大学物理第三章-动量守恒定律和能量守恒定律-习题及答案

三次课： 1．动量定理 2．动能定理 3．综合运用 本章分 9 节 §3－1 质点和质点系的动量定理 §3－2 动量守恒定律 §3－3 系统内质量流动问题 §3－4 动能定理 §3－5 保守力与非保守力 势能 §3－6 功能原理 机械能守恒定律 §3－7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞 §3－8 能量守恒定律 §3－9 质心 质心运动定律
I Fdt
3）说明：冲量是矢量；表征力持续作用一段时间的累积效应。 4）单位：N.m 与动量的单位是相同的。 ※ 动量的概念在上一章已经给出。其实，动量的概念早在牛顿定律建立之 前，由笛卡尔（R. Descartes）于 1644 年引入，它纯粹是描述物体机械运动的 一个物理量。由经验知道，要使速度相同的两辆车停下来，质量大的就比质量 小的要难些；同样，要使质量相同的两辆车停下来，速度大的就要比速度小的 难些。由此可见，在研究物体机械运动状态的改变时，必须同时考虑质量和速 度这两个因素，为此而引入了动量的概念。 3．动量定理:Theorem of momentum 1）推导 设作用在质点上的力为 F，在Δt 时间内，质点的速度由 v1 变成 v2，根据牛 顿第二定律
F

mv 2 mv1 t 2 t1 t 2 t1
t1
t2
F dt
现实生活中人们常常为利用冲力而增大冲力，有时又为避免冲力造成损害 而减少冲力。 如， 利用冲床冲压钢板， 由于冲头受到钢板给它的冲 量的作用，冲头的动量很快 地减为零， 相应的冲力很大， 因此钢板所受的反作用冲力 也同样很大，所以钢板就被 冲断了； 当人们用手去接对方抛 来的篮球时，手要往后缩一 缩，以延长作用时间从而缓 冲篮球对手的冲力。 思考：冲量的方向是否与作用力的方向相同？ （1）如果 F 是一个方向不变，大小变的变力，那末冲量 I 方向与 F 方 向相同，冲量 I 大小由外力大小和外力持续作用时间决定。如右图所示，冲量 大小等于图中曲线下的面积或系于平均冲力 F 下的面积。
yv 2
同乘以 ydy，得
y 2 gdty y
积分 得
y
0
y
gdty
yvdt( yv)
0
1 3 1 gy ( yv) 2 3 2
因而链条下落的速度和落下的距离的关系为
2 v gy 3
1/ 2
7
第4讲
动量和冲量
t2 I Fdt F (t2 t1 )
t1


Ft mv2 mv1
建立如图所示的坐标系，则上式写成标量形式为
Fx t mv 2 x mv1x
Fy t mv2 y mv1y
4
第4讲
动量和冲量
即
Fx t mv c o s ( mv c o s ) 2mv c o s
F外 dt＝dP
力的效果 关系 适用对象 适用范围 解题分析
*动量定理与牛顿定律的关系 牛顿定律 动量定理 力的瞬时效果 力对时间的积累效果 牛顿定律是动量定理的 动量定理是牛顿定律的 微分形式 积分形式 质点 质点、质点系 惯性系 惯性系 必须研究质点在每时刻 只需研究质点（系）始末 的运动情况 两状态的变化
dv 1） F m dt dv 2） F m dt
F ma Fdt mdv dmv ——动量定理 dv dv dr 1 m mv mdr mv dv d mv 2 动能定理 dr dt dr 2
或
I ＝P－P0
i 1
i 1
即，作用在系统的合外力的冲量等于系统动量的增量，这就是质点系的动量定 理。 3．分量形式
Ix=Px-Px0 Iy=Py-Py0 Iz=Pz-Pz0
即某一方向作用于系统达到的所有外力的冲量的代数和等于在同一时间 内该方向系统的动量的增量。 4． 说明： （1） 合外力——作用于系统的合外力是作用于系统内每一质点的 外力的矢量和。只有外力才对系统的动量变化有贡献，而系统的内力是不能改 变整个系统的动量的。 （2）无限小的时间间隔的过程
考虑到内力总是成对出现的，且大小相等，方向相反，故其矢量和必为零， 即
F
i 0
n

i内
0

设作用在系统上的合外力用 F外力 表示，且系统的初动量和末动量分别用
5
第4讲
动量和冲量
P0 和 P 表示，则
t2 n n F d t m v mi vi 0 i i 外力 t1
Fy t mv sin mv sin 0
因而
Fx 2mv cos / t
Fy 0
代入数据，得
Fx 2 0.2 6 cos 60 0 / 0.03 40 N
根据牛顿第三定律，球对墙壁的作用力为 40N，方向向左。 二、质点系的动量定理 1．两个质点的情况 设系统内有两个质点 1 和 2，质量分别 为 m1 和 m2，作用在质点上的外力分别为 F1 和 F2， 而两质点之间的相互作用力为 F12 和 F21，根据动量定理，在Δt=t2-t1 时间内， 两质点的动量的增量分别为
I x Fx dt mv2 x mv1x
t
I y Fy dt mv2 y mv1 y
t
I z Fz dt mv2 z mv1z
t
（3） 动量定理说明质点动量的改变是由外力和外力作用时间两个因素， 即冲量 决定的。 （4）动量定理的成立条件——惯性系。 ※ 动量定理说明：力在一段时间内的累积效果，是使物体产生动量增量。要产 生同样的效果，即同样的动量增量，力可以不同，相应作用时间也就不同，力 大时所需时间短些，力小时所需时间长些。只要力的时间累积量即冲量一样， 就能产生同样的动量增量。 ※ 注意 I 是过程量，累积量； F 是瞬时量； p 是状态量。 4）应用：利用冲力：增大冲力，减小作用时间——冲床 避免冲力：减小冲力，增大作用时间——轮船靠岸时的缓冲 例——利用动量定理计算平均冲力 动量定理常用于碰撞、打击等问题的研究。在碰撞等过程中，由于作用的 时间Δt 极短， 冲力的大小变化很大且 很难测量；但是只要测出碰撞前后的 动量和碰撞所持续的时间，则可得到 平均冲力
例题：如图所示，一柔软链条长为 l，单位长度的质量为λ。链条放在桌上， 桌上有一个孔，链条一端有小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周围。由于某种扰 动，链条由于自身的重量开始下落。求链条下落速度与落下距离之间的关系。 设链条与各处的摩擦均不计，且认为链条柔软得可以自由伸开。 解：如图所示，选桌面上一点为坐标原点 O，竖直向下为 Oy 轴正方向。设在 某时刻，链条下落部分长度 y，此时在桌面上的链条长度为 l-y，它们之间的作 用力为内力。作用于系统的外力有：下落部分链条所受的重力 m1g，桌面上的 链条所受的重力 m2g 和支持力 N，且 N=-m2g，故作用在系统上的外力为 F=m1g=λyg 有动量定理可得 Fdt=m1gdt=λygdt=dp
6
第4讲
动量和冲量
下面求 dp 的表达式。设在 t 时刻，链条下落的长度为 y，下落速度为 v，则链 条的动量为 P=m1v=λyv 因而 dtp dt( yv) 故 于是
ygdtt dt( yv)
yg d ( yv) dt dty dt( yv) yvdt( yv) dtt
dv F ma m dt
可得
2
Fdt mdv
积分
v2 Fdt mdv v1
第4讲
动量和冲量
t
即
I mv 2 mv1
2）内容： 在给定时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于此质点在此时间内动 量的增量。 3）说明： （1）冲量的方向并不是与动量的方向相同，而是与动量增量的方向相同。 （2）动量定理的分量式
第4讲
动量和冲量
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
前一章我们运用牛顿运动定律研究了质点的运动规律，讨论了质点运动状 态的变化与它所受合外力之间的瞬时关系。对于一些力学问题除分析力的瞬时 效应外，还必须研究力的累积效应，也就要研究运动的过程。而过程必在一定 的空间和时间内进行，因而力的积累效应分为力的空间积累和时间积累两类效 应。在这两类效应中，质点或质点系的动量、动能或能量将发生变化或转移。 在一定条件下，质点系内的动量或能量将保持守恒。 （1）力的空间累计效应：功、能； （2）力的时间累计效应：冲量、动量； （3）相关规律：动能定理、功能原理、机械能守恒定律、能量守恒定律、 动量定理、动量守恒定律、角动量守恒定律。 引入： 牛顿第二定律
t2
F ＋F dt m v
1 12 t1


1 1
m1v10 m2 v 20

t2
F ＋F dt m v
2 21 t1


2 2
把上面两式相加，得
t2
F ＋F dt＋ F ＋F dt
1 2 12 21 t1 t1


t2
百度文库

(m1v1 m2 v 2 ) (m1v10 m 2 v 20 ) F12 F21 考虑牛顿第三定律 t2 得 F 1＋F2 dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
t1
即：作用在两质点组成的系统的合外力的冲量等于系统内两质点动量之和的增 量，即系统动量的增量。 2．推广：n 个质点的情况
t2 t2 n n n n F d t ＋ F d t m v mi vi 0 i外 i内 i i i 1 i 1 i 1 i 1 t1 t1


（2） 如果 F 是一个方向和大小都变的变力， 那末冲量 I 的大小和方向是由这段
时间内所有微分冲量 F dt 的矢量总和所决定。 例题：一弹性球，质量 m=0.2kg，速度为 v=6m/s，与墙壁碰撞后跳回，设跳回 时速度的大小不变，碰撞前后的方向于墙壁的法线的夹角都是α=600，碰撞的 时间为Δt=0.03s。求在碰撞时间内，球对墙壁的平均作用力。 解：以球为研究对象，设墙壁对球的作用力为 F ，球 在碰撞过程前后的速度为 v1 和 v 2 ，由动量定理得
1 1 mv F ＝ Fdt 2 mv1 t t t
说明： 在碰撞过程中，可以认为质点没 有位移； 由于冲力很大，在碰撞过程中作
3
第4讲
动量和冲量
用在质点上的其他有限大小的力与冲力相比， 可 忽略不计。 动量定理常用于碰撞过程。例子，处理方法 将在后面介绍（学功、能后） 。碰撞一般泛指物体间 相互作用时间很短的过程。请看例子：
1
第4讲
动量和冲量
§3－1 质点和质点系的动量定理
实际上，力对物体的作用总要延续一段时间，在这段时间内，力的作用将 积累起来产生一个总效果。下面我们从力对时间的累积效应出发，介绍冲量、 动量的概念以及有关的规律，即动量守恒定律。 一、冲量 质点的动量定理 1．动量：Momentum——表示运动状态的物理量 1）引入：质量相同的物体，速度不同，速度大难停下来，速度小容易停下；速 度相同的物体，质量不同，质量大难停下来，质量小容易停下。 2）定义：物体的质量 m 与速度 v 的乘积叫做物体的动量，用 P 来表示 P=mv 3）说明：动量是矢量，大小为 mv，方向就是速度的方向；动量表征了物体的 运动状态 -1 4）单位：kg.m.s 5）牛顿第二定律的另外一种表示方法 F=dP/dt 2．冲量:Impulse 1）引入：使具有一定动量 P 的物体停下，所用的时间Δt 与所加的外力有关， 外力大，Δt 小；反之外力小，Δt 大。 2）定义： 作用在物体外力与力作用的时间Δt 的乘积叫做力对物体的冲量， 用 I 来表 示 I= FΔt 在一般情况下，冲量定义为