整式与因式分解--知识讲解(基础)

整式与因式分解知识点详解-初中数学专项复习1．能用幂的性质解决简单问题,会进行简单的整式乘法与加法的混合运算．2．能用平方差公式、完全平方公式进行简单计算．3．了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，会用提公因式法和公式法进行因式分解．4．能选用恰当的方法进行相应的代数式的变形，并通过代数式的适当变形求代数式的值．5．会列代数式表示简单的数量关系;能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义,会求代数式的值，并能根据代数式的值或特征推断代数式反映的规律． 考点1：代数式 定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独的一个数或字母也是代数式。

考点2：整式的相关概念考点3：整式加减运算1.实质：合并同类项2.合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

3. 去括号（1）a+(b+c)=a+b+c ； （2）a-(b+c)=a-b-c考点4：幂运算 （1）幂的乘法运算口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即a m ×a n =a（m+n ）(a≠0,m,n 均为正整数，并且m>n) （2）幂的乘方运算口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即a mn n m =)(a (m,n 都为正整数) （3）积的乘方运算口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

即 b a ab mn n n m =)(（m,n 为正整数）（4）幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

即a m ÷a n =a（m -n ）(a≠0,m,n 均为正整数，并且m>n)考点5：整式乘法运算（1）单项式乘单项式单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式乘多项式单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．（3）多项式乘多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．（4）乘法公式 ①平方差公式： ②完全平方公式：（5）除法运算①单项式的除法：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．考点6：因式分解【题型1：代数式及其求值】1.若a 2﹣4a ﹣12＝0，则2a 2﹣8a ﹣8的值为（ ）A ．24B ．20C ．18D ．16 【答案】D【解析】解：∵a 2﹣4a ﹣12＝0，∴a 2﹣4a ＝12，∴2a 2﹣8a ﹣8＝2（a 2﹣4a ）﹣8 22()()a b a b a b +-=-()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-＝24﹣8＝16，故选：D．2.若m2+2m﹣1＝0，则2m2+4m﹣3的值是（）A．﹣1B．﹣5C．5D．﹣3【答案】A【解析】解：2m2+4m﹣3＝2（m2+2m﹣1）﹣1＝0﹣1＝﹣1．故选：A．3.若a2+3a﹣4＝0，则2a2+6a﹣3＝（）A．5B．1C．﹣1D．0【答案】A【解析】解：∵a2+3a﹣4＝0，∴a2+3a＝4，∴2a2+6a﹣3＝2（a2+3a）﹣3＝2×4﹣3＝5，故选：A．4.若x满足x2+3x﹣5＝0，则代数式2x2+6x﹣3的值为（）A．5B．7C．10D．﹣13【答案】B【解析】解：∵x2+3x﹣5＝0，∴x2+3x＝5，∴2x2+6x﹣3＝2（x2+3x）﹣3＝2×5﹣3＝7．故选：B．【题型2：整式的相关概念及加减】1.下列整式与ab2为同类项的是（）A．a2b B．﹣2ab2C．ab D．ab2c【答案】B【解析】解：在a2b，﹣2ab2，ab，ab2c四个整式中，与ab2为同类项的是：﹣2ab2，故选：B．2.下列各式中，与2a2b为同类项的是（）A．﹣2a2b B．﹣2ab C．2ab2D．2a2【解析】解：2a2b中含有两个字母：a、b，且a的指数是2，b的指数是1，观察选项，与2a2b是同类项的是﹣2a2b．故选：A．3.下列计算正确的是（）A．3ab+2ab＝5ab B．5y2﹣2y2＝3C．7a+a＝7a2D．m2n﹣2mn2＝﹣mn2【答案】A【解析】解：A、原式＝5ab，符合题意；B、原式＝3y2，不符合题意；C、原式＝8a，不符合题意；D、原式不能合并，不符合题意．故选：A．4.若一个多项式加上3xy+2y2﹣8，结果得2xy+3y2﹣5，则这个多项式为y2﹣xy+3．【答案】y2﹣xy+3．【解析】解：由题意得，这个多项式为：（2xy+3y2﹣5）﹣（3xy+2y2﹣8）＝2xy+3y2﹣5﹣3xy﹣2y2+8＝y2﹣xy+3．故答案为：y2﹣xy+3．【题型3：幂运算】1.计算：（3a）2＝（）A．5a B．3a2C．6a2D．9a2【答案】D【解析】解：∵（3a）2＝32×a2＝9a2，故选：D．2.下列运算正确的是（）A．（3xy）2＝9x2y2B．（y3）2＝y5C．x2•x2＝2x2D．x6÷x2＝x3【答案】A【解析】解：A．（3xy）2＝9x2y2，故此选项符合题意；B．（y3）2＝y6，故此选项不合题意；C．x2•x2＝x4，故此选项不合题意；D．x6÷x2＝x4，故此选项不合题意．故选：A．3.计算：＝（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：原式＝﹣x6y3，故选：C．4.化简a4•（﹣a）3的结果是（）A．a12B．﹣a12C．a7D．﹣a7【答案】D【解析】解：a4•（﹣a）3＝﹣a7．故选：D．【题型4：整式的乘除及化简求值】1.先化简，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b），其中a＝2，b＝﹣1．【解析】解：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b）＝a2+6ab+9b2+a2﹣9b2＝2a2+6ab．当a＝2，b＝﹣1时，原式＝2×22+6×2×（﹣1）＝8﹣12＝﹣4．2.先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝﹣．【答案】4﹣6a，原式＝6．【解析】解：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2＝4﹣a2﹣2a2﹣6a+3a2＝4﹣6a，当a＝﹣时，原式＝4﹣6×（﹣）＝4+2＝6．3.先化简，再求值：（x+1）2﹣2（x+1），其中x＝．【答案】x2﹣1，1．【解析】解：原式＝x2+2x+1﹣2x﹣2＝x2﹣1，当x＝时，原式＝2﹣1＝1．4.先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．【解析】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9＝2x2﹣6x﹣7，∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴2x2﹣6x＝﹣2，∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．【题型5：因式分解】1.分解因式：x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）．【解析】解：x2y﹣y3＝y（x2﹣y2）＝y（x+y）（x﹣y）．故答案为：y（x+y）（x﹣y）．2.因式分解：x2﹣xy＝x（x﹣y）．【答案】x（x﹣y）【解析】解：x2﹣xy＝x（x﹣y）．故答案为：x（x﹣y）．3.分解因式：3x2﹣12＝3（x﹣2）（x+2）．【答案】3（x+2）（x﹣2）．【解析】解：原式＝3（x2﹣4）＝3（x+2）（x﹣2）．故答案为：3（x+2）（x﹣2）．4.分解因式：2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2．【答案】2（x﹣1）2【解析】解：2x2﹣4x+2，＝2（x2﹣2x+1），＝2（x﹣1）2．。

整式的乘法与因式分解基础知识1 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

2 幂的乘方，底数不变，指数相乘。

3、积的乘方法则：nn n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。

4、同底数幂的除法法则：nm n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m同底数幂相除，底数不变，指数相减。

5、零指数和负指数；10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。

p p a a 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。

也可表示为：ppn m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数）6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单 项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。

8、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再 把所的的积相加。

9、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式 里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

10、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的 的商相加。

整式的因式分解总结整式的因式分解是高中代数的基础知识，它在解题过程中起到了极其重要的作用。

本文将对整式的因式分解进行总结，包括整式的定义、因式分解的目的和方法，以及一些常用的因式分解公式。

希望通过本文的总结，读者能够对整式的因式分解有一个清晰的认识，提高解题能力。

一、整式的定义整式是由常数和变量按照加减乘除的运算法则所组成的代数式。

整式可以包含一个或多个变量，常见的整式有一元二次多项式、三次多项式等。

整式的因式分解是将一个整式表示为几个因式相乘的形式，便于进行进一步的计算和研究。

二、因式分解的目的因式分解是将整式表示为因式相乘的形式，其目的主要有以下几点：1. 化简整式：通过因式分解，可以将复杂的整式化简为简单的因式相乘的形式，使计算过程更加简单明了。

2. 求解方程：通过将方程两边进行因式分解，可以将原来的复杂方程转化为简单的因式乘积等于零的方程，从而更容易求解。

3. 探究多项式的性质：通过因式分解，可以深入研究多项式的性质和特点，了解多项式的根、零点等重要概念。

三、因式分解的方法在进行因式分解时，可以采用以下几种方法：1. 公因式提取法：当整式的各项中存在公共因子时，可以提取出公因式，并把整式分解为公因式与其余部分的乘积。

例如：对于整式2x^3 + 4x^2，可以提取公因式2x^2，得到2x^2(x + 2)。

2. 分组分解法：当整式中存在四项及以上的多项式时，可以尝试将其中的项进行分组，然后利用公式或其他方法进行因式分解。

例如：对于整式x^3 + 3x^2 + 3x + 1，可以进行分组(x^3 + 1) +(3x^2 + 3x)，然后利用公式(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3进行因式分解。

3. 公式法：对于特定的整式，可以利用一些常见的因式分解公式进行分解，例如二次差式公式、完全平方差等。

例如：对于整式x^2 - y^2，可以利用二次差式公式进行因式分解，得到(x + y)(x - y)。

可编辑修改精选全文完整版整式的乘法与因式分解一：[整式的乘法与因式分解]初二数学知识点之整式乘除与因式分解讲解及汇总1.单项式的乘法法那么：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式.单项式与多项式的乘法法那么：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.多项式与多项式的乘法法那么：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.单项式的除法法那么：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式的法那么：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.2、乘法公式：①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2文字语言表达：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2文字语言表达：两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍.3、因式分解：因式分解的定义.把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.掌握其定义应注意以下几点：(1)分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可;(2)因式分解必须是恒等变形;(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式.除了课堂上的学习外,数学知识点也是学生提高数学成绩的重要途径，本文为大家提供了初二数学知识点解析：二次函数的应用，希望对大家的学习有一定帮助。

2.有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，现在它的示意图放在平面直角坐标系中(如右图)，那么此抛物线的解析式为().3.某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长到达了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是()4.把一段长1.6米的铁丝围长方形ABCD，设宽为x，面积为y.那么当y最大时，x所取的值是()A.0.5B.0.4C.0.3D.0.6【考点归纳】1.二次函数的解析式：(1)一般式：();(2)顶点式：();(3)交点式：().2.顶点式的几种特殊形式.线()对称，顶点坐标为(，).⑴当a 0时，抛物线开口向()，有最()(填"高"或"低")点,当X=()时，有最()("大"或"小")值是();⑵当a 0时，抛物线开口向()，有最()(填"高"或"低")点,当X=()时，有最()("大"或"小")值是().【典型例题】一、例1橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如下图).假设OP=3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米.(1)求这条抛物线的解析式;(2)假设不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外6.以下函数关系中，是二次函数的是( )A.在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B.当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系D.圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系小编为大家整理的初二数学知识点解析：二次函数的应用相关内容大家一定要牢记，以便不断提高自己的数学成绩，祝大家学习愉快!二、熟练掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法(1)掌握提公因式法的概念;(2)提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三局部：①系数一各项系数的最大公约数;②字母--各项含有的相同字母;③指数--相同字母的最低次数;(3)提公因式法的步骤：第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项.(4)注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底〞;②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-〞号，使括号内的第一项的系数是正的.2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;常用的公式：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量;数值始终不变的量叫做常量。

全】初中数学整式的乘法与因式分解知识点总结整式的乘法与因式分解第一节：整式的乘法1.同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

这是幂的运算中最基本的法则。

在应用法则运算时，要注意以下几点：①幂的底数相同而且是相乘时，底数可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式。

②指数是1时，不要误以为没有指数。

③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆。

对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加。

④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为。

⑤公式还可以逆用。

2.幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。

该法则是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。

另有：当底数有负号时，运算时要注意。

底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将(-a)3化成-a3.底数有时形式不同，但可以化成相同。

要注意区别(ab)n与(a+b)n意义是不同的，不要误以为(a+b)n=an+bn（a、b均不为零）。

3.积的乘方法则积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

4.整式的乘法1）单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。

这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆。

②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式。

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

2）单项式与多项式相乘：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

即单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式。

单项式与多项式相乘时要注意以下几点：将被除数的每一项分别除以除数，得到商的每一项，再将这些项相加，得到商式。

整式的乘法与因式分解1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：bc a 22-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升（降）幂排列： 如：1223223--+-y xy y x x按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+-- 按y 的升幂排列：3223221y y x xy x --++- 按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x按y 的降幂排列：1223223-++--x xy y x y一、 整式的乘法 （一）幂的乘法运算 1、同底数幂相乘：=•nma a 推广：n n n n n n n n n n a a a a aΛΛ+++=⋅⋅3213211（n n n n n ,,,,321Λ都是正整数）2、幂的乘方：()=nma推广：[]321321)(n n n n n na a =（321,,n n n 都是正整数）3、积的乘方：()=nab推广：nm n n n n m a a a a a a a a ΛΛ321321)(=⋅⋅， 如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=•••-10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。

p p aa 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。

第二部分 式与式的运算一、代数式、整式的运算、因式分解、分式 1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.单独一个字母或一个数也是代数式，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值.2.单项式：只含有数或字母的乘法（含乘方）运算的代数式叫做单项式，单独一个字母或一个数也是单项式，所有字母的指数和叫做单项式的次数.3.多项式：几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数.升幂排列： 降幂排列：4.整式：单项式与多项式统称为整式.5.整式的加法：合并同类项. 添括号：()a b c a b c -+=-- 去括号：()a b c a b c +-=+-6.整式的乘法： （1）单项式×单项式:()()()212312325a b c abab c ab c +--+⋅==.（2）单项式×多项式:()2a b a ab a -=-. （3）多项式×多项式:()()a b c d +⋅+()()a c d b c d =⋅++⋅+ac ad bc bd =+++（4）乘法公式()()22a b a b a b +-=- ① ()2222a b a ab b ±=±+ ②a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab (a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ． (a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3 7.整式的除法()232226422624242a b a b a b a b a b a b --÷=÷== 8.因式分解：把一个多项式表示成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解.多项式=（ ）·…·（ ） 常用方法有： （1）提公因式法：如()ab ac ad a b c d ++=++；（2）公式法（利用乘法公式）：如()()()22224222x y x y x y x y -=-=+-；（3）十字相乘法： 因式分解：243x x ++x 1 x 3所以：()()24313x x x x ++=++ 因式分解：223x x --x 1 x 3-所以：()()22313x x x x --=+- 9、分式：（1）概念：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式. （2）分式运算的符号规律：a a a ab b b b --=-=-=--； a a a b b b--==-. （3）分式通分“根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

整式的乘法与因式分解知识点复习1、幂的运算性质：（1）a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．（2）()nm a ＝ a mn （m 、n 为正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘．（3）()n n n b a ab = （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积．（4）n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）同底数幂相除，底数不变，指数相减．2．零指数幂的概念：a 0＝1 （a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．3．负指数幂的概念： a - p ＝p a 1（a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：pp n m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 4．单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．3 a 2 b 2×2abc=（3×2）×（a 2 b 2 ×abc ）=6 a 3 b 3c5．单项式与多项式的乘法法则： a(b+c+d)= ab + ac + ad单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．6．多项式与多项式的乘法法则：( a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．7．乘法公式：①完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．②平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．8．因式分解（难点）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．一、掌握因式分解的定义应注意以下几点：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．二、熟练掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法（1）掌握提公因式法的概念；（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；（3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．（4）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2 ---精心整理，希望对您有所帮助。

整式的基础知识讲解整式是数学中常见的概念，是代数式的一种，由常数、变量及其指数、系数分别相乘而得到的一种代数式。

整式在解题中应用广泛，所以了解整式的基础知识是非常必要的。

一、整式的定义整式是由若干个单项式通过加减运算连接而成的形式化代数式。

其中，每个单项式都由一个常数乘以一个或多个变量的正整数次幂，再加上一个系数构成。

整式的一般形式为：$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$，其中，$a_n,a_{n-1},\cdots,a_1,a_0$为常数，$x$为变量。

在整式中，$a_n,a_{n-1},\cdots,a_1,a_0$称为系数，$x$的正整数次幂称为初等整式，组成式子的每一个初等整式的积称为单项式。

二、整式的分类根据单项式的个数，整式可以分为单项式、二项式、三项式和多项式。

其中，单项式是由一个变量的若干次幂及其系数组成的代数式，二项式是由两个单项式通过加减运算连接而成的式子，三项式是由三个单项式通过加减运算连接而成的式子，多项式是由多个单项式通过加减运算连接而成的式子。

三、整式的加减法整式的加减法是指将两个或多个整式通过加减运算相加或相减而得到一个新的整式的过程。

加减法的要点是首先对整式中的同类项进行合并，然后再按照系数的正负情况进行加减运算。

例如，对于多项式$3x^3+2x^2-5x+7$和$5x^2-2x+1$，将它们进行加法运算，应先按照同类项合并，即$3x^3+(2+5)x^2+(-5-2)x+7+1$，然后再按照系数的正负情况进行合并运算，即$3x^3+7x^2-7x+8$。

四、整式的乘法整式的乘法是指将两个或多个整式通过乘法运算相乘而得到一个新的整式的过程。

乘法的要点是将每个单项式的系数分别相乘，并将相同次数的变量的指数相加，再将相同次数的单项式相加得到一个新的整式。

例如，对于多项式$x+2$和$2x-1$，将它们进行乘法运算，应按照乘法分配律展开，即$(x+2)(2x-1)=x\times2x+x\times(-1)+2\times2x+2\times(-1)$，然后将同类项合并，得到$2x^2+x-2$。

第八章整式乘除与因式分解【知识点1】幂的运算1.同底数幂的乘法法例：a m a n a mn（m,n都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数能够是多项式或单项式。

如：(ab)2(ab)3(a b)5x16x x6同底数幂的乘法法例能够逆用：即a p a mn a m a n如：x7x25x2x5x34x3x4能够依据已知条件，对本来的指数进行适合地“分解”。

2.幂的乘方法例：(a m)n a mn（m,n都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：(35)2310幂的乘方法例能够逆用：即a p a mn(a m)n(a n)m如：46(42)3(43)23.积的乘方法例：(ab)n a n b n（n是正整数）。

积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（2x3y2z)5=(2)5(x3)5(y2)5z532x15y10z5积的乘方法例能够逆用：即1n(a1)na n1n 1,b a;a nb n ab n,常有：a n a n1，n为偶数a n1a(1)1n,b a.a a1，n为奇数4.同底数幂的除法法例：a m a n a mn（a0,m,n 都是正整数，且m n)同底数幂相除，底数不变，指数相减。

如：(ab)4(ab)(ab)3a3b3同底数幂的除法法例能够逆用：即a p a mn a m a n如：已知x75,x33，则x4x73x7x3535 35.零指数幂：a01，即任何不等于零的数的零次方等于1。

6.负整指数幂：a p1（a0,p是正整数）a p科学计数法：（1）绝对值大于1的数可记为a 10n，此中1a10，n是正整数，n等于原数数位减1.如2040000记为106（2）绝对值小于1的数可记为a10n，此中1a10，n是正整数，n等于原数中第一个有效数字前方的零的个数（包含小数点前的0）.如104记为考点1同底数幂的乘法【例1】以下各式中，正确的选项是（）A．m4m4m8 B.m5m52m25 C.m3m3m9 D.y6y62y12【例2】x y5y x4________【例3】若a m＝2，a n＝3，则a m+n等于() A．5【例4】已知n是大于1的自然数,则c n1cn1()等于A.c n21 B.2nc C.c2n D.c2n【练习】2·107＝2.a4a a53.在等式a3·a2·()＝a11中，括号里面人代数式应当是_____4.aa 3a m a 8,则m=5. －t 3·(－t)4·(－t)5_____6. 已知xm －n ·x 2n+1=x 11，且ym －1·y4－n=y 7，则m=____，n=____.考点2幂的乘方【例1】（1） x24（2）a 4a 8（3）()2＝a 4b 2【例2】若a x 2,则a 3x =【练习】1.x k12 =31xy 2z 3 22. =23.计算x 43x 7的结果是()A.x 12B.x 14C.x 19D.x 844. a 24a 3(-a n )2n 的结果是x 25=考点3 积的乘方【例1 】下边各式中错误的选项是（ ）．A ．（24）3=212B ．（－3a ）3=－27a 3C ．（3xy 2）4=81x 4y 8D ．（2a 2b 2）2=2a 4b 2【例2】计算(1)2010(5)2009(1.2)20106【练习】1.面各式中正确的选项是（）A．3x2·2x=6x2B．（1xy2）2=1x2y439C．（－2xy2）3=－2x3y6D．（－x2）·（x3）=x52.当a=－1时，－（a2）3的结果是（）A．－1B．1C．a6D．以上答案都不对3.与[（－3a2）3]2的值相等的是（）A．18a12B．243a12C．－243a12D．以上结论都不对4.以下计算正确的选项是（）A．(b2)3b5B．(a3b)2a6b2C．a3a2a5D．2a238a62345.计算3ab的结果是()A.81a8b12B.12a6b7C.12a6b7D.81a8b126.计算（1）9220259643（2）（－1a2x4）2－（2ax2）43（3）－a3·a4·a+（a2）4+（－2a4）2（4）2（x3）2·x3－（3x3）2+（5x）2·x77）20087）2008（5）（－·（12127.已知a2b33，求a6b9的值。