武汉理工大学数学建模公共选修课考试试题

数学建模 试卷及参考答案一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分）1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分）答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。

2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分)答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。

3、人工神经网络方法有什么特点？(5分)答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。

二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）1、 某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达山顶并留宿.次日早8:00沿同一路径下山,下午5:00回到旅店.证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) 证明:记出发时刻为t=a,到达目的时刻为t=b,从旅店到山顶的路程为s.设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t),t 是一天内时刻变量，则f(t),g(t)在[a,b]是连续函数。

作辅助函数F(t)=f(t)-g(t),它也是连续的，则由f(a)=0,f(b)>0和g(a)>0,g(b)=0,可知F （a ）<0, F(b)>0,由介值定理知存在t0属于(a,b)使F(t0)=0, 即f(t0)=g(t0) 。

2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分)解:模型构成记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，k=1，2,........，k x ，k y =0，1，2，3。

将二维向量k s =（k x ，k y ）定义为状态。

安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S 。

第1题：箱子的摆放策略某省内知名企业生产的产品用形状为长方体的箱子包装，使用叉车将这些箱子从生产车间运输至仓库。

这些箱子叠放在叉车的正方形底板上，如下图所示，叉车置放箱子的底板是一个边长为1.1米的正方形。

箱子的规格是统一的（所有箱子的长方形底面的尺寸相同）。

通常在一次运输中，箱子像下图中这样横着放，或者竖着放。

下图所示的便是一种可行的摆放方法，但不一定是最优的。

现在这家企业需要你们帮助建立一个通用的优化模型，使得给定长方形箱子的长和宽之后，利用这个模型就能算出该如何摆放箱子（不需考虑箱子的高度，即只考虑摆放一层箱子），才能使得一次摆放的箱子数量最多。

问题1 如果不允许箱子超出叉车底板（如上图所示情形），也不允许箱子相互重叠，建立一个优化模型，考虑如何摆放这些箱子，才能使摆放的箱子数量最多?利用你们构建的模型，分别计算出对于下表中型号1、型号2和型号3的箱子，最多可以摆放多少个？该如何摆放？如果你们能画出摆放示意图，那么将有助于这家企业更快地理解你们的方法。

问题2 假设箱子的密度都是均匀的，允许箱子在正方形底板的上方，左边，右边部分超出底板（下方紧靠叉车壁，不能超出），但不至于掉落出叉车底板。

对于这种情况，重新建立优化模型,并针对上表中三种型号的箱子, 分别计算最多可以摆放多少个箱子？该如何摆放?画出摆放示意图。

问题3在不允许箱子相互重叠的条件下，你们是否还能另外设计出一种摆放方案？并将你们设计的方案与上图中的摆放方案的优劣性进行比较。

第2题：高校教师课堂教学的评价问题目前多数高校都建立了学生对教师的评价系统。

系统中，全体学生对自己的所有任课教师打分，综合评价该教师的教学情况。

教师的评价分值一定程度上能够反映该教师的教学情况，但也存在其分值在全校中的排序和实际教学能力地位不相符的情形。

问题1：附录1为我校学生对教师课堂教学评价的调查问卷，试从各项评价指标中，找出其中相关度较高的部分，将其整合为一个指标；对调查问卷中你认为不合理的部分，说出你的理由，并给出相应的处理方法。

数学建模及应用试题汇总1. 假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器， 你也会出于好奇心想用扔下一 块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算山 崖的高度呢，请你分析一下这一问题。

2. 建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。

3. 一根长度为 l 的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一端的温度恒为 T1， 另一端温 度恒为 T2， (T1、T2 为常数， T1> T2)。

金属杆横截面积为 A ，截面的边界长度为 B ，它 完全暴露在空气中，空气温度为 T3， (T3< ， T3 为常数)， 导热系数为α，试求金属杆 上的温度分布 T(x)， (设金属杆的导热 2为λ)4. 甲乙两队进行一场抢答竞赛，竞赛规则规定：开始时每队各记 2 分，抢答题开始后，如 甲取胜则甲 加 1 分而乙减 1 分，反之则乙加 1 分甲减 1 分,(每题必需决出胜负 )。

规 则还规定，当其中一方的得分达 到 4 分时，竞赛结束。

现希望知道：(1)甲队获胜的概率有多大？(2)竞赛从开始到结束，平均转移的次数为多少？(3)甲获得 1 、2、3 分的平均次数是多少？5. 由于指派问题的特殊性， 又存在着由匈牙利数学家提出的更为简便的解法——匈牙利算 法。

当系数矩阵为下式，求解指派问题。

「16 15 19 22]C =L17 19 22 16 」6. 在遥远的地方有一位酋长，他想把三个女儿嫁出去。

假定三个女儿为 A 、B 、C ， 三位求 婚者为 X 、Y 、Z 。

每位求婚者对 A 、B 、C 愿出的财礼数视其对她们的喜欢程度而定： A B C x 「 3 5 26]问酋长应如何嫁女，才能获得最多的财礼(从总体上讲，他的女婿最喜欢他的女儿。

7. 某工程按正常速度施工时，若无坏天气影响可确保在 30 天内按期完工。

但根据天气预 报， 15 天后天气肯定变坏。

2014年武汉理工大学数学建模训练题目
第2题：实验安排问题
（陈建业老师提供）
2014年某专业职业技能考试共有技能考题5道，要求每位考生必须完成其中三道，除第一题为必考项目外，余下考题四选二。

考生总人数79人，每位考生所选选项均已知，见附件1。

受考场数量限制，只能提供A、B两个技能考场，其中A考场能容纳24个人同时开考，B考场能容纳32人同时开考。

为便于管理每个技能考题只能安排在同一个考场，每个技能考题同时开考的最大数量没有限制，但是一旦确定中途就不能更改。

请分别在以下条件下合理设计考场分布和安排实验顺序，使得本次考试所用时间最短。

（1）假定技能考题1考试时间为45分钟，而其他4个技能考题考试时间为30分钟，考生不能提前离开考场。

（2）假定增加C考场能容纳20人，而3个考场不在同一个地方，3个考场之间往返的时间见附件2，请结合（1）的条件给出合理的实验安排。

（3）假定（1）的考试时间均为最长考试时间，考生做完实验可以提前离开考场，这样可以提前安排下一位考生进场，请考虑这种情况下的实验安排。

2012-2013第一学期《数学建模》选修课试题一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)1．模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简索、抽象、提炼出原型的替代品，模型反映了原型中人们需要的一部分。

2．数学模型对于现实世界的一个特定对象，为了特定的目的，根据特有的的内在规律做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。

即提炼数学结构的过程。

3．抽象模型通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之谓思维模型.如汽车司机对方向盘的操作.二、简答题（每小题满分8分，共24分）1．模型的分类按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等;抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。

2．数学建模的基本步骤1）建模准备：确立建模课题的过程；2）建模假设：根据建模的目的对原型进行抽象、简化。

有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则；3）构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻划实际问题的数学模型.；4）模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解；5）模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等。

；6）模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，看它是否符合客观实际；7）模型应用：模型应用是数学建模的宗旨，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用.3．数学模型的作用应用数学去解决各类实际问题，建立数学模型是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程，利用数学理论和方法分析和解决问题，通过调查、收集数据资料，观察和研究固有特征和内在联系，抓住主要矛盾，建立反映实际的数量关系，来解决实际问题。

2014年武汉理工大学数学建模训练题目
第6题：城市之间最小生态安全距离测算
（楚杨杰老师提供）
1月9日，2014年全国环境保护工作会议在北京召开，环保部部长周生贤在会上强调，要进一步明确改革的路线图和时间表，推进生态保护红线（下称“生态红线”）划定工作。

中国环境科学研究院副院长柴发合对《中国经济周刊》表示，生态红线应该有“纠正”功能，对已经破坏的红线内区域，要让它退出，对没破坏的地方，就是警戒线：“原来很多人认为，我这里没有污染，有环境容量，可以大干快上。

这种想法是错误的，即使有环境容量，也有一个科学利用、利用限度的问题，不能随便破坏良好的环境，造成不可收拾的局面。

”
2014年全国环境保护工作会议上，周生贤表示，要加快推进生态保护红线划定工作，研究编制关于构建国家生态保护红线的指导意见。

抓紧推进试点城市环境总体规划编制。

研究提出城市之间最小生态安全距离，减少城镇化进程中的环境问题。

据记者了解，在环保部宣布开展全国性生态红线划定工作之前，国家林业局已出台了《推进生态文明建设规划纲要（2013—2020年）》，提出将划定林地和森林、湿地、荒漠植被、物种4条红线，且都有精确的总量控制。

在推进新型城镇化建设进程背景下，为落实国家新型城镇化规划，加强环境管理，构建生态安全格局，切实防范环境风险，全国多省市参加环保部开展的最小生态安全距离研究试点。

请查阅相关资料，回答如下问题：
1构建不同规模和生态结构城市生态安全距离的因子识别与权重分析。

2城市生态安全最小距离测算方法及模型构建。

3以武汉城市圈为例，提供一个供政府部门参考的建议。

数学建模部分1. 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如高露洁牙膏50g 装的每支1.5元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量价格比是1.2 ：1.试用合适方法构造模型解释这个现象.（1） 分析商品价格C 与商品重量w 的关系.价格由生产成本、包装成本、和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关打的因素.（2） 给出单位重量价格c 与w 的关系，画出他们的简图，说明w 越大c 越小，但是随着w 的增加c 减小的程度变小，解释实际意义是什么.2. 建立不允许缺货的生产销售存储模型模型，设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k r >.在每个生产周期T 内，开始的一段时间（00t T <<）内一边生产一边销售，后来的一段时间（0T t T <<）只销售不生产，画出贮存量()q t 的图形.设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期.讨论k r 和k r ≈的情况.3. 在森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.4. 要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立模型讨论是否跑得越快淋雨越少.将人体简化成一个长方体，高 1.5a m =（颈部以下），宽0.5b m =，厚0.2c m =.设跑步距离1000d m =，跑步最大速度5/m v m s =，雨速4/u m s =，降雨量为2/w cm h =，记跑步速度为v .按以下步骤进行讨论：（1） 不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大的速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量.（2） 雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v 之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少.计算0,30θθ==时的总淋雨量.（3） 雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，建立总淋雨量与速度v 之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少.计算30α=时的总淋雨量.（4） 以总淋雨量为纵轴，速度v 为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义.5. 甲乙两公司通过广告竞争销售产品的数量，广告费分别是x 和y 设甲乙公司商品的销售在两公司总销售量中占的份额，是他们的广告费在总广告费中所占份额的函数()x f x y +和()y f x y+，又设公司的收入与销售量成正比，从收入中扣除广告费后即为公司的利润.是构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大.（1） 令x t x y=+，则()(1)1f t f t +-=.画出()f t 的示意图. （2） 写出甲公司利润的表达式()p x .对于一定的y ，使()p x 最大的x 的最优值应满足什么关系.6. 在传送带效率模型中，设工人人数n 固定不变。

2012-2013第一学期《数学建模》选修课试题一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)1．模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简索、抽象、提炼出原型的替代品，模型反映了原型中人们需要的一部分。

2．数学模型对于现实世界的一个特定对象，为了特定的目的，根据特有的的内在规律做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。

即提炼数学结构的过程。

3．抽象模型通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之谓思维模型.如汽车司机对方向盘的操作.二、简答题（每小题满分8分，共24分）1．模型的分类按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等;抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。

2．数学建模的基本步骤1）建模准备：确立建模课题的过程；2）建模假设：根据建模的目的对原型进行抽象、简化。

有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则；3）构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻划实际问题的数学模型.；4）模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解；5）模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等。

；6）模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，看它是否符合客观实际；7）模型应用：模型应用是数学建模的宗旨，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用.3．数学模型的作用应用数学去解决各类实际问题，建立数学模型是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程，利用数学理论和方法分析和解决问题，通过调查、收集数据资料，观察和研究固有特征和内在联系，抓住主要矛盾，建立反映实际的数量关系，来解决实际问题。