2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题15 同角三角函数的基本关系与诱导公式 理(含解析)新人教A版

高三数学 同角三角函数关系与诱导公式、三角函数的图像、三角函数的性质 知识精讲一. 同角三角函数关系与诱导公式 1. 同角三角函数间八大基本关系式 （1）平方关系：s i n cos tansec cot csc 222222111αααααα+=+=+=（2）倒数关系：t a n c o t c o s s e c s i n c s c αααααα⋅=⋅=⋅=111（3）商数关系：t a n s i n c o sc o t c o ss i n αααααα==2. 同角关系式的主要应用（1）已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值； （2）化简三角函数式； （3）证明三角恒等式。

3. 诱导公式 k ⋅±πα2的各三角函数值，当k 为偶数时，得角α的同名三角函数值；当k 为奇数时得角α的相应的余函数值，然后放上把α看作锐角时原函数所在象限的符号。

为便于记忆，还可用口诀表示上面的概括。

“奇变偶不变，符号看象限”。

4. 正确理解及灵活应用同角三角函数式和诱导公式求值，化简、证明。

（1）运用诱导公式求三角函数值的步骤是：任意角→正角→0360︒︒~→锐角→求值。

运用同角关系求值时要注意结合方程思想方法（如考题的“代换技巧”）。

（2）三角函数式化简的要求： （a ）项数尽量少；（b ）函数种类尽量少； （c ）次数尽量低； （d ）尽量不含分母； （e ）尽量不带根号；（f ）能求出值的求出数值。

（3）证明三角恒等式的一般方法：（a ）化繁为简：从一边开始证得它等于另一边。

（b ）左、右同一：证明左、右两边都等于同一个式子（或值）。

（c ）变换结论，即改证与其等价的结论。

三角变形技巧常用弦切互化；“1”的代换法，有时用到比例性质。

二. 三角函数的图像1. 正弦、余弦、正切、余切函数的图像三角函数的图像从“形”的方面反映了任意角（弧度数）与它的函数y 的对应关系，形像直观，有助于理解和记忆三角函数的性质，应注意充分运用图像的直观性来解答三角函数的值域，最值，比较三角函数值的大小，解简单的三角方程和不等式。

艺术生高考数学专题讲义考点16同角三角函数的关系式及诱导公式同角三角函数是指在同一个角度下应用不同的三角函数。

因为三角函数的值与角度的大小有关，所以在同一个角度下，不同的三角函数值也会有一定的关系。

首先，我们来介绍同一个角度下的正弦函数、余弦函数和正切函数之间的关系式。

在单位圆上，考虑角度θ的位置，点P(x, y)的坐标为(cosθ,sinθ)，其中x为P点在单位圆上的横坐标，即cosθ；y为P点在单位圆上的纵坐标，即sinθ。

由此可得：sinθ = ycosθ = xtanθ = y / x从上面的关系中可以直接得到第一个关系式：sin²θ + cos²θ = 1推导：由于x² + y² = 1，将x替换为cosθ，y替换为sinθ，得到cos²θ + sin²θ = 1接下来，我们知道正弦函数和余弦函数之间有一个重要的关系，即余弦函数可以表示为正弦函数的导数，其关系如下：cosθ = sin(π/2 - θ)这是因为从单位圆的定义可以看出，对于任意角度θ，点P(x, y)在单位圆上的对称点为P(-x, y)，即P点关于y轴的对称点。

那么点(-x, y)的坐标为(cos(π - θ), sin(π - θ))。

由于(cosθ, sinθ)与(cos(π - θ), sin(π - θ))坐标相同，所以cosθ = cos(π - θ)，即cosθ = sin(π - θ)。

同理，可以推导出正弦函数可以表示为余弦函数的导数：sinθ = cos(π/2 - θ)除此之外，还有一些其他的关系式，通过上述的关系式可以得到如下诱导公式：tanθ = sinθ / cosθ = (1 / cosθ) / (1 / sinθ) = (cscθ)/ (secθ)cotθ = cosθ/ sinθ = (1 / sinθ) / (1 / cosθ) = (secθ)/ (cscθ)其中，cscθ = 1 / sinθ为余割函数，secθ = 1 / cosθ为正割函数。

第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式22sin sin cos 1,tan cos xx x x x+==；2. 能利用定义推导出诱导公式（2πααπ±±，的正弦、余弦、正切）.【知识衍化体验】【知识梳理】1. 同角三角函数的基本关系式平方关系：22sin cos 1αα+= 商数关系：sin tan cos ααα= 2．诱导公式:诱导公式可概括为：k ·π2±α（k ∈Z ）的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限． 常见的几组为:3.已知一个角的某一个三角函数值,求其余三角函数值时,要特别注意这个角的范围.4.求一个已知的角的三角函数值,其一般步骤为: (1)负角化为正角;(2)大角化为小角. 5．sinα±cosα与sinα·cosα之间的关系：(1) (sinα＋cosα)2＝1＋2sinα·cosα； (2) (sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα ； [微点提醒]1.诱导公式口诀中“奇变偶不变，符号看象限”其中的奇、偶是指的2π的奇数倍和偶数倍. 应用公式有时要先技术处理一下，如33sin()sin(2)()222πππααπα-=-+=+.2.利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.【基础自测】疑误辨析1. 判断下列结论正误（1）sin()sin παα+=- （ ）（2）3sin()cos 2παα-= （ ）（3）3cos()sin 2παα+=- （ ）（4）2211+tan cos αα= （ ） 教材衍化2．（多选）下列式子化简结果和sin x 相同的是 （ ） A ．()sin x π-B ．()sin x π+C ．cos 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．cos 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭3．角α的终边在直线2y x =上，则()()()()sin cos sin cos αππαπαπα-+-=+-- （ ）A ．13B ．1C ．3D ．1-考题体验4．（2016年全国III ）若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2=αα+ （ ） A ．6425 B ．4825 C ．1 D ． 16255．（2013新课标Ⅱ）设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=___． 6．（2016年全国II ）若3cos()45πα-=，则sin2=α （ ） A ． B ． C ． D ．【考点聚焦突破】考点一.同角三角函数基本关系式 角度1 公式的直接运用【例1-1】已知α为第四象限角，化简：ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-7251515-725-角度2 关于sin ,cos αα的齐次式问题【例1-2】若tan α1）sin cos cos sin αααα+-的值；（2）222sin sin cos cos αααα-+的值．角度3 “sin cos sin sin αααα±⋅，”之间的关系【例1-3】已知sin α和cos α是方程250x x m -+=的两实根，求：（1）m 的值；（2）当(0,)απ∈时，求tan(3)πα-的值；（3）33sin +cos αα的值．(4) 2sin 22sin 1tan ααα+-规律方法 1.已知角的一个三角函数值求其余两个三角函数值，通过22sin cos 1αα+=事先正弦与余弦的互化，通过sin tan cos ααα=实现切和弦的互化.2. 利用2sin cos =1sin cos x x x x ±±⋅（）对sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +⋅-知一求二的问题.3.注意公式的逆运用及变形应用，如221=sin cos αα+，221sin cos αα-=，221cos =sin αα-.【训练1】（1）求值（2）已知A 、B 、C ,cos A A -是220x x a -+=方程的两根．①求角A ；②若221+2sin cos 3cos sin B BB B=--，求tanB .（3）已知关于x 的方程221)0x x m -+=的两根为sin ,cos θθ，θ∈(0，2π) ．求：①2sin cos sin cos 1tan θθθθθ+--； ①m 的值； ①方程的两根及此时θ.考点二.诱导公式的应用 【例2】化简：3tan()cos(2)sin()2cos(3)sin(3)ππαπαααππα++-----规律方法 诱导公式的两个简单应用:（1）求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.【训练2】（1）已知72sin()123πα+=，则11cos()=12πα-________ （2）已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2y x =上，则3sin()cos()2sin()sin()2πθπθπθπθ++----＝考点三.同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用 【例3】 是否存在22ππα∈（-,），0βπ∈（,），使得等式sin(3))2ππαβ-=-，))απβ-=+同时成立？若存在，求出αβ，的值，若不存在，请说明理由.规律方法 1.注意角的范围对三角函数值符号的影响，特别是多解时要考虑舍解，一解时要考虑漏解.2.一般情况下首先要注意分析角和角之间的关系，比如+36ππαα-，是互余的角,我们常常要在展开和保留整体角之间作出选择.【训练3】已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin()=3sin()2αππα+-（ ）A ．-B ．C ．D反思与感悟 [思维升华]1. 有切有弦，常常切化弦，利用sin tan cos xx x=， 2. 关注齐次式2sin cos sin sin cos ,sin cos cos2a x b x x x xc xd x x+++， 3. 互相关联的sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +⋅-知一求二的问题，如求sin cos +sin cos y x x x x =+⋅的最大值，令sin cos =x x t +换元.[易错防范]利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，基本思想是负化正，大化小，钝化锐.第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式【知识衍化体验】 【知识梳理】 2． 常见的几组为:【基础自测】1.(1).对 （2）.错 （3）.错 （4）.对 2． ACD对于A ：()sin sin x x π-=，则A 选项与sin x 相同，故A 选项正确； 对于B ：()sin sin x x π+=-，则B 选项与sin x 不相同，故B 选项不正确； 对于C ：cos sin 2x x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则C 选项与sin x 相同，故C 选项正确； 对于D ：cos cos sin 22x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则D 选项与sin x 相同，故D 选项正确. 3． C ．角α的终边在直线2y x =上，tan 2α∴=，则()()()()sin cos sin sin cos sin cos cso αππαααπαπααα-+---=+---+sin cos tan 13sin cos tan 1αααααα++===--.考题体验 4．A 由sin 3tan cos 4ααα==，22cos sin 1αα+=，得3sin 5α=，4cos 5α=或 3sin 5α=-，4cos 5α=-，所以24sin 22sin cos 25ααα==，则2164864cos 2sin 2252525αα+=+=，故选A ．5. 5-1tan()=42πθ+则1tan 3θ=-，sin θ=，cos θ=，sin cos = 5θθ+-. 6．D因为3cos cos )45πααα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以sin cos 5αα+=， 所以181sin 225α+=,所以7sin 225α=-,故选D ． 【考点聚焦突破】【例1-1】因为α为第四象限角所以原式=αααααα2222cos 1)cos 1(sin sin 1)sin 1(cos --+-- ()ααααααααααsin cos cos 1sin 1sin cos 1sin cos sin 1cos -=---=--+-=【例题1-2】（1）cos sin 1tan 3cos sin 1tan αααααα++===----（2）原式2222222sin sin cos cos 2tan tan 1sin cos tan 1ααααααααα-+-+==++=． 【例1-3】(1)解： 1sin cos 5sin cos 5mαααα⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，11+2sin cos 25αα=，125m =-(2)sin cos 0,(,)2παααπ<∈,4sin 5α=,3cos 5α=-,4tan 3α=-4tan tan 3παα-=-=（3） (3)332211237sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )=(1)525125αααααααα+=+-++=。

第十六部分同角三角函数的基本关系及诱导公式一、基本知识点1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：________________________.(2)商数关系：______________.2．下列各角的终边与角α的终边的关系角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－α图示与角α终边的关系角π－απ2－απ2＋α图示与角α终边的关系3.六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦余弦正切口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限二、内容扩充1．同角三角函数的基本关系(1)同角三角函数的关系是由三角函数的定义决定的．例如：∵sin α＝y r ，cos α＝xr，∴sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y2r 2＝1.(2)利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定． (3)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系，它为三角函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要的方法．2．三角函数诱导公式f ⎝⎛⎭⎫k 2π＋α (k ∈Z )的本质 三角函数诱导公式f ⎝⎛⎭⎫k2π＋α (k ∈Z )的本质是：奇变偶不变，符号看象限． 对诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”含义的理解：即诱导公式的左边为π2·k ＋α (k ∈Z )的正弦或余弦函数，当k 为奇数时，右边的函数名称正余互变；当k 为偶数时，右边的函数名称不改变，这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将α“看成”锐角(可能并不是锐角，也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角)，然后分析π2·k ＋α (k ∈Z )为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数(原函数)在此象限是正还是负，也就是公式右边的符号． 诱导公式的应用是：求任意角的三角函数值，其一般步骤：①负角变正角，再写成2k π＋α，0≤α<2π；②转化为锐角． 三、小练习1.若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________.2.若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为________．3．tan(－1 560°)＝________.4．已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.5．sin 43π·cos 56π·tan ⎝⎛⎭⎫－43π的值是 ( )A ．－334 B.334 C ．－34 D.34四、题型分析题型一 同角三角函数的基本关系式的应用 例1已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．探究提高 (1)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．练习 (1)已知tan α＝2，求sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α； (2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α. 题型二 三角函数的诱导公式的应用例2(1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值． 探究提高 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题成败的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．练习 (1)化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)；(2)已知f (x )＝sin (π－x )cos (2π－x )tan (－x ＋π)cos ⎝⎛⎭⎫－π2＋x ，求f ⎝⎛⎭⎫－31π3的值． 题型三 三角函数式的化简与证明例3求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan θ＝1sin θ＋1cos θ.探究提高 证明三角恒等式离不开三角函数的变换．在变换过程中，把正切函数化成正弦或余弦函数，减少函数种类，往往有利于发现等式两边的关系或使式子简化．要细心观察等式两边的差异，灵活运用学过的知识，使证明简便． 练习 证明下列恒等式：(1)1＋2sin (360°＋x )cos (360°＋x )cos 2(360°＋x )－sin 2(360°＋x )＝1＋tan x 1－tan x ； (2)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)＝－tan α.练习(1)化简：sin ⎝⎛⎭⎫4n －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4n ＋14π－α (n ∈Z )；(2)化简：sin (n π－α)cos[(n －1)π－α]sin[(n ＋1)π＋α]cos (n π＋α) (n ∈Z )．解 (1)当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则原式＝sin ⎝⎛⎭⎫8k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫8k ＋14π－α＝sin ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫－π4－α＋cos ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. [3分]当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1 (k ∈Z )时， 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫8k ＋34π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫8k ＋54π－α＝sin ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫3π4－α＋cos ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫5π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α＋cos ⎝⎛⎭⎫5π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. [5分] 故sin ⎝⎛⎭⎫4n －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4n ＋14π－α＝0.[6分](2)当n ＝2k (k ∈Z )时，原式＝sin (2k π－α)cos[(2k －1)π－α]sin[(2k ＋1)π＋α]cos (2k π＋α)＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝－sin α(－cos α)－sin α·cos α＝－1；[9分]当n ＝2k ＋1 (k ∈Z )时， 原式＝sin[(2k ＋1)π－α]·cos[(2k ＋1－1)π－α]sin[(2k ＋1＋1)π＋α]·cos[(2k ＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α(－cos α)＝－1. [11分]综上，原式＝－1.[12分]批阅笔记 (1)本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用了分类讨论的思想将n 分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想． (2)在转化过程中，考生缺乏整体意识，是出错的主要原因. 方法与技巧同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用的方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan 2θ ＝tan π4＝….3．证明三角恒等式的主要思路有：(1)左右互推法：由较繁的一边向简单一边化简；(2)左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子；(3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明．4．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．5．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 6．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．限时训练A 组(时间：60分钟)一、选择题1．cos(－2 013π)的值为( )A.12 B ．－1 C ．－32D ．02．当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x的最小值是( )A.14B.12 C ．2 D ．4 二、填空题3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. 4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值为________． 5.sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________.6．已知cos α＝－513，且α是第二象限的角，则tan(2π－α)＝________.三、解答题7．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．限时训练B 组一、选择题1．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于 ( )A ．－79B ．－13 C.13D.79 2．已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是( )A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2 3．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α等于( )A.12B ．2C ．－12D ．－2二、填空题4．已知sin α·cos α＝18，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值是________．5．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin α＋cos α＝75，则tan α＝______________________________________. 6．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． 三、解答题7．已知α是第三象限角，且f (α)＝tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－α－π)tan (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－1 860°，求f (α)的值．答案要点梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)sin αcos α＝tan α2．相同 关于原点对称 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于直线y ＝x 对称 3．正弦：sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦：cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切：tan α tan α －tan α －tan α 基础自测1．－35 2.34 3. 34．－255 5.A题型分类·深度剖析例1 解 (1)∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝⎛⎭⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225<0且0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝75，由⎩⎨⎧ sin α＋cos α＝15sin α－cos α＝75，得⎩⎨⎧sin α＝45cos α＝－35， ∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α ＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α， ∵tan α＝－43，∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝⎛⎭⎫－432＋11－⎝⎛⎭⎫－432＝－257. 变式训练1 解 (1)sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α－2tan 2α＋1＝45.(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin 2α＝4sin 2β， ① tan 2α＝9tan 2β，② 由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β，③①＋③得：sin 2α＋9cos 2α＝4，∵cos 2α＋sin 2α＝1，∴cos 2α＝38，即cos α＝±64.例2 解 (1)∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π6－α＝π， ∴5π6－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33， 即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－33. (2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫72π－α ＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.变式训练2 解 (1)原式＝tan αcos αsin ⎣⎡⎦⎤－2π＋⎝⎛⎭⎫α＋π2cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.(2)∵f (x )＝sin x ·cos x ·(－tan x )sin x＝－cos x ·tan x ＝－sin x ，∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫－31π3＝sin 31π3＝sin ⎝⎛⎭⎫10π＋π3＝sin π3＝32. 例3 证明 左边＝sin θ⎝⎛⎭⎫1＋sin θcos θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫1＋cos θsin θ ＝sin θ＋sin 2θcos θ＋cos θ＋cos 2θsin θ＝⎝⎛⎭⎫sin θ＋cos 2θsin θ＋⎝⎛⎭⎫cos θ＋sin 2θcos θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θ＋cos 2θ＋sin 2θcos θ＝1sin θ＋1cos θ＝右边． 变式训练3 证明 (1)左边＝ cos 2x ＋sin 2x ＋2sin x cos xcos 2x －sin 2x＝(cos x ＋sin x )2(cos x ＋sin x )(cos x －sin x ) ＝cos x ＋sin x cos x －sin x ＝1＋tan x 1－tan x ＝右边． ∴原式得证．(2)左边＝－tan αsin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－tan α(－sin α)cos α－cos αsin α＝－tan α＝右边．∴原式得证． 课时规范训练 A 组1．B 2．D3．－23 4.－135．－1 6.1257．解 ∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13，∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos (2π－θ)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θcos (π－θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18. B 组1．A 2．A 3．B4．－32 5.346．07．解 (1)f (α)＝tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－α－π)tan (－π－α)＝－tan αcos α(－cos α)－cos α(－tan α)＝cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15， ∴－sin α＝15，∴sin α＝－15，又α是第三象限角，∴cos α＝－265.∴f (α)＝cos α＝－265.(3)∵α＝－1 860°＝－360°×5－60°， ∴cos α＝cos(－1 860°)＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.∴f (α)＝12.。

同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点同角三角函数的基本关系与诱导公式是解决三角函数之间的相互关系的重要工具。

它们包含了三角函数的定义、性质和相互之间的关联，通过这些关联可以简化三角函数的计算和推导，提供了解决三角函数问题的便捷方法。

在学习和应用三角函数时，掌握这些知识点非常重要。

基本关系：sinθ = 角对边 / 斜边cosθ = 邻边 / 斜边tanθ = 角对边 / 邻边这些定义描述了角度和三角函数之间的基本关系。

通过这些基本关系，可以推导出其他三角函数之间的关系。

诱导公式：诱导公式是通过基本关系推导得到的，它们描述了不同角度的三角函数之间的关系。

常用的诱导公式有：1.正弦的诱导公式：sin(π/2 - θ) = cosθsin(π/2 + θ) = cosθsin(π - θ) = sinθsin(2π - θ) = -sinθ2.余弦的诱导公式：cos(π/2 - θ) = sinθcos(π/2 + θ) = -sinθcos(π -θ) = -cosθcos(2π - θ) = cosθ3.正切的诱导公式：tan(π/2 - θ) = cotθtan(π/2 + θ) = -cotθtan(π - θ) = -tanθtan(2π - θ) = tanθ4.余切的诱导公式：cot(π/2 - θ) = tanθcot(π/2 + θ) = -tanθcot(π- θ) = -cotθcot(2π - θ) = cotθ通过这些诱导公式，可以将一个三角函数的值转化为与之相关的其他三角函数的值，从而简化计算和推导的过程。

这些基本关系和诱导公式在解决各种三角函数问题时是非常有用的。

通过掌握这些知识点，我们可以灵活运用三角函数的定义和性质，快速推导出需要的结果。

在解决具体问题时，可以利用诱导公式将所给角度转化为更简单的角度，从而获得更便捷的计算方法。

此外，这些基本关系和诱导公式还可以用于推导其他三角函数的性质和公式，扩展和深入了解三角函数的知识，为进一步研究和应用三角函数打下坚实基础。

高考数学第一轮复习：《同角三角函数的基本关系与诱导公式》最新考纲1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x ＝tan x .2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.【教材导读】1．同角三角函数的基本关系中，对任意角均成立吗？提示：在tan α＝sin αcos α的关系中，须保证tan α有意义，所以须使α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．诱导公式的功能是什么？提示：负角化正角，大角化小角，再求值．1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin 2 α＋cos 2 α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin αcos α. 2．诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α 余弦 cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α 正切tan αtan α－tan α－tan_α诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是诱导公式k ·π2＋α中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限．1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( ) (A)－32 (B)32 (C)－12(D)12D 解析：因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.故选D.2．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( )(A)12 (B)－12 (C)32(D)－32A 解析：∵f (α)＝sin αcos α(－cos α)·(－tan α)＝sin αtan α＝cos α，∴f (－25π3)＝cos(－25π3)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝12.故选A.3．若α＝11π3，则tan α·cos α等于( ) (A)12 (B)－12 (C)－32(D)32C 解析：若α＝113π，tan α·cos α＝sin αcos α·cos α＝sin α＝sin 113π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π3＝－sin π3＝－32.故选C.4．已知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________.解析：因为a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝－43. 答案：－435．已知sin x cos x ＝38，且x ∈π4，π2，则cos x －sin x ＝________. 解析：因为x ∈π4，π2， 所以sin x >cos x ， 即cos x －sin x <0，所以(cos x －sin x )2＝1－2sin x cos x ＝14，所以cos x －sin x ＝－12. 答案：－12考点一 同角三角函数的基本关系(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.(2)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2 α－sin αcos α的值是( )(A)25 (B)－25 (C)－2(D)2解析：(1)依题意得⎩⎨⎧tan α＝sin αcosα＝2，sin 2 α＋cos 2 α＝1，由此解得cos 2 α＝15；又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，因此cos α＝－55.(2)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin2α－sin αcos α＝sin2α－sin αcos αsin2α＋cos2α＝tan2α－tan αtan α＋1＝25.答案：(1)－55(2)A【反思归纳】同角三角函数关系式的应用技巧(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.(3)sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，或含有sin2α，cos2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”后求解．【即时训练】已知角α的始终与x轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P(3,4)，则sin α＋2cos αsin α－cos α＝________.答案：10考点二三角函数的诱导公式(1)化简sin(kπ－α)·cos[(k－1)π－α]sin[(k＋1)π＋α]·cos(kπ＋α)，k∈Z；(2)已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos⎝⎛⎭⎪⎫5π2－α；(3)化简tan(π－α)cos(2π－α)sin⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2 cos(－α－π)sin(－π－α).解：(1)当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝sin(2nπ＋π－α)·cos(2nπ－α)sin(2nπ＋2π＋α)·cos(2nπ＋π＋α)＝sin(π－α)·cos αsin α·cos(π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1；当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin (2n π－α)·cos (2n π－π－α)sin (2n π＋π＋α)·cos (2n π＋α)＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1.所以原式＝sin (k π－α)·cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]·cos (k π＋α)＝－1.(2)∵sin α＝255＞0，∴α为第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2 α＝55，tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝52.当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2 α＝－55，原式＝1sin αcos α＝－52.(3)方法一：原式＝(－tan α)·cos[π＋(π－α)]·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－αcos (π＋α)·[－sin (π＋α)]＝(－tan α)·[－cos (π－α)]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α(－cos α)·sin α＝－tan α·cos α·(－cos α)－cos α·sin α＝－tan α·cos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.方法二：原式＝－tan α·cos (－α)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－π2cos (π－α)·sin (π－α)＝tan α·cos α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.【反思归纳】 利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．【即时训练】 已知sin(3π＋θ)＝13， 求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．答案：18考点三 诱导公式与同角关系的综合应用 (高频考点)已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根．求： (1)cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ的值；(2)tan(π－θ)－1tan θ的值． 解：由已知原方程判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即a 2－2a －1＝0， ∴a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)， ∴sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2. (1)cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin 3 θ＋cos 3 θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2 θ－sin θcos θ＋cos 2 θ) ＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.(2)tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan θ＋1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos θ＋cos θsin θ＝－1sin θcos θ＝－11－2＝2＋1.答案：(1)2－2 (2)2＋1【反思归纳】 熟练运用诱导公式和同角三角函数基本关系，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．【即时训练】 (1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( ) (A)正三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形(D)钝角三角形(2)若sin α＋π6＝－513，且α∈π2，π，则sin α＋2π3＝________. 解析：(1)因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝49， 所以sin αcos α＝－518<0，所以α为钝角．故选D. (2)因为π2<α<π，所以2π3<α＋π6<7π6， cos α＋π6＝－1－－5132＝－1213，而sin α＋2π3＝sin π2＋α＋π6＝cos α＋π6＝－1213. 答案：(1)D (2)－1213同角关系与诱导公式结合解题教材源题：化简： (1)cos α－π2sin 52π＋α·sin(α－2π)·cos(2π－α)；(2)cos 2(－α)－tan (360°＋α)sin (－α).解：(1)原式＝cos π2－αsin π2＋α·sin α·cos α＝sin αcos α·sin α·cos α＝sin 2α.(2)原式＝cos 2α－tan α－sin α＝cos 3α＋1cos α.【规律总结】 三角函数式化简目标方向 (1)用同角关系中切弦互化，统一函数名． (2)用诱导公式统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．【源题变式】已知f (x )＝sin (2π－x )·cos 32π＋xcos (3π－x )·sin 112π－x ，则f －21π4＝________.解析：因为f (x )＝sin (－x )·sin xcos (π－x )·sin6π－π2＋x＝sin 2xcos x －sin π2＋x ＝sin 2x －cos 2x ＝－tan 2x . 所以f －214π＝－tan 2－214π＝－tan 2－5π－π4＝－tan 2－π4＝－1.答案：－1课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan(α＋π)＝43，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )(A)210 (B)－210 (C)7210(D)－7210A 解析：由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan(α＋π)＝43，即tan α＝43，得sin α＝－45，cos α＝－35∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22(cos α－sin α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝210.故选A.2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) (A)－25(B)－15(C)15 (D)25答案：C3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝( )(A)45 (B)35 (C)－45(D)－35 D 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－35，故选D.4．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝( )(A)916 (B)－916 (C)－34 (D)34答案：B5．已知α是第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α的值为( ) (A)－2 (B)2 (C)0(D)3C 解析：原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α|cos α|＋sin α|sin α|，∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，∴cos α|cos α|＋sin α|sin α|＝－1＋1＝0.故选C.6．在△ABC 中，3sin π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C 等于( ) (A)π3 (B)π4 (C)π2(D)2π3C 解析：因为3sin π2－A ＝3sin(π－A )， 所以3cos A ＝3sin A ，所以tan A ＝33， 又0<A <π，所以A ＝π6.又因为cos A ＝－3cos(π－B )， 即cos A ＝3cos B ， 所以cos B ＝13cos π6＝12，又0<B <π， 所以B ＝π3.所以C ＝π－(A ＋B )＝π2.故选C. 7．设f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝________. 解析：方法一：f (cos x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝3－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝3－cos(π－2x )＝3＋cos 2x .方法二：f (sin x )＝3－(1－2sin 2 x )＝2＋2sin 2 x ， ∴f (x )＝2＋2x 2，∴f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝3＋2cos 2x －1＝3＋cos 2x . 答案：3＋cos 2x8．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π－α(n ∈Z )的结果为________． 解析：n 为偶数时，原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝0. n 为奇数时，原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝0. 答案：09．已知cos π6－α＝23，则sin α－2π3＝________.解析：sin α－2π3＝sin －π2－π6－α＝－sin π2＋π6－α＝－cos π6－α＝－23.答案：－2310．已知f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α·tan (α＋5π)tan (－α－π)·sin (α－3π)(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝cos α·(－sin α)·tan α(－tan α)·(－sin α)＝－cos α；(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α， ∴sin α＝－15，cos α＝－52－15＝－25 6.∴f (α)＝25 6.(3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.11．已知2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α＝75，求tan α的值．解：由题意得2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝75， 所以2tan 2α＋tan α－3tan 2α＋1＝75， 所以10tan 2α＋5tan α－15＝7tan 2α＋7，所以3tan 2α＋5tan α－22＝0，所以(3tan α＋11)(tan α－2)＝0，所以tan α＝－113或tan α＝2.能力提升练(时间：15分钟)12．设f (x )＝⎩⎨⎧ s in πx ， (x ＜0)，f (x －1)＋1， (x ≥0)和g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cosπx ，(x ＜12)，g (x －1)＋1，(x ≥12)，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的值为( ) (A)2(B)3 (C)4 (D)5 B 解析：∵g (14)＝22，g (56)＝cos(－16π)＋1＝32＋1，f (13)＝sin(－23π)＋1＝－32＋1，f (34)＝sin(－π4)＋1＝－22＋1，∴原式＝3.故选B.13．已知sin θ＝13，θ∈(－π2，π2)，则sin(π－θ)·sin(32π－θ)的值为( )(A)229(B)－229 (C)19(D)－19B 解析：∵θ∈(－π2，π2)，∴cos θ＝1－sin 2θ＝223， ∴sin(π－θ)sin(3π2－θ)＝－sin θcos θ＝－13×223 ＝－229.故选B.14．在△ABC 中，已知2cos 2A －3cos(B ＋C )＝2，则A ＝________. 解析：由2cos 2A －3cos(B ＋C )＝2，得2cos 2A －3cos(π－A )＝2，即2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，则在△ABC 中，A ＝π3.答案：π315．在三角形ABC 中，求cos 2A ＋B 2＋cos 2C 2的值． 解：在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，所以A ＋B 2＝π2－C 2， 所以cos A ＋B 2＝cos π2－C 2＝sin C 2，所以cos 2A ＋B 2＋cos 2C 2＝sin 2C 2＋cos 2C 2＝1. 16．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)由根与系数的关系可知⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12 ①sin θcos θ＝m 2 ②而sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2 θsin θ－cos θ＋cos 2 θcos θ－sin θ ＝sin 2 θ－cos 2 θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (2)由①式平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32.∴sin θcos θ＝34.由②得m 2＝34，∴m ＝32. (3)当m ＝32时，原方程变为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝32sin θ＝12. 又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝π3或θ＝π6.。

同角三角函数的基本关系式及诱导公式在高考中的地位同角三角函数是数学课程中基础重要的概念，也是高考试题考查的重要内容之一。

本文将重点讨论同角三角函数的基本关系式及诱导公式在高考中的地位，即在考试中对它们加以考查的重要性。

一、同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式是指三角函数的两个函数在同一角度时的关系式，例如sinθ，cosθ，tanθ等。

基本关系式可以从不同的计算方法分析出来，例如从正弦定理，余弦定理及正切定理中，以及在正弦波中对对角线的分析，等等。

基本关系式对于同角三角函数的求值以及使用十分重要，在高考中也是试题的常考内容，考生们在复习备考时要重点认真学习。

二、同角三角函数的诱导公式同角三角函数的诱导公式，是指将三角函数的关系式，通过简单的推导，导出同角三角函数的多对一关系，例如：sin2θ=2sin*cos θcos2θ=cos2θ-sin2θ，tan2θ=2tanθ/(1-tan2θ）等函数之间的关系。

诱导公式是由基本关系式推导出来的，同时又是基本关系式的延伸，在学习和使用同角三角函数方面，诱导公式的作用也十分重要，考生们在理解和掌握基本关系式的基础上，要深入学习诱导公式。

三、同角三角函数的基本关系式及诱导公式在高考中的重要地位同角三角函数的基本关系式及诱导公式，是高考数学课程重要的内容，在学习中占有重要地位。

此外，高考试题中，也会针对同角三角函数的基本关系式及诱导公式进行考查，可以是求解或分析等形式，对考生来说，对这两类关系式的掌握，有助于取得更好的成绩。

四、总结同角三角函数的基本关系式及诱导公式，是数学学科中重要的基础概念，也是高考数学考查的重要内容。

考生在学习备考时，要重点认真学习和掌握基本关系式及诱导公式，以充分备考，提高高考成绩。

同角三角函数的基本关系式与诱导公式[最新考纲]1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知识梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．三角函数的诱导公式辨析感悟1．对三角函数关系式的理解(1)若α，β为锐角，sin 2 α＋cos 2β＝1. (×) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立． (×) (3)(教材练习改编)已知sin α＝45，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，则cos α＝35.(×)2．对诱导公式的认识(4)六组诱导公式中的角α可以是任意角．(√)(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．(√)(6)角π＋α和α终边关于y 轴对称．(×) 3．诱导公式的应用(7)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.(×)(8)(·广东卷改编)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，则cos α＝－15.(×) [感悟·提升]1．一点提醒 平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中α≠π2＋k π，k ∈Z ，如(1)、(2)．2．两个防范 一是利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定，如(3)；二是利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定．考点一 同角三角函数基本关系式的应用【例1】 (1)已知tan α＝2，则2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝___________，4sin 2 α－3sin αcos α－5cos 2α＝________.(2)(·山东省实验中学诊断)已知sin θ·cos θ＝18，且π4＜θ＜π2，则cos θ－sin θ的值为________． 解析 (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1，4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2 α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.(2)当π4＜θ＜π2时，sin θ＞cos θ， ∴cos θ－sin θ＜0，又(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－14＝34， ∴cos θ－sin θ＝－32. 答案 (1)－1 1 (2)－32规律方法 (1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二． (2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子． 【训练1】 (1)已知sin α＋cos α＝15，0＜α＜π，则tan α＝______. (2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α＝________. 解析 (1)法一 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0.又0＜α＜π，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.法二 ∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，∴sin α－cos α＝75，由⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin 2α＝4sin 2β，① tan 2α＝9tan 2β，②由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β，③ ①＋③得：sin 2α＋9cos 2α＝4，∵cos 2α＋sin 2α＝1，∴cos 2α＝38，即cos α＝±64. 答案 (1)－43 (2)±64考点二 利用诱导公式化简三角函数式【例2】 (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________. (2)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝________.解析 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1. (2)∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6 ＝1tan π6＝ 3. 答案 (1)1 (2) 3规律方法 (1)诱导公式应用的原则：负化正、大化小，化到锐角为终了． (2)诱导公式应用的步骤：锐角三角函数注意：诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号．【训练2】 (1)sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋tan(－1 089°)tan(－540°)＝________.(2)化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)＝________.解析 (1)原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°· sin 261°＋tan 1 089°·tan 540°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)· sin(270°－9°)＋tan(3×360°＋9°)·tan(360°＋180°) ＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＋tan 9°·tan 180° ＝0＋0＝0.(2)原式＝tan αcos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.答案 (1)0 (2)－1考点三 利用诱导公式求值【例3】 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝______； (2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________.解析 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. (2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝－tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案 (1)12 (2)－33规律方法 巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．【训练3】 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________； (2)若tan(π＋α)＝－12，则tan(3π－α)＝________. 解析 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α，而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝23，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝－23.(2)因为tan(π＋α)＝tan α＝－12， 所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝12. 答案 (1)－23 (2)121．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2 θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2 θ)＝tan π4＝….方法优化2——灵活运用同角三角函数的基本关系式求值【典例】 (·浙江卷)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( )．A.43B.34 C ．－34 D ．－43[一般解法] 由sin α＋2cos α＝102，得sin α＝102－2cos α，① 又sin 2α＋cos 2α＝1，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010，cos α＝1010或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1010，cos α＝31010.所以tan α＝sin αcos α＝3或－13.当tan α＝3时，tan 2α＝2tan α1－tan2α＝2×31－32＝－34；当tan α＝－13时，tan 2α＝2tan α1－tan2α＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－131－⎝⎛⎭⎪⎫－132＝－34.综上，tan 2α＝－34.故选C.[优美解法] 法一(直接法)两边平方，再同时除以cos2α，得3tan2α－8tan α－3＝0，tan α＝3或tan α＝－13，代入tan 2α＝2tan α1－tan2α，得到tan 2α＝－3 4.法二(猜想法)，由给出的数据及选项的唯一性，记sin α＝310，cos α＝110，这时sin α＋2cos α＝102符合要求，此时tan α＝3，代入二倍角公式得到答案C.[答案] C[反思感悟] (1)熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题；(2)注意公式的变形应用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sin α＝tan α·cos α等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在．【自主体验】(·东北三校模拟)已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为()．A.23B．－23 C.13D．－13解析法一∵0＜θ＜π4，∴cos θ＞sin θ，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝16 9，∴2sin θcos θ＝7 9，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，∴sin θ－cos θ＝－23.法二 ∵sin θ＋cos θ＝43，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝43，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝223，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2232＝13， ∴sin θ－cos θ＝－(cos θ－sin θ)＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－23.答案 B基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )． A ．－32 B.32 C ．－12 D.12解析 因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12. 答案 D2．(·临川一中一调)sin 29π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－29π3－tan 25π4＝( )．A ．0 B.12 C ．1 D ．－12 解析 原式＝sin(4π＋5π6)＋cos(－10π＋π3)－tan(6π＋π4) ＝sin 5π6＋cos π3－tan π4＝12＋12－1＝0. 答案 A3．(·郑州模拟)1－2sin (π＋2)cos (π－2)＝( )． A ．sin 2－cos 2 B ．sin 2＋cos 2 C ．±(sin 2－cos 2) D ．cos 2－sin 2 解析1－2sin (π＋2)cos (π－2)＝1－2sin 2cos 2＝(sin 2－cos 2)2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 答案 A4．(·石家庄模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2 α－sin αcos α的值是( )．A.25 B ．－25 C ．－2 D ．2 解析 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5即tan α＝2，所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2 α－sin αcos αsin 2 α＋cos 2 α＝tan 2 α－tan αtan 2 α＋1＝25.答案 A5．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α)＝( )．A.35B.53C.45D.54解析 由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35或 2.∴sin α＝－35.∴原式＝cos α(－cos α)·tan 2αsin α·(－sin α)·(－sin α)＝1－sin α＝53.答案 B 二、填空题6．(·杭州模拟)如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A 的值是________．解析 ∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A ＝－sin A ＝12. 答案 127．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为________． 解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13. 答案 －138．(·江南十校第一次考试)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝13，且－π＜α＜－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________.解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝13， 又－π＜α＜－π2， ∴7π12＜π12－α＜13π12，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－223. 答案 －223三、解答题9．化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)(k ∈Z )． 解 当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin (2n π－α)cos[(2n －1)π－α]sin[(2n ＋1)π＋α]cos (2n π＋α)＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝－sin α(－cos α)－sin α·cos α＝－1； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1－1)π－α]sin[(2n ＋1＋1)π＋α]·cos[(2n ＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α(－cos α)＝－1.综上，原式＝－1.10．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225，(2)由sin A cos A ＝－1225＜0，且0＜A ＜π，可知cos A ＜0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形．(3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A ＞0，cos A ＜0，∴sin A －cos A ＞0，∴sin A －cos A ＝75，②∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(·辽宁卷)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝()．A ．－1B ．－22 C.22 D ．1解析 法一 因为sin α－cos α＝2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1. 因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tan α＝－1.法二 因为sin α－cos α＝2，所以(sin α－cos α)2＝2，所以sin 2α＝－1.因为α∈(0，π)，2α∈(0,2π)，所以2α＝3π2，所以α＝3π4，所以tan α＝－1.答案 A2．(·衡水质检)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1, 则sin α的值是( )． A.355 B.377 C.31010 D.13解析 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，又sin 2α＋cos 2α＝1，α为锐角．故sin α＝31010.答案 C二、填空题3．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析 sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝45＋12＝912.答案 912三、解答题4．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 解 假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β， ①②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4.当α＝π4时，由②式知cos β＝32， 又β∈(0，π)， ∴β＝π6，此时①式成立； 当α＝－π4时，由②式知cos β＝32， 又β∈(0，π)， ∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6满足条件.。