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第8章 非线性系统分析

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第8章 非线性系统分析

第8章 非线性系统分析
14
一、非线性控制系统概述(11)
考虑著名的范德波尔方程
x 2 (1 x2 ) x x 0, 0
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使 x 1 时，因为 (1 x 2 ) 0 系统具有负阻尼，此时系统 x(t ) 的运动呈发散形式；当 x 1 时，因为 从外部获得能量， 2 (1 x 2）＞0，系统具有正阻尼，此时系统消耗能量， x(t ) 的运动呈收敛形式；而 当x＝1 时，系统为零阻尼， 系统运动呈等幅振荡形式。 上述分析表明，系统能克 服扰动对 的影响，保持幅 值为1的等幅振荡，见右图。
1
第八章 非线性控制系统分析
本章主要内容： 一、非线性控制系统概述 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响 三、描述函数法
2
第八章、非线性控制系统分析
本章要求 : 1、了解非线性系统的特点 2、了解常见非线性特性及其对系统运动的影响 3、掌握研究非线性系统描述函数法
3
一、非线性控制系统概述
本节主要内容： 1、研究非线性控制理论的意义 2、非线性系统的特征 3、非线性系统的分析与设计方法
5
一、非线性控制系统概述(2)
6
一、非线性控制系统概述(3)
在下图所示的柱形液位系统中，设 H为液位高度，Qi 为 C 为贮槽的截面积。根据水力 液体流入量， Q0为液体流出量， 学原理知
Q0 k H
其中比例系数 k 取决于液体的粘度的阀阻。 液体系统的动态方程为
dH C Qi Q 0 Qi k H dt
显然，液位和液体输入量的数字关系式为非线性微分方程。 由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。
7
一、非线性控制系统概述(4)

精品文档-自动控制原理(王春侠)-第八章

精品文档-自动控制原理(王春侠)-第八章
19
8.2 描 述 函 数 法 8.2.1 描述函数的基本概念
设非线性环节的输入为 x(t)＝A sinωt
一般情况下，非线性环节的稳态输出y(t)是非正弦周期信号。 将y(t)用傅氏级数表示为
y t A0 An cos nt+Bn sin nt =A0 Yn sin nt+n
n =1
n =1
kx，
x ≤a
y Msignx， x ＞a
2
图8-1 饱和非线性特性
3
2． 死区特性
死区又称不灵敏区，如图8-2所示。其输入与输出之间关
系的表达式为
0，
x ≤Δ
y k x Δsignx， x ＞Δ
式中，Δ为死区范围； k为线性段的斜率。
当输入信号小于Δ时，对系统来说，虽然有输入但无输
出，只有当|x|＞Δ时才有输出，这时，输出与输入之间为
第八章 非线性控制系统分析
8.1 非线性系统的基本概念 8.2 描述函数法 8.3 相平面法 8.4 Matlab应用实例
1
8.1 非线性系统的基本概念 8.1.1 典型非线性特性
控制系统中含有本质非线性环节，如果这些本质非线性特 性能用简单的折线来描述，则称为典型非线性特性。
1. 饱和特性 饱和特性是一种常见的非线性特性，如图8-1所示。其数 学表达式为
最后指出，这种方法只适用于单个的非线性元件，如果有 两个以上的非线性元件，则必须把它们合并为一个模块，否则 第二个元件的输入就不会是正弦波。
22
8.2.2 典型非线性特性的描述函数 1． 死区特性 在具有死区的元件中，当输入在死区的幅值范围内时
就没有输出。图8-6所示为死区非线性特性及其输入、输出波 形。

自动控制原理第八章非线性控制系统

自动控制原理第八章非线性控制系统
稳定性定义
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
感谢您的观看
THANKS
自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03

《自动控制原理》第八章非线性控制系统分析

《自动控制原理》第八章非线性控制系统分析

K G jw = ( ) S 0.1S+1)( 0.2S+1) ( K −0.3w− j(1−0.02w2 )] [ = 4 2 w 0.0004w + 0.05w +1) (
S= jw
令 ImG(jw) = 0 即 1 – 0.02w2 = 0 ，可得 G(jw) 曲线与负实轴交点的频率为：
1 wx = = 50 = 7.07rad / s 0.02
C(t)
∆2 ∆3 ∆ = ∆1 + + k k k2 1 1
K1 ，k2 ，k3 为传递函数各自的增益
处于系统前向通路最前边的元件，其死区所 造成的影响最大，而放大元件和执行元件的影响 可以通过提高这些元件前几项的传递函数来减小。 死区对系统的直接影响是造成稳态误差，降 低了定位精度。
≤ 时，输出量 y 与 x 是线 饱和：当输入量 x≤ a x> a > 时，输出量不再 性关系 y = kx ，当 随着输入量线性增长，而保持为某一常值。
两条曲线在交点处的幅值相等，即： −π
1 1 1 2 [arcsin + 4 1−( ) ] A A A = −1
得：A = 0.5 应用奈氏判据可以判断交点对应的周期运动 2.5sin7.07t 是稳定的，故当 k = 15 时，非线性系统 工作在自振状态，自振振幅 A = 2.5 ，频率 w = 7.07rad/s （2）欲使系统稳定地工作，不出现自振荡，由于 G(s) 的极点均在右半平面，故根据奈氏判据
相对负倒描述函数为：
A A2 ( ) 1 π π h h − =− =− NA ( ) 4 4 A2 h2 1−( ) ( ) −1 h A
采用相对描述函数后，系统的特征方程改写为：

自动控制原理第八章非线性控制系统分析

自动控制原理第八章非线性控制系统分析

第八章非线性控制系统分析l、基本内容和要求（l）非线性系统的基本概念非线性系统的定义。

本质非线性和非本质非线性。

典型非线性特性。

非线性系统的特点。

两种分析非线性系统的方法——描述函数法和相平面法。

（2）谐波线性化与描述函数描述函数法是在一定条件下用频率特性分析非线性系统的一种近似方法。

谐波线性化的概念。

描述函数定义和求取方法。

描述函数法的适用条件。

（3）典型非线性特性的描述函数（4）用描述函数分析非线性系统非线性系统的一般结构。

借用奈氏判据的概念建立在奈氏图上判别非线性反馈系统稳定性的方法，非线性稳定的概念，稳定判据。

（5）相平面法的基本概念非线性系统的数学模型。

相平面法的概念和内容。

相轨迹的定义。

（6）绘制相轨迹的方法解析法求取相轨迹；作图法求取相轨迹。

（7）从相轨迹求取系统暂态响应相轨迹与暂态响应的关系，相轨迹上各点相应的时间求取方法。

（8）非线性系统的相平面分析以二阶系统为例说明相轨迹与系统性能间的关系，奇点和极限环的定义，它们与系统稳定性及响应的关系。

用相平面法分析非线性系统，非线性系统相轨迹的组成。

改变非线性特性的参量及线性部分的参量对系统稳定性的影响。

2、重点（l）非线性系统的特点（2）用描述函数和相轨迹分析非线性的性能，特别注重于非线性特性或线性部分对系统性能的影响。

8-1非线性控制系统分析1研究非线性控制理论的意义实际系统都具有程度不同的非线性特性，绝大多数系统在工作点附近，小范围工作时，都能作线性化处理。

应用线性系统控制理论，能够方便地分析和设计线性控制系统。

如果工作范围较大，或在工作点处不能线性化，系统为非线性系统。

线性系统控制理论不能很好地分析非线性系统。

因非线性特性千差万别，无统一普遍使用的处理方法。

非线性元件(环节)：元件的输入输出不满足(比例+叠加)线性关系，而且在工作范围内不能作线性化处理(本质非线性)。

非线性系统：含有非线性环节的系统。

非线性系统的组成：本章讨论的非线性系统是，在控制回路中能够分为线性部分和非线性部分两部分串联的系统。

非线性系统分析

非线性系统分析

3、频率特性发生畸变 在线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出信号也是相同频率的正弦函数，两者仅在幅值和相位上不同，因此可以用频率特性来分析线性系统。但是在非线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出信号通常是包含高次谐波的非正弦周期函数，使输出波形发生非线性畸变。
四、分析与设计方法 而非线性系统要用非线性微分方程来描述，不能应用叠加原理，因此没有一种通用的方法来处理各种非线性问题。 1、相平面法（二阶系统） 2、描述函数法（高阶系统）
8-2 常见非线性及其对系统运动的影响
一、死区特性 控制系统中死区特性的存在，将导致系统产生稳态误差，而测量元件死区的影响尤为显著。
二、饱和特性 饱和特性将使系统在大信号作用下之等效放大系数减小，因而降低稳态精度。在有些系统中利用饱和特性做信号限幅。
三、间隙特性 间隙或回环特性对系统的影响比较复杂，一般说来，它会使系统稳差增大，相位滞后增大，从而使动态特性变坏。
例题：设含饱和非线性特性的非线性系统方框图如图所示，试绘制当输入信号为r(t)=1(t)时的相轨迹。
解：饱和特性的数学表达式为：
描述系统运动过程的微分方程为
由上列方程组写出以误差e为输出变量的系统运动方程为
(I)
若
则系统在I区工作于欠阻尼状态，这时的奇点(0，0)为稳定焦点;
3、相轨迹的绘制 （1）解析法 用求解微分方程的办法找出x和 的关系，从而可在相平面上绘制相轨迹。
（2）等倾线法 等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线。
二、线性系统的相轨迹
1、一阶系统的相轨迹
x
T<0
x
T>0
2、二阶系统的相轨迹
（1）奇点： 在相平面上，
，不确定的点称为奇点。

第八章 非线性控制系统分析

第八章 非线性控制系统分析
x x
整理后得： x
2
x (x x )
2 2 0 2 0
相轨迹
2.等倾线法 --不解微分方程，直接在相平面上绘制相轨迹。 等倾线： 相平面上相轨迹斜率相等的诸点的连线。 等倾线法基本思想： 先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线 方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相
四、继电特性
y M 0 x
M y M
x 0 x 0
-M
对系统的影响：
1可能会产生自激振荡，使系统不稳定或稳态误差增大；
2.如选得合适可能提高系统的响应速度。
其他继电特性
y
M -h 0 h -M x M -△ 0
y
-△
△
y M 0 △ -M x
-M
死区 + 继电
x
滞环 + 继电
x ，从x, x 中消
(2)直接积分法
dx dx dx dx x x dt dx dt dx
dx x f ( x, x ) dx
g ( x)dx h( x)dx

x
x0
g ( x)dx h( x)dx
x1,2 0.25 1.39 j
系统在奇点(0,0)处有一对具有负实部的共轭复根， 故奇点(0,0)为稳定的焦点。
f ( x, x ) 奇点(-2,0)处 x
x 2 x 0
2
f ( x, x ) x

c
c
c
c
(6)≤-1 s1s2 --两个正实根
四、奇点和奇线
1.奇点 --同时满足 x 0 和 f ( x, x) 0 的点。

第8章 非线性系统分析

第8章 非线性系统分析
dx/dt x
不稳定节点

x 2 n x n x 0
2

1 0
相轨迹振荡远离原点，为不 稳定焦点。
dx/dt x
不稳定焦点

x 2 n x n x 0
2

0
相轨迹为同心圆，该奇点为中心 点。
dx/dt x
中心点

x 2 n x n x 0
R(s) 例8-7 继电控制系统， + 阶跃信号作用下，试用 相平面法分析系统运动。
e
+M -M
m
C(s) K s(Ts 1)
解 （1）作相平面图 线性部分 T c c Km 误差方程 e(t ) r (t ) c(t ) ———— 阶跃信号 r (t ) 1(t ), r (t ) 0, r(t ) 0 误差方程 T e e Km

x x sin x 0


奇点为
f ( x, x) x sin x 0
x0 无穷多个。 x k

4、奇点邻域的运动性质
由于在奇点上，相轨迹的斜率不定， 所以可以引出无穷条相轨迹。

dx 0 dx 0
相轨迹在奇点邻域的运动可以分为
1.趋向于奇点 2.远离奇点 3.包围奇点
（4）滞环特性
滞环特性为正向行程与反向行程不重叠，输入输出曲 线出现闭合环路。又称换向不灵敏特性。通常是叠加 在其它传输关系上的附加特性。
f(e) k +M -e +e0 e -e0 0 +e -M f(e) +M -e 0 -M +e e 0 f(e) e
饱和滞环
继电滞环

第8章非线性系统分析PPT课件

第8章非线性系统分析PPT课件
奇点称为不稳定的节点。
• 此时相轨迹如右图所示。奇
点称为鞍点，该奇点是不稳
x定的2。nx n2x 0
-
24
特征根和奇点的对应关系
-
25
二、相轨迹作图法
1 等倾线法
设系统微分方程如 xf(x,x)
化为
dx dx
f (x, x) x
令
f
(x, x
x)
a
其中 a为某个常数
表示相平面上的一条曲线，相轨迹通过曲线上的点
A1
x0 x0 2 1 2
A2
x0 x01 1 2
x(t) A 1 q 1 e q 1 tA 2 q 2 e q 2 t
-
22
（4）负阻尼运动
10
• 相轨迹图如右图所示，此时相
轨迹仍是对数螺旋线，随着 t 的增长，运动过程是振荡发散 的。这种奇点称为 不稳定的 焦点 。
-
23
1
• 系统的相轨迹图如右图所示，
-
53
饱和特性及其输入-输出波形
-
54
三、间隙特性的描述函数
A / 1 1 2 K ( 2 X b 0 ) c / 21K ( t /o 2 X ( d st ) a s ir t n c1 K sb 1( ) X ic ns 2Xb(o )tt i d ( s b n ) tc ) t o ( d t ) s
传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控制系统中的 一种常见的非线性因素。
•数学表达式为
x2
Kx1 bsi
x2 0
g1nx
| |
x2
K x2
K
x1 x1
|b |b
间隙非线性特性

131209第8章非线性控制系统分析

131209第8章非线性控制系统分析

非线性系统的数学模型是非线性微分方程；但至今为止 非线性微分方程没有成熟的解法；
8.2 几种典型的非线性特性
饱和特性 死区特性 间隙特性 继电器特性 变增益特性
(1)饱和特性(如运算放大器，学习效率等)
1. 对系统而言，饱和特性往往促使系统稳 定，但会减小放大系数，从而导致稳定 精度降低。 2. 饱和特性的例子是放大器，许多执行元 件也具有饱和特性。例如伺服电机。 3. 实际上，执行元件一般兼有死区和饱和 特性。
y1 ( t )
4M

sin t
理想继电特性的描述函数：
4M N ( A) 0 A
一般继电特性的描述函数：
2M mh 2 h 2 2M h N ( A) 1 ( ) 1 ( ) j ( m 1) 2 A A A A ( A h)
可能不稳定—发散、衰减等
3. 自振运动— 非线性系统特有的运动形式，产生自持振荡 4. 发生频率畸变—频率响应的复杂性 — 跳频响应，倍/分频 响应，组合振荡
非线性控制系统的分析方法
小扰动线性化
非线性系统研究方法 仿真方法
全数字仿真 半实物仿真 相平面法 描述函数法 波波夫法 反馈线性化法 微分几何方法
h 0 理想继电特性： m 1 死区继电特性： m 1 纯滞环继电特性：
4M N ( A) A
4M h N ( A) 1 A A
2
2
4M 4 Mh h N ( A) 1 j A A2 A
一般而言,描述函数 N(A)是A的函数,与频率无关 非线性环节为单/非单值函数时,N(A)是实/复数,虚部为/不为0
在小误差信号时具有较小的增益，从而提高系统的相对稳定性。 同时抑制高频低振幅噪声，提高系统响应控制信号的准确度。

第八章非线性系统分析

第八章非线性系统分析

第八章非线性系统分析8-1概述、教学目的和要求了解研究非线性系统的意义、方法，常见非线性特性种类。

二、重点非线性概念，常见非线性特性。

三、教学内容：1非线性系统概述非线性系统运动的规律，其形式多样，线性系统只是一种近似描述。

（1）非线性系统特征一不满足迭加原理1）稳定性：平衡点可能不只一个，系统的稳定性与系统结构参数、初始条件及输入有关。

2）自由运动形式，与初条件，输入大小有关。

3）自振，自振是非线性系统特有的运动形式，它是在一定条件下，受初始扰动表现出的频率，振幅稳定的周期运动。

（2）非线性系统研究方法1）小扰动线性化处理（第二章介绍）2）相平面法-----分析二阶非线性系统运动形式3）描述函数法-----分析非线性系统的稳定性研究及自振。

2、常见非线性因素对系统运动特性的影响：1）死区：（如：水表，电表，肌肉电特性等等）饱和对系统运动特性的影响:▽ %!（原来系统稳定，此时系 统一定稳定）进入饱和后等效KJ t 振荡性虹原来不稳，非线性系 统最多是等幅振荡） 限制跟踪速度，跟踪误差，快速性匸死区对系统运动特性的影响:等效K /SS （跟踪阶跃信号有稳态误差）’能滤去小幅值噪声’提高抗干扰能力.振荡性% J ［原来不稳定的系统， 此时可能稳定（初始扰 动不大时）］可见：非线性系统稳定性与自由响应和初始扰动的大小有关。

2）饱和（如运算放大器，学习效率等等）3）间隙：（如齿轮，磁性体的磁带特性等）黠吐屿应（乓初值大小有关J对系统运动的影响:间隙对系统影响:1）间隙宽度有死区的特点----使e ss -2）相当于一个延迟T 时间的延迟环节、、八％振荡性减小间隙的因素的方法：（1） 提高齿轮精度； （2） 采用双片齿轮； （3） 用校正装置补偿。

5）摩擦（如手指擦纸）摩擦引起慢爬现象的机理1） 、良好润滑 2） 、采用干扰补偿3） 、增加阻尼，减少脉冲，提高平摩擦对系统运动的影响:影响系统慢速运动的平稳性6）继电特性:一、二阶系统可以稳定一般地，很多情况下非线性系统会自振c 带死区)3) 、一般继电特性：除 3、2中听情况外，多出一个延迟效果(对稳定性不利)8-2相平面法、教学目的和要求：掌握相平面概念及分析方法。

自动控制原理原理第8章

自动控制原理原理第8章
y (t )
KX sint Ka
0 ≤t≤1 1≤ t≤
2
第8章 非线性系统分析
y
y
Ka
a
K
0
a
x
x
0 1 1 2
t
0 1
（a）
（c）
1
1
t （b）
饱和特性及输入、输出波形
第8章 非线性系统分析
（2）由于饱和特性为单值斜对称，所以， A0 0 A1 0 1 0
X a
这是一个与输入正弦函数的振幅有关的复函数，说明输出的 基波分量对输入是有相位差的，输出滞后于输入。
第8章 非线性系统分析
4．继电器特性的描述函数 继电器特性的输入、输出特性及在正弦函数输入时的输出波形 y y 如图。 E
0 ma
a x
0 1 2
3 4
2
t
1 2
3
0
x
死区特性描述函数为
N ( X ) B1 2 K a a a arcsin 1 ( ) 2 X 2 X X X
( X a)
3．间隙特性的描述函数
间隙特性的输入、输出特性及在正弦函数输入时的输出波形
如图。 其输出表达式为
第8章 非线性系统分析
y
K
y
2
A1 B1
A1
1


2
0
y (t ) costdt
B1

1
2
0
y (t ) sin tdt
第8章 非线性系统分析
2．描述函数定义 非线性元件在正弦输入时，输出的基波分量与输入正弦量的 复数比，称为该非线性元件的描述函数。 描述函数用符号 N 表示，即

第8章-非线性系统分析

第8章-非线性系统分析
假若平衡点在坐标原点时得：
令：
方程组可改写为
特征方程
线性化方程组
在一般情况下，线性化方程在平衡点附近的相轨迹与非线性系统在平衡点附近的相轨迹具有同样的形状特征。但是，若线性化方程求解至少有一个根为零，根据李雅普诺夫小偏差理论，不能根据一阶线性化方程确定非线性系统平衡点附近的特性，此时，平衡点附近的相轨迹要考虑高阶项。
(1) 无阻尼运动（=0） 此时系统特征根为一对共轭虚根，相轨迹方程变为
对上式分离变量并积分，得
式中，A为由初始条件决定的积分常数。
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。
图8-1 无阻尼二阶线性系统的相轨迹
(2)欠阻尼运动（01） 系统特征方程的根为一对具有负实部的共轭复根,系统的零输入解为 式中,A、B、为由初始条件确定的常数。时域响应过程是衰减振荡的。
可求出系统有一个位于相平面原点的平衡点（奇点），不同初始条件出发的相轨迹呈对数螺旋线收敛于该平衡点，这样的奇点称为稳定焦点。
5．李雅普诺夫法 李雅普诺夫法是根据广义能量函数概念分析非线性系统稳定性。原则上适用所有非线性系统，但对大多数非线性系统，寻找李雅普诺夫函数相当困难，关于李雅普诺夫法在现代控制理论中作祥解。 6．计算机辅助分析 利用计算机模拟非线性系统，特别上采用MATLAB软件工具中的Simulink来模拟非线性系统方便且直观，为非线性系统的分析提供了有效工具。
例1：确定非线性系统的奇点及附近的相轨迹。
解：令
求得奇点（0，0），（-2，0）。
即
由
（1）奇点（0，0） 线性化方程为
特征根

第8章非线性系统分析

第8章非线性系统分析

其中 f (x, x) 是单值连续的函数
x 2 x f (x, x) 2 x
(x, x)
f (x, x) 2 x 2
x 2x 2 (x, x)
δ值取决于变量 x 和x,若 x 和x的变化很小, δ可以看作是一个常量，例
如在相平面的点P1(x1, x1)附近，δ的值就可以取为：
d arctg x0 n x0
d x0
对x(t)求导，消去时间t，整理后得：
x
n x2
d 2 x2

c exp
2n d
arctg
x
n x d x

c

A2d
2
exp
2n d

它是一条通过初始点(x0 , x0 ), 绕 在相平面坐标原点上的对数螺 旋线。
若原方程可以分解为： g(x)dx h(x)dx
则通过积分，也可直接得到 x和x的关系，并绘制相轨迹。
例8-1 设描述系统运动的微分方程为：x x 0
初始条件为x(0)=x0， x(0) 0, 试绘制系统运动的相轨迹。
解： 先用第一种解析法求解。根据初始条件可以求得系统运动微分方程 的解为：
0
x
注意事项：
第一，横轴(x轴)与纵轴(dx/dt轴)所选用的比例尺应当一致，这样α值 才与相轨迹切线的几何斜率相同。
第二，在相平面的上半平面，相轨迹总是沿着x增加的方向运动(向右 运动)；而在下半平面,相轨迹总是沿着x减小的方向运动(向左运动)。
第三，除平衡点(即x的各阶导数为零的点)外，通过x轴时相轨迹的斜率
1
f (x1, x1) 2 x1 2
x P1(x1 ,x)

非线性控制系统的分析

非线性控制系统的分析

第8章 非线性控制系统的分析重点与难点一、基本概念1. 线性与非线性系统的联系与区别控制系统在不同程度上都存在着非线性。

有些系统可以在工作点附近把它线性化，然后按线性系统来处理（如三级管放大器电路），但当系统含有本征非线性特性（如死区特性、继电器特性等）时，就不能用线性化的方法处理。

死区特性将使系统出现较大的稳态误差。

饱和特性将降低系统的超调量，有时还会引起稳定振荡。

间隙特性可使系统的振荡加剧，静差也会增大，有时会使系统不稳定。

继电器特性会出现低速爬行、蠕动及响应不平滑等现象。

与线性系统相比，非线性系统与线性系统的本质差别可以概括为以下三点： （1）线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统不能使用叠加原理；（2）线性系统的稳定性与初值、输入无关，而非线性系统的稳定性与初值、输入有关； （3）线性系统可以写出通解形式，而非线性系统无法写出通解形式。

2. 相平面分析法以x ，x为坐标的平面就叫相平面，系统的某一状态对应于相平面上的一点。

相平面上的点随时间变化的轨迹叫相轨迹。

对应于二阶线性定常系统的相轨迹，可以对非线性系统进行分析，这种分析方法称为相平面分析法。

二阶线性定常系统的相轨迹如表8-1所示。

3. 极限环非线性系统存在着稳定的振荡状态，在相平面图上可表示为一个孤立的封闭相轨迹。

所有附近的相轨迹都渐近地趋向这个封闭的相轨迹，或离开该封闭的相轨迹，该相轨迹称为极限环。

极限环分为稳定和不稳定等四种形式，如表8-2所示。

非线性系统可能没有极限环，也可能存在多个极限环。

在相平面图形上，一个稳定的极限环就对应于一个自振状态。

4. 相平面做图法I —等倾线法令dx xd a / =，即),(x x f a =。

对于a 的不同取值，由),(x x f a =可得到x 与x 的不同关系式，而且在曲线),(xx f a =上，均具有相同的斜率a 。

给出一组a ，就可近似描绘出相平面图形。

表8-1 二阶线性系统022的相轨迹表8-2 极限环基本形式5. 相平面做图法II —δ方法给),(x x f x=两边同加x 2ω，得令 x x x f x x22),(ωω+=+ 22),(),(ωωδx x xf xx +=得 22),(ωδωx x x x=+ 因此 21212)(d x x=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛δω式中 21122121111)( ),(δωδδ-+==x x d xx 利用上式就可得点],[11xx 邻域内的相平面图形。

自动控制原理第8章

自动控制原理第8章

第八章 非线性控制系统分析 y0=［0.5 1］′ c=v＼y0
y1=zeros(1, length(t))
y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)
end
plot(x1+y1′, x2+y2′, ′∶′)
end
plot(x1+y1′, x2+y2′, ′∶′)
第八章 非线性控制系统分析 y0=［-0.8 -1］′ c=v＼y0
y1=zeros(1, length(t))
y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)
第八章 非线性控制系统分析 a=［1 1 1］ n=length(a)-1 p=roots(a) v=rot90(vander(p)) y0=［0 0］′ c=v＼y0 y1=zeros(1, length(t)) y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t) end plot(x1+y1′, x2+y2) hnd=plot(x1+y1′, x2+y2′) set(hnd, ′linewidth′, 1.3) hold on
第八章 非线性控制系统分析 8.1.3 非线性系统的分析与设计方法 系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式, 以解
决稳定性问题为中心, 对系统实施有效的控制。由于非线性系

第8章 非线性系统分析

第8章 非线性系统分析
线性二阶系统只在阻尼比=0时给予阶跃作用， 将产生周期性响应过程,这时系统处于临界稳定 状态。
实际上,一旦该系统参数发生微小变化,该周 期性状态就无法维持,要么发散至无穷大,要么 衰减至零。
而非线性系统中，除了稳定和不稳定运动形 式外，还有一个重要特征，就是系统可能发生 自持振荡----在没有周期
很小时 作为线性特性处理
较大时 将使系统静态误差增加， 系统低速不平滑性
理想死区特性的的数学描述为：
k(x a) y 0
k(x a)
x a | x | a xa
死区特性可能给控制系统带来不利影响，它会使 控制的灵敏度下降，稳态误差加大；死区特性也 可能给控制系统带来有利的影响，有些系统人为 引入死区以提高抗干扰能力。
一定条件下，可进行线性化处理，作为线性系 统来分析。这类系统统称为非本质非线性系统。
但当系统的非线性特征明显且不能进行线性化 处理时，就必须采用非线性系统理论来分析。 这类非线性称为本质非线性。
本章主要介绍分析非线性系统的两种常用方法： 相平面法和描述函数法。
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线 性特性的元件或环节,则此系统即为非线性系统。
x(t) Ae ntsin(d t ) d 1 2n
式中,A、为由初始条件确定的常数。时域 响应过程是衰减振荡的。
可求出系统有一个位于相平面原点的平衡点（奇 点），不同初始条件出发的相轨迹呈对数螺旋线 收敛于该平衡点，这样的奇点称为稳定焦点。
欠阻尼二阶线性系统的响应和相轨迹
3、过阻尼运动（＞1）
1.相平面的基本概念
考察二阶非线性时不变微分方程:
..
.
x f (x, x)
•
描述该系统特性必须有两个变量 x 和 x ，
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0 1 1

2
t
死区特性的描述函数
1 1

2
t
N ( A)
Y1 B 1 1 A A
x(t)=Asint

2k 2 arcsin 1 ( ) 2 A A A

（ A ）
B1

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自动控制原理
8.1.2 非线性系统的特点
1．系统输出动态响应曲线形状与输入信号大小和系统初始条件有关。
死区 0.8 ,阶跃输入不同幅值 R1 1, R2 2 时,对应非线性系统输出响应曲线
响应曲线形状完全 不同,一条曲线无 超调,一条曲线有 超调,稳态误差在0 到0.8范围内。
R1 1
。 b 为线性区域范围; k 为
t
1 1

2
t
x(t)=Asint
饱和特性线性区特性的斜 率; 1 arcsin b 。
A
由于饱和特性为单值且关于原点对称的奇函数，所以
B1
A0 0, A1 0

1
2
0
y(t ) sin td (t )

4

2 0
2016/2/13 第8章 非线性系统分析 9
自动控制原理
在不同初始条件下，系统运动特性
该非线性系统有两个平衡状态 x 0 和
x0
x0 1
x 1。
这个平衡状态是稳定的，因为在x 0 附近，从 出发的运动最终都能回到 x 0 这个平衡状
x 1
态；而
x0 1
这个平衡状态是不稳定的，因为当

1
2
0
y(t ) sin td (t )

4
2 0
y(t ) sin td (t )
k ( A sin t ) sin td (t )
2
1
4

2kA 2 arcsin 1 ( ) 2 A A A
第8章 非线性系统分析 15
y(t ) sin td (t )
k ( A sin t ) sin td (t )
2
1
4
பைடு நூலகம்

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第8章 非线性系统分析
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自动控制原理
4 1 2 2 kAsin td (t ) kb sin td (t ) 1 0
第8章 非线性系统分析
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第8章 非线性系统分析
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自动控制原理
第8章 非线性系统分析 • 8.1 非线性系统的概述 8.2 描述函数分析法 8.3 基于MATLAB/Simulink的非线性 系统分析
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第8章 非线性系统分析
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自动控制原理
8.1 非线性系统的概述 非线性特性有很多种，最常见的有饱和、死区、间隙和继电 特性。 8.1.1 典型的非线性特性 1. 饱和特性 数学表达式为 , x x （8.1-1） kx y
2kA t 1 1 4kb sin 2 t ( cost ) 2 0 2 4

1

2kA b b b 2 arcsin 1 ( ) A A A
饱和特性的描述函数为
N ( A) Y1 B 2k b b b 2 1 1 arcsin 1 ( ) A A A A A
2016/2/13 第8章 非线性系统分析 3
自动控制原理
2. 间隙特性 间隙特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是其输入— 输出曲线为闭合环路。 数学表达式为
k ( x asignx) , y , bsignx
0 y 0 y
图8.1-2间隙特性
式中： 2a 为间隙宽度， k 为间隙特性的斜率。
1．应用描述函数法的基本条件 1）非线性系统应简化为一个非线性 环节N和一个线性部分G(s)串联的典 型结构 。
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r(t ) 0 x(t ) N( A)
y(t )
G(s)
c(t )
-
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自动控制原理
2) 非线性环节N应满足奇对称性,即 y( x) y( x) ,以保证非线性 环节的正弦响应不含有直流分量,通常典型的非线性环节均满足 此特性。
（ Ab ）
N ( A) 1 。 饱和元件的描述函数是输入振幅 A 的实函数。A b 时，
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第8章 非线性系统分析
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自动控制原理
3.继电器特性 输出信号 y(t ) 的表达式为
0 y (t ) M 0 , 0 t 1 , 1 t 2 , 2 t
3）系统的线性部分G(s)具有较好的低通滤波特性。实际系统一 般都能满足此特性，且G(s)阶次越高，低通滤波性能越好。该 特性可以保证非线性环节的输出y(t)中高次谐波分量被充分衰减 ,从而可近似认为y(t)只有基波分量通过。
2．描述函数的定义 非线性环节 y f ( x)

输入信号x(t ) 为正弦信号
2016/2/13 第8章 非线性系统分析 5
自动控制原理
4. 继电器特性
实际的继电器特性是既有死区,又有滞环,数学表达式为
0 0 y bsignx b b
; ma x a
,
; a x ma , ; x a ; ; x ma x m a , ,
x （8.1-3） x
为死区宽度； k 为线性区特性的斜率。 式中：
图8.1-3 死区特性
具有死区非线性的元件：调节器和执行机构的死区；测量变送装 置的不灵敏区；弹簧预紧力。
死区非线性特性对系统的主要影响: 1）使系统的稳态误差增大,特别是测量元件的死区对系统的稳态性能的影响 更大。 2）死区能滤去从输入端引入的小幅值干扰信号，提高系统抗扰动的能力。 3）当系统的输入信号为阶跃、斜坡等信号时，死区引起系统的输出在时间 上滞后。
0
y m signx
,
x x0
图8.1-1 饱和非线性特性
系统存在具有饱和非线性特性的元件，它的开环增益会有所下降，系统过渡过 程时间的增加和稳态误差的增大。但在有些控制系统中，有目的地引入饱和非 线性环节。例如在具有转速和电流调节器的双闭环直流调速系统中，把速度调 节器和电流调节器设计成具有饱和非线性特性，以改善系统的动态性能和限制 系统的最大电流。
0 x 0 x 0 x 0 x
b
式中： a 为继电器的吸合电压; ma 为继电器的释放电压; 电器的饱和输出。
2016/2/13 第8章 非线性系统分析
继
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自动控制原理
a)理想继电器特性 b) 死区继电器特性 c) 滞环继电器特性 d) 死区滞环继电器特性
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jN ( A)
Y 1 e j1 A
A12 B12 A
arctan
A1 B1
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第8章 非线性系统分析
自动控制原理
式中：A为非线性环节输入正弦信号的幅值；Y1为非线性环节 1 为非线性环节输出信号的一 输出信号的一次谐波分量幅值； 次谐波分量与输入正弦信号的相位差，且
x(t ) A sin t
输出信号y(t)一般为非正弦的周期信号，将其展开为傅里叶级数，即
y(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt ) A0 Yn sin(nt n )
n 1 n 1
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第8章 非线性系统分析
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x0 1 时，系统的运动发散到无穷远处，当
时，系统运动最终都能回到 x 0 处，它们
都不再回到 x 1 这个平衡状态。
3．自持振荡问题 4．非线性系统的畸变现象
2016/2/13 第8章 非线性系统分析 10
自动控制原理
8.2 描述函数分析法 8.2.1 描述函数的基本概念
非线性系统通常包含常见的非线性环节.当非线性系统满足一定 的假设条件时,非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐 波分量表示,由此可得非线性环节的近似等效频率特性,即描述函 数.此时,非线性环节就可用一个线性环节来近似代替,从而,就可 以用线性系统的频域分析法来近似分析非线性系统的性能,这种 方法称为描述函数法。
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R2 2
第8章 非线性系统分析 8
自动控制原理
2．系统的稳定性与初始条件有关 对线性系统，其稳定性决定于系统结构和参数，与输入信号大小 及初始条件无关。对非线性系统，其稳定性则可能与输入信号大 小及初始条件有关。不同的初始条件,系统的稳定性情况不同。
一个非线性系统的微分方程为 讨论非线性系统的稳定性。
自动控制原理
2.饱和特性 输出信号 y(t ) 的表达式为
-b y(t) k 0 0 b X x(t) x(t) y(t) kb 0 1 1

2
0 t 1 kA sin t , y (t ) kb , 1 t 1 kA sin t , t 1
x(t)=Asint
由于具有死区和滞环的继电特性为多 值奇对称函数，故 A0 0 1 2 2 A1 y (t ) cos td (t ) y (t ) cos td (t ) 0 0
自动控制原理
1 A0 2

2
0
y (t )d (t )
An
2 n
1