XX-XX学年高二下学期数学(理)期中试题(襄阳四校联考附答案)

湖北省襄阳市四校2013-2014学年下学期高二年级期中联考数学试卷（理科）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 30<<x 是21<-x 成立的 （ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件2.已知三点)143()152()314(--，，、，，、，，λC B A 满足⊥，则λ的值 ( )A 、14B 、-14C 、7D 、-73.在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度)(m h 与起跳后的时间t )(s 存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h ，则瞬时速度为0s m /的时刻是 （ ）A 、s 9865B 、s 4965C 、s 6598D 、s 6549 4、由变量x 与y 相对应的一组数据)11y ，（、)5(2y ，、)7(3y ，、)13(4y ，、)19(5y ，得到的线性回归方程为452+=∧x y ，则=y （ ）A 、135B 、90C 、67D 、63 5.若椭圆经过原点，且焦点分别为），，（），，（301021F F 则该椭圆的短轴长为 （ ） A 、3 B 、32 C 、2 D 、46.给定命题p :{x x ∈∀x 是无理数}.，2x 是无理数；命题q :已知非零向量、，则“⊥+=.则下列各命题中，假命题是 ( )A 、p q ∨B 、()p q ⌝∨C 、()p q ⌝∧D 、()()p q ⌝∧⌝7.已知函数x bx x a x f 2cos )(2-+=，若0)(0='x f 则=-')(0x f （ ）A 、0B 、a 2C 、b 2D 、22-8.已知双曲线13222=-y x 的左右焦点分别是21F F 、,过1F 的直线l 与双曲线相交于A 、 B 两点，则满足23=AB 的直线l 有 ( )A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条9.如图所示，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ， AB ⊥BC ，侧棱SA ⊥底面ABCD ，且1,2====AD BC AB SA ，则点B 到平面SCD 的距离为（ ）A 、58B 、22C 、15152D 、362 10.过椭圆)1(1222>=+a y ax 的右焦点F 作相互垂直的两条弦AB 和CD ，若||||CD AB + 的最小值为32，则椭圆的离心率=e （ ）A 、33B 、36C 、22D 、66 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡上)11.命题“若A b A a ∉∈，则”的否命题是 ▲12.在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长均相等，C B BC 11与的交点为D ，则AD 与平面C C BB 11所成角的大小是 ▲13.若曲线x y =在点)(a a P ，处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是____▲____14．已知，，x xe x g m x x f =+--=)()1()(2若R x x ∈∃21，,使得)()(21x g x f ≥成立，则实数m 的取值范围是__▲___15.抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，其准线经过双曲线12222=-b y a x 0(>a ，)0>b 的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且p MF 2=，则双曲线的渐近线的方程为____▲____．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.（本小题满分12分）已知命题)3)(1()3()1(22m m y m x m p --=-+-：方程表示的曲线是双曲线；命题：q 函数mx x x f -=3)(在区间(]1-∞-，上为增函数，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数m 的取值范围.17．（本小题满分12分） 已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 和,离心率22=e ，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为24.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B A 、是直线22=x l ：上的不同两点，若021=⋅BF ,求AB 的最小值.18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，PCD ∆ 为等边三角形，AB BC 2=，点M 为BC 中点，平面⊥PCD 平面ABCD .（1）求异面直线PD 和AM 所成角的余弦值；（2）求二面角D AM P --的大小.19. （本小题满分12分）已知()f x '是()f x 的导函数，()ln(1)2(1),f x x m f m R '=++-∈，且函数()f x 的图象过点)20(-，.（1）求函数()y f x =的表达式；（2）求函数16)()(+++=x x x f x g 的单调区间和极值. 20.（本小题满分13分） 已知定点F )02(，与分别在x 轴、y 轴上的动点)0()0(n N m M ，、，满足：0=⋅,动点P 满足=．（1）求动点P 的轨迹的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于B A 、两点，直线OB OA 、与直线2-=x l ：分别交于点T S 、（O 为坐标原点）；（i ）试判断直线2-=x l ：与以AB 为直径的圆的位置关系；（ii ）探究FT FS ⋅是否为定值？并证明你的结论．21.（本小题满分14分）已知函数1ln )(+=x x x f（1）求函数)(x f 在][22e e x ，-∈上的最大值与最小值；（2）若1>x 时，函数)(x f y =的图像恒在直线kx y =上方，求实数k 的取值范围；（3）证明：当*∈N n 时，11413121)1ln(+++++>+n n ．“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，∴q p 、一真一假。

2014～2015学年度下学期期中联考高 二 数 学（理）命题人：荆州中学 陈静 王俊审题人：龙泉中学 陈信金本试题卷共4页，三大题22小题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★ 祝考试顺利 ★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．非选择题的作答：用黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的． 1．命题“0200(0,),2x x x ∃∈+∞<”的否定为A ．2(0,),2x x x ∀∈+∞< B ．2(0,),2x x x ∀∈+∞> C ．2(0,),2xx x ∀∈+∞≥D ．2(0,),2xx x ∃∈+∞≥2．已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，若(2)0.023P ξ>=，则(22)P ξ-<≤= A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.9773．已知平面α的法向量为(2,2,4),(3,1,2)n AB =-=-，点A 不在α内，则直线AB 与平面的位置关系为湖北省四校襄阳四中 荆州中学宜昌一中龙泉中学A ．AB α⊥B ． AB α⊂C ．AB 与α相交不垂直D ．//AB α4．为防止某种疾病，今研制一种新的预防药．任选取100只小白鼠作试验，得到如下的列联表： 经计算得23.2079K 的观测值为,则在犯错误的概率不超过( )的前提下认为“药物对防止某种疾病有效”。

A ．0.025 B ．0.10C ． 0.01D ． 0.05参考数据：5．某咖啡厂为了了解热饮的销售量y （个）与气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：由表中数据，得线性回归方程为y ^＝2-x a +，，当气温为－4℃时，预测销售量约为 A ．68B ．66C ．72D ．706．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说试验成功，则在30次独立重复试验中成功的次数X 的数学期望是 A ．403B ．503C ．10D ．207．下列选项中，说法正确的是A ．若命题“p q ∨”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题B ．22am bm <是a b <的必要不充分条件 C ．2()4x k k Z ππ=+∈是(sin )(cos )x x ''-=的充要条件 D ．命题“若{,,}a b b c c a +++构成空间的一个基底，则{,,}a b c 构成空间的一个基底”的否命题．．．为真命题8．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与圆2217x y +=有公共点(1,4)A -，且圆在A 点的气温（℃） 18 13 10 －1 销售量个）24343864切线与双曲线的渐近线平行，则双曲线的离心率为 A ．174B ．17C ．174或17 D ．以上都不对 9．某校在高二年级开设选修课，选课结束后，有四名同学要求改选物理，现物理选修课开有三个班，若每个班至多可再接收2名同学，那么不同的接收方案共有 A ．72种B ．54种C ．36种D ．18种10．已知函数3axy e x =+有平行于x 轴的切线且切点在y 轴右侧，则a 的范围为 A ．(),3-∞-B ．(),3-∞C ．()3,+∞D ．()3,-+∞11．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足32π=∠AFB ．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 A ．3B ．23 C ．33D ．4312．在棱长为1的正方体1111CD C D AB -A B 中，M 是11D A 的中点，点P 在侧面11CC B B 上运动．现有下列命题：①若点P 总保持1D PA ⊥B ，则动点P 的轨迹所在的曲线是直线； ②若点P 到点A 的距离为233，则动点P 的轨迹所在的曲线是圆；③若P 满足1C ∠MAP =∠MA ，则动点P 的轨迹所在的曲线是椭圆；④若P 到直线C B 与直线11C D 的距离比为2:1，则动点P 的轨迹所在的曲线是双曲线； ⑤若P 到直线D A 与直线1CC 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是抛物线． 其中真命题的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 30<<x 是21<-x 成立的 （ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件2.已知三点)143()152()314(--，，、，，、，，λC B A 满足AC AB ⊥，则λ的值 ( ) A 、14 B 、-14 C 、7 D 、-73.在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度)(m h 与起跳后的时间t )(s 存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h ，则瞬时速度为0s m /的时刻是 （ ）A 、s 9865 B 、s 4965 C 、s 6598 D 、s 65494、由变量x 与y 相对应的一组数据)11y ，（、)5(2y ，、)7(3y ，、)13(4y ，、)19(5y ， 得到的线性回归方程为452+=∧x y ，则=y （ ） A 、135 B 、90 C 、67 D 、635.若椭圆经过原点，且焦点分别为），，（），，（301021F F 则该椭圆的短轴长为 （ ） A 、3 B 、32 C 、2 D 、46.给定命题p :{x x ∈∀x 是无理数}.，2x 是无理数；命题q :已知非零向量a 、b ，则“⊥+=-”的充要条件.则下列各命题中，假命题是 ( )A 、p q ∨B 、()p q ⌝∨C 、()p q ⌝∧D 、()()p q ⌝∧⌝7.已知函数x bx x a x f 2cos )(2-+=，若0)(0='x f 则=-')(0x f （ ）A 、0B 、a 2C 、b 2D 、22-8.已知双曲线13222=-y x 的左右焦点分别是21F F 、,过1F 的直线l 与双曲线相交于A 、 B 两点，则满足23=AB 的直线l 有 ( ) A 、1条 B 、2条 C 、3条 D 、4条9.如图所示，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ， AB ⊥BC ，侧棱SA ⊥底面ABCD ，且1,2====AD BC AB SA ，则点B 到平面SCD 的距离为（ ）A 、58B 、22C 、15152 D 、362 10.过椭圆)1(1222>=+a y ax 的右焦点F 作相互垂直的两条弦AB 和CD ，若||||CD AB + 的最小值为32，则椭圆的离心率=e （ ）A 、33 B 、36C 、22 D 、66第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡上) 11.命题“若A b A a ∉∈，则”的否命题是 ▲12.在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长均相等，C B BC 11与的交点为D ，则AD 与平面C C BB 11所成角的大小是 ▲13.若曲线x y =在点)(a a P ，处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是____▲____14．已知，，xxe x g m x x f =+--=)()1()(2若R x x ∈∃21，,使得)()(21x g x f ≥成立，则实数m 的取值范围是__▲___15.抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，其准线经过双曲线12222=-by a x 0(>a ，)0>b 的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且p MF 2=，则双曲线的渐近线的方程为____▲____．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16.（本小题满分12分）已知命题)3)(1()3()1(22m m y m x m p --=-+-：方程表示的曲线是双曲线；命题：q 函数mx x x f -=3)(在区间(]1-∞-，上为增函数，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数m 的取值范围.17．（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 和,离心率22=e ，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为24. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B A 、是直线22=x l ：上的不同两点，若021=⋅BF AF ,求AB 的最小值.18. （本小题满分12分）M _B_P如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，PCD ∆ 为等边三角形，AB BC 2=，点M 为BC 中点，平面⊥PCD 平面ABCD .（1）求异面直线PD 和AM 所成角的余弦值； （2）求二面角D AM P --的大小.19. （本小题满分12分）已知()f x '是()f x 的导函数，()ln(1)2(1),f x x m f m R '=++-∈，且函数()f x 的图象过点)20(-，.（1）求函数()y f x =的表达式； （2）求函数16)()(+++=x x x f x g 的单调区间和极值.20.（本小题满分13分）已知定点F )02(，与分别在x 轴、y 轴上的动点)0()0(n N m M ，、，满足：0=⋅NF MN ,动点P 满足=． （1）求动点P 的轨迹的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于B A 、两点，直线OB OA 、与直线2-=x l ：分别交于点T S 、（O 为坐标原点）；（i ）试判断直线2-=x l ：与以AB 为直径的圆的位置关系； （ii ）探究⋅是否为定值？并证明你的结论．21.（本小题满分14分） 已知函数1ln )(+=x x x f（1）求函数)(x f 在][22e e x ，-∈上的最大值与最小值；（2）若1>x 时，函数)(x f y =的图像恒在直线kx y =上方，求实数k 的取值范围； （3）证明：当*∈N n 时，11413121)1ln(+++++>+n n ．“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，∴q p 、一真一假。

曾都一中枣阳一中襄州一中宜城一中2018—2019学年下学期高二期中考试理数试题一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1.设命题：，，则命题的否定为（）A.， B. ，C.， D. ，【答案】A【解析】特称命题的否定为全称命题，所以命题：，的否定为，,故选A.2.双曲线的实轴长是（）A. B. C. 4 D.【答案】B【解析】【分析】双曲线化为标准方程为，即可求得实轴长【详解】双曲线化为标准方程为解得即双曲线的实轴长为故选B【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，解题的关键是将双曲线转化为标准方程，属于基础题。

3.如图所示，一圆形纸片的圆心为，是圆内一定点，是圆周上一动点，把纸片折叠使与重合，然后抹平纸片，折痕为，设与交于点，则点的轨迹是（）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆【答案】A【解析】考点：椭圆的定义．分析：根据CD是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|=|PF|，进而可知|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|结果为定值，进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹．解：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|=|PF|，∴|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|（定值），又显然|MO|＞|FO|，∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．故选A4.设,则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先解出不等式的解集，然后判断出结果【详解】解不等式可得则“”是“”的必要不充分条件故选B【点睛】本题考查了必要不充分条件，在判定时根据范围的取值情况得到答案，较为基础5.已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，因此2k-1>0,2-k>0,同时2k-1>2-k,这样解得为选项C 6.已知命题：不等式的解集是，命题“在中，是的充要条件”则（）A.真假 B. 假 C. 真 D. 假真【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式即可判断出命题的真假，根据正弦定理的边角互化的推论，可以判定出命题的真假，对题目中的四个答案逐一进行判断，即可得到答案【详解】命题：解不等式，可得，故命题是真命题；命题：在中，等价于，即，故命题是真命题；对于：假错误对于:为真，故选项错误对于，真错误故四个选项中只有正确，故选【点睛】本题是一道复合命题真假性的题目，解题的关键在于判定每一个命题的真假，属于基础题。

湖北省襄阳市四校2016-2017学年高二期中联考数学试题一．选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分）1. 已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故选B.2. 在中，已知角B=，，，则角C=（）A. B. C. 或 D.【答案】C3. ，c＝2cos213°－1，则有( )A. B. c<b C. D. b<c【答案】D【解析】，，，所以，故选D.4. 在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于( )A. 3B.C.D.【答案】C【解析】，解得：，根据余弦定理，解得，根据正弦定理：，所以，那么，故选C.5. 若点M是△ABC所在平面内一点，且满足，则线段BM与MC的长度之比等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】，整理为：，即，所以，故选B.6. 若0＜α＜，－＜β＜0，＝，cos＝，则等于( )．A. B. － C. － D.【答案】D【解析】，所以，，所以，所以，故选D.7. 在等比数列中, , 则等于（）A. B. 或 C. D. 或【答案】D【解析】，又因为，所以，或，那么或，故选D.8. 设，且，则锐角为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】根据，，整理为，，所以，即，故选B.9. 在中，内角的对边分别为,若的面积为,且, 则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，而，所以，又根据，即，解得 (舍)或，，解得，故选D.10. 如图, 平面内有三个向量, 其中与的夹角为, 与的夹角为, 且, 若,则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如图，做出平行四边形，，根据已知条件可知，，所以，即，所以，故选A.11. 已知等差数列的前项和为, 公差, 当取最小值时, 的最大值为10, 则数列的首项的取值范围是（）A. B. C. D.【解析】因为，所以，，所以，即那么，，所以，故填： .115. ________.【答案】【解析】由已知可知，两边同时除以，可得，所以是以为首项，-1为公差的等差数列，所以，整理为，故填： .16. 我国南宋著名的数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设三内角A,B,C所对的边分别为，面积为S,则“三斜求积”公式为，若2acCosB+15=0, ,则用“三斜求积”公式可得的面积为__________.【答案】【解析】根据余弦定理，根据正弦定理化简为，所以，故填：.点睛：这种以数学史为背景的数学考查也是高考的热点，一般都不会太难，但要抓住问题的关键，要读懂题，将问题抽象为一个什么数学问题，并能够代入公式，比如本题就是正余弦定理的转化与运用.三.解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 设常数θ∈（0，），函数f（x）=2cos2（θ﹣x）﹣1，且对任意实数x，f（x）=f（﹣x）恒成立．（1）求θ值；【答案】（1）;(2) .18. 在中，角A，B，C的对边分别为，且满足.(1) 求；（2），求的值．【答案】(1) ;(2).【解析】试题分析：（1）根据正弦定理，边角互化为，整理化简求得；（2）根据（1）的结果求，和，这样求得，也就求得，最后根据两角和的正切公式，求得的值.试题解析：(1)由(2b－c)cos A－a cos C＝0及正弦定理，得 (3sin B－sin C)cos A－sin A cos C ＝0，∴3sin B cos A－sin(A＋C)＝0，sin B(3cos A－1)＝0.∵0<B<π，∴sin B≠0，∴cos A＝.(2)由cos A＝,得tan A=2 ,cos(B+C)=－,∴sin B sin C－cos B cos C=又sin B sin C=，∴cos B cos C=∴tan B tan C=∴tan B+tan C=tan(B+C)(1－tan B tan C)=∴tan A+tan B+tan C=点睛：一般利用正余弦定理求解问题，有两种题型，一类是画出三角形，标出条件，确定在哪个三角形内是用正弦或余弦求解边或角，另一类是利用正弦定理边角互化，比如,将边化为角，转化为三角恒等变形的问题，从而求解角，总之在解三角形时，要活用正余弦定理.19. 在某海域有一个雷达观测站A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于A北偏东且与A相距海里的位置B处，经过30分钟又测得该船已行驶到点A北偏东（其中，）且与点A相距海里的位置C处（1）求该船的行驶速度（单位：海里／小时）；（2）若距A点18海里水域为警戒区，且该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．【答案】(1) ;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）首先求出，内根据余弦定理求，再除以就是速度；（2）距点最近的距离为，所以根据正弦定理求，计算和进行比较.试题解析：(1)因为，，所以由余弦定理，得，所以船的行驶速度为（海里/小时）（2）在三角形ABC中，SinB=∴此船距A点最近距离 .船会进入警戒水域.20. 已知是由正数组成的数列，其前项和与之间满足：．（1）求数列的通项；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）; （2）.【解析】试题分析：（1）将原式两边平方得到，当时，根据解出首项，再令，构造，两式相减，利用公式，变形为，所以数列是等差数列，求得通项；（2），根据错位相减法求和.试题解析：（1）两式相减有,化简有，（2）点睛：一般数列求和的方法为：（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，，,等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和.21. 在中，角，，所对的边长分别为，，，，.（2）若，，，求的取值范围．【答案】：(1)（2）【解析】试题分析：（1）根据已知得到，，代入求得角，以及边；（2）根据向量数量积的公式得到，根据求函数的值域.试题解析：(1)即故△ABC为等边三角形，（2）由二倍角公式得22. 已知数列满足，.设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式。

襄阳高二联考试题数学（理科）命题人：王必挺审题人：周雪丽学校：襄阳市第一中学注意事项：1、答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答题卡和答题卷上填写清楚。

2、选择题答案用2B铅笔直接填涂在答题卡上，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效。

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．）1．在下列各数中，最大的数是（）A． B. C. D.2.已知直线：,：,若,则的值为（）A．0或2 B．0或C．2 D．-23.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为( )A．11 B．02 C．05 D．044．如图给出的是计算1＋＋＋＋的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句分别是()A．B．C．D．5.将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为004，这600名学生分住在三个营区．从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区．三个营区被抽中的人数依次为()A．24,17,9 B．25,16,9 C．25,17,8 D．26,16,86.根据如下样本数据：得到的回归方程为,则()A．B．C．D．7.某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过两次而接通电话的概率为A. B. C. D.8．已知1021001210(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则＝( )A ．B ．C ．D ．9．若圆2221:()()1C x a y b b -+-=+始终平分圆222:(1)(1)4C x y +++=的周长,则实数应满足的关系是( )A ．B ． 0122222=++++b a b aC ．D ． 01222322=++++b a b a10.圆的方程为，圆的方程为22(5cos )(5sin )1()x y R θθθ-+-=∈，过圆上任意一点作圆的两条切线，切点分别是，则的最小值是( )A.12B.10C.6D.5第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．) 11.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为 _______．12.已知532()31f x x x x x =-+-+，应用秦九韶算法计算时的值时，的值为________．13.设随机变量，，若，则________.14.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学排在上午(前4节)，体育排在下午（后2节），不同的排法种数是______. 15．设有一组圆：2224)1()12(m m y m x =--+--(为正整数．．．)，下列四个命题： ①存在一条定直线与所有的圆均相交 ②存在一条定直线与所有的圆均不．相交 ③所有的圆均不．经过原点 ④存在一条定直线与所有的圆均相切 其中真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号）三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 16. （本小题满分12分）已知的顶点边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.求（1）顶点的坐标； （2）直线的方程.17.(本小题满分12分）已知：设.(1) 求的值；(2)的展开式中的哪几项是有理项（回答项数即可．．．．．．）； （3）求的展开式中系数最大的项和系数最小的项.18．（本小题满分12分）某班级共有60名学生，先用抽签法抽取10名学生调查他们的学习情况。

2020-2021学年下学期高二期中考试数学（理科）试题时间：120分钟 主命题学校:宜城一中 分值：150分 命题老师: 一、 选择题（每道题只有一个答案，每道题5分，共50分）1.椭圆222312x y +=的两焦点之间的距离为 （ ）A． BC． D2.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若c CC b CB a CA ===1,,， 则1A B = ( )A ．a +b －cB ．a －b +cC ．－a +b +cD ．－a +b －c3.已知→→→k j i ,,为空间两两垂直的单位向量，且k j i -+=23a ，2+-=则⋅5b 3=（ )A ．－15B ．－5C ．－3D ．－14.设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件5.正方体1111D C B A ABCD -中，O 是正方形ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点， 异面直线OE 与1FD 所成的角的余弦值是( ) A.510B. 515C.54D. 326.已知21,F F 是双曲线的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直于实轴的弦，若2PQF ∆是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 ( ) A.2B.12+C.12-D.412-7.若函数f(x)=2x(x-c)2+3在2x =处有极小值,则常数c 的值为（ ） A.2或6 B.6 C.2 D.4 8.下列命题中是真命题的是（ ）宜城一中 枣阳一中 襄州一中 曾都一中曾都一中①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题 ; ②“正多边形都相似”的逆命题 ; ③“对 0x >∀ ，都有x>lnx ”的否定；④“若x －123是有理数，则x 是无理数”的逆否命题A.①②③④ B 、①③④ C 、②③④ D 、①④9.曲线()by f x ax x==-在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=,则,a b 的值为 ( )A.13a b =⎧⎨=⎩B.13a b =-⎧⎨=⎩C.13a b =⎧⎨=-⎩D.13a b =-⎧⎨=-⎩10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上， 且13AM =，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线11A D的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是 （ ） A ．圆 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．直线二、填空题（每道题5分，共25分）11.抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为 ____________ .12.若命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是 .13.已知a (11)(2)t t t b t t →→=--=，，，，，，则-b a 的最小值是 ．14.设F 1、F 2为曲线C 1：x 26 + y 22 =1的焦点，P 是曲线2C ：1322=-y x 与C 1的一个交点，则 △PF 1F 2的面积为_____________15.已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，若'()()()'()f x g x f x g x <，且()()(0x f x a g x a =⋅>且1a ≠)及(1)(1)10(1)(1)3f fg g -+=-，则a 的值为 。

高二下学期期中数学试题一、单选题1．记向量为非零向量，若，则“”是“”成立的（ ）条件 ,a b //a c //b c //a bA ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要【答案】C【分析】利用充分条件和必要条件的定义求解.【详解】解：当时，若，，但不一定共线，0c = //a c //b c ,a b 当，，且时，则，//a c //a b0a ≠ //b c 故“”是“”成立的必要不充分条件，//b c //a b故选：C2．若两条直线与相互垂直，则（ ） 1:210l x ay +-=()2:2130l ax a y +-+==a A ．B ． 12-0C ．或D ．或12-02-0【答案】C【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，由此可求得实数的值. a a 【详解】因为，则，解得或.12l l ⊥()()221210a a a a a +-=+=12a =-0a =故选：C.3．已知数列是各项均为正数的等比数列，若，是方程的两个根，则{}n a 2a 2022a 2320x x -+=的值为（ ）21222322023l og l og l og l og a a a a ++++ A ．B ．C ．D ．202332023220231022【答案】B【分析】由韦达定理，可得，后由等比数列性质结合对数运算性质可得答案. 220222a a ⋅=【详解】由韦达定理，可得，由等比数列性质220222a a ⋅=可得，.20242n n a a -⋅=12023,，N n n *⎡⎤∈∈⎣⎦设，21222322023l og l og l og l og S a a a a =++++则， 2122023222202222023212l og l og l og l og l og l og S a a a a a a =++++++ 得. ()20232120232202220231220232220232l og l og S a a a a a a S =⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⇒= 故选：B4．函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是()f x R ()y f x ='（ ）A ．函数在上为减函数 ()f x ()1,2B ．函数在上为增函数 ()f x ()3,5C ．函数在上有极大值()f x ()1,3D ．是函数在区间上的极小值点 3x =()f x []1,5【答案】C【分析】根据导函数的正负与单调性的关系、极值点的关系判断即可 【详解】解：由的图象可知， ()y f x ='当时，，则单调递增， 12x <<()0f x ¢>()f x 当时，，则单调递减， 24x <<()0f x ¢<()f x 当时，，则单调递增， 45x <<()0f x ¢>()f x 又，()()240f f ''==所以当时，取得极大值． 2x =()f x 故选：C ．5．已知函数，则的极大值为 ()()21ln f x f x x '=-()f x A ．2 B ． C ． D ．2ln 22-e 2e -【答案】B【详解】，则,令x=1得，所以()()21ln f x f x x =-'()()1x 211f f x''=-()()1211f f ''=-()11f '=则，所以函数在（0,2）上递增，在（2，+）上递减， ()2ln f x x x =-()22x 1x f x x-=-='∞则的极大值为 ()f x ()22ln22f =-故选B6．鱼缸里有8条热带鱼和2条冷水鱼，为避免热带鱼咬死冷水鱼，现在把鱼缸出孔打开，让鱼随机游出，每次只能游出1条，直至2条冷水鱼全部游出就关闭出孔，若恰好第3条鱼游出后就关闭了出孔，则不同游出方案的种数为（ ） A ．32 B ．36 C ．40 D ．48【答案】A【分析】由题意可知，最后一条是冷水鱼，则前两条中有一条冷水鱼和一条热带鱼，从而可求得答案【详解】解：根据恰好第3条鱼游出后就关闭了出孔，则说明其中有一条游出的一定是热带鱼，还有一条冷水鱼，则不同游出方案的种数为11228232C C A =故选：A7．如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，且P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD 60ABC ∠= 为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）PA AB E =，AP PC DEA B C D 【答案】D【分析】连接、交于点，连接，说明异面直线与所成的角为或其补AC BD O OE PC DE OED ∠角，计算出、，即可求得，即可得出结论. OE DE cos OED ∠【详解】连接、交于点，连接，AC BD O OE因为四边形为菱形，，则为的中点，且， ABCD AC BD O = O AC AC BD ⊥因为为的中点，则，E PA //OE PC 所以，异面直线与所成的角为或其补角， PC DE OED ∠平面，平面，，PA ⊥ ABCD BD ⊂ABCD BD PA ∴⊥，，平面，BD AC ⊥ PA AC A = BD ∴⊥PAC 平面，，OE ⊂ PAC OE BD ∴⊥设，因为，，则为等边三角形， 2PA AB ==AB BC =60ABC ∠= ABC A同理可知也为等边三角形， ACD A OD ∴=同理可得， OE ==DE ==所以，. cos OE OED DE ∠==因此，异面直线与PC DE 故选：D.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦两条异面直线所成的角．8．已知双曲线：的右焦点为，左顶点为，以为圆心，为半径的C 22221(0,0)x y a b a b-=>>F A F ||FA 圆交的右支于，两点，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为 C M N AM N CA ．2B ．C D 43【答案】B【解析】设双曲线的左焦点为，线段的中点为，则是线段的垂直平分线，则点1F AM H NH AM 在上，可得是等边三角形，，故，在中，F NH AMN A 60AMN ︒∠=120AFN ︒∠=1NFF A 12FF c =，，由双曲线的定义可得，结合余弦定理，即可得结果. ||NF a c =+13NF a c =+【详解】设双曲线的左焦点为，连接，1F 1NF 设点是线段的中点，则是线段的垂直平分线， H AM NH AM 所以点在上，则. F NH NA NM =如图所示又双曲线和以为圆心的圆都关于x 轴对称， C F 所以点关于x 轴对称，,M N 是等边三角形，,,AM AN AM AN MN AMN ∴=∴==∴A .60,120AMN AFN ︒︒∴∠=∴∠=由题意知，.(,0),(,0)A a F c -||,||||AF a c NF AF a c ∴=+∴==+又点在双曲线的右支上，. N 11||2,||23NF NF a NF NF a a c ∴-=∴=+=+在中，，由余弦定理得1NFF A 12FF c =，2221111||||2||cos NF F F NF FF NF F FN =+-⋅∠即，222(3)(2)()22()cos120a c c a c c a c ︒+=++-⨯⨯+⨯整理得，即或（舍），22430a ac c +-=(43)()0,43a c a c a c -+=∴=0a c +=. 43c e a ∴==故选：B .【点睛】本题考查双曲线的定义、几何性质、圆的几何性质等知识，考查分析理解，计算求值的能力，综合性较强，属于中档题.二、多选题9．下列求导错误的是（ ）． A ．B ．()33xx e e '=221x x x '⎛⎫= ⎪+⎝⎭C ．D ．()2sin 32cos x x '-=()cos cos sin x x x x x '=-【答案】AB【分析】根据导数的计算公式分别计算. 【详解】，A 错误；()333x x e e '=，B 错误； ()()22222122121x x x x x x x '+-⎛⎫=≠ ⎪++⎝⎭，C 正确；()2sin 32cos x x '-=，D 正确．()()cos cos cos cos sin x x x x x x x x x '''=+=-故选：AB ．10．在递增的等比数列{an }中，Sn 是数列{an }的前n 项和，若a 1a 4＝32，a 2+a 3＝12，则下列说法正确的是（ ） A ．q ＝1 B ．数列{Sn +2}是等比数列C ．S 8＝510D ．数列{lgan }是公差为2的等差数列【答案】BC【解析】先根据题干条件判断并计算得到q 和a 1的值，可得到等比数列{an }的通项公式和前n 项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项． 【详解】由题意，根据等比中项的性质，可得 a 2a 3＝a 1a 4＝32＞0，a 2+a 3＝12＞0， 故a 2＞0，a 3＞0．根据根与系数的关系，可知a 2，a 3是一元二次方程x 2﹣12x +32＝0的两个根． 解得a 2＝4，a 3＝8，或a 2＝8，a 3＝4．故必有公比q ＞0， ∴a 10． 2a q=＞∵等比数列{an }是递增数列，∴q ＞1． ∴a 2＝4，a 3＝8满足题意． ∴q ＝2，a 12．故选项A 不正确． 2a q==an ＝a 1•qn ﹣1＝2n ． ∵Sn 2n +1﹣2．()21212n -==-∴Sn +2＝2n +1＝4•2n ﹣1．∴数列{Sn +2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B 正确． S 8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C 正确． ∵lgan ＝lg 2n ＝n ．∴数列{lgan }是公差为1的等差数列．故选项D 不正确． 故选：BC【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.11．已知抛物线的焦点坐标为F ，过点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，点2:2C x py =在抛物线上．则（ ） 12⎫⎪⎭A ． B ．当轴时，1p =AB y ⊥||4AB =C ．为定值1 D ．若，则直线的斜率为11||||AF BF +2AF FB = AB 【答案】BCD【分析】将点代入可判断A ；求出焦点可判断B ；设直线的方程为，将直线与12⎫⎪⎭AB 1y kx =+抛物线方程联立，利用韦达定理即可判断C ；由向量的坐标表示以及韦达定理可判断D.【详解】对于选项A ，将点代入抛物线方程，可得，故选项A 错误；12⎫⎪⎭2p =对于选项B ，焦点，点在抛物线上，可得，故选项B 正确； (0,1)F (2,1)||4AB =对于选项C ，设点A ，B 的坐标分别为，，()11,x y ()22,x y 直线的方程为，联立方程 AB 1y kx =+24,1,x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y 后整理为，2440x kx --=可得，()2121212124,4,242,x x k x x y y k x x k +==-+=++=+221212121,||1,||116x x y y AF y BF y ===+=+有， 1212121212121111221||||1112y y y y AF BF y y y y y y y y +++++=+===+++++++故选项C 正确；对于选项D ，有，()()1122,12,1x y x y --=-可得，由有解得D 正确． 212x x =-1212214,4,2,x x k x x x x +=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩2224,24,x k x -=⎧⎨-=-⎩k =故选：BCD 12．设函数，，下列命题正确的是（ ） ()ex xf x k =-()e x g x x =-A ．若函数有两个零点，则， ()f x 10e<<k B ．若恒成立，则()0f x ≤1ek <C ．若，，时，总有恒成立等价于1x ∀2x 120x x <<()()()22212122a x x g x g x -<-1a ≤D ．，恒成立．1,e e x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭()1ln 0g x x x -->【答案】AC【分析】利用导数求函数的最大值，结合变化趋势考察与的关系可判断AB ；构造函数e xxy =y k =，将问题转化为导数在大于等于0恒成立问题，然后利用22()2()2e 2x h x g x ax ax x =-=--(0,)+∞导数求其最值可判断C ；取，然后使用放缩法可判断D. 1ex =【详解】，当时，，当时，，故时，有最大值1()e xxf x -'=1x <()0f x '>1x >()0f x '<1x =()f x ，又时，,且越大时，趋近于0，要使函数有两个零点，max 1()(1)e f x f k ==-0x >0e x x>x e x x ()f x 则，故A 正确，B 错误； 10e<<k若，，时，总有恒成立等价于函数1x ∀2x 120x x <<()()()22212122a x x g x g x -<-在上单调递增，等价于在区间22()2()2e 2x h x g x ax ax x =-=--(0,)+∞()2(e 1)0x h x ax '=--≥上恒成立，令，则，当时，，所以当时，(0,)+∞()e 1x m x ax =--()e x m x a '=-1a ≤()0m x '≥0x >成立，当，时，，此时，不满足题意，故C()(0)0m x m >=1a >(0,ln )x a ∈()0m x '<()(0)0m x m <=正确；记，则，因为，所以11()()ln e ln xs x g x x x xx x =--=---1e 11(e e 1e e s ==--+11e 2e e <<11e 3>，故在区间上存在使得，故D 错1e 1112()e e 1e 1e<0e e 33s ==--+<-+=+-1(,e)e 0x 0()0m x ≤误. 故选：AC三、填空题13．曲线在点处的切线方程为_______． ()ln 32f x x x =+-()()1,1f 【答案】20x y +-=【分析】根据求导公式求出导函数，结合导数的几何意义求出切线的斜率，进而可以求出结果. 【详解】因为，则， ()ln 32f x x x =+-()12f x x'=-所以，()11211k f '==-=-又，()1ln13211f =+-⨯=因此切线方程为：，即. ()11y x -=--20x y +-=故答案为：.20x y +-=14．为推动黄河流域生态保护和高质量发展，某市环保局派出4个宣传小组，到黄河沿岸5个社区做环保宣讲活动，每个小组至少去1个社区，每个社区只安排1个小组，则不同的安排方法共有______种（用数字作答）． 【答案】240【分析】根据给定条件，把5个社区分成4组，再将分成的4组分配到4个宣传小组即可作答. 【详解】依题意，有一个小组必去两个社区，把5个社区分成4组有种分法， 25C 将分成的4组安排给4个宣传小组有种方法，44A所以不同的安排方法共有（种）.2454C A 1024240=⨯=故答案为：24015．已知空间向量满足，，则的值为________． ,,a b c 0a b c ++= 314a ,b ,c === a b b c c a ⋅+⋅+⋅ 【答案】－13【分析】结合空间向量的数量积的定义以及运算律即可求出结果.【详解】因为，所以，则0a b c ++=()20a b c++= ()22220a b c a b b c c a +++⋅+⋅+⋅=因此222314132a b b c c a ++⋅+⋅+⋅=-=- 故答案为：13-16．如图，已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ．给出下列命题：①PB ⊥AC ；②平面PAB 与平面PCD 的交线与AB 平行；③平面PBD ⊥平面PAC ；④△PCD 为锐角三角形．其中正确命题的序号是________．【答案】②③【分析】设AC∩BD=O ，由题意证明AC ⊥PO ，由已知可得AC ⊥PA ，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾说明①错误；由线面平行的判定和性质说明②正确；由线面垂直的判定和性质说明③正确；由勾股定理即可判断，说明④错误． 【详解】设AC∩BD=O,如图，①若PB ⊥AC ，∵AC ⊥BD ，则AC ⊥平面PBD ，∴AC ⊥PO ，又PA ⊥平面ABCD ，则AC ⊥PA ，在平面PAC 内过P 有两条直线与AC 垂直，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，①错误；②∵CD ∥AB ，则CD ∥平面PAB ，∴平面PAB 与平面PCD 的交线与AB 平行，②正确；③∵PA ⊥平面ABCD ，∴平面PAC ⊥平面ABCD ，又BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面PAC ，则平面PBD ⊥平面PAC ，③正确； ④∵PD 2=PA 2+AD 2，PC 2=PA 2+AC 2，AC 2=AD 2+CD 2，AD =CD ， ∴PD 2+CD 2=PC 2，∴④△PCD 为直角三角形，④错误， 故答案为：②③四、解答题17．如图，在四边形中，，，ABCD π3ABC ∠=:1:3AB BC =AC =(1)求的值； sin ACB ∠(2)若，，求的面积. 3π4BCD ∠=1CD =ACD A 【答案】【分析】（1）内根据余弦定理，求边长和，再根据正弦定理求; ABC A AB BC sin ACB ∠（2）根据面积公式需求,而,最后再根据三角形的面积公式sin ACD ∠3sin sin π4ACD ACB ⎛⎫∠=-∠ ⎪⎝⎭求解即可.1sin 2S AC CD ACD =⨯⨯⨯∠【详解】（1）设，则，，，AB x =3BC x =π3B ∠=AC 在中，∴ABC A 由余弦定理得，解得，()22π7323cos 3x x x x =+-⋅⋅⋅1x =再由正弦定理得sin sin AB ACACB B =∠sinsin AB B ACB AC ⋅∠==（2）由（1）知，cos ACB ∠=3π4BCD ∠=，3πsin sin 4ACD ACB ⎛⎫∴∠=-∠= ⎪⎝⎭. 11sin 122ACD S AC CD ACD ∴=⋅⋅⋅∠==A 18．已知数列满足，． {}n a 113a =1111n na a++=+(1)设，证明：是等差数列； 1n nb a ={}n b (2)设数列的前n 项和为，求．n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n S n S 【答案】(1)证明见解析 (2) ()()3234212n n S n n +=-++【分析】（1）通过计算来证得是等差数列. 11n n b b +-={}n b （2）先求得，然后利用裂项求和法求得.n a n S 【详解】（1）因为，111111111111111n n n n n n n n n n n n a b b a a a a a a a a a +++-=-=-=-=-=-++所以数列是以1为公差的等差数列． {}n b （2）因为，所以， 1113b a ==3(1)12n b n n =+-⨯=+由得． 12n n a =+12n a n =+故， ()1111222n a n n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以， 1212n n a a a S n=++⋅⋅⋅+， 1111111111111112322423521122n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 11111111111232435112n n n n ⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪-++⎝⎭． ()()111113113231221222124212n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫=+--=--=- ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭19．如图，在三棱柱中，平面，.111ABC A B C -1BC ⊥ABC 1,2,4AB BC AB BC BB ⊥===（1）求证：平面，并求的长度； AB ⊥11BB C C 1BC （2）若M 为的中点，求二面角的余弦值. 1CC 1A B M B --【答案】（1）证明见解析；；（21BC =【分析】（1）证明，，即可证得结论；进而可求出的长度；AB BC ⊥1AB BC ⊥1BC （2）如图所示，分别以所在的直线为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，则1,,BC AB BC，求出平面的一个法向量为()()()((110,0,0,0,2,0,2,0,0,2,0,,0,0,B A C B C -1AB M，平面的一个法向量，带入向量的夹角公式，即可得答案.(1,2,n =-- 1BMB ()0,2,0BA =【详解】（1）∵平面，平面，∴， 1BC ⊥ABC ,AB BC ⊂ABC 11,BC AB BC BC ⊥⊥∵，平面，∴平面 1,AB BC BC BC B ⊥= 1,BC BC ⊂11BB C C AB ⊥11BB C C又∵，，∴.2AB BC ==14BB =1BC =（2）如图所示，分别以所在的直线为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，则1,,BC AB BC， ()()()((110,0,0,0,2,0,2,0,0,2,0,,0,0,B A C B C -易知，∴， (M ((11,,22AM AB =-=--，设平面的一个法向量为，1AB M (),,n x y z =，即，令，得， 100n AM n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩20220x y x y ⎧-=⎪⎨--+=⎪⎩=1x-2z y ==-∴(1,2,n =--易知为平面的一个法向量 ()0,2,0BA = 1BMB 则cos ||||n BA n BA n BA ⋅<⋅>=⋅ 由题意知：二面角1A B M B --【点睛】本题考查线面垂直判定定理的应用、向量法求二面角的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意坐标系的建立.20．淮北市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”，对环境进行了大力整治，目前淮北市的空气质量位列全省前列，吸引了大量的外地游客。