(新整理)最新北师大版九年级上相似三角形讲解学习

相似三角形【知识要点】1．对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

2．相似三角形的判定：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

②如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

③如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

3．相似三角形具有下述性质：①相似三角形对应角相等、对应边成比例；②相似三角形对应高、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；④相似三角形面积的比等于相似比的平方。

4．熟悉如图中形如“A”型，“X”型，“子母型”等相似三角形。

【典型例题】例1．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于O，BM∥CD交CA的延长线于M，求证：OC2 =OA·OMBGD例2 . 如图，三个正方形组成一个矩形，AB=AG=GH=HD=a ，求证：∠AFB+∠ACB=45°。

例3 . 已知CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高，E 是CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，AB FG ⊥，垂足是G ，求证：FB FC FG ∙=2ABCDE G H例4．如图，已知△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB 。

（1）求证：△ADE ∽△EFC 。

（2）如果△ADE 和△EFC 的面积分别是20和45，求四边形BFED 的面积。

例5. 如图所示，△ABC 中AB=AC ，D 为CB 的延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，满足AB 2=DB ·CE 。

（1）求证：△ADB ∽△EAC ； （2）若∠BAC=40°，求∠EAD 的大小例6.已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F求证：△AEF ∽△ACBADBCE例7．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD .（1）求证：OE=OF ； （2）求证：EFBC AD 211=+。

教学过程前课回顾1. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 2. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方错题重现1．若3x-7y=0, 则y∶x=_______, =________。

2．若a=7, b=4, c=5, 则b, a, c 的第四比例项d=_______。

3.若线段a=4, b=6, 则a, b 的比例中项为________。

4.已知：===, 则=______，=_________。

5.已知：a∶b∶c=3∶4∶5, a+b -c=4, 则4a+2b-3c=________。

知识详解知识点二：相似三角形的判定 相似三角形的几种基本图形：A C E DB①E DCB A ②A③C BDE D BCA⑥A CB④D A CDBP⑤图①为“A ”型图，条件是DE ∥BC ，基本结论是△ADE ∽△ABC ； 图②为“X ”型图，条件是ED ∥BC ，基本结论是△ADE ∽△ABC ； 图③，图④是图①的变式；图⑤是图②的变式；图⑥是“母子”型图，条件是CD 为斜边上的高，基本结论是△ACD ∽△ABC ∽△CBD 。

典型例题作辅助线构造“A ”“X ”型例1、如图，1==DEAECD BD ，求BF AF 。

（试用多种方法解）方法一：方法二：方法三：例2、如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上的一点，且AE=31AD ，CE 交AB 于点F ，若AF=1.2cm ，求AB 的长。

知识点总结6.相似三角形的性质相似三角形的性质★★★相似三角形的对应角相等，对应边成比例.相似三角形性质定理1★★★ 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.相似三角形性质定理2★★★相似三角形的周长的比等于相似比.相似三角形性质定理3★★★相似三角形的面积的比等于相似比的平方.要点解析1.性质定理1和定理2可以概括为：相似三角形中对应线段（高、中线、角平分线）及周长的比都等于相似比. 即相似三角形对应高的比=对应中线的比=对应角平分线的比=周长的比=相似比.在这些比例中，只要知道任何一组线段的比，就可以求出其他对应线段的比.2.相似三角形的性质3为：相似三角形的面积比=相似比的平方，要防止出现“面积比=相似比”的错误.如果其中两个三角形相似，它们之间有怎样的性质呢？相似三角形线段的关系在相似三角形中，除了角和边外，还有三种主要线段：高线、中线，角平分线。

这些对应线段之间有怎样的关系呢？相似三角形周长和面积的关系周长比等于相似比。

面积的比等于相似比的平方。

【例】一块三角形木板，工人师傅要把它切割成：一块三角形和一块梯形，要使切割出的三角形与梯形面积之比为4：5，该怎么切割呢？同理，当DE平行于AC或AB时，也可以得到类似的结果，因此可以有三种切割方法。

相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边的比相等;(2)对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.(4)射影定理习题讲析△ABC的三边之比为3：4：5，与其相似的△DEF的最短边是9cm，则其最长边的长是A、5cmB、10cmC、15cmD、30cm解析：C试题分析：由△ABC的三边之比为3：4：5，根据相似三角形的对应边成比例，可得与其相似的△DEF的三边之比为3：4：5，又由与其相似的△DEF的最短边是9cm，即可求得答案。

解：∵△ABC的三边之比为3：4：5，∴与其相似的△DEF的三边之比为3：4：5，∵与其相似的△DEF的最短边是9cm，∴其最长边的长是：15cm．故选：C．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．在△A′B′C′中，∠C′=90°，A′C′=B′C′．能否分别将这两个三角形各自分割成两个三角形，使△ABC所分成的两个三角形与△A′B′C′所分成的两个三角形分别对应相似？若能，请设计一种分割方案；若不能，请说明理由．解析：试题分析：要想让分成的每个三角形分别对应相似．那么唯一的方法就是把各个三角形中的直角进行分割．把∠C分为45°，45°，那么两个三角形的两个角分别为30°，45°；45°，60°，把∠C′分为30°，60°，那么两个三角形的两个角分别为30°，45°；45°，60°，相应的两个三角形都有两角对应相等，那么相似．试题解析：如图所示：∵∠C=90°，∠A=30°，∠C′=90°，A′C′=B′C′，∴∠B=60°，∠A′=∠B′=45°，又∵∠ACE=∠BCE=45°，∠A′C′F=30°，∠B′C′F=60°，∴∠A=∠AA′C′F，∠ACE=∠A′，∴△ACE∽△C′A′F，∵∠B=∠B′C′F，∠B′=∠BCE，∴△BCE∽△C′B′F．（1）若四边形ABCD的对角线AC将四边形分成面积相等的两个三角形，证明直线AC必平分对角线BD．（2）写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？答案。

新北师大版九年级上册初中数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习探索相似三角形相似的条件(基础)【学习目标】1. 相似三角形的概念.2.相似三角形的三个判定定理.3.黄金分割.4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形的概念相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的三个判定定理定理：两角分别相等的两个三角形相似.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.三边成比例的两个三角形相似.要点诠释：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、黄金分割1.定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC 两段,如果AC BC AB AC=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.要点诠释：12AC AB =≈0.618AB(0.618是黄金分割的近似值，12是黄金分割的准确值). 2.作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似三角形的概念1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A 中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B 中什么条件都不满足；D 中只有一条对应边的比相等；C 中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.举一反三：【变式】（2014秋•江阴市期中）给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有 （填序号）．【答案】①②④⑤.类型二、相似三角形的三个判定定理2、如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可；（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可．【答案与解析】（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的两个对应角相等的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出对应角关系是解题关键．举一反三【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．【答案】证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．3、（2014秋•洪江市期中）如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB 向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由．【思路点拨】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=xcm，BQ=2xcm，BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，又由∠B是公共角，分别从=或=分析，即可求得答案．【答案与解析】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=xcm，BQ=2xcm，∵AB=8cm，BC=16cm，∴BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，∵∠B是公共角，∵①当=，即=时，△PBQ∽△ABC，解得：x=4；②当=，即=时，△QBP∽△ABC，解得：x=1.6，∴经4或1.6秒钟△PBQ与△ABC相似．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定．属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．4、网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF．【思路点拨】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC∽△DEF．【答案与解析】举一反三【变式】如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=________，BC=_________；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．【答案】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，（2）△ABC ∽△DEF ．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°， ∴∠ABC=∠DEF ．BC FE===∴△ABC ∽△DEF ．类型三、黄金分割5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB ＝215-≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为215-，则这种矩形叫做黄金矩形．（2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明AB AE ＝215-即可． 【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形． 理由如下：因为AB AE ＝ABED AB AD AB ED AD -=- ＝21512151)15)(15()15(21152-=-+=-+-+=-- 所以矩形ABFE 也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法.举一反三：【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°，∴PD ＝522=+AD AP 。

三角形相似判定方法的汇总及选用一.相似三角形的判定方法:(1)定义法:对应角相等,对应边的比相等的两个三角形相似.(2)平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.(3)判定定理1:如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.(4)判定定理2:如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.(5)判定定理3:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.注意:①在两个三角形中，只要满足两个角对应相等,那么这两个三角形相似,证明时,关键是寻找对应角;②一般地,公共角、对顶角、同角的余角(或补角)都是相等的，在证明过程中要特别注意，这一判定方法是三角形相似的最常用的方法.二.合理选择判定方法在运用相似三角形的判定定理解几何问题时，要注意定理的选择，即①已知有一角相等时，可选择判定定理2 或判定定理3；②已知有两边的比相等时，可选择判定定理1或判定定理2.还应注意形似三角形判定定理的作用，即①可以用来判定两个三角形相似；②间接证明角相等，线段成比例：间接地为计算线段长度及角的大小创造条件.例1：如图1，点D 在△ABC 的边AB 上，满足怎样的条件时，△ACD ∽△ABC ？试分别加以举例.分析：此题属于探索性问题，由相似三角形的判定方法可知：△ACD 与△ABC 已有公共角∠A,要使这两个三角形相似，可根据相似三角形的判定方法寻找一个条件即可.解：当满足以下三个条件之一时，△ACD ∽△ABC.条件一：∠ACD=∠B;条件二：∠ADC=∠ACB; 条件三：,ABAC AC AD =.2AB AD AC ⋅= 反思：本题探索的问题是相似三角形的判别方法，在探索两个三角形形似时，用分析法，可先证明△ACD ∽△ABC 然后寻找两个三角形中边的关系或角的关系即可.例2:如图2,已知△ABC 中,,900=∠C D 、E 在BC 上，且BD=DE=EC=AC ，指出图中相似三角形,并证明你的结论.分析:先利用排除法找到不可能形似的,再证明相似的,△ACE 是等腰直角三角形,所以不可能同其他三角形相似;又△ACD 是直角三角形,所以不可能和非直角三角形△ADE 、△ABD 、△ABE 相似；又△ACD 和△ACB 对应边的比不相等,所以一也不可能相似;因为∠AED=∠BEA ，所以△AED 和△BEA 可能相似.证明:设AC=CE=ED=DB=a.,2,22a EB ED a AE =⋅=.2EB ED AE ⋅= 即AEEB ED AE =.∠AED=∠BEA ， △AED ∽△BEA.反思:对于具体问题，一定要灵活处理.因为此题出现三角形较多,首先要“快刀斩乱麻”去掉那些不可能相似的三角形，再来检验那些可能相似的三角形. 例3:(苏州)如图3，梯形ABCD 中．AB ∥CD ．AB=2CD ，E,F 分别是AB ，BC 的中点.EF 与BD 相交于点M ．(1)求证：△EDM ∽△FBM ；(2)若DB=9，求BM ．分析：(1)从已知条件中易推出BE=CD,BE ∥CD,于是根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，得四边形DCBE 是平行四边形.因此CB ∥DE,故可推出△EDM ∽△FBM. (2)利用(1)中的△EDM ∽△FBM ，可得,BFDE BM DM =而F 为BC 的中点，得DE=2BF,DM=2EB.故BM 为所求. 解：(1)∵E 是AB 的中点,∴AB=2EB.∵AB ∥CD,∴四边形CBED 为平行四边形,∴ CB ∥DE.∴∠DEM=∠BFM, ∠EDM=∠FBM. ∴△EDM ∽△FBM.(2) ∵△EDM ∽△FBM, ∴BFDE BM DM =.∵F 是BC 的中点,∴ DE=2BF. ∴DM=2BM,∴BM=.331=DB图2BA 图3反思:遇到有平行条件时,通常利用平行线的性质;借助平行线的性质,找相等的角来证明三角形相似.例4:如图4,已知在△ABC 中, ∠C=,900D 、E 分别为AB 、BC 上的点,且.BC BE AB BD ⋅=⋅求证:DE ⊥AB.分析:证垂直的方法很多,我们已知当一个三角形与已知直角三角形全等,那么这个三角形也是直角三角形,类似地,我们也可以通过证一个三角形与已知三角形相似来证明垂直问题，而由∠B 为公共角, .BC BE AB BD ⋅=⋅可得△ABC ∽△EBD,故问题得证.证明: ∵.BC BE AB BD ⋅=⋅∠B=∠B, ∴△ABC ∽△EBD.∴∠EDB=∠C.又∵∠C=,900∴∠EDB=.900 ∴DE ⊥AB.反思:若将题设里的BC BE AB BD ⋅=⋅与结论DE ⊥AB 交换后,该如何证明?请与同伴交流你的证明思路.图4。

相似三角形的判定与性质知识点一：相似三角形的判定【方法点拨】1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．【例1】已知，如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F、E，试证明：（1）△BAF∽△BCE．（2）△BEF∽△BCA．【变式训练3】如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E 为AB 的中点，（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：△AFD∽△CFE．【变式训练4】如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3 ＝∠4．求证：（1）△ABD∽△CBE；（2）△ABC∽△DBE．知识点二：相似三角形的性质相似三角形的性质：(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．【例1】如图，在△ABC 中，若点D、E 分别是AB、AC 的中点，S△ABC=4，则S△ADE=（）A.1B.2C.3D.4【变式训练1】如图，在△ABC 和△DBE 中，53AB BCDB BE==，且∠DBA＝∠CBE．（1）若△ABC 与△DBE 的周长之差为10cm，求△ABC 的周长；（2）若△ABC 与△DBE 的面积之和为170cm2，求△DBE 的面积．【变式训练2】如图，D、E 分别是△ABC 的边AB、BC 上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE ＝1：3，求S△DOE：S△AOC 的值．相似与投影的应用1. 相似三角形的应用【例1】如图，身高1.6 米的学生小李想测量学校的旗杆的高度，当他站在C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2 米，BC=8 米，则旗杆的高度是米.【变式训练1】如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB．他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm．EF＝30cm，测得边DF 离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．【变式训练2】随着人们对生活环境的要求逐渐提高，环境保护问题受到越来越多人的关注，环保宣传也随处可见．如图，小云想要测量窗外的环保宣传牌AB 的高度，她发现早上阳光恰好从窗户的最高点C 处射进房间的地板F 处，中午阳光恰好从窗户的最低点处射进房间的地板E 处，小云测得窗户距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF ＝3m．请根据以上测量数据，求环保宣传牌AB 的高度．2. 图形的位似画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）。

相似三角形的性质一、知识点回顾1、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

（3）相似三角形周长的比等于相似比。

以上各条可以概括为：相似三角形的对应线段之比等于相似比。

（4）相似三角形面积之比等于相似比的平方。

二、例题：例1、如图，在Rt △ABC 内有三个内接正方形，DF=9cm ，GK=6cm ，求第三个正方形的边长PQ 。

解： 设PQ=xcm ，则PK=6－x 。

∵GF=9-6=3cmRt △FGK ∽ Rt △KPQ ∴PQPKGK GF = 即：xx -=663∴x =4cm即：正方形的边长为4cm例2、如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，且EF=32BC=2cm ，△AEF 的周长为10cm ，求梯形BCFE 的周长。

解：∵EF ∥BC∴△AEF ∽ △ABC ∴BCEFABC AEF =∆∆周长周长（相似三角形的周长之比等于相似比）∴△ABC 的周长为15cm∴梯形BCFE 的周长=△ABC 的周长－△AEF 周长+2EF=9cm例3、如图，△ABC 被DE 、FG 分成面积相等的三部分，且DE ∥FG ∥BC 。

求DE ：FG ：BC 。

解：∵DE ∥FG ∴△ADE ∽ △AFG∴2⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆FG DE S S AFG ADE （相似三角形的面积之比等于相似比的平方）。

∵S 1=S 2∴212=⎪⎭⎫⎝⎛FG DE 即：21=FG DE 同理31=BC DE ∴DE ：FG ：BC=1：2：3例4、如图，矩形FGHN 内接于△ABC ，F 、G 在BC 上，N 、H 分别在AB 、AC 上，且AD ⊥BC 于D ，交NH 于E ，AD=8cm ，BC=24cm ，NF ：NH=1：2，求此矩形的面积。

解：∵NH ∥BC ∴△ANH ∽ △ABC 又∵AD ⊥BC ，NH ∥FG ∴AE ⊥NHD∴BCNHAD AE =（相似三角形的对应边上的高之比等于相似比） 设NF=x ，则NH=2x ，AE=AD －ED=8－x ∴24288xx =- ∴x =4.8 ∴S 矩形FGHN =NF×NH=46.08答：矩形的面积为46.08cm 2三、训练题： 【基础与巩固】1.等腰三角形ABC 的腰的长为12，底的长为10，等腰三角形A ′B ′C•′的两边长分别为5和6，且△ABC ∽△A ′B ′C ′，则△A ′B ′C ′的周长为（ ）．（A ）17 （B ）16 （C ）17或16 （D ）342.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm•和4.5cm ，•如果它们的面积和为78cm 2，那么较大的多边形面积为（ ）．（A ）46.8cm 2 （B ）42cm 2 （C ）52cm 2 （D ）54cm 23.顺次连接三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形的对应高的比是（ ）． （A ）1：4 （B ）1：3 （C ）1：2 （D ）1：24.已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且AB=2A ′B ′，如果△ABC 的周长是26cm ，•那么△A ′B ′C ′的周长是______cm ；5.把一个四边形放大成与其相似的四边形，如果边长扩大为原来的10倍，•那么面积扩大为原来的________倍，如果面积扩大为原来的25倍，那么边长扩大为原来的_________倍；6.要把一根1m 长的铜丝截成两段，用它们围成两个相似三角形，且相似比为35，那么截成的两段铜丝长度的差应是______m ．7.如果两个相似三角形对应高的比是1：2，那么它们的面积比是______；8.如果两个相似三角形对应中线的比等于5：6，•那么这两个相似三角形的相似比为_______；9.如果两个相似三角形的周长分别为9cm 和15cm ，•那么这两个相似三角形的对应角平分线的比为________；10.若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 、A ′D ′分别是△ABC 、△A ′B ′C ′的高，AD ： A ′D ′=3：4，△A ′B ′C ′的一条中线B ′E ′=16cm ，则△ABC 的中线 BE=_______cm ．11.在一张比例尺为1：5 000•的地图上，•一块多边形区域的周长是72cm ，•面积是320cm 2，求这个区域的实际周长和面积．12.已知△ABC 的三边长分别为3，4，5，与它相似的△A ′B ′C ′的最大边长为15，•求△A ′B ′C ′的面积．13.如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 、A ′D ′分别是这两个三角形的高，EF 、E•′F ′分别是这两个三角形的中位线．''''AD EFA D F F 与相等吗？为什么？14. 如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=3cm ，AC=4cm ，以斜边BC 上距点B3cm 的点P•为中心，把AB C F G HND E这个三角形按逆时针方向旋转90°成图中的△DEF位置，•求旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是多少？15. 如图，△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC、△A′B′C′的角平分线，BE、B′E′分别是△ABC、△A′B′C′的中线，AD、BE相交于点O，A′D′、B′E′相交于点O′．△AOE与△A′O′E′相似吗？为什么？16. 如图，在矩形FGHN中，点F、G在边BC上，点N、H分别在边AB、AC上，且AD⊥BC，•垂足为D，AD交NH于点E，AD=8cm，BC=24cm，NF：NH=1：2，求此矩形的面积．17. 一块直角三角形木块的面积为1.5m2，直角边AB长1.5m，想要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲、乙两人的加工方法分别如图①、图②所示．你能用所学的知识说明谁的加工方法更符合要求吗？（加工损耗忽略不计）【拓展与延伸】1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD分成两部分面积的比是1：2，EF是中位线，则被EF分成的两部分面积之比为S AEFD：S BCFE=（）A、3：4B、4：5 C：5：7 D、7：92、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若S△AOD:S△ACD=1：3，则S△AOD:S△BOC 等于（）A、1：6 B、1：3 C、1：4 D、1：63、如图，DE∥BC，DE把△ABC的面积分成相等的两部分，那么DE：BC等于（）A、1：2B、1：4C、2：2D、2：24、如图，将△ABC的高AD三等分，过每一个分点作底边的平行线，这样把三角形分成三部分，设这三部分的面积为S1，S2，S3，则S1：S2：S3=（）A 、1：2：3B 、2：3：4C 、1：3：5D 、3：5：75、如图，在△ABC 中，∠CBA=90°，BD ⊥AC 于D ，则下面关系式中错误的是（ ）A 、AB 2=AD×AC B 、BD 2=AD×DC C 、AB 2=AC 2－BC 2 D 、AB 2=AC×DC6、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，PQMN 为正方形，且顶点在△ABC 各边上，BC=60cm ，AD=40cm ，则正方形边长为（ ）A 、12cmB 、16cmC 、20cmD 、24cm7、如果两个相似三角形的对应边的比是4：5，周长的和为18cm ，那么这两个三角形的周长分别为_______________。