第十二章 无穷级数_4 函数展开成幂级数

n1
1 ( p 0)的敛散性。 p n
当 0 p 1 时 , 级数条件收敛， 当 p 1 时 , 级数绝对收敛。
例3。讨论下列级数 的敛散性，如果收敛， 是绝对收敛还是条件收 敛 ? (1) （） 1 3n n1


n1
sin

n
(2)
(1)
n1

n1
ln n n
第十二章
1。无穷级数的概念
级数
§1。无穷级数的概念及其基本性质
定义1。设一数列 u1 , u2 , un , 则和式
un u1 u2 un 称为无穷级数，
n1

简称级数。
un 称为级数的通项或一般 项。
sn uk u1 u2 un 称为级数的
n1
un 其中
un 0 (n 1,2,3,) 那么称它为交错级数。
定理1。 (莱布尼茨判别法 ) 若交错级数 ( 1) n1 u n (其中 u n 0 )满足条件：
n 1
(1) u n1 u n (n 1,2,3, ) (2) lim u n 0
收敛， q 1 时 发散， q 1 时

1 例3。讨论级数 ln(1 ) 的敛散性。 n n 1 1 例4。讨论级数 arctan 2 的敛散性。 2n n 1
例5。讨论级数 an a1 a2 1 a1 (1 a1 )(1 a2 ) (1 a )(1 a2 ) (1 an )
1 (3) sin(n ) ln n n2
常数项级数的敛散性判别法
un
n 1

un ？ 0

第十二章 无穷级数无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有力的工具. 无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有着重要的应用. 研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论在研究极限的存在性还是在计算这种极限的时候，这种形式都显示出很大的优越性. 本章先讨论数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，并着重讨论如何将函数展开成幂级数与三角级数的问题.第一节 常数项级数的概念和性质教学目的：1、理解无穷级数的概念；2、理解级数的收敛或发散的概念；3、掌握等比级数和p 级数等特殊级数的敛散性；4、了解无穷级数的基本性质。

教学重点：级数收敛或发散的判定 教学难点：级数收敛或发散的判定 教学内容：一、常数项级数的概念定义1 给定数列{}n u ，则称12n u u u ++++L L为常数项无穷级数，简称级数，记做1n n u ¥=å，即121n n n u u u u ¥==++++åL L式子中每一项都是常数，称作常数项级数，第n 项称为级数的一般项（或通项）。

级数1n n u ¥=å的前n 项和称为级数的部分和，记做n s ，即12n n s u u u =+++L级数的所有前n 项部分和n s 构成一个数列{}n s ，称此数列为级数1n n u ¥=å的部分和数列。

定义2 若级数1n n u ¥=å的部分和数列{}n s 收敛于s ，则称级数1n n u ¥=å收敛，或称1nn u ¥=å为收敛级数，称s 为这个级数的和，记作121n n n s u u u u ¥==++++=åL L而12n n n n r s s u u ++=-=++L称为级数的余项，显然有lim lim()0n n nnr s s =-=若{}n s 是发散数列，则称级数1n n u ¥=å发散，此时这个级数没有和。

第十二章 无穷级数§ 1 常数项级数的概念和性质1、 设级数∑∞=053n nn ，则其和为（ ）A21B 53D 352、 若0lim=∞→nn a ，则级数∑∞=1n na （ ）A 收敛且和为C 发散可能收敛也可能发散3 、若级数∑∞=1n nu 收敛于S ，则级数)(11∑∞=++n n n u u （ ）A 收敛于2SB 收敛于2S+1u2S-1u D 发散4、若+∞=∞→n n b lim ，0≠nb ,求 )11(11+∞=-∑n n nb b 的值解： (=nS 11143322111)11......()11()11()11(++-=-+-+-+-n n nb b b b b b b b b b所以11limb S nn =∞→5、若级数∑∞=1n na 收敛，问数列{n a }是否有界解：由于0lim =∞→nn a ，故收敛数列必有界。

6、若aa nn =∞→lim，求级数)(11∑∞=+-n n n a a 的值解：=nS 1113221)......())(()(++-=-+-+-n n n a a a a a a a a故aa a a a a n n n n n -=-=-+∞→∞=+∑11111)(lim )(7、求)(12121-+∞=-∑n n n a a 的值解：=nS +-)(3a a aa a a a a n n n -=-+-+-+12121235)......()(故)(12121-+∞=-∑n n n a a =aa a n n -=-=+∞→1)(lim 128、求 ∑∞=++1)2)(1(1n n n n 的和 ()41§ 2 常数项级数的审敛法一、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判别下列级数的收敛性1、判定级数 ∑∞=+-1)13)(23(1n n n 的敛散性 解：由于)13)(23(1+-n n <21n,而∑∞=121n n收敛，故∑∞=+-1)13)(23(1n n n 收敛2、判定敛散性 ∑∞=11n nnn解： n n= 2121).1(1.....1.1.<-=-+<nn n n n n n故nnn 1>n21,而级数∑∞=121n n发散，故∑∞=11n nnn发散3、判定敛散性 ∑∞=+111n na)0(>a ,1>a 收敛; ≤<a 01, 发散4、判定敛散性 ∑∞=-++13221n nnn en en ne(收敛);二、用比值或根值审敛法判别下列级数的收敛性5、判定级数∑∞=1!.3n nnn n 的敛散性解：ea a nn n 3lim1=+∞→>1,所以∑∞=1!.3n nnnn 发散6、判定级数∑∞=-1354n nnn的敛散性解：154lim1<=+∞→nn n a a ，所以∑∞=-1354n nnn收敛7、 ∑∞=+112tan.n n n π收敛8、 nn n an ∑∞=+1)1(，1>a 收敛三、判别下列级数是否收敛。

n 1
n 1
设法求出和函数s( x)
an xn ,
n 1
n(n 1)
例10 求 n 1
2n
的和.
1 将其转化成幂级数求和函数问题.
2
原式
s(
1 2
),
s(x)
n(n
n 1
1)xn
2x (1 x)2
.
3
推广：
n1
n（n 3n
1）
S
(
1
)，
3 n1
n（n 1
n1）
S(1) 5
.
5
n1 的和 .
n0
(2n1)!
解: 原式 = 1 (1)n (2n 1) 1
2 n0 ( 2 n 1)!
1 2
n0
(1)n ( 2 n)!
n0
(
(1)n 2 n 1)!
1 [cos1 sin 1 ].
2
（参见例6 ，也可用间接法解本题.）
（间接法）求数项级数和：
化
an an x0n s( x0 ),
0
0
n 0
∴
f(x)
x(1)nx2ndx(1)nx2n 1
(
x
1).
0 n0
n0 2n1
例13
将函数
(2
1
x )2
展开成 x 的幂级数.
解:
1 (2x)2
1 2x
11
2
1
x 2
1 2
xn 2n
n0
1 2
n 1
n x n1 2n
x2 (
)n
x n1 2
1x12x2
x 2x2
,