高中数学人教A版必修4练习1.4.2 第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 课下检测 Word版含解析

1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质考试标准知识导图学法指导1.本节内容以三角函数的图象及其性质为主，因此在学习过程中应先学会作图，然后利用图象研究函数的性质．2．深刻理解五点的取法，特别是非正常周期的五点．3．注意所有的变换是图象上的点在移动，是x 或y 在变化而非ωx .4．运用整体代换的思想，令ωx ＋φ＝t ，借助y ＝sin t ，y ＝cos t 的图象和性质研究函数y ＝sin(ωx ＋φ)，y ＝cos(ωx ＋φ)的图象和性质．第1课时 正弦函数、余弦函数的图象正弦曲线与余弦曲线及其画法状元随笔 1.关于正弦函数y ＝sin x 的图象(1)正弦函数y ＝sin x ，x∈[2k π，2(k ＋1)π]，k∈Z 的图象与x ∈[0,2π]上的图形一致，因为终边相同角的同名三角函数值相等．(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸，可以由y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法. 该方法作图较精确，但较为烦琐．(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法． 提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x 轴、y 轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“五点法”作正、余弦函数的图象时的“五点”是指图象上的任意五点．( )(2)正弦函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2上的图象相同．( )(3)正弦函数、余弦函数的图象分别向左、右无限延伸．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )A ．在x ∈[2k π，2(k ＋1)π](k ∈Z )上的图象形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点解析：画出y ＝sin x 的图象，根据图象可知A ，B ，D 三项都正确． 答案：C3．下列图象中，是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )解析：函数y ＝－sin x 的图象与函数y ＝sin x 的图象关于x 轴对称，故选D. 答案：D4．用“五点法”作函数y ＝cos 2x ，x ∈R 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是________________．解析：令2x ＝0，π2，π，3π2和2π，得x ＝0，π4，π2，34π，π.答案：0，π4，π2，34π，π类型一 用“五点法”作三角函数的图象例1 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝sin x ＋12，x ∈[0,2π]；(2)y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]． 【解析】 (1)按五个关键点列表：(2)列表：作函数图象需要先列表再描点，最后用平滑曲线连线． 方法归纳作形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )，x ∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练1 画出函数y ＝3＋2cos x 的简图． 解析：(1)列表，如下表所示(2)利用五点作图法画简图．类型二 正、余弦函数曲线的简单应用 例2 根据正弦曲线求满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的取值范围． 【解析】 在同一坐标系内作出函数y ＝sin x 与y ＝－32的图象，如图所示．观察在一个闭区间[0,2π]内的情形，满足sin x ≥－32的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π，所以满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的范围是{x 0≤x ≤43π或5π3≤x ≤2π}.或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π在同一坐标系内作y ＝sin x 与y ＝－32的图象，利用图象求x 的范围. 方法归纳利用三角函数图象解sin x >a (或cos x >a )的三个步骤 (1)作出直线y ＝a ，y ＝sin x (或y ＝cos x )的图象． (2)确定sin x ＝a (或cos x ＝a )的x 值． (3)确定sin x >a (或cos x >a )的解集．[注意] 解三角不等式sin x >a ，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x ∈[0,2π]范围内x 的取值范围，然后根据终边相同角的同名三角函数值相等，写出原不等式的解集．跟踪训练2 根据余弦曲线求满足cos x ≤12的x 的取值范围．解析：作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为[π3＋2k π，5π3＋2k π]，k ∈Z .在同一坐标内作y ＝cos x 与y ＝12的图象，利用图象求x 的范围.1.4.1-2.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列对函数y ＝cos x 的图象描述错误的是( ) A ．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴只有一个交点解析：观察余弦函数的图象知：y ＝cos x 关于y 轴对称，故C 错误． 答案：C2．下列各点中，不在y ＝sin x 图象上的是( ) A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1 D ．(π，1) 解析：y ＝sin x 图象上的点是(π，0)，而不是(π，1)． 答案：D3．不等式sin x >0，x ∈[0,2π]的解集为( ) A ．[0，π] B ．(0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2解析：由y ＝sin x 在[0,2π]的图象可得． 答案：B 4．点M ⎝⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：点M 在y ＝sin x 的图象上，代入得－m ＝sin π2＝1，∴m ＝－1.答案：C5．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同解析：根据正弦曲线的作法过程，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分) 6．下列叙述正确的有________．(1)y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； (2)y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称； (3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围．解析：分别画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]和y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象观察可知(1)(2)(3)均正确．答案：(1)(2)(3)7．关于三角函数的图象，有下列说法： (1)y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象关于y 轴对称； (2)y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图象相同；(3)y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称； (4)y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称． 其中正确的序号是________．解析：对(2)，y ＝cos(－x )＝cos x ，y ＝cos|x |＝cos x ，故其图象相同； 对(4)，y ＝cos(－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称，由作图可知(1)(3)均不正确． 答案：(2)(4)8．直线y ＝12与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点坐标是________．解析：令sin x ＝12，则x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π，又∵x ∈[0,2π]，故x ＝π6或56π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，12三、解答题(每小题10分，共20分)9．利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图． 解析：(1)取值列表：(2)10．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0,2π]． 解析：函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3. [能力提升](20分钟，40分)11．已知函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π解析：依题意，由余弦函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0和点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0成中心对称，可得y ＝2cosx (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成的封闭图形的面积为2π×2＝4π.答案：D12．函数y ＝2cos x －2的定义域是________． 解析：要使函数有意义，只需2cos x －2≥0，即cos x ≥22.由余弦函数图象知(如图)，所求定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z 13．利用“五点法”作出y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，52π的图象．解析：列表如下：14．利用图象变换作出下列函数的简图：(1)y＝1－cos x，x∈[0,2π]；(2)y＝|sin x|，x∈[0,4π]．解析：(1)首先用“五点法”作出函数y＝cos x，x∈[0,2π]的简图，再作出y＝cos x，x∈[0,2π]的简图关于x轴对称的简图，即y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图，将y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y＝1－cos x，x∈[0,2π]的简图，如图所示．(2)首先用“五点法”作出函数y＝sin x，x∈[0,4π]的简图，再将该简图在x轴下方的部分翻折到x轴的上方，即得到y＝|sin x|，x∈[0,4π]的简图，如图所示．。

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时正弦、余弦函数的周期性与奇偶性学习目标核心素养1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的周期．(重点)3.掌握函数y＝sin x和y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点)1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的周期性和奇偶性，培养学生的数学抽象素养.2.通过周期性和奇偶性的学习，提升学生的直观想象素养.1. 函数的周期性(1)周期函数条件①对于函数f(x)，存在一个非零常数T②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)结论函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期(2)条件周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做f(x)的最小正周期2．函数y＝sin x y＝cos x周期2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π2π奇偶性 奇函数 偶函数思考：函数y ＝|sin x |，y ＝|cos x |是周期函数吗？ [提示] 是，周期是k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期是π.1．下列函数中，周期为π2的是( ) A ．y ＝sin x2 B ．y ＝sin 2x C ．y ＝cos x4D ．y ＝cos 4xD [根据公式T ＝2πω可知π2＝2πω，得ω＝4，故应选D.] 2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数B [y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，它是周期为π的偶函数．]3．若函数y ＝f (x )是以2为周期的函数，且f (5)＝6，则f (1)＝ . 6 [由已知得f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (1)＝f (3)＝f (5)＝6.]三角函数的周期问题及简单应用(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4；(2)y ＝|sin x |.思路点拨：(1)法一：寻找非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )恒成立． 法二：利用y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期公式计算． (2)作函数图象，观察出周期． [解] (1)法一：(定义法)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2π＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋π)＋π4，所以周期为π.法二：(公式法)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4中ω＝2，T ＝2πω＝2π2＝π.(2)作图如下：观察图象可知周期为π.1．本例(2)中函数变成“y ＝|cos x |”，图象如何？ [解] 作图如下：观察图象可知周期是π.2．本例(2)中函数变成y ＝sin |x |或y ＝cos |x |，图象如何？ [解] 作图如下：由图象可知y ＝sin |x |不是周期函数，y ＝cos |x |的图象与y ＝cos x 图象相同，仍为周期函数，周期为2π.求三角函数周期的方法：(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．(2)公式法：对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ≠0，ω≠0)的函数，T ＝2π|ω|.(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．提醒：y ＝|A sin(ωx ＋φ)|(A ≠0，ω≠0)的最小正周期T ＝π|ω|.[跟进训练]1．利用周期函数的定义求下列函数的周期． (1)y ＝cos 2x ，x ∈R ； (2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4，x ∈R .[解] (1)因为cos 2(x ＋π)＝cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，由周期函数的定义知，y ＝cos 2x 的周期为π.(2)因为sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13(x ＋6π)－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋2π－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4，由周期函数的定义知，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4的周期为6π.三角函数奇偶性的判断【例2的值的集合为 ． (2)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2；②f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )； ③f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x.思路点拨：(1)结合y ＝cos ωx 为偶函数→ 利用诱导公式→φ＝π2＋k π(k ∈Z ) (2)(1)⎩⎨⎧φ⎪⎪⎪⎭⎬⎫φ＝k π＋π2，k ∈Z [因为y ＝cos ωx 为偶函数，y ＝sin ωx 为奇函数，所以根据诱导公式“奇变偶不变”的特点，要使通过诱导公式后函数变成y ＝2cos x 或y ＝－2cos x ，只有φ＝k π＋π2(k ∈Z )．](2)[解] ①显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， ∵f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数．②由⎩⎨⎧1－sin x ＞0，1＋sin x ＞0，得－1＜sin x ＜1，解得定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z ， ∴f (x )的定义域关于原点对称． 又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )， ∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )] ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．③∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1， ∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z . ∵定义域不关于原点对称， ∴该函数是非奇非偶函数．1．判断函数奇偶性应把握好两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f (x )与f (－x )的关系．2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．[跟进训练]2．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ；(2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1. [解] (1)f (x )＝sin 2x ＋x 2sin x ，又∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x ) ＝－sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)由⎩⎨⎧1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12，∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z ， ∴f (x )既是奇函数又是偶函数.三角函数的奇偶性与周期性的综合应用1．一般通过什么方法研究三角函数的性质？提示：三角函数的性质可从图象上直观地反映出来，如图象的对称性，图象的升降，图象的范围等相应地反映函数的奇偶性，单调性，定义域和值域，所以解题时要通常借助图象．2．若函数y ＝f (x )是周期T ＝2的周期函数，也是奇函数，则f (2 018)的值是多少？提示：f (2 018)＝f (0＋1 009×2)＝f (0)＝0.【例3】 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( ) A ．y ＝cos|2x | B ．y ＝|sin 2x | C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2xD ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x(2)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3等于( )A ．－12 B.12 C ．－32D.32思路点拨：(1)先作出选项A ，B 中函数的图象，化简选项C 、D 中函数的解析式，再判断奇偶性、周期性．(2)先依据f (x ＋π)＝f (x )化简f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3；再依据f (x )是偶函数和x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )＝sinx 求值．(1)D (2)D [(1)y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin 2x |是偶函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos2x 是偶函数，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期T ＝π.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 ＝sin π3＝32.]1．若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“11π12”，其他条件不变，结果如何？[解] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－11π12×2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＝－12.2．若本例(2)中的“π”改为“π2”，去掉“f (x )是偶函数”，其他条件不变，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π.[解] ∵f (x )的周期为π2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π＋π6 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×π2＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π6＝12.1．三角函数周期性的解题策略探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y＝A cos(ωx ＋φ)的形式，再利用公式求解．2．与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )； (2)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )； (3)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )； (4)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z )．1．求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |. (3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω＞0，x ∈R )的周期T ＝2πω.2．判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键．如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性．3．周期函数的定义域是一个无限集，周期有无数多个，可能存在最小正周期，也可能不存在最小正周期，如f (x )＝1，x ∈R 是周期函数，但不存在最小正周期．1．下列命题中不正确的是( )A ．由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π3＝sin π3，则π3是正弦函数y ＝sin x 的一个周期B ．若T 是函数f (x )的周期，则kT (k ∈N *)，也是函数f (x )的周期C ．函数y ＝3sin 2x 是奇函数D ．函数y ＝－cos π3x 是偶函数A [根据周期的定义可以判断A 不正确，B 对，再由奇偶性的判断法可判断C 、D 均正确．]2．函数f (x )＝2sin 2x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数A [f (x )＝2sin 2x 的定义域为R ，f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．]3．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2－π4，x ∈R 的最小正周期为 ．4 [由已知得f (x )的最小正周期T ＝2ππ2＝4.]4．若函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期为3的奇函数且f (1)＝3，则f (5)＝ .－3 [由已知得f (x ＋3)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )，所以f (5)＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝－3.]5．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝－2cos 3x ； (2)f (x )＝x sin(x ＋π)．[解] (1)因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝－2cos 3(－x )＝－2cos 3x ＝f (x )， 所以f (x )＝－2cos 3x 为偶函数．(2)因为f (x )的定义域为R ，且f (x )＝x sin(x ＋π)＝－x sin x ，所以f (－x )＝x sin(－x )＝－x sin x ＝f (x )，故函数f (x )为偶函数．。

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期.3.掌握函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一 函数的周期性思考1 如果函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，那么3是f (x )的周期吗？答案 不一定.必须满足当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋3)＝f (x )，才可以说3是f (x )的周期.思考2 所有的函数都具有周期性吗？答案 不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.思考3 周期函数都有最小正周期吗？答案 周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )，所有非零实数T 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期. 梳理 函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期.知识点二 正弦函数、余弦函数的周期性思考1 证明函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数.答案 ∵sin(x ＋2π)＝sin x ，cos(x ＋2π)＝cos x ，∴y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数，且2π就是它们的一个周期.思考2 证明函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))(Aω≠0)是周期函数. 答案 由诱导公式一知，对任意x ∈R ，都有A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin[ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ]＝A sin(ωx ＋φ)， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期. 同理，函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)也是周期函数.梳理 由sin(x ＋2k π)＝sin x ，cos(x ＋2k π)＝cos x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π (k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π. 知识点三 正弦函数、余弦函数的奇偶性思考 对于x ∈R ，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？答案 奇偶性.梳理 (1)对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称.(2)对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称.类型一 三角函数的周期性例1 求下列函数的最小正周期.(1)y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )； (2)y ＝|sin x |(x ∈R ).解 (1)方法一 令z ＝2x ＋π3，因为x ∈R ，所以z ∈R . 函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π，即变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得.而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的最小正周期是π. 方法二 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为2π2＝π. (2)因为y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)，－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z ).其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.反思与感悟 对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解. 跟踪训练1 求下列函数的周期.(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π3；(2)y ＝|cos 2x |. 解 (1)T ＝2π|－12|＝4π. (2)T ＝π2. 类型二 三角函数的奇偶性例2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x 1＋sin x. 解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， ∵f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1.解得定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }. ∴f (x )的定义域关于原点对称.又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )，∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x ).∴f (x )为奇函数.(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z . ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数.反思与感悟 判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f (x )与f (－x )的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.解 (1)f (x )＝sin 2x ＋x 2sin x ，∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x )＝－sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12. ∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z . ∴f (x )既是奇函数又是偶函数.类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值. 解 ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝32. 反思与感悟 解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内.跟踪训练3 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6的值. 解 因为f (x )是以π2为周期的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1.类型四 函数周期性的综合应用例4 已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)的值. 解 ∵f (1)＝cos π3＝12，f (2)＝cos 2π3＝－12，f (3)＝cos π＝－1，f (4)＝cos 4π3＝－12，f (5)＝cos 5π3＝12，f (6)＝cos 2π＝1， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0.同理，可得每连续六项的和均为0.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝cos 2 017π3＋cos 2 018π3＋cos 2 019π3＋cos 2 020π3＝cos π3＋cos 2π3＋cos π＋cos 4π3＝12＋(－12)＋(－1)＋(－12)＝－32. 反思与感悟 当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.跟踪训练4 设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝ .解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝335[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝335⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π ＋f (335×6＋1)＋f (335×6＋2)＋f (335×6＋3)＋f (335×6＋4)＋f (335×6＋5)＝335×0＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＝0.1.函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) A.π2B.πC.2πD.4π 答案 D2.下列函数中最小正周期为π的偶函数是( )A.y ＝sin x 2B.y ＝cos x2 C.y ＝cos xD.y ＝cos 2x 答案 D3.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数.4.函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为 . 答案 ±π解析 ∵T ＝2π|ω|＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π. 5.若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝ . 答案 22 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω. 2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性.课时作业一、选择题1.下列函数中，周期为π2的是( ) A.y ＝sin x 2B.y ＝sin 2xC.y ＝cos x 4D.y ＝cos(－4x ) 答案 D解析 T ＝2π|－4|＝π2. 2.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( ) A.5 B.10 C.15 D.20答案 B3.已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |(x ∈R )为奇函数，则a 等于( )A.0B.1C.－1D.±1答案 A解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝sin(－x )－|a |＝－f (x )＝－sin x ＋|a |，所以|a |＝0，从而a ＝0，故选A.4.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )A.y ＝cos|2x |B.y ＝|sin x |C.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x D.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x 答案 D 解析 y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式求得其最小正周期T ＝π. 5.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k ＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( ) A.10 B.11 C.12 D.13答案 D解析 ∵T ＝2πk 4≤2，即k ≥4π， ∴正整数k 的最小值是13.6.函数y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x的奇偶性为( ) A.奇函数B.既是奇函数也是偶函数C.偶函数D.非奇非偶函数答案 D解析 由题意知，当1－sin x ≠0，即sin x ≠1时，y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x＝|sin x |， 所以函数的定义域为{x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z }， 由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数.7.函数f (x )＝3sin(23x ＋15π2)是( ) A.周期为3π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为3π的奇函数D.周期为4π3的偶函数 答案 A二、填空题8.若0<α<π2，g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)是偶函数，则α的值为 . 答案 π4解析 要使g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)为偶函数， 则需π4＋α＝k π＋π2，k ∈Z ，∴α＝k π＋π4，k ∈Z . ∵0<α<π2，∴α＝π4. 9.函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1的图象关于 对称.(填“原点”或“y 轴”) 答案 y 轴解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1＝2cos 2x ＋1， ∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数.∵偶函数的图象关于y 轴对称，∴f (x )的图象关于y 轴对称.10.关于x 的函数f (x )＝sin (x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数.其中错误的是 .(填序号)答案 ①④解析 当φ＝0时，f (x )＝sin x 是奇函数.当φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数. 三、解答题11.判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ；(3)f (x )＝e sin x ＋e －sin x e sin x －e－sin x . 解 (1)∵x ∈R ，f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x .∴f (－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x＝－f (x )，∴y ＝f (x )是奇函数.(2)∵对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1，∴1＋sin x ≥0，1－sin x ≥0，∴f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域是R .又∵f (－x )＝1＋sin (－x )＋1－sin (－x )， ＝1－sin x ＋1＋sin x ＝f (x )，∴y ＝f (x )是偶函数.(3)∵e sin x －e －sin x ≠0，∴sin x ≠0，∴x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z .∴定义域关于原点对称.又∵f (－x )＝e sin (－x )＋e －sin (－x)e sin (－x )－e－sin (－x ) ＝e －sin x ＋e sin x e －sin x －esin x ＝－f (x )，∴y ＝f (x )是奇函数. 12.已知f (x )是以π为周期的偶函数，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，f (x )的解析式. 解 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )， ∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π. 13.已知函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f (x )，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期. 证明 ∵f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且4是它的一个周期.四、探究与拓展14.若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1，4)，则正整数ω的最大值为 .答案 6解析 ∵T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π2＜ω＜2π. ∴ω的最大值是6.15.欲使函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，求ω的最小值.解 函数y ＝A sin ωx 的最小正周期为2πω，因为在每一个周期内，函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y ＝A sin ωx 在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，则y 在区间[0，1]内至少含4934个周期，即⎩⎪⎨⎪⎧ T ＝2πω，4934T ≤1，解得ω≥199π2，所以ω的最小值为199π2.。

基础达标1．下列函数中，周期为π2的是( )． A ．y ＝sin x2 B ．y ＝sin 2x C ．y ＝cos x4 D ．y ＝cos(－4x )解析 T ＝2π|－4|＝π2.答案 D2．下列命题中正确的是( )． A ．y ＝－sin x 为奇函数B ．y ＝|sin x |既不是奇函数也不是偶函数C ．y ＝3sin x ＋1为偶函数D ．y ＝sin x －1为奇函数解析 y ＝|sin x |是偶函数，y ＝3sin x ＋1与y ＝sin x －1都是非奇非偶函数． 答案 A3．函数y ＝2sin 2x ＋2cos x －3的最大值是( )． A ．－1 B ．1 C ．－12D ．－5 解析 由题意，得y ＝2sin 2x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－12.∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，函数有最大值－12. 答案 C4．(2012·宿迁测试)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 在[0,2π]上的单调递减区间为________．解析 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，由2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z 解得2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈Z ，所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 在[0,2π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π4，2π.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π4，2π5．(2012·泗洪检测)sin 35π，sin 45π，sin 910π，从大到小的顺序为________． 解析 ∵π2<3π5<4π5<9π10<π，又函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，∴sin 3π5>sin 4π5>sin 9π10. 答案 sin 3π5，sin 4π5，sin 9π106．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________. 解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1，∴0≤ωx ≤ωπ3<π3. ∵f (x )max ＝2sin ωπ3＝2， ∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，即ω＝34. 答案 347．已知函数f (x )＝log 12|sin x |.(1)求其定义域和值域； (2)判断其奇偶性；(3)判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期； (4)求其单调区间． 解 (1)∵|sin x |>0， ∴sin x ≠0，∴x ≠k π，k ∈Z . ∴函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }． ∵0<|sin x |≤1，∴log 12|sin x |≥0，∴函数的值域为{y |y ≥0}． (2)函数的定义域关于原点对称， ∵f (－x )＝log 12|sin(－x )|＝log 12|sin x |＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数． (3)∵f (x ＋π)＝log 12|sin(x ＋π)|＝log 12|sin x |＝f (x )，∴函数f (x )是周期函数，且最小正周期是π. (4)当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，π2＋k π时，t ＝|sin x |为增函数； 当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2＋k π，k π时，t ＝|sin x |为减函数． ∵函数y ＝log 12t 为减函数，∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2＋k π，k π，k ∈Z ；单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，π2＋k π，k ∈Z .能力提升8．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的最大值和最小值之和等于( )． A.4π3 B ．8π3 C ．2πD ．4π解析 利用函数y ＝sin x 的图象知(b －a )min ＝2π3，(b －a )max ＝4π3，故b －a 的最大值与最小值之和等于2π. 答案 C9．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数．若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝________.解析 由f (x )的最小正周期是π， 知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3.由f (x )是偶函数知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.答案 3210．已知f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，是否存在常数a ，b ∈Q ，使得f (x )的值域为{y |－3≤y ≤3－1}？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由． 解 ∵π4≤x ≤3π4， ∴2π3≤2x ＋π6≤5π3， ∴－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤32.假设存在这样的有理数a ，b ，则 当a >0时，⎩⎨⎧－3a ＋2a ＋b ＝－3，2a ＋2a ＋b ＝3－1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3－5(不合题意，舍去)；当a <0时，⎩⎨⎧2a ＋2a ＋b ＝－3，－3a ＋2a ＋b ＝3－1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.故a ，b 存在，且a ＝－1，b ＝1.。

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.(高考辽宁卷，文1)函数y=sin(21x+3)的最小正周期是( ) A.2πB.πC.2πD.4π 解析：函数y=Asin(ωx+φ)的最小正周期为T=||2ωπ，该函数最小正周期为T=212π=4π.答案：D2.(高考北京卷，文2)函数y=1+cosx 的图象( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线x=2π对称 解析：函数y=1+cosx 是偶函数，所以关于y 轴对称. 答案：B3.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期是T ，且当x=2时取得最大值，那么…( )A.T=2，θ=2πB.T=1，θ=πC.T=2，θ=πD.T=1，θ=2π解析：T=ππ2=2，又当x=2时，sin(π·2+θ)=sin(2π+θ)=sinθ，要使上式取得最大值，可取θ=2π.答案：A4.若弹簧振子对平衡位置的位移x(cm)与时间t 的函数关系如图1-4-1所示：图1-4-1(1)求该函数的周期；(2)求t=10.5 s 时弹簧振子对平衡位置的位移. 解：(1)由图象可知该函数的周期为4 s.(2)设x=f(t)，由函数的周期为4 s ，可知f(10.5)=f(2.5+2×4)=f(2.5)=-8. 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.(2005高考浙江卷,文1)函数y=sin(2x+6π)的最小正周期是( ) A.2πB.πC.2πD.4π 解析：函数y=Asin(ωx+φ)的最小正周期T=||2ωπ. 答案：B2.下列函数中，周期为π，图象关于直线x=3π对称的函数是( ) A.y=2sin(2x +3π) B.y=2sin(2x -3π)C.y=sin(2x+6π)D.y=sin(2x-6π)解析：sin(ωx+φ)的周期为||2ωπ，对称轴方程为ωx+φ=kπ+2π(k ∈Z )，由周期为π，排除A 、B ；将x=3π代入2x+6π得65π，将x=3π代入2x-6π得2π，故选D.答案：D3.在下列各区间中，函数y=sin(x+4π)的单调递增区间是( ) A.[2π，π] B.[0，4π] C.[-π，0] D.[4π,2π] 解析：y=sin(x+4π)的递增区间是2kπ-2π≤x+4π≤2kπ+2π,即-43π+2kπ≤x≤4π+2kπ,k ∈Z . 当k=0时，区间是［-43π,4π］,已知区间［0，4π］是它的子区间，故应选B. 答案：B4.设函数f(x)=A+Bsinx ，若B ＜0时，f(x)的最大值是23，最小值是21-，则A=_____________，B=_________________.解析：因为sinx 的最大值是1,最小值是-1，根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-,21,23B A B A 解方程可得A 、B值. 答案：21-1 5.求函数y=3sin 2+x 的定义域.解析：要使函数有意义，只需2sinx+3≥0，即sinx≥-23. 如图，在区间［-2π，23π］上，适合条件的x 的范围是-3π≤x≤34π.所以该函数的定义域是［2kπ-3π，2kπ+34π］，k ∈Z . 6.已知函数y=3sin(21x-4π). (1)用“五点法”作函数的图象； (2)求函数的周期；(3)求函数的单调递增区间；(4)求此函数的对称轴、对称中心. 解：(1)(2)因为3sin ［21(x+4π)-4π］=3sin(21x-4π+2π)=3sin(21x-4π)，所以由周期函数的定义，知原函数的周期是4π；也可以直接用公式：T=ωπ2=212π=4π. (3)x 前的系数为正数，所以把21x-4π视为一个整体，令-2π+2kπ≤21x-4π≤2π+2kπ，解得［-2π+4kπ，23π+4kπ］，k ∈Z ，即为函数的单调递增区间.(4)由于y=3sin(21x-4π)是周期函数，通过观察图象可知所有与x 轴垂直并且通过图象的最值点的直线都是此函数的对称轴，即令21x-4π=2π+kπ，解得直线方程为x=23π+2kπ，k ∈Z .图象与x 轴的所有交点都是函数的对称中心，所以对称中心为点(2π+2kπ，0)，k ∈Z .30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.使cosx=mm-+11有意义的m 的值为( ) A.m≥0 B.m≤0C.-1＜m ＜1D.m ＜-1或m ＞1 解析：由|cosx|≤1，得|mm-+11|≤1.解之，得m≤0. 答案：B2.函数y=2sin 2x+2cosx-3的最大值是( )A.-1B.21C.21- D.-5 解析：整理得y=-2(cosx 21-)221-.又∵-1≤cosx≤1，∴当cosx=21时，y max =21-.答案：C3.函数y=sin(2x+3π)在区间［0，π］内的一个单调递减区间是( ) A.［0，125π］ B.［12π，127π］C.［125π，1211π］D.［6π，2π］解析：2π+2kπ≤2x+3π≤23π+2kπ(k ∈Z )，∴12π+kπ≤x≤127π+kπ(k ∈Z ). 答案：B4.(2006高考安徽卷，文8)对于函数f(x)=xx sin 1sin +(0＜x ＜π)，下列结论正确的是( )A.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C.有最大值且有最小值D.既无最大值又无最小值 解析：令t=sinx,t ∈(0,1］，则函数f(x)=x x sin 1sin +(0＜x ＜π)的值域为函数y=t11+,t ∈(0,1］的值域，而y=t11+,t ∈(0,1］是一个减函数，故选B. 答案：B5.(2006高考湖南卷,文8)设点P 是函数f(x)=sinωx 的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值为4π，则f(x)的最小正周期是( ) A.2π B.π C.2π D.4π解析：因为图象对称中心与对称轴的最短距离等于41周期，所以T=4×4π=π.答案：B6.定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π，且当x ∈［0，2π］时，f(x)=sinx ，则f(35π)的值为( )A.21-B.21C.23-D.23解析：f(35π)=f(35π-2π)=f(-3π)=f(3π)=sin 3π=23. 答案：D7.sin300°、sin(-310°)、sin790°三个数值从小到大的排列顺序为___________. 解析：sin300°=sin(-60°)＜0，sin(-310°)=sin50°，sin790°=sin70°.由于y=sinx 在(0°，90°)内是单调递增的，所以sin(-310°)＜sin790°. 答案：sin300°＜sin(-310°)＜sin790° 8.函数f(x)=2sinωx (ω＞0)在［0，4π］上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω=____________________. 解析：由已知得2sin(ω·4π)=3，即ω·4π=2kπ+3π，ω=8k+34(k ∈Z )；已知函数在［0，4π］上单调递增，说明此函数的最小周期是π， 又T ＞0，所以T=ωπ2≥π. 故ω=34. 答案：349.已知函数f(x)=2sin(kx+6π)的最小正周期T ∈(1,3),则正整数k=_____________. 解析：由题意得1＜k π2＜3⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>3212kk ππ＜3⇒⎪⎩⎪⎨⎧><322ππk k ⇒32π＜k ＜2π. ∵k ∈N *,∴k=3,4,5,6,即正整数k 的值是3,4,5,6.答案：3,4,5,610.已知f(x)的定义域为［0，1)，求f(cosx)的定义域.解：(1)0≤cosx ＜1⇒2kπ-2π≤x≤2kπ+2π，且x≠2kπ(k ∈Z ), ∴所求函数的定义域为{x ｜2kπ-2π≤x≤2kπ+2π且x≠2kπ，k ∈Z ｝.11.已知函数f(x)=-2asin(2x+6π)+2a+b(a≠0)的定义域为［0，2π］，值域为［-5，1］，求常数a 、b 的值.解：∵x ∈［0，2π］，∴2x+6π∈［6π，67π］. 根据y=sinx 的图象可知21-≤sin(2x+6π)≤1.因此，由已知函数的值域为［-5，1］，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=++∙>522,122120b a a b a a a或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++--=++∙<.122,52212,0b b a b a a a解之，得⎩⎨⎧-==5,2b a 或⎩⎨⎧=-=.1,2b a。

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1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
1．函数
y＝ cos
x＋
π 2
( x∈ R) 是(
)
A．奇函数
B．偶函数 C．非奇非偶函数
D．无法确定
解析： y＝ cos
x＋
π 2
＝－ sin
x，所以此函数为奇函数．
答案： A
2．下列函数中，周期为
π
的是
(
)
x
x
A． y＝ sin 2 B ． y＝ sin 2 x C． y＝cos 4 D． y＝ cos( － 4x)
解析：对 D. y＝cos( － 4x) ＝ cos 4 x，
∴
T＝
2π 4
＝
π 2
，故选
D.
答案： D
3．下列是定义在 R 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是
()
解析：结合周期函数的定义可知 A，B， C 均为周期函数， D 不是周期函数． 答案： D 4．已知函数 f ( x) 的周期为 1.5 ，且 f (1) ＝ 20，则 f (10) 的值是 ________． 解析： f (10) ＝ f (1.5 ×6＋ 1) ＝ f (1) ＝ 20. 答案： 20 5．判断下列函数的奇偶性： (1) f ( x) ＝－ 2cos 3 x； (2) f ( x) ＝ xsin( x＋π ) ． 解： (1) 函数的定义域为 R，且 f ( － x) ＝－ 2cos 3( － x) ＝－ 2cos 3 x＝f ( x) ，所以 f ( x) ＝－ 2cos 3 x 为偶函数． (2) 函数的定义域为 R，且 f ( x) ＝ xsin( x＋ π ) ＝－ xsin x，所以 f ( － x) ＝ xsin( － x) ＝ －xsin x＝f ( x) ．故为偶函数 .

更上一层楼基础•巩固1.函数y=cos(x+4π),x ∈R 是( ) A.奇函数 B.偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数 思路分析：根据函数奇偶性的定义进行判断.函数的定义域为x ∈R ，由f(-x)=cos(-x+4π)≠f(x)，f(-x)=cos(-x+4π)≠-f(x)， 所以函数既不是奇函数又不是偶函数.答案：C2.下列叙述正确的个数是( )①作正弦函数图象时，单位圆的半径长与x 轴的单位长度可以不一致 ②y=sinx ，x ∈［0，2π］的图象关于点P(π，0)成中心对称图形 ③y=cosx ，x ∈［0，2π］的图象关于x=π成轴对称图形 ④正、余弦函数y=sinx 、y=cosx 的图象不超出y=-1与y=1所夹的区域A.1B.2C.3D.4思路分析：①错；②③④正确.答案：C3.方程cosx=lgx 的实根的个数是( )A.1B.2C.3D.无数个思路分析：在同一坐标系中作函数y=cosx 与y=lgx 的图象，如图，显然两图象有三个交点(x i ，y i )，其中x i ∈(1，10)(i=1，2，3)是方程cosx=lgx 的解.答案：C4.若0＜α＜β＜4π，a=2sin(α+4π)，b=2sin(β+4π)，则( ) A.a ＜b B.a ＞b C.ab ＜1 D.ab ＞2思路分析：∵0＜α＜β＜4π，∴2444ππβπαπ<+<+<. 而正弦函数y=sinx ，x ∈［0，2π］是增函数， ∴sin(α+4π)＜sin(β+4π). ∴2sin(α+4π)＜2sin(β+4π)，即a ＜b. 答案：A5.函数y=3cos(215+x π)-1的最小正周期是___________.思路分析：1052==ππT . 答案：10 综合•应用 6.当22ππ≤≤-x 时，函数f(x)=2sin(x+3π)的最大值是____________，最小值是____________.思路分析：∵-2π≤x≤2π，∴6536πππ≤+≤-x .令u=x+3π，则656ππ≤≤-u . ∵21-≤sinu≤1，∴-1≤2sinu≤2，即-1≤2sin (x+3π)≤2，即该函数的最大值与最小值分别是2、-1. 答案：2 -17.求函数1)42sin(2--=πx y 的定义域. 解：要使函数有意义，只需2sin(2x-4π)-1≥0，即sin(2x-4π)≥22. 令u=2x-4π，如图，作y=sinu 的图象.在区间［0，2π］上适合条件的u 的范围是［4π，43π］，扩展到整个定义域上，得4π+2kπ≤2x -4π≤43π+2kπ，k ∈Z .化简得4π+kπ≤x≤2π+kπ，k ∈Z ，即该函数的定义域是［4π+kπ，2π+kπ］，k ∈Z .回顾•展望8.求函数y=sin 2x-8sinx+15的最值.解：y=(sinx-4)2-1，∵x ∈R ，∴-1≤sinx≤1.于是问题就变成了求闭区间［-1，1］上二次函数的最大值与最小值问题了. 显然，当sinx=-1时，y max =(-1-4)2-1=24；当sinx=1时，y min =(1-4)2-1=8.。

课后训练1．函数f (x )＝π1sin 26x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的周期是( )A ．π2 B ．π C ．3π2 D ．2π2．下列四个函数的图象关于y 轴对称的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝1＋cos xC ．y ＝sin 2xD ．y ＝πcos 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3．下列是定义在R 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是()4．下列函数中，周期为π的函数的个数为( )①y ＝|sin 2x |；②y ＝1πcos 212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，③y ＝cos 2x ；④y ＝πsin 23e x ⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．0B ．1C ．2D ．35．函数y ＝－x cos x 的部分图象是( )6．函数f(x)＝π3cos3xω⎛⎫-⎪⎝⎭(ω＞0)的最小正周期为2π3，则f(π)＝__________．7．已知函数f(x)＝π2sin4xϕ⎛⎫++⎪⎝⎭是奇函数，则φ∈ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，φ的值为__________．8．已知f(x)＝3sincosa x bxc x+＋3，若f(5)＝－2，求f(－5)的值．9．设函数f(x)＝πsin53kx⎛⎫+⎪⎝⎭(k∈N*)，若自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，至少存在一个x1和一个x2，使f(x1)＝1，f(x2)＝－1，求k的最小值．10．若函数f(n)＝πsin3n(n∈Z)．求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 013)．参考答案1答案：B 解析：由公式T ＝2πω，可得周期T ＝2π2＝π． 2答案：B 解析：当函数图象关于y 轴对称时，此函数是偶函数，易知B 中函数是偶函数，故选B ．3答案：D 解析：显然D 中函数图象不是经过相同单位，图象重复出现．而A 、C 中每经过一个单位长度，图象重复出现．B 中图象每经过2个单位，图象重复出现．所以A 、B 、C 中函数是周期函数，D 中函数不是周期函数．4答案：C 解析：由图象知y ＝|sin 2x |的周期为π2．由公式T ＝2πω可求②中函数周期为4π，③中函数周期为π；对④，f (x ＋π)＝ππsin 22πsin 233e e x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=＝f (x )，∴周期为π，故周期为π的函数有2个．5答案：D 解析：易知函数y ＝－x cos x 是奇函数，从而图象关于原点对称，排除A 、C ．又x ∈π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，y ＝－x cos x ＜0，排除B ． 故选D ． 6答案：32-解析：由已知2π2π3ω=，∴ω＝3，∴f (x )＝π3cos 33x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴f (π)＝π3cos 3π3⎛⎫- ⎪⎝⎭＝π3cos π3⎛⎫- ⎪⎝⎭＝π33cos 32-=-． 7答案：π4- 解析：由已知π4＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝k π－π4(k ∈Z )，又∵φ∈ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，∴k ＝0时，φ＝π4-符合条件． 8答案：解：设g (x )＝3sin cos a x bx c x +，则g (－x )＝3sin()()cos()a x b x c x -+--＝3sin cos a x bx c x +-＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．由f (5)＝－2得f (5)＝g (5)＋3＝－2，∴g (5)＝－5．∴f (－5)＝g (－5)＋3＝－g (5)＋3＝8．9答案：解：设f (x )的周期为T ，则T ＝10πk． 据题意，T ≤1，∴10πk ≤1． 即k ≥10π≈31.4．∵k ∈N *，∴k 的最小值为32．10答案：解：由f (n )＝πsin 3n 可得周期为T ＝6， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝π2πsin+sin 33＋sin π＝33+0=322+．。

课后集训基础达标1.y=cos(-2x)的最小正周期为（ ）A.πB.2πC.2πD.4π解析：T=22||2πωπ==π.答案：A2.函数y=sin(-2x +4π)的最小正周期是（ ）A.πB.2πC.4πD.2π解析：T=|21|2||2-=πωπ=4π.答案：C3.下列函数中，最小正周期为π的函数是( ) A.y=sin 2xB.y=cos 2xC.y=cosxD.y=cos 2x解析：A 中T=212π=4π;B 中T=212π=4π;C 中T=2π.答案：D4.下列两个函数：①y=|cosx|;②y=sin|x|周期性是（ ）A.只有①是周期函数B.只有②是周期函数C.①和②都是周期函数D.①和②都不是周期函数解析：由两函数图象可判断.答案：A5.函数y=cos(x k 4+3π)(k ＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是（）A.10B.11C.12D.13解析：∵y=cos(k4x+3π)(k ＞0)的最小正周期为T=k k ππ842=，∴k π8≤2,∴k≥4π,∴k 的最小值为31.故选D.答案：D6.函数y=2cos(3π-ωx)的最小正周期是4π,则ω=______________.解析：T=||2ωπ=4π, ∴|ω|=21,∴ω=±21. 答案：±21 综合运用7.(2004天津)定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是π，且当x ∈［0, 2π］时，f(x)=sinx,则f(35π)的值为（ ） A.-21 B.21 C.-23 D.23 解析：由题意可得 f(π35)=f(π+π32)=f(π32) =f(-3π+π)=f(-3π)=f(3π) =sin 3π=23. 答案：D8.y=sin3x+cos2x 的最小正周期为_____________.解析：∵y 1=sin3x 的最小正周期为T 1=32π，y 2=cos2x 的最小正周期为T 2=π，而32π与33π的最小公倍为36π即2π. ∴y=sin3x+cos2x 的最小正周期为2π.答案：2π9.若函数f(x)的定义域为R ，最小正周期为π23,且满足f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-,0sin ,02cos x x xx x π则f(415π-)=________________. 解析：∵f(-π415)=f(-23π×3+43π)=f(π43)=sin 43π=22. 答案：22 拓展探究10.求函数y=|sinx|+|cosx|的周期.解：∵|sin(x+2π)|=|cosx|,|cos(x+2π)|=|sinx|, ∴y=|cos(x+2π)|+|sin(x+2π)|=|sinx|+|cosx|. ∴2π是函数y=|sinx|+|cosx|的周期.下面是证明2π是函数y 的最小正周期. 设存在T(0＜T ＜2π)，使y=|sin(x+T)|+|cos(x+T)|=|sinx|+|cosx|对一切实数x 都成立. 令x=2π代入上式得 |sinx|+|cosx|=1+0=1,|sin(x+T)|+|cos(x+T)|=|cosT|+|sinT|=cosT+sinT ＞1,此时|sin(x+T)|+|cosx(x+T)|≠sinT+cosT,矛盾, ∴2π是函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期. 备选习题 11.y=|3cos(-421π+x )|的最小正周期为_____________. 解析：y=3cos(-421π+x )的周期T=|21|2-π=4π.加绝对值周期减半. 答案：2π12.若函数f(x)=2cos(ωx+3π)的最小正周期为T ，且T ∈(1,3),则正整数ω的最大值是__________.解析：∵T=ωπ2，T ∈(1,3), ∴1＜ωπ2＜3,即32π＜ω＜2π. ∴ω的最大整数为6.答案：613.求下列各函数的周期：(1)y=cos2x; (2)y=sinx 21; (3)y=2sin(2x -6π). 解：(1)T=22π=π. (2)T=212π=4π.(3)T=212π=4π. 14.已知函数f(x)=21log |sinx|.(1)求f(x)定义域与值域；（2）判断f(x)周期性.若是周期函数，求周期.解：(1)|sinx|＞0⇒sinx≠0,∴x≠kπ,k ∈Z,∴定义域为{x|x≠kπ,k ∈Z }.∵0＜|sinx|≤1, ∴21log |sinx|≥0,∴函数的值域为{y|y≥0}.(2)∵|sinx|在定义域｛x|x≠kπ,k ∈Z ｝内是周期函数，且最小正周期是π,∴函数y=21log |sinx|是周期函数，且最小正周期是π.15.设f(x)为定义在（-∞,+∞）上的周期函数，且周期为2，当x ∈［2,3］时，f(x)=x.当x ∈［0,1］时，求f(x)的解析式.解：设x ∈［0,1］,则x+2∈［2,3］,∴f(x+2)=x+2.∵f(x)是周期为2的函数,∴f(x+2)=f(x),∴f(x)=x+2.16.已知定义在（-∞,+∞）上的函数f(x)的周期为π，若在［0，π］上f(x)=-sinx,求函数f(x)在区间［-22.8π,-22.4π］上的解析式.解：设x ∈［-22.8π,-22.4π］,则x+23π∈［0.2π,0.6π］.∵x ∈［0,π)时，f(x)=-sinx,∴f(x+23π)=-sin(x+23π)=-sin(x+π)=sinx.∵f(x)是周期为π的函数，∴f(x+23π)=f(x),∴f(x)=sinx,即当x ∈［-22.8π,-22.4π］时，f(x)的解析式为f(x)=sinx.。

数学·必修4(人教A 版)1．4 三角函数的图象与性质1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象基础提升1．在同一坐标系中，函数y ＝sin x ，x ∈与y ＝sin x ，x ∈的图象( ) A ．重合 B ．形状相同，位置不同 C ．关于y 轴对称 D ．形状不同，位置不同 答案：B2．在同一坐标系中，函数y ＝－cos x 的图象与余弦函数y ＝cos x 的图象( ) A ．只关于x 轴对称 B ．关于原点对称C ．关于原点、x 轴对称D ．关于原点、坐标轴对称 答案：D3．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋3π2，x ∈的图象和直线y ＝12的交点个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个答案：C0，2π的简图是()4．函数y＝sin(－x)，x∈[]解析：∵y＝sin(－x)＝－sin x，x∈．答案：B5．画出下列函数的图象．(1)y＝sin |x|，x∈；(2)y＝|sin x|，x∈．分析：将函数式中的绝对值符号去掉，进行等价变形，然后作图．解析：(1)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－sin x ，－2π≤x ≤0，sin x ，0＜x ≤2π.(2)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，－2π≤x ≤－π或0≤x ≤π，－sin x ，－π＜x ＜0或π＜x ≤2π.所以y ＝sin|x |及y ＝|sin x |的图象如下图所示．巩固提高6．方程sin x ＝lg x 的根的个数为________． 答案：37．如果函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，那么这个封闭图形的面积为( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π解析：由图可知，图形S 1与S 2，S 3与S 4都是两个对称图形，有S 1＝S 2，S 3＝S 4，因此函数y ＝2cos x 的图象与直线y ＝2所围成的图形面积可以等积地转化为求矩形OABC 的面积．∵|OA |＝2，|OC |＝2π，∴S 矩形＝2×2π＝4π. 答案：D8．函数y ＝cos x |tan x |⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <3π2且x ≠π2的图象是下图中的( )答案：C9．对于函数f (x )＝⎩⎨⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x <cos x ，下列命题正确的是( )A ．该函数的值域是B ．当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，函数取得最大值1C ．当且仅当x ＝2k π－π2(k ∈Z)时，函数取得最小值－1D ．当且仅当2k π＋π<x <2k π＋3π2(k ∈Z)时，f (x )<0解析：画出此函数的图象，由图象容易看出：该函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1；当且仅当x ＝2k π＋π2或x ＝2k π，k ∈Z 时，函数取得最大值1；当且仅当x ＝2k π－π4或x ＝2k π＋3π4，k ∈Z 时，函数取得最小值－22；当且仅当2k π＋π<x <2k π＋3π2，k ∈Z时，f (x )<0知A 、B 、C 不正确，故选D.答案：D10．作出下列函数的简图： (1)y ＝2＋cos x ，x ∈； (2)y ＝－2sin x ，x ∈．解析：(1)按五个关键点列表：描点，并将它们用光滑的曲线连结起来，图象如图所示：(2)按五个关键点列表：描点，并将它们用光滑的曲线连结起来，图象如图所示：。

)6-x 21cos(2y π=)4x2x sin(y +-=2π==)617f(1)3f(ππ则f(x)sin(x )(4πωω=+§1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第一课时【学习目标、细解考纲】1.理解掌握什么是周期函数，函数的周期，最小正周期.2.掌握正弦函数、余弦函数的周期性，周期，最小正周期.【知识梳理、双基再现】1.对于函数f(x)，______________________________________________________________________，那么f(x)叫做周期函数，__________________________________________________叫这个函数的周期.2. _____________________________________叫做函数f(x)的最小正周期.3.正弦函数，余弦函数都是周期函数，周期是____________________，最小正周期是____________________.【小试身手、轻松过关】1.正弦函数sinx 3y =的周期是___________________________.2.正弦函数sinx 3y +=的周期是_________________________.3.余弦函数y cos2x =的周期是___________________________.4.余弦函数 的周期是______________________. 【基础训练、锋芒初显】1.函数 的周期是________________________.2.函数y Asin(x )y Acos(x )ωϕωϕ=+=+或的周期与解析式中的______________无关，其周期为: __________________.3.函数 ＞0)的周期是23π则ω=____________ 4.若函数f(x)是以 为周期的函数，且 __________. 5.函数x sin f(x)=是不是周期函数？若是，则它的周期是多少？4sin )24sin(πππ=+sinx y 2=不是π【举一反三、能力拓展】1.函数y=sin x 是周期函数吗？如果是，则周期是多少？2.cosx sinx y +=是周期函数吗？如果是,则周期是多少？3.函数c f(x)=（c 为常数）是周期函数吗？如果是，则周期是多少？【名师小结、感悟反思】要正确理解周期函数的定义，定义中的“当x 取定义域内的每一个值时”这一词语特别重要的是“每一个值”四个字，如果函数f(x)不是当x 取定义域内的每一个值，都有f(x)T)f(x =+，那么T 就不是f(x)的周期，如：虽然 但的周期。

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时正弦函数、余弦函数的性质(1)[目标] 1.了解周期函数与最小正周期的意义． 2.了解三角函数的周期性和奇偶性． 3.能求简单三角函数的周期，并能判断一些函数的奇偶性．[重点] 会求函数周期，会判断奇偶性．[难点] 函数周期的概念．知识点一周期函数[填一填](1)定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期．①定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数称为函数f(x)的最小正周期，简称周期．②正弦函数与余弦函数的最小正周期：2π.[答一答]1．是否所有的周期函数都有最小正周期？提示：不是．如f(x)＝C(C为常数，x∈R)，所有的非零实数T 都是它的周期，不存在最小正周期．2．周期函数的周期是否唯一？提示：不唯一．若f(x＋T)＝f(x)，则f(x＋nT)＝f(x)(n∈N)．知识点二正弦函数、余弦函数的周期[填一填](1)函数y＝sin x与y＝cos x的周期都是2kπ(k∈Z)．最小正周期为2π.(2)函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的周期为：T＝.[答一答]3．三角函数的周期与什么量有关？若ω<0，函数y＝A sin(ωx ＋φ)或y＝A cos(ωx＋φ)的周期公式是什么？提示：三角函数的周期只与ω有关，而与A，φ无关，若ω<0，则函数y＝A sin(ωx＋φ)与y＝A cos(ωx＋φ)的周期公式是T＝.4．函数y＝5sin的最小正周期为5π.知识点三正弦函数、余弦函数的奇偶性[填一填](1)正弦曲线关于原点对称；是奇函数(填“奇”或“偶”)；(2)余弦曲线关于y轴对称；是偶函数．[答一答]5．函数y＝1＋cos x的图象(B)A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线x＝对称解析：y＝1＋cos x是偶函数，其图象关于y轴对称.类型一求三角函数的周期[例1]求下列函数的周期：(1)y＝sin(x∈R)；(2)y＝|sin x|(x∈R)．[分析](1)利用代换z＝2x＋，将求原来函数的周期转化为求y＝sin z的周期求解，或利用公式求解．(2)作出函数图象观察求解．[解](1)方法一(定义法)：令z＝2x＋，∵x∈R，∴z∈R，函数y＝sin z的最小正周期是2π，就是说变量z只要且至少要增加到z＋2π，函数y＝sin z(z∈R)的值才能重复取得，而z＋2π＝2x＋＋2π＝2(x＋π)＋，∴自变量x只要且至少要增加到x＋π，函数值才能重复取得，从而函数f(x)＝sin(x∈R)的周期是π.方法二(公式法)：f(x)＝sin中，ω＝2，∴T＝＝π.(2)方法一(定义法)：∵f(x)＝|sin x|，∴f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|＝f(x)，故f(x)的最小正周期为π.方法二(图象法)：作出y＝|sin x|的图象如图：由图象易知y＝|sin x|的周期为π.三角函数周期的主要求法方法一：定义法，利用f(x＋T)＝f(x)；方法二：公式法，对于y＝A sin(ωx＋φ)或y＝A cos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，周期T＝；方法三：图象法，作出函数图象，通过观察图象得到周期．[变式训练1](1)下列函数中，周期为π的函数为(C)A．y＝sin B．y＝sinC．y＝cos D．y＝cos(2)若函数是以2为周期的函数，且f(3)＝6，则f(5)＝6.解析：(1)利用周期公式T＝，可知C中函数周期T＝＝π.故选C.(2)∵函数是以2为周期的函数，∴f(5)＝f(3＋2)＝f(3)＝6.故填6.类型二三角函数奇偶性的有关问题命题视角1：三角函数奇偶性的判断[例2]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝sin2x；(2)f(x)＝sin；(3)f(x)＝sin|x|；(4)f(x)＝＋.[分析]首先看定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)之间的关系．[解](1)显然x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＝－sin2x＝－f(x)，所以f(x)＝sin2x是奇函数．(2)因为x∈R，f(x)＝sin＝－cos，所以f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)，所以函数f(x)＝sin是偶函数．(3)显然x∈R，f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，所以函数f(x)＝sin|x|是偶函数．(4)由得cos x＝1，∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．当cos x＝1时，f(x)＝0，f(x)＝±f(－x)．∴f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．判断函数的奇偶性时，必须先检查其定义域是否关于原点对称.如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数.[变式训练2]函数y＝sin(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是(C)A．0 B. C.D．π解析：由题意得sin(－φ)＝±1，即sinφ＝±1.因φ∈[0，π]，所以φ＝.故选C.命题视角2：三角函数的对称性[例3]函数y＝sin的对称轴是________，对称中心是________．[解析]要使sin＝±1，必有2x＋＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝π＋(k∈Z)．即对称轴所在直线方程为x＝π＋(k∈Z)．而函数y＝sin的图象与x轴的交点即为对称中心．令y＝0，即sin＝0，∴2x＋＝kπ(k∈Z)，即x＝π－(k∈Z)．故函数y＝sin的对称中心为(k∈Z)．[答案]x＝＋(k∈Z)(k∈Z)[变式训练3]下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的是(D)A．y＝sin B．y＝sinC．y＝sin D．y＝sin解析：由函数的最小正周期为π可排除选项A、B.对于选项C，x＝时，y＝sin＝sin＝－，显然x＝不是它的对称轴．故选D.类型三函数周期性与奇偶性的应用[例4]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．(1)证明：f(x)是周期函数；(2)若当x∈[－2,2]时，f(x)＝－x2＋1，求当x∈[－6，－2]时，f(x)的解析式．[分析]证明函数f(x)是周期函数，关键是找到一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立．求f(x)在区间[－6，－2]上的解析式，要充分利用其周期性，将它转化到已知区间[－2,2]上进行求解．[解](1)证明：由已知f(－x)＝f(x)，f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立．f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)．故f(x)是以4为周期的周期函数．(2)当x∈[－6，－2]时，x＋4∈[－2,2]．∴f(x)＝f(x＋4)＝－(x＋4)2＋1＝－x2－8x－15.证明或判断抽象函数的周期性，是一种题型，解题的关键是找出其周期，一般要在题设条件下通过尝试变形来解决.求周期函数在某个区间内的解析式，先要在该区间内选取自变量，再通过周期将其调节到已知区间，从而将它转化为已知区间内的函数解析式.[变式训练4]定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f等于(D)A．－ B.C．－ D.解析：f＝f＝f＝f＝f＝f＝sin＝.1．函数y＝3sin的最小正周期是(C)A．4πB．2πC．π D.解析：T＝＝π.2．下列函数中是偶函数的是(C)A．y＝sin2x B．y＝－sin xC．y＝sin|x| D．y＝sin x＋1解析：A为奇函数，B为奇函数，D为非奇非偶函数，C为偶函数，选C.3．函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是(C)A．x＝B．x＝C．x＝－D．x＝－解析：三角函数在对称轴处取得最值，将x＝－代入f(x)＝sin得f(x)＝－1，取得函数的最小值，因此，直线x＝－是对称轴．4．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)的周期为π，则ω＝2.解析：由于周期T＝，所以＝π，解得ω＝2.5．若函数f(x)是以为周期的奇函数，且f()＝1，求f(－π)的值．解：∵f(x)的周期为，且为奇函数，∴f(－)＝f(－3π＋)＝f(－6×＋)＝f()．而f()＝f(－)＝f(－)＝－f()＝－1，∴f(－)＝－1.——本课须掌握的两大问题1．对周期函数的正确理解(1)关于函数周期的理解应注意以下三点：①存在一个不等于零的常数T；②对于定义域内的每一个值x，都有x＋T属于这个定义域；③满足f(x＋T)＝f(x)．(2)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．(3)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．2．正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．(3)注意诱导公式在判断三角函数奇偶性时的运用．。

（浙江专版）2017-2018学年高中数学第一章三角函数1.4.2 第一课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性学案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2017-2018学年高中数学第一章三角函数1.4.2 第一课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第一课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性预习课本P34～37，思考并完成以下问题（1)周期函数的定义是什么？（2)如何利用周期的定义求正、余弦函数的周期？（3）正、余弦函数的奇偶性分别是什么？错误!1．周期函数(1）周期函数的概念条件①对于函数ƒ(x),存在一个非零常数T②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f（x）结论函数ƒ（x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期条件周期函数ƒ（x)的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做ƒ(x）的最小正周期［点睛］对周期函数的两点说明（1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．（2)如果T是函数ƒ(x）的一个周期，则nT（n∈Z且n≠0）也是ƒ(x)的周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sin x y＝cos x周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0）最小正周2π2π期奇偶性奇函数偶函数错误!1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×")(1）因sin错误!＝sin错误!，则错误!是正弦函数y＝sin x的一个周期．( ）（2）若T是函数ƒ（x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f（x）的周期．（) (3）函数y＝3sin 2x是奇函数．( )(4）函数y＝－cos 错误!x是偶函数．（）答案：(1)×（2）√(3）√(4）√2．函数ƒ（x)＝2sin错误!是( )A．T＝2π的奇函数B．T＝2π的偶函数C．T＝π的奇函数D．T＝π的偶函数答案：B3．下列函数中，周期为错误!的是（）A．y＝sin x B．y＝sin 2xC．y＝cos 错误!D．y＝cos 4x答案：D4．函数ƒ(x）＝sin x cos x是______（填“奇”或“偶")函数．答案:奇三角函数的周期［典例]求下列函数的周期．（1）ƒ（x)＝cos错误!；（2)ƒ(x)＝|sin x|.［解］(1)[法一定义法］∵ƒ（x)＝cos错误!＝cos错误!＝cos错误!＝ƒ(x＋π)，即ƒ(x＋π）＝ƒ（x），∴函数ƒ（x)＝cos错误!的周期T＝π。

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2 正弦函数、余弦函数的性质题号1234567891011得分答案一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分）1．当－错误!≤x≤错误!时,函数f（x）＝2sin(x＋错误!）有( ) A．最大值1,最小值－1B．最大值1，最小值－错误!C．最大值2,最小值－2D．最大值2，最小值－12．函数y＝2cos错误!的最小正周期是（)A.错误! B。

错误!C．2π D．π3．下列关系式中正确的是（)A．sin 11°<cos 10°〈sin 168°B．sin 11°<sin 168°〈cos 10°C．sin 168°<sin 11°<cos 10°D．sin 168°<cos 10°<sin 11°4．已知函数f(x）＝sin（2x－错误!)，则函数f（x)的图像的一条对称轴的方程是（）A．x＝错误! B．x＝错误!C．x＝错误! D．x＝错误!5．若函数y＝sin（x＋φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ等于( ）A．0 B.错误! C。

第10课时 正、余弦函数的周期性对应学生用书P21知识点一 周期函数的定义1．下列是定义在R 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( ) 答案 D解析 显然D 中函数图象不是经过相同单位长度，图象重复出现．而A ，C 中每经过一个单位长度，图象重复出现．B 中图象每经过2个单位，图象重复出现．所以A ，B ，C 中函数是周期函数，D 中函数不是周期函数．2．下列函数中，不是周期函数的是( ) A ．y ＝|cos x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝|sin x | D ．y ＝sin|x | 答案 D解析 画出y ＝sin|x |的图象(图略)，易知选D ．知识点二 正、余弦函数的周期求法3．函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的最小正周期分别是T 1，T 2，则tan T 1＋T 216＝________．答案 1解析 T 1＝T 2＝2π，则tanT 1＋T 216＝tan 4π16＝tan π4＝1． 4．若函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为π，则ω的值为________． 答案 ±2解析 由已知得3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx ＋π＋π4＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，即3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋ωπ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，易知ωπ＝±2π，解得ω＝±2．知识点三 周期函数的应用5．函数y ＝|cos x |－1的最小正周期是________． 答案 π解析 因为函数y ＝|cos x |－1的周期同函数y ＝|cos x |的周期一致，由函数y ＝|cos x |的图象知其最小正周期为π，所以y ＝|cos x |－1的最小正周期也为π．6．已知f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋3)＝f (x )，则f (2016)＝________． 答案 0解析 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0， 又因为f (x ＋3)＝f (x )，所以T ＝3， 所以f (2016)＝f (672×3)＝f (0)＝0． 7．已知f (n )＝sin n π4(n ∈Z )，那么f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝________．答案2＋1解析 ∵f (n )＝sinn π4(n ∈Z )，∴f (1)＝22，f (2)＝1，f (3)＝22，f (4)＝0，f (5)＝－22，f (6)＝－1，f (7)＝－22，f (8)＝0，…，不难发现，f (n )＝sin n π4(n ∈Z )的周期T ＝8，且每一个周期内的函数值之和为0．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝f (97)＋f (98)＋f (99)＋f (100)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝22＋1＋22＋0＝2＋1． 8．已知函数y ＝5cos2k ＋1π3x －π6(其中k ∈N )，对任意实数a ，在区间[a ，a ＋3]上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，求k 的值．解 由5cos2k ＋1π3x －π6＝54，得cos 2k ＋1π3x －π6＝14．∵函数y ＝cos x 在每个周期内出现函数值14有两次，而区间[a ，a ＋3]长度为3，为了使长度为3的区间内出现函数值14不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．即2×2π2k ＋1π3≤3，且4×2π2k ＋1π3≥3．∴32≤k ≤72．又k ∈N ，故k ＝2，3．一、选择题1．定义在R 上的函数f (x )，存在无数个实数x 满足f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )( ) A ．是周期为1的周期函数 B ．是周期为2的周期函数 C ．是周期为4的周期函数 D ．不一定是周期函数 答案 D解析 根据周期函数的定义可知f (x ＋T )＝f (x )中的x 必须是定义域中的任意值，否则不一定为周期函数．2．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝cos4|x |B ．y ＝－sin2xC ．y ＝cos x 4D ．y ＝sin x －π2答案 A解析 对于A ，∵y ＝cos4|x |＝cos4x ，∴T ＝2π4＝π2；对于B ，T ＝2π2＝π；对于C ，T ＝2π4＝8π；对于D ，y ＝sin x －π2＝－cos x ，T ＝2π．故选A ．3．函数y ＝cos k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( )A ．10B ．11C ．12D ．13 答案 D解析 ∵T ＝2πk4＝8πk≤2，∴k ≥4π，又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13．4．函数y ＝cos(sin x )的最小正周期是( ) A ．π2 B ．π C．2π D．4π答案 B解析 cos[sin(x ＋π)]＝cos(－sin x )＝cos(sin x )， ∴T ＝π，故选B ．5．设函数f (x )＝sin3x ＋|sin3x |，则f (x )为( ) A ．周期函数，最小正周期为π3 B ．周期函数，最小正周期为2π3C ．周期函数，最小正周期为2πD ．非周期函数 答案 B解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，sin3x ≤0，2sin3x ，sin3x >0，大致图象如图所示，由图可知f (x )为周期函数，最小正周期为2π3．二、填空题6．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝95，则sin α的值为________． 答案 ±45解析 由题意知π2＝2πω，∴ω＝4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫α4＋π12＋π6 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝3cos α＝95∴cos α＝35，∴sin α＝±1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝±45．7．函数f (x )＝sin ωx ＋π4(ω>0)的周期为π4，则ω＝________．答案 8解析 由题意，2πω＝π4，∴ω＝8．8．已知定义在R 上的函数f (x )是以2为周期的奇函数，则方程f (x )＝0在[－2，2]上至少有________个实数根．答案 5解析 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，又因为函数f (x )以2为周期， 所以f (2)＝f (－2)＝f (0)＝0，且⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝－f 1，f －1＝f1，解得f (－1)＝f (1)＝0，故方程f (x )＝0在[－2，2]上至少有5个实数根． 三、解答题9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)f (x )＝1，求证：f (x )是周期函数． 证明 ∵f (x ＋2)＝1f x，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1fx ＋2＝11f x＝f (x )．∴函数f (x )是周期函数，4是一个周期． 10．设函数f (x )＝a sin kx －π3和函数g (x )＝b cos2kx －π6(a ＞0，b ＞0，k ＞0)，若它们的最小正周期之和为3π2，且f π2＝g π2，f π4＝－3g π4－1，求这两个函数的解析式．解 ∵f (x )和g (x )的最小正周期和为3π2，∴2πk ＋2π2k ＝3π2，解得k ＝2． ∵f π2＝g π2，∴a sin2×π2－π3＝b cos4×π2－π6，即a ·sinπ－π3＝b ·cos2π－π6．∴32a ＝32b ，即a ＝b ．① 又f π4＝－3g π4－1，则有a ·sin π6＝－3b ·cos 5π6－1，即12a ＝32b －1．② 由①②解得a ＝b ＝1．∴f (x )＝sin2x －π3，g (x )＝cos4x －π6．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1．下列函数中，周期为π2的是( ) A ．y ＝sin x 2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x 4D ．y ＝cos 4x 解析：选D.A 中函数的周期为T ＝4π，B 中函数的周期为T ＝π，C 中函数的周期为T ＝8π，故选D.2．函数y ＝3cos(25x －π6)的最小正周期是( ) A.2π5 B.5π2C ．2πD ．5π解析：选D.∵3cos[25(x ＋5π)－π6]＝3cos(25x －π6＋2π)＝3cos(25x －π6)， ∴y ＝3cos(25x －π6)的最小正周期为5π. 3．已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数解析：选B.∵f (x )＝－cosπx －1，∴f (－x )＝－cos(－πx )－1＝－cosπx －1＝f (x )，∴f (x )为偶函数．又－cos [π(x ＋2)]－1＝－cos(πx ＋2π)－1＝－cosπx －1，∴f (x )的周期是2.故选B.4．下列命题中正确的是( )A ．y ＝－sin x 为奇函数B ．y ＝|sin x |既不是奇函数也不是偶函数C ．y ＝3sin x ＋1为偶函数D ．y ＝sin x －1为奇函数解析：选A.y ＝|sin x |是偶函数，y ＝3sin x ＋1与y ＝sin x －1都是非奇非偶函数．5．若函数y ＝sin(x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ等于( )A ．0 B.π4C.π2D ．π 解析：选C.由于y ＝sin(x ＋π2)＝cos x ，而y ＝cos x 是R 上的偶函数，所以φ＝π2. 6．函数f (x )＝sin(32π＋x )的奇偶性是________．解析：∵f (x )＝sin(32π＋x )＝－cos x ，又g (x )＝－cos x 是偶函数，∴f (x )＝sin(32π＋x )是偶函数．答案：偶函数7．函数f (x )＝sin x －1的定义域为________．解析：要使f (x )＝sin x －1有意义，则sin x －1≥0，即sin x ≥1，而sin x ≤1，∴sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z .∴函数f (x )＝sin x －1的定义域为{x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z }．答案：{x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z }8．函数y ＝3sin(ax ＋π6)的最小正周期是π，则a ＝________.解析：∵y ＝3sin(ax ＋π6)的最小正周期是π，∴必有3sin[a (x ＋π)＋π6]＝3sin[(ax ＋π6)＋a π]＝3sin(ax ＋π6)，∴|a π|＝2π，∴a ＝±2.答案：±29．求下列函数的周期：(1)y ＝－2cos(－12x －1)；(2)y ＝|sin 2x |.解：(1)∵－2cos[－12(x ＋4π)－1] ＝－2cos[(－12x －1)－2π]＝－2cos(－12x －1)，∴函数y ＝－2cos(－12x －1)的周期是4π.(2)∵|sin2(x ＋π2)|＝|sin(2x ＋π)|＝|－sin 2x |＝|sin 2x |，∴y ＝|sin 2x |的周期是π2. 10．若函数f (x )是以π2为周期的偶函数，且f (π3)＝1，求f (－176π)的值． 解：∵f (x )的周期为π2，且为偶函数， ∴f (－176π)＝f (－3π＋π6) ＝f (－6×π2＋π6)＝f (π6)． 而f (π6)＝f (π2－π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝1， ∴f (－176π)＝1.。

课题：正弦函数、余弦函数的性质---周期性一、教学内容分析《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数的其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用．对于函数性质的研究，在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质，因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究，学生已经有些经验了，其中，通过观察函数的图象，从图象的的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想方法的应用。

由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地位，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质，那么就完全清楚它在整个定义域内的性质。

正弦、余弦函数的性质的难点在于对函数周期性的正确理解与运用，以下的奇偶性，无论是由图象观察，还是由诱导公式进行证明都很容易，单调性只要求由图象观察，不要求证明，而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论，只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可。

二、学生学习情况分析学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．三、设计理念根据“诱思探究教学”中提出的教学模式，设计的教学过程，遵循“探索—研究—运用”亦即“观察—思维—迁移”的三个层次要素，侧重学生的“思”“探”“究”的自主学习，由旧知识类比得新知识，自主探究图象与图象之间的变换关系，让学生动脑思，动手探，教师的“诱”要在点上，在精不用多。