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作业：导数在解决实际问题中的应用

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导数在解决实际问题中的应用导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位，是联系高等数学与初等数学的纽带，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具．数学上的许多问题，用初等数学方法是不能解决的，或者难以解决，而通过数学模型建立函数关系，利用函数思想，然后用导数来研究其性质，充分发挥导数的工具性和应用性的作用，可以轻松简捷地获得问题的解决．其实我们不难发现，函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁，不管是在证明不等式，解决数列求和的有关问题，以及解决一些实际应用问题，我们都可以构造函数模型，并且利用导数来解决相关问题．1、研究函数性质导数作为研究函数问题的利刃，常用来解决极值、最大（小）值、单调性等三类问题.在求解这些函数问题时，要结合导数的思想与理解性质的基础上，掌握用导数方法求解的一般步骤．在熟练运用导数工具研究函数的性质同时，我们要注意比较研究函数的导数方法与初等方法，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.例1、求函数x x x f 3)(3-=在[]233，-上的最大值和最小值． 分析：先求出)(x f 的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间[]233，-上的最大值和最小值． 解：由于)1)(1(3)1(333)(22-+=-=-='x x x x x f ， 则当[)1,3--∈x 或(]23,1∈x 时，0)(>'x f ，所以[]13--，，[]231，为函数)(x f 的单调增区间； 当()1,1-∈x 时，0)(<'x f ，所以[]11，-为函数)(x f 的单调减区间．又因为18)3(-=-f ，2)1(=-f ，2)1(-=f ，89)23(-=f ，所以，当3-=x 时，)(x f 取得最小值18-；当1-=x 时，)(x f 取得最大值2．例2、求函数xx a y 12-=在x ∈（0,1]上的单调性（a ∈R ）.解：令x t =，即求()t at t f 12-=，t ∈（0,1]上的单调性.当a ≥0时，()t f 在t ∈（0,1]上为增函数； 当a<0时,因()f t '=312t a +，则由()0f x '=，得312t a +=0.有t=3a1-， 则可以判断，当t ∈(0,3a 1-)时，()0>'x f ，说明()t f 在t ∈（0，3a1-）上为增函数；当t ∈),a 1(-3+∞时，()0<'x f ，()t f 在),a1(-3+∞上为减函数. 接下来，要比较3a1-和1的大小, 当01<≤-a 时1a1-3≥，则()t f 在()1,0∈t 上为增函数， 此时()()121-==a f t f ，当1<a 时，1a 1-3<，则()t f 在t ∈（0，3a 1-）上为增函数；在t ∈),a1(-3+∞上为减函数.该题用导数来解，淡化了技巧，突出了通法，充分显示了该解法的新颖别致和通俗易懂.2、证明不等式成立证明不等式的方法有许多，导数作为研究一些不等式恒成立问题的工具，体现了导数应用上的新颖性以及导数思想的重要性. 由导数方法研究不等式时，一般是先构造一个函数，借助对函数单调性或最大(小)值的研究，经历某些代数变形，得到待证明的不等式.例3、求证：不等式)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<-在()+∞∈,0x 上成立． 分析：通过作差，构造函数)2()1ln()(21x x x x f --+=，和)1ln()1(2)(22x x x x x f +-+-=， 再通过对)(1x f 和)(2x f 求导来判断．证明：构造函数)2()1ln()(21x x x x f --+=，则01111)(21>+=+-+='x x x x x f ．得知)(1x f y =在[)∞+，0上单调递增，又因为0>x ，所以0)0()(11=>f x f ，即2)1ln(2x x x ->+成立．又构造函数)1ln()1(2)(22x x x x x f +-+-=，则 0)1(4211)1(42441)(222222>+=+-+-+-='x x x x x x x x f ．得知)(2x f y =在[)∞+，0上单调递增，又因为0>x ，所以0)0()(22=>f x f ，即)1ln()1(22x x x x +>+-成立．综上所述，原命题成立．3、求解参数范围给定含有参数的函数以及相关的函数性质，求解参数的值或范围，需要我们灵活运用导数这一工具，对问题实施正确的等价转化，列出关于参数的方程或不等式.在此类含参问题的求解过程中，逆向思维的作用尤其重要. 例4、已知函数f(x)＝x 2＋alnx.(1)当a ＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若g(x)＝f(x)＋2x 在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a ＝－2时， f ′(x)＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x.当x 变化时，f ′(x)和f(x)的值变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞) f ′(x) －＋ f(x)单调递减 极小值单调递增由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)，极小值是f(1)＝1.(2)由g(x)＝x 2＋alnx ＋2x ，得g ′(x)＝2x ＋ax －2x 2.若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调递增函数， 则g ′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式2x －2x 2＋ax ≥0在[1，＋∞)上恒成立．也即a ≥2x－2x 2在[1，＋∞)上恒成立.令φ(x)＝2x －2x 2，则φ′(x)＝－2x 2－4x.当x ∈[1，＋∞)时，φ′(x)＝－2x 2－4x<0，∴φ(x)＝2x －2x 2在[1，＋∞)上为减函数，∴φ(x)max ＝φ(1)＝0，∴a ≥0. 故a 的取值范围为[0，＋∞)．4、研究曲线的切线问题导数的几何意义表现为曲线的切线斜率值，从而利用导数可求曲线的切线，并进一步将导数融合到函数与解析几何的交汇问题中.在求过点),(00y x P 所作函数()x f y =对应曲线的切线方程时应先判断该点是否在曲线上.)1(当点),(00y x P 在曲线上，即点),(00y x P 为切点时，则切线方程为 ()()000x x x f y y -'=-.)2(当点),(00y x P 不在曲线上时，则设切点坐标为()y x '',，由()()⎪⎩⎪⎨⎧--='=1010111x x y y x f x f y先求得切点的坐标，然后进一步求切线方程.例5、已知曲线a x x y l +-=2:2,求过点P ()1,2-的曲线l 的切线方程. 解：因a x x y +-=22，所以22-='x y ， 则当2=x 时，a y =，2='y .①当1-=a 时，点P ()1,2-在曲线l 上，故过点P 的曲线l 的切线方程为),2(2)1(-=--x y 即052=--y x ，②当1-≠a 时，点P 不在l 上，设曲线l 过点P 的切线的切点是),(00y x ，则切线方程为))(22(000x x x y y --=-且点P ()1,2-在此切线方程上，所以有),2)(22(1000x x y --=--即.3620200+-=x x y又a x x y +-=02002则有3622020020+-=+-x x a x x ，即,0)3(4020=-+-a x x)1(4)3(416+=--=∆a a ，当1->a 时，0>∆， 所以120+±=a x ； 当0x x =时， ()()1122122+±=-+±='a a y ，所以切线方程是()()()21121-+±=--x a y ，即()()12112--+±=x a y ，当1-<a 时，0<∆，切线不存在.例6、已知抛物线x x y C 2:21+=和抛物线a x y C +-=22:，当a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出公切线的方程.分析：传统的处理方法是用法来解决，但计算量大，容易出错，如能运用导数的几何意义去解，则思路清晰，解法简单.解：设()()2211,,,y x B y x A 分别是直线l 与1C 、2C 的两个切点. 又21:2C y x x =+，22:C y x a =-+的导数分别为：22+='x y ，='y x 2-，所以2122x x -=+，即121-=+x x又1C 、2C 有且只有一条公切线，则点A 与点B 重合，21x x =，所以21x x =21-=，即⎪⎭⎫⎝⎛--43,21A ，有点B 在2C 上，可知21-=a ，此时:l 41-=x y .例7、已知曲线x x x y C 23:23+-=，直线kx y l =:，且l 与C 切与点)0)(,(000≠x y x ，求直线l 的方程及切点坐标.解：由l 过原点，知)0(0≠=x x y k ，点),(00y x 在曲线C 上，∴02030023x x x y +-= ∴2302000+-=x x x y 又∵2632+-='x x y∴263020+-=x x k ，又 0x y k =∴23263020020+-=+-x x x x∴23,0320020==-x x x （00=x 不符合题意） ∴83232)23(3)23(230-=⨯+⨯-=y∴41238300-=-==x y k所以l 的方程为x y 41-=，切点为)83,23(-.求曲线的切线方程，关键利用曲线上某点的导数就是曲线上过该点的切线的斜率.5、解决实践问题在工农业生产、生活等实际问题中，常常需要研究一些成本最低、利润最大、用料最省的问题.我们先把实际情景翻译为数学语言，找出情景中主要的关系，抽象出具体的数学问题，化归为研究目标函数的最大(小)值，从而可利用导数方法简捷求解，此类问题称为优化问题.解答此类问题时，需要抓住三个基本步骤：①建立函数关系；②求极值点，确定最大(小)值；③回归优化方案．例8、某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为：21242005p x =-,且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润L 达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）解析：根据题意，列出利润的函数关系式，进而可用导数求最值的方法进行求解。

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试述导数在解决实际问题中的应用

试述导数在解决实际问题中的应用

试述导数在解决实际问题中的应用在实际生活中，我们经常会遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“效率最高”等优化问题。

这类问题在数学上就是最大值、最小值问题，一般都可以应用导数知识得到解决，下面通过具体实例谈谈导数在实际生活中的应用。

一、生活中的优化问题：例1：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？分析：生活中的优化问题：根据实际意义建立好目标函数，体会导数在解决实际问题中的作用。

例1：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？分析：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧。

而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单。

思路：设箱底边长为x cm，则箱高602xh-=cm，得箱子容积V是箱底边长x的函数：23260()(060)2x xr x x h x-==<<，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的16，这个结论是否具有一般性？二、最大利润问题例2： 已知某商品生产成本C 与常量q 的函数关系式为1004C q =+，价格p 与产量q 的函数关系式1258p q =-。

求产量q 为何值时，利润L 最大。

分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格，由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润。

解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭ 利润()212510048L R C q q q ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭ ()212110002008q q q =-+-<< '1214L q =-+ 令'0L =，即12104q -+= 求得唯一的极值点84q = 因为L 只有一个极值点，所以它是最大值。

导数与微分在实际问题中的应用

导数与微分在实际问题中的应用

导数与微分在实际问题中的应用在实际问题中，导数与微分是数学中重要的概念，它们广泛应用于各种科学和工程领域。

导数和微分可以帮助我们研究函数的变化率、极值、曲线的切线以及解决实际问题中的优化、最大化和最小化等难题。

一、函数的变化率和极值导数可以表示函数在某一点的变化率。

对于一个函数f(x)，我们可以通过求解f(x)关于x的导数f'(x)，来得到函数在特定点的斜率。

这个斜率可以用于分析函数的增减性、拐点以及函数的极值。

以一个简单的例子来说明，假设有一个物体的位移函数S(t)，我们需要知道物体在某一时刻的速度。

我们可以通过对位移函数求导得到速度函数V(t)，即V(t) = S'(t)。

利用导数，我们可以得到物体在不同时刻的速度情况，进而进行分析和应用。

二、曲线的切线导数的另一个应用是求解曲线的切线。

对于给定的函数f(x)，我们可以通过求解f'(x)得到函数在某一点x=a的斜率。

利用这个斜率，我们可以确定曲线在该点的切线方程。

例如，假设有一个曲线y=f(x)，我们需要知道曲线在x=a处的切线方程。

首先，我们求解函数关于x的导数f'(x)，然后计算该导数在x=a 处的值，得到切线的斜率。

接下来，我们利用切线斜率和曲线在点(x=a, f(a))的坐标，使用点斜式或者斜截式等方法，求解切线方程。

三、实际问题中的优化、最大化和最小化导数和微分在优化、最大化和最小化问题中也有广泛应用。

通过求解导数为零的点，我们可以找到函数的极值点（最大值或最小值）。

以一个实际问题为例说明，假设我们要设计一个开放式矩形围栏，然后找到一个围栏面积最大的设计。

围栏的宽度是已知的，但长度是未知的。

我们可以将围栏的长度表示为x，围栏的面积表示为S(x)。

我们的目标是找到一个x，使得S(x)取得最大值。

为了解决这个问题，我们可以首先根据开放式围栏的特点，建立围栏面积的函数S(x)。

然后，我们对S(x)求导，得到S'(x)，当S'(x)等于零时，我们可以得到可能的极值点。

导数在实际生活中的应用

导数在实际生活中的应用


60
x
V ´=60x－3x² /2 令V ´=0，得x=40, x=0 (舍去) 得V (40)=16000
当x (0,40)时，V ( x） 0; 当x (40,60)时，V ( x） 0.
V (40)为极大值，且为最大值 。
答：当箱底边长为x=40时,箱子容积最大，最大值为16000cm3
解 3、设水箱的高为xdm,则它的底边长为 升 立方分米 a= 256 = 16 dm 水箱所用的材料的面积为 x x
a
x
s(x)=4ax+a 2 =64 x +
32x 2 -256 x 令s'(x)= =0,得x=4 x2 x
256 (x>0) x
因为s(x)只有一个极值，故高为4dm时最省料
C周＝2 r
R 3 8 2 -3 3 2 6 令V'( )= =0，得＝ 2 2 2 24 3 4 -
因 过小或过大都会使V变小，故＝ 2 6 时，容器 的容积最大。 3

练习5、已知海岛A与海岸公路 BC的距离AB为50KM，B、C间 的距离为100KM，从A到C，先 乘船，船速为25KM/h，再乘车， 车速为50KM/h，登陆点选在何处 所用时间最少？
2、实际应用问题的表现形式，常常不是 以纯数学模式反映出来。
首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质。
其次，建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解。
3、求最大（最小）值应用题的一般方法
(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为 数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。 (2)确定函数定义域，并求出极值点。 (3)比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实 际，确定最值或最值点。
导数应用练习题

导数应用练习题

导数应用练习题在微积分中，导数是一个极为重要的概念。

它不仅是研究函数变化率的工具，也是应用到各个领域中的数学工具之一。

本文将介绍一些导数的应用练习题，通过解答这些题目，加深对导数概念的理解，并将其应用到实际问题中。

一、速度与加速度1.一辆汽车沿直线匀速行驶，其速度为v(t)=50t，其中t表示时间，单位为秒。

求该汽车在0到5秒内的平均速度和瞬时速度。

解：汽车的速度函数为v(t)=50t，求0到5秒内的平均速度，可以使用速度函数在0到5秒内的平均值，即：v(0到5秒平均) = (v(0)+v(5))/2 = (50*0+50*5)/2 = 125 m/s求0到5秒内的瞬时速度，可以直接使用速度函数：v(0到5秒瞬时) = v(5) = 50*5 = 250 m/s2.一辆汽车沿直线运动，其速度随时间变化的函数为v(t)=3t²-2t+1，其中t表示时间，单位为秒。

求该汽车在0到2秒内的平均速度和瞬时速度。

解：汽车的速度函数为v(t)=3t²-2t+1，求0到2秒内的平均速度，可以使用速度函数在0到2秒内的平均值，即：v(0到2秒平均) = (v(0)+v(2))/2 = (3*0²-2*0+1+3*2²-2*2+1)/2 = (1+9-4+1)/2 = 7 m/s求0到2秒内的瞬时速度，可以直接使用速度函数：v(0到2秒瞬时) = v(2) = 3*2²-2*2+1 = 9 m/s二、相关率问题1.一个圆的半径在增长，当半径的增长率为2 cm/s时，求当半径为5 cm时，圆的周长的增长率。

解：设圆的半径为r，圆的周长为C，根据圆的周长公式C=2πr，对该等式两边同时对时间求导，得到：dC/dt = 2π(dr/dt)题目已给出半径的增长率dr/dt=2 cm/s，半径r=5 cm，代入上述公式，得到：dC/dt = 2π(2) = 4π cm/s所以，当半径为5 cm时，圆的周长的增长率为4π cm/s。