2018国家公务员考试行测备考资料：同余特性

同余同余定义：若两个整数a,b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a,b 对于模m 同余。

记作：)mod ( m b a ≡，若b a m b a -≥则有,同余性质：（利用同余的性质可以使大数化小）（1）反身性： )(mod m a a ≡（2）传递性： 若)(mod m b a ≡ )(m o d m c b ≡， 则有)(mod m c a ≡（3）对称性： 若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡（4）可加减性 ：若)(mod m b a ≡ )(mod m c b ≡，则)(mod m d c b a ±≡±（5）可乘性： 若)(mod m b a ≡ )(mod m c b ≡，则)(mod m d b c a ⋅≡⋅ 可乘方性 ：若)(mod m b a ≡，则)(mod m b a n n ≡ (n 为自然数)（6）可约性： 若)(mod m c b c a ⋅≡⋅，则)(mod m b a ≡（7） 若)(mod mc c b c a ⋅≡⋅，则)(mod m b a ≡例一：甲数除以13余7，乙数除以13余9，则其积除以13余多少？（)13(mod 11 乙甲≡⨯）例二：求1272835707⨯被7除的余数是多少？（2）解：)7(mod 299107010351028283570735 ≡≡+⨯+⨯+⨯≡)7(mod 1127 ≡因此 )7(mod 2121272835707≡⨯≡⨯同余问题练习题1．求1957380009被19除的余数是多少？（9）2．求12166777708＊390被11除的余数是多少？（7）3．一个数除以3余2，除以5余1，除以7余1，求适合这个条件的最小的三位数？（176）4．求被3除余2，被5除余3，被7除余5的最小三位数。

（173）2000年的元旦是星期六，2010年的元旦是星期五。

三角形的等积变换基本规律：（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）底在同一直线上并且相等，该底所对角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等；（3）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍；例一：试说明梯形中以腰为底的两个小三角形面积相等。

数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.【余数的加法定理】a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.【余数的乘法定理】a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

2018国家公务员考试行测答题技巧：余数法解数学运算
在公务员考试行测试卷中有很多题目需要进行大量计算，因为考生们一定要掌握一定的计算技巧，余数是解数学运算题的重要技巧之一。

一、余数的概念
被除数减去商和除数的积，结果叫做余数。

被除数=除数×商+余数
正余数：大于0小于除数
负余数：正余数减去除数
二、同余概念
1.同余的概念：
两个整数a和b,除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b关于m同余。

例：7÷3……1;25÷3……1;7和25关于3同余。

2.同余特性
余数的和决定和的余数；
余数的积决定积的余数；
余数的幂决定幂的余数。

三、应用
1、日期问题
例1:甲乙丙，三个人去图书馆，甲每15天去一次，乙每16天去一次，丙每17天去一次，三个人在星期一的时候相遇了，问下次相遇是星期几？
【解析】下次相遇需要经历的天数为15、16、17的最小公倍数15×16×17,一个星期7天，15×16×17除以7找余数，15÷7=2……1,16÷7=2……2,17÷7=2……3,则15×16
×17除以7的余数为1×2×3=6,那再往后过6天，周一过六天就是周日。

2、解不定方程
例2:求解满足3x+y=10的x、y,x、y均为正整数。

【解析】3x除以3整除，10除以3余数为1,则y除以3余数应该为1.当y=1时，x=3;当y=4时，x=2;当y=7时，x=1.。

2019国家公务员考试行测答题技巧：同余特性解不定方程在行测数学运算部分核心考察数与数的运算关系。

因此，“数字”及其相关的性质就是算术的基础。

该部分内容从表面上看似乎属于只需要牢固记忆的概念性基础知识。

但实际上，如果我们能应用得灵活恰当就会变成实用性非常强的解题技巧。

一、知识点简述我们在解题时，会经常遇到如何求解不定方程，对于不定方程的求解，常用的方法有整除法、特值法、同余特性、代入排除以及奇偶性。

今天重点说一下如何应用同余特性来求解不定方程，帮助我们迅速地排除错误答案，锁定正确答案。

首先我们先来回顾下常用到的两条同余特性的性质1.余数的和决定了和的余数如：求(22+17)÷5.....?直接计算22÷5....2 17÷5....2，则(22+17)÷5的余数为2+2=42.余数的积决定了积的余数如：求(22×17)÷5.....?直接计算22÷5....2 17÷5....2，则(22+17)÷5的余数为2×2=4二、方法应用：消元下面我们通过几道例题来说明如何利用同余特性来求解不定方程：【例1】两个未知数：X+9Y=67，X和Y为正整数，求X?A.10B.11C.12 D13【答案】D【解析】两个未知数一个方程求解未知数时候，我们看问题求谁，本题求X，那我们就消除另外一个未知数Y，利用同余特性，我们把整个方程除以9，那么可以知道9Y的余数为0，67的余数为4，根据同余特性，我们可以知道余数的和决定了和的余数，最终和余数为4，所以可以知道X÷9的余数应该为4，结合四个选项，我们很容易可以看的出来只有D选项满足X这个条件，故正确答案为D。

【例2】三个未知数：15X+7Y+9Z=60，X Y Z为正整数，求Y?A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】当我们遇到三个未知数一个方程时候，求解其中一个未知数，我们就消去另外两个未知数，这时候我们可以除以另外两个未知数的系数的最大公约数。

同余问题（一）在平常解题中，咱们常常会碰到把着眼点放在余数上的问题。

如：此刻时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？咱们明白一天是24小时，，也确实是说52小时里包括两个成天再加上4小时，如此就在7时30分的基础上加上4小时，确实是11时30分。

很明显那个问题的着眼点是放在余数上了。

1. 同余的表达式和特殊符号37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44关于模7同余。

记作：（mod7）“”读作同余。

一样地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b关于模m同余，记作：2. 同余的性质（1）（每一个整数都与自身同余，称为同余的反身性。

）（2）假设，那么（这称作同余的对称性）（3）假设，，那么（这称为同余的传递性）（4）假设，，那么（）（这称为同余的可加性、可减性）（称为同余的可乘性）（5）假设，那么，n为正整数，同余还有一个超级有趣的现象：若是那么（的差必然能被k整除）这是什么缘故呢？k也确实是的公约数，因此有下面咱们应用同余的这些性质解题。

【例题分析】例1. 用41二、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，那个自然数最大是几？分析与解答：假设那个自然数是a，因为41二、133和257除以a所得的余数相同，因此，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，确实是求这三个差的最大公约数。

因此a最大是31。

例2. 除以19，余数是几？分析与解答：若是把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。

因此此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。

例3. 有一个1997位数，它的每一个数位都是2，那个数除以13，商的第100位是几？最后余数是几？分析与解答：那个数除以13，商是有规律的。

商是170940六个数循环，那么，即，咱们从左向右数“170940”的第4个数确实是咱们找的那个数“9”，因此商的第100位是9。

余数是几呢？则因此商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。

2018福建三明公务员考试行测备考：“韩信点兵”问题破解大法“韩信点兵”的故事家喻户晓。

据传：秦朝末年，楚汉相争，有一次韩信带1500名将士与楚军大战，楚军不敌，败退回营，而汉军也有四百多伤亡，只是具体伤亡多少一时还不知道。

在汉军整顿回营的过程中，楚军骑兵来袭，于是韩信急速点兵迎敌。

不一会儿，副官报告共有1035人，他还不放心，于是他命令士兵3人一列，结果多出2名;接着他命令士兵5人一列，结果多出3名;再命令士兵7人一列，结果又多出2名。

韩信马上向将士们宣布：值日副官计算错了，我军共有1073名勇士，敌人不足500，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。

汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”，于是士气大振，交战不久，楚军便大败而逃。

在三次列队后，韩信是如何算出了士兵的人数?这其中又蕴含着怎样的道理呢?我们把“韩信点兵”故事中涉及到数学关系提炼出来，得到如下表述：有一个介于1000-1100之间的四位数，它除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2，那么这个数是几?此类问题被称之为“剩余问题”，在国家公务员行测考试中也时常出现。

那么此类问题该如何破解呢?核心思想是：先找到符合要求的数的通项公式，再根据数值的范围确定具体取值。

具体操作方法：同余特性。

下面将按照由易到难、从特殊到一般的顺序，和大家分享“同余特性”在“剩余问题”求解过程中的操作步骤。

(一)特殊模型1.余同加余若多个除式的被除数相同，余数也相同，那么这个被除数的值等于多个除数的最小公倍数加余数。

如：X÷3余1，X÷5余1，那么X=15k+1。

例1.三位数的自然数P满足：除以7余2，除以6余2，除以5也余2，则符合条件的自然数P有：( )A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】C。

【解析】3个除式的被除数相同，均为自然数P，余数都是2，而除数7、6、5的最小公倍数是210，根据余同加余可得，P=210k+2。

利用同余特性解不定方程在国考和省考的行测考试的数量关系中，经常会考察到不定方程，而对于解不定方程，除了可以用整除法、奇偶性、尾数法和代入排除法之外，有时也会用到同余特性，接下来我们学习一下如何用同余特性解不定方程。

例1：3x+4y=33，已知x,y为正整数，则x+y=（）A.11B.10C.8D.7【答案】D。

方法一：先求x，再代入求y。

在余数中消去7y，则等式两边同除以7即可。

3x+7y=33÷7 3x+0→5所以 3x÷7 … 5，可得x=4,11 …，结合选项，x=4，y=3，x+y=7，选D。

方法二：先求y，再代入求x。

在余数中消去3x，则等式两边同除以3即可。

3x+7y=33÷3 0+y→0所以 y÷3 … 0，可得y=3,6 …，结合选项，y=3，x=4，x+y=7，选D。

方法三：直接求解x+y。

原式需要消去2x与6y，消去2x可以除以2，消去6y可以消去2、3、6，所以同时消去两项，可以除以2与6的最大公约数“2”。

3x+7y=33÷2 x+y→1所以（x+y）÷2 … 1，则（x+y）为奇数，排除B、C。

“11”与“7”代入，选D。

【考点点拨】根据题干所求，找到需要消去哪一项或哪两项，若消去一项，则等式两边同除以这一项的系数，就可以得出另外一项的取值，若消去两项，则等式两边同除以这两项系数的最大公约数，就可以得出所求的值。

例2：3a+4b=25，已知a,b为正整数，则a的值是（）A.1B.2C.6D.7【答案】D。

求a，原式需要消去4b，则等式两边同除以4：3a+4b=25÷4 3a+0→1所以3a÷4 …1，可得a=3,7,11…，结合选项可得a=7，选D。

【考点点拨】题干所求为未知数a，所以需要在余数中消去4b，除以系数4则得出3a ÷4 …1，结合选项可得a的取值。

例3：7a+8b=111，已知a，b为正整数，且a＞b，则a-b=（）A.2B.3C.4D.5【答案】B。

2024国考行测技巧同余特性巧解不定方程同余特性是数论中一个非常重要的概念，它可以帮助我们巧妙地解决一些不定方程的问题。

在2024国考行测中，同余特性经常会在数学题中出现，掌握了同余特性的巧解方法，可以帮助我们更高效地解题。

下面我们就具体介绍一下如何利用同余特性巧解不定方程。

首先，我们需要了解一下同余的定义。

在数论中，我们说两个整数a 和b对于模m同余，可以表示为a ≡ b (mod m)，读作a和b对于模m 同余。

也就是说，a对于模m除以m的余数和b对于模m除以m的余数相等。

例如，12≡ 5 (mod 7)，表示12和5对于模7同余。

同余关系有一些重要的性质，其中最重要的就是加法和乘法性质。

加法性质：如果a≡ b (mod m)，c≡ d (mod m)，那么a+c≡ b+d (mod m)。

乘法性质：如果a≡ b (mod m)，c≡ d (mod m)，那么ac≡ bd (mod m)。

有了这两个性质，我们就可以利用同余特性巧妙地解决不定方程的问题了。

首先，我们用一个例子来说明具体的解题方法。

例题：解不定方程2x ≡ 3 (mod 7)。

解题步骤如下：Step 1：利用同余性质，我们将方程转化为2x - 3 ≡ 0 (mod 7)。

Step 2：观察等式左边，我们可以发现，2x - 3可以被7整除，即2x - 3 = 7k，其中k为整数。

Step 3：将方程变形为2x = 7k + 3Step 4：利用乘法性质，我们可以得到x ≡ 7k + 3 ≡ 3 (mod 2)。

Step 5：现在我们得到一个简化的方程x ≡ 3 (mod 2)，我们可以通过计算得到x的取值范围。

根据同余性质，我们知道当两个数对于模m同余时，它们的差也同余于0。

所以我们可以得到x - 3 ≡ 0 (mod 2)，即x - 3可以被2整除。

因此，我们可以得到x-3=2k，其中k为整数。

将方程变形为x=2k+3所以，最终的解为x ≡ 2k + 3 (mod 7)。

2018年度国家公务员录用考试《行政职业能力测验》试卷参考答案及解析第一部分常识判断1.【答案】D。

解析：十八届六中全会强调，新形势下加强和规范党内政治生活，必须以党章为根本遵循，坚持党的政治路线、思想路线、组织路线、群众路线，着力增强党内政治生活的政治性、时代性、原则性、战斗性。

故本题答案选D。

2.【答案】A。

解析：恩格尔系数是指食品支出总额占个人消费支出总额的比重。

消费物价指数英文缩写为CPI，是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标。

幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数。

恒生指数，由香港恒生银行全资附属的恒生指数服务有限公司编制，是以香港股票市场中的46家上市股票为成份股样本，以其发行量为权数的加权平均股价指数，是反映香港股市价幅趋势最有影响的一种股价指数。

基尼系数是反映收入分配状况的系数，恩格尔系数是反映食品支出状况的系数，逻辑上最贴近。

故A项为正确答案。

3.【答案】A。

解析：孔子名丘，字仲尼，春秋时期鲁国人，中国历史上第一个创办私学的人，伟大的思想家，教育家。

故本题正确答案为A。

4.【答案】A。

解析：洛阳纸贵是一个中文成语，用以比喻一些作品的风行一时，广为流传。

出自晋朝人左思写《三都赋》的故事。

左思写的《三都赋》发表后大受欢迎，洛阳的人们争相传抄，结果令洛阳纸价上涨。

《史记·项羽本纪》：“项羽乃悉引兵渡河，皆沉船，破釜甑，烧庐舍，持三日粮，以示士卒必死，无一还心”。

故B错。

南朝宋·刘义庆《世说新语·假谲（jué）》，魏武行役，失汲道，军皆渴，乃令曰：“前有大梅林，饶子，甘酸，可以解渴。

”士卒闻之，口皆出水。

乘此得及前源。

魏武即曹操。

故C错。

典出《史记．卷八五．吕不韦列传》。

后用一字千金比喻文辞精当，结构严谨。

或用来形容价值极高的作品。

亦可以用以指书法上一字价值千金。