高考数学解答题定时训练(7)

高考数学科目的备考策略技巧最新高考数学科目的备考策略技巧高考所有的考生们，你们在备考数学的时候有运用备考的技巧吗？使用备考技巧更能提高大家的水平。

下面是小编为大家整理的关于高考数学科目的备考策略技巧，欢迎大家来阅读。

高考数学的备考策略1、掌握多种解法一道数学题往往有多种解法，有时方法不同，解题时的难易、繁简程度差异很大。

解答数学题首先要掌握常规解法，它的优点是即使做不到底，解答题做出部分也能得些分，缺点是运算有时麻烦，甚至难以算到底，或计算过程中容易出错。

巧妙解法的优点是解答过程简单，省时省力，但是不容易想到，如果想偏了，思路不对，就几乎得不到分。

因此，要辩证地看待数学常规解法和巧妙解法。

我们提倡在掌握常规解法的基础上，努力追求巧妙解法。

值得指出的是，不掌握常规解法一味追求巧妙解法无异于舍本逐末，而不追求巧妙解法只会用常规方法解题则无助于能力提高。

2、数学学习和做题要养成良好习惯一些学生平时解题只注意结果，不注意规范书写，这儿扣一分，那儿扣两分，尽管答案正确，总分却不高。

解答题有些学生书写潦草，难以辨认。

这些细节都要引起足够重视。

一些学生数学课堂上只满足于听懂，不动手演算。

其实，只听懂是远远不够的，它离掌握知识、形成能力还有很远的距离，真懂、假懂或懂到什么程度只有在动手算的时候才能得到检验。

数学审题错误或计算错误是导致会而不对或对而不全的主要原因，平时总认为是粗心，其实还是习惯不好造成的。

有时一个符号就会丢掉十几分，要在学习过程中自觉养成严谨的学风，对现在学习有利，对以后做事也有利。

高考数学复习备考方法一、分类记忆法遇到数学公式较多，一时难于记忆时，可以将这些公式适当分组。

例如求导公式有18个，就可以分成四组来记：(1)常数与幂函数的导数(2个);(2)指数与对数函数的导数(4个);(3)三角函数的导数(6个);(4)反三角函数的导数(6个)。

求导法则有7个，可分为两组来记：(1)和、差、积、商复合函数的导数(4个);(2)反函数、隐函数、幂指数函数的导数(3个)。

广东省高职高考试题及答案近年来，广东省高职高考备受瞩目。

每年参加高职高考的考生人数逐渐增多，这也使得广东省的高职高考试题备受关注。

今天，我们将深入探讨广东省高职高考试题及其答案，以期为考生提供一些帮助和指导。

首先，我们从英语科目开始。

以下是一道广东省高职高考英语试题："Please describe your favorite book and explain why you like it."这道题目要求考生描述自己喜欢的书，并解释喜欢它的原因。

这道题目不仅考查了考生的英语写作能力，还考察了考生的观察力和思维深度。

例如，考生可以选择《1984》这本书，描述这本书对他们对社会问题的关注有何深远影响，并解释为什么他们喜欢这本书。

接下来，我们来看一道数学题："求解以下方程：2x^2 - 5x - 3 = 0"这道题目是一道求根问题，要求考生解方程。

通过分解因式、配方法或者求根公式，考生可以得到方程x=3/2或x=-1。

这道题目考察了考生的代数运算能力以及解方程的方法。

继续往下，我们来看一道物理题："一个质点在水平平面上运动，开始时速度为v0，加速度恒为a，经过时间t后速度变为v。

请问此时质点所经过的距离是多少？"这道题目考查了考生对物理力学的基本概念的理解与应用。

通过计算，可以得到公式：s = v0t + (1/2)at^2。

考生可以根据此公式计算出质点所经过的距离。

最后，我们来看一道应用技能题目，这道题目来自于电子技术："请设计一个简单的电子闹钟电路，并解释其原理和工作方式。

"这道题目考查了考生对电子技术原理的理解以及创新能力。

考生可以设计一个基于555定时器的电子闹钟电路，通过对定时器的输入引脚进行连接设置，实现定时报警的功能。

通过以上的例子，我们可以看到广东省高职高考试题在考查学生的基础知识和技能的同时，也注重对学生综合运用知识进行分析、解决问题的能力的考察。

2021全国甲卷理科数学解析一、概述2021年全国普通高等学校招生全国统一考试（简称全国“高考”）于近日举行，其中理科数学卷是许多考生所关注的焦点。

本文将对2021年全国甲卷理科数学试题进行深入解析，帮助考生和教师更好地理解试题背后的思想，掌握解题技巧。

二、试题分析1. 分析题型2021年全国甲卷理科数学试卷的题型主要包括选择题、填空题、解答题和证明题。

其中解答题和证明题涉及的知识点较多，需要考生具备较高的数学思维和解题能力。

2. 知识点分布试题涵盖的知识点主要包括函数与导数、平面向量、立体几何、数列和数学归纳法、概率统计等内容。

这些知识点是高中数学的重点和难点，考生需要熟练掌握相关概念和解题方法。

三、试题解析1. 选择题解析选择题主要考查了考生对基本概念和定理的理解和掌握情况，有一定的难度。

有一道关于函数和导数的选择题，考查了函数定义域和单调性的应用，需要考生对函数概念的理解和导数的计算方法有较为深入的掌握。

2. 填空题解析填空题主要考查了学生对数学公式和定理的应用能力，要求考生熟练掌握数学知识并能在一定时间内准确地应用到具体问题中。

有一道关于平面向量的填空题，考查了向量共线和垂直的性质，考生需要根据向量的性质进行运算和推导。

3. 解答题解析解答题主要考查了考生对数学概念的理解和运用能力，要求考生能够深入分析问题、独立解答并给出合理的解题思路。

有一道关于数列和数学归纳法的解答题，考查了考生对数列的性质和规律的理解，以及数学归纳法的应用能力，需要考生结合实际情况分析问题、提出解决方法并进行证明。

4. 证明题解析证明题主要考查了考生的逻辑思维和推理能力，要求考生能够通过严密的推导和论证得出结论。

有一道关于概率统计的证明题，考查了考生对概率计算和统计规律的理解和运用能力，需要考生运用数学知识和逻辑推理得出正确的结论。

四、备考建议1. 系统复习考生在备考期间应该系统复习，重点复习高中数学的各个知识点，特别是考试的重点和难点知识，比如函数与导数、平面向量、立体几何、数列和数学归纳法、概率统计等内容。

2008年四川延期高考数学（理工农医类）试题第Ⅰ卷本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 再一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率是：()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-= 球的表面积公式：24S R π= 其中R 是球的半径 球的体积公式：343V R π=其中R 是球的半径 一．选择题（1）集合{1,0,1}A =-，A 的子集中，含有元素0的子集共有（ ） （A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个 （2）已知复数(3)(3)2i i z i+-=-，则z =（ ）（A ）5 （B ）5 （C （D ）（3）41(1)(1)x x++的展开式中含2x 项的系数为（ ）（A ）4 （B ）6 （C ）10 （D ）12 （4）已知*n N ∈，则不等式220.011nn -<+的解集为（ ） （A ）*{199,}n n n N ≥∈ （B ）*{200,}n n n N ≥∈ （C ）*{201,}n n n N ≥∈ （D ）*{202,}n n n N ≥∈（5）已知1tan 2α=，则2(sin cos )cos 2ααα+=（ ） （A ）2 （B ）－2 （C ）3 （D ）－3（6）一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（ ）（A ）3 （B ）6 （C ）2（D ）（7）若点P （2，0）到双曲线22221x y a b-=为（ ）（A （B （C ） （D ）（8）在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（ ） （A ）15 （B ）12 （C ）23 （D ）45（9）过点（1，1）的直线与圆2(2)(3)9x y -+-=相交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）（A ） （B ）4 （C ） （D ）5（10）已知两个单位向量a 与b 的夹角为135，则1a b λ+> 的充要条件是（ ）（A ）λ∈ （B ）(λ∈（C ）(,0))λ∈-∞+∞ （D ）(,)λ∈-∞+∞（11）设函数()()y f x x R =∈的图像关于直线0x =及直线1x =对称，且[0,1]x ∈时，2()f x x =，则3()2f -=（ ）（A ）12 （B ）14 （C ）34 （D ）94（12）一个正方体表面的展开土如图所示，B ，C ，D 为原正方体的顶点，A 为原正方体一条棱的中点。

专题01数列真题汇编与预赛典型例题1．【2018年全国联赛】设整数数列满足，且，则这样的数列的个数为.2．【2017年全国联赛】设两个严格递增的正整数数列满足,对任意正整数n,有。

则的所有可能值为___________。

3．【2016年全国联赛】设为1，2，…，100中的四个互不相同的数，满足.则这样的有序数组的个数为________. 4．【2014年全国联赛】已知数列满足.则___________. 5．【2013年全国联赛】已知数列共有九项，其中，，且对每个，均有.则这样的数列的个数为______.6．【2011年全国联赛】已知.则数列中整数项的个数为______. 7．【2010年全国联赛】已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，，且存在常数使得对每一个正整数都有.则________.8．【2019年全国联赛】设整数满足.记.求f的最小值.并确定使f=f0成立的数组的个数.9．【2018年全国联赛】已知实数列满足：对任意正整数n，有，其中S n表示数列的前n项和，证明：（1）对任意正整数n，有；（2）对任意正整数n，有.10．【2018年全国联赛】数列定义如下：a1是任意正整数，对整数n≥1，a n+1是与互素，且不等于的最小正整数.证明：每个正整数均在数列中出现.11．【2017年全国联赛】设数列定义为求满足的正整数r的个数。

12．【2016年全国联赛】设p与p + 2均为素数，p > 3.定义数列，其中，表示不小于实数x的最小整数.证明对，均有.13．【2014年全国联赛】已知数列满足.求正整数m使得.14．【2013年全国联赛】给定正数数列满足，，其中，.证明：存在常数，使得.15．【2013年全国联赛】给定正整数.数列定义如下：，对整数，.记.证明：数列中有无穷多项是完全平方数.16．【2012年全国联赛】已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数都有.(1)当时，求所有满足条件的三项组成的数列.(2)是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由.17．【2011年全国联赛】 已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式； （2）若，试比较与的大小. 18．【2011年全国联赛】证明：对任意整数，存在一个次多项式具体如下性质： （1）均为正整数；（2）对任意的正整数及任意个互不相同的正整数，均有.19．【2011年全国联赛】设是给定的正实数，.对任意正实数，满足的三元数组的个数记为.证明：.20．【2010年全国联赛】证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得.21．【2010年全国联赛】给定整数，设正实数满足，记.求证：.22．【2009年全国联赛】已知是实数，方程有两个实根，数列满足）．（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）若，求的前项和．{}n a ()123,1a t t R t =-∈≠±()()()112321121n n n n n n t a t t a n N a t +++-+--=∈+-{}n a 0t >1n a +n a23．【2009年全国联赛】在非负数构成的数表中，每行的数互不相同，前六列中每列的三数之和为1，均大于1．如果的前三列构成的数表满足下面的性质：对于数表中的任意一列）均存在某个使得．①求证：（1）最小值）一定去自数表的不同列；（2）存在数表中唯一的一列）使得数表仍然具有性质（）．1．【2018年湖南预赛】如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.设是第n次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和），则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值为____________________.2．【2016年吉林预赛】在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列．则数列的通项公式为________.3．【2016年上海预赛】数列定义如下:，则____ _______。

2023-2024学年浙江省高三下学期5月联考数学模拟试题一、单选题1．若集合{}{22530,A x x x B y y =--≤=∣∣，则A B ⋃=（）A ．{}03x x ≤≤∣B ．12xx ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭∣C ．{}1xx ≥∣D ．{}13xx ≤≤∣【正确答案】B【分析】解不等式求集合A 、由幂函数的性质得集合B ，再求并集即可.【详解】由题意可得()()212532130,32x x x x A ⎡⎤--=+-≤⇒=-⎢⎥⎣⎦，易知y =[)00,y B ≥⇒=+∞，故A B ⋃=12xx ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭∣.故选：B2．若()i 14z -=，则z =（）AB C ．3D ．2【正确答案】A【分析】利用复数的除法运算及求模公式计算即可.【详解】由()4i 14114i iz z z -=⇒=-=+⇒=，故选：A3．已知单位向量,,a b c 满足0a b c ++= ，其中()1,0c = ，则2a b + 在c上的投影向量是（）A ．3,22⎛-- ⎝⎭B ．322⎛ ⎝⎭C ．3,02⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【正确答案】D【分析】根据投影向量的计算公式求值即可.【详解】因为单位向量,,a b c 满足0a b c ++=，所以()()22221212c a b c a ba ab b a b -=+⇒-=+=+⋅+=⇒⋅=-，由投影向量计算公式可知2a b + 在c 上的投影向量是2cos 2,c a b a b c c+⋅+⋅，即()()222223a b c c a a b b c c+⋅⨯=--⋅-⨯故()223232a a b b c c --⋅-⨯=-，而()1,0c = ，故33,022c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故选：D4．《九章算术･商功》刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑，”阳马，是底面为长方形或正方形，有一条侧棱垂直底面的四棱锥.在PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为正方形的阳马中，若1AB PA ==，则（）A ．直线PA 与直线BC 所成角为π3B ．异面直线AD 与直线PCC ．四棱锥P ABCD -的体积为1D ．直线PC 与底面ABCD【正确答案】B【分析】把阳马补形成正方体，求出异面直线夹角判断A ；求出线面距离判断B ；求出四棱锥体积判断C ；求出线面角的余弦判断D 作答.【详解】由PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，而1AB PA ==，则阳马可补形成正方体111ABCD PB C D -，如图，对于A ，由PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，则PA BC ⊥，因此直线PA 与BC 所成角为π2，A 错误；对于B ，连接1CD ，11//,AD PD PD ⊂平面1PCD ，AD ⊄平面1PCD ，则有//AD 平面1PCD ，从而异面直线AD 与直线PC 的距离等于直线AD 与平面1PCD 的距离，取1CD 的中点H ，连接DH ，则1DH CD ⊥，而1PD ⊥平面11CDD C ，DH ⊂平面11CDD C ，于是1DH PD ⊥，又11111,,PD CD D PD CD =⊂ 平面1PCD ，因此DH ⊥平面1PCD ，所以直线AD 与平面1PCD 的距离为2DH =，B 正确；对于C ，四棱锥P ABCD -的体积211111333ABCD V S PA =⋅=⨯⨯=，C 错误；对于D ，连接AC ，则PCA ∠是直线PC 与底面ABCD 所成的角，而AC PC =因此cos3AC PCA PC ∠=，D 错误.故选：B5．临近高考，同学们写祝福卡片许美好愿望.某寝室的5位同学每人写一张祝福卡片放在一起，打乱后每人从中随机抽取一张卡片，已知有同学拿到自己写的祝福卡，则至少有3位同学摸到自己写的祝福卡片的概率为（）A ．11120B ．1691C ．1176D ．543【正确答案】C【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率作答.【详解】恰有1位同学拿到自己写的祝福卡有111533C C C 53345=⨯⨯=种，恰有2位同学拿到自己写的祝福卡有2152C C 10220=⨯=种，恰有3位同学拿到自己写的祝福卡有35C 10=种，恰有4位（5位）同学拿到自己写的祝福卡有1种，因此有同学拿到自己写的祝福卡的事件含有的基本事件数为452010176+++=个，至少有3位同学摸到自己写的祝福卡的事件有10111+=个基本事件，所以至少有3位同学摸到自己写的祝福卡片的概率1176P =.故选：C.6．定义{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩设函数(){}min sin ,cos (0)f x x xωωω=>，可以使()f x 在5ππ(,)122上单调递减的ω的值为（）A ．23,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]2,3C ．3,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]3,4【正确答案】C【分析】分段写出函数()f x 解析式，并确定单调递减区间，再借助集合的包含关系求解作答.【详解】依题意，3π2ππ2πsin ,[,)44(),Z π2π5π2πcos ,[,)44k k x x f x k k k x x ωωωωωωωωωω⎧∈-++⎪⎪=∈⎨⎪∈++⎪⎩，函数()f x 的递减区间是3π2ππ2π[,]42k k ωωωω-+-+，π2ππ2π[,]4k k ωωωω++，Z k ∈，于是5ππ3π2ππ2π(,)[,]12242k k ωωωω⊆-+-+或5πππ2ππ2π(,)[,]1224k k ωωωω⊆++，Z k ∈，即3π2π5π412π2ππ22k k ωωωω⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩，Z k ∈，解得2494155k k ω-≤≤-，由0412494155k k k ω<≤-⎧⎪⎨-<-⎪⎩，得114k <<，无解；或π2π5π412π2ππ2k k ωωωω⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，Z k ∈，解得2434255k k ω+≤≤+，由0422434255k k k ω<≤+⎧⎪⎨+<+⎪⎩，得1724k -<<，则0k =或1k =，当0k =时，325ω≤≤，当1k =时，2765ω≤≤，选项C 满足，ABD 不满足.故选：C7．已知点P 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点，()()12,0,,0F c F c -分别是C 的左、右焦点，若12F PF ∠的角平分线与直线x a =交于点I ，且11222IPF IF F IPF S S =+ ，则C 的离心率为（）A ．2BC ．3D【正确答案】B【分析】根据给定条件，结合双曲线定义证明点I 是12F PF △的内心，再借助三角形面积公式求解作答.【详解】作12PF F ∠的平分线交12F PF ∠的平分线于I '，过I '作21,,I M PF I N PF I T x '''⊥⊥⊥轴，垂足分别为,,M N T，如图，则点I '为12PF F △的内心，有1122||||,||||,||||PM PN F N FT F M F T ===，设0(,0)T x ，1212120002||||||||||||()()2a PF PF F N F M FT F T x c c x x =-=-=-=+--=，则0x a =，于是直线I T '与直线x a =重合，而12F PF ∠的角平分线与直线x a =交于点I ，即I '与I 重合，则点I 为12PF F △的内心，因此令||||||IM IN IT r ===，由1122IPF IF F IPF S S =+ ，得1122111||||222||PF r F F PF r r ⋅⋅=+⋅，因此12||||PF PF =+，即有122||||PF PF a =-，即c =，所以双曲线C 的离心率为ce a==故选：B8．已知(),,1,0a b c ∈-，且满足()3ln 21e 11ln 2,ln ,e 134c b a a b c +-++=+==-，则（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c<<【正确答案】B【分析】变形给定的等式，构造函数()ln(1)f x x x =-+，利用导数探讨单调性，借助单调性比较大小作答.【详解】由1ln2ln(1)ln 323a a a a +=+⇔=+-+，得ln(1)2ln 3a a -+=-，由3e (1)ln 3ln(1)ln 44b b b b +=⇔=++-，得ln(1)3ln 4b b -+=-，由ln 21e 1ln(1)ln 21c c c c +-=-⇔+=+-，得ln(1)1ln 2c c -+=-，令函数()ln(1)f x x x =-+，显然()(2),()(3),()(1)f a f f b f f c f ===，求导得1()111x f x x x '=-=++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()0,x ∞∈+时，()0,()'>f x f x 单调递增，于是(1)(2)(3)f f f <<，即有()()()f c f a f b <<，而,,(1,0)a b c ∈-，所以b a c <<.故选：B思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．样本数据5,9,10,13,9,7,3,6的上四分位数为9.5B ．若随机变量ξ服从两点分布，若()103P ξ==，则()23D ξ=C ．若随机变量ξ服从正态分布(),1N u ，且()(2)f x P x x ξ=-<<是偶函数，则1u =-D ．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r 的值越接近于1【正确答案】AC【分析】求出上四分位数判断A ；求出两点分布的方差判断B ；利用正态分布的对称性求出u 判断C ；利用相关系数与相关性强弱的关系判断D 作答.【详解】对于A ，样本数据3,5,6,7,9,9,10,13，由875%6⨯=，得上四分位数为9109.52+=，A 正确；对于B ，112()(1339D ξ=-⨯=，B 错误；对于C ，由()(2)f x P x x ξ=-<<是偶函数，得(2)(2)P x x P x x ξξ--<<-=-<<，又(),1N u ξ~，因此2()12x x u -+-==-，C 正确；对于D ，两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r 的绝对值越接近于1，D 错误.故选：AC10．直三棱桂111ABC A B C -中，11,,AB BC BB AB BC E ===⊥为棱BC 上的动点，F 为1A E 中点，则（）A ．11A E AB ⊥B ．三棱锥111C A FB -的体积为定值C ．四面体111A AB C -的外接球表面积为4πD ．点F 的轨迹长度为12【正确答案】ABD【分析】由题意补直三棱柱为正方体，结合正方体的特征可判定A ，利用等体积法转化可判断B ，利用正方体的外接球及球的表面积公式可判断C ，利用三角形中位线判断D 即可.【详解】由题意可知：直三棱柱为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的一半，如图所示.对于A ，连接AB 1，A 1B ，结合正方体的特征，易知BE ⊥AB 1，AB 1⊥A 1B ，故AB 1⊥面A 1BE ，1A E ⊂面A 1BE ，则11A E AB ⊥，即A 正确；对于B ，由题意可知F 到上下底面的距离均为0.5，故111111C A FB F A B C V V --=是定值，即B 正确；对于C ，四面体111A AB C -24π3πS R ==,即C 错误；对于D ，连接A 1C ，取其中点O ，连接OF ，易知OF 为1A BC 的中位线，故E 从B 运动到C 的过程中F 的运动轨迹长度为BC 一半，即D 正确.综上ABD 三项正确.故选：ABD11．抛物线2:2(0)C x py p =>的准线方程为1y =-，过焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，则（）A ．C 的方程为22x y=B ．2AB BF +的最小值为4+C ．过点(4,2)M 且与抛物线仅有一个公共点的直线有且仅有2条D ．过点,A B 分别作C 的切线，交于点()()000,0P x y x ≠，则直线,,PF PA PB 的斜率满足211PF PA PBk k k =+【正确答案】BD【分析】求出抛物线方程判断A ；设出直线l 的方程并与抛物线方程联立，结合抛物线定义及均值不等式计算判断B ；设出过点M 的直线方程，与抛物线方程联立求解判断C ；求导并结合选项B 的信息求解判断D 作答.【详解】对于A ；依题意，12p-=-，解得2p =，C 的方程为24x y =，A 错误；对于B ，由选项A 知，(0,1)F ，设直线l 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则有124x x =-，2212123||2||||3||13(1)44x x AB BF AF BF y y ++=+=+++=+44≥+=+，当且仅当12x =时取等号，B 正确；对于C ，过点(4,2)M 且与抛物线仅有一个公共点的直线不垂直于y 轴，设此直线方程为4(2)x t y -=-，由24(2)4x t y x y-=-⎧⎨=⎩消去y 得：22404t x x t --+=，当0=t 时，4x =，直线与抛物线仅只一个交点，当0t ≠时，21(24)2410t t t t ∆=--+=-+=，解得12t =±，即过点(4,2)M 且与抛物线相切的直线有2条，所以过点(4,2)M 且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条，C 错误；对于D ，由24x y =求导得2x y '=，由选项B 知，12,22PA PB x x k k ==，121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，1212122(112)22PA PB x x k k k x x x x ++=+==-，由111222()2()2x y x x y x y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩两式相减得：222121211(022)x x x x x y y ---+-=，即2212121(24)x x x x x -=-，则1222x x x k +==，于是02x k =，10111111(21)1(2)x y k x y kx y kx kx =-+=-=-+=-，即点(2,1)P k -，所以21211,22PFPF PA PBk k k k k k k -==-=-=+，D 正确.故选：BD12．已知()(),,e ,x a b f x ax g x ∈=-=R ）A ．对于任意的实数a ，存在b ，使得()f x 与()g x 有互相平行的切线B ．对于给定的实数0x ，存在a b ､，使得()()00g x f x ≥成立C ．()()y f x g x =-在[)0,∞+上的最小值为0，则a的最大值为D ．存在a b ､，使得()()2e 2f xg x -≤+对于任意x ∈R 恒成立【正确答案】ABC【分析】对于A ，对两函数求导，再求出导函数的值域，由两值域的关系分析判断，对于B ，由()()00g x f x ≥可得0x b ，从而可判断，对于C ，令()()()h x f x g x =-，再由102h ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥可得a ≤0x 为()h x 的极小值点，然后列方程表示出,a b ，从而可用0x表示a ，再构造函数，利用导数可证得结论，对于D ，根据函数值的变化情况分析判断.【详解】对于A ，()e xf x a a '=->-，()g x '=当0x ≥时，()(),g x b b b '=-，当0x <时，()(),g x b b '==-=-∈-，综上，()(),g x b b '∈-，所以对于任意的实数a ，存在b ，使(),a -+∞与(),b b -有交集，所以对于任意的实数a ，存在b ，使得()f x 与()g x 有互相平行的切线，所以A 正确，对于B ，由于给定的实数0x ，当a 给定时，则()0f x 为定值，由()()00g x f x ≥，得00e x ax ≥-，0x b ，所以存在b 使上式成立，所以B 正确，对于C ，令()()()e x h x f x g x ax =-=--()12111e 2222h a b a ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，由题意可知，当[)0,x ∈+∞时，()0h x ≥恒成立，所以102h ⎛⎫⎪⎝⎭≥，()102a -≥，即a ≤若()h x 在[)0,∞+上递增，因为()()()h x f x g x =-在[)0,∞+上的最小值为0，所以()010h b =-=，得1b =，所以()e xh x ax =-()e 0xh x a '=-≥在[)0,∞+上恒成立，即e x a ≥在[)0,∞+上恒成立，令()e 0)x t x x =≥，则()2e 10(0)xt x x '=-≥≥，所以()t x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()01t x t ≥=，所以1a≤，所以1a a =++若()h x 在[)0,∞+上不单调，因为()()()h x f x g x =-在[)0,∞+上的最小值为0，所以设0x 为()h x的极小值点，则()()00000e 0e 0x x h x ax h x a ⎧=--=⎪⎨=-='⎪⎩，解得()(002000e 1e 1x x a x x b x ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩所以()(00200e 11x x a x x x =-+-02000e 11x x x x ⎡=-++-⎣令()020000e 11x x x x x ϕ⎡=-++-⎣，则()02000000e 11e 21x x x x x x x x ϕ⎡⎤⎡'⎢=-++-+---⎣⎢⎣000e 11x x x x ⎡⎤⎢=+-⎢⎣由()00x ϕ'=，得0000e 110x x x x ⎡⎤⎢+-=⎢⎣，00x =或00110x x +--，解得00x =，或01x =-（舍去），或012x =-（舍去），或012x =，当0102x <<时，()00x ϕ'>，当012x >时，()00x ϕ'<，所以()0x ϕ在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减，所以()120111e 122422x ϕϕ⎛⎛⎫≤=-+⨯= ⎪ ⎝⎭⎝综上a ≤C 正确，对于D ，()()e x f x g x ax -=--，当x →+∞时，()()f x g x -→+∞，所以D 错误，故选：ABC关键点点睛：此题考导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，对于选项C 解题的关键是由题意设0x 为()h x 的极小值点，则()()0000h x h x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，求出,a b ，则可表示出a 再构造函数，利用导数可得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.三、填空题13．已知5112a x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为120，则=a __________.【正确答案】1-【分析】根据二项展开式的通项即可得到关于a 的方程，解出即可.【详解】512x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为5552155,05,N C (2)C 2k k k k k kk T x xk k x ----+=≤=≤∈，5112a x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中的常数项为()322355C 2C 2120a ⋅+-=,解得1a =-.故答案为.1-14．已知圆221:4C x y +=和圆222:(3)(2)1C x y -+-=，则过点42,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭且与12,C C 都相切的直线方程为__________.（写出一条即可）【正确答案】2x =或512260x y +-=（写出一条即可）【分析】由直线与圆的位置关系通过几何法计算即可.【详解】若过M 的切线斜率不存在，即为2x =，此时显然与两圆都相切；若过M 的切线斜率存在，不妨设为()423y k x -=-，则()()120,0,3,2C C 到()423y k x -=-的距离分别为1252,112d d k ====⇒=-，即()452512260312y x x y -=--⇒+-=.综上过M 与两圆都相切的直线为：2x =或512260x y +-=故2x =或512260x y +-=（写出一个即可）15．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和记为()N n S n *∈，满足233326a a S +=+，若数列{}n S 为单调递增数列，则公差d 的取值范围为__________.【正确答案】03d <<【分析】根据给定条件，确定0(2)n a n ≥≥恒成立，再分析判断0d >，结合已知等式求解作答.【详解】因为数列{}n S 为单调递增数列，则当2n ≥时，10n n n a S S -=->，而等差数列{}n a 的公差0d ≠，若0d <，由1(1)n a a n d =+-知，数列{}n a 单调递减，存在正整数0n ，当0n n >时，0n a <，110n n n n S S a a ++-=<<与数列{}n S 为单调递增数列矛盾，因此0d >，由233326a a S +=+，得22232(6)3a a d a +=++，即230a d =->，解得3d <，则03d <<，所以公差d 的取值范围为03d <<.故03d <<16．若函数2()(,R)f x ax b a b =-∈与函数1()g x x x=+的图象恰有三个不同的交点，其中交点的横坐标成等差数列，则a 的取值范围为__________.【正确答案】((0, 【分析】把两个函数图象有三个交点转化为三次方程有三个根的问题，设出三个根，利用恒等式建立关系并求解作答.【详解】依题意，方程21xax b x -=+，即3210a x x bx --=-有三个不等实根，设两个函数图象的三个交点的横坐标，即方程的三个根为123,,(0)x m d x m x m d d =-==+≠，于是321[()]()[()]a x x a x m d x m m x b x d --=--+---，整理得32322222113(3)()x x x mx x m d x m m d ab a a --=--+---，因此22131()m a m m d a⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则22111()39d a a a =-，即有221339d a =+>，解得0a <或0a <<，所以a的取值范围是((0, ..故((0, 思路点睛：涉及给定两个函数图象交点横坐标问题，可以等价转化为方程实根问题，再结合方程思想求解即可.四、解答题17．在公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，且1313,,a a a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和n S 满足22=-n n S b .(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设n n n c b a =-，数列{}n c 的前n 项和n T ，若不等式()22log 1n T n n a +->-对任意*N n ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)21n a n =-，2nn b =(2)11a -<<【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为0d ≠，根据等比中项的性质得到方程，求出d ，即可求出{}n a 的通项公式，再根据11,1,2n nn S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，即可得解；（2）由（1）可得()221n n c n =--，利用分组求和法求出n T ，令()122n f n n +=--，利用作差法判断()f n 的单调性，即可求出()min f n ，从而得到关于a 的对数不等式，解得即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为10,1d a ≠= ，且1313,,a a a 成等比数列，23113a a a ∴=，即2(12)112d d +=+，解得2d =或0d =（舍去），所以()12121n a n n =+-=-.数列{}n b 的前n 项和22=-n n S b ，当1n =时，1122b b =-，12b ∴=当2n ≥时，1122n n n n n b S S b b --=-=-，12n n b b -∴=，即数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，2n n b ∴=.（2）由（1）可得()221nn n n c b a n =-=--，()()1221212122122n n n n n T n +-+-∴=-=---2122n n T n n n +∴+-=--.令()122n f n n +=--，()()()2111212210n n n f n f n n n +++∴+-=-+-+=->，()f n ∴单调递增，()min ()11f n f ∴==.()2log 11a ∴-<，012a ∴<-<，11a ∴-<<.18．在现实生活中，每个人都有一定的心理压力，压力随着现代生活节奏的加快、社会竞争日趋激烈等逐渐增大.某市研究组为了解该市市民压力的情况，随机邀请本市200名市民进行心理压力测试评估，得到一个压力分值，绘制如下样本数据频率分布直方图.(1)求a 的值，并估计该市市民压力分值位于区间[]70,100的概率；(2)估计该市市民压力分值的平均值；（同一组数据用该区间的中点值作代表）(3)若市民的压力分值不低于70，则称为“高压市民”.研究组对“高压市民”按年龄段进行研究，发现年龄在30岁到50岁的“高压市民”有35人，年龄在30岁到50岁的“非高压市民”有25人，剩余“高压市民”的年龄分散在其它年龄段.为研究方便，记年龄在30岁到50岁为年龄段A ，其余为年龄段B .根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该市“高压市民”与其年龄在30岁到50岁有关.压力高压市民非高压市民年龄段A 年龄段B附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中a b c d n +++=.()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【正确答案】(1)0.013a =，0.35；(2)58；(3)列联表见解析，有99.9%的把握认为该市“高压市民”与其年龄在30岁到50岁有关.【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1求出a ，再由频率估计概率作答.（2）利用频率分布直方图估计压力分值的平均值作答.（3）由（1）及已知完善22⨯列联表，求出2χ的观测值，与临界值比对作答.【详解】（1）依题意，0.040.020.050.10100.160.150.18100.041a a +++++++++=，解得0.013a =，记“该市市民的压力分值在区间[]70,100”为事件C ，则()()0.0180.0130.004100.35P C =++⨯=.（2）由频率分布直方图及（1）知，压力分值在各分组区间内的频率依次为：0.04,0.02,0.05,0.10,0.13,0.16,0.15,0.18,0.13,0.04，所以50.04150.02250.05350.1450.13550.16650.15x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯750.18850.13950.0458+⨯+⨯+⨯=.（3）由（1）知，高压市民有2000.3570⨯=人，年龄段A 的人数有35人，年龄段B 的人数为35人，所以22⨯列联表为：压力高压市民非高压市民合计年龄段A 352560年龄段B3510514070130200零假设0H ：该市高压市民与其年龄在在30岁到50岁无关，22200(351053525)8002010.828601407013039χ⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为该市“高压市民”与其年龄在30岁到50岁有关.19．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，AB AP ⊥，平面PCD ⊥平面,ABCD PD AD =.(1)若H 为AP 的中点，证明：AP ⊥平面HCD ；(2)若1,AB AD PA ==PAB 与平面PCD 所夹角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析；(2)22.【分析】（1）利用等腰三角形的性质及线面垂直的判定推理作答.（2）根据给定条件，作出平面PAB 与平面PCD 所成二面角的平面角，再结合对应三角形计算作答.【详解】（1）在四棱锥P ABCD -中，H 为AP 的中点，又PD AD =，则AP HD ⊥，而,//AB AP AB CD ⊥，因此,,,AP CD HD CD D HD CD ⊥⋂=⊂平面HCD ，所以AP ⊥平面HCD .（2）在平面PCD 内过点P 作PO CD ⊥交直线CD 于O ，连接OA ，如图，因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，则PO ⊥平面ABCD ，而AO ⊂平面ABCD ，则有PO AO ⊥，又AP CD ⊥，,,AP PO P AP PO =⊂ 平面PAO ，于是CD ⊥平面PAO ，AO ⊂平面PAO ，则AO CD ⊥，有POD AOD ≌，得2PO OA ==，//,AB CD CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，则//AB 平面PCD ，平面PAB 与平面PCD 的交线为l ，因此////l AB CD ，有,l PA l PO ⊥⊥，从而APO ∠为平面PAB 与平面PCD 所成二面角的平面角，显然π4APO ∠=，则cos 2APO ∠=，所以平面PAB 与平面PCD 的夹角的余弦值为2.20．记锐角ABC 内角A B C ､､的对边分别为a b c ､､.已知π2sin cos sin 262C A B B -⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求C ；(2)若3c =，求a b c ++的取值范围.【正确答案】(1)π3C =(2)(3⎤+⎦【分析】（1）利用三角形内角和定理，两角和的余弦公式的得到tan 2C =（2）利用正弦定理和三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由πA B C ++=，故π=--A B C ，故π2sinsin cos cos cos sin sin 22222A B B C C C C B B B ---⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭，12sincos 2sin sin cos sin sin262222C C C CB B B B B π⎫⎛⎫+=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，cos cos cos 22C CB B =，因ABC 是锐角三角形，故cos 0B ≠，.故tan2C =π26C =，所以π3C =.（2）由正弦定理可知sin sin sin a b c A B C===故,a A b B ==，()33a b c A B A A C ++=++=+++)3sin cos cos sin A A C A C =+++.π33cos 36sin 6A A A ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭.由ABC 是锐角三角形，可知02,6202A A B ππππ⎧<<⎪⎪⎛⎫⇒∈⎨ ⎪⎝⎭⎪<<⎪⎩，故ππ2π,633A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故(3a b c ⎤++∈+⎦.21．已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b +=>>的离心率为2，抛物线22:8C x y =的准线与1C 相交，所得弦长为(1)求1C 的方程；(2)若()()1122,,,A x y B x y 在2C 上，且120x x <<，分别以,A B 为切点，作2C 的切线相交于点P ，点P 恰好在1C 上，直线,AP BP 分别交x 轴于,M N 两点.求四边形ABMN 面积的取值范围.【正确答案】(1)221168y x +=(2)(【分析】（1）根据题意可得曲线过点)2-，然后根据曲线的离心率和,,a b c 之间的关系即可求解；（2）设直线AB 的方程为()()1122(0),,,,y kx m m A x y B x y =+>，与曲线方程联立，用韦达定理，利用切线方程求出,M N 两点的坐标，然后将面积的表达式求出来，再根据函数的性质即可求解.【详解】（1）由题知1C过点)2-，则222222461c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得4a b =⎧⎪⎨=⎪⎩221:1168y x C ∴+=.（2）设直线AB 的方程为()()1122(0),,,,y kx m m A x y B x y =+>，联立28y kx m x y =+⎧⎨=⎩，得2880x kx m --=，212128,8,Δ64320x x k x x m k m +==-=+>，则12AB x =-，而28x y =，则4x y '=，故以A 为切点的切线为()1114x y y x x -=-，即2111,,0482x x x y x M ⎛⎫=-∴ ⎪⎝⎭，同理以B 为切点的切线为2222,,0482x x x y x N ⎛⎫=-∴ ⎪⎝⎭，则122x MN x =-，由2112224848x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故两式作差得：2212124488x x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1242x x x k +==，两式求和得：()22212121212121222248484x x x x x x x x x x x x y x x m +-+++=-=-==-，所以点()4,,P k m -由P 在椭圆上222116m k +=，即(]0,4m ∈.点P 到直线AB的距离d =，所以1212ABPS d AB x ==- ，12122MNP x x S m -= ，1212122ABP MNPx x S S S x m -=-=-- (221232834k m x x k m⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭2344m m ⎛=-++ ⎝2(6)[134m -=-，而2(6)134m y -=-、2(8)108m y -=-在(]0,4m ∈上递增且恒正，则S 在(]0,4m ∈上递增，(S ∈.22．己知函数()e ln xa f x x x x=+-有三个极值点()123123,,x x x x x x <<，其中a ∈R .(1)求a 的取值范围；(2)求证：132x x +>；(3)求证.()()3134132e f x f x x x a +>-【正确答案】(1)10ea <<(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）对函数求导，将问题等价转化为(0)e x x a x =>有两个不等实根，令()(0)e xxg x x =>，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求解；（2）根据题意，2131,,x x x =是0e xxa -=的两个根，将问题等价转化为证明()()112g x g x <-，令()()()2(01)h x g x g x x =--<<，利用函数的单调性进而求证；（3）根据题意可得()()131ln f x f x a ==+，将要问题等价转化为()1313421ln e ex x x x a a ++-⎛⎫+> ⎪⎝⎭，令()()11ln ,0,e g a a a a ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，利用导数与函数的单调性得到()210e g a -≤<，令()132,x x t ∞+=∈+，()(),2,e tth t t ∞=∈+，根据函数的单调性进而求证.【详解】（1）()()()()22e 1e 111x x a x x a x f x x x x ---=+-='(0)e xx a x ∴=>有两个不等根令()(0)e x x g x x =>，则()101ex x g x x '-=>⇒<()g x ∴在()0,1单调递增，[)1,+∞上单调递减，且()max 11e g g ==10ea ∴<<.（2）由（1）知，2131,,x x x =是0e xx a -=的两个根先证()()()()133131112222x x x x g x g x g x g x +>⇔>-⇔<-⇔<-令()()()2(01)h x g x g x x =--<<，则()()()()()221e 120e x x x h x g x g x -'--=+''-=>()h x ∴在()0,1上单调递增()()10h x h ∴<=()()2(01)g x g x x ∴<-<<又()()111012x g x g x <<∴<-得证（3）因为1212e e x x x x a ==，所以1212e e 1x x x x a==，1122ln ln ln x x x x a -=-=，所以()()131ln f x f x a==+要证()()3134132e f x f x x x a -+>，即证：()13341321ln ex x a x x a ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，又因为13213e x x x x a +=，即证.()1313421ln e ex x x x a a ++-⎛⎫+> ⎪⎝⎭令()()()11ln ,0,,2ln e g a a a a g a a ⎛⎫=+∈=+ ⎝'⎪⎭，所以()210,,e a g a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，()211,,e e a g a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，()210e g g a ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭，即()210e g a -≤<.令()132,x x t ∞+=∈+，()()()()1,2,,,2,e e t tt t h t t h t t ∞∞'-=∈+=∈+时，()h t 单调递减，所以()02h t <<所以()()42e g a h t ->，即()1313421ln e e x x x x a a ++-⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即()()3134132e f x f x x x a -+>成立.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题.对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后再去证明.。

突破6.4 平面向量的应用一、学情分析高考对本部分的考查主要涉及平面向量的数量积和向量的线性运算，以运算求解和数形结合为主，重点掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义等，注重转化与化归思想的应用.1．平面向量的数量积一直是高考的一个热点，尤其是平面向量的数量积，主要考查平面向量的数量积的 运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题．题型一般以选择题、填空题为主.2．平面向量的基本定理及坐标表示是高考中的一个热点内容，尤其是用坐标表示的向量共线的条件是高 考考查的重点内容，一般是通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也作为解答题中的条件，应用向量的平行或垂直关系进行转换．二、学法指导与考点梳理考点一 向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， 其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，b ≠0 垂直问题数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ，b 为非零向量夹角问题数量积的定义cos θ＝a ·b|a ||b |(θ为向量a ，b 的夹角)，其中a ，b 为非零向量长度问题数量积的定义|a |＝a 2＝x 2＋y 2，其中a ＝(x ，y )，a 为非零向量平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题。

考点二 正弦定理和余弦定理1.在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C常见 变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b a ≤b 解的个数一解两解一解一解无解重难点题型突破1 平面向量在平面几何中的应用（奔驰定理）例1、（1）．（2022·四川西昌·高二期末（理））在平面上有ABC 及内一点O 满足关系式：0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=△△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC 的三边为a ，b ，c ，现有0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=则O 为ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形面积公式，推出点O 到三边距离相等。

学霸分享：高考数学130分怎样炼成？数学是高考文理生的痛点，怎样才能在高考数学中拿高分？这里分享一位学霸的经验给大家，学霸教你怎样让数学突破130分。

1、解答题训练在这之前我必须先给你们灌输一个观念。

高考，就是拿分，不管你会不会，拿到分，就是本事。

会的题目一定要拿满分，不会的题目，就要蒙分，抢分。

明白我的意思了吧？解答题的前三题，数学想要上120的同学，这三题一定要几乎拿满分。

而后面三题，也许就不是我们所能控制得了。

但是，想上130的同学，在这三题里，也要保证能拿到25分。

这三题一般是解析几何，以及函数导数综合应用。

先讲解析几何，这个题型是我最头疼的。

计算量大，运算复杂，有的题目非常难想到方法。

在这里我就以此为例，教你们如何应对自己无法克服的弱项。

当时我为自己定下的目标，数学就是130，我数学基础不好，再往高我可能就很难做到了。

这个目标实际，但离当时的90几分也有距离。

我把130拆分开来，综合自己的能力，得到下面的计划：选择+填空满分不能错；前三道大题不能扣分；而压轴题我大概只能拿到6分，也就是扣8分；倒数第二题能做两问，扣4分。

而算到解析几何，一般是两问，就算我不做第二问，也不会影响130.为什么要这么大方放弃解析几何第二问的7分呢？我前面说过了，这是应对不可克服障碍的方法。

当时我没少练过解析几何，但是练得再多，我发现到了考试的时候，我还是没有办法在15分钟内做完整道题。

而解析几何第一问一般简单，3分钟就可以做完，但第二问浪费了我太多时间，还不一定做对。

所以我以后联系解析几何的时候，全部不练第二问。

考试时，若是第二问不是简单的吐血，我都不会去做它，免得浪费时间。

这就是我的另一个方法，确定不可克服的弱点，放弃它。

我说的放弃，是绝对要有针对性的放弃。

比如我的目标是130，我就可以在保证其他题目会的情况下，固定的放弃2小题，平时就不练习确定放弃的题型了。

这样做是为了提高时间和提分的比率。

毕竟时间有限，要把时间放在提升快的部分。

集合与逻辑用语定时训练（一）一．选择题（共10小题）1．（2014•安徽三模）已知{a1，a2，a3，a4，a5}⊂{1，2，3，4，5，6}，若a2＞a1，a2＞a3，a4＞a3，a4＞a5称排列a1a2a3a4a5为好排列，则好排列的个数为（）A．20 B．72 C．96 D．1202．（2014•广东）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A．60 B．90 C．120 D．1303．（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=（）A．2B．1C．0D．﹣14．（2014•上海二模）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算⊗：当m，n都为偶数或奇数时，m⊗n=m+n；当m，n中一个为奇数，另一个为偶数时，m⊗n=m•n．则在上述定义下，集合M={（x，y）|x⊗y=36，x∈N*，y∈N*}中元素的个数为（）A．48 B．41 C．40 D．395．（2014•厦门模拟）若平面点集M满足：任意点（x，y）∈M，存在t∈（0，+∞），都有（tx，ty）∈M，则称该点集M是“t阶稳定”点集，现有四个命题：①对任意平面点集M，都存在正数t，使得M是“t阶稳定”点集；②若M={（x，y）|x2≥y}，则M是“阶稳定”点集；③若M={（x，y）|x2+y2+2x+4y=0}，则M是“2阶稳定”点集；④若M={（x，y）|x2+2y2≤1}，是“t阶稳定”点集，则t的取值范围是（0，1]．其中正确命题的序号为（）A．①②B．②③C．①④D．③④6．（2014•余姚市模拟）对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“和谐函数”，区间A为函数f（x）的一个“和谐区间”．给出下列4个函数：①f（x）=sin（x）；②f（x）=2x2﹣1；③f（x）=|2x﹣1|；④f（x）=ln（x+1）．其中存在唯一“和谐区间”的“和谐函数”为（）A．①②③B．②③④C．①③D．②③7．（2014•陕西）原命题为“若＜a n，n∈N+，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A．真、真、真B．假、假、真C．真、真、假D．假、假、假8．（2014•上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）C．充要条件D．既非充分又非必要条件9．（2014•太原一模）下列命题中，真命题是（）A．B．∀x∈（3，+∞），x2＞2x+1D．C．∃x∈R，x2+x=﹣110．F（n）是一个关于自然数n的命题，若F（k）（k∈N+）真，则F（k+1）真，现已知F（7）不真，则有：①F（8）不真；②F（8）真；③F（6）不真；④F（6）真；⑤F（5）不真；⑥F（5）真．其中真命题是（）A．③⑤B．①②C．④⑥D．③④二．填空题（共5小题）11．设集合P={1，2，3，4，5，6，7，8}，P的子集A={a1，a2，a3}，其中a3＞a2＞a1，当满足a3≥a2+2≥a1+5时，我们称子集A为P的“好子集”，则这种“好子集”的个数为_________．（用数字作答）12．已知函数f（x）=|x|﹣1，关于x的方程f2（x）﹣|f（x）|+k=0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．其中真命题的序号为_________．13．（2014•安徽）已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，记S=•+•+•+•+•，S min表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）．①S有5个不同的值；②若⊥，则S min与||无关；③若∥，则S min与||无关；④若||＞4||，则S min＞0；⑤若||=2||，S min=8||2，则与的夹角为．14．（2014•和平区三模）给出以下命题：①抛物线y=4x2的准线方程为y=﹣；②“若x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是“若x2+y2≠0，则x，y都不为0”；③已知线性回归方程为=3+2x，当变量x增加2个单位时，其预报值平均增加4个单位；④命题ρ：“∀x∈（0，+∞），sinx+≥2”是真命题．15．（2014•韶关模拟）已知命题p：∃x∈R，x2+2ax+a≤0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是_________．三．解答题（共6小题）16．已知集合A为函数f（x）=lg（﹣x2+2x）的定义域，集合B={x|x2﹣2kx+k2﹣1＞0}．（Ⅰ）求集合A、B；（Ⅱ）若A是B的真子集，求实数k的取值范围．17．（2012•云南模拟）命题“∃x∈R，x2+2ax+a≤0”的否定是_________．18．（2009•孝感模拟）命题p：方程2x2+mx﹣2m2﹣5m﹣3=0有一正根一负根；命题q：函数在R上有极值；若命题“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．19．己知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．20．（2014•安庆二模）已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=2a n+，（a，λ∈R）（Ⅰ）若λ=﹣2，数列{a n}单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=2，试写出a n≥2对任意n∈N*成立的充要条件，并证明你的结论．21．（2012•江门一模）已知f（x）=x2，g（x）=lnx，直线l：y=kx+b（常数k、b∈R）使得函数y=f（x）的图象在直线l的上方，同时函数y=g（x）的图象在直线l的下方，即对定义域内任意x，lnx＜kx+b＜x2恒成立．试证明：（1）k＞0，且﹣lnk﹣1＜b＜﹣；（2）“＜k＜e”是“lnx＜kx+b＜x2”成立的充分不必要条件．集合与逻辑用语定时训练（一）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2014•安徽三模）已知{a1，a2，a3，a4，a5}⊂{1，2，3，4，5，6}，若a2＞a1，a2＞a3，a4＞a3，a4＞a5称排列a1a2a3a4a5为好排列，则好排列的个数为（）A．20 B．72 C．96 D．120考点：排列、组合的实际应用；子集与真子集．专题：新定义；排列组合．分析：本题根据新定义的规定，先选5个数，再按要求排序，得到满足条件的数列．解答：解：∵a2＞a1，a2＞a3，a4＞a3，a4＞a5 ，∴a2至少大于两个数，a4至少大于两个数，a3至少小于两个数，a2，a4中有一个是最大的．按要求，分步骤进行排序：第一步：先取5个数，有种取法；第二步：以取出的数是1，2，3，4，5为例，进行分类研究：（1）若a2=4，a4=5，则有排列□4□5□，余下的1，2，3排入，有=6种排法；□5□4□，余下的1，2，3排入，有=6种排法；（3）若a2=3，a4=5，则有排列□3□5□，余下的4只能排入最后一位，□3□54，余下的1，2排入，有=2种排法；（4）若a2=5，a4=3，则有排列□5□3□，余下的4只能排入第一位，45□3□，余下的1，2排入，有=2种排法．共有排法6+6+2+2=16种．由上述两步骤可知：总的排法有6×16=96种．故答案为：C点评：本题考查了子集、真子集的概念，还考查了排列组合的知识和分类讨论的数学思想，要运用新定义解决问题，有一定的难度，属于中档题．2．（2014•广东）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A．60 B．90 C．120 D．130考点：元素与集合关系的判断．“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，由x得取值，绝对值只能是1或0，将x分为两组A={0}，B={﹣1，1}，分别讨论x i所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0，4个是0这样的三种情况分别进行讨论．解答：解：由题目中“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”考虑x1，x2，x3，x4，x5的可能取值，设A={0}，B={﹣1，1}分为①有2个取值为0，另外3个从B中取，共有方法数：；②有3个取值为0，另外2个从B中取，共有方法数：；③有4个取值为0，另外1个从B中取，共有方法数：．∴总共方法数是++=130．即元素个数为130．题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题．其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法．3．（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=（）A．2B．1C．0D．﹣1考点：集合的相等．专题：集合．分析：根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．解答：解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，则①或②，由①得，∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，即（a﹣b）（a+b）=﹣（a﹣b），∵互异的复数a，b，∴a﹣b≠0，即集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．4．（2014•上海二模）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算⊗：当m，n都为偶数或奇数时，m⊗n=m+n；当m，n中一个为奇数，另一个为偶数时，m⊗n=m•n．则在上述定义下，集合M={（x，y）|x⊗y=36，x∈N*，y∈N*}中元素的个数为（）A．48 B．41 C．40 D．39考点：元素与集合关系的判断．专题：新定义．分析：根据定义，x⊗y=36分两类进行考虑：x和y一奇一偶，则x•y=36；x和y同奇偶，则x+y=36．由x、y∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（x，y）的个数即可．解答：解：x⊗y=36，x、y∈N*，若x和y一奇一偶，则xy=36，满足此条件的有1×36=3×12=4×9，故点（x，y）有6个；若x和y同奇偶，则x+y=36，满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32= (35)1，故点（x，y）有35个，∴满足条件的个数为6+35=41问题，考查对新定义和集合的理解，正确理解新定义的含义是解决本题的关键．5．（2014•厦门模拟）若平面点集M满足：任意点（x，y）∈M，存在t∈（0，+∞），都有（tx，ty）∈M，则称该点集M是“t阶稳定”点集，现有四个命题：①对任意平面点集M，都存在正数t，使得M是“t阶稳定”点集；②若M={（x，y）|x2≥y}，则M是“阶稳定”点集；③若M={（x，y）|x2+y2+2x+4y=0}，则M是“2阶稳定”点集；④若M={（x，y）|x2+2y2≤1}，是“t阶稳定”点集，则t的取值范围是（0，1]．其中正确命题的序号为（）A．①②B．②③C．①④D．③④考点：元素与集合关系的判断；进行简单的合情推理．专题：集合．分析：首先，对于①，直接判断即可，对于②：取（2，3），代人验证即可，对于③：取（1，﹣1）验证即可，对于④：则直接根据“t阶稳定”点集进行求解．解答：解：对于①：平面点集M={（x，y）|x，y∈R}，∴（tx，ty）∈M，∴①正确；对于②：∵M={（x，y）|x2≥y}，∴取（2，3），而点（1，）∉M，∴②错误；对于③：取（1，﹣1）为集合M∴③错误；对于④：∵x2+2y2≤1，根据题意，得∴t2（x2+2y2）≤1，∵t∈（0，+∞），∴t∈（0，1]．∴④正确；故选：C点评：本题重点考查了集合的元素特征，属于信息给予题，难度中等．准确理解给定的信息是解题的关键．6．（2014•余姚市模拟）对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“和谐函数”，区间A为函数f（x）的一个“和谐区间”．给出下列4个函数：①f（x）=sin（x）；②f（x）=2x2﹣1；③f（x）=|2x﹣1|；④f（x）=ln（x+1）．其中存在唯一“和谐区间”的“和谐函数”为（）A．①②③B．②③④C．①③D．②③考点：元素与集合关系的判断．专题：函数的性质及应用；集合．分析：根据“和谐区间”的定义，我们要想说明函数存在“和谐区间”，我们只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“和谐区间”，我们可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．解答：解：①中，若f的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A=[0，1]为函数的一个“和谐区间”；同时当A=[﹣1，0]时也是函数的一个“和谐区间”，∴不满足唯一性．②中，若f（x）=2x2﹣1，当A=[﹣1，1]时，f（x）∈[﹣1，1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有A=[﹣1，1]一个．∴f（x）=2x2﹣1满足题意．③中，由幂函数的性质我们易得，M=[0，1]为函数f（x）=|2x ﹣1|的“和谐区间”，由幂函数的图象可和，满足条件的集合只有A=[0，1]一个．∴f（x）=|2x﹣1|满足题意．④中，∵f（x）=ln （x+1）单调递增，且函数的定义域为（﹣1，+∞），若存在“和谐区间”，则满足，即，∴m，n是方程e x ﹣x﹣1=0的两个根，设f（x）=e x﹣x﹣1，f′（x）=e x﹣1，当x＞0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，且f（0）=e x﹣x﹣1=0，故f（x）=2x﹣2x+2=0有且只有一个解，故f（x）=ln（x+1）不存在“可等域区间”．故存在唯一“和谐区间”的“和谐函数”为：②③．故选：D点评：本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，在说明一个函数没有“和谐区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键．7．（2014•陕西）原命题为“若＜a n，n∈N+，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A．真、真、真B．假、假、真C．真、真、假D．假、假、假考点：四种命题．专题：阅读型；简易逻辑．分析：先根据递减数列的定义判定命题的真假，再判断否命题的真假，根据命题与其逆否命题同真性及四种命题的关系判断逆命题与逆否命题的真假．解答：解：∵＜a n⇔a n+1＜a n，n∈N+，∴{a n}为递减数列，命题是真命题；其否命题是：若≥a n，n∈N+，则{a n}不是递减数列，是真命题；又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题，∴命题的逆命题，逆否命题都是真命题．故选：A．点评：本题考查了四种命题的定义及真假关系，判断命题的真假及熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键．8．（2014•上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．解答：解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．9．（2014•太原一模）下列命题中，真命题是（）A．B．∀x∈（3，+∞），x2＞2x+1D．C．∃x∈R，x2+x=﹣1考点：四种命题的真假关系．专题：计算题．分析：利用含有量词命题真假的判断方法判断各个命题的真假．充分考虑特称命题与全称命题真假判断的方法．解答：解：B项是正确的．∀x∈（3，+∞），x2﹣（2x+1）=（x﹣1）2﹣2＞2＞0，由于对∀x∈R，sinx+cosx≤，故A错误，方程x2+x+1=0无实根，故C项错误；对于∀x∈（，π）tanx＜0＜sinx，故D错误．故选B．点评：本题考查特称命题真假的判断方法，全称命题为真，需要证明、为假只需举一反例．特称命题为真只要举一反例，为假需要证明．10．F（n）是一个关于自然数n的命题，若F（k）（k∈N+）真，则F（k+1）真，现已知F（7）不真，则有：①F（8）不真；②F（8）真；③F（6）不真；④F（6）真；⑤F（5）不真；⑥F（5）真．其中真命题是（）A．③⑤B．①②C．④⑥D．③④考点：命题的真假判断与应用．专题：探究型．分析：利用原命题等价于逆否命题可以进行判断解答：解：由原命题等价于逆否命题可得：若F（k+1）（k属于N）不真，则F（k）不真，从而③⑤为真命题，故选A．点评：本题主要考查四种命题即命题的等价性，从而将问题巧妙转化．二．填空题（共5小题）11．设集合P={1，2，3，4，5，6，7，8}，P的子集A={a1，a2，a3}，其中a3＞a2＞a1，当满足a3≥a2+2≥a1+5时，我们称子集A为P的“好子集”，则这种“好子集”的个数为10．（用数字作答）考点：计数原理的应用．专题：计算题；新定义．分析：通过新定义，可知a2﹣a1≥3，a3﹣a2≥2，可以一一列举满足题意的集合即可．解答：解：由题意可知a2﹣a1≥3，a3﹣a2≥2，满足题意的集合如图：，，这样的集合有10个．故答案为：10．点评：本题是中档题，考查新定义的理解与应用，列举法是解题的基本方法，这样题目中三个元素的关系是解题的关键．12．已知函数f（x）=|x|﹣1，关于x的方程f2（x）﹣|f（x）|+k=0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．其中真命题的序号为①③④．考点：命题的真假判断与应用；根的存在性及根的个数判断．专题：数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．分析：利用换元法设t=|x|﹣1，将方程转化为关于t的一元二次方程t2﹣|t|+k=0去求解．解答：解：设t=|x|﹣1，则t≥﹣1，当t=﹣1时，x=0当t＞﹣1时，x有两解．则原方程等价为t2﹣|t|+k=0，即k=﹣t2+|t|=﹣（|t|﹣）2+．由图象可知，（1）当k＜0时，t＞1，此时方程恰有2个不同的实根；（2）当k=0时，t=1或t=0或t=﹣1，当t=1时，x有两个不同的解，当t=0时，x有两个不同的解，当t=﹣1时，x只有一个解，所以此时共有5个不同的解．（3）当0＜k＜时，﹣1＜t＜﹣或﹣＜t＜0或0＜t＜或＜t＜1，此时对应着8个解．（4）当k=时，t=﹣或t=．此时每个t对应着两个x，所以此时共有4个解．综上正确的是①③④．故答案为：①③④．点评：本题主要考查了与二次函数有关的复合函数的根的情况，利用换元法和数形结合是解决本题的关键．13．（2014•安徽）已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，记S=•+•+•+•+•，S min表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是②④（写出所有正确命题的编号）．①S有5个不同的值；②若⊥，则S min与||无关；③若∥，则S min与||无关；④若||＞4||，则S min＞0；⑤若||=2||，S min=8||2，则与的夹角为．考点：命题的真假判断与应用；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：依题意，可求得S有3种结果：S1=++++，S2=+•+•++，S3=•+•+•+•+，可判断①错误；进一步分析有S1﹣S2=S2﹣S3=+﹣2•≥+﹣2||•||=≥0，即S中最小为S3；再对②③④⑤逐一分析即可得答案．解答：解：S有3种结果：S1=++++，S2=+•+•++，S3=•+•+•+•+，故①错误；∵S1﹣S2=S2﹣S3=+﹣2•≥+﹣2||•||=≥0，∴S中最小为S3；若⊥，则S min=S3=，与||无关，故②正确；③若∥，则S min=S3=4•+，与||有关，故③错误；④若||＞4||，则S min=S3=4||•||cosθ+＞﹣4||•||+＞﹣+=0，故④正确；⑤若||=2||，S min=S3=8||2co sθ+4=8，∴2cosθ=1，∴θ=，即与的夹角为．综上所述，命题正确的是②④，故答案为：②④．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的数量积的综合应用，考查推理、分析与运算的综合应用，属于难题．14．（2014•和平区三模）给出以下命题：①抛物线y=4x2的准线方程为y=﹣；②“若x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是“若x2+y2≠0，则x，y都不为0”；③已知线性回归方程为=3+2x，当变量x增加2个单位时，其预报值平均增加4个单位；④命题ρ：“∀x∈（0，+∞），sinx+≥2”是真命题．则所有正确命题的序号是①③．考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题．分析：①中，把抛物线化为标准方程，求出准线方程，判定①正确；②中，命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的否命题，判定②错误；③中，由线性回归方程的知识判定③正确；④中，举例说明命题ρ是假命题，得出④错误．解答：解：对于①，抛物线y=4x2的标准方程是x2=y，∴p=，∴准线方程为y=﹣，∴①正确；对于②，命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是“若x2+y2≠0，则x，y不都为0”，∴②错误；对于③，当线性回归方程为=3+2x时，变量x每增加1个单位，其预报值平均增加2个单位，∴③正确；对于④，命题ρ：“∀x∈（0，+∞），sinx+≥2”是假命题，如x=时，sin+=﹣2，∴④错误．所以，所有正确的命题序号是①③．故答案为：①③．点评：本题通过命题真假的判定，考查了抛物线的标准方程与性质，原命题与否命题，线性回归方程的应用以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．15．（2014•韶关模拟）已知命题p：∃x∈R，x2+2ax+a≤0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（0，1）．考点：命题的真假判断与应用．专题：常规题型．分析：将∃变为∀，结论否定写出命题p的否定；利用p与￢p真假相反得到￢p为真命题；令判别式小于0求出a即可．解答：解：命题p：∃x∈R，x2+2ax+a≤0的否定为命题p：∀x∈R，x2+2ax+a＞0∵命题p为假命题∴命题￢p为真命题即x2+2ax+a＞0恒成立∴△=4a2﹣4a＜0解得0＜a＜1故答案为：（0，1）点评：本题考查含量词的命题的否定形式、考查命题p与命题￢p真假相反、考查二次不等式恒成立的充要条件从开口方向及对称轴上考虑．三．解答题（共6小题）16．已知集合A为函数f（x）=lg（﹣x2+2x）的定义域，集合B={x|x2﹣2kx+k2﹣1＞0}．（Ⅰ）求集合A、B；（Ⅱ）若A是B的真子集，求实数k的取值范围．考点：函数的定义域及其求法；集合的包含关系判断及应用；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由对数式的真数大于0求解一元二次不等式化简集合A，因式分解法求解一元二次不等式化简集合B；（Ⅱ）根据子集概念，利用端点值间的关系分类列不等式求解k的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由﹣x2+2x＞0，得0＜x＜2，∴A=（0，2），由x2﹣2kx+k2﹣1＞0，即[x﹣（k+1）][x﹣（k﹣1）]＞0，得x＜k﹣1或x＞k+1，∴B=（﹣∞，k﹣1）∪（k+1，+∞）．（Ⅱ）若A是B的真子集，则①k﹣1≥2，得k≥3；②k+1≤0，得k≤﹣1．综上得，k∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了集合间的包含关系及其应用，体现了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是对端点值的取舍，是基础题．17．（2012•云南模拟）命题“∃x∈R，x2+2ax+a≤0”的否定是∀x∈R，x2+2ax+a＞0．考点：命题的否定．专题：阅读型．分析：利用存在性命题”的否定一定是“全称命题”．写出结果即可．解答：解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，命题“∃x∈R，x2+2ax+a≤0”的否定是“∀x∈R，x2+2ax+a＞0”．故答案为：∀x∈R，x2+2ax+a＞0．点评：命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．18．（2009•孝感模拟）命题p：方程2x2+mx﹣2m2﹣5m﹣3=0有一正根一负根；命题q：函数在R上有极值；若命题“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：根据命题“p或q”为真命题，而命题“p且q”为假命题，我们易判断命题p与命题q一真一假，再由命题p：方程2x2+mx﹣2m2﹣5m﹣3=0有一正根一负根；命题q：函数在R上有极值．我们根据二次方程根与系数的关系（韦达定理）及二次函数零点个数的判断方法，得到命题p与命题q对应的参数a的取值范围，分类讨论后，即可得到答案．解答：解：对命题p，令f（x）=2x2+mx﹣2m2﹣5m﹣3，则f（0）＜0，即2m2+5m+3＞0，解得；（4分）当命题q为真时：（6分）∴m2﹣3m﹣4＞0故m＞4或m＜﹣1（8分）当命题p或q为真，p且q为假，即p与q有且仅有一个成立∴（10分）∴．（12分）点评：掌握简易逻辑的有关知识，学会数形结合的数学思想，理解二次方程与二次函数之间的关系，一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是二次函数的图象与y轴相交于负半轴；而二次函数的图象与x轴有公共点的充要条件是二次方程有根，即△≥0．19．己知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．考点：反证法与放缩法．专题：计算题．分析：至少有一个方程有实根的对立面是三个方程都没有根，由于正面解决此问题分类较多，而其对立面情况单一，故求解此类问题一般先假设没有一个方程有实数根，然后由根的判别式解得三方程都没有根的实数a的取值范围，其补集即为个方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根成立的实数a的取值范围．此种方法称为反证法解答：解：假设没有一个方程有实数根，则：16a2﹣4（3﹣4a）＜0（1）（a﹣1）2﹣4a2＜0（2）4a2+8a＜0（3）（5分）解之得：＜a＜﹣1（10分）故三个方程至少有一个方程有实根的a的取值范围是：{a|a≥﹣1或a≤}．点评：本题考查反证法，解题时要合理地运用反证法的思想灵活转化问题，以达到简化解题的目的，在求解如本题这类存在性问题时，若发现正面的求解分类较繁，而其对立面情况较少，不妨如本题采取求其反而成立时的参数的取值范围，然后求此范围的补集，即得所求范围，本题中三个方程都是一元二次方程，故求解时注意根的判别式的运用．20．（2014•安庆二模）已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=2a n+，（a，λ∈R）（Ⅰ）若λ=﹣2，数列{a n}单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=2，试写出a n≥2对任意n∈N*成立的充要条件，并证明你的结论．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列的函数特性．专题：函数的性质及应用；点列、递归数列与数学归纳法；简易逻辑．分析：（Ⅰ）当λ=﹣2时，a n+1=2a n﹣，由{a n}单调递增，得出a n+1＞a n，求出a n的取值范围，即得a的取值范围．（Ⅱ）a n≥2对任意n∈N*成立的充要条件是λ≥﹣4，证明必要性与充分性是否都成立．解答：解：（Ⅰ）若λ=﹣2，则a n+1=2a n﹣，∵a n+1＞a n，∴a n+1﹣a n＞0，∴a n﹣＞0，即＞0，∴a n＞或﹣＜a n＜0，∴只需a1＞或﹣＜a1＜0；∴实数a的取值范围是（﹣，0）∪（﹣，+∞）．（Ⅱ）a n≥2对任意n∈N*成立的充要条件为λ≥﹣4．必要性：假设a n+1=2a n+≥2，得λ≥﹣2+2a n，令f（n）=﹣2+，a n≥2，∴f（n）max=﹣4，即λ≥﹣4．充分性：用数学归纳法证明λ≥﹣4时，对一切n∈N*，a n≥2成立．证明：（1）显然n=1时，结论成立；（2）假设n=k （k≥1）时结论成立，即a k≥2，当n=k+1时，a k+1=2a k+．考察函数f（x）=2x+，x∈[2，+∞），①若﹣4≤λ≤0，由f′（x）=2﹣＞0，知f（x）在区间[2，+∞）上单调递增．由假设得a k+1=2a k+≥4+≥2．②若λ＞0，对x∈[2，+∞）总有f（x）=2x+＞4＞2，则由假设得a k+1=2a k+＞2；所以，n=k+1时，结论成立，综上可知：当λ≥﹣4时，对一切n∈N*，a n≥2成立．所以，a n≥2对任意n∈N*成立的充要条件是λ≥﹣4．点评：本题考查了数列的函数特征以及充分与必要条件和不等式的应用问题，解题时应仔细分析题意，灵活运用知识，是综合性题目．21．（2012•江门一模）已知f（x）=x2，g（x）=lnx，直线l：y=kx+b（常数k、b∈R）使得函数y=f（x）的图象在直线l的上方，同时函数y=g（x）的图象在直线l的下方，即对定义域内任意x，lnx＜kx+b＜x2恒成立．试证明：（1）k＞0，且﹣lnk﹣1＜b＜﹣；（2）“＜k＜e”是“lnx＜kx+b＜x2”成立的充分不必要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：常规题型；计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由lnx＜kx+b恒成立，结合对数函数的性质，得k＞0．由kx+b＜x2恒成立，结合根的判别式可得b＜﹣．再根据lnx＜kx+b恒成立，讨论讨论函数h（x）=kx+b﹣lnx的单调性与最小值，得到h（）=1+b+lnk＞0，从而得原不等式成立．（2）根据幂函数与对数函数单调性，可得k应介于曲线f（x）=x2与g（x）=lnx的两个交点的横坐标之间．通过计算比较f（）与g（）、f（e）与g（e）的大小，可得区间（，e）恰好位于两交点横坐标之间，从而证出本题的充分不必要条件．解答：解：（1）根据题意，得对任意x，lnx＜kx+b，所以k＞…（1分），因为k、b是常数，所以当x充分大时，lnx＞b，从而k＞＞0…（2分）．因为kx+b＜x2即x2﹣kx﹣b＞0恒成立，所以△=（﹣k）2+4b＜0，得b＜﹣…（4分）．因为lnx＜kx+b 即kx+b﹣lnx＞0恒成立，设h（x）=kx+b ﹣lnx，则h'（x）=k﹣…（5分），由h'（x）=0得x=＞0，∴0＜x＜时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；x＞时时，h'（x）＜0，h（x）单调递增…（7分），所以h（x）的极小值从而也是最小值为h（）=1+b﹣ln=1+b+lnk…（8分），因为kx+b﹣lnx ＞0恒成立，所以h（）=1+b+lnk＞0，即b＞﹣lnk﹣1，从而﹣lnk﹣1＜b＜﹣成立；…（9分）．（2）由（1）知﹣lnk﹣1＜﹣，从而＜lnk+1，其中k是正数…（10分），如图，根据幂函数与对数函数单调性，可得k应介于曲线f（x）=x2与g（x）=lnx的两个交点的横坐标之间，设这两个交点横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2．…（11分），因为k=时，＜=lnk+1，k=e 时，=＜2=lnk+1…（13分），所以（，e）是（x1，x2）的真子集，由此可得：“＜k＜e”是“lnx＜kx+b＜x2”成立的充分不必要条件．…（14分）．点评：本题给出介于两个函数图象之间的一条线段对应的函数，求证参数的取值范围并证明充分条件，着重考查了基本初等函数、利用导数研究函数的单调性与最值和充分必要条件的证明等知识，属于中档题．。

台湾省（新版）2024高考数学统编版考试(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题函数在处的导数等于A ．1B ．2C ．3D ．4第(2)题已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.则A ．B ．C ．D ．第(3)题已知，，，则（ ）A．B ．C ．D ．E ．均不是第(4)题设⊕是R 上的一个运算，A 是R 的非空子集．若对于任意a ，b ∈A ，有a ⊕b ∈A ，则称A 对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集第(5)题已知椭圆：的两个焦点分别为，，是上任意一点，则下列不正确的是（ ）A．的离心率为B ．的最小值为2C ．的最大值为16D ．可能存在点，使得第(6)题已知棱长为3的正四面体的底面确定的平面为，是内的动点，且满足，则动点的集合构成的图形的面积为（ ）A ．3B ．C ．D ．无穷大第(7)题对于函数，下列说法正确的有（ ）①在处取得极大值；②有两个不同的零点；③；④若在上恒成立，则.A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个第(8)题椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上第一象限内的一点，且与轴相交于点，离心率，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知双曲线的左右焦点分别为，左顶点为，点是的右支上一点，则（ ）A．的最小值为8B．若直线与交于另一点，则的最小值为6C ．为定值D．若为的内心，则为定值第(2)题已知是定义域为的非常数函数，若对定义域内的任意实数x，y均有，则下列结论正确的是（）A．B．的值域为C．D．是奇函数第(3)题如图，圆柱的轴截面是正方形，E在底面圆周上，，F是垂足，G在BD上，，则下列结论中正确的是（）A．B．直线与直线所成角的余弦值为C．直线与平面所成角的余弦值为．D．若平面平面，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题函数，其中a，b为实数，且.已知对任意，函数有两个不同零点，a的取值范围为___________________.第(2)题的展开式中的系数为____________.第(3)题已知袋中装有大小相同的（）个红球和2个白球．从中任取2个球，记取出的白球个数为，若，则______，______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，，，，，得到如下频率分布直方图．（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，求恰好取到一级口罩个数为的概率；（2）在2020年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加A、B两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲、乙两人在A、B两店订单“秒杀”成功的概率分别为，，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数量分别为，．①求的分布列及数学期望；②求当的数学期望取最大值时正整数的值．第(2)题已知函数，在点处的切线为.（1）求函数的单调区间；（2）若，是函数的两个极值点，证明.第(3)题已知是递增的等差数列，且是方程的两根.（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求证：.第(4)题在直角梯形（如图1），，，，，为线段中点.将沿折起，使平面平面，得到几何体（如图2）.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.第(5)题已知函数（）.（1）讨论的单调性.（2）证明：当时，（）.。