15-第15讲微分中值定理

微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它揭示了函数在某个区间内取得极值的一种方法。

微分中值定理包括拉格朗日中值定理和高尔的中值定理两种形式，下面将分别介绍这两种定理。

拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它表明如果函数满足一些条件，那么在某个区间内一定存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点处的斜率。

具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且a<b，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。

也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)这个定理的图像可以形象地理解为，曲线在某点的切线与连接两个端点的直线斜率相等。

高尔的中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，它是由高尔证明的。

高尔的中值定理的条件比拉格朗日中值定理更加宽松，它只要求函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。

具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且函数在区间的两个端点处的斜率相等，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。

也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)高尔的中值定理可以看做拉格朗日中值定理的推广，它更加灵活，适用范围更广。

微分中值定理的证明可以通过利用拉格朗日中值定理或高尔的中值定理的定义和一些基本的微积分知识进行推导。

证明的过程比较复杂，需要运用到数学分析中的一些技巧与方法。

微分中值定理在微积分的应用中有着广泛的应用。

它可以用来证明一些数学定理，比如费马最值定理、罗尔定理和拉格朗日多重中值定理等。

此外，微分中值定理还可以用来求函数的零点、证明函数的单调性和判断函数的极值等。

在实际问题中，微分中值定理常常被用来解决一些最优化问题，比如求函数的最值、最小二乘法中的参数估计等。

中值定理证明解微分方程中值定理是微积分中的一个重要定理，它是解微分方程的基础。

本文将介绍中值定理的证明和如何利用它来解微分方程。

一、中值定理的证明中值定理也被称为罗尔定理或拉格朗日中值定理，它的表述如下：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $c$，使得 $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

证明如下：由于 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，根据最值定理，$f(x)$ 在该区间内必有最大值 $M$ 和最小值 $m$，即 $m\leqf(x)\leq M$，且存在 $x_1,x_2\in[a,b]$，使得 $f(x_1)=M$，$f(x_2)=m$。

当 $f(x)$ 为常数函数时，结论显然成立。

当 $f(x)$ 不为常数函数时，存在 $x_0\in[a,b]$，使得 $f(x_0)\neq f(a)$，$f(x_0)\neq f(b)$。

不失一般性，假设 $f(x_0)>f(a)$。

若 $f(x_0)<f(b)$，则由连续性，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上取到$f(x_0)$ 的值，设为 $d$。

根据介值定理，存在 $[a,x_0]$ 和$[x_0,b]$ 上的某点 $c_1$ 和 $c_2$，使得 $f(c_1)=d$，$f(c_2)=d$。

由于 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导，根据导数的定义，有$$ f'(x_0)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $$ 根据极限的性质，可以找到两个数列 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$，满足$$ \lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}y_n=x_ 0 $$$$ x_n\in(a,x_0),\ y_n\in(x_0,b) $$$$ f(x_n)<f(x_0),\ f(y_n)>f(x_0) $$于是有$$ f'(x_0)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{f(y_n)-f(x_0)}{y_n-x_0} $$根据介值定理，存在 $\alpha\in[c_1,x_0]$ 和$\beta\in[x_0,c_2]$，使得 $f'(\alpha)=f'(\beta)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

1.微分中值定理微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，又（统）称为微分学基本定理、有限改变量定理或有限增量定理，是微分学的基本定理之一，内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同（严格的数学表达参见下文）。

1.1.罗尔中值定理罗尔定理的几何意义如果函数满足1.在闭区间上连续；2.在开区间内可导；3.在区间端点处的函数值相等，即，那么在内至少有一点，使得。

这个定理称为罗尔定理。

1.2.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的几何意义主条目：朗格朗日中值定理如果函数满足1.在闭区间上连续；2.在开区间内可导，那么在内至少有一点，使等式成立。

此定理称为拉格朗日中值定理。

拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。

1.3.柯西中值定理柯西中值定理的几何意义如果函数及满足1.在闭区间上连续；2.在开区间内可导，3.在对任意，那么在内至少有一点使等式成立。

此定理称为柯西中值定理。

2.积分中值定理积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。

其退化状态均指在ξ的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等（严格表述在下面）。

2.1.积分第一中值定理设为一连续函数，为一正的可积函数，那么存在一点使得。

2.1.1.证明因为是闭区间上的连续函数，取得最大值和最小值。

于是。

对不等式求积分，我们有。

若，则。

可取上任一点。

设，那么。

因为是连续函数，则必存在一点，使得。

积分第一中值定理推论的几何意义2.1.2.推论（拉格朗日中值定理的积分形式）在上式中令，则可得出：设为一连续函数，则∃，使它也可以由拉格朗日中值定理推出：设在上可导，，则∃，使2.2.积分第二中值定理积分第二中值定理与积分第一中值定理相互独立，却又是更精细的积分中值定理。

它可以用来证明Dirichlet-Abel反常Rieman 积分判别法。

2.2.1.内容若f,g在[a,b]上黎曼可积且f(x)在[a,b]上单调，则存在[a,b]上的点ξ使；2.2.2.退化态的几何意义令g(x)=1，则原公式可化为：；进而导出：；此时易得其几何意义若连续y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在一点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行设f(x)在[1，2]上有二阶导数，且f(2)=0,又F(x)=(x-1)^2*f(x)，证明：在区间(1,2)内至少存在一点§，使得F"(§)=0最佳答案由题设,f(x)在[1,2]上有2阶导数考察函数F(x)=(x-1)²f(x)显然F(x)在[1,2]上连续，在(1,2)可导且F(1)=(1-1)²f(1)=(2-1)²·0=(2-1)²f(2)=f(2)所以存在η∈(1,2)使得F'(η)=0现在考察区间[1,η]包含于[1,2)容易证明F'(x)在(1,η)可导，在[1,η]连续∵F'(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)²f'(x)∴F'(1)=0·f(1)+0·f'(1)=0=F'(η)故存在ξ∈(1,η)使得F'(ξ)=0但是（1,η）包含于（1,2)所以ξ∈(1,2)证毕当x＞1时，设f(t)＝e^t，t∈[1,x].f(t)在[1,x]上连续，在(1,x)内可导，由拉格郎日中值定理，存在ξ∈(1,x)，使得f'(ξ)＝(f(x)-f(1))/(x-1).f'(x)＝e^x，所以，e^ξ＝(e^x－e)/(x－1).因为1＜ξ＜x，所以，e^ξ＞e，所以，(e^x－e)/(x－1)＞e，得e^x＞ex.方法二：设f(t)＝e^t－et，t∈[1,x]，拉格郎日中值定理(e^x－ex)/(x－1)＝e^ξ－e＞0，得到结论方法三：取对数，设f(t)＝lnt，t∈[1,x]，拉格郎日中值定理lnx/(x－1)＝1/ξ＜1，得lnx＜x-1，化为指数运算即得结论。

微分中值定理公式
微分中值定理：
1、定义：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且其在该区间上具有一阶导数，那么，存在一个c属于[a,b]，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)
2、应用：
（1）求解函数f(x)在闭区间[a,b]中的最值。

（2）确定区间上函数的局部极大值和极小值，以及单调区间。

（3）确定函数凹凸变化，如果有拐点，则根据导数解一元二次不等式获取。

（4）计算凸函数f(x)的极限值，如极限存在的话，就用微分中值定理来确定它。

3、几何意义：围绕着函数曲线c，有两个相交面积相等，其一个为上和下凸函数组成的不规则四边形的面积，而另一个则为分别以端点a，b为对角的矩形的面积之和：S=(f(a)+f(b))(b-a)
4、优势：
（1）微分中值定理是由微积分中基础概念构成；
（2）它是通过计算数学原理而不是函数曲线平移，形变等操作来确定突变点；
（3）它是通过极值解决拐点计算的有力工具；
（4）它可以用来计算凸函数极限值，是一种快捷有效的方法。

微分中值定理解析微分中值定理是微积分中一个重要的定理，它为我们提供了研究函数的性质和特点的重要工具。

本文将对微分中值定理进行解析，从定义、形式化表述、几何意义以及应用等方面进行论述。

一、定义微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它是拉格朗日中值定理的推广和具体化。

该定理的核心思想是：若函数f(x)在[a, b]上满足一定条件，那么在(a, b)的某一点c处，函数的导数f'(c)与函数在[a, b]上的平均斜率相等。

二、形式化表述设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)上可导。

则存在某一点c∈(a, b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)三、几何意义微分中值定理的几何意义是：在函数图像上，必然存在一条与割线平行的切线。

也即，函数在区间[a, b]上的斜率是局部变化率的平均值，那么在(a, b)的某一点c处，函数的斜率与该平均斜率相等。

四、应用微分中值定理在实际问题中有着广泛的应用，下面举几个例子进行说明：1. 高速公路行车速度问题：假设一辆汽车在时间t内，以速度v(t)行驶。

则根据微分中值定理，可以得知在某个时刻c，汽车的瞬时速度v'(c)等于汽车在整个行驶过程中的平均速度。

2. 生产线产品质量控制问题：假设某个生产线上，产品的质量由参数q(t)表示，其中t为生产时间。

根据微分中值定理，可以得知在某个时间点c，产品的质量变化率q'(c)等于该产品在整个生产过程中的平均变化率。

3. 就业市场薪水调查问题：假设在某个城市中，不同行业的毕业生就业薪水分别由函数f(x)表示，其中x表示毕业生的学历水平。

根据微分中值定理，可以得知在某个学历水平c处，不同行业的薪水增长率f'(c)等于整个就业市场中薪水增长的平均率。

五、总结微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它通过连接函数的斜率、平均斜率和切线的关系，为我们提供了研究函数特性的重要工具。

微分积中值定理微分积中值定理是微积分中的重要定理，它指出了在一定条件下，函数的平均变化率等于它在某一点的导数值。

一般来说，微分积中值定理可以用于证明一些重要的基本定理，如拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。

下面，我将详细介绍微分积中值定理的概念、证明以及应用。

微分积中值定理的概念微分积中值定理也称为罗尔中值定理，它是微积分中的基本定理之一。

定理的内容是：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，在闭区间$(a,b)$内取得了端点值$f(a)$和$f(b)$，则存在一点$c\in(a,b)$，使得$f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

其中，$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$表示函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上的平均变化率。

微分积中值定理的证明微分积中值定理的证明可以通过画图来进行，主要分为以下几步：第一步：画出函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上的图像。

第二步：连结点$(a,f(a))$和$(b,f(b))$的线段，然后将这条线段的斜率设为$k$。

因为$f(x)$在开区间$(a,b)$上可导，所以函数$f(x)$在$(a,b)$处的导数$f'(x)$具有介值性，即在$(a,b)$中的任意一点$x$处，$f'(x)$都能够取到线段的斜率$k$。

因此，我们可以找到一个点$c\in(a,b)$，使得$f'(c)=k$。

第三步：去掉端点$(a,f(a))$和$(b,f(b))$的线段，将它们和点$(c,f(c))$连成两根直线，便可得到一个由三条线段组成的不封闭的折线。

因为函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，所以这条折线一定会与函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上的图像相交。

设折线与$f(x)$的图像的交点为$(d,f(d))$，则$f(d)=f(c)+k(d-c)$。

第四步：由于函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上取得了端点值$f(a)$和$f(b)$，所以$f(a)\leqslant f(d)\leqslant f(b)$。