应力及应变状态
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应力与应变
应力张量 i描j 绘了一点处的应力状态，即只要知道(zhī dào)
了 面一上点的的应应力力。张量ij
，就可以完全确定通过该点的各微分
证明：假想过物体内任意一点M作三个互相垂直的微分面，并
在点M附近作一个与坐标轴倾斜的任意微分面，这四个微分面
相交组成的四面体微元如图所示。
设斜截面上的应力 z C
3）任意微分面（斜截面）上的全应力及正应力和剪应力可通 过下式来计算
p
n
px2
p
2 y
pz2
p
n
l2 2
x1
l2 2
y2
l2 2
z3
2 xyl1l2
2 yzl2l3
2
zxl3l1
n
p2
2 n
（3.10)
其中(qízhōng)第2式 n
pili
ijlil j
(3.11)
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8 应力分量的坐标(zuòbiāo)变换规律
(qízhōng)的每一个量，称为应力张量的分量。
记应力张量为 ij
，并表示为
ij yxx
xy y
xz yz
(3.6)
zx zy z
后面的讨论将证明这9个量的各个分量在坐标旋转时，服从 (fúcóng)二阶张量的坐标表换规律，因此为二阶张量。
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7、一点处的应力(yìnglì)状态的描绘
l12 l22 l32 1 (3.22)
就可联立求解出分别与主应力对应的主方向。
可以证明：①若特征方程无重根，则它们相应的三个主方向
必两两相互垂直；②若特征方程有两个重根，
如③若1特征 2方程有3，三则个与重根3方，向则垂任直何的方任向何均方为向主都方是向主。方向；
材料力学：第八章-应力应变状态分析
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
D
C
sO
E
s 2 , 0
s 1 , 0
D
s
结论：所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用4
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
证： 1. 据纯剪切斜截面应变公式求e45。
2. 据广义胡克定律求 e45。
纯剪切时主应力在45度方向,
3. 比较
例 8-3 边长 a =10 mm 正方形钢块，置槽形刚体内， F = 8 kN，
m 0.3，求钢块的主应力
解：
因二者均为压应力, 故
§8 电测应力与应变花
应力分析电测方法 应变花
已知 sa , ta , sa+90 , ta +90 ,画应力圆
应力圆绘制 先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
ta+90 sa+90
t
sa ,ta
D
t
sa ,ta
D
sa
ta
O
C
sO
E
sa+90 ,ta+90
C
s
E
sa+90 ,ta+90
应力圆的绘制方法(3): 由主应力画应力圆
适用范围： 各向同性材料，线弹性范围内
主应力与主应变的关系
主应变与主应力的方位重合 最大、最小主应变分别发生在最大、最小主应力方位
最大拉应变发生在最大拉应力方位 如果 s1 0，且因 m < 1/2，则
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
D
C
sO
E
s 2 , 0
s 1 , 0
D
s
结论：所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用4
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
证： 1. 据纯剪切斜截面应变公式求e45。
2. 据广义胡克定律求 e45。
纯剪切时主应力在45度方向,
3. 比较
例 8-3 边长 a =10 mm 正方形钢块，置槽形刚体内， F = 8 kN，
m 0.3，求钢块的主应力
解：
因二者均为压应力, 故
§8 电测应力与应变花
应力分析电测方法 应变花
已知 sa , ta , sa+90 , ta +90 ,画应力圆
应力圆绘制 先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
ta+90 sa+90
t
sa ,ta
D
t
sa ,ta
D
sa
ta
O
C
sO
E
sa+90 ,ta+90
C
s
E
sa+90 ,ta+90
应力圆的绘制方法(3): 由主应力画应力圆
适用范围： 各向同性材料，线弹性范围内
主应力与主应变的关系
主应变与主应力的方位重合 最大、最小主应变分别发生在最大、最小主应力方位
最大拉应变发生在最大拉应力方位 如果 s1 0，且因 m < 1/2，则
工程力学7第七章应力状态和应变状态分析
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
0
x y
2
(
x y
2
)
2
2
2 x
y
y
y
2
090
0
x y
2
(
x y
2
2、为什么要研究一点的应力状态 单向应力状态和纯剪切应力状态的强度计算
σmax≤ [σ] τ
max≤[τ
]
梁截面上的任意点的强度如何计算？
分析材料破坏机理
F F F F T
T
3、怎么研究一点的应力状态
单元体
•各面上的应力均匀分布
• 相互平行的一对面上 应力大小相等、符号相同
满足：力的平衡条件 切应力互等定理
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法:
1.任意斜面上的应力 y
y
y
y
y
n
y
x
a
x
e
d
x
x
x
bz
x
x
x
e
x
x
y
f
yy
x
x
b
c
y
y
y
f t
应力的符号规定同前 α角以从x轴正向逆时针 转到斜面的法线为正
(设ef的面积为dA)
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
第七章应力状态及应变状态分析
第七章 应力状态及应变状态分析第一节 概 述在第一章中将应力定义为内力的集度或单位面积的内力值。
应力又分正应力σ和剪应力τ两种。
前面各章的知识表明，受力杆件中任一点的应力是随截面位置及点的位置的不同而不同，如7-1（a ）中a 、b 两点分别在两个截面上，其应力是不同的。
同一截面上的各点，如图7-1（b ）中b 、c 两点的应力一般情况下也是不同的。
同一点不同方向的应力也是不同的。
过一点各个方向上的应力情况称为该点的应力状态．．．．，应力状态分析就是要研究杆件中某一点（特别是危险点）各个方向上的应力之间的关系，确定该点处的最大正应力和最大剪应力，为强度计算提供重要依据。
研究应力状态的方法是过杆件中的任一点取出一个微小的六面体——单元．．体．。
如图7-1（a ）中过a 点取出的单元体放大如图7-2所示。
单元体三个方向的边长很小且趋于零，则该单元体代表一点，即a 点，互相平行的平面上的正应力相等，剪应力也相等。
杆件在任意荷载作用下，从中所取出的单元体表面上一般既有正应为又有剪应力，如图7-2所示。
当图7-2所示的单元体各面上的,0,0,0,0,0,0======zy zx yx yz xz xy ττττττ 即六个面上均没有剪应力作用时，这种面叫做特殊平面，并定义为主平面．．．。
该主(a)(b)图7-1各点的应力情况平面上作用的正应力称为主应力．．．，用,,,321σσσ表示（,321σσσ≥≥），如图7-3所示。
各面均为主平面的单元体，称为主单元体．．．．。
三个主应力中若有两个等于零一个不等于零，该单元体称为单向应力状态．．．．．．，如图7-4（a ）；三个主应力中有一个等于零，两个不等于零，该单元体称为二向应．．．力状态．．．，如图7-4（b ）；三个主应力均不等于零，该单元体称为三向应力状态．．．．．．，如7-3。
单向应力状态和二向应力状态属平面应力状态，三向应力状态属空间应力状．．．．．态．。
应力与应变状态分析
ma x
min
x y 2
(x 2y)2x2 y ——主应力的大小
1 ; 2 ; 3 ; m ;am x;i0 n
最大正应力（σmax）与X轴的夹角规定用“α0 ” 表示。 简易判断规律：由τ的方向判断。
α0 α0
2、 τ的极值及所在平面
x 2ysi2n xy co 2s
d 0 d
tg21
3、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。
平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。 空间应力状态：三向应力状态 简单应力状态：单向应力状态。 复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。 纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。
§8－2 平面应力状态分析——解析法
一、任意斜面上的应力计算
主应力排列规定：按代数值由大到小。 1 2 3
10 σ1=50 MPa ；
50
30 σ2=10 MPa ； σ3=-30 MPa 。
单位：MPa
10 σ1=10 MPa ；
30 σ2=0 MPa ； σ3=-30 MPa 。
8、画原始单元体： 例 ：画出下列图中的 a、b、c 点的已知单元体。
二、σ、τ的极值及所在平面（主应力，主平面）
1、 σ的极值及所在平面（主应力，主平面）
x 2 y x 2 yc2 o s xs y 2 i n d d 0 x 2 ys2 i n 0 xc y 2 o 0 s0 0 0
tg20
2xy x y
——主平面的位置
( 0;
0 0900 )
F
F a
x
a
x
x
F A
y b C
z
y b
C z
Ｍ F L
应变和应力的概念
应变和应力的概念一、引言应变和应力是材料力学中重要的概念，在工程和科学研究中有着广泛的应用。
应变是描述物体形变程度的物理量，而应力则是描述物体内部受力状态的物理量。
本文将详细介绍应变和应力的概念，并深入探讨两者之间的关系。
二、应变的概念2.1 应变的定义应变是描述物体形变程度的物理量，通常用符号ε表示。
应变可分为线性应变和非线性应变两种情况。
线性应变发生在物体受到小的力引起的形变情况下，其应变与受力成正比。
非线性应变则发生在物体受到大的力引起的形变情况下，其应变与受力不成正比。
2.2 应变的分类1.纵向应变2.横向应变3.剪切应变4.体积应变三、应力的概念3.1 应力的定义应力是描述物体内部受力状态的物理量，通常用符号σ表示。
应力分为正应力和剪应力两种情况。
正应力是指垂直于物体截面的力在单位面积上的分布情况，剪应力是指平行于物体截面的力在单位面积上的分布情况。
3.2 应力的分类1.纵向应力2.横向应力3.剪切应力4.欧拉应力四、应变与应力的关系应变与应力之间存在着密切的关系，可以由材料的应力-应变曲线来描述。
应力-应变曲线显示了材料在受力下的变形和应力的关系，以此来研究材料的力学性质。
4.1 弹性阶段在弹性阶段，材料受力后会发生一定程度的形变，但当去除外力时，材料可以恢复到原先的形状。
此时应力与应变呈线性关系，称为胡克定律。
4.2 屈服阶段当外力超过了材料的弹性极限时，材料会进入屈服阶段。
此时材料会产生更大的形变，但仍能回复到非常接近原来形状的状态。
4.3 塑性阶段当外力超过了材料的屈服极限时，材料将进入塑性阶段，并发生不可逆的形变。
在这个阶段，应力与应变之间的关系不再是线性的，材料会呈现出时间依赖性和屈服后的流变行为。
4.4 断裂阶段当外力继续增加，超过了材料的断裂强度，材料将发生断裂并失去原有的结构完整性。
五、总结应变和应力是描述材料力学性质的重要概念。
应变是描述物体形变程度的物理量，而应力是描述物体内部受力状态的物理量。
第八章2应力应变状态分析
第八章2应力应变状态分析应力应变状态分析是研究材料或结构在外力作用下所产生的应力和应变的过程。
应力是单位面积上的内力，用于描述材料或结构对外力的抵抗能力。
而应变是形变相对于初始状态的变化量，用于描述材料或结构的变形程度。
针对材料或结构的应力应变状态进行分析，可以帮助我们了解其力学性能和稳定性，为工程实践提供重要依据。
应力应变状态分析是弹性力学的基本内容之一、根据材料的力学性质和外力的作用，可以得到不同的应力应变状态。
在弹性力学中，线弹性和平面应变假定是常用的简化假设。
线弹性假定材料仅在拉伸和压缩的方向上有应力，而在横截面上的应力是均匀分布的。
一维拉伸和挤压是线弹性应力应变状态的基本类型。
平面应变假定材料在一个平面内有应力，而在垂直于该平面的方向上无应力。
二维平面应变是平面应变应力应变状态的基本类型。
在应力应变状态分析中，我们通常关注应力和应变之间的关系。
最常见的是材料的应力-应变曲线。
应力-应变曲线描述了材料在外力作用下的力学行为，可以帮助我们了解材料的强度、塑性和韧性等性能。
在弹性阶段，应力-应变曲线呈线性关系，符合胡克定律。
而在屈服点之后，材料会发生塑性变形，应力不再是线性关系。
当应力达到最大值时，材料会发生破坏。
除了应力-应变曲线外，还有一些其他重要的参数和指标可用于描述应力应变状态。
例如，弹性模量是描述材料刚度的重要参数，表示单位应力引起的单位应变量。
剪切弹性模量描述了材料抵抗剪切变形的能力。
同时，杨氏模量和泊松比也是用于描述材料力学性质的常用参数。
应力应变状态分析在材料工程、结构工程以及土木工程等领域具有重要应用。
通过对材料和结构的应力应变状态进行分析，可以帮助我们评估其性能和强度，并且对设计和优化具有指导意义。
例如，在结构工程中，通过应力应变状态分析可以确定材料的承载能力和极限状态，从而确保结构在设计荷载下的安全运行。
然而，应力应变状态分析也面临一些挑战。
首先，材料的力学性质和变形行为往往是非线性的，需要使用复杂的数学模型进行描述。
应力和应变状态
由应力圆可计算出： 1 5P， 2 P
例3 已知受力构件的A点处于平面应力状态，过A点两斜截面上 的应力圆如图，试用应力圆求该点的主应力、主平面和最大剪应 力。
解：
1 OA1 232.5MPa
3 OB1 107.5MPa
100
max 170MPa R
四、三向应力状态和最大剪应力
若单元体是主单元体，即各面上的应力为主应力； 各方向的主应变为：
1 2
3
1
E 1
E 1
E
1 2 3
2 1 2
3 3 1
各平面的剪应变为零
12 23 31 0.
例1、测得A点处的x=400×10-6，y=-120×10-6 （）。已知： E=200GPa，=0.3，求A点在x和y方向上的正应力。
3）夹角关系：圆上某两条半径夹角等于单元体上对 应截面外法线夹角的两倍，且转向相同。
3.应力圆的应用:
1）确定单元体上任一斜截面上的正应力σα、 剪应力τα；
2）确定两个主应力的大小和方位；
3）确定两个最大最小剪应力的大小和方位；
例1 σx=60MPa,τxy=20.6MPa ,σy= 0 , 用图解法求： 1）该点的主应力和主平面的方位； 2）求与轴线方向成-450的应力σ-450、τ -450 ？
100 (80) sin 600 40cos600 2
97.64(MPa)
4）计算σmax、σmin及主平面方位角
max
min
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
10888.5.（5 MPa）
1 108 .5, 2 0, 3 88.5
t g20
2xy x y
第六章 应力应变状态分析
tg 2 0 2 xy
x y
2 300 3 200 200 2
min
2 0 2 0
max
0 28.2 0或 - 151.8 0
Dx 200,300, D y 200,300
Dx
14
x y x y cos2 xy sin 2 2 2
x y sin 2 xy cos 2 2
max x y min 2
x y 2 xy 2
2
2 xy 1 0 arctan tan 2 0 2 x y y x
D13
D12
D23 D3
D2
D1
2
max 13
1 3
2
13作用面?
答: bdhf
a
b f d h
c
e
g
1
3
18
例题3-1：图示单元体，求：（1）主应力和最大切应力； （2）画出三向应力圆。 y
40Mpa x
z
解： 1.先把它转化为一个平面应力状态
x 120MPa , y 40MPa , xy 30MPa
2
E
1 1 11 12 13 1 2 3 E 1 2 21 22 23 2 3 1 E 1 3 31 32 33 3 1 2 E
x y x y 2 2 2
2
2 xy 面存在一一对应关系。
x y
2 300 3 200 200 2
min
2 0 2 0
max
0 28.2 0或 - 151.8 0
Dx 200,300, D y 200,300
Dx
14
x y x y cos2 xy sin 2 2 2
x y sin 2 xy cos 2 2
max x y min 2
x y 2 xy 2
2
2 xy 1 0 arctan tan 2 0 2 x y y x
D13
D12
D23 D3
D2
D1
2
max 13
1 3
2
13作用面?
答: bdhf
a
b f d h
c
e
g
1
3
18
例题3-1：图示单元体，求：（1）主应力和最大切应力； （2）画出三向应力圆。 y
40Mpa x
z
解： 1.先把它转化为一个平面应力状态
x 120MPa , y 40MPa , xy 30MPa
2
E
1 1 11 12 13 1 2 3 E 1 2 21 22 23 2 3 1 E 1 3 31 32 33 3 1 2 E
x y x y 2 2 2
2
2 xy 面存在一一对应关系。
材料力学-应力状态与应变状态分析
s2 引起 1 s 2 E 2 s 2 E 3 s 2 E
s3 引起 1 s 3 E 2 s 3 E 3 s 3 E
小变形 i i i i i 1,2,3
1
1 E
s1
(s 2
s 3 )
广
2
1 E
s 2
(s 3
s1 )
义 虎 克 定
3
1 E
s 3
(s 1
s 2)
t T ＝ 1 πD3 (1－a4) 16
1
＝
1 E
[s1－
(s2＋s3)]
＝
1＋
E
t
T＝8.38 kN·m
二、体积应变
单元体边长：dx、dy、dz
体积：V0 = dx·dy·dz
dy
dx → dx +△dx = dx + 1dx = (1 + 1) dx
dy → dy +△dy = dy + 2dy = (1 + 2) dy
体积的绝对增量：△V = V－V0 = V0 (1+ 2+ 3)
单位体积增量：
V V0
1 2
3
体积应变 体积的相对增量
1 2
E
(s1
s2
s
3)
讨论：
V V0
1 2
E
(s1 s 2
s 3)
⒈ 若 s1 + s2 + s3＞0，
则 ＞0 →△V ＞0，即体积增大；
若 s1 + s2 + s3＜0，
s2
s3 dsz 1
dx
dz → dz +△dz = dz + 3dz = (1 + 3) dz
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斜切微分面上的应力
19Βιβλιοθήκη 一、一点附近应力表示法4. 主应力和应力不变量 已知单元体的应力状态为：
és x t xy t xz ù és x t xy t xz ù ê ú ê ú s ij = êt yx s y t yz ú = ê s y t yz ú êt zx t zy s z ú ê sz ú û ë û ë
s 1 = s 0 × cos a
F
单向拉伸时轴向应力随截面方位变化
16
外载荷不变的情况下， 应力的数值取决于其所 作用平面的方位。
一、一点附近应力表示法
3. 直角坐标系下一点的应力状态
s ij =
és x t xy t xz ù êyx s y t yz ú t êt yx s y t yz ú êt zx t zy s z ú ë û
应力状态和应变状态分析
内容
l塑性加工应力分析 — 一点附近应力表示方法 l平衡微分方程 l塑性加工应变分析 --- 点的应变状态分析
2
F
预测金属变形？载荷？缺陷？ 应力和应变分析 变形区域内接触应力 变形力F
平衡方程 Forging F 塑性条件 物理方程 几何方程 边界条件
Extrusion
三维空间问题 （十三个未知数，十三个方程） 轴对称问题 （九个未知数，九个方程） 平面问题 3 （三个未知数，三个方程）
一、一点附近应力表示法
1.基本概念
外力： 外部施加作用在物体上的力。（接触力，摩擦力，重力等） 内力： 外力作用下，物体各点之间产生相互作用的力。 应力： 变形体中单位面积上的内力。
4
一、一点附近应力表示法 外力分析
正压力—工具与工件接触面上的垂直作用力
5
一、一点附近应力表示法 外力分析
摩擦力—两个互相接触的物体，当它们发生相对运动或有 相对运动趋势时，在两物体的接触面之间有阻碍它们相对 运动的作用力
（1）
S 2 = Sx2 + S y 2 + Sz 2
s = S xl + S y m + S z n
2 2 2
（2）
将Sx、Sy、Sz沿斜面的法向和切向分解
（3） （4）
= s xl + s y m + s z n + 2(t xy lm + t yz mn + t zx nl )
t = (S 2 -s 2 )
2
t = (S -s
2
2 2
2 1/ 2
)
(7)
l + m + n =1
2
求剪应力的极值
分别对l、m、n 求偏导数并令其等于零
z
三个主剪应力
y
x
z
带入方程7 t 23 = ±
s2 -s3 2 s 3 - s1 2 s1 - s 2 2
24
y x z
t 31 = ± t 12 = ±
y x
t max =
DF dF S = lim = DF ® 0 D A dA
S为A面上Q点的全应力。它是一个矢量， 称为应力矢量。
s t
n
S
S的方向不一定垂直于微元 面，如果将其分解为垂直于 和平行于微元面的两个分解 内力，则可以得到相应的两 个应力分量，即就是正应力 s 和剪应力 t
作用在变形体中某一微元面积上的应力
6
外力分析
摩擦力—两个互相接触的物体，当它们发生相对运动或有 相对运动趋势时，在两物体的接触面之间有阻碍它们相对 运动的作用力
7
Fig.13 Splie by normal forging
Fig.14 Spline by oscillating forging
8
90 80 70 60
CCF OCF
单元体处于静力平衡状态，故绕单元体各轴 合力矩必为零。 剪应力互等关系式
t xy = t yx ;t yz = t zy ;t zx = t xz
因此，表示点应力状态的九个应力分量中只 有六个是独立的。
图2.3 用三个互相垂直 面上的应力分量表示一 点附近的应力状态
18
一、一点附近应力表示法
4. 主应力和应力不变量 已知过Q点三个互相垂 直坐标微分面上的九个 应力分量。现设过Q点 任意一方位的斜切微分 面ABC与三个坐标轴相 交于A、B、C
s1 - s 3 2
一、一点附近应力表示法
6. 应力偏量
és x t xy t xz ù é (s x - s m ) ù és m 0 0ù t xy t xz ê ú ê ú ê ú (s y - s m ) + 0 0 s ij = êt yx s y t yz ú = ê t yx t yz s m ú ê ú êt zx t zy s z ú ê t zx ê t zy (s z - s m ) ú 0 sm ú ë û ë û ë0 û
x方向 y方向 z方向
x面上
m n l
y面上 z面上
s y t yz
方向余弦l,m,n l2+m2+n2=1
应力分量的正负号规定如下：在单元体上外法
线指向坐标轴正向的微分面叫做正面，反之，称为 负面；对于正面，指向坐标轴正向的应力分量为正， 指向负向的为负；对于负面，情况正好相反。 由 s ij 可以找到任意斜面上的正应力 s N 及剪应力 t
2 2 t 2 = (s 12 - s 3 2 )l 2 + (s 2 2 - s 3 2 ) m 2 + s 3 2 - é ë(s 1 - s 3 ) l + (s 2 - s 3 ) m + s 3 ù û
2 2 t 2 = (s 2 2 - s 12 ) m 2 + (s 3 2 - s 12 ) n 2 + s 12 - é ë(s 2 - s 1 ) m + (s 3 - s 1 ) n + s 1 ù û 2
s 3 - J1s 2 - J 2s - J 3 = 0 J1 = s x + s y + s z
22
一、一点附近应力表示法
4. 主应力和应力不变量
一个确定的应力状态，三个主应力是唯一的。特 征方程的系数J1、 J2 、J3是单值的，不随坐标而变。 可见，尽管应力张量各分量会随坐标转动而变化， 但J1、 J2 、J3组合的函数值是不变的。我们把J1、 J2 、 J3称为应力张量第一、第二和第三不变量。判别两 个应力张量是否相同时，可以通过三个应力张量不 变量是否对应相等来确定。
14
一、一点附近应力表示法
围绕直角坐标系一承受 任意力系作用物体的任 意点Q切取无限小单元 体，棱边平行于三根坐 标轴。各微分面均有应 力矢量作用，这些矢量 沿坐标轴分解为三个分 量，一是正应力分量， 两个剪应力分量。可见， 一点的应力状态需用九 个应力分量来描述。 所有S均可求解
单元体的受力情况 a）物体内的单元体 b）单元体上的应力状态
=0
斜面面积为dF CQB面积为dF L CQA面积为dF m AQB面积为dF n
通过力沿轴线方向的平衡
åF
x
åF
y
=0
åF
z
=0
S x = s x l + t yx m + t zx n ü ï S y = t xy l + s y m + t zy n ý S z = t xz l + t yz m + s z n ï þ
12
一、一点附近应力表示法
全应力S是个矢量，可以分解 为两个分量：正应力和切应 力
S = s +t
2 2
2
微小面积dA可叫做Q点在N 方向的微分面 通过Q点在不同方位的切面 上，全应力S显然是不同的
13
一、一点附近应力表示法
S1，S2，S3……. 如何来确定一点的应力状态？
可以证明只要知道过该点的 三个相互垂直界面上的三个 应力矢量、则过该点的任意 截面上的应力矢量均可求出， 即就是该点的应力状态可确 定
与其斜切的任意斜面上的应力分量亦可求出。设该斜面法 线为N，N的方向余弦为：
l = cos( N , x) m = cos( N , y ) n = cos( N , z )
20
一、一点附近应力表示法
4. 主应力和应力不变量 已知 s ij
tcos( s, x t= tN l= = ycos( yx N y ); m yz cos( N , y ); ns yz, z )
23
一、一点附近应力表示法
5. 主剪应力
S x = s xl + t yx m + t zx n ü ï S y = t xy l + s y m + t zy n ý S z = t xz l + t yz m + s z n ï þ
物体的塑性变形是剪应力产生的，当最大剪应力达到某个 临界值时，物体便由弹性状态进人塑性(屈服)状态。
(6)
三个主方向相互正交， 三个主应力唯一 应力不变量相同则应力状态相同
l 2 + m2 + n2 = 1
l, m, n不能同时为零
存在非零解的条件是方程组的系数所组成的行列式等于零
ü ï 2 2 2 J 2 = -(s xs y + s ys z + s zs x ) + t xy + t yz + t zx ý 2 2 2 ï J 3 = s xs ys z + 2t xyt yzt zx - (s xt yz + s yt zx + s zt xy )þ
与变形类型有关
球应力状态下，任意方 向的主应力均相等，任 意斜切面上的剪应力均 为零，任意方向均为主 方向，球应力张量只能 使体积弹性的变化，不 能使形状变化。
19Βιβλιοθήκη 一、一点附近应力表示法4. 主应力和应力不变量 已知单元体的应力状态为：
és x t xy t xz ù és x t xy t xz ù ê ú ê ú s ij = êt yx s y t yz ú = ê s y t yz ú êt zx t zy s z ú ê sz ú û ë û ë
s 1 = s 0 × cos a
F
单向拉伸时轴向应力随截面方位变化
16
外载荷不变的情况下， 应力的数值取决于其所 作用平面的方位。
一、一点附近应力表示法
3. 直角坐标系下一点的应力状态
s ij =
és x t xy t xz ù êyx s y t yz ú t êt yx s y t yz ú êt zx t zy s z ú ë û
应力状态和应变状态分析
内容
l塑性加工应力分析 — 一点附近应力表示方法 l平衡微分方程 l塑性加工应变分析 --- 点的应变状态分析
2
F
预测金属变形？载荷？缺陷？ 应力和应变分析 变形区域内接触应力 变形力F
平衡方程 Forging F 塑性条件 物理方程 几何方程 边界条件
Extrusion
三维空间问题 （十三个未知数，十三个方程） 轴对称问题 （九个未知数，九个方程） 平面问题 3 （三个未知数，三个方程）
一、一点附近应力表示法
1.基本概念
外力： 外部施加作用在物体上的力。（接触力，摩擦力，重力等） 内力： 外力作用下，物体各点之间产生相互作用的力。 应力： 变形体中单位面积上的内力。
4
一、一点附近应力表示法 外力分析
正压力—工具与工件接触面上的垂直作用力
5
一、一点附近应力表示法 外力分析
摩擦力—两个互相接触的物体，当它们发生相对运动或有 相对运动趋势时，在两物体的接触面之间有阻碍它们相对 运动的作用力
（1）
S 2 = Sx2 + S y 2 + Sz 2
s = S xl + S y m + S z n
2 2 2
（2）
将Sx、Sy、Sz沿斜面的法向和切向分解
（3） （4）
= s xl + s y m + s z n + 2(t xy lm + t yz mn + t zx nl )
t = (S 2 -s 2 )
2
t = (S -s
2
2 2
2 1/ 2
)
(7)
l + m + n =1
2
求剪应力的极值
分别对l、m、n 求偏导数并令其等于零
z
三个主剪应力
y
x
z
带入方程7 t 23 = ±
s2 -s3 2 s 3 - s1 2 s1 - s 2 2
24
y x z
t 31 = ± t 12 = ±
y x
t max =
DF dF S = lim = DF ® 0 D A dA
S为A面上Q点的全应力。它是一个矢量， 称为应力矢量。
s t
n
S
S的方向不一定垂直于微元 面，如果将其分解为垂直于 和平行于微元面的两个分解 内力，则可以得到相应的两 个应力分量，即就是正应力 s 和剪应力 t
作用在变形体中某一微元面积上的应力
6
外力分析
摩擦力—两个互相接触的物体，当它们发生相对运动或有 相对运动趋势时，在两物体的接触面之间有阻碍它们相对 运动的作用力
7
Fig.13 Splie by normal forging
Fig.14 Spline by oscillating forging
8
90 80 70 60
CCF OCF
单元体处于静力平衡状态，故绕单元体各轴 合力矩必为零。 剪应力互等关系式
t xy = t yx ;t yz = t zy ;t zx = t xz
因此，表示点应力状态的九个应力分量中只 有六个是独立的。
图2.3 用三个互相垂直 面上的应力分量表示一 点附近的应力状态
18
一、一点附近应力表示法
4. 主应力和应力不变量 已知过Q点三个互相垂 直坐标微分面上的九个 应力分量。现设过Q点 任意一方位的斜切微分 面ABC与三个坐标轴相 交于A、B、C
s1 - s 3 2
一、一点附近应力表示法
6. 应力偏量
és x t xy t xz ù é (s x - s m ) ù és m 0 0ù t xy t xz ê ú ê ú ê ú (s y - s m ) + 0 0 s ij = êt yx s y t yz ú = ê t yx t yz s m ú ê ú êt zx t zy s z ú ê t zx ê t zy (s z - s m ) ú 0 sm ú ë û ë û ë0 û
x方向 y方向 z方向
x面上
m n l
y面上 z面上
s y t yz
方向余弦l,m,n l2+m2+n2=1
应力分量的正负号规定如下：在单元体上外法
线指向坐标轴正向的微分面叫做正面，反之，称为 负面；对于正面，指向坐标轴正向的应力分量为正， 指向负向的为负；对于负面，情况正好相反。 由 s ij 可以找到任意斜面上的正应力 s N 及剪应力 t
2 2 t 2 = (s 12 - s 3 2 )l 2 + (s 2 2 - s 3 2 ) m 2 + s 3 2 - é ë(s 1 - s 3 ) l + (s 2 - s 3 ) m + s 3 ù û
2 2 t 2 = (s 2 2 - s 12 ) m 2 + (s 3 2 - s 12 ) n 2 + s 12 - é ë(s 2 - s 1 ) m + (s 3 - s 1 ) n + s 1 ù û 2
s 3 - J1s 2 - J 2s - J 3 = 0 J1 = s x + s y + s z
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一、一点附近应力表示法
4. 主应力和应力不变量
一个确定的应力状态，三个主应力是唯一的。特 征方程的系数J1、 J2 、J3是单值的，不随坐标而变。 可见，尽管应力张量各分量会随坐标转动而变化， 但J1、 J2 、J3组合的函数值是不变的。我们把J1、 J2 、 J3称为应力张量第一、第二和第三不变量。判别两 个应力张量是否相同时，可以通过三个应力张量不 变量是否对应相等来确定。
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一、一点附近应力表示法
围绕直角坐标系一承受 任意力系作用物体的任 意点Q切取无限小单元 体，棱边平行于三根坐 标轴。各微分面均有应 力矢量作用，这些矢量 沿坐标轴分解为三个分 量，一是正应力分量， 两个剪应力分量。可见， 一点的应力状态需用九 个应力分量来描述。 所有S均可求解
单元体的受力情况 a）物体内的单元体 b）单元体上的应力状态
=0
斜面面积为dF CQB面积为dF L CQA面积为dF m AQB面积为dF n
通过力沿轴线方向的平衡
åF
x
åF
y
=0
åF
z
=0
S x = s x l + t yx m + t zx n ü ï S y = t xy l + s y m + t zy n ý S z = t xz l + t yz m + s z n ï þ
12
一、一点附近应力表示法
全应力S是个矢量，可以分解 为两个分量：正应力和切应 力
S = s +t
2 2
2
微小面积dA可叫做Q点在N 方向的微分面 通过Q点在不同方位的切面 上，全应力S显然是不同的
13
一、一点附近应力表示法
S1，S2，S3……. 如何来确定一点的应力状态？
可以证明只要知道过该点的 三个相互垂直界面上的三个 应力矢量、则过该点的任意 截面上的应力矢量均可求出， 即就是该点的应力状态可确 定
与其斜切的任意斜面上的应力分量亦可求出。设该斜面法 线为N，N的方向余弦为：
l = cos( N , x) m = cos( N , y ) n = cos( N , z )
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一、一点附近应力表示法
4. 主应力和应力不变量 已知 s ij
tcos( s, x t= tN l= = ycos( yx N y ); m yz cos( N , y ); ns yz, z )
23
一、一点附近应力表示法
5. 主剪应力
S x = s xl + t yx m + t zx n ü ï S y = t xy l + s y m + t zy n ý S z = t xz l + t yz m + s z n ï þ
物体的塑性变形是剪应力产生的，当最大剪应力达到某个 临界值时，物体便由弹性状态进人塑性(屈服)状态。
(6)
三个主方向相互正交， 三个主应力唯一 应力不变量相同则应力状态相同
l 2 + m2 + n2 = 1
l, m, n不能同时为零
存在非零解的条件是方程组的系数所组成的行列式等于零
ü ï 2 2 2 J 2 = -(s xs y + s ys z + s zs x ) + t xy + t yz + t zx ý 2 2 2 ï J 3 = s xs ys z + 2t xyt yzt zx - (s xt yz + s yt zx + s zt xy )þ
与变形类型有关
球应力状态下，任意方 向的主应力均相等，任 意斜切面上的剪应力均 为零，任意方向均为主 方向，球应力张量只能 使体积弹性的变化，不 能使形状变化。