2014年江西省高考数学试卷(理科)最新修正版

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理科数学本试卷共22题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题）一、单选题1．z 是z 的共轭复数. 若2=+z z ，2)(=−i z z （i 为虚数单位），则=z （ ） A ．i +1 B ．i −−1 C ．i +−1 D ．i −1 2．函数的定义域为（ ） A ．B ．C ．D ．3．已知函数，，若，则（ ）A ．1B ．2C ．3D ．-14．在中，内角A,B,C 所对应的边分别为，若则的面积（ ）A ．3B ．C ．D ．5．一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）A ．B ．C．D．6．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1表2表3表4．成绩．视力．智商．阅读量7．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A ．7B ．9C ．10D ．118．若()()122f x x f x dx =+⎰,则()1f x dx =⎰（ ）A ．1−B ．13−C ．13D ．19．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +−=相切，则圆C 面积的最小值为（ ）A ．45πB ．34π C ．(6π−D ．54π 10．如右图，在长方体1111ABCD A B C D −中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i −次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．11．对任意,x y R ∈,111x x y y −++−++的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．(2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =−≤≤的极坐标为（ ） A ．1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+B ．1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+第II 卷（非选择题）二、填空题13．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________. 14．若曲线x y e −=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________. 15．已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =−与123b e e =−的夹角为β，则cos β= .16．过点(1,1)M 作斜率为12−的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 ．三、解答题17．已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++，其中,(,)22a R ππθ∈∈−（1）当4a πθ==时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；（2）若()0,()12f f ππ==，求,a θ的值.18．（本小题满分12分） 已知首项都是1的两个数列（），满足.（1）令，求数列的通项公式； （2）若13n n b −=，求数列的前n 项和19． 已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若在区间1(0,)3上单调递增，求b 的取值范围.20．(本小题满分12分) 如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.求证：若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面21．如图，已知双曲线()222:10x C y a a−=>的右焦点为F ,点,A B 分别在C 的两条渐近线上，AF x ⊥轴，AB OB ⊥,//BF OA (O 为坐标原点）. （1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点()()000,0P x y y ≠的直线002:1x xl y y a −=与直线AF 相交于点M ，与直线32x =相交于点N ，证明：点P 在C 上移动时，MFNF恒为定值，并求此定值.22．随机将()1,2,,2,2n n N n *⋅⋅⋅∈≥这2n 个连续正整数分成A,B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为1b ，最大数为2b ，记2121,a a b b ξη=−=− （1）当3n =时，求ξ的分布列和数学期望；（2）令C 表示事件ξ与η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率()p c ；（3）对（2）中的事件C,c 表示C 的对立事件，判断()p c 和()p c 的大小关系，并说明理由．2014年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理科数学(参考答案)1．D【解析】试题分析：设,(,)z a bi a b R =+∈，则,z a bi =−由2=+z z 得：1a =，由2)(=−i z z 得：1b =−，所以1,z i =−选D. 2．C【解析】试题分析：由题意得：20,x x −>解得1,x >或0x <，所以选C. 3．A【解析】试题分析：因为((1))15f g ==，所以(1)0,=g 即选A.4．C【解析】试题分析：因为所以由余弦定理得：2222cos3c a b ab π=+−，即26,6ab ab ab −+=−=，因此的面积为1sin 3,222ab C =⨯=选C. 5．B【详解】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C 、D 不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A 不正确，故选B ． 6．D【详解】根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++分别计算得：A.2252(6221014):0.00916363220A K ⨯−⨯=≈⨯⨯⨯;2252(4201216): 1.76916363220B K ⨯−⨯=≈⨯⨯⨯;2252(824812): 1.316363220C K ⨯−⨯=≈⨯⨯⨯;2252(143062):23.4816363220D K ⨯−⨯=≈⨯⨯⨯选项D 的值最大，所以与性别有关联的可能性最大,故选D. 7．B 【解析】试题分析：i =1,s =0运行第一次，s =lg 13，s <−1不成立； i =3， 运行第二次，s =lg 13+lg 35=lg 15，s <−1不成立； i =5，运行第三次，s =lg 1+lg 5=lg 1，s <−1不成立；i =7，运行第四次，s =lg 17+lg 79=lg 19，s <−1不成立；i =9，运行第五次，s =lg 19+lg 911=lg 111，s <−1成立； 输出i 的值9，结束 故选B. 8．B 【解析】试题分析：设()12()2f x dx c f x x c =⇒=+⇒⎰()1311000111|2|2333f x dx x cx c c c =+=+=⇒=−⎰，故选B ． 9．A【详解】试题分析：设直线:240l x y +−=因为1||||2C l OC AB d −==，1c d −表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C的半径最小值为11225O l d −==，圆C面积的最小值为2455ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．故本题的正确选项为A. 10．C 【解析】 试题分析：因为37411>，所以1A E 延长交11D C 于F ，过F 作FM 垂直DC 于.M 在矩形1AA FM 中分析反射情况：由于35105AM =>，第二次反射点为1E 在线段AM 上，此时153E M =,第三次反射点为2E 在线段FM 上，此时24E M =,第四次反射点为3E 在线段1A F 上,由图可知，选C.11．C 【详解】因为111x x y y −++−++(1)(1)(1)123x x y y ≥−−+−−+=+=，当且仅当01,11x y ≤≤−≤≤时取等号，所以111x x y y −++−++的最小值为3，故选C. 12．A试题分析：根据cos ,sin ,0,[0,2]x y ρθρθρθπ==>∈，()101y x x =−≤≤得：[0,1],sin 1cos ,(0cos 1,0sin 1,)y ρθρθρθρθ∈=−≤≤≤≤解得1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+，选A.13．12【解析】试题分析：从10件产品中任取4件，共有410C 种基本事件，恰好取到1件次品就是取到1件次品且取到3件正品，共有1337C C ，因此所求概率为13374101.2C C C = 14．(ln 2,2)−【解析】试题分析：设切点P (,)a b ，则由x y e −'=−得：2,2,ln 2,2a a a k e e a b e −−−=−=−==−==，所以点P 的坐标是(ln 2,2)−.15．3【解析】试题分析：因为22111942329,912318,929118,333a b a b =+−⨯⨯⨯==+−⨯⨯⨯=⋅=+−⨯⨯⨯=所以cos 3β==16．2【解析】试题分析：设A ()11,x y ，B ()22,x y ，则2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②，∵M 是线段AB 的中点，∴12121,122x x y y ++==，∵直线AB 的方程是()1112y x =−−+，∴()121212y y x x −=−−，∵过点M （1，1）作斜率为12−的直线与椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴①②两式相减可得22221212220x x y y a b−−+=，即2221202a c b a b ⎛⎫+−⋅=∴=∴= ⎪⎝⎭2c e a ∴==． 17．（1）最大值为,2最小值为-1. （2）1{.6a πθ=−=−试题解析：解（1）当4a πθ==时，()sin())sin cos sin()42224f x x x x x x x πππ=++=+=−因为[0,]x π∈，从而3[,]444x πππ−∈−故()f x 在[0,]π上的最大值为2最小值为-1. （2）由()0{2()1f f ππ==得2cos (12sin )0{2sin sin 1a a a θθθθ−=−−=，又(,)22ππθ∈−知cos 0,θ≠解得1{.6a πθ=−=−18．（1）2 1.n c n =−（2）(1)3 1.nn S n =−⋅+ 【解析】试题解析：（1）因为，所以1112,2n nn n n na a c cb b +++−=−=所以数列{}n c 是以首项11c =，公差2d =的等差数列，故2 1.n c n =−（2）由13n n b −=知1(21)3n n n n a c b n −==−于是数列前n 项和0111333(21)3n n S n −=⋅+⋅++−⋅1231333(21)3n n S n =⋅+⋅++−⋅相减得121212(333)(21)32(22)3n n n n S n n −−=+⋅++−−⋅=−−⋅所以(1)3 1.n n S n =−⋅+19．（1）()f x 在2x =−取极小值0，在0.x =取极大值4.（2）1(,].9−∞ 【解析】 试题解析：（1）当时，()f x '=由()0f x '=得2x =−或0.x =当(,2)x ∈−∞−时，()0,()f x f x <'单调递减，当(2,0)x ∈−时，()0,()f x f x >'单调递增，当1(0,)2x ∈时，()0,()f x f x <'单调递减，故()f x 在2x =−取极小值0，在0.x =取极大值4.（2）()f x '=因为当1(0,)3x ∈时0<依题意当1(0,)3x ∈时，有，从而53203b +−≤ 所以b 的取值范围为1(,].9−∞【解析】 试题解析：（1）证明：ABCD 为矩形，故AB ⊥AD ， 又平面PAD ⊥平面ABCD 平面PAD ⋂平面ABCD=AD所以AB ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，故AB ⊥PD（2）解：过P 作AD 的垂线，垂足为O ，过O 作BC 的垂线，垂足为G ，连接PG. 故PO ⊥平面ABCD ，BC ⊥平面POG,BC ⊥PG 在直角三角形BPC 中，PG GC BG === 设,AB m =，则DP ==，故四棱锥P-ABCD 的体积为13V m ==因为=故当3m =时，即3AB =时，四棱锥的体积P-ABCD 最大.建立如图所示的空间直角坐标系， ()0,0,0,,,0,,,0,0,,0,0,333333O B C D P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故设平面BPC 的法向量()1,,1,n x y =，则由1n PC ⊥,1n BC ⊥得0{ 333x y +−== 解得1,0,x y == ()11,0,1,n =同理可求出平面DPC 的法向量210,,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而平面BPC 与平面DPC 夹角θ的余弦值为12cos .5n n n n θ⋅===⋅11 / 1221．（1）221.3x y −=（2）MF NF =【详解】（1）设(c,0)F ，因为1b =，所以c =由题意可得，直线OB 方程为1y x a =−，直线BF 的方程为1()y x c a =−，联立解得(,)22c cB a −，而直线OA 的方程为1y x a =，则(,),c A c a∴3.AB k a= 又因为AB ⊥OB ，所以31()1a a ⨯−=−，解得23a =，故双曲线C 的方程为22 1.3x y −=（2）由（1）知a =l 的方程为0001(0)3x xy y y −=≠，即0033x x y y −=因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF 的交点0023(2,)3x M y −， 直线l 与直线32x =的交点为003332(,)23x N y−，则220222004(23)9[(2)]MF x y x NF −=+−． 因为()00,P x y 是C 上一点，则2200 1.3x y −=，代入上式得222002222200004(23)4(23)49[(2)]39[1(2)]3MF x x x y x NFx −−===+−−+−，故所求定值为3MF NF =．7.2E ξ=（2）当2n =时，42()63P C ==，当3n ≥时22122(2)()n kk k nnC P C C −=+=∑ （3）当2n =时，()(),P C P C >当3n ≥时，()(),P C P C <【解析】试题解析：（1）当3n =时，ξ所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A,B 两组，不同的分组方法共有3620C =种，所以ξ的分布列为12 / 12133172345.5101052E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（2）ξ和η恰好相等的所有可能值为1,,1,,2 2.n n n n −+− 又ξ和η恰好相等且等于1n −时，不同的分组方法有2种； ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于(1,2,,2),(3)n k k n n +=−≥时，不同的分组方法有22kk C 种；所以当2n =时，42()63P C == 当3n ≥时22122(2)()n kk k n nC P C C−=+=∑（3）由（2）当2n =时，1(),3P C =因此()(),P C P C > 而当3n ≥时，()(),P C P C <理由如下：()(),P C P C <等价于22214(2)n k nk n k C C −=+<∑①用数学归纳法来证明：1当3n =时，①式左边124(2)16,C =+=①式右边3620,C ==所以①式成立2假设(3)n m m =≥时①式成立，即22214(2)m k mk m k C C −=+<∑成立那么，当1n m =+时，①式左边122112222222114(2)4(2)44m m k k m m m kk m m m k k CC C C C +−−++++===+=++<+∑∑2(2)!4(22)!(1)(2)(22)!(41)!!(1)!(1)!(1)!(1)!m m m m m m m m m m m m ⨯−+−−=+=−−++ 2112222(1)(2)(22)!(4)2(1)(1)!(1)!(21)(21)m m m m m m m m m m C C m m m m +++++−+<=⋅<+++−=①式右边即当1n m =+时①式也成立综合12得，对于3n ≥的所有正整数，都有()()P C P C <成立。

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1] 3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）?g（x）是偶函数B．|f（x）|?g（x）是奇函数C．f（x）?|g（x）|是奇函数D．|f（x）?g（x）|是奇函数4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα＝，则（）A．3α﹣β＝B．3α+β＝C．2α﹣β＝D．2α+β＝9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p310．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．211．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为．（用数字填写答案）14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λＳn﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）?g（x）是偶函数B．|f（x）|?g（x）是奇函数C．f（x）?|g（x）|是奇函数D．|f（x）?g（x）|是奇函数【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（﹣x）?g（﹣x）=﹣f（x）?g（x），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣x）|?g（﹣x）=|f（x）|?g（x）为偶函数，故B错误，f（﹣x）?|g（﹣x）|=﹣f（x）?|g（x）|是奇函数，故C正确．|f（﹣x）?g（﹣x）|=|f（x）?g（x）|为偶函数，故D错误，故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|?|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】5I：概率与统计．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα＝，则（）A．3α﹣β＝B．3α+β＝C．2α﹣β＝D．2α+β＝【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．【解答】解：由tanα＝，得：，+cosα，即sinαcosβ=cosαsinβsin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3【考点】2K：命题的真假判断与应用；7A：二元一次不等式的几何意义．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，?（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2正确；p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：?（x，y）∈D，x+2y ≤3错误；p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．2【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3?+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20 ．（用数字填写答案）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8．含x2y6的系数是28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 A ．【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】5M：推理和证明．【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为90°．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．【解答】解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；58：解三角形．【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC?（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c?2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc?b2+c2﹣bc=a2?b2+c2﹣bc=4?bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λＳn﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．【考点】83：等差数列的性质；8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用a n a n+1=λＳn﹣1，a n+1a n+2=λＳn+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．可得λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，．得到λＳn=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λＳn﹣1，a n+1a n+2=λＳn+1﹣1，∴a n+1（a n+2﹣a n）=λａn+1∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=λ．（Ⅱ）解：假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．则λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，∴．∴，，∴λＳn=1+=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5H：空间向量及应用．【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C ⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO?平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（5分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g （x）min，h（x）max；【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，∵f（x）＞1，∴e x lnx+＞1，∴lnx＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．【考点】NB：弦切角；NC：与圆有关的比例线段．【专题】15：综合题；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．【考点】RI：平均值不等式．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）∵2a+3b≥2=2，当且仅当2a=3b时，取等号．而由（1）可知，2≥2=4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．。

2014年江西省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）是z的共轭复数，若z +=2，（z ﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i2．（5分）函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1） B．[0，1]C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）3．（5分）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．﹣14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积为（）A．3 B ．C ．D．35．（5分）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1表2表3表4A．成绩B．视力C．智商D．阅读量7．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．118．（5分）若f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（）A．﹣1 B．﹣ C．D．19．（5分）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）π D．π10．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12．一质点从顶点A射向点E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i﹣1次到第i次反射点之间的线段记为l i（i=2，3，4），l1=AE，将线段l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）A．B．C．D．二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题11．（5分）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4坐标系与参数方程选做题12．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1﹣x（0≤x≤1）的极坐标方程为（）A．ρ=，0≤θ≤ B．ρ=，0≤θ≤C．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤ D．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是．14．（5分）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是．15．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=．16．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．五、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣，）（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．18．（12分）已知首项是1的两个数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*）满足a n b n+1b n+2b n+1b n=0．﹣a n+1（1）令c n=，求数列{c n}的通项公式；（2）若b n=3n﹣1，求数列{a n}的前n项和S n．19．（12分）已知函数f（x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当b=4时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．21．（13分）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B 分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．22．（14分）随机将1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2；记ξ=a2﹣a1，η=b2﹣b1．（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；（2）C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P（C）；（3）对（2）中的事件C，表示C的对立事件，判断P（C）和P（）的大小关系，并说明理由．2014年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i【分析】由题，先求出z﹣=﹣2i，再与z+=2联立即可解出z得出正确选项．【解答】解：由于，（z﹣）i=2，可得z﹣=﹣2i ①又z+=2 ②由①②解得z=1﹣i故选：D．【点评】本题考查复数的乘除运算，属于基本计算题2．（5分）函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1） B．[0，1]C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣x＞0，即x＞1或x＜0，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞），故选：C．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，比较基础．3．（5分）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．﹣1【分析】根据函数的表达式，直接代入即可得到结论．【解答】解：∵g（x）=ax2﹣x（a∈R），∴g（1）=a﹣1，若f[g（1）]=1，则f（a﹣1）=1，即5|a﹣1|=1，则|a﹣1|=0，解得a=1，故选：A．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件直接代入解方程即可，比较基础．4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积为（）A．3 B．C．D．3【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：∵c2=（a﹣b）2+6，∴c2=a2﹣2ab+b2+6，即a2+b2﹣c2=2ab﹣6，∵C=，∴cos===，解得ab=6，则三角形的面积S=absinC==，故选：C．【点评】本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出ab=6是解决本题的关键．5．（5分）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可．【解答】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C、D不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确，故选：B．【点评】本题考查三视图的画法，几何体的结构特征是解题的关键．6．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1表2表3表4A．成绩B．视力C．智商D．阅读量【分析】根据表中数据，利用公式，求出X2，即可得出结论．【解答】解：表1：X2=≈0.009；表2：X2=≈1.769；表3：X2=≈1.3；表4：X2=≈23.48，∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选：D．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S＞1时，终止循环；再根据S的值求出终止循环时的i值即可．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=0S=lg3，不满足条件1＜S，执行循环体，i=3，S=lg3+lg=lg5，不满足条件1＜S，执行循环体，i=5，S=lg5+lg=lg7，不满足条件1＜S，执行循环体，i=7，S=lg5+lg=lg9，不满足条件1＜S，执行循环体，i=9，S=lg9+lg=lg11，满足条件1＜S，跳出循环，输出i的值为9．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．8．（5分）若f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（）A．﹣1 B．﹣ C．D．1【分析】把定积分项看成常数对两侧积分，化简求解即可．【解答】解：令f（x）dx=t，对f（x）=x2+2f（x）dx，两边积分可得：t=+2tdx=+2t，解得t=f（x）dx=﹣，故选：B．【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的应用，是基础题．9．（5分）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）π D．π【分析】如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，则当D恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小．【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y﹣4=0的距离为：d==，此时r=∴圆C的面积的最小值为：S min=π×（）2=．故选：A．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．10．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12．一质点从顶点A射向点E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i﹣1次到第i次反射点之间的线段记为l i（i=2，3，4），l1=AE，将线段l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）A．B．C．D．【分析】根据平面反射定理，列出反射线与入射线的关系，得到入射线与反射平面的交点，再利用两点间的距离公式，求出距离，即可求解．【解答】解：根据题意有：A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D 的坐标为（0，7，0）；A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；E的坐标为（4，3，12）（1）l1长度计算所以：l1=|AE|==13．（2）l2长度计算将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称．设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（x E2，y E2，24）根据相似三角形易知：x E2=2x E=2×4=8，y E2=2y E=2×3=6，即：E2（8，6，24）根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内．根据反射原理，E2在平面ABCD上的投影即为AE反射光与平面ABCD的交点．所以F的坐标为（8，6，0）．因此：l2=|EF|==13．（3）l3长度计算设G的坐标为：（x G，y G，z G）如果G落在平面BCC1B1；这个时候有：x G=11，y G≤7，z G≤12根据反射原理有：AE∥FG于是：向量与向量共线；即有：=λ因为：=（4，3，12）；=（x G﹣8，y G﹣6，z G﹣0）=（3，y G﹣6，z G）即有：（4，3，12）=λ（3，y G﹣6，z G）解得：y G=，z G=9；故G的坐标为：（11，，9）因为：＞7，故G点不在平面BCC1B1上，所以：G点只能在平面DCC1D1上；因此有：y G=7；x G≤11，z G≤12此时：=（x G﹣8，y G﹣6，z G﹣0）=（x G﹣8，1，z G）即有：（4，3，12）=λ（x G﹣8，1，z G）解得：x G=，z G=4；满足：x G≤11，z G≤12故G的坐标为：（，7，4）所以：l3=|FG|==（4）l4长度计算设G点在平面A1B1C1D1的投影为G’，坐标为（，7，12）因为光线经过反射后，还会在原来的平面内；即：AEFGH共面故EG的反射线GH只能与平面A1B1C1D1相交，且交点H只能在A1G'；易知：l4＞|GG’|=12﹣4=8＞l3．根据以上解析，可知l1，l2，l3，l4要满足以下关系：l1=l2；且l4＞l3对比ABCD选项，可知，只有C选项满足以上条件．故选：C．【点评】本题主要考察的空间中点坐标的概念，两点间的距离公式，解法灵活，属于难题．二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题11．（5分）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】把表达式分成2组，利用绝对值三角不等式求解即可得到最小值．【解答】解：对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|=|x﹣1|+|﹣x|+|1﹣y|+|y+1|≥|x﹣1﹣x|+|1﹣y+y+1|=3，当且仅当x∈[0，1]，y∈[﹣1，1]成立．故选：C．【点评】本题考查绝对值三角不等式的应用，考查利用分段函数或特殊值求解不等式的最值的方法．坐标系与参数方程选做题12．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1﹣x（0≤x≤1）的极坐标方程为（）A．ρ=，0≤θ≤ B．ρ=，0≤θ≤C．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤ D．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤【分析】根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，把方程y=1﹣x （0≤x≤1）化为极坐标方程．【解答】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，y=1﹣x（0≤x≤1），可得ρcosθ+ρsinθ=1，即ρ=．由0≤x≤1，可得线段y=1﹣x（0≤x≤1）在第一象限，故极角θ∈[0，]，故选：A．【点评】本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，注意极角θ的范围，属于基础题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10件中取4件有C104种结果，满足条件的事件是恰好有1件次品有C73种结果，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10件中取4件有C104种结果，满足条件的事件是恰好有1件次品有C种结果，∴恰好有一件次品的概率是P==故答案为：【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是利用组合数写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，本题是一个基础题．14．（5分）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是（﹣ln2，2）．【分析】先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．【解答】解：设P（x，y），则y=e﹣x，∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，∴﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，∴y=e﹣x=2，故P（﹣ln2，2）．故答案为：（﹣ln2，2）．【点评】本题考查了导数的几何意义，即点P处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．15．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=．【分析】转化向量为平面直角坐标系中的向量，通过向量的数量积求出所求向量的夹角．【解答】解：单位向量与的夹角为α，且cosα=，不妨=（1，0），=，=3﹣2=（），=3﹣=（），∴cosβ===．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积，两个向量的夹角的求法，考查计算能力．16．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C 的离心率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，∵M是线段AB的中点，∴=1，=1，∵直线AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1，∴y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即，∴a=b，∴=b，∴e==．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．五、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣，）（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．【分析】（1）由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f （x）=﹣sin（x﹣），再根据x∈[0，π]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．（2）由条件可得θ∈（﹣，），cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，由这两个式子求出a和θ的值．【解答】解：（1）当a=，θ=时，f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）=sin（x+）+cos（x+）=sinx+cosx﹣sinx=﹣sinx+cosx=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣）．∵x∈[0，π]，∴x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴﹣sin（x﹣）∈[﹣1，]，故f（x）在区间[0，π]上的最小值为﹣1，最大值为．（2）∵f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），a∈R，θ∈（﹣，），f（）=0，f（π）=1，∴cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，由①求得sinθ=，由②可得cos2θ==﹣﹣．再根据cos2θ=1﹣2sin2θ，可得﹣﹣=1﹣2×，求得a=﹣1，∴sinθ=﹣，θ=﹣．综上可得，所求的a=﹣1，θ=﹣．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18．（12分）已知首项是1的两个数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*）满足a n b n+1b n+2b n+1b n=0．﹣a n+1（1）令c n=，求数列{c n}的通项公式；（2）若b n=3n﹣1，求数列{a n}的前n项和S n．【分析】（1）由a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n=0，c n=，可得数列{c n}是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求数列{c n}的通项公式；（2）用错位相减法来求和．【解答】解：（1）∵a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n=0，c n=，+2=0，∴c n﹣c n+1﹣c n=2，∴c n+1∵首项是1的两个数列{a n}，{b n}，∴数列{c n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴c n=2n﹣1；（2）∵b n=3n﹣1，c n=，∴a n=（2n﹣1）•3n﹣1，∴S n=1×30+3×31+…+（2n﹣1）×3n﹣1，∴3S n=1×3+3×32+…+（2n﹣1）×3n，∴﹣2S n=1+2•（31+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n，∴S n=（n﹣1）3n+1．【点评】本题为等差等比数列的综合应用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题．19．（12分）已知函数f（x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当b=4时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．【分析】（1）把b=4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得极值；（2）求出原函数的导函数，由导函数在区间（0，）上大于等于0恒成立，得到对任意x∈（0，）恒成立．由单调性求出的范围得答案．【解答】解：（1）当b=4时，f（x）=（x2+4x+4）=（x），则=．由f′（x）=0，得x=﹣2或x=0．当x＜﹣2时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数．当﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣2，0）上为增函数．当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）在（0，）上为减函数．∴当x=﹣2时，f（x）取极小值为0．当x=0时，f（x）取极大值为4；（2）由f（x）=（x2+bx+b），得：=．由f（x）在区间（0，）上单调递增，得f′（x）≥0对任意x∈（0，）恒成立．即﹣5x2﹣3bx+2x≥0对任意x∈（0，）恒成立．∴对任意x∈（0，）恒成立．∵．∴．∴b的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，考查了数学转化思想方法，是中档题．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．【分析】（1）要证AD⊥PD，可以证明AB⊥面PAD，再利用面面垂直以及线面垂直的性质，即可证明AB⊥PD．（2）过P做PO⊥AD得到PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM，由边长关系=，故当时，V P﹣ABCD 得到BC=，PM=，设AB=x，则V P﹣ABCD取最大值，建立空间直角坐标系O﹣AMP，利用向量方法即可得到夹角的余弦值．【解答】解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，∴AB⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD．（2）过P做PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM∴PM⊥BC，∵∠BPC=90°，PB=，PC=2，∴BC=，PM===，BM==，设AB=x，∴OM=x∴PO=，=×x××==，∴V P﹣ABCD=，当，即x=，V P﹣ABCD建立空间直角坐标系O﹣AMP，如图所示，则P（0，0，），D（﹣，0，0），C（﹣，，0），M（0，，0），B（，，0）面PBC的法向量为=（0，1，1），面DPC的法向量为=（1，0，﹣2）∴cosθ==﹣=﹣．由图可知二面角为锐角，即cos【点评】本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．21．（13分）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．【分析】（1）依题意知，A（c，），设B（t，﹣），利用AB⊥OB，BF∥OA，可求得a=，从而可得双曲线C的方程；（2）易求A（2，），l的方程为：﹣y0y=1，直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N，可求得M（2，），N（，），于是化简=可得其值为，于是原结论得证．【解答】（1）解：依题意知，A（c，），设B（t，﹣），∵AB⊥OB，BF∥OA，∴•=﹣1，=，整理得：t=，a=，∴双曲线C的方程为﹣y2=1；（2）证明：由（1）知A（2，），l的方程为：﹣y0y=1，又F（2，0），直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．于是可得M（2，），N（，），∴=====．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，推理论证能力、运算求解能力、函数与方程思想，属于难题．22．（14分）随机将1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2；记ξ=a2﹣a1，η=b2﹣b1．（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；（2）C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P（C）；（3）对（2）中的事件C，表示C的对立事件，判断P（C）和P（）的大小关系，并说明理由．【分析】（1）当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．（2）根据C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，利用分类加法原理，可得事件C 发生的概率P（C）的表达式；（3）判断P（C）和P（）的大小关系，即判断P（C）和的大小关系，根据（2）的公式，可得答案．【解答】解：（1）当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5其中P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==，故随机变量ξ的分布列为：ξ的数学期望E（ξ）=2×+3×+4×+5×=；（2）∵C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，∴P（C）=2×（3）当n=2时，P（C）=2×=，此时P（）＜；即P（）＜P（C）；当n≥3时，P（C）=2×＜，此时P（）＞；即P（）＞P（C）；【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．。

2014年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2014•江西）是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=﹣=2）==223．（5分）（2014•江西）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则4．（5分）（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a ﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）B5．（5分）（2014•江西）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）B6．（5分）（2014•江西）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）=7．（5分）（2014•江西）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）S=0+lg+lg+lg++lg+lg+lg++lgS=lg+lg+lg=lg+lg++lg=lg8．（5分）（2014•江西）若f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（）f（（﹣，则：，=x（﹣（）﹣，则：，=x（+）=x）+9．（5分）（2014•江西）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以ABπBπ2π=，）．10．（5分）（2014•江西）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=11，AD=7，AA 1=12．一质点从顶点A 射向点E （4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i ﹣1次到第i 次反射点之间的线段记为l i （i=2，3，4），l 1=AE ，将线段l 1，l 2，l 3，l 4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）．B ．．=|EF|=于是：向量与向量共线；=λ=；，，＞=，，=，二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题]坐标系与参数方程选做题12．（2014•江西）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则=≤θ≤，≤θ≤≤θ≤≤θ≤．]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（2014•江西）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是．3=故答案为：14．（5分）（2014•江西）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是（﹣ln2，2）．15．（5分）（2014•江西）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=．单位向量与=不妨，==32（，﹣=）=故答案为：16．（5分）（2014•江西）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．的中点，斜率为﹣，则①②，（（）作斜率为﹣：+=1两式相减可得，即b=故答案为：五、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2014•江西）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣，）（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．）（﹣，，=））sinx+cosx sinx=﹣sinx+cosx （﹣∈，），）．，），由=﹣﹣，可得﹣﹣=1×，，．﹣18．（12分）（2014•江西）已知首项是1的两个数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*）满足a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n=0．（1）令c n=，求数列{c n}的通项公式；（2）若b n=3n﹣1，求数列{a n}的前n项和S n．，可得数列，，19．（12分）（2014•江西）已知函数f（x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当b=4时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．，得到，）恒成立．由单调性求出的范围得答案．）=x ．时，）上为减函数．））上单调递增，）恒成立．，对任意）恒成立．．．的取值范围是20．（12分）（2014•江西）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．，，设，故当PB=，=BM=PO=，××=，（﹣（﹣，，，的法向量为=||=||=21．（13分）（2014•江西）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．，，﹣a=，﹣相交于点，（，是化简=可得其值为，﹣）•=，t=，，的方程为﹣的方程为：：x=）（，∴==22．（14分）（2014•江西）随机将1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2；记ξ=a2﹣a1，η=b2﹣b1．（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；（2）C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P（C）；（3）对（2）中的事件C，表示C的对立事件，判断P（C）和P（）的大小关系，并说明理由．）的大小关系，即判断）和=，===××××=××=（）＜）＜×，此时）＞；）＞。

数学试卷 第1页（共22页）数学试卷 第2页（共22页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,满分150分,考试时间120分钟.考生注意：1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第一大题和第二大题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第三大题和第四大题用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回. 参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.z 是z 的共轭复数,若2z z +=,()i 2z z -=(i 为虚数单位),则z =( )A .1i +B .1i --C .1i -+D .1i - 2.函数2()ln()f x x x =-的定义域为( )A .(0,1)B .[0,1]C .(,0)(1,)-∞+∞ D .(,0][1,)-∞+∞3.已知函数||()5x f x =,2()()g x ax x a =-∈R .若[(1)]1f g =,则a =( )A .1B .2C .3D .1-4.在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若22()6c a b =-+,π3C =,则ABC △的面积是( ) A .3B .932C .332D .33 5.一几何体的直观图如右图,下列给出的四个俯视图中正确的是( )A .B .C .D .6.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是( )A .成绩B .视力C .智商D .阅读量 7.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为( )A .7B .9C .10D .11 8.若120()2()d f x x f x x =+⎰,则10()d f x x =⎰( )A .1-B .13-C .13D .19.在平面直角坐标系中,A ,B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切,则圆C 面积的最小值为( )A .4π5B .3π4C .(625)π-D .5π410.如右图,在长方体1111ABCD A B C D -中,11AB =,7AD =,112AA =.一质点从顶点A 射向点(4,3,12)E ,遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理）,将第1i -次到第i 次反射点之间的线段记为(2,3,4)i L i =,1L AE =,将线段1L ,2L ,3L ,4L 竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是( )A .B .C .D .姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共22页） 数学试卷 第4页（共22页）第Ⅱ卷二、选做题:请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按所做的第一题评阅计分,本题共5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 11(1).(不等式选做题)对任意,y x ∈R ,|1||||1||1|x x y y -++-++的最小值为 ( )A .1B .2C .3D .411(2).(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段1(01)y x x =-≤≤的极坐标方程为 ( )A .1cos sin ρθθ=+,π02θ≤≤B .1cos sin ρθθ=+,π04θ≤≤C .cos sin ρθθ=+,π02θ≤≤D .cos sin ρθθ=+,π04θ≤≤三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.12.10件产品中有7件正品、3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是 .13.若曲线e x y -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=,则点P 的坐标是 .14.已知单位向量1e 与2e 的夹角为α,且1cos 3α=,向量1232=-e e a 与123=-e e b 的夹角为β,则cos β= . 15.过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=＞＞相交于A ,B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于 .四、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++,其中a ∈R ,ππ(,)22θ∈-. （Ⅰ）当2a =,π4θ=时,求()f x 在区间[0,π]上的最大值与最小值； （Ⅱ）若π()02f =,(π)1f =,求a ,θ的值.17.（本小题满分12分）已知首项都是1的两个数列*{},{}(0,)n n a b b n ≠∈N 满足11120n n n n n n a b a b b b +++-+=. （Ⅰ）令nn na cb =,求数列{}n c 的通项公式； （Ⅱ）若13n n b -=,求数列{}n a 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）已知函数2()()12()f x x bx b x b =++-∈R . （Ⅰ）当4b =时,求()f x 的极值；（Ⅱ）若()f x 在区间1(0,)3上单调递增,求b 的取值范围.19.（本小题满分12分）如图,四棱锥P ABCD -中,ABCD 为矩形,平面PAD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：AB PD ⊥；（Ⅱ）若90BPC ∠=,2PB =,2PC =,问AB 为何值时,四棱锥P ABCD -的体积最大？并求此时平面BPC 与平面DPC 夹角的余弦值. 20.（本小题满分13分）如图,已知双曲线C ：2221(0)x y a a-=>的右焦点为F ,点A ,B 分别在C 的两条渐近线上,AF x ⊥轴,AB OB ⊥,BF OA ∥(O 为坐标原点). （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）过C 上一点000(,)(0)P x y y ≠的直线l ：0021x x y y a -=与直线AF 相较于点M ,与直线32x =相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时,||MFNF恒为定值,并求此定值.21.（本小题满分14分）随机将*1,2,,2(,2)n n n ∈≥N 这2n 个连续正整数分成A ,B 两组,每组n 个数.A 组最小数为1a ,最大数为2a ；B 组最小数为1b ,最大数为2b ,记21a a ξ=-,21b b η=-.（Ⅰ）当3n =时,求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”,求事件C 发生的概率()P C ； （Ⅲ）对（Ⅱ）中的事件C ,C 表示C 的对立事件,判断()P C 和()P C 的大小关系,并说明理由.3 / 11,0)(1,)+∞，故选：【解析】()g x ax =1，故选：【提示】根据函数的表达式，直接代入即可得到结论数学试卷第7页（共22页）数学试卷第8页（共22页）第Ⅱ卷5/ 11数学试卷 第11页（共22页）数学试卷 第12页（共22页）22222211112222221111221122(32)(3)99232||3|912496e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ---+=---+-+ 192311124961338223322++-+= 【提示】根据平面向量求其夹角的余弦值数学试卷 第15页（共22页）数学试卷 第16页（共22页）+(21)n +-++(23)n -13)n --++10n n b +=，PAD 平面ABCDABCD ，BC14633m m-，即63AB=时，四棱锥63BP⎛= (0,BC= CD⎛=-设平面BPC的法向量1(,n x y=，则由1n PC⊥，1n BC⊥得3⎧⎪⎨，1(1,0,1)n=，同理可求出平面DPC的法向量210,2n⎛=的余弦值为1212cos||||2n nn nθ⋅==⋅9/ 11数学试卷 第19页（共22页）数学试卷 第20页（共22页）1,22n -，.,2,,2),(-n nn≥时，3n时，(P3①.n1620，所以①式成立11/ 11。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． z 是z 的共轭复数． 若2=+z z ，2)(=-i z z (i 为虚数单位），则=z ( )A ．i +1B ． i --1C ． i +-1D ． i -1 2． 函数)ln()(2x x x f -=的定义域为( )A ．)1,0(B ． ]1,0[C ． ),1()0,(+∞-∞D ． ),1[]0,(+∞-∞ 3． 已知函数()5x f x =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a ( )A ．1B ． 2C ． 3D ． －1 4．在ABC ∆中，内角A ,B ,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积( )A ．3B ．239 C ．233 D ．33 5．一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )A ．B ．C ．D ．6．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1 表2表3 表4A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量左(7．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．11 8．若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰( )A ．1-B ．13-C ．13D ．1 9．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为( )A ．45πB ．34π C．(6π- D ．54π10．如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( )A ．B ．C ．D ．二．选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．11(1)．（不等式选做题）对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 11(2)．（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段1(01)y x x =-≤≤的极坐标方程为( )A ．1=,0cos sin 2πρθθθ+≤≤ B ．1=,0cos sin 4πρθθθ+≤≤C ．=cos sin ,02πρθθθ+≤≤D ．=cos sin ,04πρθθθ+≤≤三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．12． 10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________． 13． 若曲线xy e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________． 14． 已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1c o s 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β=1L 1 L 2 L 3 L 4 L 3 L 4 L 1 L 2 L 3 L 1 L 2 L 1 L 2 L 4 L 3L 415．过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B ，若M 是线段AB的中点，则椭圆C 的离心率为三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16． (本小题满分12分)已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++，其中,(,)22a R ππθ∈∈- (1)当4a πθ==时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；(2)若()0,()12f f ππ==，求,a θ的值．17．（本小题满分12分）已知首项都是1的两个数列{a n },{b n }( b n ≠ 0，n ∈N +)，满足11120n n n n n n a b a b b b +++-+=． (1)令nn na cb =，求数列{}n c 的通项公式； (2)若13n n b -=，求数列{a n }的前n 项和S n ． 18．（本小题满分12分）已知函数2()()f x x bx b b R =++∈． (1)当4b =时，求()f x 的极值；(2)若()f x 在区间1(0,)3上单调递增，求b 的取值范围．19． (本小题满分12分)如图，四棱锥ABCD P -中，ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD ．(1)求证：;PD AB ⊥(2)若,2,2,90===∠PC PB BPC 问AB 为何值时，四棱锥ABCD P -的体积最大？并求此时平面BPC 与平面DPC 夹角的余弦值．PABCD20．（本小题满分13分）如图，已知双曲线222:1(0)x C y a a-=>的右焦点F ,点B A ,分别在C 的两条渐近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）． (1) 求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:020=-y y a xx l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，NFMF 恒为定值，并求此定值．21．（本小题满分14分）随机将()1,2,,2,2n n N n *⋅⋅⋅∈≥这2n 个连续正整数分成A ,B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为1b ，最大数为2b ，记2121,a a b b ξη=-=-， (1)当3n =时，求ξ的分布列和数学期望”；(2)令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率()p c ；(3)对(2)中的事件C ,c 表示C 的对立事件，判断()p c 和()p c 的大小关系，并说明理由．。

2014年全国普通高等学校招生统一考试理科（江西卷）数学答案解析1、【答案】D【解析】试题分析：设，则由得：，由得：，所以选D.考点：共轭复数2、【答案】C【解析】试题分析：由题意得：解得或，所以选C.考点：函数定义域3、【答案】A【解析】试题分析：因为，所以即选A.考点：求函数值4、【答案】C试题分析：因为所以由余弦定理得：，即，因此的面积为选C.考点：余弦定理5、【答案】B【解析】试题分析：俯视图为几何体在底面上的投影，应为B中图形.考点：三视图6、【答案】D【解析】试题分析：根据公式分别计算得：A.， B. C. D. ，选项D 的值最大，所以与性别有关联的可能性最大为D.考点：关联判断7、【答案】B试题分析：第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：第五次循环：结束循环，输出选B.考点：循环结构流程图8、【答案】B【解析】试题分析：设，则因此考点：定积分9、【答案】A【解析】试题分析：设直线：.因为，所以圆心C的轨迹为以O为焦点，为准线的抛物线.圆C半径最小值为，圆面积的最小值为选A.考点：抛物线定义10、【答案】C【解析】试题分析：因为，所以延长交于，过作垂直于在矩形中分析反射情况：由于，第二次反射点为在线段上，此时,第三次反射点为在线段上，此时,第四次反射点为在线段上,由图可知，选C.考点：空间想象能力11、【答案】C【解析】试题分析：因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.考点：含绝对值不等式性质12、【答案】A试题分析：根据，得：解得，选A.考点：极坐标13、【答案】【解析】试题分析：从10件产品中任取4件，共有种基本事件，恰好取到1件次品就是取到1件次品且取到3件正品，共有，因此所求概率为考点：古典概型概率14、【答案】【解析】试题分析：设切点，则由得：，所以点的坐标是.考点：利用导数求切点.15、【答案】试题分析：因为所以考点：向量数量积及夹角16、【答案】【解析】试题分析：设，则由两式相减变形得：即，从而考点：点差法，椭圆离心率17、【答案】（1）最大值为最小值为-1. （2）【解析】试题分析：（1）求三角函数最值，首先将其化为基本三角函数形式：当时，，再结合基本三角函数性质求最值：因为，从而，故在上的最大值为最小值为-1.（2）两个独立条件求两个未知数，联立方程组求解即可. 由得，又知解得试题解析：解（1）当时，因为，从而故在上的最大值为最小值为-1.（2）由得，又知解得考点：三角函数性质18、【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）已知数列，因此对变形为所以数列是以首项，公差的等差数列，故（2）由知，是等差乘等比型，所以求和用错位相减法.,相减得所以试题解析：（1）因为，所以所以数列是以首项，公差的等差数列，故（2）由知于是数列前n项和相减得所以考点：等差数列定义，错位相减求和19、【答案】（1）在取极小值，在取极大值4.（2）【解析】试题分析：（1）求函数极值，首先明确其定义域：，然后求导数：当时，再在定义域下求导函数的零点：或根据导数符号变化规律，确定极值：当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，故在取极小值，在取极大值4.（2）已知函数单调性，求参数取值范围，一般转化为对应导数恒非负，再利用变量分离求最值. 由题意得对恒成立，即对恒成立，即，，即试题解析：（1）当时，由得或当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，故在取极小值，在取极大值4.（2）因为当时,依题意当时，有，从而所以b的取值范围为考点：利用导数求极值，利用导数求参数取值范围20、【答案】（1）详见解析，（2）时，四棱锥的体积P-ABCD最大. 平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为【解析】试题分析：（1）先将面面垂直转化为线面垂直：ABCD为矩形，故AB AD，又平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以AB平面PAD，再根据线面垂直证线线垂直：因为PD平面PAD，所以AB PD（2）求四棱锥体积，关键要作出高.这可利用面面垂直性质定理：过P作AD的垂线，垂足为O，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以PO平面ABCD，下面用表示高及底面积：设，则，故四棱锥P-ABCD的体积为故当时，即时，四棱锥的体积P-ABCD最大.求二面角的余弦值，可利用空间向量求解，根据题意可建立空间坐标系，分别求出平面BPC 的法向量及平面DPC的法向量，再利用向量数量积求夹角余弦值即可.试题解析：（1）证明：ABCD为矩形，故AB AD，又平面PAD平面ABCD平面PAD平面ABCD=AD所以AB平面PAD，因为PD平面PAD，故AB PD（2）解：过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.故PO平面ABCD，BC平面POG,BC PG在直角三角形BPC中，设，则，故四棱锥P-ABCD的体积为因为故当时，即时，四棱锥的体积P-ABCD最大.建立如图所示的空间直角坐标系，故设平面BPC的法向量，则由,得解得同理可求出平面DPC的法向量，从而平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为考点：面面垂直性质定理，四棱锥体积，利用空间向量求二面角21、【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）求双曲线的方程就是要确定a的值，用a,c表示条件：轴，∥，即可得：直线OB方程为，直线BF的方程为，解得又直线OA的方程为，则又因为AB OB，所以，解得，故双曲线C的方程为（2）本题证明实质为计算的值.分别用坐标表示直线与AF的交点及直线与直线的交点为，并利用化简.：.试题解析：（1）设，因为，所以直线OB方程为，直线BF的方程为，解得又直线OA的方程为，则又因为AB OB，所以，解得，故双曲线C的方程为（2）由（1）知，则直线的方程为，即因为直线AF的方程为，所以直线与AF的交点直线与直线的交点为则因为是C上一点，则，代入上式得，所求定值为考点：双曲线方程，直线的交点P（2）当时，，当时（3）当时，当时，【解析】试题分析：（1）当时，将6个正整数平均分成A,B两组，不同的分组方法共有种，所有可能值为2,3,4,5.对应组数分别为4,6,6,4，对应概率为，，，，（2）和恰好相等的所有可能值为当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；以此类推：和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；所以当时，当时（3）先归纳：当时，因此当时，即证当时，这可用数学归纳法证明. 当时，，利用阶乘作差可得大小.试题解析：（1）当时，所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A,B两组，不同的分组方法共有种，所以的分布列为2 3 4 5（2）和恰好相等的所有可能值为又和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；所以当时，当时（3）由（2）当时，因此而当时，理由如下：等价于①用数学归纳法来证明：当时，①式左边①式右边所以①式成立假设时①式成立，即成立那么，当时，①式左边=①式右边即当时①式也成立综合得，对于的所有正整数，都有成立考点：概率分布及数学期望，概率，组合性质，数学归纳法。

2014年江西省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）是z的共轭复数，若z +=2，（z ﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i2．（5分）函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1） B．[0，1]C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）3．（5分）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．﹣14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积为（）A．3 B ．C ．D．35．（5分）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1表2表3表4A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量 7．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）A ．7B ．9C ．10D ．118．（5分）若f （x ）=x 2+2f （x ）dx ，则f （x ）dx=（ ） A ．﹣1 B ．﹣ C ． D ．19．（5分）在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x +y ﹣4=0相切，则圆C 面积的最小值为（ ）A ．πB ．πC ．（6﹣2）πD ．π10．（5分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=11，AD=7，AA 1=12．一质点从顶点A 射向点E （4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i ﹣1次到第i次反射点之间的线段记为l i（i=2，3，4），l1=AE，将线段l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）A．B．C．D．二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题11．（5分）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4坐标系与参数方程选做题12．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1﹣x（0≤x≤1）的极坐标方程为（）A．ρ=，0≤θ≤ B．ρ=，0≤θ≤C．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤ D．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是．14．（5分）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是．15．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=．16．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．五、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣，）（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．18．（12分）已知首项是1的两个数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*）满足a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n=0．（1）令c n=，求数列{c n}的通项公式；（2）若b n=3n﹣1，求数列{a n}的前n项和S n．19．（12分）已知函数f（x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当b=4时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．21．（13分）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．22．（14分）随机将1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2；记ξ=a2﹣a1，η=b2﹣b1．（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；（2）C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P（C）；（3）对（2）中的事件C，表示C的对立事件，判断P（C）和P（）的大小关系，并说明理由．2014年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i【分析】由题，先求出z﹣=﹣2i，再与z+=2联立即可解出z得出正确选项．【解答】解：由于，（z﹣）i=2，可得z﹣=﹣2i ①又z+=2 ②由①②解得z=1﹣i故选：D．【点评】本题考查复数的乘除运算，属于基本计算题2．（5分）函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1） B．[0，1]C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣x＞0，即x＞1或x＜0，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞），故选：C．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，比较基础．3．（5分）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．﹣1【分析】根据函数的表达式，直接代入即可得到结论．【解答】解：∵g（x）=ax2﹣x（a∈R），∴g（1）=a﹣1，若f[g（1）]=1，则f（a﹣1）=1，即5|a﹣1|=1，则|a﹣1|=0，解得a=1，故选：A．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件直接代入解方程即可，比较基础．4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积为（）A．3 B．C．D．3【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：∵c2=（a﹣b）2+6，∴c2=a2﹣2ab+b2+6，即a2+b2﹣c2=2ab﹣6，∵C=，∴cos===，解得ab=6，则三角形的面积S=absinC==，故选：C．【点评】本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出ab=6是解决本题的关键．5．（5分）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A．B．C．D．【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可．【解答】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C、D不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确，故选：B．【点评】本题考查三视图的画法，几何体的结构特征是解题的关键．6．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1表2表3表4A．成绩B．视力C．智商D．阅读量【分析】根据表中数据，利用公式，求出X2，即可得出结论．【解答】解：表1：X2=≈0.009；表2：X2=≈1.769；表3：X2=≈1.3；表4：X2=≈23.48，∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选：D．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S＞1时，终止循环；再根据S的值求出终止循环时的i值即可．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=0S=lg3，不满足条件1＜S，执行循环体，i=3，S=lg3+lg=lg5，不满足条件1＜S，执行循环体，i=5，S=lg5+lg=lg7，不满足条件1＜S，执行循环体，i=7，S=lg5+lg=lg9，不满足条件1＜S，执行循环体，i=9，S=lg9+lg=lg11，满足条件1＜S，跳出循环，输出i的值为9．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．8．（5分）若f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（）A．﹣1 B．﹣ C．D．1【分析】把定积分项看成常数对两侧积分，化简求解即可．【解答】解：令f（x）dx=t，对f（x）=x2+2f（x）dx，两边积分可得：t=+2tdx=+2t，解得t=f（x）dx=﹣，故选：B．【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的应用，是基础题．9．（5分）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）π D．π【分析】如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，则当D 恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小．【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y﹣4=0的距离为：d==，此时r=∴圆C的面积的最小值为：S min=π×（）2=．故选：A．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．10．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12．一质点从顶点A射向点E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i﹣1次到第i次反射点之间的线段记为l i（i=2，3，4），l1=AE，将线段l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）A．B．C．D．【分析】根据平面反射定理，列出反射线与入射线的关系，得到入射线与反射平面的交点，再利用两点间的距离公式，求出距离，即可求解．【解答】解：根据题意有：A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；E的坐标为（4，3，12）（1）l1长度计算所以：l1=|AE|==13．（2）l2长度计算将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称．设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（x E2，y E2，24）根据相似三角形易知：x E2=2x E=2×4=8，y E2=2y E=2×3=6，即：E2（8，6，24）根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内．根据反射原理，E2在平面ABCD上的投影即为AE反射光与平面ABCD的交点．所以F的坐标为（8，6，0）．因此：l2=|EF|==13．（3）l3长度计算设G的坐标为：（x G，y G，z G）如果G落在平面BCC1B1；这个时候有：x G=11，y G≤7，z G≤12根据反射原理有：AE∥FG于是：向量与向量共线；即有：=λ因为：=（4，3，12）；=（x G﹣8，y G﹣6，z G﹣0）=（3，y G﹣6，z G）即有：（4，3，12）=λ（3，y G﹣6，z G）解得：y G=，z G=9；故G的坐标为：（11，，9）因为：＞7，故G点不在平面BCC1B1上，所以：G点只能在平面DCC1D1上；因此有：y G=7；x G≤11，z G≤12此时：=（x G﹣8，y G﹣6，z G﹣0）=（x G﹣8，1，z G）即有：（4，3，12）=λ（x G﹣8，1，z G）解得：x G=，z G=4；满足：x G≤11，z G≤12故G的坐标为：（，7，4）所以：l3=|FG|==（4）l4长度计算设G点在平面A1B1C1D1的投影为G’，坐标为（，7，12）因为光线经过反射后，还会在原来的平面内；即：AEFGH共面故EG的反射线GH只能与平面A1B1C1D1相交，且交点H只能在A1G'；易知：l4＞|GG’|=12﹣4=8＞l3．根据以上解析，可知l1，l2，l3，l4要满足以下关系：l1=l2；且l4＞l3对比ABCD选项，可知，只有C选项满足以上条件．故选：C．【点评】本题主要考察的空间中点坐标的概念，两点间的距离公式，解法灵活，属于难题．二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题11．（5分）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】把表达式分成2组，利用绝对值三角不等式求解即可得到最小值．【解答】解：对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|=|x﹣1|+|﹣x|+|1﹣y|+|y+1|≥|x﹣1﹣x|+|1﹣y+y+1|=3，当且仅当x∈[0，1]，y∈[﹣1，1]成立．故选：C．【点评】本题考查绝对值三角不等式的应用，考查利用分段函数或特殊值求解不等式的最值的方法．坐标系与参数方程选做题12．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1﹣x（0≤x≤1）的极坐标方程为（）A．ρ=，0≤θ≤ B．ρ=，0≤θ≤C．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤ D．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤【分析】根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，把方程y=1﹣x（0≤x ≤1）化为极坐标方程．【解答】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，y=1﹣x（0≤x≤1），可得ρcosθ+ρsinθ=1，即ρ=．由0≤x≤1，可得线段y=1﹣x（0≤x≤1）在第一象限，故极角θ∈[0，]，故选：A．【点评】本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，注意极角θ的范围，属于基础题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10件中取4件有C104种结果，满足条件的事件是恰好有1件次品有C73种结果，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10件中取4件有C104种结果，满足条件的事件是恰好有1件次品有C种结果，∴恰好有一件次品的概率是P==故答案为：【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是利用组合数写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，本题是一个基础题．14．（5分）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是（﹣ln2，2）．【分析】先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．【解答】解：设P（x，y），则y=e﹣x，∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，∴﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，∴y=e﹣x=2，故P（﹣ln2，2）．故答案为：（﹣ln2，2）．【点评】本题考查了导数的几何意义，即点P处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．15．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=．【分析】转化向量为平面直角坐标系中的向量，通过向量的数量积求出所求向量的夹角．【解答】解：单位向量与的夹角为α，且cosα=，不妨=（1，0），=，=3﹣2=（），=3﹣=（），∴cosβ===．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积，两个向量的夹角的求法，考查计算能力．16．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C的离心率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，∵M是线段AB的中点，∴=1，=1，∵直线AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1，∴y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B 两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即，∴a=b，∴=b，∴e==．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．五、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣，）（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．【分析】（1）由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=﹣sin（x﹣），再根据x∈[0，π]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．（2）由条件可得θ∈（﹣，），cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，由这两个式子求出a和θ的值．【解答】解：（1）当a=，θ=时，f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）=sin（x+）+cos（x+）=sinx+cosx﹣sinx=﹣sinx+cosx=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣）．∵x∈[0，π]，∴x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴﹣sin（x﹣）∈[﹣1，]，故f（x）在区间[0，π]上的最小值为﹣1，最大值为．（2）∵f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），a∈R，θ∈（﹣，），f（）=0，f（π）=1，∴cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，由①求得sinθ=，由②可得cos2θ==﹣﹣．再根据cos2θ=1﹣2sin2θ，可得﹣﹣=1﹣2×，求得a=﹣1，∴sinθ=﹣，θ=﹣．综上可得，所求的a=﹣1，θ=﹣．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18．（12分）已知首项是1的两个数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*）满足a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n=0．（1）令c n=，求数列{c n}的通项公式；（2）若b n=3n﹣1，求数列{a n}的前n项和S n．【分析】（1）由a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n=0，c n=，可得数列{c n}是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求数列{c n}的通项公式；（2）用错位相减法来求和．【解答】解：（1）∵a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n=0，c n=，∴c n﹣c n+2=0，+1﹣c n=2，∴c n+1∵首项是1的两个数列{a n}，{b n}，∴数列{c n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴c n=2n﹣1；（2）∵b n=3n﹣1，c n=，∴a n=（2n﹣1）•3n﹣1，∴S n=1×30+3×31+…+（2n﹣1）×3n﹣1，∴3S n=1×3+3×32+…+（2n﹣1）×3n，∴﹣2S n=1+2•（31+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n，∴S n=（n﹣1）3n+1．【点评】本题为等差等比数列的综合应用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题．19．（12分）已知函数f（x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当b=4时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．【分析】（1）把b=4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符判断原函数的单调性，从而求得极值；（2）求出原函数的导函数，由导函数在区间（0，）上大于等于0恒成立，得到对任意x∈（0，）恒成立．由单调性求出的范围得答案．【解答】解：（1）当b=4时，f（x）=（x2+4x+4）=（x），则=．由f′（x）=0，得x=﹣2或x=0．当x＜﹣2时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数．当﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣2，0）上为增函数．当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）在（0，）上为减函数．∴当x=﹣2时，f（x）取极小值为0．当x=0时，f（x）取极大值为4；（2）由f（x）=（x2+bx+b），得：=．由f（x）在区间（0，）上单调递增，得f′（x）≥0对任意x∈（0，）恒成立．即﹣5x2﹣3bx+2x≥0对任意x∈（0，）恒成立．∴对任意x∈（0，）恒成立．∵．∴．∴b的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，考查了数学转化思想方法，是中档题．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．【分析】（1）要证AD⊥PD，可以证明AB⊥面PAD，再利用面面垂直以及线面垂直的性质，即可证明AB⊥PD．（2）过P做PO⊥AD得到PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM，由边长关系得到BC=，PM=，设AB=x，则V P﹣ABCD=，故当时，V P﹣ABCD取最大值，建立空间直角坐标系O﹣AMP，利用向量方法即可得到夹角的余弦值．【解答】解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，∴AB⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD．（2）过P做PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM∴PM⊥BC，∵∠BPC=90°，PB=，PC=2，∴BC=，PM===，BM==，设AB=x，∴OM=x∴PO=，∴V P=×x××==，﹣ABCD=，当，即x=，V P﹣ABCD建立空间直角坐标系O﹣AMP，如图所示，则P（0，0，），D（﹣，0，0），C（﹣，，0），M（0，，0），B（，，0）面PBC的法向量为=（0，1，1），面DPC的法向量为=（1，0，﹣2）∴cosθ==﹣=﹣．由图可知二面角为锐角，即cos【点评】本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．21．（13分）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．【分析】（1）依题意知，A（c，），设B（t，﹣），利用AB⊥OB，BF∥OA，可求得a=，从而可得双曲线C的方程；（2）易求A（2，），l的方程为：﹣y0y=1，直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N，可求得M（2，），N（，），于是化简=可得其值为，于是原结论得证．【解答】（1）解：依题意知，A（c，），设B（t，﹣），∵AB⊥OB，BF∥OA，∴•=﹣1，=，整理得：t=，a=，∴双曲线C的方程为﹣y2=1；（2）证明：由（1）知A（2，），l的方程为：﹣y0y=1，又F（2，0），直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．于是可得M（2，），N（，），∴=====．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，推理论证能力、运算求解能力、函数与方程思想，属于难题．22．（14分）随机将1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2；记ξ=a2﹣a1，η=b2﹣b1．（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；（2）C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P（C）；（3）对（2）中的事件C，表示C的对立事件，判断P（C）和P（）的大小关系，并说明理由．【分析】（1）当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．（2）根据C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，利用分类加法原理，可得事件C发生的概率P（C）的表达式；（3）判断P（C）和P（）的大小关系，即判断P（C）和的大小关系，根据（2）的公式，可得答案．【解答】解：（1）当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5其中P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==，故随机变量ξ的分布列为：ξ的数学期望E（ξ）=2×+3×+4×+5×=；（2）∵C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，∴P（C）=2×（3）当n=2时，P（C）=2×=，此时P（）＜；即P（）＜P（C）；当n≥3时，P（C）=2×＜，此时P（）＞；即P（）＞P（C）；【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．。

2014 年江西省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（ 5 分）是 z 的共轭复数，若 z+ =2，（z﹣）i=2（ i 为虚数单位），则 z=（）A．1+i B．﹣ 1﹣i C．﹣ 1+i D．1﹣i2．（5 分）函数 f（ x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1）B．[ 0，1]C．（﹣∞， 0）∪（ 1，+∞）D．（﹣∞， 0] ∪ [ 1，+∞）3．（5 分）已知函数 f（ x）=5 x|，g（x）=ax2﹣ x（a∈R），若 f[ g（1）] =1，则 a=|（）A．1B．2C．3D．﹣ 1，，的对边分别为，，，若22+6，4．（ 5 分）在△ ABC中，内角A B C a b c c =（a﹣b）C= ，则△ ABC的面积为（）A．3B．C．D．35．（5 分）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A．B．C．D．6．（5 分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系，随机抽查了52 名中学生，得到统计数据如表 1 至表 4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表 1成绩不及格及格总计性别男61420女102232总计163652表 2视力好差总计性别男41620女122032总计163652表 3智商偏高正常总计性别男81220女82432总计163652表 4阅读量丰富不丰富总计性别男14620女23032总计163652 A．成绩B．视力C．智商D．阅读量7．（ 5 分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7B．9C．10D．11．（分）若2+2f（ x） dx，则f（x）dx=（）8 5f（x） =xA．﹣ 1B．﹣C．D．19．（5 分）在平面直角坐标系中，A， B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y﹣ 4=0 相切，则圆 C 面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）πD．π10．（ 5 分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1 C1D1中， AB=11， AD=7，AA1=12．一质点从顶点 A 射向点 E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第 i﹣1 次到第 i 次反射点之间的线段记为l i（ i=2， 3， 4），l1=AE，将线段 l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）A．B．3C．D．二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题11．（ 5 分）对任意 x，y∈R，| x﹣ 1|+| x|+| y﹣1|+| y+1| 的最小值为（）A．1B．2C．3D．4坐标系与参数方程选做题12．若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y=1﹣x（ 0≤ x≤ 1）的极坐标方程为（）A．ρ=，0≤θ≤B．ρ=，0≤θ≤C．ρ =cos+sinθ θ，0≤θ≤D．ρ =cos+sinθ θ，0≤θ≤三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13．（ 5 分） 10 件产品中有 7 件正品， 3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到1件次品的概率是．14．（ 5 分）若曲线﹣x上点 P 的切线平行于直线2x+y+1=0，则点 P 的坐标y=e是．15．（ 5 分）已知单位向量与的夹角为α，且 cos α=，向量 =3 ﹣2与=3﹣的夹角为β，则 cos β=．16．（5 分）过点 M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+ =1（a＞b＞0）相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于．五、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12 分）已知函数 f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中 a∈ R，θ∈（﹣，）（1）当 a= ，θ= 时，求 f（ x）在区间 [ 0，π]上的最大值与最小值；（2）若 f （）=0， f（π）=1，求 a，θ的值．18．（ 12 分）已知首项是1 的两个数列 { a n} ， { b n } （b n≠0，n∈N*）满足 a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n =0．（1）令 c n= ，求数列 { c n } 的通项公式；（2）若 b n=3n﹣1，求数列 { a n} 的前 n 项和 S n．19．（ 12 分）已知函数 f （x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当 b=4 时，求 f（ x）的极值；（2）若 f （x）在区间（ 0，）上单调递增，求 b 的取值范围．20．（ 12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD中， ABCD为矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD．（1）求证： AB⊥PD；（2）若∠ BPC=90°，PB= ，PC=2，问 AB 为何值时，四棱锥 P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面 BPC与平面 DPC夹角的余弦值．21．（ 13 分）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点 A，B 分别在 C 的两条渐近线 AF⊥x 轴， AB⊥OB，BF∥OA（O 为坐标原点）．（ 1）求双曲线 C 的方程；（ 2）过 C 上一点 P（ x0，y0）（y0≠0）的直线 l：﹣y0y=1与直线AF相交于点 M ，与直线 x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．22．（ 14 分）随机将 1，2，，2n（n∈N*， n≥ 2）这 2n 个连续正整数分成A、B 两组，每组 n 个数， A 组最小数为 a1，最大数为 a2；B 组最小数为 b1，最大数为 b ；记ξ=a﹣ a ，η=b﹣ b ．22121（1）当 n=3 时，求ξ的分布列和数学期望；（2） C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件 C 发生的概率 P（C）；（3）对（ 2）中的事件 C，表示 C 的对立事件，判断 P（C）和 P（）的大小关系，并说明理由．2014 年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（ 5 分）是 z 的共轭复数，若 z+ =2，（z﹣）i=2（ i 为虚数单位），则 z=（）A．1+i B．﹣ 1﹣i C．﹣ 1+i D．1﹣i【考点】 A5：复数的运算．【专题】 11：计算题； 5N：数系的扩充和复数．【分析】由题，先求出 z﹣ =﹣2i，再与 z+ =2 联立即可解出 z 得出正确选项．【解答】解：由于，（ z﹣） i=2，可得 z﹣ =﹣2i ①又 z+ =2 ②由①②解得 z=1﹣i故选： D．【点评】本题考查复数的乘除运算，属于基本计算题2．（5 分）函数 f（ x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1）B．[ 0，1]C．（﹣∞， 0）∪（ 1，+∞）D．（﹣∞， 0] ∪ [ 1，+∞）【考点】 33：函数的定义域及其求法．【专题】 51：函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣ x＞0，即 x＞1 或 x＜0，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（ 1， +∞），故选： C．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，比较基础．3．（5 分）已知函数 f（ x）=5|x|，g（x）=ax2﹣ x（a∈R），若 f[ g（1）] =1，则 a=（）A．1B．2C．3D．﹣ 1【考点】 3T：函数的值．【专题】 51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的表达式，直接代入即可得到结论．【解答】解：∵ g（x）=ax2﹣x（ a∈ R），∴g（1）=a﹣1，若 f[ g（1）] =1，则 f（ a﹣ 1） =1，即 5|a﹣1| =1，则 | a﹣1| =0，解得 a=1，故选： A．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件直接代入解方程即可，比较基础．4．（ 5 分）在△ ABC中，内角A ，，的对边分别为，，，若22+6，BC a b c c =（a﹣b）C=，则△ ABC的面积为（）A．3B．C．D．3【考点】 HR：余弦定理．【专题】 58：解三角形．【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：∵ c2=（a﹣b）2 +6，∴c2=a2﹣ 2ab+b2+6，即 a2+b2﹣c2=2ab﹣6，∵C= ，10∴ cos ===，解得 ab=6，则三角形的面积S= absinC==，故选： C．【点评】本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出ab=6 是解决本题的关键．5．（5 分）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A．B．C．D．【考点】 L7：简单空间图形的三视图．【专题】 5F：空间位置关系与距离．【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可．【解答】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以 C、D 不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以 A 不正确，故选： B．【点评】本题考查三视图的画法，几何体的结构特征是解题的关键．6．（5 分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系，随机抽查了52 名中学生，得到统计数据如表 1 至表 4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表 111成绩不及格及格总计性别男61420女102232总计163652表 2视力好差总计性别男41620女122032总计163652表 3智商偏高正常总计性别男81220女82432总计163652表 4阅读量丰富不丰富总计性别男14620女23032总计163652 A．成绩B．视力C．智商D．阅读量【考点】 BL：独立性检验．【专题】 12：应用题； 5I：概率与统计．12【分析】根据表中数据，利用公式，求出X2，即可得出结论．【解答】解：表 1： X2=≈；0.009表 2：X2≈；= 1.769表 3：X2≈；= 1.3表 4：X2≈，=23.48∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选： D．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（ 5 分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7B．9C．10D．11【考点】 EF：程序框图．【专题】 11：计算题； 27：图表型； 4B：试验法； 5K：算法和程序框图．【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S＞1 时，终止循环；再根据 S 的值求出终止循环时的i 值即可．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=0S=lg3，不满足条件 1＜S，执行循环体， i=3，S=lg3+lg=lg5，不满足条件 1＜S，执行循环体， i=5，S=lg5+lg=lg7，不满足条件 1＜S，执行循环体， i=7，S=lg5+lg=lg9，13不满足条件 1＜S，执行循环体， i=9，S=lg9+lg =lg11，满足条件 1＜S，跳出循环，输出 i 的值为 9．故选： B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．．（分）若2+2f（ x） dx，则f（x）dx=（）8 5f（x） =xA．﹣ 1B．﹣C．D．1【考点】 67：定积分、微积分基本定理．【专题】 53：导数的综合应用．【分析】把定积分项看成常数对两侧积分，化简求解即可．【解答】解：令f（ x）dx=t，对 f （ x）=x2+2 f （x） dx，两边积分可得：t= +2tdx= +2t，解得 t=f（x）dx=﹣，故选： B．【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的应用，是基础题．9．（5 分）在平面直角坐标系中，A， B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y﹣ 4=0 相切，则圆 C 面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）πD．π【考点】 J9：直线与圆的位置关系．【专题】 5B：直线与圆．【分析】如图，设AB 的中点为 C，坐标原点为 O，圆半径为 r ，由已知得 | OC| =| CE| =r，过点 O 作直线 2x+y﹣ 4=0 的垂直线段 OF，交 AB 于 D，交直线2x+y﹣ 4=0 于 F，则当 D 恰为 AB 中点时，圆 C 的半径最小，即面积最小．14【解答】解：如图，设 AB 的中点为 C，坐标原点为 O，圆半径为 r，由已知得 | OC| =| CE| =r，过点 O 作直线 2x+y﹣4=0 的垂直线段 OF，交 AB 于 D，交直线 2x+y﹣ 4=0 于 F，则当 D 恰为 OF 中点时，圆 C 的半径最小，即面积最小此时圆的直径为O（0，0）到直线 2x+y﹣4=0 的距离为：d==，此时 r=∴圆 C 的面积的最小值为： S π×（）2=．min=故选： A．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．10．（ 5 分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1 C1D1中， AB=11， AD=7，AA1=12．一质点从顶点 A 射向点 E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第 i﹣1 次到第 i 次反射点之间的线段记为l i（ i=2， 3， 4），l1=AE，将线段 l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）15A．B．C．D．【考点】 JH：空间中的点的坐标； MK：点、线、面间的距离计算．【专题】 5H：空间向量及应用．【分析】根据平面反射定理，列出反射线与入射线的关系，得到入射线与反射平面的交点，再利用两点间的距离公式，求出距离，即可求解．【解答】解：根据题意有：A的坐标为：（ 0， 0， 0），B 的坐标为（ 11，0，0），C 的坐标为（ 11，7，0），D的坐标为（ 0， 7，0）；A1的坐标为：（ 0，0，12），B1的坐标为（ 11，0，12），C1的坐标为（ 11，7，12），16D1的坐标为（ 0，7，12）；E 的坐标为（ 4， 3， 12）（ 1） l1长度计算所以： l1．=| AE| ==13（ 2） l2长度计算将平面 A1 B1C1D1沿 Z 轴正向平移 AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：A2的坐标为：（ 0，0，24），B2的坐标为（ 11，0，24），C2的坐标为（ 11，7，24），D2的坐标为（ 0，7，24）；显然平面 A2B2C2D2和平面 ABCD关于平面 A1B1C1D1对称．设 AE 与的延长线与平面 A2B2C2D2相交于： E2（x E2，y E2， 24）根据相似三角形易知：x E2=2x E=2× 4=8，y E2=2y E=2× 3=6，即： E2（8，6，24）根据坐标可知， E2在长方形 A2B2C2D2内．根据反射原理， E2在平面 ABCD上的投影即为AE反射光与平面 ABCD的交点．所以 F 的坐标为（ 8， 6， 0）．因此： l2=| EF| ==13．（ 3） l3长度计算设 G 的坐标为：（x G， y G，z G）如果 G 落在平面 BCC1B1；这个时候有： x G=11， y G≤7，z G≤12根据反射原理有： AE∥ FG于是：向量与向量共线；即有：=λ因为：=（ 4， 3， 12）；=（x G﹣ 8， y G﹣6，z G﹣ 0） =（ 3，y G﹣6，z G）即有：（4，3，12）=λ（3，y G﹣6，z G）17解得： y G= ，z G=9；故 G 的坐标为：（11，，9）因为：＞7，故 G 点不在平面 BCC上，1B1所以： G 点只能在平面DCCD 上；1 1因此有： y G=7；x G≤ 11，z G≤ 12此时：=（ x G﹣8，y G﹣ 6，z G﹣0）=（x G﹣ 8，1，z G）即有：（4，3，12）=λ（x G﹣8，1，z G）解得： x G=，z G=4；满足： x G≤ 11，z G≤ 12故 G 的坐标为：（，7，4）所以： l3=| FG| ==（ 4） l4长度计算设 G点在平面 A1 1 1 1 的投影为G’，坐标为（，7，12）B C D因为光线经过反射后，还会在原来的平面内；即： AEFGH共面故 EG的反射线 GH 只能与平面 A1B1C1 D1相交，且交点 H 只能在 A1G'；易知： l4＞| GG’| =12﹣4=8＞l3．根据以上解析，可知l1，l2， l3， l4要满足以下关系：l1=l2；且 l4＞l3对比 ABCD选项，可知，只有 C 选项满足以上条件．故选： C．18【点评】本题主要考察的空间中点坐标的概念，两点间的距离公式，解法灵活，属于难题．二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题11．（ 5 分）对任意 x，y∈R，| x﹣ 1|+| x|+| y﹣1|+| y+1| 的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【考点】 5A：函数最值的应用； R4：绝对值三角不等式．【专题】 59：不等式的解法及应用．【分析】把表达式分成 2 组，利用绝对值三角不等式求解即可得到最小值．【解答】解：对任意 x，y∈R，| x﹣ 1|+| x|+| y﹣1|+| y+1|=| x﹣1|+| ﹣x|+| 1﹣y|+| y+1|≥| x﹣1﹣x|+| 1﹣ y+y+1| =3，当且仅当 x∈ [ 0，1] ，y∈[ ﹣1，1] 成立．故选： C．【点评】本题考查绝对值三角不等式的应用，考查利用分段函数或特殊值求解不等式的最值的方法．坐标系与参数方程选做题12．若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y=1﹣x（ 0≤ x≤ 1）的极坐标方程为（）19A．ρ=，0≤θ≤B．ρ=，0≤θ≤C．ρ =cos+sinθ θ，0≤θ≤D．ρ =cos+sinθ θ，0≤θ≤【考点】 Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】 5S：坐标系和参数方程．【分析】根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcos，θy=ρsin，θ把方程y=1﹣x （0≤x≤1）化为极坐标方程．【解答】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcos，θy=ρsin，θy=1﹣x（0≤x≤1），可得ρcos+θρsin θ，=1即ρ=．由 0≤x≤ 1，可得线段 y=1﹣ x（0≤x≤1）在第一象限，故极角θ∈[ 0，] ，故选： A．【点评】本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，注意极角θ的范围，属于基础题．三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13．（ 5 分） 10 件产品中有 7 件正品， 3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到1件次品的概率是．【考点】 C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】 11：计算题．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从 10 件中取 4 件有 C104种结果，满足条件的事件是恰好有 1 件次品有 C73种结果，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10 件中取 4 件有 C104种结果，满足条件的事件是恰好有 1 件次品有 C种结果，20∴恰好有一件次品的概率是P==故答案为：【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是利用组合数写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，本题是一个基础题．﹣x14．（ 5 分）若曲线 y=e上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是（﹣ ln2， 2）．【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】 11：计算题； 52：导数的概念及应用．【分析】先设 P（ x，y），对函数求导，由在在点P 处的切线与直线2x+y+1=0 平行，求出 x，最后求出 y．【解答】解：设 P（ x， y），则 y=e﹣x，∵y′=﹣e﹣x，在点 P 处的切线与直线 2x+y+1=0 平行，∴﹣ e﹣x=﹣ 2，解得 x=﹣ln2，∴ y=e﹣x=2，故 P（﹣ ln2，2）．故答案为：（﹣ln2，2）．【点评】本题考查了导数的几何意义，即点P 处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．15．（ 5 分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3 ﹣的夹角为β，则cosβ=．【考点】 9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】 5A：平面向量及应用．【分析】转化向量为平面直角坐标系中的向量，通过向量的数量积求出所求向量的夹角．21【解答】解：单位向量与的夹角为α，且cosα=，不妨=（ 1，0），=，=3 ﹣2 =（），=3﹣=（），∴ cosβ===．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积，两个向量的夹角的求法，考查计算能力．16．（5 分）过点 M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+ =1（a＞b＞0）相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于．【考点】 K4：椭圆的性质．【专题】 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用点差法，结合M 是线段 AB 的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C 的离心率．【解答】解：设 A（ x1，y1），B（x2， y2），则①，②，∵ M 是线段 AB 的中点，∴=1，=1，∵直线 AB 的方程是 y=﹣（x﹣1）+1，∴ y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），∵过点 M （1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（ a＞ b＞ 0）相交于22A，B 两点， M 是线段 AB 的中点，∴①②两式相减可得，即，∴a= b，∴=b，∴e= = ．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．五、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12 分）已知函数 f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中 a∈ R，θ∈（﹣，）（1）当 a= ，θ= 时，求 f（ x）在区间 [ 0，π]上的最大值与最小值；（2）若 f （）=0， f（π）=1，求 a，θ的值．【考点】 GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】 56：三角函数的求值．【分析】（1）由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f （x）=﹣sin（x﹣），再根据 x∈[ 0，π] ，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．（ 2）由条件可得θ∈（﹣，），cosθ﹣asin2θ=0①，﹣sinθ﹣acos2θ=1②，由这两个式子求出 a 和θ的值．【解答】解：（1）当 a=，θ= 时，f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）=sin（ x+）+cos（x+）=sinx+ cosx﹣sinx=﹣sinx+cosx23=sin（﹣ x） =﹣ sin（x﹣）．∵ x∈[ 0，π] ，∴ x﹣∈[ ﹣，] ，∴ sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴﹣ sin（ x﹣）∈ [ ﹣1，] ，故 f（ x）在区间 [ 0，π]上的最小值为﹣ 1，最大值为．（ 2）∵ f（ x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），a∈R，θ∈（﹣，），f（）=0，f（π）=1，∴cosθ﹣asin2 θ=0①，﹣ sin θ﹣acos2θ=1②，由①求得 sin θ=，由②可得 cos2θ==﹣﹣．再根据 cos2θ=1﹣2sin2θ，可得﹣﹣=1﹣2×，求得 a=﹣1，∴ sin θ=﹣，θ=﹣．综上可得，所求的a=﹣ 1，θ=﹣．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18．（ 12 分）已知首项是1 的两个数列 { a n} ， { b n } （b n≠0，n∈N*）满足a nb n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n =0．（1）令 c n= ，求数列 { c n } 的通项公式；（2）若 b n=3n﹣1，求数列 { a n} 的前 n 项和 S n．【考点】 8E：数列的求和； 8H：数列递推式．【专题】 15：综合题； 54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由 a n n+1﹣a n+1n+2b n+1 n ， n，可得数列n } 是以 1 为首项，b b b =0c ={ c2 为公差的等差数列，即可求数列{ c n} 的通项公式；24（ 2）用错位相减法来求和．【解答】解：（1）∵ a n n+1﹣a n+1n+2b n+1 n ， n，b b b =0c =∴c n﹣c n+1+2=0，∴c n+1﹣ c n=2，∵首项是 1 的两个数列 { a n} ，{ b n } ，∴数列 { c n} 是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列，∴c n=2n﹣1；（ 2）∵ b n=3n﹣1，c n=，∴a n=（ 2n﹣1）?3n﹣1，∴S n=1×30+3×31+ +（ 2n﹣1）× 3n﹣1，∴3S n=1×3+3×32+ +（2n﹣ 1）× 3n，∴﹣ 2S n=1+2?（31+ +3n﹣1）﹣（ 2n﹣1）?3n，∴S n=（ n﹣ 1） 3n+1．【点评】本题为等差等比数列的综合应用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题．19．（ 12 分）已知函数 f （x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当 b=4 时，求 f（ x）的极值；（2）若 f （x）在区间（ 0，）上单调递增，求 b 的取值范围．【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】 53：导数的综合应用．【分析】（1）把 b=4 代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得极值；（ 2）求出原函数的导函数，由导函数在区间（0，）上大于等于0恒成立，得25到对任意 x∈（ 0，）恒成立．由单调性求出的范围得答案．【解答】解：（ 1）当 b=4 时，f（ x）=（x2+4x+4）=（x），则=．由 f ′（x） =0，得 x=﹣ 2 或 x=0．当x＜﹣2 时，f ′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数．当﹣ 2＜x＜ 0 时， f ′（x）＞ 0， f（x）在（﹣ 2，0）上为增函数．当 0＜x＜时， f ′（x）＜ 0， f（x）在（ 0，）上为减函数．∴当 x=﹣ 2 时， f （x）取极小值为 0．当 x=0 时， f（x）取极大值为 4；（ 2）由 f （x）=（x2+bx+b），得：=．由 f（ x）在区间（ 0，）上单调递增，得 f ′（x）≥ 0 对任意 x∈（ 0，）恒成立．即﹣ 5x2﹣3bx+2x≥0 对任意 x∈（ 0，）恒成立．∴对任意 x∈（ 0，）恒成立．∵．∴．∴ b 的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，考查了数学转化思想方法，是中档题．2620．（ 12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD中， ABCD为矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD．（1）求证： AB⊥PD；（2）若∠ BPC=90°，PB= ，PC=2，问 AB 为何值时，四棱锥 P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面 BPC与平面 DPC夹角的余弦值．【考点】 MJ：二面角的平面角及求法．【专题】 5G：空间角； 5H：空间向量及应用．【分析】（1）要证 AD⊥PD，可以证明 AB⊥面 PAD，再利用面面垂直以及线面垂直的性质，即可证明AB⊥PD．（ 2）过 P 做 PO⊥ AD 得到 PO⊥平面 ABCD，作 OM⊥BC，连接 PM，由边长关系得到 BC=，PM=，设AB=x，则V P﹣ABCD=，故当时，V P﹣ABCD取最大值，建立空间直角坐标系O﹣AMP，利用向量方法即可得到夹角的余弦值．【解答】解：（1）∵在四棱锥 P﹣ ABCD中， ABCD为矩形，∴AB⊥AD，又∵平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD=AD，∴AB⊥面 PAD，∴ AB⊥ PD．（2）过 P 做 PO⊥ AD，∴ PO⊥平面 ABCD，作 OM⊥BC，连接 PM∴PM⊥ BC，∵∠ BPC=90°， PB= ， PC=2，∴ BC= ， PM== =，BM== ，设 AB=x，∴ OM=x∴ PO=，=x×==，∴ V P﹣ABCD× ×27当，即 x=，V ﹣ABCD，P=建立空间直角坐标系 O﹣ AMP，如图所示，则 P（0，0，），D（﹣，0， 0），C（﹣，，0），M（0，，0），B（，，0）面 PBC的法向量为=（ 0， 1， 1），面 DPC的法向量为=（ 1， 0，﹣ 2）∴ cosθ==﹣=﹣．由图可知二面角为锐角，即cos【点评】本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．21．（ 13 分）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点 A，B 分别在 C 的两条渐近线 AF⊥x 轴， AB⊥OB，BF∥OA（O 为坐标原点）．（ 1）求双曲线 C 的方程；（ 2）过 C 上一点 P（ x0，y0）（y0≠0）的直线 l：﹣y0与直线AF 相交于y=1点 M ，与直线 x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．28【考点】 KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）依题意知， A（ c，），设B（t，﹣），利用AB⊥OB，BF∥ OA，可求得 a=，从而可得双曲线 C 的方程；（ 2）易求 A（2，），l的方程为：﹣y0y=1，直线l：﹣y0y=1与直线AF 相交于点 M，与直线 x=相交于点N，可求得M（2，），N（，），于是化简=可得其值为，于是原结论得证．【解答】（1）解：依题意知， A（c，），设B（t，﹣），∵AB⊥OB，BF∥OA，∴? =﹣1，=，整理得： t=，a=，∴双曲线 C 的方程为﹣y2=1；（ 2）证明：由（ 1）知 A（2，），l的方程为：﹣y0y=1，又 F（ 2，0），直线 l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．29于是可得 M（2，），N（，），∴==== =．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，推理论证能力、运算求解能力、函数与方程思想，属于难题．22．（ 14 分）随机将 1，2，，2n（n∈N*， n≥ 2）这 2n 个连续正整数分成A、B 两组，每组 n 个数， A 组最小数为 a1，最大数为 a2；B 组最小数为 b1，最大数为 b2；记ξ=a2﹣ a1，η=b2﹣ b1．（1）当 n=3 时，求ξ的分布列和数学期望；（2） C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件 C 发生的概率 P（C）；（3）对（ 2）中的事件 C，表示 C 的对立事件，判断 P（C）和 P（）的大小关系，并说明理由．【考点】 CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】 5I：概率与统计．【分析】（1）当 n=3 时，ξ的取值可能为 2，3，4，5，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．（2）根据 C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，利用分类加法原理，可得事件 C 发生的概率 P（C）的表达式；（3）判断 P（ C）和 P（）的大小关系，即判断 P（ C）和的大小关系，根据30（2）的公式，可得答案．【解答】解：（1）当 n=3 时，ξ的取值可能为 2，3，4，5其中 P（ξ=2）= = ，P（ξ =3）= =，P（ξ =4）= =，P（ξ =5）= =，故随机变量ξ的分布列为：ξ2345Pξ的数学期望 E（ξ） =2×+3×+4×+5×=；（2）∵ C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，∴ P（ C） =2×（ 3）当 n=2 时， P（C）=2×=，此时P（）＜；即 P（）＜P（C）；当 n≥3 时， P（ C） =2×＜，此时P（）＞；即 P（）＞P（C）；【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．31。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. z 是z 的共轭复数. 若2=+z z ，（2)(=-i z z （i 为虚数单位），则=z （ ）A. i +1B. i --1C. i +-1D. i -1 2. 函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ）A.)1,0(B. ]1,0[C. ),1()0,(+∞-∞YD. ),1[]0,(+∞-∞Y 3. 已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. -14.在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC∆的面积（ ） A.3 B.239 C.233 D.33 5.一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）6.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，泽宇性别有关联的可能性最大的变量是（ ）A.成绩B.视力C.智商D.阅读量7.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）A.7B.9C.10D.11 8.若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰（ ）A.1-B.13-C.13D.1 9.在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ）A.45πB.34πC.(625)π-D.54π10.如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）二.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.11(1).（不等式选做题）对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.411(2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ） A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+C.cos sin ,02πρθθθ=+≤≤D.cos sin ,04πρθθθ=+≤≤三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 12.10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________. 13.若曲线xy e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________.14.已知单位向量1e u r 与2e u u r 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-r u r u u r 与123b e e =-r u r u u r 的夹角为β，则cos β=15.过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为四.简答题16.已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++，其中,(,)22a R ππθ∈∈- （1）当2,4a πθ==时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；(2)若()0,()12f f ππ==，求,a θ的值.17、（本小题满分12分）已知首项都是1的两个数列（），满足.(1) 令，求数列的通项公式； (2) 若，求数列的前n 项和.18、（本小题满分12分） 已知函数.(1) 当时，求的极值； (2) 若在区间上单调递增，求b 的取值范围.19(本小题满分12分)如图，四棱锥ABCD P -中，ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD . （1）求证：;PD AB ⊥（2）若,2,2,90===∠PC PB BPC ο问AB 为何值时，四棱锥ABCD P -的体积最大？并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值.20.（本小题满分13分）如图，已知双曲线)0(1222>=-a y ax C n 的右焦点F ,点B A ,分别在C 的两条渐近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）.（1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:020=-y y axx l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，NFMF 恒为定值，并求此定值21.（满分14分）随机将()1,2,,2,2n n N n *⋅⋅⋅∈≥这2n 个连续正整数分成A,B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为1b ，最大数为1b ，记2112,a a b b ξη=-=-（1）当3n =时，求ξ的分布列和数学期望；（2）令C 表示事件ξ与η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率()p c ；（3）对（2）中的事件C,c 表示C 的对立事件，判断()p c 和()p c 的大小关系，并说明理由。

2014年江西省高考数学试卷（理科）2014年江西省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2014•江西）是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i2．（5分）（2014•江西）函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1）B．[0，1]C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）3．（5分）（2014•江西）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则a=（）A．1B．2C．3D．﹣14．（5分）（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a ，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．35．（5分）（2014•江西）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A．B．C．D．6．（5分）（2014•江西）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1成绩不及格及格总计性别男 6 14 20女10 22 32总计16 36 52表2好差总计视力性别男 4 16 20女12 20 32总计16 36 52表3智商偏高正常总计性别男8 12 20女8 24 32总计16 36 52表4阅读量性别丰富不丰富总计男14 6 20女 2 30 32总计16 36 52A．成绩B．视力C．智商D．阅读量7．（5分）（2014•江西）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7B．9C．10 D．118．（5分）（2014•江西）若f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（）A．﹣1 B．﹣C．D．19．（5分）（2014•江西）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）πD．π10．（5分）（2014•江西）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12．一质点从顶点A射向点E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i﹣1次到第i次反射点之间的线段记为l i（i=2，3，4），l1=AE，将线段l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）A．B．C．D．二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题11．（5分）（2014•江西）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（）A．1B．2C．3D．4坐标系与参数方程选做题12．（2014•江西）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1﹣x（0≤x≤1）的极坐标方程为（）A．ρ=，0≤θ≤B．ρ=，0≤θ≤C．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤D．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（2014•江西）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是_________．14．（5分）（2014•江西）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是_________．15．（5分）（2014•江西）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=_________．16．（5分）（2014•江西）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_________．五、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2014•江西）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣，）（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．18．（12分）（2014•江西）已知首项是1的两个数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*）满足a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n=0．（1）令c n=，求数列{c n}的通项公式；（2）若b n=3n﹣1，求数列{a n}的前n项和S n．19．（12分）（2014•江西）已知函数f（x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当b=4时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．20．（12分）（2014•江西）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．21．（13分）（2014•江西）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．22．（14分）（2014•江西）随机将1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2；记ξ=a2﹣a1，η=b2﹣b1．（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；（2）C表示时间“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P（C）；（3）对（2）中的事件C，表示C的对立时间，判断P（C）和P（）的大小关系，并说明理由．2014年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2014•江西）是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：由题，先求出z﹣=﹣2i，再与z+=2联立即可解出z得出正确选项．解答：解：由于，（z﹣）i=2，可得z﹣=﹣2i ①又z+=2 ②由①②解得z=1﹣i故选D．点评：本题考查复数的乘除运算，属于基本计算题2．（5分）（2014•江西）函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1）B．[0，1]C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，则x2﹣x＞0，即x＞1或x＜0，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞），故选：C点评：本题主要考查函数定义域的求法，比较基础．3．（5分）（2014•江西）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则a=（）A．1B．2C．3D．﹣1考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的表达式，直接代入即可得到结论．解答：解：g（1）=a﹣1，若f[g（1）]=1，则f（a﹣1）=1，即5|a﹣1|=1，则|a﹣1|=0，解得a=1，故选：A．点评：本题主要考查函数值的计算，利用条件直接代入解方程即可，比较基础．4．（5分）（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．3考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：将“c2=（a﹣b）2+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，比较两式，得到ab的值，计算其面积．解答：解：由题意得，c2=a2+b2﹣2ab+6，又由余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab ，∴﹣2ab+6=﹣ab，即ab=6．∴S△ABC==．故选：C．点评：本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是应用最为广泛，也是最方便的定理之一，高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查．5．（5分）（2014•江西）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可．解答：解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C、D不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确，故选：B．点评：本题考查三视图的画法，几何体的结构特征是解题的关键．6．（5分）（2014•江西）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1不及格及格总计成绩性别男 6 14 20女10 22 32总计16 36 52表2视力好差总计性别男 4 16 20女12 20 32总计16 36 52表3偏高正常总计智商性别男8 12 20女8 24 32总计16 36 52表4丰富不丰富总计阅读量性别男14 6 20女 2 30 32总计16 36 52A．成绩B．视力C．智商D．阅读量考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：根据表中数据，利用公式，求出X2，即可得出结论．解答：解：表1：X2=≈0.009；表2：X2=≈1.769；表3：X2=≈1.3；表4：X2=≈23.48，∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选：D．点评：本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（5分）（2014•江西）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7B．9C．10 D．11考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．8．（5分）（2014•江西）若f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（）A．﹣1 B．﹣C．D．1考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：利用回代验证法推出选项即可．解答：解：若f（x）dx=﹣1则：f（x）=x2﹣2，∴x2﹣2=x2+2（x2﹣2）dx=x2+2（）=x2﹣，显然A不正确；若f（x）dx=，则：f（x）=x2﹣，∴x2﹣=x2+2（x2﹣）dx=x2+2（）=x2﹣，显然B正确；若f（x）dx=，则：f（x）=x2+，∴x2+=x2+2（x2+）dx=x2+2（）=x2+2，显然C不正确；若f（x）dx=1则：f（x）=x2+2，∴x2+2=x2+2（x2+2）dx=x2+2（）=x2+，显然D不正确；故选：B．点评：本题考查定积分以及微积分基本定理的应用，回代验证有时也是解答问题的好方法．9．（5分）（2014•江西）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）πD．π考点：直线与圆的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据AB为直径，∠AOB=90°，推断O点必在圆C上，由O向直线做垂线，垂足为D，则当D恰为圆与直线的切点时，此时圆C的半径最小，即面积最小，利用点到直线的距离求得O到直线的距离，则圆的半径可求，进而可求得此时圆C的面积．解答：解：∵AB为直径，∠AOB=90°，∴O点必在圆C上，由O向直线做垂线，垂足为D，则当D恰为圆与直线的切点时，此时圆C的半径最小，即面积最小此时圆的直径为O到直线的距离为，则圆C的面积为：π×（）2=．故选A．点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系．用数形结合的思想，解决问题较为直观．10．（5分）（2014•江西）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12．一质点从顶点A射向点E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i﹣1次到第i次反射点之间的线段记为l i（i=2，3，4），l1=AE，将线段l1，l2，l3，l 4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）A．B．C．D．考点：真题集萃；空间中的点的坐标；点、线、面间的距离计算．专题：空间向量及应用．分析：根据平面反射定理，列出反射线与入射线的关系，得到入射线与反射平面的交点，再利用两点间的距离公式，求出距离，即可求解．解答：解：根据题意有：A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；E的坐标为（4，3，12）（1）l1长度计算所以：l1=|AE|==13．（2）l2长度计算将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称．设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（x E2，y E2，24）根据相识三角形易知：x E2=2x E=2×4=8，y E2=2y E=2×3=6，即：E2（8，6，24）根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内．根据反射原理，E2在平面ABCD上的投影即为AE反射光与平面ABCD的交点．所以F的坐标为（8，6，0）．因此：l2=|EF|==13．（3）l3长度计算设G的坐标为：（x G，y G，z G）如果G落在平面BCC1B1；这个时候有：x G=11，y G≤7，z G≤12根据反射原理有：AE∥FG于是：向量与向量共线；即有：=λ因为：=（4，3，12）；=（x G﹣8，y G﹣6，z G﹣0）=（3，y G﹣6，z G）即有：（4，3，12）=λ（3，y G﹣6，z G）解得：y G=，z G=9；故G的坐标为：（11，，9）因为：＞7，故G点不在平面BCC1B1上，所以：G点只能在平面DCC1D1上；因此有：y G=7；x G≤11，z G≤12此时：=（x G﹣8，y G﹣6，z G﹣0）=（x G﹣8，1，z G）即有：（4，3，12）=λ（x G﹣8，1，z G）解得：x G=，z G=4；满足：x G≤11，z G≤12故G的坐标为：（，7，4）所以：l3=|FG|==（4）l4长度计算设G点在平面A1B1C1D1的投影为G’，坐标为（，7，12）因为光线经过反射后，还会在原来的平面内；即：AEFGH共面故EG的反射线GH只能与平面A1B1C1D1相交，且交点H只能在A1G'；易知：l4＞|GG’|=12﹣4=8＞l3．根据以上解析，可知l1，l2，l3，l4要满足以下关系：l1=l2；且l4＞l3对比ABCD选项，可知，只有C选项满足以上条件．故本题选：C．点评：本题主要考察的空间中点坐标的概念，两点间的距离公式，解法灵活，属于难题．二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题11．（5分）（2014•江西）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（）A．1B．2C．3D．4考点：绝对值三角不等式；函数最值的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：把表达式分成2组，利用绝对值三角不等式求解即可得到最小值．解答：解：对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|=|x﹣1|+|﹣x|+|1﹣y|+|y+1|≥|x﹣1﹣x|+|1﹣y+y+1|=3，当且仅当x∈[0，]，y∈[0，1]成立．故选：C．点评：本题考查绝对值三角不等式的应用，考查利用分段函数或特殊值求解不等式的最值的方法．坐标系与参数方程选做题12．（2014•江西）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1﹣x（0≤x≤1）的极坐标方程为（）A．ρ=，0≤θ≤B．ρ=，0≤θ≤C．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤D．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，把方程y=1﹣x（0≤x≤1）化为极坐标方程．解答：解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，y=1﹣x（0≤x≤1），可得ρcosθ+ρsinθ=1，即ρ=，θ∈[0，]，故选：A．点评：本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，注意极角θ的范围，属于基础题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（2014•江西）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10件中取4件有C104种结果，满足条件的事件是恰好有1件次品有C72C31种结果，得到概率．解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10件中取4件有C104种结果，满足条件的事件是恰好有1件次品有C C31种结果，∴恰好有一件次品的概率是P==故答案为：点评：本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是利用组合数写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，本题是一个基础题．14．（5分）（2014•江西）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是（﹣ln2，2）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．解答：解：设P（x，y），则y=e﹣x，∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，∴﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，∴y=e﹣x=2，故P（﹣ln2，2），故答案为：（﹣ln2，2）．点评：本题考查了导数的几何意义，即点P处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．15．（5分）（2014•江西）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：转化向量为平面直角坐标系中的向量，通过向量的数量积求出所求向量的夹角．解答：解：单位向量与的夹角为α，且cosα=，不妨=（1，0），=，=3﹣2=（），=3﹣=（），∴cosβ===．故答案为：．点评：本题考查向量的数量积，两个向量的夹角的求法，考查计算能力．16．（5分）（2014•江西）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C的离心率．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB 的中点，∴两式相减可得，∴a=b，∴=b，∴e==．故答案为：．点评：本题考查椭圆C的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．五、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2014•江西）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣，）（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的求值．分析：（1）由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=﹣sin（x﹣），再根据x∈[0，π]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．（2）由条件可得θ∈（﹣，），cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，由这两个式子求出a和θ的值．解答：解：（1）当a=，θ=时，f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）=sin（x+）+cos（x+）=sinx+cosx﹣sinx=﹣sinx+cosx=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣）．∵x∈[0，π]，∴x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴﹣sin（x﹣）∈[﹣1，]，故f（x）在区间[0，π]上的最小值为﹣1，最大值为．（2）∵f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），a∈R，θ∈（﹣，），f（）=0，f（π）=1，∴cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，由①求得sinθ=，由②可得cos2θ==﹣﹣．再根据cos2θ=1﹣2sin2θ，可得﹣﹣=1﹣2×，求得a=﹣1，∴sinθ=﹣，θ=﹣．综上可得，所求的a=﹣1，θ=﹣．点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18．（12分）（2014•江西）已知首项是1的两个数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*）满足a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n=0．（1）令c n=，求数列{c n}的通项公式；（2）若b n=3n﹣1，求数列{a n}的前n项和S n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n=0，e n=，可得数列{c n}是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求数列{c n}的通项公式；（2）用错位相减法来求和．解答：解：（1）∵a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n=0，c n=，∴c n﹣c n+1+2=0，∴c n+1﹣c n=2，∵首项是1的两个数列{a n}，{b n}，∴数列{c n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴c n=2n﹣1；（2）∵b n=3n﹣1，c n=，∴a n=（2n﹣1）•3n﹣1，∴S n=1×30+3×31+…+（2n﹣1）×3n﹣1，∴3S n=1×31+3×32+…+（2n﹣1）×3n，∴﹣2S n=1+2•（31+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n=﹣2﹣（2n﹣2）3n，∴S n=（n﹣1）3n+1．点评：本题为等差等比数列的综合应用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题．19．（12分）（2014•江西）已知函数f（x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当b=4时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）把b=4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得极值；（2）求出原函数的导函数，由导函数在区间（0，）上大于等于0恒成立，得到对任意x∈（0，）恒成立．由单调性求出的范围得答案．解答：解：（1）当b=4时，f（x）=（x2+4x+4）=（x），则=．由f′（x）=0，得x=﹣2或x=0．当x＜﹣2时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数．当﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣2，0）上为增函数．当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）在（0，）上为减函数．∴当x=﹣2时，f（x）取极小值为0．当x=0时，f（x）取极大值为4；（2）由f（x）=（x2+bx+b），得：=．由f（x）在区间（0，）上单调递增，得f′（x）≥0对任意x∈（0，）恒成立．即﹣5x2﹣3bx+2x≥0对任意x∈（0，）恒成立．∴对任意x∈（0，）恒成立．∵．∴．∴b的取值范围是．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，考查了数学转化思想方法，是中档题．20．（12分）（2014•江西）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法．专题：空间角；空间向量及应用．分析：（1）要证AD⊥PD，可以证明AB⊥面PAD，再利用面面垂直以及线面垂直的性质，即可证明AB⊥PD．（2）过P做PO⊥AD得到PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM，由边长关系得到BC=，PM=，设AB=x，则V P﹣ABCD=，故当时，V P﹣ABCD取最大值，建立空间直角坐标系O﹣AMP，利用向量方法即可得到夹角的余弦值．解答：解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，∴AB⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD．（2）过P做PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM∴PM⊥BC，∵∠BPC=90°，PB=，PC=2，∴BC=，PM==，BM=，设AB=x，∴OM=x∴PO=，∴V P﹣ABCD=×x××=当，即x=，V P﹣ABCD=，建立空间直角坐标系O﹣AMP，如图所示，则P（0，0，），D（﹣，0，0），C（﹣，，0），M（0，，0），B（，，0）面PBC的法向量为=（0，1，1），面DPC的法向量为=（1，0，﹣2）∴cosθ===﹣．点评：本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．21．（13分）（2014•江西）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．考直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆锥曲线的关系．点：专圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分（1）依题意知，A（c，），设B（t，﹣），利用AB⊥OB，BF∥OA，可求得a=，从而可得双曲线C的析：方程；（2）易求A（2，），l的方程为：﹣y0y=1，直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N，可求得M（2，），N（，），于是化简=可得其值为，于是原结论得证．解（1）解：依题意知，A（c，），设B（t，﹣），答：∵AB⊥OB，BF∥OA，∴•=﹣1，=，整理得：t=，a=，∴双曲线C的方程为﹣y2=1；（2）证明：由（1）知A（2，），l的方程为：﹣y0y=1，又F（2，0），直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．于是可得M（2，），N（，），∴=====． 点评： 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，推理论证能力、运算求解能力、函数与方程思想，属于难题．22．（14分）（2014•江西）随机将1，2，…，2n （n ∈N *，n ≥2）这2n 个连续正整数分成A 、B 两组，每组n 个数，A 组最小数为a 1，最大数为a 2；B 组最小数为b 1，最大数为b 2；记ξ=a 2﹣a 1，η=b 2﹣b 1．（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；（2）C 表示时间“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C 发生的概率P （C ）；（3）对（2）中的事件C ，表示C 的对立时间，判断P （C ）和P （）的大小关系，并说明理由．考点： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题： 概率与统计．分析： （1）当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望E ξ．（2）根据C 表示时间“ξ与η的取值恰好相等”，利用分类加法原理，可得事件C 发生的概率P （C ）的表达式；（3）判断P （C ）和P （）的大小关系，即判断P （C ）和的大小关系，根据（2）的公式，可得答案． 解答： 解：（1）当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5其中P （ξ=2）==，P （ξ=3）==，P （ξ=4）==，P （ξ=5）==，故随机变量ξ的分布列为：ξ 23 4 5 Pξ的数学期望E （ξ）=2×+3×+4×+5×=； （2）∵C 表示时间“ξ与η的取值恰好相等”，∴P （C ）=2×（3）当n=2时，P（C）=2×=，此时P（）＜；即P（）＜P（C）；当n≥3时，P（C）=2×＜，此时P（）＞；即P（）＞P（C）；点评：本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．参与本试卷答题和审题的老师有：刘长柏；qiss；maths；szjzl；xintrl；涨停；翔宇老师；wsj1012；caoqz；sxs123；清风慕竹；任老师；wfy814；bjkjdxcl（排名不分先后）菁优网2014年7月8日。

2014年江西省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2014?江西）是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i2．（5分）（2014?江西）函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1）B．[0，1]C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）3．（5分）（2014?江西）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．﹣14．（5分）（2014?江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a ﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）A．B． C． D．35．（5分）（2014?江西）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A．B． C．D．6．（5分）（2014?江西）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1成绩不及格及格总计性别男 6 14 20女10 22 32总计16 36 52表2好差总计视力性别男 4 16 20女12 20 32总计16 36 52表3偏高正常总计智商性别男8 12 20女8 24 32总计16 36 52表4阅读量丰富不丰富总计性别男14 6 20女 2 30 32总计16 36 52A．成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量7．（5分）（2014?江西）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．118．（5分）（2014?江西）若f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（）A．﹣1 B．﹣C．D．19．（5分）（2014?江西）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB 为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）πD．π10．（5分）（2014?江西）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12．一质点从顶点A射向点E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i ﹣1次到第i次反射点之间的线段记为l i（i=2，3，4），l1=AE，将线段l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）A．B．C．D．二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题11．（5分）（2014?江西）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4坐标系与参数方程选做题12．（2014?江西）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1﹣x（0≤x≤1）的极坐标方程为（）A．ρ=，0≤θ≤B．ρ=，0≤θ≤C．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤D．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（2014?江西）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是．14．（5分）（2014?江西）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是．15．（5分）（2014?江西）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=．16．（5分）（2014?江西）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．五、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2014?江西）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣，）（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．18．（12分）（2014?江西）已知首项是1的两个数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*）满足a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n=0．（1）令c n=，求数列{c n}的通项公式；（2）若b n=3n﹣1，求数列{a n}的前n项和S n．19．（12分）（2014?江西）已知函数f（x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当b=4时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．20．（12分）（2014?江西）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．21．（13分）（2014?江西）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．22．（14分）（2014?江西）随机将1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2；记ξ=a2﹣a1，η=b2﹣b1．（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；（2）C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P（C）；（3）对（2）中的事件C，表示C的对立事件，判断P（C）和P（）的大小关系，并说明理由．2014年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2014?江西）是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；数系的扩充和复数．【分析】由题，先求出z﹣=﹣2i，再与z+=2联立即可解出z得出正确选项．【解答】解：由于，（z﹣）i=2，可得z﹣=﹣2i ①又z+=2 ②由①②解得z=1﹣i故选D．【点评】本题考查复数的乘除运算，属于基本计算题2．（5分）（2014?江西）函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1）B．[0，1]C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣x＞0，即x＞1或x＜0，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞），故选：C【点评】本题主要考查函数定义域的求法，比较基础．3．（5分）（2014?江西）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．﹣1【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的表达式，直接代入即可得到结论．【解答】解：∵g（x）=ax2﹣x（a∈R），∴g（1）=a﹣1，若f[g（1）]=1，则f（a﹣1）=1，即5|a﹣1|=1，则|a﹣1|=0，解得a=1，故选：A．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件直接代入解方程即可，比较基础．4．（5分）（2014?江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a ﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）A．B． C． D．3【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】将“c2=（a﹣b）2+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，比较两式，得到ab的值，计算其面积．【解答】解：由题意得，c2=a2+b2﹣2ab+6，又由余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴﹣2ab+6=﹣ab，即ab=6．∴S△ABC==．故选：C．【点评】本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是应用最为广泛，也是最方便的定理之一，高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查．5．（5分）（2014?江西）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A．B． C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可．【解答】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C、D 不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确，故选：B．【点评】本题考查三视图的画法，几何体的结构特征是解题的关键．6．（5分）（2014?江西）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1不及格及格总计成绩性别男 6 14 20女10 22 32总计16 36 52表2好差总计视力性别男 4 16 20女12 20 32总计16 36 52表3偏高正常总计智商性别男8 12 20女8 24 32总计16 36 52表4丰富不丰富总计阅读量性别男14 6 20女 2 30 32总计16 36 52A．成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量【考点】独立性检验的应用．【专题】应用题；概率与统计．【分析】根据表中数据，利用公式，求出X2，即可得出结论．【解答】解：表1：X2=≈0.009；表2：X2=≈1.769；表3：X2=≈1.3；表4：X2=≈23.48，∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选：D．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（5分）（2014?江西）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．8．（5分）（2014?江西）若f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【考点】定积分．【专题】导数的综合应用．【分析】利用回代验证法推出选项即可．【解答】解：若f（x）dx=﹣1，则：f（x）=x2﹣2，∴x2﹣2=x2+2（x2﹣2）dx=x2+2（）=x2﹣，显然A不正确；若f（x）dx=，则：f（x）=x2﹣，∴x2﹣=x2+2（x2﹣）dx=x2+2（）=x2﹣，显然B正确；若f（x）dx=，则：f（x）=x2+，∴x2+=x2+2（x2+）dx=x2+2（）=x2+2，显然C不正确；若f（x）dx=1，则：f（x）=x2+2，∴x2+2=x2+2（x2+2）dx=x2+2（）=x2+，显然D不正确；故选：B．【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的应用，回代验证有时也是解答问题的好方法．9．（5分）（2014?江西）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB 为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）πD．π【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，则当D恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小．【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y﹣4=0的距离为：d==，此时r=∴圆C的面积的最小值为：S min=π×（）2=．故选：A．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．10．（5分）（2014?江西）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12．一质点从顶点A射向点E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i ﹣1次到第i次反射点之间的线段记为l i（i=2，3，4），l1=AE，将线段l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）A．B．C．D．【考点】真题集萃；空间中的点的坐标；点、线、面间的距离计算．【专题】空间向量及应用．【分析】根据平面反射定理，列出反射线与入射线的关系，得到入射线与反射平面的交点，再利用两点间的距离公式，求出距离，即可求解．【解答】解：根据题意有：A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；E的坐标为（4，3，12）（1）l1长度计算所以：l1=|AE|==13．（2）l2长度计算将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称．设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（x E2，y E2，24）根据相似三角形易知：x E2=2x E=2×4=8，y E2=2y E=2×3=6，即：E2（8，6，24）根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内．根据反射原理，E2在平面ABCD上的投影即为AE反射光与平面ABCD的交点．所以F的坐标为（8，6，0）．因此：l2=|EF|==13．（3）l3长度计算设G的坐标为：（x G，y G，z G）如果G落在平面BCC1B1；这个时候有：x G=11，y G≤7，z G≤12根据反射原理有：AE∥FG于是：向量与向量共线；即有：=λ因为：=（4，3，12）；=（x G﹣8，y G﹣6，z G﹣0）=（3，y G﹣6，z G）即有：（4，3，12）=λ（3，y G﹣6，z G）解得：y G=，z G=9；故G的坐标为：（11，，9）因为：＞7，故G点不在平面BCC1B1上，所以：G点只能在平面DCC1D1上；因此有：y G=7；x G≤11，z G≤12此时：=（x G﹣8，y G﹣6，z G﹣0）=（x G﹣8，1，z G）即有：（4，3，12）=λ（x G﹣8，1，z G）解得：x G=，z G=4；满足：x G≤11，z G≤12故G的坐标为：（，7，4）所以：l3=|FG|==（4）l4长度计算设G点在平面A1B1C1D1的投影为G’，坐标为（，7，12）因为光线经过反射后，还会在原来的平面内；即：AEFGH共面故EG的反射线GH只能与平面A1B1C1D1相交，且交点H只能在A1G'；易知：l4＞|GG’|=12﹣4=8＞l3．根据以上解析，可知l1，l2，l3，l4要满足以下关系：l1=l2；且l4＞l3对比ABCD选项，可知，只有C选项满足以上条件．故本题选：C．【点评】本题主要考察的空间中点坐标的概念，两点间的距离公式，解法灵活，属于难题．二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题11．（5分）（2014?江西）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】绝对值三角不等式；函数最值的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】把表达式分成2组，利用绝对值三角不等式求解即可得到最小值．【解答】解：对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|=|x﹣1|+|﹣x|+|1﹣y|+|y+1|≥|x﹣1﹣x|+|1﹣y+y+1|=3，当且仅当x∈[0，1]，y∈[﹣1，1]成立．故选：C．【点评】本题考查绝对值三角不等式的应用，考查利用分段函数或特殊值求解不等式的最值的方法．坐标系与参数方程选做题12．（2014?江西）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1﹣x（0≤x≤1）的极坐标方程为（）A．ρ=，0≤θ≤B．ρ=，0≤θ≤C．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤D．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，把方程y=1﹣x（0≤x≤1）化为极坐标方程．【解答】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，y=1﹣x（0≤x≤1），可得ρcosθ+ρsinθ=1，即ρ=．由0≤x≤1，可得线段y=1﹣x（0≤x≤1）在第一象限，故极角θ∈[0，]，故选：A．【点评】本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，注意极角θ的范围，属于基础题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（2014?江西）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是．【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10件中取4件有C104种结果，满足条件的事件是恰好有1件次品有C73种结果，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10件中取4件有C104种结果，满足条件的事件是恰好有1件次品有C种结果，∴恰好有一件次品的概率是P==故答案为：【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是利用组合数写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，本题是一个基础题．14．（5分）（2014?江西）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是（﹣ln2，2）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．【解答】解：设P（x，y），则y=e﹣x，∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，∴﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，∴y=e﹣x=2，故P（﹣ln2，2）．故答案为：（﹣ln2，2）．【点评】本题考查了导数的几何意义，即点P处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．15．（5分）（2014?江西）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】转化向量为平面直角坐标系中的向量，通过向量的数量积求出所求向量的夹角．【解答】解：单位向量与的夹角为α，且cosα=，不妨=（1，0），=，=3﹣2=（），=3﹣=（），∴cosβ===．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积，两个向量的夹角的求法，考查计算能力．16．（5分）（2014?江西）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C的离心率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，∵M是线段AB的中点，∴=1，=1，∵直线AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1，∴y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即，∴a=b，∴=b，∴e==．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．五、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2014?江西）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣，）（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；正弦函数的定义域和值域．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=﹣sin （x﹣），再根据x∈[0，π]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．（2）由条件可得θ∈（﹣，），cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，由这两个式子求出a和θ的值．【解答】解：（1）当a=，θ=时，f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）=sin（x+）+cos（x+）=sinx+cosx﹣sinx=﹣sinx+cosx=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣）．∵x∈[0，π]，∴x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴﹣sin（x﹣）∈[﹣1，]，故f（x）在区间[0，π]上的最小值为﹣1，最大值为．（2）∵f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），a∈R，θ∈（﹣，），f（）=0，f（π）=1，∴cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，由①求得sinθ=，由②可得cos2θ==﹣﹣．再根据cos2θ=1﹣2sin2θ，可得﹣﹣=1﹣2×，求得a=﹣1，∴sinθ=﹣，θ=﹣．综上可得，所求的a=﹣1，θ=﹣．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18．（12分）（2014?江西）已知首项是1的两个数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*）满足a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n=0．（1）令c n=，求数列{c n}的通项公式；（2）若b n=3n﹣1，求数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（1）由a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n=0，c n=，可得数列{c n}是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求数列{c n}的通项公式；（2）用错位相减法来求和．【解答】解：（1）∵a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n=0，c n=，∴c n﹣c n+1+2=0，∴c n+1﹣c n=2，∵首项是1的两个数列{a n}，{b n}，∴数列{c n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴c n=2n﹣1；（2）∵b n=3n﹣1，c n=，∴a n=（2n﹣1）?3n﹣1，∴S n=1×30+3×31+…+（2n﹣1）×3n﹣1，∴3S n=1×3+3×32+…+（2n﹣1）×3n，∴﹣2S n=1+2?（31+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）?3n，∴S n=（n﹣1）3n+1．【点评】本题为等差等比数列的综合应用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题．19．（12分）（2014?江西）已知函数f（x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当b=4时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）把b=4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得极值；（2）求出原函数的导函数，由导函数在区间（0，）上大于等于0恒成立，得到对任意x∈（0，）恒成立．由单调性求出的范围得答案．【解答】解：（1）当b=4时，f（x）=（x2+4x+4）=（x），则=．由f′（x）=0，得x=﹣2或x=0．当x＜﹣2时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数．当﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣2，0）上为增函数．当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）在（0，）上为减函数．∴当x=﹣2时，f（x）取极小值为0．当x=0时，f（x）取极大值为4；（2）由f（x）=（x2+bx+b），得：=．由f（x）在区间（0，）上单调递增，得f′（x）≥0对任意x∈（0，）恒成立．即﹣5x2﹣3bx+2x≥0对任意x∈（0，）恒成立．∴对任意x∈（0，）恒成立．∵．∴．∴b的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，考查了数学转化思想方法，是中档题．20．（12分）（2014?江西）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法．【专题】空间角；空间向量及应用．【分析】（1）要证AD⊥PD，可以证明AB⊥面PAD，再利用面面垂直以及线面垂直的性质，即可证明AB⊥PD．（2）过P做PO⊥AD得到PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM，由边长关系得到BC=，PM=，设AB=x，则V P﹣ABCD=，故当时，V P﹣ABCD取最大值，建立空间直角坐标系O﹣AMP，利用向量方法即可得到夹角的余弦值．【解答】解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，∴AB⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD．（2）过P做PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM∴PM⊥BC，∵∠BPC=90°，PB=，PC=2，∴BC=，PM===，BM==，设AB=x，∴OM=x∴PO=，∴V P﹣ABCD=×x××==，当，即x=，V P﹣ABCD=，建立空间直角坐标系O﹣AMP，如图所示，则P（0，0，），D（﹣，0，0），C（﹣，，0），M（0，，0），B（，，0）面PBC的法向量为=（0，1，1），面DPC的法向量为=（1，0，﹣2）∴cosθ==﹣=﹣．由图可知二面角为锐角，即cos【点评】本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．21．（13分）（2014?江西）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）依题意知，A（c，），设B（t，﹣），利用AB⊥OB，BF∥OA，可求得a=，从而可得双曲线C的方程；（2）易求A（2，），l的方程为：﹣y0y=1，直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N，可求得M（2，），N（，），于是化简=可得其值为，于是原结论得证．【解答】（1）解：依题意知，A（c，），设B（t，﹣），∵AB⊥OB，BF∥OA，∴?=﹣1，=，整理得：t=，a=，∴双曲线C的方程为﹣y2=1；（2）证明：由（1）知A（2，），l的方程为：﹣y0y=1，又F（2，0），直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．于是可得M（2，），N（，），∴==== =．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，推理论证能力、运算求解能力、函数与方程思想，属于难题．22．（14分）（2014?江西）随机将1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2；记ξ=a2﹣a1，η=b2﹣b1．（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；（2）C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P（C）；（3）对（2）中的事件C，表示C的对立事件，判断P（C）和P（）的大小关系，并说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（1）当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．（2）根据C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，利用分类加法原理，可得事件C发生的概率P（C）的表达式；（3）判断P（C）和P（）的大小关系，即判断P（C）和的大小关系，根据（2）的公式，可得答案．【解答】解：（1）当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5其中P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==，故随机变量ξ的分布列为：ξ 2 3 4 5Pξ的数学期望E（ξ）=2×+3×+4×+5×=；（2）∵C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，∴P（C）=2×（3）当n=2时，P（C）=2×=，此时P（）＜；即P（）＜P（C）；当n≥3时，P（C）=2×＜，此时P（）＞；即P（）＞P（C）；【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．参与本试卷答题和审题的老师有：xintrl；maths；任老师；qiss；刘长柏；清风慕竹；wsj1012；bjkjdxcl；caoqz；涨停；sxs123；szjzl；wfy814；翔宇老师（排名不分先后）菁优网2016年6月8日考点卡片1．真题集萃【真题强化】eg：1．从集合{1，2，3，4，5}中随机选取一个数记为a，则使命题：“存在x∈（﹣3，3）使关于x的不等式x2+ax+2＜0有解”为真命题的概率是：（）解：令f（x）=x2+ax+2，∵存在x∈（﹣3，3）使关于x的不等式x2+ax+2＜0有解，故函数f（x）=x2+ax+2 至少有一个零点在区间（﹣3，3）上，故有①，或②．解①可得a＞，解②可得2＜a＜．把①②的解集取并集可得2＜a＜+∞，且a≠．再由a∈集合{1，2，3，4，5}，可得a=3、4、5，共3个，而所有的a共有5个，故所求事件的概率为，故答案为．点评：本题主要是对概念进行了考察，重点考察了韦达定理的应用和概率的表达，像这种集合采用枚举法来表达，数据又比较少的题，一般的解法就是一一带入然后验证．eg：2．命题甲：集合M={x|kx2﹣2kx+1=0}为空集；命题乙：关于x的不等式x2+（k﹣1）x+4＞0的解集为R．若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，则实数k的取值范围是：解：∵集合M={x|kx2﹣2kx+1=0}为空集，当k≠0时，△=（﹣2k）2﹣4k＜0，解得0＜k＜1，当k=0时，方程变为1=0，无解，满足题意，故可得0≤k＜1；又∵关于x的不等式x2+（k﹣1）x+4＞0的解集为R，∴△′=（k﹣1）2﹣4×4＜0，解得﹣3＜k＜5，当甲命题为真，乙命题为假时，可得[0，1）∩{（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）}=?，当甲命题为假，乙命题为真时，可得{（﹣∞，0）∪[1，+∞）}∩（﹣3，5）=（﹣3，0）∪[1，5），故答案为：（﹣3，0）∪[1，5）点评：这其实是个综合题，主要考察了一元二次函数根的求解和根与系数的关系以及两个命题的逻辑关系，这种问题个个击破就可以了，先把一个命题的解求出来，然后在看看两个解之间的关系进行综合．【解题方法点拨】从这两个例题当中可以看出集合问题一般喜欢和一元二次函数或者逻辑关系结合起来一起考，所以在复习这个章节的时候，必须对一元二次函数的基本性质和逻辑关系的一些基本概念同时复习．2．函数的定义域及其求法【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g （x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．3．函数的值【知识点的认识】函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．【解题方法点拨】求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2=8；②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x=5和x=3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较例题：求f（x）=lnx﹣x在（0，+∞）的值域解：f′（x）=﹣1=∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减∴最大值为：ln1﹣1=﹣1，无最小值；故值域为（﹣∞，﹣1）【命题方向】函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．4．函数最值的应用【函数最值的应用】函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值．在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题．另外，最值可分为最大值和最小值．【函数最值得应用】这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题，具体的说是转化为函数最值问题，这里面需要同学们要具有转化思维，具有一定的建模能力，在很多高考题中也常常以大题的形式出现，所以务必引起重视．这里我们以具体的例题来讲解．例：城关中学要建造一个长方形游泳池，其容积为4800立方米，深为3米，如果建造池底的单价是建造池壁单价的1.5倍，怎样设计水池才能使总造价最低？设池壁造价为每平方米m元，则最低造价为多少？解：设水池底面的长为x米，宽为4800÷3x米，总造价为y，则=2400m+6（）m…（6分）求导可得令，可得x=40…（11分）∴函数在（0，40）上单调递增，在（40，+∞）上单调递减∴当池底长为40米，宽为40米时，总造价最低为2880m元．这是工程上一个很常见的成本最低的问题，也很有代表性，在这个立体当中，我们要做的第一步是构建数学模型，把求成本最低的问题转化为求函数的最小值，这个题在构建模型的时候最关键的是要找到造价与底面长的关系，从而又把造价问题转化为关于底面长的一个函数，这也是我们常用的方法．第二步构建函数，然后运用数学方法求解，这个是重点，求解的一般方法为基本不等式和求导判定单调性．【高考预测】应用题紧贴实际，很能体现学以致用，是出题老师很喜欢的一种题型，解答这种题需要考生先苦练基本功，会求一般函数的最值；然后也具备基本的建模能力，在文字当中找到它们的内在逻辑关系，最后以函数的形式表达出来．5．定积分【定积分】定积分就是求函数f（X）在区间[a，b]中图线下包围的面积．即由y=0，x=a，x=b，y=f（X）所围成图形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．【定积分的求法】求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．例1：定积分=。

2014·江西卷(理科数学)1.[2014·江西卷] z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋i D.1－i 【测量目标】复数的基本运算【考查方式】给出共轭复数和复数的运算，求出z 【参考答案】D 【难易程度】容易【试题解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，所以2a ＝2，－2b ＝2，得a ＝1，b ＝－1，故z ＝1－i. 2.[2014·江西卷] 函数f (x )＝ln(2x －x )的定义域为( )A.(0，1]B.[0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞) 【测量目标】定义域【考查方式】根据对数函数的性质，求其定义域 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】由2x －x >0，得x >1或x <0.3.[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝||5x ，g (x )＝2ax －x (a ∈R ).若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.－1 【测量目标】复合函数【考查方式】给出两个函数，求其复合函数 【参考答案】A 【难易程度】容易【试题解析】由g (1)＝a －1，由()1f g ⎡⎤⎣⎦＝1，得|1|5a －＝1，所以|a －1|＝0，故a ＝1.4.[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若22()c a b ＝－＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.3 D.【测量目标】余弦定理，面积【考查方式】先利用余弦定理求角，求面积 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】由余弦定理得， 222cos =2a b c C ab+-＝262ab ab -＝12，所以ab ＝6，所以ABC S ＝1sin 2ab C ＝5.[2014·江西卷] 一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是( )第5题图LLJ73-77A B C D【测量目标】三视图【考查方式】给出实物图，判断俯视图【参考答案】B【难易程度】容易【试题解析】易知该几何体的俯视图为选项B中的图形.6.[2014·江西卷] 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1A.成绩B.视力C.智商【测量目标】卡方分布的应用【考查方式】直接给出表格，观察最大变量与性别的关系【参考答案】D【难易程度】中等【试题解析】根据表格我们可以得出()22 215262214105281636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()2222521651612521671636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()222352248812521281636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()222452143026526861636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯.分析判断24χ最大，所以选择D. 7.[2014·江西卷] 阅读如程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为()第7题图 LLJ78A.7B.9C.10D.11【测量目标】循环结构的程序框图【考查方式】给定带有循环结构的算法程序框图，分析每一次执行的结果并判断是否满足条件，最后得出答案. 【参考答案】B 【难易程度】中等【试题解析】当1i =时，10lglg 33S =+=->-1,123i =+=,3lg 3lg lg 55S =-+=->-1, 325i =+=,5lg 5lg lg 77S =-+=->-1，527i =+=,7lg 7lg lg 99S =-+=->-1 729i =+=,9lg 9lg lg1111S =-+=-<-1所以输出9i =.8.[2014·江西卷] 若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )【测量目标】定积分【考查方式】给出函数的表达式，求积分 【参考答案】B 【难易程度】容易【试题解析】1()0f x dx ⎰＝()211200x f x dx ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰＝130112()03x f x dx x ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰＝112()03f x dx +⎰,得1()0f x dx ⎰＝13－. 9.[2014·江西卷] 在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y－4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.4π 5B.3π4C.(6π-D.5π4【测量目标】直线与圆的位置关系，面积和最值 【考查方式】已知直线与圆的位置关系，求圆的面积 【参考答案】A 【难易程度】中等【试题解析】由题意知，圆C 必过点O (0，0)，故要使圆C 的面积最小，则点O 到直线l 的距离为圆C 的直径，即2r 所以r 4=π5S10.[2014·江西卷] 如图所示，在长方体ABCD 1111A B C D 中，AB ＝11，AD ＝7，1AA ＝12.一质点从顶点A 射向点E (4，3，12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i －1次到第i 次反射点之间的线段记为(234)i L i ＝，，，1L ＝AE ，将线段1234L L L L ，，，竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( )第10题图LLJ79A B C D 第10题图 LLJ80-83【测量目标】投影，直线与面的关系【考查方式】利用光的反射原理求其长度并判断图形 【参考答案】C 【难易程度】中等【试题解析】由题意，1L ＝AE ＝13.易知点E 在底面ABCD 上的投影为F (4，3，0)，根据光的反射原理知，直线 AE 和从点E 射向点1E 的直线1E E 关于EF 对称，因此1E (8，6，0)，且21L L ＝＝13.此时，直线1EE 和从点1E 射出所得的直线12E E 关于过点1E (8，6，0)和底面ABCD 垂直的直线对称，得2E ' (12，9，12).因为12>11，9>7，所以这次射出的点应在面11CDD C 上，设为2E ，求得31213==3L E E ，321L L L <＝最后一次，从点2E 射出，落在平面1111A B C D 上，求得4326>3L L =,故选C. 11.[2014·江西卷] (1)(不等式选做题)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【测量目标】不等式【考查方式】利用不等式的性质，求最值 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】易知|x －1|＋|x |≥1，当且仅当0≤x ≤1时等号成立；|y －1|＋|y ＋1|≥2, 当且仅当－1≤y ≤1时等号成立.故|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3. [2014·江西卷] (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.1cos sin ρθθ=+，π02θ剟 B.1cos sin ρθθ=+，π04θ剟 C.ρ=cos sin θθ+，π02θ剟 D.ρ=cos sin θθ+，π04θ剟 【测量目标】极坐标方程【考查方式】直接把直线方程转化成极坐标方程 【参考答案】A 【难易程度】容易【试题解析】依题意，方程y ＝1－x 的极坐标方程为()cos sin ρθθ+＝1，整理得1cos sin ρθθ=+.因为0≤x≤1，所以 01y剟，结合图形可知π02θ剟. 12.[2014·江西卷] 10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________. 【测量目标】超几何分布【考查方式】根据超几何分布的表达式就可以求出概率 【参考答案】12【难易程度】容易【试题解析】由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)＝1337410C 12C C = 13.[2014·江西卷] 若曲线y ＝ex－上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________.【测量目标】直线与曲线的位置关系【考查方式】根据直线与曲线的位置关系，求其点的坐标 【参考答案】(－ln 2，2) 【难易程度】容易【试题解析】设点P 的坐标为00()x y ，，exy '－＝－又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以0ex －－＝－2，可得0ln 2x ＝－，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2).14.[2014·江西卷] 已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos =3α，向量a ＝3122e e －与b ＝123e e －的夹角为β，则cos β＝________.【测量目标】平面向量的夹角【考查方式】根据平面向量求其夹角的余弦值【难易程度】容易【试题解析】cos = ||||aba b β22=15.[2014·江西卷] 过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆22:22=1(>>0)x y C a b a b+相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________. 【测量目标】直线与椭圆的位置关系，离心率【考查方式】利用交点，联立方程找出关系，求其离心率 【参考答案】=2e 【难易程度】中等【试题解析】设点A (11x y ，)，点B (22x y ，)，点M 是线段AB 的中点，所以12x x ＋＝2，12y y ＋＝2，且2211222222221,1x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式作差可得22122x x a -＝22122()y y b --，即12122()()x x x x a +-＝12122()()y y y y b +--，所以1212y y x x --=y 1－y 2x 1－x 2＝22b a -，即AB k ＝22b a -.由题意可知，直线AB 的斜率为12-，所以22b a-＝12-，即a .又222a b c ＝＋，所以c ＝b ，e =. 16. [2014·江西卷] 已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. (1)当a π4θ=时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值； (2)若π2f ⎛⎫⎪⎝⎭＝0，(π)f ＝1，求a ，θ的值. 【难易程度】容易【测量目标】三角函数最值，参数【考查方式】先转化函数解析式，在利用给定的定义域求其最值，在求参数的值 【试题解析】(1)f (x )＝sin π4x ⎛⎫+⎪⎝⎭＋2cos π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2(sin x ＋cos x )x＝2cos x－2sin x ＝sin π4x ⎛⎫-⎪⎝⎭.因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈3ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故f (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.(2)由()π02π1f f ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1.a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩又ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，知cos 0θ≠，所以12sin 0(2sin 1)sin 1.a a a θθθ-=⎧⎨--=⎩ 解得1π6a θ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩.17.[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{}n a ，{}n b (*0n b n ≠∈N ，)满足1112n n n n n n a b a b b b ＋＋＋－＋＝0. (1)令nn na cb =，求数列{}n c 的通项公式； (2)若13n n b －＝，求数列{}n a 的前n 项和.n S 【难易程度】容易【测量目标】等差数列，错位相减【考查方式】先求出等差数列，再利用错位相减求和【试题解析】(1)因为1112n n n n n n a b a b b b ＋＋＋－＋＝0，*0)n b n ≠∈N ，(，所以11n n a b ++－nna b ＝2，即1n n c c ＋－＝2，所以数列{}n c 是以1c ＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故21.n c n ＝－(2)由13n n b －＝，知1(21)3n n a n －＝－，于是数列{}n a 的前n 项和n S ＝0121133353(21)3n n ⨯⨯⨯⋯⨯－＋＋＋＋－，3n S ＝1211333(23)3(21)3n n n n ⨯⨯⨯⨯ －＋＋＋－＋－， 将两式相减得－2n S ＝1＋1212(333)(2n n ⨯ －＋＋＋－－1)32(22)3n n n ⨯⨯＝－－－，所以(1)31.n n S n ＝－＋18. [2014·江西卷] 已知函数f (x )＝()2x bx b ++∈R . (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，求b 的取值范围. 【难易程度】中等【测量目标】极值，单调性、函数的导数【考查方式】先利用求导求极值，再利用单调性求参数的取值范围【试题解析】(1)当b＝4时，f′(x)，由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0.所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈10,2⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x'<，f(x)单调递减，故f(x)在x＝－2处取得极小值f(－2)＝0，在x＝0处取得极大值f(0)＝4.(2) f′(x)，易知当x∈10,3⎛⎫⎪⎝⎭时，，依题意当x∈10,3⎛⎫⎪⎝⎭时，有5x＋(3b－2)…0，从而53＋(3b－2)…0，得1.9b…所以b的取值范围为1,9⎛⎤-∞⎥⎝⎦.19.[2014·江西卷]如图，四棱锥P ABCD中，ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD.(1)求证：AB⊥PD.(2)若∠BPC＝90︒，PBPC＝2，问AB为何值时，四棱锥P ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值.第19题图LLJ84【难易程度】中等【测量目标】线面、面面、线线位置关系，夹角的余弦值，法向量的应用【考查方式】先由线面位置关系来证线线位置关系，在建立直角坐标系利用向量求夹角的余弦值【试题解析】(1)证明：因为ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面P AD，故AB⊥PD.(2)过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.故PO⊥平面ABCD，BC⊥平面POG，BC⊥PG.在Rt△BPC中，PG，GC，BG设AB ＝m，则OPP-ABCD的体积为1=3V m=因为=mABP-ABCD的体积最大.此时，建立如图所示的空间直角坐标系，各点的坐标分别为O(0，0，0)，B⎫⎪⎪⎝⎭，C⎫⎪⎪⎝⎭，D⎝⎛⎭⎫0，263，0，P⎛⎝⎭，故BP＝⎝⎭，BC＝(0，6，0)，CD⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭.设平面BPC的法向量1(,,1),n x y=则由1n PC⊥,1n BC⊥得y+=⎨⎪=⎩，解得1,0,x y ==1(1,0,1),n = 同理可求出平面DPC 的法向量21(0,,1),2n = ，从而平面BPC 与平面DPC 夹角θ的余弦值为1212cos ||||n n n n θ⋅==⋅第19题图LLJ84b20. [2014·江西卷] 如图，已知双曲线()22:210x C y a a -=>的右焦点F ,点,A B 分别在C 的两条渐近线上，AF OB ⊥，BF OA P (O 为坐标原点).(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点()()000,0P x y y ≠的直线0:021x y l y y a-=与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，NFMF恒为定值，并求此定值第20题图 LLJ85【难易程度】较难【测量目标】双曲线方程和离心率、焦点，直线与曲线的位置关系【考查方式】先求出双曲线方程，再利用直线与曲线的位置关系求第二问【试题解析】(1)设(,0)F c ，因为1b =，所以c 直线OB 方程为1y x a =-，直线BF 的方程为1()y x c a =-，解得(,)22c c B a -,又直线OA 的方程为1y x a =，则3(,),.AB c A c k a a =又因为AB ⊥OB ，所以31()1a a-=-，解得23a =，故双曲线C 的方程为22 1.3x y -=(2)由(1)知a =l 的方程为0001(0)3x x y y y -=≠，即0033x x y y -=,因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF 的交点0023(2,)3x M y -,直线l 与直线32x =的交点为003332(,)23x N y-,则220222004(23)9[(2)]x MF NF y x -=+-,因为是C 上一点，则2200 1.3x y -=，代入上式得222002222200004(23)4(23)49[(2)]39[1(2)]3x x MF x NF y x x --===+--+-，所求定值为MF NF =.21.[2014·江西卷] 随机将()1,2,,2,2n n n *⋅⋅⋅∈N …这2n 个连续正整数分成A ,B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为1b ，最大数为2b ，记2112,a a b b ξη=-=- (1)当3n =时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C 表示事件ξ与η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率()P C ；(3)对(2)中的事件C 的对立事件，判断()P C 和. 【难易程度】难【测量目标】分布列和数学期望，概率，数学归纳法【考查方式】先求出分布列和数学期望，在求出其概率，最后在利用数学归纳法【试题解析】(1)当3n =时，ξ所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A ,B 两组，不同的分组方法共有3620C =种，所以ξ的分布列为:133172345.5101052E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=(2)ξ和η恰好相等的所有可能值为1,,1,,2 2.n n n n -+- 又ξ和η恰好相等且等于1n -时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等42()63P C ==;当3n …时,()(),P C P C <理由如下：式左边124(2C )16,=+=①式右.那么，当1n m =+时，①(2)!4(22)!(1)(2)(22)!(41)!!(1)!(1)!(1)!(1)!m m m m m m m m m m m m ⨯-+--=+=--++①式右边.即当1n m =+时①式也成立,综合1 2 得，对于3n …的所有正整数，都有()()P C P C <成立.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. z 是z 的共轭复数. 若2=+z z ，（2)(=-i z z （i 为虚数单位），则=z （ ）A. i +1B. i --1C. i +-1D. i -1 2. 函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ）A.)1,0(B. ]1,0[C. ),1()0,(+∞-∞YD. ),1[]0,(+∞-∞Y 3. 已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. -14.在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC∆的面积（ ） A.3 B.239 C.233 D.33 5.一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）6.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，泽宇性别有关联的可能性最大的变量是（ ）A.成绩B.视力C.智商D.阅读量7.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）A.7B.9C.10D.11 8.若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰（ ）A.1-B.13-C.13D.1 9.在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ）A.45πB.34πC.(625)π-D.54π10.如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）二.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.11(1).（不等式选做题）对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.411(2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ） A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+C.cos sin ,02πρθθθ=+≤≤D.cos sin ,04πρθθθ=+≤≤三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 12.10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________. 13.若曲线xy e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________.14.已知单位向量1e u r 与2e u u r 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-r u r u u r 与123b e e =-r u r u u r 的夹角为β，则cos β=15.过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为四.简答题16.已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++，其中,(,)22a R ππθ∈∈- （1）当2,4a πθ==时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；(2)若()0,()12f f ππ==，求,a θ的值.17、（本小题满分12分）已知首项都是1的两个数列（），满足.(1) 令，求数列的通项公式； (2) 若，求数列的前n 项和.18、（本小题满分12分） 已知函数.(1) 当时，求的极值； (2) 若在区间上单调递增，求b 的取值范围.19(本小题满分12分)如图，四棱锥ABCD P -中，ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD . （1）求证：;PD AB ⊥（2）若,2,2,90===∠PC PB BPC ο问AB 为何值时，四棱锥ABCD P -的体积最大？并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值.20.（本小题满分13分）如图，已知双曲线)0(1222>=-a y ax C n 的右焦点F ,点B A ,分别在C 的两条渐近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）.（1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:020=-y y axx l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，NFMF 恒为定值，并求此定值21.（满分14分）随机将()1,2,,2,2n n N n *⋅⋅⋅∈≥这2n 个连续正整数分成A,B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为1b ，最大数为1b ，记2112,a a b b ξη=-=-（1）当3n =时，求ξ的分布列和数学期望；（2）令C 表示事件ξ与η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率()p c ；（3）对（2）中的事件C,c 表示C 的对立事件，判断()p c 和()p c 的大小关系，并说明理由。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学(理科)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014江西,理1)z是z的共轭复数,若z+z=2,(z-z)i=2(i为虚数单位),则z=().A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i答案:D解析:设z=a+b i(a∈R,b∈R),则z=a-b i.由z+z=2,得2a=2,即a=1;又由(z-z)i=2,得2b i·i=2,即b=-1.故z=1-i.2.(2014江西,理2)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为().A.(0,1)B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)答案:C解析:由题意可知x2-x>0,解得x<0或x>1.故函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞).3.(2014江西,理3)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R),若f[g(1)]=1,则a=().A.1B.2C.3D.-1答案:A解析:由题意可知f[g(1)]=1=50,得g(1)=0,则a-1=0,即a=1.故选A.4.(2014江西,理4)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=π3,则△ABC的面积是().A.3B.9√32C.3√32D.3√3答案:C解析:在△ABC中,由已知条件及余弦定理可得c2=(a-b)2+6=a2+b2-2ab cosπ3,整理得ab=6,再由面积公式S=12ab sin C,得S△ABC=12×6×sinπ3=32√3.故选C.5.(2014江西,理5)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是().答案:B解析:俯视图为在水平投射面上的正投影,结合几何体可知选B.6.(2014江西,理6)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是().表1A.成绩B.视力C.智商D.阅读量答案:D解析:根据χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),代入题中数据计算得D选项χ2最大.故选D.7.(2014江西,理7)阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为().A.7B.9C.10D.11答案:B解析:通过对程序框图的分析可知,该循环是一个根据判断条件不断累加的过程,∵i=7时,S=0+lg13+lg35+lg57+lg79=lg19>-1,i=9时,S=0+lg13+lg35+lg57+lg79+lg911=lg111<-1,∴i=9.故选B.8.(2014江西,理8)若f(x)=x2+2∫10f(x)d x,则∫1f(x)d x=().A.-1B.-13C.13D.1答案:B解析:∵∫10f(x)d x=∫1x2d x+∫1[2∫f10(x)dx]d x=1 3x3|1+[2∫f10(x)dx]x|01=1 3+2∫1f(x)d x,∴∫10f(x)d x=-13.故选B.9.(2014江西,理9)在平面直角坐标系中,A,B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线2x+y-4=0相切,则圆C 面积的最小值为( ). A.4π5B.3π4C.(6-2√5)πD.5π4答案:A解析:由题意可知圆C 的圆心(设其为M)为线段AB 的中点,且圆C 过原点(0,0),∵圆C 与直线2x+y-4=0相切,∴圆C 的圆心M 到原点(0,0)的距离等于M 点到直线2x+y-4=0的距离.由抛物线的定义可知,圆C 的圆心M 的轨迹是以(0,0)为焦点,2x+y-4=0为准线的抛物线.如图所示.要使圆C 面积最小,则需找出圆C 半径的最小值.由抛物线和准线的关系可知抛物线的顶点到准线的距离最短,即为(0,0)到直线2x+y-4=0的距离的一半. 因此,圆C 半径的最小值为r min =4512=2√55.故圆C 面积的最小值为πr min 2=π×(2√55)2=4π5.10.(2014江西,理10)如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=11,AD=7,AA 1=12,一质点从顶点A 射向点E(4,3,12),遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理),将第i-1次到第i 次反射点之间的线段记为L i (i=2,3,4),L 1=AE,将线段L 1,L 2,L 3,L 4竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是( ).答案:C解析:因为34>711,所以连接A 1E 并延长交D 1C 1于点F,过点F 作FM 垂直DC 于点M.在矩形AA 1FM 中分析反射情况:由于AM=353>10,第二次反射点为E 1在线段AM 上,此时E 1M=53,第三次反射点为E 2在线段FM 上,此时E 2M=4,第四次反射点为E 3在线段A 1F 上,由图可知,应选C .二、选做题:请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按所做的第一题评阅计分,本题共5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.11.(2014江西,理11)(1)(不等式选做题)对任意x ,y ∈R ,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为( ). A.1B.2C.3D.4(2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x ≤1)的极坐标方程为( ). A.ρ=1cosθ+sinθ,0≤θ≤π2B.ρ=1cosθ+sinθ,0≤θ≤π4C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤π2 D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤π4(1)答案:C解析:∵|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|)≥|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3,当且仅当(1-x)·x ≥0,(1-y)·(1+y)≥0,即0≤x ≤1,-1≤y ≤1时等号成立, ∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3. (2)答案:A解析:由x=ρcos θ,y=ρsin θ,y=1-x 可得ρsin θ=1-ρcos θ,即ρ=1cosθ+sinθ,再结合线段y=1-x(0≤x ≤1)在极坐标系中的情形,可知θ∈[0,π2].因此线段y=1-x(0≤x ≤1)的极坐标方程为ρ=1cosθ+sinθ,0≤θ≤π2.故选A .三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.12.(2014江西,理12)10件产品中有7件正品,3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是 . 答案:12解析:本题属于古典概型,由古典概型概率公式可得所求概率为C 31C 73C 104=12.13.(2014江西,理13)若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P 的坐标是 .答案:(-ln 2,2)解析:设点P 的坐标是(x 0,e -x 0),则由题意知,y'|x=x 0=-e -x 0=-2,得x 0=-ln 2,又e -x 0=e ln 2=2,故点P 的坐标是(-ln 2,2).14.(2014江西,理14)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α,且cos α=13,向量a =3e 1-2e 2与b =3e 1-e 2的夹角为β,则cos β= . 答案:2√23解析:由已知得cos β=a ·b |a ||b |=1212√a 2·√b =121222√9|e 1|+4|e 2|-12e 1·e 2·√9|e 1|+|e 2|-6e 1·e 2,∵e 1与e 2是单位向量,其夹角为α,且cos α=13, ∴|e 1|2=|e 2|2=1,e 1·e 2=|e 1||e 2|cos α=13. ∴cos β=9-9×13+2√9+4-12×13·√9+1-6×13=23√2. 15.(2014江西,理15)过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)相交于A,B 两点,若M 是线段AB的中点,则椭圆C 的离心率等于 . 答案:√22解析:由题意可设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则可得{x 12a 2+y 12b2=1(a >b >0),x 22a 2+y 22b2=1(a >b >0).①② ①-②,并整理得x 1+x 2a 2(y 1+y 2)=-y 1-y 2b 2(x 1-x 2).(*)∵M 是线段AB 的中点,且过点M(1,1)的直线斜率为-12,∴x 1+x 2=2,y 1+y 2=2,k=y 1-y 2x 1-x 2=-12. ∴(*)式可化为1a 2=12b2,即a 2=2b 2=2(a 2-c 2),整理得a 2=2c 2,即c 2a 2=12.∴e=c a=√22.四、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(2014江西,理16)已知函数f(x)=sin (x+θ)+acos (x+2θ),其中a ∈R ,θ∈(-π2,π2). (1)当a=√2,θ=π4时,求f (x )在区间[0,π]上的最大值与最小值; (2)若f (π2)=0,f (π)=1,求a,θ的值.分析:(1)先将a=√2,θ=π4代入f (x ),再利用两角和的正弦公式和余弦公式对f (x )进行化简,最终化成一个三角函数值的形式,根据所给角的范围,借助于数形结合求出最大值和最小值;(2)利用所给条件列出方程联立成方程组求出a,θ. 解:(1)f(x)=sin (x +π4)+√2cos (x +π2)=√22(sin x+cos x)-√2sin x=√22cos x-√22sin x=sin (π4-x),因为x ∈[0,π],从而π4-x ∈[-3π4,π4].故f(x)在[0,π]上的最大值为√22,最小值为-1.(2)由{f (π2)=0,f (π)=1,得{cosθ(1-2asinθ)=0,2asin 2θ-sinθ-a =1, 又θ∈(-π2,π2),知cos θ≠0,解得{a =-1,θ=-π6.17.(本小题满分12分)(2014江西,理17)已知首项都是1的两个数列{a n },{b n }(b n ≠0,n ∈N *)满足a n b n+1-a n+1b n +2b n+1b n =0.(1)令c n =an b n,求数列{c n }的通项公式;(2)若b n =3n-1,求数列{a n }的前n 项和S n .分析:(1)根据c n =an b n,将a n b n+1-a n+1b n +2b n+1b n =0转化,将{c n }构造成等差数列,利用等差数列的知识求出通项c n .(2)借助于(1)的结论可先求出a n ,利用求数列前n 项和的方法(本题用错位相减法)求出{a n }的前n 项和S n . 解:(1)因为a n b n+1-a n+1b n +2b n+1b n =0,b n ≠0(n ∈N *),所以a n+1b n+1−an b n=2,即c n+1-c n =2.所以数列{c n }是以首项c 1=1,公差d=2的等差数列,故c n =2n-1. (2)由b n =3n-1知a n =c n b n =(2n-1)3n-1,于是数列{a n }前n 项和S n =1·30+3·31+5·32+…+(2n-1)·3n-1, 3S n =1·31+3·32+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n ,相减得-2S n =1+2·(31+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n =-2-(2n-2)3n , 所以S n =(n-1)3n +1.18.(本小题满分12分)(2014江西,理18)已知函数f (x )=(x 2+bx+b )√1-2x (b ∈R ). (1)当b=4时,求f(x)的极值;(2)若f(x)在区间(0,13)上单调递增,求b 的取值范围.分析:(1)先将b=4代入f(x),再对f(x)进行求导,求出导函数等于0时的根,再判断根附近的导函数值的符号,求出极值点,进而求出f(x)的极值.(2)由f(x)在区间(0,13)上单调递增,可知导函数f'(x)在区间(0,13)上恒有f'(x)≥0成立,依此求出b 的取值范围.解:(1)当b=4时,f'(x)=-5x (x+2)1-2x,由f'(x)=0得x=-2或x=0.当x ∈(-∞,-2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x ∈(-2,0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x ∈(0,12)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故f(x)在x=-2取极小值f(-2)=0,在x=0取极大值f(0)=4.(2)f'(x)=√1-2x ,因为当x ∈(0,13),√1-2x <0, 依题意当x ∈(0,13)时,有5x+(3b-2)≤0,从而53+(3b-2)≤0.所以b 的取值范围为(-∞,19].19.(本小题满分12分)(2014江西,理19)如图,四棱锥P-ABCD 中,ABCD 为矩形,平面PAD ⊥平面ABCD. (1)求证:AB ⊥PD;(2)若∠BPC=90°,PB=√2,PC=2,问AB 为何值时,四棱锥P-ABCD 的体积最大?并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值.分析:(1)要证AB ⊥PD,只需证AB ⊥平面PAD,只要寻求线面垂直成立的条件,利用已知条件中的垂直关系即可得证.(2)先根据已知条件确定AB 的长,使得四棱锥P-ABCD 的大小固定,再建立适当的空间直角坐标系,借助于两平面的法向量求出两个平面夹角的余弦值. (1)证明:ABCD 为矩形,故AB ⊥AD;又平面PAD ⊥平面 ABCD,平面PAD ∩平面ABCD=AD,所以AB ⊥平面PAD,故AB ⊥PD.(2)解:过P 作AD 的垂线,垂足为O,过O 作BC 的垂线,垂足为G,连接PG.故PO ⊥平面ABCD,BC ⊥平面POG,BC ⊥PG, 在Rt △BPC 中,PG=2√33,GC=2√63,BG=√63, 设AB=m,则OP=√PG 2-OG 2=√43-m 2,故四棱锥P-ABCD 的体积为V=13·√6·m ·√43-m 2=m3√8-6m 2. 因为m √8-6m 2=√8m 2-6m 4=√-6(m 2-23)2+83,故当m=√63,即AB=√63时,四棱锥P-ABCD 的体积最大.此时,建立如图所示的坐标系,各点的坐标为O(0,0,0),B (√63,-√63,0),C (√63,2√63,0),D (0,2√63,0),P (0,0,√63). 故PC ⃗⃗⃗⃗ =(√63,2√63,-√63),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√6,0),CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√63,0,0),设平面BPC 的法向量n 1=(x ,y ,1),则由n 1⊥PC⃗⃗⃗⃗ ,n 1⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得 {√63x +2√63y -√63=0,√6y =0,解得x=1,y=0,n 1=(1,0,1).同理可求出平面DPC 的法向量n 2=(0,12,1), 从而平面BPC 与平面DPC 夹角θ的余弦值为 cos θ=|n 1·n 2||n 1||n 2|=√2·√14+1=√105.20.(本小题满分13分)(2014江西,理20)如图,已知双曲线C:x 2a2-y 2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B 分别在C 的两条渐近线上,AF ⊥x 轴,AB ⊥OB,BF ∥OA(O 为坐标原点). (1)求双曲线C 的方程;(2)过C 上一点P(x 0,y 0)(y 0≠0)的直线l 1:x 0xa 2-y 0y=1与直线AF 相交于点M,与直线x=32相交于点N,证明:当点P 在C 上移动时,|MF ||NF |恒为定值,并求此定值. 分析:(1)先根据双曲线方程中a,b,c 的关系列出一个方程,再根据其他已知条件AF ⊥x 轴,AB ⊥OB,BF ∥OA 再列出一个方程,两个方程联立成方程组可求出a,进而得到双曲线C 的方程.(2)利用解方程组的方法分别求出M,N 点的坐标,再利用两点间的距离公式表示出|MF |2|NF |2,因点P(x 0,y 0)在曲线C 上,用第(1)问的结论消去y 0,化简即可得到|MF |2|NF |2的值,进而确定|MF ||NF |的值.解:(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=√a 2+1.直线OB 方程为y=-1ax,直线BF 的方程为y=1a (x-c),解得B (c 2,-c 2a). 又直线OA 的方程为y=1a x, 则A (c ,ca ),k AB =ca -(-c2a )c -c2=3a. 又因为AB ⊥OB,所以3a·(-1a)=-1, 解得a 2=3,故双曲线C 的方程为x 23-y 2=1. (2)由(1)知a=√3,则直线l 的方程为x 0x3-y 0y=1(y 0≠0),即y=x 0x -33y 0. 因为直线AF 的方程为x=2,所以直线l 与AF 的交点M (2,2x 0-33y 0);直线l 与直线x=32的交点为N (32,32x 0-33y 0). 则|MF |2|NF |2=(2x 0-3)2(3y 0)214+(32x 0-3)2(3y 0)2=(2x 0-3)29y 024+94(x 0-2)2=43·(2x 0-3)23y 02+3(x 0-2)2, 因为P(x 0,y 0)是C 上一点,则x 023−y 02=1,代入上式得|MF |2|NF |2=43·(2x 0-3)2x 02-3+3(x 0-2)2=43·(2x 0-3)24x 02-12x 0+9=43,所求定值为|MF ||NF |=√3=2√33.21.(本小题满分14分)(2014江西,理21)随机将1,2,…,2n (n ∈N *,n ≥2)这2n 个连续正整数分成A ,B 两组,每组n 个数,A 组最小数为a 1,最大数为a 2;B 组最小数为b 1,最大数为b 2,记ξ=a 2-a 1,η=b 2-b 1. (1)当n=3时,求ξ的分布列和数学期望;(2)令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”,求事件C 发生的概率P(C);(3)对(2)中的事件C,C 表示C 的对立事件,判断P(C)和P(C )的大小关系,并说明理由.分析:(1)当n=3时就是具体的6个数,先指明ξ的所有可能取值,再根据题意列出ξ的分布列,利用数学期望公式求出ξ的数学期望.(2)先确定ξ和η恰好相等时的可能取值,再确定取各个值时的不同分组方法,再分类求出P(C).(3)借助(2)的结论,先猜想P(C)与P(C )的大小关系,用数学归纳法证明猜想结论的正确性(注意利用排列组合的性质,适时应用放缩法证明).解:(1)当n=3时,ξ的所有可能取值为:2,3,4,5.将6个正整数平均分成A,B 两组,不同的分组方法共有C 63=20种,所以ξ的分布列为:ξ 2 3 4 5P15 310 310 15E ξ=2×15+3×310+4×310+5×15=72.(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为:n-1,n,n+1,…,2n-2. 又ξ和η恰好相等且等于n-1时,不同的分组方法有2种; ξ和η恰好相等且等于n 时,不同的分组方法有2种;ξ和η恰好相等且等于n+k(k=1,2,…,n-2)(n ≥3)时,不同的分组方法有2C 2k k种;所以当n=2时,P(C)=46=23, 当n ≥3时,P(C)=2(2+∑k=1n -2C 2k k )C 2k k .(3)由(2)当n=2时,P(C )=13, 因此P(C)>P(C ).而当n ≥3时,P(C)<P(C ),理由如下:P(C)<P(C )等价于4(2+∑k=1n -2C 2k k )<C 2k k.①用数学归纳法来证明.(ⅰ)当n=3时,①式左边=4(2+C 21)=4(2+2)=16,①式右边=C 63=20,所以①式成立. (ⅱ)假设n=m(m ≥3)时①式成立, 即4(2+∑k=1m -2C 2k k )<C 2m m成立,那么,当n=m+1时,左边=4(2+∑k=1m+1-2C 2k k )=4(2+∑k=1m -2C 2k k )+4C 2(m -1)m -1<C 2m m +4C 2(m -1)m -1=(2m )!m !m !+4·(2m -2)!(m -1)!(m -1)!=(m+1)2(2m )(2m -2)!(4m -1)(m+1)!(m+1)!<(m+1)2(2m )(2m -2)!(4m )(m+1)!(m+1)!=C 2(m+1)m+1·2(m+1)m (2m+1)(2m -1)<C 2(m+1)m+1=右边,即当n=m+1时①式也成立.综合(ⅰ)(ⅱ)得:对于n ≥3的所有正整数,都有P(C)<P(C )成立.。