＜x ≤2，22(x －2)(x －3)，2＜x ≤3，…由此作出函数f (x )的图象，如图所示．由图可知当2＜x ≤3时，令22(x －2)(x －3)＝－89，整理，得(3x －7)(3x －8)＝0，解得x ＝73或x ＝83，将这两个值标注在图中．要使对任意x ∈(－∞，m ]都有f (x )≥－89，必有m ≤73，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，73，故选B.]应用3 在平面向量中的应用【典例3】 已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( )A.2－1B. 2C.2＋1D.2＋2切入点：a ，b 是单位向量，a ·b ＝0可联想坐标法，以a ，b 所在直线建系求解．C [∵|a |＝|b |＝1，且a·b ＝0，∴可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )．∴c －a －b ＝(x －1，y －1)．∵|c －a －b |＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1，即(x －1)2＋(y －1)2＝1. 又|c |＝x 2＋y 2，如图所示．由图可知，当c 对应的点(x ，y )在点C 处时，|c |有最大值且|c |max ＝12＋12＋1＝2＋1.]【对点训练3】 已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A.3－1B.3＋1 C ．2D ．2－ 3A [设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1,0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2,0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x ＞0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A.]应用4 在解析几何中的应用【典例4】 (1)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4(2)已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________．切入点：(1)∠APB ＝90°，则点P 落在以AB 为直径的圆上，画出图形，结合点与圆的位置关系求解．(2)画出图形，结合图形知△APF 的周长取得最小值时P 点的位置． (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 [(1)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6. (2)因为(－2)2＜8×4，所以点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ，由抛物线的定义可知△APF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PQ |＋|P A |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |.因为A (－2,4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)， 代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的抛物线上的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.]【对点训练4】 已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形P ACB 面积的最小值为________．22 [从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形P AC 的面积S △P AC ＝12|P A |·|AC |＝12|P A |越来越大，从而S 四边形P ACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动，S 四边形P ACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线l 时，S 四边形P ACB 应有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|P A |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.所以(S四边形P ACB )min＝2×12×|P A |×|AC |＝2 2.]3．分类与整合思想应用1 由基本概念、法则引起的分类讨论【典例1】 (1)若函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.(2)在等比数列{a n }中，已有a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________. (1)14 (2)32或6 [(1)若a ＞1，有a 2＝4，a －1＝m . 解得a ＝2，m ＝12.此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0＜a ＜1，有a －1＝4，a 2＝m ， 故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意．(2)当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立． 当q ≠1时，由a 3＝32，S 3＝92，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32， ①a 1(1＋q ＋q 2)＝92. ②由②①，得1＋q ＋q 2q 2＝3， 即2q 2－q －1＝0，所以q ＝－12或q ＝1(舍去)． 当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6， 综上可知，a 1＝32或a 1＝6.]【对点训练1】 (1)已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.(2)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且A ＝2B ，b ≠c ，若a 2＋c 2＝b 2＋2ac sin C ，则A ＝________.(1)－32 (2)π4 [(1)当a ＞1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.(2)∵a 2＋c 2＝b 2＋2ac sin C ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ＝sin C . 由余弦定理得cos B ＝sin C ， ∵0＜B ＜π，0＜C ＜π， ∴C ＝π2－B 或C ＝π2＋B .①当C ＝π2－B 时，由A ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π， 得A ＝π2，B ＝C ＝π4，这与“b ≠c ”矛盾． ∴A ≠π2.②当C ＝π2＋B 时， 由A ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π， 得B ＝π8，C ＝5π8，A ＝π4.]应用2 由图形的不确定性引起的分类讨论【典例2】 设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________．12或32 [不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝ca＝2c2a＝3t2t＝32.]【对点训练2】(1)已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为()A.833B．4 3C.239D．43或833(2)若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋y2m＝1的离心率为________．(1)D(2)32或5[(1)当正三棱柱的高为4时，体积V＝2×3×12×4＝43；当正三棱柱的高为6时，体积V＝43×233×12×6＝833，故选D.(2)由题意可知m2＝2×8＝16，∴m＝±4.当m＝4时，曲线为椭圆，离心率e＝1－14＝32.为m＝－4时，曲线为双曲线，离心率e＝1＋4＝ 5.]应用3由参数变化引起的分类讨论【典例3】已知函数f(x)＝x2－(2m＋1)x＋ln x(m∈R)．(1)当m＝－12时，若函数g(x)＝f(x)＋(a－1)ln x恰有一个零点，求a的取值范围；(2)当x＞1时，f(x)＜(1－m)x2恒成立，求m的取值范围．切入点：(1)求f′(x)，就a的取值结合f(x)的单调性分析．(2)构造函数h(x)＝f(x)－(1－m)x2，就m的取值及h(x)的最大值情况求m的取值范围．[解] (1)函数g (x )的定义域为(0，＋∞)．当m ＝－12时，g (x )＝a ln x ＋x 2，所以g ′(x )＝a x ＋2x ＝2x 2＋a x .①当a ＝0时，g (x )＝x 2，在x ∈(0，＋∞)上，g (x )＝0无解．∴x ＞0时无零点，即a ≠0.②当a ＞0时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，取x 0＝e －1a ，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1a ＝－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1a 2＜0， 因为g (1)＝1，所以g (x 0)·g (1)＜0，此时函数g (x )恰有一个零点，即a ＞0. ③当a ＜0时，令g ′(x )＝0， 解得x ＝－a2.当0＜x ＜－a 2时， g ′(x )＜0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2上单调递减； 当x ＞－a 2时，g ′(x )＞0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．要使函数g (x )有一个零点，则g ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2＝a ln－a 2－a2＝0，即a ＝－2e.综上所述，若函数g (x )恰有一个零点，则a ＝－2e 或a ＞0.(2)令h (x )＝f (x )－(1－m )x 2＝mx 2－(2m ＋1)x ＋ln x ，根据题意，当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0恒成立．又h ′(x )＝2mx －(2m ＋1)＋1x ＝(x －1)(2mx －1)x.①若0＜m ＜12，则x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞时，h ′(x )＞0恒成立，所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞上是增函数，且h (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞，所以不符合题意． ②若m ≥12，则x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0恒成立，所以h (x )在(1，＋∞)上是增函数，且h (x )∈(h (1)，＋∞)，所以不符合题意．③若m ≤0，则x ∈(1，＋∞)时，恒有h ′(x )＜0，故h (x )在(1，＋∞)上是减函数，于是“h (x )＜0对任意x ∈(1，＋∞)都成立”的充要条件是h (1)≤0，即m －(2m ＋1)≤0，解得m ≥－1，故－1≤m ≤0.综上，m 的取值范围是[－1,0]．【对点训练3】 已知函数f (x )＝ax ＋a －1x ＋1－2a (a ＞0)，若f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．[解] 令g (x )＝f (x )－ln x ＝ax ＋a －1x ＋1－2a －ln x ，x ∈[1，＋∞)， 则g (1)＝0，g ′(x )＝a －a －1x 2－1x ＝ax 2－x －(a －1)x 2＝a (x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－a a x2. ①当1－a a ＞1，即0＜a ＜12时，若1＜x ＜1－a a ，则g ′(x )＜0，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1－a a 上是减函数，所以存在x ∈[1，＋∞)，使g (x )＜g (1)＝0，即f (x )＜ln x ，所以f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上不恒成立．②当1－a a ≤1，即a ≥12时，若x ≥1，则g ′(x )≥0，g (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以g (x )≥g (1)＝0，即f (x )≥ln x ， 所以当x ≥1时，f (x )≥ln x 恒成立． 综上所述，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.4.转化与化归思想应用1 直接转化【典例1】 (1)(2019·沈阳质量检测(一))抛物线y 2＝6x 上一点M (x 1，y 1)到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为________．(2)(2019·福州模拟)函数f (x )＝cos 2x ＋a (sin x －cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，则实数a 的取值范围是________．(1)33 (2)[2，＋∞) [(1)由y 2＝6x ，知p ＝3，由焦半径公式得x 1＋p 2＝92，即x 1＝3，代入得y 21＝18，则|MO |＝x 21＋y 21＝33(O 为坐标原点)，故填3 3.(2)因为f (x )＝cos 2x ＋a (sin x －cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，所以f ′(x )＝－2sin 2x ＋a (cos x ＋sin x )≥0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cosx ＋sin x ＞0，a ≥2sin 2x sin x ＋cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立．令g (x )＝2sin 2x sin x ＋cos x＝4sin x cos xsin x ＋cos x，令t ＝sin x ＋cos x ，则4sin x cos x ＝2(t 2－1)，又t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以t ∈[]1，2，故函数h (t )＝2t 2－2t ＝2t －2t ，函数h (t )在t ∈[1，2]时单调递增，所以当t ＝2时，h (t )取到最大值，h (t )max ＝2，故g (x )max ＝2，所以a ≥ 2.所以实数a 的取值范围为[2，＋∞)．]【对点训练1】 (1)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝( ) A.79B.23C ．－23D ．－79(2)(2019·安庆二模)将⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43展开后，常数项是________．(1)D (2)－160 [(1)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－1＝－79，故选D. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6，展开后的通项是C k 6(x )6－k ·⎝⎛⎭⎪⎫－2x k＝(－2)k C k 6·(x )6－2k .令6－2k ＝0，得k＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.]应用2 等价转化【典例2】 (1)已知正数x ，y 满足4y －2yx ＝1，则x ＋2y 的最小值为________． (2)函数y ＝cos 2x －sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为________．(1)2 (2)1 [(1)由4y －2y x ＝1，得x ＋2y ＝4xy ，即14y ＋12x ＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫14y ＋12x ＝1＋x 4y ＋y x ≥1＋2x 4y ·y x ＝2，当且仅当x 4y ＝yx ，即x ＝2y 时等号成立．所以x ＋2y 的最小值为2.(2)y ＝cos 2x －sin x ＝－sin 2x －sin x ＋1. 令t ＝sin x ，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22， ∴y ＝－t 2－t ＋1，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22.∵函数y ＝－t 2－t ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22上单调递减，∴t ＝0时，y max ＝1.]【对点训练2】 (2019·武汉模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为CD 中点，则四面体A -BC 1M 的体积为( )A.12 B.14 C.16D.112C [在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，∵M 为CD 中点， ∴S △ABM ＝12×1×1＝12，∴VA -BC 1M ＝VC 1-ABM ＝13×12×1＝16.故选C.]应用3 正与反的相互转化【典例3】 (1)掷一枚均匀的硬币10次，则出现正面的次数多于反面次数的概率为________．(2)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．(1)193512 (2)－373＜m ＜－5 [(1)出现正面次数与出现反面次数相等的概率为C 510210＝2521 024＝63256.利用对称性，即出现正面的次数多于出现反面次数的概率与出现反面的次数多于出现正面次数的概率是相等的，所以出现正面的次数多于出现反面次数的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－63256÷2＝193512.(2)由题意得g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立， 则m ＋4≤23－9，则m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373＜m ＜－5.] 【对点训练3】 (1)由命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的值是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．1D ．2(2)若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________．(1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 [(1)命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，e |x －1|－m ＞0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.(2)若在区间[－1,1]内不存在c 满足f (c )＞0， 且Δ＝36p 2≥0恒成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.解得p ≤－3或p ≥32，取补集为－3＜p ＜32， 即为满足条件的P 的取值范围．所以满足题意的实数p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32.]应用4 一般与特殊的转化【典例4】 (1)在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a ＋c ＝3b ，则tan A 2tan C2的值为( )A.15B.14C.12D.23(2)过抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点．若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2a B.12a C ．4aD.4a(1)C (2)C [(1)令a ＝4，c ＝5，b ＝3，则符合题意(取满足条件的三边)． 则由C ＝90°，得tan C2＝1. 由tan A ＝43，得2tan A21－tan 2 A 2＝43， 解得tan A 2＝12.所以tan A 2·tan C 2＝12×1＝12.(2)取直线PQ 平行于x 轴，易知PQ 的方程为：y ＝14a ，如图所示，则PF ＝FQ ＝12a ，∴1p ＋1q ＝2a ＋2a ＝4a .故选C.]【对点训练4】 (1)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM→＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6(2)如图，在三棱锥S -ABC 中，E ，F ，G ，H 分别为SA ，AC ，BC ，SB 的中点，则截面EFGH 将该三棱锥分成的两部分的体积之比V ABGHEF V SCGHEF＝________.(1)C (2)1 [(1)(特例法)若四边形ABCD 为矩形，建系如图．由BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，知M (6,3)，N (4,4)，所以AM →＝(6,3)，NM →＝(2，－1)，AM →·NM→＝6×2＋3×(－1)＝9. (2)(秒杀解法)由于图形不确定，而答案固定，故假设该三棱锥为正四面体，则所截得的两部分形状一样，体积相等，故答案为1.]应用5 常量与变量的转化【典例5】 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0，则实数x 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 [由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5， 令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1. 对－1≤a ≤1，恒有g (x )＜0，即φ(a )＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ φ(1)＜0，φ(－1)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2＜0，3x 2＋x －8＜0，解得－23＜x ＜1.故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0.]【对点训练5】 (1)若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切a ∈[－2,2]恒成立，则x 的取值范围为________．(2)设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t 在[－2,2]上变化时，y 恒取正值，则x 的取值范围是________．(1)R (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞) [(1)∵x 2－ax ＋1≥0对一切a ∈[－2,2]恒成立， 即a ·(－x )＋x 2＋1≥0对一切a ∈[－2,2]恒成立．令f (a )＝a ·(－x )＋x 2＋1则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)≥0，f (2)≥0即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋x 2＋1≥0，－2x ＋x 2＋1≥0. ∴x ∈R.(2)设y ＝f (t )＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1，则f (t )是一次函数，当t ∈[－2,2]时，f (t )＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)＞0，f (2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧(log 2x )2－4log 2x ＋3＞0，(log 2x )2－1＞0， 解得log 2x ＜－1或log 2x ＞3，即0＜x ＜12或x ＞8，故实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞)．]应用6 形体位置关系的相互转化【典例6】 如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长均为2，D 为棱B 1C 1上任意一点，则三棱锥D -A 1BC 的体积是________． 233 [VD -A 1BC ＝VB 1-A 1BC ＝VA 1-B 1BC ＝13×S △B 1BC ×3＝233.]【对点训练6】 如图，在直三棱柱ABC -A1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝2，P是BC1上一动点，则CP＋P A1的最小值是________．52[连接A1B，沿BC1将△CBC1展开，与△A1BC1在同一个平面内，如图，连接A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．通过计算可得AB＝A1B1＝38，A1B＝40，A1C1＝6，BC1＝2，所以∠A1C1B ＝90°，又∠BC1C＝45°，所以∠A1C1C＝135°.由余弦定理可求得A1C＝5 2.]。

高考数学二轮复习讲义 转化与化归思想转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，本专题主要训练转化与化归的思想方法在解决数学问题中的应用。

内容主要包括转化与化归的主要原则、方法、依据。

通过对既往全国及江苏等省市高考试题的研究，不难发现，几乎每题都渗透这种思想方法。

1、,通过转化转化与化归的原则是：（1）将不熟悉和难解的问题转化为熟知的、易解的或已经解决的问题；（2）将抽象的问题转化为具体的、直观的问题；（3）将复杂的问题转化为简单的问题；（4）将一般性的问题转化为直观的、特殊的问题，（5）将实际问题转化数学问题，使问题便于解决。

2、 转化与化归的方法有： （1）函数与方程的相互转化；（2）函数与不等问题的相互转化；（3）数与形的转化；（4）空间与平面的相互转化；（5）一般与特殊的相互转化；（6）实际问题与数学理论的转化； （7）高次与低次的相互转化：（8）整体与局部的相互转化。

3、转化与化归思想思维程序问题（抽象、数学化）数学问题（化归、转化 把问题化为模型）数学模型（求解 运用模型）得解一、选择题1、已知f （x ）=ax 2+ax+a-1，对任意实数x ，恒有f （x ）＜0，则a 的取值范围是（C ）（A ）（-0,34） （B ）（-∞，0） （C ）(]0,∞- （D ）(])34(0,∞+∞-2、函数)112lg(--=xy 的图象关于 （A ）（A ）原点对称 （B ）x 轴对称 （C ）y 轴对称 （D ）直线y=x 对称3、设7777897298199C C C m +-+-= ，则m 除以8的余数是 （A ）（A ）1 （B ）2 （C ）6 （D ）1-294、三个数，a=0．3-0．4，b=log 0．30．4，c=log 40．3，则有 （D ） （A ）b ＜c ＜a （B ）a ＜c ＜b （C ）c ＜a ＜b （D ）c ＜b ＜a 5、不等式0||42≥+-xx x 的解集是 （D ） （A ）}22|{≤≤-x x（B ）|03|{ x x ≤-或}30≤≤x（C ）02|{ x x ≤-或20≤x } （D ）03|{ x x ≤-或20≤x }6、若圆x 2+y 2=1被直线ax+by+c=0所截的弦长为AB ，当a 2+b 2=2c 2时，弦AB 的长是（B ）（A ）22 （B ）2 （C ）1 （D ）21 7、（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）10展开式中各项系数和为 （A ） （A ）211-2 （B ）211-1 （C ）211 （D ）211+18、函数y=f （x ）是函数y=-)10(222≤≤-x x 的反函数，则函数y=f （x ）的图象是图2-4-1中的 （ B ）9、已知⊙c ：x 2+y 2+2x-24=0，A （1，0）．P 为⊙c 上任意一点，AP 的垂直平分线与C 、P 的连线交于M ，则M 点的轨迹方程是（C ）（A ）125421422=-y x （B ）125421422=+y x （C ）121425422=+y x （D ）121425422=-y x 10、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1D 1和DD 1的中点，过平行线MN 和B 1C 作截面MB 1CN ，令二面角M-B 1C-C 1的大小为θ，则cos θ等于 （D ） （A ）0 （B ）21 （C ）23 （D ）3111、从点P （3，-2）发出的光线，被直线x+y-2=0反射，若反射线所在的直线恰好过Q （5，1），则入射线的方程是 x-2y-7=0 . 12、函数y=2sinx-2cos 2x+1 x ∈]32,4[ππ的值域是 ]3,2[ . 13、如图2-4-2，圆锥V-AB ，母线长为6，母线与底面所成角θ的正切值为35，一个质点在侧面上从B 运动到VA 的最短距离是 3 .14、方程1145222=++a y a x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则椭圆离心率的范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛51,0 . . 15、( 2006湖南）已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 5 .16、已知正三棱锥S —ABC 的侧棱长为2，侧面等腰三角形的顶角为300，过底面顶点A 作截面△AMN 交侧棱SB 、SC 分别于M 、N ，则△AMN 周长的最小值为 22 。

解题研究２０２３年１２月上半月㊀㊀㊀转化与化归 思想在高中数学解题教学中的应用◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀李㊀硕㊀㊀转化与化归 思想是高学数学中的一种重要的数学思想,运用非常广泛,尤其是一些特殊的问题,运用 转化与化归 思想解题可以提高效率,同时还可以降低问题解决的难度．因此,在数学课堂引入并应用转化与化归思想,能够让学生在学习数学及解题的过程中,加深对数学概念的理解,同时也能有效锻炼数学思维,提高学习效率,进一步发展数学核心素养．在高中数学的解题过程中,基于 转化与化归 思想的三大原则,主要运用的解题方法包括特殊与一般的转化㊁命题的等价转化,以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等一些常见的转化方法．１特殊与一般的转化将一般问题进行特殊化处理,可使问题的解决变得更为直接和简便,并且还能从特殊情况中寻找问题解决的常规思维;除此之外,对特殊性问题进行概括性研究,实现特殊问题一般化,也能从宏观与全局的角度把握特殊性问题的普遍规律,并能有效地解决特殊性问题．例１㊀ 蒙日圆 涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a ＝１(a ＞０)的离心率为１２,则椭圆C 的蒙日圆的方程为(㊀㊀)．A．x ２＋y ２＝９㊀㊀㊀㊀㊀B ．x ２＋y ２＝７C ．x ２＋y ２＝５D．x ２＋y ２＝４分析:根据题目中的已知条件,在椭圆上,两条相互垂直的切线可以随意选择,但其交点位于与椭圆同心的圆却是唯一的,也即答案是唯一的．由此,可以通过选取一般问题的特殊情形找到一般的解题思路,不妨利用过椭圆的右顶点和上顶点的两条切线进行解题．解:因为椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a＝１(a ＞０)的离心率为１２,所以１a ＋１＝１２,解得a ＝３．所以椭圆C 的方程为x ２４＋y ２３＝１,且椭圆C 的上顶点为A (０,３),右顶点为B (２,０),则椭圆在A ,B 两点的切线方程分别为y ＝３和x ＝２,这两条切线的交点坐标为M (２,３)．由题意可知,交点M 必在一个与椭圆C 同心的圆上,可得与椭圆C 同心的圆的半径r ＝２２＋(３)２＝７．所以椭圆C 的蒙日圆方程为x ２＋y ２＝７．故选:B ．以问题的特征为依据,对命题进行转化,将原问题转化为与之相关的㊁容易解决的新问题,这也是解决数学问题常见的转化思路,并且可以通过这种转化逐步培养识别关键信息的能力．２命题的等价转化把题目中已有的条件或者结论进行相应的转化,化难为易,是解决较难问题常用的转化手段．其主要方法包括:数与形的转化㊁正与反的转化㊁常量与变量的转化㊁图形形体及位置的转化等．例２㊀由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,得m 的取值范围是(－ɕ,a ),则实数a 的值是．分析:利用转化思想可以将命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０ 是假命题转化为 对任意x ɪR ,e|x －１|－m ＞０是真命题,由此得出m ＜e |x －１|恒成立,进而通过m 的取值范围来求a 的值．解:由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,可知 对任意x ɪR ,e |x －１|－m ＞０是真命题,由此可得m 的取值范围是(－ɕ,１),而(－ɕ,a )与(－ɕ,１)为同一区间,故a ＝１．例３㊀若对于任意t ɪ[１,２],函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,则实数m 的取值范围是．分析:根据函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,可以利用正难则反的转化思想先找出g (x )在(t ,３)上单调的条件,再利用补集思想求出m 的取值范围．８５２０２３年１２月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀解:求得g ᶄ(x )＝３x ２＋(m ＋４)x －２．若g (x )在(t ,３)上单调递增,则g ᶄ(x )ȡ０,即３x ２＋(m ＋４)x －２ȡ０,亦即m ＋４ȡ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立．故m ＋４ȡ２t－３t 在t ɪ[１,２]上恒成立,则m ＋４ȡ－１,即m ȡ－５．若g (x )在(t ,３)上单调递减,则g ᶄ(x )ɤ０,即m ＋４ɤ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立,所以m ＋４ɤ２３－９,即m ɤ－３７３．综上,符合题意的m 的取值范围为－３７３＜m ＜－５．根据命题的等价性对题目条件进行明晰化处理是解题常见的思路;对复杂问题采用正难则反的转化思想,更有利于问题得到快速解答．３函数㊁方程㊁不等式之间的转化函数与方程㊁不等式之间有着千丝万缕的关联,通过结合函数y ＝f (x )图象可以确定方程f (x )＝０,不等式f (x )＞０和f (x )＜０的解集．例４㊀若２x －２y＜３－x －３－y ,则(㊀㊀)．A．l n (y －x ＋１)＞０B ．l n (y －x ＋１)＜０C ．l n |x －y |＞０D．l n |x －y |＜０分析:由题意,可将２x －２y＜３－x －３－y 转化为２x －３－x ＜２y－３－y ,进而实现不等式与函数之间的转化,从而解得答案．解:由２x －２y ＜３－x －３－y ,得２x －３－x ＜２y －３－y ．故构造函数y ＝２x －３－x ,即y ＝２x －(１３)x．由于函数y ＝２x－(１３)x 在R 上单调递增,因此x ＜y ,即y －x ＋１＞１．所以l n (y －x ＋１)＞l n １＝０．故选择:A ．例５㊀已知函数f (x )＝e l n x ,g (x )＝１ef (x )－(x ＋１)．(e ＝２．７１８ )(１)求函数g (x )的最大值;(２)求证:１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．分析:第(１)问要求函数g (x )的最大值,关键在于需要运用转化与划归思想,通过g ᶄ(x )得出函数g (x )单调性,即可求出g (x )的最大值．将第(１)问得出的g (x )最大值－２转化成l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立),再利用换元法最终证明出结论．解:(１)由g (x )＝１ef (x )－(x ＋１),即g (x )＝l n x －(x ＋１),得g ᶄ(x )＝１x－１(x ＞０)．令g ᶄ(x )＞０,则０＜x ＜１;令g ᶄ(x )＜０,则x ＞１．所以,函数g (x )在区间(０,１)上单调递增,在区间(１,＋ɕ)上单调递减．故g (x )的最大值为＝g (１)＝－２．(２)证明:由(１)知x ＝１是函数g (x )的极大值点,也是最大值点,故g (x )ɤg (１)＝－２．所以l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立)．令t ＝x －１,则有t ȡl n (t ＋１)(t ＞－１)．取t ＝１n (n ɪN ＋),则有１n ＞l n (１＋１n)＝l n(n ＋１n )．故１＞l n２,１２＞l n ３２,１３＞l n ４３,,１n＞l n(n ＋１n )．上面n 个不等式叠加,得１＋１２＋１３＋ ＋１n＞l n (２ˑ３２ˑ４３ˑ ˑn ＋１n)＝l n (n ＋１)．故１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．在分析此类题目的过程中,利用函数㊁方程㊁不等式进行转化与化归更有利于问题的解决,因此,利用转化与划归思想不仅能让整个数学知识的体系变得更加紧密,同时也能对学生从系统性角度掌握数学知识之间的联系提供非常大的帮助．转化与化归思想所蕴含的内容丰富且深奥,为高中数学问题的解决提供了多种思路,对高中数学的学习也有极大的指导与启发作用,值得我们不断地探索与研究．因此,在解决高中数学问题的过程中,要灵活运用 转化与化归 的解题思想．有些数学问题看似复杂,但通过分析可知出题者采用的是 障眼法 ,其中有的是多余或无用的条件．同时,在高中数学课堂教学中,教师可以在解题教学过程中渗透转化与化归思想,加强学生在特殊与一般转化㊁命题的等价转化以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等方面的技能,逐步锻炼学生简化题目内容的能力和意识,最大程度提高解题效率．Z９５。

浅谈转换与化归思想转化思想是数学中的一种基本却很重要的思想。

深究起来，转化两字中包含着截然不同的两种思想，即转换和化归。

这两者其实表达了不同的思想方法，可以说是思维方式与操作方法的区别。

一、 转换思想（1）转换思想的内涵转换思想是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化，能跳出现有领域的局限，联系相关领域，并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。

要做到这一点，对思维能力的要求相对更高，必须对各个领域分别都有透彻的了解，更必须对各领域之间的联系有较多的研究，在关键时刻才能随心所欲地运用。

（2）转换思想在同一学科中的应用转换思想可以是在同一学科的不同知识模块之间的变换，在解决问题时改变解题方向。

象数学学科中，数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。

比如，函数、方程、不等式是代数中的三大重要问题，而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其他模块的各类问题。

不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决，或者是二次方程根的分布，也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。

再比如，数列问题用函数观点来解释，那更是我们数学课堂中一再强调的问题了。

看这样一个问题： 已知：11122=-+-a b b a ，求证：122=+b a 。

[分析] 这是一个纯粹的代数证明问题，条件的变形是比较艰难的，所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点令人望而生畏。

再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式，稍加联系，我们完全可以想到：21a -、21b -、122=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现，它们呈现出完全类似的规律性。

[解答]由题意1≤a 、1≤b ，则可设αsin =a ，αcos =b ，πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα化简得1cos cos sin sin =+αααα所以0sin ≥=αa ，0cos ≥=αb则 1cos sin 2222=+=+ααb a[小结] 本题的解决了是发现了不同知识模块中的类似规律，加以利用得到新的思路，本题的题设和结论中都没有出现三角函数的形式，最终却必须引进三角函数加以解决，思维已经具有跳跃性，对一般学生来说解决起来还是比较棘手的。

2020新高考文科数学二轮培优转化与化归的思想考点考向考题点拨「思想方法解读」 转化与化归思想是指在研究解决数学问题时，采用某种手段将问题通过转化，使问题得以解决的一种思维策略，其核心是把复杂的问题化归为简单的问题，将较难的问题化归为较容易求解的问题，将未能解决的问题化归为已经解决的问题．常见的转化与化归思想应用具体表现在：将抽象函数问题转化为具体函数问题，立体几何和解析几何中一般性点或图形问题转化为特殊点或特殊图形问题，以及“至少”或“是否存在”等正向思维受阻问题转化为逆向思维问题，空间与平面的转化，相等问题与不等问题的转化等．热点题型探究热点1 特殊与一般的转化例1 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2a B.12a C ．4a D.4a 答案 C解析 抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)．焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，14a ，取过焦点F 的直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，所以1p ＋1q ＝4a .(2)在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝12，|AD →|＝8.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM→＝( ) A ．20 B ．15 C ．36 D ．6答案 C解析 解法一：由BM→＝3MC →，DN →＝2NC →知，点M 是BC 的一个四等分点，且BM ＝34BC ，点N 是DC 的一个三等分点，且DN ＝23DC ，所以AM →＝AB →＋34AD →，AN →＝AD →＋DN →＝AD →＋23AB →，所以NM →＝AM →－AN →＝AB →＋34AD →－⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋23AB →＝13AB →－14AD →，所以AM →·NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－34AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →2－916AD →2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫144－916×64＝36，故选C.解法二：不妨设∠DAB 为直角，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M (12,6)，N (8,8)，所以AM →＝(12,6)，NM →＝(4，－2)，所以AM →·NM→＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.一般问题特殊化，使问题处理变的直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果．对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案．1．(2019·甘青宁高三3月联考)若函数f (x )＝1＋x 3，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4答案 A解析 ∵f (x )＝1＋x 3，∴f (－x )＋f (x )＝2，∵lg 12＝－lg 2，∴f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫lg 12＝2，故选A.2．(2019·济南市高三3月模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧13x 3－12x 2，x ＜0，e x ，x ≥0，则f (3－x 2)>f (2x )的解集为( )A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)B ．(－3,1)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1,3) 答案 B解析 当x <0时，f (x )＝13x 3－12x 2，f ′(x )＝x 2－x ，∵x <0，∴f ′(x )>0，f (x )单调递增，且x →0时，f (x )→0，∴f (x )<0；当x ≥0时，f (x )＝e x 单调递增，且f (x )≥f (0)＝1.因此可得f (x )在整个定义域上单调递增，∴f (3－x 2)>f (2x )可转化为3－x 2>2x .解得－3<x <1，故选B. 热点2 函数、方程、不等式间的转化例2 (1)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)答案 C解析 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3时，f (x )≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝4.当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a .依题意f (x )min ≥g (x )min ，∴a ≤0.选C.(2)(2019·河南十所名校高三第二次联考)已知函数f (x )＝ax (x 2－1)＋x (a >0)，方程f [f (x )]＝b 对于任意b ∈[－1,1]都有9个不等实根，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(4，＋∞)答案 D解析 ∵f (x )＝ax (x 2－1)＋x (a >0)，∴f ′(x )＝3ax 2＋(1－a )．若a ≤1，则f ′(x )≥0，f (x )单调递增，此时方程f [f (x )]＝b 不可能有9个不等实根，故a >1.令f ′(x )＝0，得x ＝± a －13a ，不妨令x 1＝－a －13a ，x 2＝a －13a .∵当a >1时，a －1<3a ，∴－1<x 1<0，0<x 2<1.f (－x )＝a (－x )·[(－x )2－1]＋(－x )＝－[ax (x 2－1)＋x ]＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，又函数f (x )过定点(1,1)，(－1，－1)和(0,0)，则作出函数f (x )的大致图象如图所示．令f (x )＝t ，方程f (t )＝b 对于任意b ∈[－1,1]都有9个不等实根，即方程f (x )＝t 1，f (x )＝t 2，f (x )＝t 3，一共有9个不等实根，∴f (x )在极小值点处的函数值小于－1，即f ⎝⎛⎭⎪⎫a －13a ＝23(1－a ) a －13a <－1，即(a －4)(2a ＋1)2>0，解得a >4，故实数a 的取值范围为(4，＋∞)．故选D.函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简，常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题；将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题，将方程的求解问题转化为函数的零点问题．1．(2019·安徽马鞍山二次质检)已知函数f (x )＝x ＋(2－kx )e x (x >0)，若f (x )>0的解集为(a ，b )，且(a ，b )中恰有两个整数，则实数k 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e 2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 4＋12，1e 3＋23 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 3＋23，1e 2＋1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2＋1，1e ＋2 答案 C解析 f (x )＝x ＋(2－kx )e x >0⇒x >(kx －2)e x ⇒x e x >kx －2，设g (x )＝xe x (x >0)，h (x )＝kx －2，问题就转化为在(a ，b )内，g (x )>h (x )，且(a ，b )中恰有两个整数．先研究函数g (x )的单调性，g ′(x )＝1－xe x (x >0)，当x >1时，g ′(x )<0，所以函数g (x )在(1，＋∞)上单调递减；当0<x <1时，g ′(x )>0，所以函数g (x )在(0,1)上单调递增，所以g (x )max ＝g (1)＝1e .注意到g (0)＝0，当x >0时，g (x )>0.h (x )＝kx －2，恒过(0，－2)，要想在(a ，b )内，g (x )>h (x )，且(a ，b )中恰有两个整数，必须要满足以下两个条件：⎩⎪⎨⎪⎧g (2)＞h (2)，g (3)≤h (3)⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＜1e 2＋1，k ≥1e 3＋23⇒1e 3＋23≤k ＜1e 2＋1，故选C.2．已知a ＝13ln 94，b ＝45ln 54，c ＝14ln 4，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜a答案B解析 a ＝13ln 94＝13ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝23ln 32＝ln 3232，b ＝45ln 54＝ln 5454，c ＝14ln 4＝14×2ln 2＝ln 22.故构造函数f (x )＝ln xx ，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，c ＝f (2)． 因为f ′(x )＝1－1·ln x x 2＝1－ln xx 2， 由f ′(x )＝0，解得x ＝e.故当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，e]上单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＜0，函数f (x )在[e ，＋∞)上单调递减．因为54＜32＜2＜e ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f (2)，即b ＜a ＜c ，故选B.热点3 正难则反的转化例3 (1)(2019·湖南邵阳高三10月大联考)若命题“∃x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C ．[－1,2]D ．(－1,2)答案 C解析 若命题“∃x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则命题等价于∀x ∈R ，x 2＋2mx ＋m ＋2≥0恒成立，故只需要Δ＝4m 2－4(m ＋2)≤0⇒－1≤m ≤2.故选C.(2)已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18解析 f ′(x )＝2ax －1＋1x .(ⅰ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≥0，得a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.①令t ＝1x ，因为x ∈(1,2)，所以t ＝1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.设h (t )＝12(t －t 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋18，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，显然函数y ＝h (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，所以h (1)＜h (t )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0＜h (t )＜18.由①可知，a ≥18.(ⅱ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≤0，得a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.②结合(ⅰ)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞.所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，18.正与反的转化法正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．1．若抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝k (x －3)垂直平分，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ 答案 D解析 当k ＝0时，显然符合题意．当k ≠0时，设抛物线y ＝x 2上两点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)关于直线y ＝k (x －3)对称，AB 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 21＋x 222.由题设知x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，所以x 1＋x 22＝－12k .又AB 的中点P (x 0，y 0)在直线y ＝k (x －3)上，所以x 21＋x 222＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－3＝－6k ＋12，所以中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ，－6k ＋12.由于点P 在y >x 2的区域内，则－6k ＋12>⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 2，整理得(2k ＋1)(6k 2－2k ＋1)<0，解得k <－12.因此当k <－12时，抛物线y ＝x 2上存在两点关于直线y ＝k (x －3)对称，于是当k ≥－12时，抛物线y ＝x 2上不存在两点关于直线y ＝k (x －3)对称．所以实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.故选D. 2．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 解析 若在区间[－1,1]内不存在c 满足f (c )＞0，因为Δ＝36p 2≥0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.所以p ≤－3或p ≥32，取补集得－3＜p ＜32， 即满足题意的实数p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32. 热点4 形体位置关系的转化例4 (1)(2019·延安市高考模拟)正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 折叠，使点B 与点C 间的距离为3，则四面体ABCD 外接球的表面积为( )A ．6πB ．7πC ．8πD ．9π答案 B解析 根据题意可知四面体ABCD 的三条侧棱BD ⊥AD ，DC ⊥DA ，底面△BDC 是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，在三棱柱底面△BDC 中，BD ＝CD ＝1，BC ＝3，∴∠BDC ＝120°，∴△BDC 的外接圆的半径为12×3sin120°＝1，由题意可得，球心到底面的距离为12AD ＝32，∴球的半径为r ＝34＋1＝72.故外接球的表面积为4πr 2＝7π，故选B. (2)(天津市滨海新区2020届高三摸底考试)如图所示，已知多面体ABCDEFG 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为________．答案 4解析 解法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C 作CH ⊥DG 于H ，连接EH ，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH －ABC和一个斜三棱柱BEF －CHG .由题意，知V 三棱柱DEH －ABC ＝S △DEH ·AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝2，V 三棱柱BEF －CHG ＝S △BEF ·DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝2.故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝2＋2＝4.解法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．又正方体的体积V正方体ABHI－DEKG＝23＝8，故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG＝12×8＝4.形体位置关系的转化是通过切割、补形、等体积转化等方式转化为便于观察、计算的常用几何体，由于新的几何体是转化而来的，一般需要对新几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新几何体的特征．1.(2019·东北三省三校高三第二次模拟)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是棱B1C1的中点，AB＝AC＝2，BC＝BB1＝2.(1)求证：AC1∥平面A1BD；(2)求点D到平面ABC1的距离．解(1)证明：连接AB1，交A1B于点O，则O为AB1的中点，连接OD ，又D 是B 1C 1的中点，∴OD ∥AC 1，∵OD ⊂平面A 1BD ，AC 1⊄平面A 1BD ，∴AC 1∥平面A 1BD .(2)由已知，AB ＝AC ，取BC 的中点H ，则BC ⊥AH ，∵BB 1⊥平面ABC ，AH ⊂平面ABC ，∴BB 1⊥AH ，∵BC ∩BB 1＝B ，∴AH ⊥平面BCC 1B 1.又AB ＝AC ＝2，BC ＝2，∴AH ＝1，∵BB 1⊥C 1D ，∴S △BC 1D ＝12C 1D ·BB 1＝12×1×2＝1，∴V D －ABC 1＝V A －BC 1D ＝13S △BC 1D ·AH ＝13×1×1＝13.∵AC 1＝2＋4＝6，BC 1＝4＋4＝22，∴AC 21＋AB 2＝BC 21，∴△ABC 1是直角三角形，∴S △ABC 1＝12×2×6＝3，设点D 到平面ABC 1的距离为h ，则13×3×h＝13，得h ＝33，即点D 到平面ABC 1的距离为33.2．(2019·山东师范大学附属中学高三上学期二模)已知等腰梯形ABCE (图1)中，AB ∥EC ，AB ＝BC ＝12EC ＝4，∠ABC ＝120°，D 是EC 的中点，将△ADE沿AD 折起，构成四棱锥P －ABCD (图2)．(1)求证：AD ⊥PB ；(2)当平面P AD ⊥平面ABCD 时，求三棱锥C －P AB 的体积． 解 (1)证明：取AD 的中点K ，连接PK ，BK ，BD ， ∵P A ＝PD ，K 为AD 的中点，∴PK ⊥AD ，又AD ＝AB ，∠DAB ＝60°，∴△ADB 为等边三角形，则AB ＝BD ，则BK ⊥AD ，又PK ∩BK ＝K ，∴AD ⊥平面PBK ，又PB ⊂平面PBK ，则AD ⊥PB .(2)由平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， PK ⊂平面P AD ，PK ⊥AD ，得PK ⊥平面ABCD ，由已知AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝120°，得S △ABC ＝43，又PK ＝23，∴V C －P AB ＝V P －ABC ＝13×43×23＝8.。

第1讲转化与化归思想在函数中的应用在学习数学时，我们研究的最多的题往往是自己不会做的题，因此解题的过程实际上是一个从未知向已知转化的过程。

同样的，我们在解决函数问题的过程中，经常会遇到这样一些困境：做题时总感觉这道题见过，但是按照平时常用的方式就是解不出来。

此时便需要我们将问题进行转化，通过观察、分析等思维过程，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的。

转化和化归可使所要研究的问题化难为易，化生为熟，化繁为简，化未知为已知。

通过改变思维的角度，使我们从所给问题的情境中找出我们曾经见过的熟悉的模型，从而迅速、准确地解决问题。

【应用一】利用转化与化归思想解决不等式问题函数的不等式问题，一直是常考问题，解决不等式问题我们一般的想法是根据函数单调性进行求解，但有的时候，题目给出的不等式中会含有不止一个变量，无法直接利用函数的单调性，此时就需要我们对不等式进行变形，将陌生的问题转化为我们熟悉的利用函数单调性求解的问题，例如下面这道小题：【例1】若实数x ，y 满足2020202020212021x y x y ---<-，则（）A ．ln 0x y -<B ．ln 0x y ->C ．()ln 10y x -+<D ．()ln 10y x -+>本题是一道不等式问题，且含有两个变量，直接运算很难得到答案，所以我们可以对本题中所给的式子2020202020212021x y x y---<-进行变形：2020202120202021x x y y ---<-，接着构建一个新的函数()20202021x xf x -=-，将这个问题转化为函数单调性问题然后求解。

【思维升华】通过本题不难发现，对于多变量的不等式求解问题，我们可以对不等式进行适当的变形，化难为易、化繁为简，将其转化为我们所熟悉的函数单调性问题，所以在解答数学问题时，我们有时会遇到陌生的问题，感到棘手。

第04讲 转化与化归思想高考考点聚焦一、转化与化归思想的含义转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法，一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．二、转化与化归的常见方法1．直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．2．换元法：运用―换元‖把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．3．数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．4．等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，以达到化归的目的．5．特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题的结论适合原问题．6．构造法：―构造‖一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．7．坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．8．类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于探求．9．参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的问题进行解决．10．补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集∁UA 使原问题获得解决，体现了正难则反的原则． 命题热点突破命题方向1 特殊与一般的转化例1 已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为__________.练习：1．AB 是过抛物线x 2＝4y 的焦点的动弦，直线l 1，l 2是抛物线两条分别切于A ，B 的切线，则l 1，l 2的交点的坐标为__________.2．已知函数f (x )＝a xa 2＋a(a >0且a ≠1)，则f (1100)＋f (2100)＋…＋f (99100)的值为__________.命题方向2 函数、方程、不等式之间的转化例2 已知e 为自然对数的底数，若对任意的x ∈[1e，1]，总存在唯一的y ∈[－1,1]，使得ln x －x ＋1＋a ＝y 2e y 成立，则实数a 的取值范围是__________.练习：已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为_______________.命题方向3 正难则反的转化例3 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋(m 2＋2)x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是_______________.练习：若抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝k (x －3)垂直平分，则k 的取值范围是___________.针对性练习1．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则a 的取值范围为 .2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1200OB a OA a OC =+ ，且,,A B C 三点共线（该直线不过原点O ），则200S ＝ .3．已知正三棱锥S —ABC 的侧棱长为2，侧面等腰三角形的顶角为30︒，过底面顶点A 作截面△AMN 交侧棱SB 、SC 分别于M 、N ，则△AMN 周长的最小值为 .4．函数f (x )=x 3–3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是 .5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列}1{+n a n 的前n 项和的公式是 .6．已知圆22:2440C x y x y +-+-=，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.7．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且满足222a c b +-=．（1）求角B 的大小；（2）若2cos cos cos )b A c A a C =+，BC 边上的中线AM ABC ∆的面积．。