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陈纪修《数学分析》（第2版）配套模拟试题及详解一、判断题（3分×4＝12分）1．两个周期函数的和一定是周期函数．（）【答案】×【解析】可举反例如：令F（x）＝f（x）＋g（x），则f（x）周期为2π，g（x）周期为有理数．可以证明F（x）不是周期函数，用反证法，设F（x）有周期T（>0）．若T=r为有理数，则F（0）＝1，而，故F（0）≠F（0＋r），矛盾．若T为无理数．则由可得再由也得矛盾．2．若函数f（x，y）在点（x，Y0）处的方向导数存在，则函数在该点一定可微．（）【答案】×3．收敛．（）【答案】√【解析】因为由柯西判别法的极限形式可知瑕积分收敛．4．拉格朗日中值定理的“中值”是指f（x）在[a，b]上的函数值的平均值．（）【答案】×二、填空题（3分×4＝12分）1．由方程所确定的隐函数，在点处的全微分______．【答案】2．向量函数，f在一点a连续的充要条件是：f的每个分量函数______连续。
【答案】都在点a3．若则，f（z）=＿＿＿＿．【答案】4．若是某二元函数的全微分，则m= ．【答案】1三、选择题（7×3分＝21分）1．若是xOy平面上方的抛物线且，则曲面积分的物理意义为（）．A．表示面密度为1的曲面的质量B．表示面密度为1的曲面对z轴的转动惯量C．表示面密度为的曲面对z轴的转动惯量D．表示体密度为1的流体过曲面指定侧的流量【答案】B2．若f（x）在x0的某邻域内有三阶导数，且导数连续，则（）．A．f（x）在x0没有极值B．当f'''（x0）≠0时，f（x）在x0取到极值C．当f'''（x0）≠0时，f（x）在x0没有极值D．当f'''（x0）＝0时，f（x）在x0没有极值【答案】C3．A．B．C．D．以上都不对【答案】B4．设函数处不连续，则f（x，y）在该点处（）．A．必无定义B．极限必不存在C．偏导数必不存在D．全微分必不存在【答案】D5．设，g（x）=2x，在x→0时（）．A．f（x）=O（g（x））B．f（x）=O（g（x））C．f（x）～g（x）D．无法比较【答案】B6．若f（x）在[a，b]上连续且既有极大值又有极小值，则（）．A．极大值一定是最大值B．极小值一定是最小值C．极大（小）值不一定是最大（小）值D．极大值一定比极小值大【答案】C7．设为在第一卦限中的部分，则有（）．A．B．C．D．【答案】C四、解答题（共105分）1．（15分）设证明：在[0，1]上一致收敛．证明：由可求得从而由于，关于n单调，又、x在[0，1]上连续，故由Dini定理知在[0，1]上一致收敛．2．（15分）求由曲面所围的均匀物体的重心坐标．解：物体的质量为重心的横坐标为同理可求得而于是，重心坐标为3．（15分）设函数f（x）在x=0连续，并目求证：存存，并且证明：于是，有。
第二章 数列极限习 题 2.1 实数系的连续性1. (1) 证明6不是有理数；(2) 3+2是不是有理数?证（1）反证法。
若6是有理数，则可写成既约分数nm=6。
由，可知是偶数，设，于是有，从而得到是偶数，这与226n m =m k m 2=2223k n =n nm是既约分数矛盾。
（2）3+2不是有理数。
若3+2是有理数，则可写成既约分数32+n m=，于是222623nm =++，252622−=n m ，即6是有理数，与（1）的结论矛盾。
2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在： ； A x x =≥{|}0 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=320|sin πx x B ； ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<∈=+m n n m m n C 并且N ,。
解 ；因为，有0min =A A x ∈∀A x ∈+1，x x >+1，所以不存在。
A max 12sin max ==πB ；因为B x ∈∀，⎦⎤⎜⎝⎛∈∃2,0πα，使得αsin =x ，于是有B ∈2sinα，x <2sinα，所以B min 不存在。
C max 与都不存在，因为C min C m n ∈∀，有C m n ∈+1，C m n ∈++11， 111++<<+m n m n m n ，所以与都不存在。
C max C min 3. A B ,是两个有界集，证明： (1) 是有界集；A B ∪(2) 也是有界集。
S x y x A y B =+∈∈{|,}证 （1）设A x ∈∀，有1M x ≤，B x ∈∀，有2M x ≤，则B A x ∪∈∀，有{}21,max M M x ≤。
（2）设，有A x ∈∀1M x ≤，B x ∈∀，有2M x ≤，则S x ∈∀，有21M M x +≤。
4. 设数集S 有上界，则数集T x x S =−∈{|}有下界，且sup S =T inf −。
证 设数集S 的上确界为，则对任意S sup ∈x T x x S =−∈{|}，有，即；同时对任意S x sup ≤−S x sup −≥0>ε，存在S y ∈，使得ε−>S y sup ，于是，且T y ∈−ε+−<−S y sup 。
第4章微分1．证明：黎曼函数在R上处处不可导．证明：因为R（x）是以1为周期的函数，所以只要在[0，1]上讨论它的可导性即可．又因为R（x）在有理点处不连续，因此它在有理点处不可导．下面将证明R（x）在无理点处也不可导．为无理数，设是无限不循环小数，对任意充分小，分两种情形：当h n是有理数时，有当h n是无理数时，设是无限不循环小数，有而故当或时，极限不存在，即R（x）在无理点α处不可导．2．设f（x）在x＝0处可导，在什么情况下在x＝0处也可导？解：若f（x）在x＝0处可导，当或时，在x＝0处也可导．事实上，设．先看的情形．若，由极限的局部保号性知，，有于是若，同理，有；再看的情形．记，由f（0）＝0知，g（0）＝0．故存在且为0．3．设f在[0，1]上可微，且使得．证明：f在[0，1]中只有有限个零点．证明：用反证法．假设f（x）在[0，1]中有无限个零点，由致密性定理，它存在收敛子列，使得，且．由f的连续性，有．于是由导数的定义，有．这表明f和f1在[0，1]中有共同的零点x o，这与已知条件矛盾．4．求的n阶导数．解：用数学归纳法，易证5．证明：函数在x＝0处存在任意阶导数，且．证明：当时，其中是关于的3n次多项式（这不难用数学归纳法证明）．假设，则有6．设有二阶连续导数，求证明：因为一阶差商逼近一阶导数，二阶差商逼近二阶导数，所以利用行列式的性质有7．求的n阶导数．解：8．设求证：（1）P n（x）的最高次项系数为（2）（3）证明：（1）因为的最高次项为2n次，所以的最高次项系数为所以P n（x）的最高次项系数为（2）按莱布尼茨公式：括弧中除首末两项外其余项均含有（x＋1）（x－1），所以（3）令，则有在上式两端对x求导n＋1次，得即注意到即得9．求证下列各题：（1）设g（0）＝g'（0）＝0，求f'（0）；（2）设f（x）在点x＝0连续，并且求证f'（0）存在，且f'（0）＝A；（3）设f（x）在点x＝0可导，且，求f'（0）．解：（1）0 （因为为有界函数）．（2）因为则当时，有于是将上述各式相加得即。
第十章 函数项级数习 题 10. 1 函数项级数的一致收敛性1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。
⑴ S n (x ) = , (i) x nx −e ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑵ S n (x ) = x , x nx −e ∈),0(+∞；⑶ S n (x ) = sin nx , (i)x ∈),(+∞−∞， (ii) x ∈],[A A −()； 0>A ⑷ S n (x ) = arctan nx , (i)x ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑸ S n (x ) =221nx +, x ∈),(+∞−∞； ⑹ S n (x ) = nx (1 - x )n , x ∈]1,0[；⑺ S n (x ) =n x ln n x, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈)；),1(+∞ ⑻ S n (x ) = nnx x +1, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈；),1(+∞ ⑼ S n (x ) = (sin x )n , x ∈],0[π；⑽ S n (x ) = (sin x )n1, (i) x ∈[0,]π， (ii) x ∈],[（0>δ）；δπδ− ⑾ S n (x ) = nn x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+1, (i) x ∈),0(+∞， (ii)x ∈],0(A ()； 0>A ⑿ S n (x ) = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+x n x n 1, (i) x ∈),0(+∞, (ii)[)0,,>+∞∈δδx 。
解 （1）(i) ，0)(=x S )()(sup ),()1,0(x S x S S S d n x n −=∈1= ─/→ 0（∞→n ）， 所以{}()n S x 在上非一致收敛。
(0,1) (ii) ，0)(=x S )()(sup ),(),1(x S x S S S d n x n −=+∞∈n e −=)(0∞→→n ，所以{}()n S x 在上一致收敛。
第2章数列极限
§1 实数系的连续性
1．（1）证明不是有理数；
（2）是不是有理数？
证明：（1）可用反证法若是有理数，则可写成既约分数．由可知m是偶数，设，于是有，从而得到n是偶数，这与是既约分数矛盾．（2）不是有理数．若是有理数，则可写成既约分数，于是
，即是有理数，这与（1）的结论矛盾．2．求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在：
解：min A＝0；因为，有，所以max A不存在．；因为，使得，于是有
，所以min B不存在．
max C与min C都不存在，因为，所以max C与min C都不存在．
3．A，B是两个有界集，证明：
（1）A∪B是有界集；
（2）也是有界集．
证明：（1）设，有，有，则，有
．
（2）设，有，有，则，有
．
4．设数集S有上界，则数集有下界．且．
证明：设数集S的上确界为sup S，则对，有-x≤sup S，即；同时对，存在，使得，于是．所以-sup S为集合T的下确界，即．
5．证明有界数集的上、下确界惟一．
证明：设sup S既等于A，又等于B，且A<B．取，因为B为集合S的上确界，所以，使得，这与A为集合S的上确界矛盾，所以A＝B，即有界数集的上确界惟一．同理可证有界数集的下确界惟一．
6．对任何非空数集S，必有．当时，数集S有什么特点？
解：对于，有，所以．当时，数集S 是由一个实数构成的集合．
7．证明非空有下界的数集必有下确界．
证：参考定理2.1.1的证明．具体过程略．
8．设并且，证明：
（1）S没有最大数与最小数；
（2）S在Q内没有上确界与下确界．
证：（1）．取有理数r>0充分小，使得，于是．即，所以S没有最大数．同理可证S没有最小数．
（2）反证法．设S在Q内有上确界，记（m，n∈N+且m，n互质），则显然有．由于有理数平方不能等于3，所以只有两种可能：
（i），由（1）可知存在充分小的有理数r>0，使得，这
说明，与矛盾；
（ii），取有理数r>0充分小，使得，于是
，这说明也是S的上界，与矛盾．所以S没有上确界．
同理可证S没有下确界．
§2 数列极限
1．按定义证明下列数列是无穷小量：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）（8）．
证明：（1），取，当n>N时，成立
．
（2），取，当时，成立
．
（3），取，当时，成立；
取，当时，成立，则当时，成立．
（4），取，当n>N时，成立
．
（5）当n>11时，有．于是，取，当n>N时，成立．
（6）当n>5，有．于是，取，当n>N时，成立．
（7），取，当n>N时，成立
（8）首先有不等式，取，当n>N时，成立．
2．按定义证明下述极限：
证明：（1），取，当时，成立
（2），取，当时，成立
（3），取，当n>N时，成立
（4）令，则．当n>3时，有
所以，取，当时，成立
．
（5），取，当n>N时，若n是偶数，则成立；若z是奇数，则成立．
3．举例说明下列关于无穷小量的定义是不正确的：
（1）对任意给定的，存在正整数N，使当n>N时，成立；
（2）对任意给定的，存在无穷多个，使．
解：（1）例如，则满足条件，但不是无穷小量．
（2）例如则满足条件，但不是无穷小量．
4．设k是一正整数，证明：的充分必要条件是．
证明：设，则，成立，于是也成立，所以；
设，则，成立，取，则，成立，所以．
5．设，证明：．
证明：由可知，成立
，成立．于是
，成立．
6．设．且，证明：．
证明：首先有不等式．由，可知，成立，于是．
7．是无穷小量，是有界数列，证明也是无穷小量．
证明：设对一切．因为是无穷小量，所以，，成立．于是，成立，所以也是无穷小量．。
