2021-2022学年安徽省合肥市、高一下学期期末联考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}04M x x =<<153N x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭M N ⋃=A ．B ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭153x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C ．D ．{}04x x <<{}05x x <≤D【分析】根据并集的概念直接计算即可.【详解】由题可知：，{}04M x x =<<153N x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭所以{}05M N x x ⋃=<≤故选：D2．设，则（ ）1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 22πα⎛⎫-=⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．13-1379-79C【分析】利用两角和的正弦公式化简，得出1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos αα+=方求出，最后由诱导公式得出答案.7sin 29α=-【详解】由题知：1sin sin cos cos sin cos )4443πππααααα⎛⎫+=+=+=⎪⎝⎭所以sin cos αα+=即，所以22(sin cos )1sin 29ααα+=+=7sin 29α=-7cos 2sin 229παα⎛⎫-==-⎪⎝⎭故选：C本题主要考查了三角函数的化简求值，涉及了两角和的正弦公式，倍角公式，诱导公式的应用，属于中档题.3．若直角坐标系内A ，B 两点满足：（1）点A ，B 都在图象上；（2）点A ，B()f x 关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”，与可()A B ，()f x ()A B ，()B A ，看作一个“和谐点对”.已知函数则的“和谐点对”有（ ）22(0)()2(0)x x x x f x x e ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩()f x A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B问题转化为关于原点对称的函数与在交点的个数，先0,()x f x ≥2()2f x x x =+(,0)-∞求出关于原点对称的函数，利用导数方法求出在0,()x f x ≥()g x 2()2g x x x =+解的个数，即可得出结论.(,0)-∞【详解】设是关于原点对称函数图象上的点，(,)(0)P x y x ≤()(0)y f x x =≥则点P 关于原点的对称点为在上，()P x y '--，()(0)y f x x =≥，设，2,2xx y y e e --==-()2(0)x g x e x =-≤“和谐点对”的个数即为与在交点的个数，()g x ()f x (,0)-∞于是，化为，222x e x x -=+2220(0)x e x x x ++=<令，下面证明方程有两解，2()22(0)x x e x x x ϕ=++<()0x ϕ=由于，所以，解得，20x e >220x x +<20x -<<∴只要考虑即可，(20)x ∈-，，在区间上单调递增，()222x x e x ϕ'=++()x ϕ'(20)-，而，，2(2)2420e ϕ-'-=-+<1(1)20e ϕ-'-=>∴存在使得，0(2,1)x ∈--0()0x ϕ'=当单调递减，0(2,),()0,()x x x x ϕϕ∈-'<单调递增，0(,0),()0,()x x x x ϕϕ∈'>而，，，2(2)20e ϕ--=>10()(1)210x e ϕϕ-<-=-<(0)20ϕ=>∴函数在区间，分别各有一个零点，()ϕx (21)--，(1,0)-即的“和谐点对”有2个.()f x本题考查函数的新定义，等价转化为函数图象的交点，利用函数导数研究单调性，结合零点存在性定理是解题的关键，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.4．如图，在半径为3的中，AB 是直径，AC 是弦，D 是的中点， AC 与BD O AC交于点若E 是BD 的中点，则AC 的长是（ ）.EA B ．C ．D ．D【分析】连接交于点，先证明，可得，再由OD AC M BCE DEM ≅ BC DM =，可得，最后利用勾股定理可得解.132DM OM BC BC +=+=2BC =【详解】连接交于点，OD AC M 因为D 是的中点，所以为的中点，所以，AC M AC OD AC ⊥又因为，所以.BC AC ⊥//OD BC 因为E 是BD 的中点，所以，结合，可得，BE DE =BEC DEM ∠=∠BCE DEM ≅ 所以，BC DM =则，解得，132DM OM BC BC +=+=2BC =所以.AC ===本题主要考查了圆的几何性质，属于中档题5．已知函数，若存在，，，满足，且()sin f x x =1x 2x ⋯m x 1206m x x x π<<⋯< ，，则的最小值为12231|()()||()()||()()|12(2m m f x f x f x f x f x f x m --+-+⋯+-= *)m N ∈m （ ）A ．6B ．7C ．8D ．9C【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意，，，2，3，，，都有i x (j x i 1j =⋯)m ，要使取得最小值，尽可能多让，2，3，，|()()|()()2i j max min f x f x f x f x --= m (1i x i =⋯取得最高点，然后作图可得满足条件的最小值．)m m 【详解】解：对任意，，，2，3，，，sin y x = i x (j x i1j =⋯)m 都有，|()()|()()2i j max min f x f x f x f x --= 要使取得最小值，尽可能多让，2，3，，取得最高点，m (1i x i =⋯)m 考虑，，1206m x x x π<<⋯< 12231|()()||()()||()()|12m m f x f x f x f x f x f x --+-+⋯+-=按下图取值即可满足条件，的最小值为8．m ∴故选：．C 6．八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形，中间阴影部分是正方形且边长为2，其中动点P 在圆上，定点A 、B 所在位置如图所示，则最大值为（ ）O AB OP ×A ．9B ．10C ．D ．C【分析】由题意可得，，设||OA =||OB =||AB =cos AOB ∠=的夹角为，的夹角为，则=-,分在,OA OP α,OB OP βAB OP ×β10cos αP 所对的优弧上和在所对的劣弧上两种情况计算即可得答案.AOB ∠P AOB ∠【详解】解：如图所示：连接，,OA OB因为中间阴影部分是正方形且边长为2，所以可得，||OA =||OB =||AB =所以||||OP OA ==在中由余弦定理可得，AOB cos AOB ∠=所以sin AOB ∠=设的夹角为，的夹角为，,OA OP α,OB OP β= =-,AB OP × ()OB OA OP OB OP OA OP -=-β10cos α当在所对的优弧上时，，P AOB ∠2πAOB αβ+=-∠所以cos()cos AOB αβ+=∠=sin()sin AOB αβ+=-∠==,cos cos[()]ααββ=+-ββ所以=-＝＝ ,（其中AB OP ×β10cos αββ+)βϕ+）tan 3ϕ=所以最大值为；AB OP × 当在所对的劣弧上时，，P AOB ∠AOB αβ+=∠所以cos()cos AOB αβ+=∠=sin()sin AOB αβ+=∠==,cos cos[()]ααββ=+-ββ所以=-＝＝ ,（其中AB OP ×β10cos αββ-)βϕ+）tan 3ϕ=-所以最大值为；AB OP ×综上所述：最大值为.AB OP ×故选：C.7．在锐角中，已知，则下列正确的结论为（ ）ABC ()cos sin cos sin A B B C +=A ．B ．C ．D ．4A π=3B π=A B=4B π=A【分析】利用两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可求出角tan A A 的值，即可得出结论.A 【详解】因为，()()()cos sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B B C A B A B A B A B π+==-+=+=+⎡⎤⎣⎦所以，，cos cos sin cos A B A B =因为为锐角，则，则，故，B cos 0B >sin cos A A =tan 1A =因为为锐角，故.A 4A π=故选：A.8．给出下列命题．①若，则；②若，则；③若0a b c <<，-2-2ac bc <a b >2211ab <，则；.其中正确的是0a b c >>>b ca b a c >--A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③B【分析】逐个选项推导，对①③可直接推理，若能逆推成立则原命题为真，反之②则可举反例证明原不等式错误．【详解】对于①由知，故①正确；对于②，不妨设．则0c <20c >1,2a b ==-，故②错误；2211a b >对于③，因为．所以．0a b c >>>110,0a c a b a b a c ->->>>--又，所以，故③正确．0b c >>b ca b a c >--判断不等式是否正确的问题，可带入特殊值取反例判断，也可以直接根据不等式等量逆推，若能推导出正确的表达式则原表达式成立，反之则不成立．9．已知函数，则使成立的的取值范围是（ ）211()1||x f x e x +=-+(2)(1)f x f x >+x A ．B ．1,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭(1,)-+∞C ．D ．1(,1),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭1,13⎛⎫⎪⎝⎭A 根据是偶函数，且当时是单调增函数，利用函数的性质即可求得不等式.()f x 0x >【详解】因为，且其定义域为，故是偶函数；()()2111x f x f x e x+-==-+R ()f x 又当时，是单调增函数，则时，是单调减函数.0x >()211x x f x e x +=-+x 0<()f x 故等价于，(2)(1)f x f x >+21x x >+整理得，解得.()()3110x x +->()1,1,3x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭故选：A.本题考查利用函数性质求解不等式，属综合中档题；本题的难点在于要有意识去判断函数的性质.10．已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ）A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．c <a <bA【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大a b ()0,1c ∈a b 小关系，由，得，结合可得出，由，得，8log 5b =85b=5458<45b <13log 8c =138c =结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.45138<45c >a b c 【详解】由题意可知、、，a b ()0,1c ∈，；()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b ∴<由，得，由，得，，可得；8log 5b =85b=5458<5488b <54b ∴<45b <由，得，由，得，，可得.13log 8c =138c=45138<451313c<54c ∴>45c >综上所述，.a b c <<故选：A.本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.11．已知函数与图象上存在关于轴对称的()()210x f x x e x =+-<()()2g =lnx x x a ++y 点，则的取值范围是（ ）a A ．B．C ．D ．(,1]-∞(-∞(),1-∞C关于轴对称的函数为：，函数()()210x f x x e x =+-<y 2()1(0)xf x x e x --=+->与图像上存在关于轴对称的点，即()()210x f x x e x =+-<()()2ln g x x x a =++y 有解，通过数形结合即可得解.()()f x g x -=【详解】关于轴对称的函数为：，()()210x f x x e x =+-<y 2()1(0)xf x x e x --=+->函数与图像上存在关于轴对称的点，()()210x f x x e x =+-<()()2ln g x x x a =++y 即有解，即有解，()()f x g x -=221=ln()x x e x x a -+-++整理得：，1ln()xe x a --=+转化为和的图像存在交点，如图：1xy e -=-ln()y x a =+临界值在处取到（虚取），此时，0x =1a =故当时和的图像存在交点，1a <1xy e -=-ln()y x a =+故选：C.方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解12．已知，满足，则的最小值为（ ）0x >0y >22280x y xy y x +--=2y x +A ．B ．4C ．D C由题意可得，结合目标式即可构造出，进而利182y x x y +=+218(2)(2)()y x y x x y +=++用基本不等式求的最小值2y x +【详解】由知：，而，22280x y xy y x +--=(2)8xy x y y x +=+0x >0y >∴，则182y x x y +=+21816(2)(2)(101018y x y x y x x y x y +=++=++≥+=∴2y x +≥故选：C本题考查了利用基本不等式求最值，由已知方程得到目标式的等价形式，应用等价代换构造出基本不等式的形式求最值二、填空题13．设区间的长度为，当函数的定义域为时，值域为[]()1221,x x x x >21x x -2x y =[,]a b ，则区间的长度的最大值与最小值的和为____________．[1,2][,]a b 2【分析】根据函数的单调性，可求出其值域，再结合其值域为，可确定，2xy =[1,2],a b 从而可求出区间的长度的最大值与最小值.[,]a b 【详解】因为函数的定义域为，而函数在上是单调增函数；2x y =[,]a b 2x y =[,]a b 所以函数的值域为，由已知函数的值域为，2x y =[2,2]a b 2xy =[1,2]所以，解得，所以函数的定义域为，2122a b ⎧=⎨=⎩01a b =⎧⎨=⎩()f x [0,1]所以区间的长度的最大值和最小值均为，[0,1]1所以区间的长度的最大值与最小值的和为.[0,1]2故2方法点睛：破解新型定义题的方法是：紧扣新定义的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利解决.14．定义在上的函数满足，对任意的(1,1)-()f x ()()()1f x g x g x =--+，恒有，则关于x 的不等式1212,(1,1),x x x x ∈-≠()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦的解集为________(21)()2f x f x ++>1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】设，由已知不等式得函数是增函数，即得()()1()()h x f x g x g x =-=--()f x是增函数，又由函数表达式得函数为奇函数，不等式转化为的函数不等式，()h x ()h x 利用奇偶性变形，再由单调性可解．【详解】设，()()1()()h x f x g x g x =-=--因为对任意的，恒有，1212,(1,1),x x x x ∈-≠()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦所以函数在上为增函数，则在上为增函数，()f x (1,1)-()h x (1,1)-又，而，所以，()()()h x g x g x -=--()()()h x g x g x =--()()0h x h x +-=所以为奇函数，综上，为奇函数，且在上为增函数，()h x ()h x (1,1)-所以不等式等价于，(21)()2f x f x ++>(21)1()10f x f x +-+->即，亦即，(21)()0h x h x ++>(21)()()h x h x h x +>-=-可得，解得．1211,11,21,x x x x -<+<⎧⎪-<<⎨⎪+>-⎩13x -<<故．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭15．若两个正实数x ，y恒成立，则实1=26m m >-数m 的取值范围是________..(2,8)-的不等式，解不+m 等式即可.【详解】解：1=44=++=816≥+=当且仅当，即且时取等号.16x y =4y =64x =恒成立，则解得即26m m>-2166m m >-28m -<<()2,8m ∈-故()2,8-本题考查基本不等式的应用，以及不等式恒成立的问题，属于中档题.16．如图，在等边三角形ABC 中， AB =6.动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f (x )，给出下列三个结论：①函数f (x )的最大值为12；②函数f (x )的图象的对称轴方程为x =9；③关于x 的方程最多有5个实数根.()3f x kx =+其中，所有正确结论的序号是____.①②写出分别在上运动时的函数解析式，利用分段函数图象可解.P ,,AB BC CA 2()f x OP=【详解】分别在上运动时的函数解析式，P AB 22()3(3),(06)f x OP x x ==+-≤≤分别在上运动时的函数解析式，P BC 22()3(9),(612)f x OP x x ==+-≤≤分别在上运动时的函数解析式，P CA 22()3(15),(1218)f x OP x x ==+-≤≤，22223(3),(06)()||3(9),(612)3(15),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩由图象可得，方程最多有个实数根()3f x kx =+6故正确的是①②.故①②利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.三、解答题17．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.()f x R 0x ≥()22f x x x=-（1）求及的值；()0f ()()1f f （2）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围.x ()0f x m -=m （1），；（2）()00f =()()11f f =-()1,0-（1）根据函数的解析式，以及函数的对称性，即可求解；（2）由已知只需时，有两个解的即可.0x >()f x m=【详解】（1）是定义在上的偶函数，()f x R 且当时，，0x ≥()22f x x x =-；()()1(1)(1)1(0)0,f f f f f ==-==-（2）函数是定义在上的偶函数，()f x R 关于的方程有四个不同的实数解，x ()0f x m -=只需时，有两个解，0x >()f x m=当时，，0x ≥()222(1)1f x x x x =-=--所以10m -<<本题考查函数奇偶性的应用，以及由方程根的个数求参数，熟练掌握二次函数图像与性质是解题的关键，属于基础题.18．在中，角、、所对的边为、、．已知，ABC A B C a b c 2224cos c a b bc C =+-且．2A C π-=(1)求的值；cos C (2)求的值.cos 3B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】（1）由余弦定理和正弦定理可得出关于、的方程组，结合sin C cos C 可求得的值；sin 0C >cos C （2）利用诱导公式以及二倍角公式可求得、的值，再利用两角和的余弦公cos B sin B 式可求得结果.【详解】(1)解：由余弦定理得，所以，222222cos 4cos c a b ab C a b bc C =+-=+-，2a c =由正弦定理可得，且，则，sin 2sin A C =()0,C π∈sin 0C >因为，则，2A C π-=sin sin cos 2A C Cπ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以，，解得.22cos 2sin cos sin 1sin 0CCC C C =⎧⎪+=⎨⎪>⎩cos C =sin C =(2)解：因为，则为钝角，、为锐角，2A Cπ=+A B C ，()4cos cos cos 2sin 22sin cos 25B A C C C C C ππ⎛⎫=--=-===⎪⎝⎭，()23sin sin sin 2cos 22cos 125B A C C CC ππ⎛⎫=--=-==-=⎪⎝⎭因此，.413cos cos cos sin sin 333525B B B πππ⎛⎫+=-=⨯-=⎪⎝⎭19．在中，分别是角的对边，若ABC ,,a b c ,,A B C sin sin B C =2sin B A =（1）求的值；sin B（2）求的值．cos 26C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭（1）2）sin B=（1）由正弦定理，将已知等式中的角化为边，得到，再由余弦定理和同,b c a ==角间的三角函数关系，即可求解；（2）由（1）中结论可得，进而得出，利用两角和的余弦公sin ,cos C C sin 2,cos 2C C 式，即可求出结论.【详解】法一：根据正弦定理，2sin sin sin a b cR A B C ===由得，sin sin 2sin B C B A =⎧⎪=2b ca =⎧⎪=即，,c b a ==所以222cos 2a c b B ac +-===因为，所以(0,)B π∈sin B ==法二：根据正弦定理，2sin sin sin a b cR A B C ===由得，故sin sin B C =b c =B C =所以，2A B π=-2sin B A =，2sin(2)B B π=-4sin cosB B B =因为，所以，故(0,)B π∈sin 0B≠cos B =所以sin B ==（2）因为sin sinB C ==cos cos B C ==所以sin 22sin cos 2C C C ===225cos22cos 1218C C =-=⨯-=-所以cos 2cos 2cos sin 2sin666C C C πππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭5182=-=本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换求值，考查计算求解能力，属于中档题.20．在平面直角坐标系中，角的始边为轴的正半轴，终边在第二象限与单位xOy θx 圆交于点，点的横坐标为.P P 35-(1)求的值；cos 3sin 3sin cos θθθθ+-(2)若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求的值.OP O 2πα22sin sin cos cos αααα--(1)35(2)1925-【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值，再利用同角三角tan α函数的基本关系，计算求得所给式子的值．（2）由题意利用诱导公式求得，再将化为3tan 4α=22sin sin cos cos αααα--，即可求得答案．22tan tan 1tan 1ααα--+【详解】(1)在单位圆上，且点在第二象限，的横坐标为，可求得纵坐标为P P P 35-，45所以，则．434sin ,cos ,tan 553θθθ==-=-cos 3sin 13tan 33sin cos 3tan 15θθθθθθ++==--(2)由题知，则，2παθ=+3sin()cos 5sin 2παθθ=+==-，则，24cos cos()sin 5παθθ=+=-=-sin 3tan cos 4ααα==故22222222sin sin cos cos tan 1sin sin cos cos sin cos tan tan 1ααααααααααααα------==++.2233()443()1241951--==-+21．比较下列各组数的大小：（1），；()32--()32.5--（2），；788--7819⎛⎫- ⎪⎝⎭（3），，.234.1233.8-()231.9-（1）；（2）；（3）.()()332 2.5---<-7788189-⎛⎫-<- ⎪⎝⎭()2223334.1 1.9 3.8->->（1）考虑幂函数在上的单调性进行比较；3y x -=(),0-¥（2）变换，考虑幂函数在上的单调性，进行比较；7788188-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭78y x =()0,+¥（3）根据幂函数的奇偶性和单调性即可比较23y x =【详解】解析（1）幂函数在上为减函数，且，3y x -=(),0-¥2 2.5->-.()()332 2.5--∴-<-（2）幂函数在上为增函数，且，，78y x =()0,+¥7788188-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1189>，77881189⎛⎫⎛⎫∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而，77881189⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.7788189-⎛⎫∴-<- ⎪⎝⎭（3）考虑幂函数在上为增函数，23y x =()0,+¥，()()()22223333231,34.1 1.9 1.91..98⎛⎫ ⎪=-⎭>⎝> .()2223334.1 1.9 3.8-∴>->此题考查根据幂函数的奇偶性和单调性进行指数幂的大小比较，关键在于建立合理的幂函数进行比较.22．设是定义域为的奇函数，是定义域为偶函数，并且()f x R ()ϕx R （且）()()2x f x x a ϕ+=0a >1)a ≠(1)求的函数解析式；()f x(2)若函数的图象过点，是否存在正数，使函数()f x 152,4⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)m m ≠在上的最大值为0，若存在，求出的值；若22()log ()x xm g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦[]21,log 3m 不存在，请说明理由．(1)()(01)x xf x a a a a -=->≠且(2)不存在，理由见解析【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义，用构造方程组即可求解函数的解析式；（2）根据的图象过点，求出，从而得到g (x) 的解析式，令，()f x 152,4⎛⎫⎪⎝⎭a 22x xt -=-则，38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦记,，对底数进行分类讨论，利用复合函数的单调性及二次函数的性2()2h t t mt =-+m 质即可求解.【详解】(1)是定义域为的奇函数，为偶函数,()f x R ()ϕx ，()()f x f x ∴-=-()()x x ϕϕ=-①()()2(01)x f x x a a a ϕ+=>≠且②()()()()2 x f x x f x x a ϕϕ-∴-+-=-+=由①②，可得.-()x xf x a a -=-所以的函数解析式为；()f x ()(01)x xf x a a a a -=->≠且(2)函数的图象过点，有，()f x 152,4⎛⎫⎪⎝⎭221154a a -=或（舍去），又且，故；24a ∴=214a =-0a >1a ≠2a =假设存在正数，且符合题意，m 1m ≠由得，2a =()22()log 2222x x x x m g x m --⎡⎤=+--⎣⎦设，则，22xxt -=-()()22222222x x x x m t mt -----+=-+，，，记，[]21,log 3x ∈ 2[2,3]x ∈38,23t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦2()2h t t mt =-+∵函数在上的最大值为0，()g x []21,log 3∴若时，则函数在有最小值为1，01m <<2()2h t t mt =-+38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦由于对称轴，，不合题意．122m t =<min 317313()12426h t h m m ⎛⎫∴==-=⇒= ⎪⎝⎭若时，则函数在上恒成立，且最大值为1，最小值大于1m >2()20h t t mt =-+>38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦0，①，()max1252512212736873241324m m m h t h m ⎧⎧<≤<≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩而此时又，7338,24823m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦min 73()048h t h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭故在无意义，所以应舍去；()g x []21,log 37324m =②无解，()max25252126313126m m m h t h m ⎧⎧>>⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪===⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩综上所述：故不存在正数，使函数在上的最大值为0．m ()g x []21,log 323．设，已知函数.[]0,4a ∈24(),1x af x x x -=∈+R （1）若是奇函数，求的值；()f x a （2）当时，证明：；0x >()22af x x a ≤-+（3）设，若实数满足，证明.12,x x ∈R m ()()212f x f x m ⋅=-1()(1)8f m a f --<（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.0a =（1）由于函数的定义域为，进而结合奇函数即可得；x ∈R ()()f x f x -=-0a =（2）采用作差比较大小，整理化简得；()222412(4)(1)01221x a a x a ax x x x -⎛⎫--+=-+- ⎪++⎝⎭≤（3）令，，进而得4t x a =-222416()1216x a ty t x t at a -==∈++++R，再分和()f x ≤≤22m -≤≤0m a -≤两种情况讨论，其中当时，结合（2）的结论得0m a ->0m a ->，等号不能同时成立.1()(1)(1)(1)228a a f m a f m a a --≤--≤-≤【详解】解：（1）由题意，对任意，都有，x ∈R ()()f x f x -=-即，亦即，因此；224()4()11x a x ax x ---=--++44x a x a --=-+0a =（2）证明：因为，，0x >04a ≤≤()222421422121a x a x a x x a a x a x x ⎛⎫---++ ⎪-⎛⎫⎝⎭--+= ⎪++⎝⎭()()()22212142121ax x x x x x ⎡⎤=--++-+⎣⎦+.()221(4)(1)021ax x x =-+-≤+所以，.()22af x x a ≤-+（3）设，则，4t x a =-222416()1216x a ty t x t at a -==∈++++R 当时，；0=t 0y =当时，；0t ≠216162y a t at =+++，，max ()0f x =>min ()0 f x =<()f x ≤≤由得，即.()()212f x f x m ⋅=-2max min ()()4 m f x f x -⋅=-≥22m -≤≤①当时，，，所以；0m a -≤()0f m a -≤4(1)02a f -=≥1()(1)8f m a f --<②当时，由（2）知，0m a ->，等号不能同时成4()(1)()222a a f m a f m a a ---≤--+-1(1)(1)228a a m a a =--≤-≤立.综上可知.1()(1)8f m a f --<本题第二问解题的关键在于作差法比较大小，第三问在于换元法求得函数的值域，再结合第二问的结论()f x ≤≤22m -≤≤分类讨论求解.考查换元思想和运算求解能力，是难题.。
