抽屉原理_1459544418

六年级数学数学广角抽屉原理抽屉原理是数学中的一条重要原理，它在解决计数问题中起到了至关重要的作用。

在数学广角中，抽屉原理被广泛应用于解决各种排列组合、鸽巢原理等问题。

本文将详细介绍六年级数学中的抽屉原理以及其应用。

一、抽屉原理的概述抽屉原理，又称鸽巢原理或箱子原理，是由数学家约翰·拉默尔（Joseph-Louis Lagrange）在18世纪末提出的。

它基本思想是：如果有n+1个物体放入n个抽屉，那么至少有一个抽屉里会放置多于一个物体。

这条原理旨在说明当物体数量超过容器数量时，必然存在容器里有多个物体的情况。

二、六年级数学中的抽屉原理应用1. 排列组合问题在六年级数学中，有很多排列组合问题可以通过抽屉原理来解决。

例如，考虑如下问题：将8个苹果放入3个篮子里，每个篮子至少要放2个苹果，问有多少种放置方式？通过抽屉原理，我们可以将这个问题转化为将8-2×3=2个苹果放入3个篮子里的问题，即将2个相同的苹果和3个篮子进行排列组合，解得答案。

这个问题的解题思路正是基于抽屉原理的应用。

2. 数字盒子问题在六年级数学中，常常会涉及到将数字放入盒子的问题。

例如，有一组数字{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，我们需要从中选取至少5个数字，使得选取的数字之和能够被3整除。

这个问题可以通过抽屉原理来解决。

我们将这组数字中的每个数字除以3得到的余数作为抽屉，将数字放入对应的抽屉中，根据抽屉原理，至少存在一个抽屉里放置了至少5个数字。

将这些数字相加即可得到满足条件的数字之和。

3. 奇偶数问题六年级数学中，奇偶数问题也是抽屉原理的常见应用之一。

例如，考虑以下问题：将六个不同的奇数放入三个盒子里，使得每个盒子里的数字之和都是偶数，问有多少种放置方式。

通过抽屉原理，我们可以将这个问题转化为将三个偶数和六个奇数放入三个盒子里，并满足每个盒子里的数字之和都是偶数的问题。

然后通过排列组合的思路，得到问题的解答。

抽屉原理问题知识点总结抽屉原理的基本形式是：如果n个物品被放置到m个抽屉中，并且n > m，那么至少有一个抽屉中有超过一个物品。

抽屉原理的应用非常广泛，它不仅出现在数学领域，还涉及到计算机科学、逻辑学、统计学、概率论等方面。

总结抽屉原理的知识点，可以从以下几个方面来展开。

一、基本概念1. 抽屉原理的概念抽屉原理是由德国数学家穆勒（Dirichlet）在1834年提出的。

它的基本概念是指如果有n个物品要放到m个抽屉里，且n > m，那么至少有一个抽屉里面有至少两个物品。

2. 抽屉原理的表述抽屉原理还可以用集合的交并运算来表述，即如果n个单个的数的和大于(n-1)倍的抽屉数，则必定存在多个数分配到同一个抽屉里。

3. 抽屉原理的思维方法抽屉原理是一种常见的数学论证方法，它的核心思想是通过将物品放入抽屉的过程，然后证明必然会有至少一个抽屉中包含多个物品。

这种思维方法在解决相关问题时非常重要。

二、抽屉原理的应用1. 计算机科学在计算机科学中，抽屉原理经常用来解决散列冲突问题。

当散列表的大小是有限的时候，存储的数据项的数量可能会比散列表的大小大，这时就可能会出现散列冲突。

抽屉原理可以帮助我们理解为什么散列冲突总是不可避免的。

2. 统计学在统计学中，抽屉原理可以用来解释生日悖论。

生日悖论是指在一个小的群体中，其中两人有相同生日的概率实际上要比我们直觉上想象的要高得多。

这一现象可以通过抽屉原理来很好地解释。

3. 概率论在概率论中，抽屉原理可以用来解决一些排列组合的问题。

例如，如果有n+1个物品要放到n个抽屉中，那么必然有一个抽屉中至少有两个物品。

这对于解决某些赌博游戏中的概率问题很有帮助。

4. 逻辑学在逻辑学中，抽屉原理可以用来解释一些谬误和伪命题。

例如，当有大于两个的命题时，就一定会出现至少两个命题具有相同的逻辑值。

三、抽屉原理的证明1. 直接证明法抽屉原理最简单的证明方法是使用直接证明法。

假设放置的物品数大于抽屉的数量，通过逻辑推理可以得出至少有一个抽屉至少有两个物品。

第一抽屉原理原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。

[证明](反证法)：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能。

原理2 把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。

[证明](反证法)：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn 个物体,与题设不符，故不可能。

第二抽屉原理把(mn－1)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体。

[证明](反证法)：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。

抽屉原理，又叫狄利克雷原则，它是一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决各种有趣的问题，并且常常能够得到令人惊奇的结果，许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，利用它能很容易得到解决．那么，什么是抽屉原理呢？我们先从一个最简单的例子谈起．将三个苹果放到两只抽屉里，想一想，可能会有什么样的结果呢？要么在一只抽屉里放两个苹果，而另一只抽屉里放一个苹果；要么一只抽屉里放有三个苹果，而另一只抽屉里不放．这两种情况可用一句话概括：一定有一只抽屉里放入了两个或两个以上的苹果．虽然哪只抽屉里放入至少两个苹果我们无法断定，但这是无关紧要的，重要的是有这样一只抽屉放入了两个或两个以上的苹果．如果我们将上面问题做一下变动，例如不是将三个苹果放入两只抽屉里，而是将八个苹果放到七只抽屉里，我们不难发现，这八个苹果无论以怎样的方式放入抽屉，仍然一定会有一只抽屉里至少有两个苹果。

通过上面的分析，我们可以将上面问题中包含的基本原理写成下面的一般形式．抽屉原理（一）：把多于几个的元素按任一确定的方式分成几个集合，那么一定至少有一个集合中，至少含有两个元素．应用抽屉原理来解题，首先要审题，即分清什么作为“元素”，什么作为“抽屉”；其次要根据题目的条件和结论，结合有关的数学知识，来设计抽屉，在应用抽屉原理解题时，正确地设计抽屉是解题的关键．例1 有红、黄、绿三种颜色的小球各四颗混放在一只盒子里，为了保证一次能取到两颗颜色相同的小球，一次至少要取几颗？A、3B、4C、5D、6分析：将三种不同的颜色看作三个抽屉，为了保证一次能取到两颗颜色相同的小球，即要求至少有两颗小球出自同一抽屉，因此一次至少要取4颗小球．例2 某班有30名学生，班里建立一个小书库，同学们可以任意借阅，问小书库中至少要有多少本书，才能保证至少有一个同学一次能至少借到两本书？A、28B、29C、30D、31分析：将30名同学看作30个“抽屉”，而将书看作“苹果”，根据抽屉原理，“苹果”数目要比“抽屉”数目大，才能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的“苹果”，因此，小书库中至少要有31本书，才能保证至少有一位同学一次能借到两本或两本以上的图书。

抽屉原理知识要点抽屉原理是众人皆知的一个原理：把多于N个的苹果放进N个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或以上的苹果。

也可以说：把M个东西任意放进N个抽屉里（M＞N），那么一定有一个抽屉里放进了两个东西。

抽屉原理解题的一般步骤：①确定将什么看成“苹果”，这是应用抽屉原理的前提；②确定将什么看成“抽屉”，这是应用抽屉原理的关键；③只要东西多，抽屉少，由抽屉原理就可得到有关结论。

当然，还要学会“创造”抽屉，有的问题中，抽屉比较明显，有的则很隐蔽。

在“制造”抽屉时，要做到因题而异，灵活掌握，这是应用抽屉原理解题的难点与关键所在。

典例解析及同步练习典例1 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋的口袋中随意摸出3枚棋子。

证明：这5人中至少有两个摸出的棋子的颜色的配组是一样的。

解析：该题的“苹果”不是围棋子，而是持有3枚棋子的5个小朋友。

“抽屉”为小朋友所持棋子颜色配组：3黑、2黑1白、1黑2白、3白共四组。

由于“苹果”多，“抽屉”少，所以，将这5个小朋友按其所持颜色棋子的颜色配组放入相应的“抽屉”后，根据抽屉原理，必有一个抽屉中至少放有两个苹果，即必有两个小朋友，他们所持棋子颜色配组是相同的。

举一反三训练1、五年级一班第一组共有13名同学，是否会有两个人是同一个月出生的？2、19枝铅笔放入4个铅笔盒里，说明为什么至少有一个铅笔盒里要放入5枝或5枝以上？3、把400本书随意分给若干同学，但每人不得超过11本，至少有多少个同学得到的书的本数相同？典例2 学校买来红、黄、蓝三种颜色的球。

规定每位学生最多可以借两个不同颜色的球，那么，至少有几个学生借球，就可以保证必有两位学生借的球颜色完全一致？解析：由于学生最多可以借两个不同颜色的球，所以有六种情况：红红、黄黄、蓝蓝、红黄、红蓝、黄蓝。

即将这六种颜色配组看成抽屉，将持有球的学生看成苹果。

为了保证必有两位学生借的球的颜色完全一致，必须苹果多，抽屉少。

于是，至少应用7位同学借球，才能保证必有两位同学借的球的颜色完全一致。

抽屉原理一、知识要点抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此，也称为狭利克雷原理。

把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。

这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。

用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。

原理1：把n+1个元素分成n类，不管怎么分，则一定有一类中有2个或2个以上的元素。

原理2：把m个元素任意放入n（n＜m＝个集合，则一定有一个集合呈至少要有k个元素。

其中 k＝（当n能整除m时）〔〕＋1 （当n不能整除m时）（〔〕表示不大于的最大整数，即的整数部分）原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。

二、应用抽屉原理解题的步骤第一步：分析题意。

分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“东西”，什么可作“抽屉”。

第二步：制造抽屉。

这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。

根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。

第三步：运用抽屉原理。

观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。

例1、教室里有5名学生正在做作业，今天只有数学、英语、语文、地理四科作业求证：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业。

证明：将5名学生看作5个苹果将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共4个抽屉由抽屉原理1，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有2个苹果。

即至少有两名学生在做同一科的作业。

例2、木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？解：把3种颜色看作3个抽屉若要符合题意，则小球的数目必须大于3大于3的最小数字是4故至少取出4个小球才能符合要求答：最少要取出4个球。

例3、班上有50名学生，将书分给大家，至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。

第10讲 抽屉原理抽屉原理又叫鸽笼原理、狄里克雷( P. G. Dirchlet,1805～1895,德国)原理、重叠原理、鞋盒原理. 这一最简单的思维方式在解题过程中却可以演变出很多奇妙的变化和颇具匠心的运用. 抽屉原理常常结合几何、整除、数列和染色等问题出现,抽屉原理I ：把1+n 件东西任意放入n 只抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两件东西。

抽屉原理II ：把m件东西放入n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里至少有⎥⎦⎤⎢⎣⎡n m 件东西。

抽屉原理III ：如果有无穷件东西，把它们放在有限多个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含无穷件东西。

应用抽屉原理解题，关键在于构造抽屉。

构造抽屉的常见方法有：图形分割、区间划分、整数分类（剩余类分类、表达式分类等）、坐标分类、染色分类等等，下面举例说明。

A 类例题例1 如图，分别标有1到8的两组滚珠均匀放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标数字都不相同，当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对．分析 转动一周形成7个内外两环两对数字相同的时刻，以此构造抽屉。

证明 内外两个圆环转动可把一个看成是相对静止的，只有一个外环在转动．当外环转动一周后，每个滚珠都会有一次内环上标有相同数字的滚珠相对的时刻，这样的时刻将出现8次．但一开始没有标有相同数字的滚珠相对，所以外环转动一周的过程中最多出现7个时刻内外标有相同数字的滚珠相对，故必有一个时刻内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对．说明 转动一周内外两环两对的8个时刻排除显然不合题意的初始时刻是本题的突破口。

例2 7月份的天热得人都不想工作，只想呆在有空调的房间里．可小张却没有办法休假，因为他是一个空调修理工，为了让更多人好好休息，他只能放弃自己的休息．在过去的7月份里，小张每天至少修理了一台空调．由于技术过硬，每一台空调都能在当天修理好．8月1日结算的时候，大家发现小张在7月份一共修理了56台空调．求证：存在连续的若干天（也可以是1天），在这些天里，小张恰好修理了5台空调． 分析 本题的难点在于将题中结论转化为抽屉原理的数学模型。

一、抽屉原理简介抽屉原理又称鸽巢原理，“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“狄里克雷原理”原理1：把m个物体任意分放进n个空抽屉里（m＞n，n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。

原理2：把多于个kn物体任意分放进n个空抽屉里（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体。

原理3：无穷多个元素分成n个集合，则至少有一个集合中含有无穷多个元素。

在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明是通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。

现行的小学课本中只编排了抽屉原理1、2的教学。

二、运用抽屉原理解题的步骤第一步：分析题意。

分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“要分的物体”，什么可作“抽屉”。

第二步：制造抽屉。

这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。

根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。

第三步：运用原理。

观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。

三、理解抽屉原理要注意几点（1）抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系，要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多，至于多多少，这倒无妨。

（2）“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有些抽屉可以是空的，也不限制每个抽屉放物品的个数。

（3）抽屉原理只能用来解决存在性问题，“至少有一个”的意思就是存在，满足要求的抽屉可能有多个，但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。

（4）将a件物品放入n个抽屉中，如果a÷n= m……b，其中b是自然数，那么由抽屉原理2就可得到，至少有一个抽屉中的物品数不少于（m+1）件。

四、教学建议1．应让学生初步经历“数学证明”的过程。

抽屉原理大家知道，两个抽屉要放置三只苹果，那么一定有两只苹果放在同一个抽屉里，更一般地说，只要被放置的苹果数比抽屉数目大，就一定会有两只或更多只的苹果放进同一个抽屉，可不要小看这个简单事实，它包含着一个重要而又十分基本的原则——抽屉原则.1．抽屉原则有几种最常见的形式原则1如果把n+k(k≥1)个物体放进n只抽屉里，则至少有一只抽屉要放进两个或更多个物体。

原则本身十分浅显，为了加深对它的理解，我们还是使用反证法给予证明；如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能.原则虽简单.巧妙地使用原则却可十分便利地解决一些看上去相当复杂、甚至感到无从下手的总是，比如说，我们能够断言在我国至少有两个人出生的时间相差不超过4秒钟，这是个惊人的结论，该是经过很多人的艰苦劳动，统计所得的吧！不，只须我们稍动手算一下：不妨假设人的寿命不超过4万天（约110岁，超过这个年龄数的人为数甚少），则，10亿人口安排在8亿6千4百万个“抽屉”里，根据原则1，即知结论成立.下面我们再举一个例子：例1幼儿园买来了很多白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.【解析】从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。

把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原则1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同.原则2如果把mn+k(k≥1)个物体放进n个抽屉，则至少有一个抽屉至多放进m+1个物体.证明同原则相仿.若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能.原则1可看作原则2的物例（m=1）例2正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体一定有三个面颜色相同. 【解析】证明把两种颜色当作两个抽屉，把正方体六个面当作物体，那么6=2×2+2，根据原则二，至少有三个面涂上相同的颜色.例3把1到10的自然数摆成一个圆圈，证明一定存有在个相邻的数，它们的和数大于17.【解析】如图所示，设分别代表不超过10的十个自然数，它们围成一个圈，三个相邻的数的组成是，，,共十组.现把它们看作十个抽屉，每a10a9a8a7a6a5a4a3a2a1个抽屉的物体数是，，,，，因为根据原则2,至少有一个括号内的三数和很多于17,即至少有三个相邻的数的和不小于17.原则1、原则2可归结到期更一般形式：原则3把个物体放入n个抽屉里，那么或在第一个抽屉里至少放入个物体，或在第二个抽屉里至少放入个物体，……，或在第n个抽屉里至少放入1个物体.【解析】假定第一个抽屉放入物体的数不超过个，第二个抽屉放入物体的数不超过个，……，第n个抽屉放入物体的个数不超过，那么放入所有抽屉的物体总数不超过个，与题设矛盾.例4 有红袜2双，白袜3双，黑袜4双，黄袜5双，蓝袜6双（每双袜子包装在一起）若取出9双，证明其中必有黑袜或黄袜2双.【解析】除可能取出红袜、白袜3双外.还至少从其它三种颜色的袜子里取出4双，根据原理3，必在黑袜或黄袜、蓝袜里取2双.上面数例论证的似乎都是“存有”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用.需要说明的是，使用抽屉原则仅仅肯定了“存有”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存有多少.2．制造抽屉是使用原则的一大关键首先要指出的是，对于同一问题，常可依据情况，从不同角度设计抽屉，从而导致不同的制造抽屉的方式.例5在边长为1的正方形内，任意给定13个点，试证：其中必有4个点，以此4点为顶点的四边开面积不超过（假定四点在一直线上构成面积为零的四边形）.【解析】如图(1)所示,把正方形分成四个相同的小正方形.因13=3×4+1，根据原则2，总有4点落在同一个小正方形内（或边界上），以此4点为顶点的四边形的面积不超过小正方形的面积，也就不超过整个正方形面积的.事实上，因为解决问题的核心在于将正方形分割成四个面积相等的部分，所以还能够把正方形按图(2)所示的形式分割.合理地制造抽屉必须建立在充分考虑问题自身特点的基础上.例6 在一条笔直的马路旁种树，从起点起，每隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树之间的距离是偶数（以米为单位），这是为什么？【解析】如图所示（设挂牌的三棵树依次为A 、B 、C.AB=a ，BC=b ，若a 、b 中有一为偶数，命题得证.否则a 、b 均为奇数，则AC=a+b 为偶数，命题得证.下面我们换一个角度考虑：给每棵树上编上号，于是两棵树之间的距离就是号码差，因为树的号码只能为奇数和偶数两类，那么挂牌的三棵树号码至少有两个同为奇数或偶数，它们的差必为偶数，问题得证.后一证明十分巧妙，通过编号码，将两树间距离转化为号码差.这种转化的思想方法是一种非常重要的数学方法 例7 从自然数1，2，3，…99，100这100个数中随意取出51个数来，求证：其中一定有两个数，，它们中的一个是另一个的倍数.图（2）图（1）b a C【解析】分析设法制造抽屉：（1）不超过50个；（2）每个抽屉的里的数（除仅有的一个外），其中一个数是另一个数的倍数，一个自然数的想法是从数的质因数表示形式入手.解设第一个抽屉里放进数：；第二个抽屉时放进数：；第三个抽屉里放进数：；………………第二十五个抽屉里放进数：；第二十六个抽屉里放进数：.………………第五十个抽屉里放进数：.那么随意取出51个数中，必有两个数同属一个抽屉，其中一个数是另一个数的倍数.制造抽屉并非总是一帆风顺的，有时要边制造边调整、改进.例8 任意给定7个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是10的倍数.【解析】分析注意到这些数队以10的余数即个位数字，以0，1，…，9为标准制造10个抽屉，标以[0]，[1]，…，[9].若有两数落入同一抽屉，其差是10的倍数，仅仅仅有7个自然数，似不便使用抽屉原则，再作调整：[6]，[7]，[8]，[9]四个抽屉分别与[4]，[3]，[2]，[1]合并，则可保证至少有一个抽屉里有两个数，它们的和或差是10的倍数.3．较复杂的问题须反复地使用抽屉原则，将复杂问题转化为简单问题.例9以（x，y，z）表示三元有序整数组，其中x、y、z为整数，试证：在任意七个三元整数组中，至少有两个三元数组，它们的x、y、z元中有两对都是奇数或都是偶数.【解析】设七个三元素组为、、…、.现在逐步探索，从x元开始，由抽屉原则，，，…，这七个数中，必定有四个数具有相同的奇偶性，不妨设这四个数是，且为偶数，接着集中考虑这四组数的y元，若比如，中有两个是偶数，则问题已证，否则至多有一个是偶数，比如是偶数，这时我们再来集中考虑3的z元.在中，由抽屉原则必有两个数具有相同的奇偶性，如，这时无论它们是奇数，还是偶数，问题都已得到证明.下面介绍一个著名问题.例10任选6人，试证其中必有3人，他们互相理解或都不理解.【解析】用A、B、C、D、E、F表示这6个人，首先以A为中心考虑，他与另外五个人B、C、D、E、F只有两种可能的关系：理解或不理解，那么由抽屉原则，他必定与其中某三人理解或不理解，现不妨设A理解B、C、D三人，当B、C、D三人都互不理解时，问题得证；当B、C、D三人中有两人理解，如B、C理解时，则A、B、C互相理解，问题也得证.本例和上例都采用了舍去保留、化繁为简、逐步缩小考虑范围的方法.例11为四个任意给定的整数，求证：以下六个差数的乘积一定能够被12整除.【解析】把这6个差数的乘积记为p，我们必须且只须证明：3与4都能够整除p，以下分两步实行.第一步，把a，b，c，d按以3为除数的余数来分类，这样的类只有三个，故知a，b，c，d中至少有2个除以3的余数相同，例如，不妨设为a，b，这时3可整除b-a，从而3可整除p.第二步，再把a，b，c，d按以4为除数的余数来分类，这种类至多只有四个，如果a，b，c，d中有二数除以4的余数相同，那么与第一步类似，我们立即可作出4可整除p的结论.设a，b，c，d四数除以4的余数不同，由此推知，a，b，c，d之中必有二个奇数（不妨设为a，b），也必有二个偶数（设为c，d），这时b-a为偶数，d-c也是偶数，故4可整除(b-a)(d-c)，自然也可得出4可整除p.如果能进一步灵活使用原则，不但制造抽屉，还根据问题的特征，制造出放进抽屉的物体，则更可收到意想不到的效果.例12求证：从任意n个自然数a1，a2，…，a n中能够找到若干个数，使它们的和是n的倍数.【解析】分析以0，1，…，n-1即被n除的余数分类制造抽屉的合理的，但把什么样的数作为抽屉里的物体呢？扣住“和”，构造下列和数：，其中任意两个和数之差仍为和数，若他们之中有一是n的倍数，问题得证，否则至少有两个数被n除余数相同，则它们的差即它们中若干数（包括1个）的和是n的倍数，问题同样得证.例子13910瓶红、蓝墨水，排成130行，每行7瓶，证明：不论怎样排列，红蓝墨水瓶的颜色次序必定出现下述两种情况之一种：（1）至少有三行完全相同；（2）至少有两组（四行）每组的两行完全相同.【解析】910瓶红、蓝墨水排成130行，每行7瓶，对一行来说，每个位置上有红蓝两种可能，所以，一行的红、蓝墨水排法有27=128种，对每一种不同排法设为一种“行式”，共有128种行式.现有130行，在其中任取129行，依抽屉原则知，必有两行A、B行式相同.除A、B外余下128行，若有一行P与A行式相同，知满足（1）至少有三行A、B、P完全相同，若在这128行中设直一行5A行或相同，那么这128行至多有127种行式，依抽屉原则，必有两行C、D具有相同行式，这样便找到了（A、B），（C、D）两组（四行），且两组两行完全相同.。

抽屉原理在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；“某校400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”；“2003个人任意分成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11”。

这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”。

在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。

这类问题相对来说涉及到的运算较少，依据的理论也不复杂，我们把这些理论称之为“抽屉原理”。

（一）抽屉原理的常见形式定理1：如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。

证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素，从而n个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。

在定理1的叙述中，可以把“元素”改为“物件”，把“集合”改成“抽屉”，抽屉原理正是由此得名。

定理2：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。

证明：（反证法）若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能定理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。

.定理4：把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。

证明：（反证法）若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，（二）抽屉原理研究的几类问题分析：（1）整除问题：例1：对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除.证明∵任何数除以3所得余数只能是0，1，2，不妨分别构造为3个抽屉：[0]，[1]，[2]①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中(即抽屉中分别为含有余数为0,1,2的数)，我们从这三个抽屉中各取1个(如1~5中取3,4,5)，其和(3 +4+5=12)必能被3整除.②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中，则其中必有一个抽屉，包含有3个余数（抽屉原理），而这三个余数之和或为0，或为3，或为6，故所对应的3个自然数之和是3的倍数.③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中，很显然，必有3个自然数之和能被3整除.例1′：对于任意的11个整数，证明其中一定有6个数，它们的和能被6整除.证明：设这11个整数为：a1，a2，a3……a11 又6=2×3①先考虑被3整除的情形由例2知，在11个任意整数中，必存在：3|a1+a2+a3，不妨设a1+a2+a3=b1；同理，剩下的8个任意整数中，由例2，必存在：3 | a4+a5+a6.设a4+a5+a6=b 2；同理，其余的5个任意整数中，有：3|a7+a8+a9，设：a7+a8+a9=b3②再考虑b1、b2、b3被2整除.依据抽屉原理，b1、b2、b3这三个整数中，至少有两个是同奇或同偶，这两个同奇（或同偶）的整数之和必为偶数.不妨设2|b1+b2则：6|b1+b2，即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6∴任意11个整数，其中必有6个数的和是6的倍数.（2）面积问题：例1：九条直线中的每一条直线都将正方形分成面积比为2:3的梯形证明：这九条直线中至少有三条经过同一点.证明：如图，设直线EF将正方形分成两个梯形，作中位线MN。