第五节隐函数的求导公式隐函数是指在一些方程中以一个变量表示另一个变量的函数，其中一个变量通常被称为自变量，另一个变量被称为因变量。
求解隐函数的导数是微积分中的重要内容，因为它可以帮助我们找到函数的变化率和切线方程等信息。
本文将介绍隐函数的求导公式。
隐函数求导的关键在于使用链式法则。
链式法则是微积分中的一个基本原理，它描述了复合函数的导数与原函数导数的关系。
在隐函数的情况下，我们可以将因变量视为自变量的函数，并运用链式法则进行导数的计算。
设有一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中y是x的函数。
我们希望求解dy/dx，即隐函数的导数。
首先我们将隐函数方程两边对x求导，得到：dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0由于我们求解的是dy/dx，我们可以将这个方程改写为：dy/dx = -dF/dx / dF/dy这就是隐函数的求导公式，它告诉我们如何通过对隐函数方程进行求导来获得隐函数的导数。
这个求导公式的推导并不复杂，但需要注意一些细节。
首先，我们要确保F(x, y)在求导过程中对x和y都是可导的。
换句话说，F(x, y)的偏导数存在且连续。
其次，我们要注意分母dF/dy不能为零，否则求导公式将无法成立。
以下是几个例子，以帮助理解隐函数的求导公式：例子1：设有一个隐函数方程x^2 + y^2 = 1，我们希望求解dy/dx。
首先对这个方程两边求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -2x / (2y) = -x / y这个例子告诉我们，对于圆的方程，求得的导数是-x/y。
例子2：设有一个隐函数方程e^x + ln(y) = 1，我们希望求解dy/dx。
e^x + 1/y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -e^x / (1/y) = -y * e^x这个例子告诉我们，对于指数和对数的方程，求得的导数是-y*e^x。
例子3：设有一个隐函数方程x^3 + 2y^2 = 5，我们希望求解dy/dx。
高等数学--隐函数的求导法则第五节隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数,00(,)0F x y =,00(,)0y F x y ≠,则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =,它满足条件00()y f x =,并有d d x yF y x F =-. 说明:1)定理证明略,现仅给出求导公式的推导:将()y f x =代入(,)0F x y =,得恒等式(,())0F x f x ≡,等式两边对x 求导得d 0d F F y x y x∂∂+=∂∂, 由于0y F ≠于是得d d x yF y x F =-. 2) 若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数:22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x∂∂=-+-⋅∂∂ 22()x x y y x xx y y y y x x y y yF F F F F F F F F F F F --=--- 2232x x y x y x y y y x y F F F F F F F F -+=-.例1 验证方程sin e 10x y xy +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =,并求22d d ,00d d y yx x x x ==. 解设(,)sin e 1x F x y y xy =+--,则 1) e x x F y =-,cos y F y x =-连续; 2)(0,0)0F =; 3) (0,0)10y F =≠.因此由定理1可知,方程sin e 10x y xy +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =.d 0d y x x =0x y F x F =-=e 10,0cos x yx y y x -=-=-==-, 22d 0d y x x =d e ()0,0,1d cos x yx y y x y x -=-'===-- 0201(e )(cos )(e )(sin 1)(cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----⋅-=--3=-.隐函数存在定理还可以推广到多元函数.一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数,而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数. 隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数,且000(,,)0F x y z =,000(,,)0z F x y z ≠,则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =,它满足条件000(,)z f x y =,并有x z F z x F ∂=-∂,y zF zy F ∂=-∂. 说明:定理证明略,现仅给出求导公式的推导:将(,)z f x y =代入(,,)0F x y z =,得(,,(,))0F x y f x y ≡,将上式两端分别对x 和y 求导,得0=∂∂⋅+xz F F z x ,0=∂∂⋅+y zF F z y .因为z F 连续且000(,,)0z F x y z ≠,于是得x z F z x F ∂=-∂,y zF zy F ∂=-∂. 例2设22240x y z z ++-=,求22zx∂∂.解设222(,,)4F x y z x y z z =++-,则2x F x =,24z F z =-, 2242x z F z x xx F z z∂=-=-=∂--, 2222223(2)(2)()(2)2(2)(2)(2)z xx xx x zx x x z xz z z ∂-+-+∂-+∂-===∂---.二、方程组的情形在一定条件下,由方程组(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩可以确定一对二元函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩, 例如方程0xu yv -=和1yu xv +=可以确定两个二元函数2 2y x yu +=,22y x xv +=. 事实上, 0xu yv -=⇒u y x v =⇒1=⋅+u y xx yu ⇒22yx y u +=,2222yx x y x yy x v +=+⋅=. 下面讨论如何由组求u ,v 的导数.隐函数存在定理 3 设(,,,)F x y u v ,(,,,)G x y u v 点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数,又0000(,,,)0F x y u v =,0000(,,,)0G x y u v =,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi )行列式)(,)(,)FF FG u v J G G u v uv∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂在点0000(,,,)P x y u v 不等于零,则方程组(,,,)0F x y u v =,(,,,)0G x y u v =,在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩,.它们满足条件000(,)u u x y =,000(,)v v x y =,且有1(,)(,)x v x v u v uvF FG G u F G F F x J x v G G ∂∂=-=-∂∂,1(,)(,)u x u xu v uvF FG G v F G F F x J u x G G ∂∂=-=-∂∂, 1(,) (,)yv y vu v uv F F G G u F G F F y J y v G G ∂∂=-=-∂∂,1(,)(,)uy u y u v uvF FG G v F G F F y J u y G G ∂∂=-=-∂∂.说明:方程组所确定的隐函数的偏导数可分别对方程组各方程两边求偏导数,然后解关于各偏导数的方程组,其偏导数xu ∂∂,x v ∂∂由方程组0,0x u v x uv u v F F F x xu v G G G x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩确定;偏导数y u ∂∂,yv ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y vG y u G G yv F y u F F v u y v u y 确定.例3设0xu yv -=,1yu xv +=,求u x ∂∂,v x ∂∂,uy∂∂和v y ∂∂. 解两个方程两边分别对x 求偏导,得关于u x ∂∂和vx∂∂的方程组 00u v u x y x xu v y v x x x ∂∂⎧+-=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩,. 当220x y +≠时,解之得22u xu yvx x y ∂+=-∂+,22v yu xv x x y ∂-=∂+. 两个方程两边分别对y 求偏导,得关于u y ∂∂和vy∂∂的方程组 00uv x v y y y u v u y x y y ∂∂⎧--=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩,. 当220x y +≠时,解之得22u xv yu y x y ∂-=∂+,22v xu yvy x y ∂+=-∂+. 另解将两个方程的两边微分得d d d d 0d d d d 0u x x u v y y v u y y u v x x v +--=⎧⎨+++=⎩,,即d d d d d d d d x u y v v y u x y u x v u y v x -=-⎧⎨+=--⎩,. 解之得2222d d d xu yv xv yu u x y x y x y +-=-+++,2222d d d yu xv xu yvv x y x y x y-+=-++. 于是22u xu yv x x y ∂+=-∂+,22u xv yu y x y ∂-=∂+,22v yu xv x x y ∂-=∂+,22v xu yvy x y ∂+=-∂+. 例4设函数(,),(,)x x u v y y u v ==在点(,)u v 的某一领域内连续且有连续偏导数,又(,)0(,)x y u v ∂≠∂. 1) 证明方程组(,)(,)x x u v y y u v =⎧⎨=⎩在点(,,,)x y u v (的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==.2)求反函数(,),(,)u u x y v v x y ==对,x y 的偏导数. 解1)将方程组改写成下面的形式 (,,,)(,)0(,,,)(,)0F x y u v x x u v G x y u v y y u v ≡-=⎧⎨≡-=⎩,,则按假设(,)(,)0(,)(,)F G x y J u v u v ∂∂==≠∂∂, 由隐函数存在定理3,即得所要证的结论.2)将方程组所确定的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==代入原方程组,即得[(,),(,)][(,),(,)].x x u x y v x y y y u x y v x y ≡⎧⎨≡⎩, 将上述恒等式两边分别对x 求偏导数,得10.x u x v u x v x y u y v u x v x ∂∂∂∂⎧=⋅+⋅⎪⎪∂∂∂∂⎨∂∂∂∂⎪=⋅+⋅⎪∂∂∂∂⎩, 由于0J ≠,故可解得1u y x J v ∂∂=∂∂,1v y x J u∂∂=-∂∂. 同理,可得1u x y J v ∂∂=-∂∂,1v x y J u ∂∂=∂∂.。
